Universidad Veracruzana
Facultad de Matemáticas
El Rango Aritmético
T E S I S
que para obtener el título de
Maestra en Matemáticas
P R E S E N T A
Miriam Rodríguez Olivarez
DIRECTORES DE TESIS
Dr. Luis Alfredo Dupont García
Dr. Armando Sánchez Nungaray
Agradecimientos
Índice general
Agradecimientos i
Resumen iii
Introducción v
1. Álgebra conmutativa 1
1.1. Ideales monomiales . . . 1
1.2. Módulos graduados . . . 5
1.3. Álgebra exterior . . . 6
1.4. Resoluciones . . . 8
1.5. Resolución de Lyubeznik . . . 9
2. Sobre el número de ecuaciones que denen una variedad 11 2.1. Un método para el cálculo del rango aritmético . . . 11
2.2. Aplicaciones . . . 15
3. Ideales cuyo radical es un ideal monomial 21 3.1. Antecedentes . . . 21
3.2. Un criterio libre de característica . . . 22
Apéndice 27
Resumen
En el trabajo se desarrollan herramientas matemáticas para encontrar el valor de un inva-riante llamado rango aritmético (ara), geométricamente se interpreta como el mínimo número de hipersupercies que denen a una variedad y algebraicamente como el mínimo número de polinomios necesarios para generar al radical de un ideal dado del anillo de polinomios en n
variables. Cabe mencionar que los métodos usados fueron inspirados por un procedimiento pu-blicado por Schmitt y Vogel, [22].
El valoraraes muy difícil de encontrar, por lo cual sólo se dan cotas inferiores y superiores.
Una cota inferior es la dimensión proyectiva (projdim) denida por medio de una resolución libre minimal, en nuestro caso, una resolución de Lyubeznik, y como una cota superior se encuentra el mínimo número de generadores del ideal dado (µ). La forma de proceder para
encontrar el ara es acotarla superiormente por medio de un número cuyo valor sea igual a la
dimensión proyectiva, es decir projdim≤ara≤projdim.
El trabajo se desarrolla de la siguiente manera:
1. Introducción: Se da una breve reseña de como surgió el rango aritmético y los valores que lo acotan. Todo esto con la nalidad de enfatizar la importancia del ara.
2. Álgebra conmutativa: Aquí se dan las deniciones de álgebra conmutativa básicas necesa-rias para comprender y justicar cada elemento a usar en el trabajo.
3. Sobre el número de ecuaciones que denen ciertas variedades: Se acota al ara
superior-mente por medio de unos conjuntos de un ideal dado. Los conjuntos se formarán tomando combinaciones de los monomios que generan al ideal. Además, se mostrarán ejemplos donde este método funciona y ejemplos donde el método no funciona.
Introducción
Consideremos el anillo de polinomios en n variables sobre un campo K; R =K[x1, ..., xn].
Denimos al conjunto
Kn ={(a1, ..., an)
a1, ..., an ∈K}
como el espacio afín n-dimensional sobre K.
El conjunto de todas las soluciones (a1, ..., an)∈Kn de un sistema de ecuaciones
f1(x1, ..., xn) = 0
f2(x1, ..., xn) = 0
...
fs(x1, ..., xn) = 0
es conocido como la variedad afín denida porf1, ..., fsy es denotada por V(f1, ..., fs). Un
sub-conjunto V ⊂ Kn es una variedad afín si V = V(f
1, ..., fs) para alguna familia de polinomios
f1, . . . , fs ∈K[x1, ..., xn].
Una variedad afín V ⊂ Kn puede describirse por muchos sistemas de ecuaciones. Si g =
p1f1+· · ·+psfs, dondepi ∈K[x1, ..., xn]son polinomios cualesquiera, entoncesg(a1, ..., an) = 0
en cada (a1, ..., an) ∈ V(f1, ..., fs). Así, para cualquier conjunto de ecuaciones dadas que
de-nen a una variedad, podemos siempre producir innitas sumas de polinomios que también se vuelven cero en la variedad.
Sea una variedad V ⊂Kn. Se dene el ideal de la variedad como:
I(V) ={f ∈K[x1, ..., xn]
f(a1, ..., an) = 0 para toda(a1, ..., an)∈V}
es decir, el ideal consiste en los polinomios que se hacen cero enV y no sólo los que generan a
la variedad.
Por lo anterior se genera una asociación
Variedad afín Ideal
De igual forma se puede dar un ideal en el anillo de polinomios y asociarle una variedad como sigue:
Sea I un ideal en K[x1, ..., xn]. Se dene la variedad asociada al ideal como
V(I) ={x∈Knf(x) = 0 para toda f ∈I}.
Por lo tanto, tenemos otra asociación:
Ideal Variedad afín
I −→ V(I)
El Teorema de la Base de Hilbert nos asegura que el ideal en K[x1, ...., xn] es nitamente
generado, por lo que se puede asegurar que la variedad V(I) (variedad afín) está generada por una cantidad nita de polinomiosf1, ..., fs∈I tal que I =hf1, ..., fsidondeV(I)es el conjunto
de las raíces en común de estosfi.
El problema de la asociación ideal-variedad es que no es uno a uno, pues el Teorema de los ceros de Hilbert [20] nos dice que dos ideales distintos pueden denir a la misma variedad, y es porque un polinomio y su potencia se vuelven cero en el mismo conjunto. Esto quiere decir que cualquier ideal dadoJ 6=I con √J =√I, cumpliría que V(I) =V(J). Ejemplo de esto es
V(hxi) =V(hx2i) ={0}.
Esto sugiere que existe una correspondencia uno a uno entre la variedad afín y el radical del ideal. Por lo tanto, la correspondencia ideal-variedad que es uno a uno está dada por:
Ideal radical Variedades afín
I ←→ V(I)
La cuestión ahora es saber cuál es el menor número de polinomios en el anillo necesarios para denir a la variedad. Esto nos lleva a denir el rango aritmético.
SeaRun anillo conmutativo Noetheriano con identidad. Decimos quer1, ..., rm ∈R generan
a un ideal I ⊂R hasta radical si
p
hr1, ..., rmi=
√
I
El problema de determinar el mínimo número de ecuaciones necesarias para denir la va-riedad asociada a un ideal monomial es abierto en general; como el valor ara(I) es difícil de encontrar podemos encontrar cotas, estas se darán a continuación.
Siµ(I) es el mínimo número de generadores paraI, entonces claramente se tiene que
ara(I)≤µ(I).
Además, si τ(I) es la altura máxima de los ideales primos minimales de I, se tiene como
una consecuencia del Teorema de Altura de Krull [20, Teo. 15.2] que:
τ(I)≤ara(I) En particular si ht(I) es la altura de I
ht(I)≤τ(I)≤ara(I).
Cuando ht(I) = ara(I), se dice que I es una intersección completa. En este caso se tiene la
igualdadht(I) = τ(I) =ara(I). Un idealI se dice que es una intersección casi completa
cuan-doµ(I) =ht(I) + 1.
Un ideal I ⊂ R es no mezclado o puro-dimensional si ht(I) = ht(P) para toda P ∈
AssR(R/I), es decir, todos los primos minimales de I tienen la misma altura.
El rango aritmético fue estudiado inicialmente por Schenzel y Vogel [21], Schmitt y Vogel [22] y Lyubeznik [17]. Cotas superiores para el rango aritmético también son obtenidas por Barile, construyéndolas sobre el trabajo de Schmitt y Vogel. El rango aritmético de todo ideal en el anillo de polinomios R = K[x1, ..., xn] es a lo más n [9], pues podría suceder que los
generadores sean más den.
Geometría algebraica
Sea R =K[x1, ..., xn] un anillo de polinomios sobre un campo algebraicamente cerrado K
y sea I un ideal monomial de R. Considerando la variedad V(I) denido en el espacio afín
Kn (o el espacio proyectivo PKn−1, si I es homogéneo y diferente del ideal maximal irrelevante)
denida por la nulidad de los polinomios enI. Por el teorema de la base de Hilbert la variedad
es nitamente generada. Por el teorema de los ceros de Hilbert I(V(I)) =phf1, ..., fsi. Si s es
mínimo con respecto a esta propiedad, entonces codim(V(I)) ≤ s. Si se tiene la desigualdad, V(I) se llama una intersección completa vía f1, ..., fs. Además, se puede escribir a la variedad
como:
es decir, como intersección de hipersupercies, lo cual simplica la forma de trabajar con la variedad. Por lo que determinar el mínimo número de ecuaciones que denen la variedad dada (ara), es un problema difícil en geometría algebraica.
Una mejor cota inferior para elara(I) está dada por la dimensión de la cohomología local, donde Lyubeznik probó que para cualquier ideal monomial libre de cuadrado, la dimensión cohomológica coincide con la dimensión proyectiva.
Relación con Dimensión Cohomológica y Dimensión Proyectiva
Por dimensión proyectiva (projdim(R/I)) de I entendemos la longitud de una resolución
libre minimal de R/I. Sea Hi
I(R)el i-ésimo módulo de cohomología local de R con respecto a
I. La dimensión cohomológica deI se dene como:
cd(I) =max{i |HIi(R)6= 0},
donde R es el anillo de polinomios K[x1, ..., xn]. Por [10] y [13] para todos los ideales I en un
anillo conmutativo Noetheriano se cumple:
cd(I)≤ara(I)
Por [18], para todos los ideales monomialesI libres de cuadrado se cumpleprojdim(R/I) =
cd(I). Por lo tanto
projdim(R/I) =cd(I)≤ara(I)
En [15] los autores mostraron que la igualdadara(I) = projdim(R/I)se cumple para idea-les monomiaidea-les libres de cuadrado con µ(I)−ht(I)≤2. También probaron que la igualdad se cumple paraµ(I)−projdim(R/I)≤1.
En generalprojdim(R/I)6=ara(I). Un ejemplo de esto lo encontró Yan [25]. Para un ideal
I mostró que ara(I) = 4 >3 =projdim(R/I) si char(K)6= 2 donde I es el ideal de
Stanley-Reisner de la triangulación del plano proyectivo con 6 vértices.
Capítulo 1
Álgebra conmutativa
En este capítulo se desarrolla un poco de teoría de ideales monomiales. Después se estudian los módulos graduados. Además, se expone al álgebra exterior y las resoluciones (especíca-mente resoluciones proyectivas) para luego conjuntar en la última sección donde presentamos la resolución de Lyubeznik.
Para empezar, revisaremos a los ideales monomiales, esto es, su forma y algunas propiedades. Además, el comportamiento de los generadores monomiales.
1.1. Ideales monomiales
Denición 1.1.1. Un monomio enR =K[x1, ..., xn] con K un campo, es un producto
xα1
1 x
α2
2 · · ·x
αn
n
con los αi enteros no negativos. Para abreviar se usa la notación xα con α = (α1, ..., αn) un
vector de exponentes en el monomio. El grado total de un monomio xα, deg(xα) es la suma
α1+· · ·+αn.
Llamamos Mon(R) al conjunto de monomios deR. Cualquier polinomio enRtiene una única
combinación lineal que se escribe de manera única como combinación lineal de monomios:
f = X
u∈M on(R)
auu con au ∈K
Denición 1.1.2. Se dene el soporte de un polinomio como el conjunto
supp(f) ={u∈M on(R)| au 6= 0}.
Para i ∈ N denotamos por Ri al K-espacio vectorial generado por todos los monomios de
grado i. En particular, R0 = K. Un polinomio p ∈ R es llamado homogéneo si p ∈ Ri para
algúni, en este caso decimos que deg(p) =i. Las siguientes dos propiedades son equivalentes:
1. RiRj ⊆Ri+j para todoi, j ∈N
2. deg(pq) =deg(p) +deg(q) para cualquiera dos elementos homogéneos p, q ∈R
La equivalencia es inmediata por las propiedades de los polinomios que ya conocemos.
Todo polinomio f ∈ R puede escribirse de forma única como una suma nita, es decir f =P
ifi tal quefi ∈Ri. En este caso afi se le llama componente homogéneo def de grado i.
Entonces tenemos una descomposición en suma directaR=L
i∈NRi deR como unK-espacio
vectorial tal que RiRj ⊆Ri+j para todo i, j ∈N.
Lema 1.1.4. Un ideal I de R lo llamamos homogéneo o graduado si satisface una de las
condiciones siguientes:
1. Si f ∈I, entonces toda componente homogénea de f está en I.
2. I =L
i∈NIi, donde Ii =Ri∩I.
3. Si I˜es el ideal generado por todos los elementos homogéneos de I, entonces I˜=I. 4. I tiene un conjunto homogéneo de generadores.
Demostración. La prueba puede verse en [23, Prop. 2.8.2] Los ideales monomiales pueden caracterizarse como:
Teorema 1.1.5. Sea N el conjunto de monomios que pertenecen a I. Entonces N es una
K-base de I.
Demostración. Los elementos de N son linealmente independientes por ser subconjunto de
M on(R). Entonces se demostrará que paraf ∈I un polinomio arbitrario se tiene quesupp(f)⊂ N, es decir, N es un conjunto de generadores del K-espacio vectorial I.
Seaf ∈I un polinomio arbitrario. Existen monomiosu1, ..., um ∈I y polinomiosf1, ..., fm ∈
R tal que f =Pm
i=1fiui. Entonces supp(f)⊂ ∪mi=1supp(fiui).
Como para cada i se tiene supp(fiui)⊂ N y como cada v ∈ supp(fiui) es de la forma wui
Corolario 1.1.6. SeaI ⊂R un ideal. Los siguientes enunciados son equivalentes:
1. I es un ideal monomial;
2. Para todo f ∈R se tiene: f ∈I si y sólo si supp(f)⊂I
Demostración.
1⇒2 : La prueba se tiene por 1.1.5.
2⇒1 : Sea f1, ..., fm conjunto de generadores de I. Como supp(fi)⊂I para todoi, se tiene que
∪m
i=1supp(fi) es un conjunto de generadores deI.
Generadores monomiales
El conjunto de monomios que pertenecen a I pueden describirse como:
Proposición 1.1.7. Sea {u1, ..., um} un conjunto de generadores del ideal monomialI.
Enton-ces los monomios v están en I si y sólo si existe un monomio w tal que v = wui para algún
i.
Demostración. ⇒ Supongamos que v ∈ I. Entonces existen polinomios fi ∈ S tal que v =
Pm
i=1fiui. Se sigue que v ∈ ∪
m
i=1supp(fiui) y por lo tanto v ∈ supp(fiui) para algún i. Esto
implica que v =wui para algún w∈supp(fi).
⇐Esta implicación es inmediata.
Para un ideal graduado, todos los conjuntos minimales de generadores tienen la misma cardinalidad. Para ideales monomiales tenemos lo siguiente:
Proposición 1.1.8. Cada ideal monomial tiene un único conjunto minimal de generadores monomiales. Es decir, siGdenota al conjunto de monomios enI que son minimales con respecto
a la divisibilidad, entonces G es el único conjunto minimal de generadores monomiales.
Demostración. La prueba se hace de forma usual al considerar dos conjuntos minimales. Denotamos al conjunto generador minimal como G(I)
Denición 1.1.9. Un ideal monomial xα es llamado libre de cuadrado si los componentes de
α están en el conjunto {0,1}. Sea u=xα un monomio. Fijamos
√
u= Y
i,α6=0 xi
Proposición 1.1.10. Sea I un ideal monomial. Entonces {√u|u ∈ G(I)} es un conjunto de
generadores de√I.
Demostración. Queremos probar que√I =h√u|u∈G(I)i. La inclusión⊇es inmediata,
enton-ces se demostrará⊆. Comop
(I)es un ideal monomial es suciente mostrar que cada monomio
v ∈√I es un múltiplo de algún √u con u ∈ G(I). De hecho, si v ∈ √I entonces vk ∈ I para
algúnk ≥0, y por lo tantovk =wupara algún u∈G(I) y algún monomio w.
Denición 1.1.11. Un idealIes llamado ideal monomial libre de cuadrado siIpuede generarse
por monomios libres de cuadrado. Como consecuencia se tiene:
Corolario 1.1.12. Un ideal monomial I es un ideal radical, es decir, I =√I, si y sólo si I es
un ideal monomial libre de cuadrado.
Como se sabe, una presentación del ideal I es de la formaI =∩m
i=1Qi. Es llamado
irredun-dante si ninguno de los idealesQi puede omitirse de la presentación.
Teorema 1.1.13. Sea I ⊂ R un ideal monomial. Entonces I = ∩m
i=1Qi, con cada Qi de la
forma (xαi1
i1 , ..., x
αik
ik ). Además la presentación es única.
Demostración. La prueba puede revisarse en [11].
Corolario 1.1.14. Un ideal monomial es irreducible si y sólo si es de la forma
Q= (xαi1
i1 , ..., x
αik ik ).
Demostración. Para ver la prueba ir a [11]
Observación 1.1.15. Entonces por 1.1.13 y 1.1.14 se tiene que cada ideal monomial tiene una única presentación como una intersección de ideales monomiales irreducibles.
Observación 1.1.16. Si I es un ideal monomial libre de cuadrado, se tiene que los ideales
mo-nomiales irreducibles que aparecen en la intersección de I son todos de la forma (xi1, ..., xik).
Así se tiene:
Descomposición primaria
Denición 1.1.18. Un ideal P es primo minimal de I, si I ⊂ P y no existe un ideal primo
conteniendo aI que esté propiamente contenido enP. Denotamos al conjunto de ideales primos
minimales deI por M in(I). Entonces se tiene lo siguiente:
Lema 1.1.19. Supongamos que I tiene una presentación irreduntante I =P1∩ · · · ∩Pm como
intersección de ideales primos, entonces M in(I) = {P1, ..., Pm}.
Demostración. Supongamos quePi no es un ideal primo minimal deI. Entonces existe un ideal
P con I ⊂ P, con P propiamente contenido en Pi. Como PjRPi = RPi para i 6= j y como
la localización conmuta se tiene que IRPi = PiRPi!! lo que contradice al hecho de que P RPi
contiene aIRPi y está propiamente contenido en PiRPi.
Por otro lado, siP es un ideal primo conteniendo aI, entoncesP1P2· · ·Pm ⊂P1∩· · ·∩Pm ⊂
P. Entonces uno de los Pi debe contener aP. Por lo tanto es un ideal primo minimal de I, por
lo que P =Pi
Combinando 1.1.17 y 1.1.19 se obtiene:
Corolario 1.1.20. Sea I ⊂R un ideal monomial libre de cuadrado. Entonces
I = \
P∈M in(I) P,
y cada P ∈M in(I) es un ideal primo monomial.
1.2. Módulos graduados
En la sección anterior vimos a los ideales graduados pero antes de avanzar a los módulos graduados daremos algunas propiedades de los anillos graduados.
Sean R=L
n≥0Rn un anillo graduado y R+ =⊕n≥1Rn.
Proposición 1.2.1. 1. R0 es un subanillo de R y cada Rn es un R0-submódulo de R.
2. R+ es un ideal de R y la composición R0 ,→ R → R/R+ es un isomorsmo de anillos R0 ∼=R/R+
Observamos queR0 es un subanillo de R que hace aR una R0-álgebra conmutativa.
Denición 1.2.2. Sean R y S anillos graduados. Un homomorsmo de anillos f :R →S se
dice graduado sif(Rn)⊂Sn para todo n.
Sean R un anillo graduado y M un R-mód. Una graduación en M es una descomposición
M = L
n∈ZMn de M como una suma directa de subgrupos Mn tal que RmMn ⊆ Mm+n para
todo m, n. Dicho módulo es llamado módulo graduado. Como R0Mn ⊆ Mn, cada Mn es un
R0-submódulo de M, llamada la componente homogénea de M de grado n y los elementos de Mn son llamados elementos homogéneos de grado n. Igual que en anillos cada x ∈ M tiene
una única expresión x = P
n∈Zxn con xn ∈ M para toda n. Expresión igualmente llamada
descomposición homogénea dex y xn es llamada la componente homogénea de xde grado n.
De igual forma para un R-homomorsmo de R-módulos M, N se dice que es graduado de
grado d si f(Mn)⊆Nn+d para todo n.
Como caso particular, sea R = K[x1, ..., xn] el anillo de polinomios en n variables con K
campo. Sea a ∈ Zn, entonces f ∈ R es llamado de grado homogéneo a si f es de la forma
cxa con c ∈ K. El anillo de polinomios R está obviamente
Zn-graduado con los componentes
graduados
Ra =
Kxa si a∈
Zn+
0 otro caso
1.3. Álgebra exterior
Álgebra tensorial
SeaRun anillo conmutativo con identidad yM unR-mód, para cada enterok ≥1denimos
Tk(M) = M⊗RM ⊗R· · · ⊗RM (k factores)
y jamos T0(M) = R. Los elementos de Tk(M)son llamados k-tensores. Denimos T(M) =R⊕T1(M)⊕T2(M)· · ·=
∞
M
k=0
Tk(M).
Todo elemento de T(M) es una combinación lineal nita de k-tensores para varios k ≥ 0. Identicamos a T1(M) con M, así M es un R-submódulo de T(M).
Teorema 1.3.1. [8, Teo. 31] Si M es un R-mód sobre el anillo conmutativo R, entonces
1. T(M) es una R-álgebra conteniendo a M con multiplicación dada por:
(m1⊗ · · · ⊗mi)(m01⊗ · · · ⊗m
0
j) = m1⊗ · · · ⊗mi⊗m01⊗ · · · ⊗m
0
j
2. (Propiedad universal) Si A es cualquier R-álgebra y ϕ es un homomorsmo de R-mód
entonces existe un único homomorsmo de R-álgebras Φ : T(M)→ A tal que Φ|M =ϕ,
es decir:
M A
T(M)
-ϕ
@ @
@@R
i
pp pp pp p
6
Φ
Denición 1.3.2. El anillo T(M) es llamado el álgebra tensorial de M.
Como Ti(M)Tj(M)⊆Ti+j(M), el álgebra tensorial está graduado naturalmente.
Álgebra Exterior
Denición 1.3.3. El álgebra exterior de un R-mód M es el R-álgebra obtenido por tomar el
cociente
T(M)/A(M)
con A(M) = hx⊗x|x∈Mi. El álgebra exterior T(M)/A(M) es denotada por V
(M) y m1∧ · · · ∧mk es la imagen natural de m1⊗ · · · ⊗mk bajo el homomorsmo sobreyectivo siguiente:
T(M) −→ V
(M)
m1⊗ · · · ⊗mk 7→ m1∧ · · · ∧mk.
Por [8, Prop.33] el álgebra exterior es graduada con la k-ésima componente homogénea
Vk
(M) = Tk(M)/Ak(M). Podemos identicar a V0
(M) con R y V1
(M) con M y así
consi-deramos a M como un R-submódulo de la R-álgebra V
(M). El R-mód Vk
(M) es llamado la
k-ésima potencia exterior.
Teorema 1.3.4. [8, Cap.11 Teo.36] Sea M un R-mód sobre un anillo conmutativo R y sea
V
(M) el álgebra exterior
1. La k-ésima potencia exterior de M, Vk
(M), es igual a M⊗ · · · ⊗M (k factores) módulo
el submódulo generado por todos los elementos de la forma
m1⊗ · · · ⊗mk donde mi =mj para algún i6=j
En particular
m1∧ · · · ∧mk = 0 si mi =mj para algúni6=j
2. (Propiedad universal) Si ϕ:M× · · · ×M →N es una aplicaciónk-multilineal alternante
entonces existe un único homomorsmo de R-mód Φ : Vk
(M) → N tal que ϕ = Φ◦i
donde:
i:M × · · · ×M −→ Vk
Tenemos para Vk
(M)
1. m1∧ · · · ∧mi∧ · · · ∧mj∧ · · · ∧mk =−m1∧ · · · ∧mj∧ · · · ∧mi∧ · · · ∧mk parai6=j con
i, j ∈ {1, ..., k}.
2. m1∧ · · · ∧mi∧ · · · ∧mj ∧ · · · ∧mk = 0 si mi =mj para i6=j con i, j ∈ {1, ..., k}.
Para nalizar podemos decir que siF es un módulo libre de rango k sobre un anillo
conmu-tativoR. Entonces Vk
(F)es libre de rango kl. En particular, sim1, ..., mk forman unaR-base
para F entonces los monomios
mi1 ∧ · · · ∧mil con i1 <· · ·< il
están en R y forman una base para Vl
(F).
1.4. Resoluciones
Denotaremos aXcomo unR-mód arbitrario. Una resolución proyectiva deXes una sucesión
exacta
C :· · · ∂- Cn+1 ∂ - Cn ∂ - Cn−1 ∂ - · · ·
deR-módulos tal que satisface:
1. C−1 =X
2. Cn= 0 para todon <−1
3. Cn es R-mód proyectivo para todo n≥0
En particular siCnes unR-mód libre para todon≥0entonces la sucesiónCse llama resolución
libre del móduloX.
Proposición 1.4.1. [12, Cap. 3, Prop. 1.1] Todo R-mód tiene una resolución libre.
Proposición 1.4.2. [12, Cap. 3, Teo. 1.4] Todo R-mód tiene una resolución proyectiva, y dos
resoluciones proyectivas del mismo módulo son equivalentes homotópicamente. Denición 1.4.3. Para una resolución proyectiva cualquiera
C : · · · - Cn+1 - Cn Cn−1 · · ·
∂n+1
-∂n
-de unR-mód X, denimos una sucesión descendente
e
C : · · · - Cen+1 - Cen Cen−1 · · ·
e
∂n+1
-e
∂n
˜
Cn=
Cn sin 6=−1
0 sin =−1 ∂˜n=
∂n sin >0
0 sin ≤0
Diremos que la sucesiónCe es una resolución proyectiva reducida del módulo X. Su utilidad es
debida a que todos los módulos en estas resoluciones son proyectivos.
Dimensión
Sea m un entero no menor que −1. Un R-mód X se dice que es de dimensión proyectiva
sobre R (o dimensión homológica sobre R) ≤ m si y sólo si existe una resolución proyectivaC
de X que satisface Cn = 0 para todo n > m. Si tal entero no existe, entonces el módulo X
se dice que es de dimensión proyectiva innita. El menor de tales enteros recibe el nombre de dimensión proyectiva sobreR del módulo X y se denota por
projdim(X)
1.5. Resolución de Lyubeznik
Sea R = K[x1, ..., xn] el anillo de polinomios en n variables sobre el campo K. A un ideal
monomial I podemos asignarle diferentes resoluciones y a su resolución minimal se le asigna
la dimensión proyectiva como vimos anteriormente. Existen en cambio muchas otras que no son necesariamente minimales, por ejemplo la resolución de Taylor, cuya longitud es igual al número de generadores del ideal, descubierta por Diana Taylor en 1960. Si I = hm1, ..., mµi
entonces su resolución de Taylor es:
T: 0 - Tµ - Tµ−1 · · · T0 R/I 0
dµ
-dµ−1
-d1
-
-donde
T0 =Re∅, Ts =
M
1≤i1<···<is≤µ
Rei1···is,
por lo que vemos que cada nodo es libre y graduado con los diferenciales denidos como
ds(ei1...is) =
s
X
j=1
(−1)j+1 lcm(yi1, ..., yis)
lcm(yi1, ...,ycij, ...yis)
ei
1...ibj...,is
donde lcm denota el mínimo común múltiplo y ei1...is (1 ≤ i1 < · · · < is ≤ µ) son elementos
base deTs llamados también símbolos y el grado del símbolo ei1...is está denido por
En 1988, Gennady Lybeznik [16] construyó una nueva resolución libre graduada de R/I
como un subcomplejo de la resolución de Taylor. A este complejo lo llamamos la Resolución de Lyubeznik, cuya longitud es menor que la longitud de Taylor, aunque no siempre se garantiza la minimalidad.
Los símbolos que generan la resolución de Lyubeznik del idealI =hm1, ..., mµise construyen
de la siguiente manera:
Sea 1 ≤ i1 < · · · < is ≤ µ. Si mq - lcm(mit, mit+1, ..., mis) para todo t < s y para
todo q < it, entonces el símbolo ei1i2...is se dice L-admisible
La resolución de Lyubeznik es la generada por todos los símbolos L-admisibles. Como ob-servación notamos que la resolución de Luybeznik depende del orden de los generadores. Teorema 1.5.1. [16, Lyubeznik 1988] El complejo
0 - Lf - Lf−1 · · · L0 0
df
-df−1
-d1
-forma una resolución libre de R/I, donde los Li están generados por todos los símbolos
admi-sibles de dimensión i.
Capítulo 2
Sobre el número de ecuaciones que denen
una variedad
Una cota superior trivial paraara(I)está dada por el númeroµ(I)de generadores del ideal. La cota superior puede ser mejorada si se puede construir un conjunto der < µ(I) elementos
f1, ..., fr de I tal que
√
I = phf1, ..., fri. El método de Schmitt-Vogel muestra que, en
mu-chos casos, esto se puede realizar tomando las fi de I para generar unos conjuntos con sumas
adecuadas de generadores monomiales de I. Este método no siempre nos permite construir un
conjunto de exactamente ara(I) elementos. Lo propuesto en el siguiente capítulo es conseguir la mejor cota para algunos ideales con una técnica de renamiento, es decir, se toman las fi
para hacer una combinación lineal de los generadores monomiales con coecientes adecuados que pueden ser diferentes de 1.
Se presentarán algunos ejemplos de ideales monomiales donde el número de ecuaciones denidas construidas de la forma mencionada es igual al rango aritmético, mientras que el mismo número no puede conseguirse por el método de Schmit-Vogel.
2.1. Un método para el cálculo del rango aritmético
Lema 2.1.1. [22, Schmitt-Vogel 1979] Sea P un subconjunto nito de R, y sea I el ideal
generado por P. Sea r ≥ 0 un entero. Asumimos que existen subconjuntos P0, ..., Pr de P tal
que las siguientes condiciones se satisfacen: (i) P =P0∪ · · · ∪Pr.
(ii) |P0|= 1.
(iii) Para cada l (0< l≤r) y para todoa, a00∈Pl con a 6=a00, existe un entero l0 (0≤l0 < l),
Si jamos
gl =
X
a∈Pl
a, l= 0,1, ..., r
entonces √I =phg0, g1, ..., gri.
Generalización del método Schmitt-Vogel:
Teorema 2.1.2. (Barile,1996) Sean R anillo local conmutativo, P un subconjunto nito de
elementos deR. Sean P0, ..., Pr subconjuntos de P. Para 0≤l≤r sea ci la cardinalidad de Pi.
Supongamos que
1.
r
[
i=0
Pi =P
2. c0 = 1
3. Para toda l, con 0< l≤r, existe un entero nl, 2≤nl≤cl, tal que siempre que p1, ..., pnl
sean distintos a pares de Pl, entonces p1· · ·pnl ∈(p
0) para algúnp0 ∈P
l0, l0 < l. Para toda l, 0 < l≤ r, sea Al = (a(l)
ij ) una matriz (nl−1)×cl con entradas en R. Sea
P0 ={p0} yPl={p(1l), ..., p (l)
cl}, para 0< l ≤r. Fijemos
gi(l)=
cl
X
j=1
a(ijl)pj(l) (1≤i≤nl−1)
y sea J el ideal generado por p0 y todos los elementos g (l)
i (0 < l ≤ r, 1 ≤ i ≤ nl−1).
Entonces p
hPi=√J, donde hPi denota al generado por todos los elementos de P.
Al=
a(1l,)1 a1(l,)2 · · · a(1l,c)l a2(l,)1 a(2l,)2 · · · a(2l,c)
1
... ... ... ...
a(nl)
l,1 a
(l)
nl−1,2 · · · a
(l)
nl−1,cl
AlPl =
a1(l,)1 a(1l,)2 · · · a(1l,c)
l
a(2l,)1 a2(l,)2 · · · a(2l,c)1
... ... ... ...
a(nll),1 a(nll)−1,2 · · · a(nll)−1,cl
p(1l) p(2l)
...
p(cll)
=
g(1l) g(2l)
...
gn(ll)−1
con J =hp0, g (l)
i
0< i≤nl−1, 0< l≤ri
Demostración. Queremos demostrar que
p
hPi=√J
⊇ Como cada elemento de J es combinación lineal de elementos de P se tiene J ⊆ phPi lo
que implica √J ⊆p
hPi.
⊆ Fijamos unl con 0< l≤r, y seap∈Pl. Basta demostrar que alguna potencia dep está en
J. Se procedera por inducción en l.
Paral = 0, se tiene P0 ={p0}que, por denición se encuentra enJ, por lo tanto se tiene lo
deseado.
Supongamos cierto para 0 < l0 < l y armamos que es verdad para l. Sin perdida de
generalidadP =Pl. Podemos asumir quep=p
(l)
1 . Para simplicar, tomaremosp1 =p (l)
1 ,c=cl,
n=nl, A=Al, aij =a
(l)
ij y gi =g
(l)
i .
Primero armamos que si
µ=p1pk22· · ·pkcc con ki ≥0 y k2+· · ·+kc=n−1
entonces µestá en √J. En efecto, jamos k1 = 1 y sea t =t(µ) la cardinalidad de {i|ki = 1},
con 1≤t ≤n. Se usará inducción descendente sobre t para mostrar que µ∈√J.
Caso t=n. Se tiene µ=p1pi2· · ·pin para algunos índices 1< i2 <· · ·< in ≤ c, es decir,
se quitan los ps para los cuales ks = 0 y quedan los ks = 1. En el inciso (3) del teorema 2.1.2
tenemos garantizado que existe un p0 ∈ Pl0 con p1· · ·pi
n ∈(p
0) y l0 < l. Además, por hipótesis de inducción tenemos que los p0 ∈ Pl0 con l0 < l están en
√
J es decir, p0 ∈ √J, por lo tanto µ=p1· · ·pin ∈
√
J.
Caso t≤n−1.Como k1+· · ·+kc=n se tiene quet < n−1. De sert =n−1, entonces
reordenando
k1 =· · ·=kt=n−1
c
X
i=1
ki =n
lo que implicaría queki = 1 para algún t < i≤c.
Caso t<n−1. Supongamos ahora que la armación es cierta para valores mayores a t.
Entonces sean
índices tales que kj2 = · · · = kjt = 1 tal que kjt+1 > 1 para jt+1 ∈ {/ 1, j2, ..., jt}. Ahora sea
A0(n−1)×(n−1) submatriz deA(n−1)×c que contiene a las columnas con los índices 1, j2, ..., jt, jt+1,
es decir:
A0 =
1 j2 . . . jt jt+1 a1,1 a1,j2 · · · a1,jt a1,jt+1
... ... ... ... ...
an−1,1 an−1,j2 · · · an−1,jt an−1,jt+1
Como det(A0) es un menor maximal entonces es invertible. Además, como R es local,
en-tonces una de las entradas de la jt+1−ésima columna de A0, digamos au,jt+1 es invertible. Sin
perdida de generalidad la matriz A puede ser reemplazada por cualquier otra obtenida de A
por medio de operaciones de la elementales pues ello mantiene sin cambio aJ. Así, asumimos
que todas las entradas de la la u−ésima deB ∼A0 son 0, excepto por au,jt+1. Después de
re-nombrar las columnas deApodemos asumir, para simplicar que j2 = 2, ..., jt =t, jt+1 =t+ 1,
entonces
B =
1 2 . . . t t+ 1 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 au,t+1
... ... ... ...
Entonces reescribiendoA= [B| · · ·] se tiene
AP = ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 · · · 0 au,t+1 bu,t+2 · · · bu,c
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... p1 ...
pt+1
... pc
Con lo que podemos denir
gu = c
X
j=1
au,jpj = c
X
j=t+1 au,jpj
gu− c
X
j=t+2
au,jpj =au,t+1pt+1
por lo tanto
pt+1 =a−u,t1+1 gu−
Pc
j=t+2au,jpj
Por lo que al sustituir
µ = p1p2· · ·pkt+1
t+1 p
kt+2
t+2 · · ·pkcc
= p1p2· · ·pt+1a 1−kt+1
u,t+1 gu− c
X
j=t+2 au,jpj
kt+1−1
pkt+2
t+2 · · ·p
kc
c
= ωgu+ (−1)kt+1−1a1
−kt+1
u,t+1 p1p2· · ·pt+1
Xc
j=t+2 au,jpj
kt+1−1
pkt+2
t+2 · · ·p
kc
c ,
Para algún ω ∈ R. El segundo sumando de la última expresión es una combinación lineal de
productos de la forma
ν =p1p2· · ·pt+1p
ht+2
t+2 · · ·p
hc
c (hi ≥0)
Comot(ν)≥t+ 1para todos los ν, tenemos por la hipótesis de inducción donde se cumplía lo
deseado para valores mayores a t que µ∈√J.
Se desea mostrar que la potencia de un elemento de P está en √J. Como A= [B· · ·] y el menor consiste de todas las n−1 columnas, entonces es invertible, por lo que en la primera columna existe un elemento invertible sea esteav,1 con v 6=u, puesto que au,1 = 0
pn1 = a1v,−1np1
gv− c
X
j=2 av,jpj
n−1
= zgv + (−1)n−1a1v,−1np1
c
X
j=2 av,jpj
n−1
por lo quepn1 ∈J por lo que p1 ∈
√
J.
2.2. Aplicaciones
Se darán ejemplos concretos para la aplicación de 2.1.2. Esto nos da la oportunidad de estudiar ciertos aspectos cohomológicos de los ideales monomiales. Antes que todo recordamos la construcción explícita de la resolución de Lyubeznik, para cualquier ideal monomial.
Sea K un campo y consideramos el anillo de polinomios R = K[x1, ..., xn]. Sean µ1, ..., µf
sucesión ordenada def monomiales en lasxi's. El ideal generado por lasµ1, ..., µf se llama ideal
monomial.
Denición 2.2.1. Para todas las sucesiones(i1, ..., it) donde 1≤i1 <· · ·< it ≤f, el símbolo
u(i1, ..., it) lo consideraremos dimensión l-admisible t si para todo h < t y q < ih, donde lcm
Observación 2.2.2. Si u(i1, ..., it) es l-admisible de dimensión t, entonces u(i1, ...,ibj, ..., it) es
l-admisible de dimensión t−1.
Sea L0 = R y para todos los t = 1, ..., f, sea Lt el R-módulo libre generado por todos los
símbolosL-admisibles de dimensión t. Denimos la aplicación dt:Lt→Lt−1 por
dt(u(i1, ..., it)) = t
X
j=1
lcm(µi1, ..., µit)
lcm(µi1, ...,µcij, ..., µit)
u(i1, ...,ibj, ..., it)
Denición 2.2.3. Sea I un ideal en un anillo conmutativo Noetheriano R. Sea Hi
I(R) el i
-ésimo módulo de cohomología local de R con soporte en I. La dimensión cohomológica de I
está denida para ser el natural
cd(I) = max{i | HIi(R)6= 0}
Para los siguientes ejemplos supondremos queRes el anillo de polinomiosR =K[x1, ..., xn],
dondeK es un campo innito. Hartshorne [10] observó que para todos los idealesI en un anillo
conmutativo Noetheriano cd(I) ≤ ara(I). Para todos los ideales monomiales I se tiene que cd(I) = projdim(R/I) dóndeprojdim(R/I) denota a la dimensión proyectiva deI, es decir, la
longitud de una resolución libre minimal deR/I. En muchos casos calcularemos projdim(R/I) por exponer una resolución de Lyubeznik de I que es minimal. Se usará el teorema 2.1.2 para
construir projdim(R/I) elementos generadores de I hasta el radical. De esta forma se probará
queara(I) = projdim(R/I).
Proposición 2.2.4. Sea P ={µ1, ..., µs}, donde los µi 6=µj con i6=j son monomios libres de
cuadrado de R. Supongamos que para algún entero positivo m < s, el elemento µ1 divide cada
producto µi1· · ·µim, 2 ≤ i1 < · · · < jt ≤ s. Además para todo j, 1 ≤ j ≤ s, el monomio µj
cumple lo siguiente:
no divide a µj1· · ·µjt, para todas las posibles elecciones de t < m y de
1≤j1 <· · ·< jt≤s, (j 6=jν).
Sea I =hPi. Entonces ara(I) =m.
Demostración. Queremos probar queara(I) = mpor lo tanto se probará la primera desiguldad
(≤) Podemos aplicar el teorema 2.1.2 a los subconjuntos
con n1 = m pues por hipótesis cualquier producto de µ1 sería un múltiplo de P0. Sea A = (aij) una matriz (m−1)×(s−1)con entradas en R cuyos menores maximales son
todos invertibles. Entonces se tiene
I =
v u u t D
µ1,
s−1
X
j=2
a1,jµj, ..., s−1
X
j=2
am−1,jµj
E
Por lo tanto I puede ser generado por m elementos hasta el radical. Por lo tanto se tiene
lo deseado.
(≥) Basta demostrar que I tiene una resolución de Lyubeznik que es libre y minimal de
lon-gitud m, así m=projdim(R/I) =cd(I)≤ara(I).
Consideramos la resolución de Lyubeznik para µ1, ..., µs. Armamos que u(i1, ..., it) es
l-admisible si y sólo si i1 = 1.
(⇒) Supongamos que ih 6= 1. Como u(i1, ..., it) es l-admisible, implica que para todo
h < m y para toda q < ih se tiene µq - lcm(µih, ..., µit). En particular para h = 1 y
suponiendo que q = 1< ih se tiene que µ1 -lcm(µi1, ..., µih), pero µ1|µi1· · ·µih pues
son monomios libres de cuadrado. Por lo tanto 1 = i1.
(⇐) Sea h < m y q < ih, por demostrar que µq -lcm(µih, ..., µim).
Caso h >1 : Por la segunda parte de las hipótesis en la proposición µq -µih· · ·µim, y por ser
libres de cuadrado se tiene que µq -lcm(µih, ..., µim)
Caso h= 1 : Así ih =i1 = 1, no hay algo que probar.
Por la primer hipótesis de la proposición no existen símbolos l-admisibles de dimensión t > m. Por lo tanto, la resolución de Lyubeznik para µ1, ..., µs tiene longitud m. Por lo
anterior tiene que ser minimal. Por lo que m=projdim(R/I).
Ejemplos
Ejemplo 2.2.5. Para todo n ≥ 3 sea In el ideal de R = K[x1, ..., x2n−2] generado por los
siguientesn monomios:
µ1 =x1· · ·xn−1, µ2 =x1xn, µ3 =x2xn+1, . . . , µn =xn+1xn+2
Veamos que valores generan al ideal In. Usemos las hipótesis de la proposición 2.2.4, para
ello, pongamos
Vemos que µ1 divide solamente al producto µ2· · ·µn pero si le quitamos algún valor µ1 ya
no lo divide, por lo tanto nuestro entero positivo m < n que cumple con los requisitos de la
proposición es m = n−1. Entonces, por las hipótesis de la proposición anterior tenemos que
ara(In) = n−1. Como P1 tiene cardinalidad n−1, la matriz Al = A1 = A es de dimensión
(n−2)×(n−1).
Como se había hecho en la prueba de 2.1.1, podemos usar una matriz con entradas en el anillo
R tal que sus menores maximales sean invertibles, además, como no afectan las operaciones de
reducción por las podremos usar la matriz
An=
1 0 0 · · · 0 1
0 1 0 · · · 0 1
... ... ... ... ... ...
0 0 0 · · · 1 1
Pues la matriz satisface lo asumido en 2.1.1, por lo tanto al multiplicar se obtiene:
AnP1 =
1 0 0 · · · 0 1
0 1 0 · · · 0 1
... ... ... ... ... ...
0 0 0 · · · 1 1
µ2 µ3 ... µn =
µ2+µn
µ3+µn
...
µn−1 +µn
Así, aplicando el teorema 2.1.2 tenemos que
In =
p
hx1· · ·xn−1, x1xn+xn−1x2n−2, x2xn+1+xnx2n−2, ..., xn−2x2n−3+xn−1x2n−2i.
El siguiente ejemplo muestra que no para todos los ideales se puede usar la proposición anterior.
Ejemplo 2.2.6. Para todo n ≥ 3 sea Un el ideal de R = K[x1, ..., x2n+1] generado por los
siguientesn+ 2 monomios:
µi = x1x2x2i+1x2i+2, i= 1, ..., n−1 µn = x1x3x5· · ·x2n−1x2n+1,
µn+1 = x1x4x6x8· · ·x2n−2x2nx2n+2, µn+2 = x2x3· · ·x2nx2n+1
Se observa que el teorema 2.1.2 puede ser aplicado a los subconjuntos
Como el producto de cualquiera n elementos de P1 es un múltiplo de µ1 (pues cada variable x1, x2, x3, x4 aparece en al menos dos diferentes monomiosµj, con2≤j ≤n+ 2). Se obtiene la
resolución minimal de Lyubeznik de Un correspondiente a la sucesión µ1, ..., µn+2 de longitud n:
L1 =
n+2
M
i=1 Ru(i)
L2 = M
1≤i1<i2≤n+1
Ru(i1, i2)⊕Ru(1, n+ 2)
L3 = M
1≤i1<i2<i3≤n+1
(i2,i3)6=(n,n+1)
Ru(i1, i2, i3)⊕Ru(1, n, n+ 1)
Lt = M
1≤i1<···<it≤n+1
(it−1,it)6=(n,n+1)
Ru(i1, ..., it), para 4≤t≤n
Entoncesara(Un) = npara toda n yUn puede ser generado porncombinaciones K-lineales de
µ1, ..., µn+2 hasta el radical.
En el siguiente ejemplo se usa el programa MACAULAY para el cálculo de la dimensión proyectiva. Por lo tanto, tenemos que jar la característica de K: la jamos igual a 0. En el cálculo del rango aritmético del ideal en el siguiente ejemplo tenemos que aplicar el teorema 2.1.2 para r >1.
Ejemplo 2.2.7. SeaI ideal de R=K[x1, ..., x12] generado por los siguientes 8 monomios
µ1 =x1x2x3, µ2 =x1x4x5x6, µ3 =x2x7, µ4 =x3x8, µ5 =x1x9 µ6 =x4x10, µ7 =x5x11, µ8 =x6x12
y sean
P0 = {µ1},
P1 = {µ2, µ3, µ4}, P2 = {µ5, µ6, µ7, µ8}.
Vemos que para P1 el entero n1 = 3 pues solamente el producto de los tres elementos de P1
es múltiplo de µ1, además su cardinalidad c1 = 3. Para P2 el entero n2 = 4 pues solamente el
producto de los cuatro elementos es múltiplo de algún elemento enP1, con cardinalidadc2 = 4.
Por lo tanto, tenemos nuestras matrices como
A1 =
1 0 1 0 1 1
, A2 =
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1
Se obtiene queI está denido por 6 elementos hasta el radical.
Notamos que una de las resoluciones de Lyubeznik de I es minimal. Para el cálculo de la
dimensión cohomológica se usa el programa MACAULAY, este daprojdim(R/I) = 6, entonces
ara(I) = 6.
El último ejemplo muestra que el número de elementos encontrados por medio del teorema 2.1.2 en general depende de la elección de subconjuntos P0, ..., Pr.
Ejemplo 2.2.8. Sea R =K[x1, ..., x12]. Sea I el ideal de R generado por los siguientes
mono-mios:
µ0 =x1x2x3x4x5x6, µ1 =x1x2x3x7, µ2 =x2x3x4x8,
µ3 =x1x4x5x9, µ4 =x2x5x6x10, µ5 =x3x5x6x11, µ6 =x1x4x6x12
Primero tomamos:
P0 = {µ0},
P1 = {µ1, µ3, µ5}, P2 = {µ2, µ4, µ6}.
Se aplica el teorema 2.1.2 para n1 =n2 = 3 y se obtiene 1 + 2 + 2 = 5elementos deniendo a I hasta el radical. Pero si se toma:
P0 ={µ0}, P1 ={µ1, µ2, µ3, µ4, µ5, µ6},
el teorema 2.1.2 lo podemos aplicar para n1 = 4 tomando
A1 =
1 0 0 1 a b
0 1 0 1 b a
0 0 1 1 1 1
Donde a, b∈K,a, b6={0,1}, a2 =6 b2 y a2−b2−2a+ 2b 6= 0, entonces se obtiene
I =phµ0, µ1+µ4+aµ5+bµ6, µ2+µ4+bµ5+aµ6, µ3+µ4+µ5+µ6i.
Por otro lado si se puede mostrar que projdim(R/I) = 4, entoncesara(I) = 4
Observación 2.2.9. Para un ideal monomial I en K = [x1, ..., xn] estamos lejos de considerar
la variedad afín asociadaV(I): las ecuaciones denidas encontradas por medio de 2.1.1 no son necesariamente homogéneas. Pero existe un idealI0 generado por monomios que tienen todos el
mismo grado, que tiene el mismo radical comoI. Si aplicamos 2.1.1 enI0 se obtiene un conjunto
Capítulo 3
Ideales cuyo radical es un ideal monomial
Se desarrolla un método general para construir un ideal polinomial que tiene el mismo radical que un ideal monomial dado, pero con menos generadores. Esto proveé una cota superior para el rango aritmético de ideales monomiales. Se trabaja con el caso Schmitt-Vogel pero los generadores se dan de forma diferente al capítulo anterior.
3.1. Antecedentes
Lema 3.1.1. [22, Schmitt-Vogel 1979] Sea P un subconjunto nito de elementos de R. Sea P0, ..., Pr un subconjunto de P tal que
1.
r
[
i=0
Pi =P
2. P0 tiene exactamente un elemento
3. Si p y p00 son elementos diferentes de Pl (0 < l ≤r) existe un entero l0 con 0≤ l0 < l y
un elemento p∈Pl0 tal que pp00 ∈ hp0i Fijamos a ql =Pp∈Plp
e(p), donde e(p) ≥1 son enteros arbitrarios. Escribimos hPi al ideal de R generado por los elementos de P. Entonces obtenemos
p
hPi=phq0, ..., qri
Aplicamos este lema al anillo de polinomios R = K[x1, ..., xn] donde K es un campo, para
calcular cotas superiores para el rango aritmético de ideales generados por monomios, es decir, por productos de indeterminadas.
Ahora para los símbolos L-admisibles denimos un orden y haremos uso nuevamente de la
Observación 3.1.2. Denimos un orden parcial en el conjunto de símbolos:
u(ii1, ..., ijs)≤u(i1, ..., it)
siempre que {ii1, ..., ijs} ⊆ {i1, ..., it}. De forma evidente, si el símbolo mayor es admisible
también lo serán los símbolos más pequeños. Ahora, supongamos que u(i1, ..., it) es admisible,
entonces se tiene:
(3.1) lcm(µi1, ..., µit)6=lcm(µi1, ...,µˆij, ..., µit) para todo j = 1, ..., t
si y sólo si para todo j = 1, ..., t
µij -lcm(µi1, ...,µˆij, ..., µit)
Si (3.1) sucede, entonces también para los símbolos admisibles más pequeños de u(i1, ..., it).
Como una consecuencia, la resolución de Lyubeznik es minimal sí y sólo si (3.1) sucede para todos los símbolos admisibles maximales.
Como el rango aritmético es el mismo hasta el radical, podemos restringirnos a ideales ge-nerados por monomios libres de cuadrado y lo podremos ver por lo siguiente:
Proposición 3.1.3. Sean xα = xα1
1 · · ·xαnn para toda αi ≥ 0 y x¯ = x1· · ·xn, probaremos que
xα∈√I si y sólo si x¯∈√I.
Demostración:
(⇐) Sea x¯∈√I, entoncesx¯·xαi1−1
i1 · · ·x
αik−1
ik para todais con αis ≥2, entoncesx
α ∈√I
(⇒) Sean xα ∈ √I, m = máx {αi} y x¯m = xαxβ ∈
√
I lo que implica (¯xm)p ∈ I por lo que
¯
xmp ∈√I.
Sobre el conjunto de monomios libres de cuadrado deRpodemos considerar el orden parcial
dado por divisibilidad.
3.2. Un criterio libre de característica
Proposición 3.2.1. Sean I un ideal de R generado por monomios libres de cuadrado y sea N
un entero positivo. Se dene
Γ1(I) = {generadores minimales de I}
y para todo i= 2, ..., N −1
Γi(I) ={todos los elementos minimales de Gi(I)}
con
Gi(I) ={lcm(µ, ν)
µ, ν ∈Γi−1(I), µ6=ν}
Si Γi−1(I) tiene solo un elemento, entonces Gi(I) = Γi−1(I). Sea µ0 = gcm
µ∈GN(I)
µ
Si µ0 ∈I entonces
I =
s D
µ0,
X
µ∈ΓN−1(I)
µ, ..., X
µ∈Γ1(I)
µE
En partícular, ara(I)≤N.
Demostración. Es suciente aplicar (3.1.1) a los P conjuntos:
P0 =µ0, Pi = ΓN−i(I), i= 1, ..., N −1.
Observación 3.2.2.
1. Como vemos µ0 puede describirse como el producto de todas las indeterminadas que
aparecen en ΓN−1(I), menos una.
2. El conjunto Γi(I)puede ser reemplazado por cualquier conjunto de monomios que
perte-necen a I tal que todo elemento enGi(I) es un multiplo de alguno de ellos.
3. En cualquier caso, los polinomios que denen a I hasta el radical pueden hacerse
homo-géneos dando a las indeterminadas exponentes adecuados. Ejemplo 3.2.3. SeaF =K[x1, ..., x7] y el ideal
Entonces:
Γ1(I) = {x1, x5, x2x5, x3x5, x3x6, x3x7, x1x4x6, x1x4x7, x2x4x6, x2x4x7},
Γ2(I) = {x1x2x5, x1x3x5, x2x3x5, x3x5x6, x3x5x7, x3x6x7
x1x2x4x6, x1x2x4x7, x1x3x4x6, x1x3x4x7, x1x4x5x6, x1x4x5x7, x1x4x6x7, x2x3x4x6, x2x3x4x7, x2x4x5x6, x2x4x5x7, x2x4x6x7}
Γ3(I) = {x1x2x3x5, x1x3x5x6, x1x3x5x7, x2x3x5x6, x2x3x5x7, x3x5x6x7,
x1x2x3x4x6, x1x2x3x4x7, x1x2x4x5x6, x1x2x4x5x7, x1x2x4x6x7, x1x3x4x6x7 x1x4x5x6x7, x2x3x4x6x7, x2x4x5x6x7}
Γ4(I) = {x1x2x3x5x6, x1x2x3x5x7, x1x3x5x6x7, x2x3x5x6x7, x1x2x4x5x6x7, x1x2x3x4x6x7} µ0 =x1x2x3x5x6x7 ∈I.
Se sigue que ara(I) ≤ 5 con char(R) = 0, los cálculos muestran que projdim(R/I) = 5, entoncesara(I) = 5.
Proposición 3.2.4. Supongamos que algún generador minimal µ de f divide a todos los
pro-ductos αβ donde α y β son elementos minimales distintos del conjunto
{lcm(σ1, ..., σN−1)
σ1, ..., σN−1 son elementos distintos de Γ1(I)\ {µ}}.
Entonces ara(I)≤N.
Demostración. Sea Γ01(I) la suma de todos los elementos de Γ1(I)− {µ} y para todos los i= 2, ..., N −1 seaΓ0i(I) = {lmc(µji, ..., µji)
µji ∈Γ1(I)}. Luego se dene
γi(I) =
X
x∈Γi(N)
x, 1≤i≤N −1.
Entonces tomamos
P0 = {µ}, Pi = ΓN−1(I).
Por lo tanto √
I =phµ0, γ1, ..., γN−1i.
Observación 3.2.5. Este resultado generaliza a la proposición (2.1.2). De acuerdo a esta pro-posición, ara(I) ≤ N si algún generador minimal divide a todos los productos de los otros
generadores minimales. Esta condición, siI es un ideal monomial libre de cuadrado, claramente
Ejemplo 3.2.6. Se aplica la proposición 2.2.8 el anilloR =K[x1, ..., x12] con el ideal
I = (x1x2x3x4x5x6, x1x2x3x7, x2x3x4x8, x1x4x5x9, x2x5x6x10, x3x5x6x11, x1x4x6x12)
tal que la intersección de ideales primos es de altura 3 y 4, entonces se tiene que:
I =Rad(x1x2x3x4x5x6, x1x2x3x7+x2x5x6x10+ax3x5x6x11+bx1x4x6x12, x2x3x4x8+x2x5x6x10+bx3x5x6x11+ax1x4x6x12,
x1x4x5x9+x2x5x6x10+x3x5x6x11+x1x4x6x12),
si a, b ∈ K − {0,1} son tales que a2 6= b2 y a2−b2 −2a+ 2b 6= 0. Dichos elementos siempre
existen siK es un campo innito. El método presentado en (3.2.4) nos encuentra 4 polinomios f1, f2, f3, f4 tal que I =
p
hf1, f2, f3, f4i sobre cualquier campo K. Los polinomios f1, f2, f3 y f4 son los siguientes:
f1 = µ=x1x2x3x4x5x6
f2 = x1x2x3x7+x2x3x4x8+x1x4x5x9+x2x5x6x10+x3x5x6x11+x1x4x6x12 f3 = x1x2x3x4x7x8+x1x4x5x6x9x12+x2x3x5x6x10x11+x1x2x3x4x5(x7+x8)x9
+x1x2x3x4x6(x7+x8)x12+x1x2x3x5x6(x10+x11)x7+x1x2x4x5x6(x9+x12)x10
+x1x3x4x5x6(x9+x12)x11+x2x3x4x5x6(x10+x11)x8
f4 = x1x2x3x4x5x6
x7 x8(x10+x11) +x9(x10+x11+x12) + (x10+x11)x12
+x8 x9(x10+x11+x12) + (x10+x11)x12
+x10(x9+x12)x11
+x1x2x3x4x5x7x8x9+x1x2x3x4x6x7x8x12+x1x2x3x5x6x7x10x11
+x1x2x4x5x6x9x10x12+x1x3x4x5x6x9x11x12+x2x3x4x5x6x8x10x11.
En la resolución de Lyubeznik correspondiente a la sucesión de generadores minimales dada anteriormente, los símbolos admisibles maximales son las sucesiones formadas porx1x2x3x4x5x6
seguidos de todos los generadores restantes que no contienen indeterminadas jas xi, para
i= 1, ...,6. Para todo i, existen exactamente 4 dichos generadores. Por lo tanto, la
correspon-diente resolución de Lyubeznik tiene longitud 4. Es minimal por la observación (3.1.2), entonces
projdim(R/I)=4. Se tiene entonces que ara(I)=4.
El siguiente ejemplo muestra que lo asumido en (3.2.4) es más débil que lo asumido en la (2.1.2).
Ejemplo 3.2.7. En R=K[x1, ..., x7] consideramos el ideal
Tenemos
Γ1(I) ={x1x5, x2x3, x3x4, x3x5, x1x2x7, x1x4x7, x2x5x6, x2x5x7}
Sea
µ=x2x3
El conjunto de los mínimos común múltiplos minimales de 3 elementos deS es γ3(I) = {x1x2x3x5x6, x1x3x5x7, x1x3x4x5, x2x3x4x5x6, x2x3x4x5x7,
x2x3x5x6x7, x1x2x3x4x7}
El producto de cada dos de ellos es un múltiplo deµ. Por lo tanto la proposición (3.2.4) garantiza
queara(I)≤4. Cuatro ecuaciones denidas pueden ser obtenidas considerando
γ2(I) = {x1x3x5, x1x2x5x7, x1x4x5x7, x1x2x5x6, x2x3x5x6, x2x3x5x7, x3x4x5, x1x3x4x7, x1x2x4x7, x2x5x6x7}
Otra vez en char(R) = 0, projdim(R/I) =4, entonces ara(I)=4. La misma cota superior no puede derivarse de (2.1.2), pues ninguno de los elementos deΓ1(I)es un divisor de los productos
de los elementos restantes tomados de 4 por 4. De hecho, todo elemento divisible por x1, x2 ó x3, pero existen 4 elementos no divisibles porx1, 4 no divisibles porx2 y 4 no divisibles porx3.
Observación 3.2.8. En el ejemplo (3.2.6) el método de Schmitt y Vogel sólo funciona para una cota superior ara(I) ≤ 7, como ninguno de los generadores minimales divide al producto de otros dos: aquí vemos que el otro método es más eciente. Pero ese no siempre es el caso como se verá a continuación
Ejemplo 3.2.9. En el anilloR =K[x1, ..., x7]. Sea I el ideal
I = (x1, x2)∩(x1, x3)∩(x1, x4)∩(x2, x3, x4)∩(x2, x3, x7)∩(x2, x4, x6)∩(x3, x4, x5) = (x1x2x3, x1x2x4, x1x3x4, x2x3x4, x1x2x5, x1x3x6, x1x4x7)
El método de Schmitt-Vogel nos da
I =phx1x2x3, x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4, x1x2x5+x1x3x6+x1x4x7i
y la cota superior es ara(I)≤3, (projdim(R/I) = 3 en char(R) = 0) mientras que Γ2(I) ={x1x2x3x4, x1x2x3x5, x1x2x3x6, x1x2x4x5, x1x2x4x7, x1x3x4x6, x1x3x4x7}
y
gcm
µ∈G3
=x1 ∈/ I.
Por otro lado
Γ3(I) = {x1x2x3x4x5, x1x2x3x4x6, x1x2x3x4x7, x1x2x3x5x6, x1x2x4x5x7, x1x3x4x6x7}
de donde
gcd
µ∈G4
µ=x1x2x3x4 ∈I,
Apéndice
Resolución de Lyubeznik
Sea I un ideal monomial en R=K[x1, ..., xn] y
0 - ⊕jR(−j)βpj - · · · - ⊕jR(−j)β0j - I - 0
una resolución libre minimal graduada deI sobre R. Aquípes llamada la dimensión proyectiva
de I sobreR y denotado por projdim(R/I). Por lo tanto
0 - ⊕jR(−j)βpj - · · · - ⊕jR(−j)β0j - R - R/I - 0
es una resolución libre minimal graduada deR/I sobre R. Entonces tenemos que:
1. projdim(R/I) = projdim(I) + 1, 2. La graduación R(−j) = L
i=0R(−j)i está dada por R(−j)i =R−j+i
3. Escribimos βi = Pjβij y si I = hm1, ..., mri con deg(mi) =ai para i = 1, ..., r tenemos
que β0(I) = µ(I) y β0j =
{µi|ai =j}
Si el orden de los generadores minimales esm1 <· · ·< mry tomamos a todas las sucesiones
de índices (i1, ..., it) donde 1 ≤ i1 < · · · < it ≤ r los símbolos u(i1, ..., it) son llamados L
-admisibles si cumplen:
para todo h < t y q < ih se tiene que mq -lcm(mih, ..., mit)
Tenemos entonces que los símbolos admisibles serán los elementos básicos que generarán a cada nodo de la resolución de Lyubeznik.
β0j u(i1), todos los generadores minimales deI
β1j u(i1, i2)símbolos admisibles tamaño t = 2 con j =deg(lcm(µi1µi2))
... ...
βrj u(i1, ..., ir+1) símbolo admisible con j =deg(lcm(µi1, ..., µir+1))
... ...
βpj u(µ1, ..., µp+1)símbolo admisible con j =deg(lcm(µi1, ..., µp+1))
Debemos tener claro que el recorrimiento que se hace al tomar la resolución del ideal I y del
cociente R/I hace que los símbolos básicos puedan tener una alteración al nodo asignado, es
decir:
βtj(R/I) =βt−1j(I) =
{u(i1, ..., it)|ues símbolo admisible y j =deg(lcm(mi1, ..., mit))}
Si consideramos au(i1, ..., it)como un símbolo admisible de dimensiónttenemos lo siguiente:
1. u(ij1, ..., ijr) es símbolo admisible también para todo r ≤ t y para todo 1 ≤ j1 < · · · <
jr ≤t.
2. Como u(i1, ..., it) es un símbolo admisible de dimensión t entonces i1 = 1. Si i1 > 1
entonces u(1, i1, ..., it)es un símbolo admisible de dimensión t+ 1.
3. Si l < i1 entonces u(l, i1, ..., it) no es símbolo admisible de dimensión t + 1, entonces
mlmi1· · ·mit se puede dividir por al menos uno de los m1, ..., ml−1.
Altura
Denición .0.10. Sea R un anillo conmutativo no trivial, tenemos
1. Una cadena
P0 ⊂P1 ⊂ · · · ⊂Pn
en el que P0, ..., Pn son ideales primos deR es llamada cadena de ideales primos deR, la
longitud de dicha cadena es el número de enlaces, es decir, el número de ideales primos presentes menos uno, por lo tanto la cadena anterior tiene longitud n.
2. Una cadena
P0 ⊂P1 ⊂ · · · ⊂Pn
es considerada como maximal, si entre dos ideales primos consecutivos no existe otro insertado.
3. La dimensión de R denotada por dim(R)está denida como
4. Sea P ∈ Spec(R), la altura de P, denotada por ht(P) está denida para ser el supremo de las longitudes de cadena
P0 ⊂P1 ⊂ · · · ⊂Pn
de los ideales primos de R tal que Pn=P.
Observación .0.11.
1. Si todo ideal del anillo R está contenido en un ideal maximal M se tiene que dim(R)es igual al supremo de P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pn con Pn = M y P0 ideal primo minimal de 0.
Entonces si dim(R) es nito tenemos que:
dim(R) = sup{ht(M)|M es un ideal maximal de R}
= sup{ht(P)|P ∈Spec(R)}
2. Si R es local, entonces dim(R) =ht(M).
3. Si S ⊂ R subconjunto multiplicativamente cerrado y P ∈ Spec(R) tal que P ∩S = ∅
entonces S−1P ∈Spec(S−1R) obtenemos que:
htS−1RS−1P =htRP y htP =htR
PP RP =dim(RP)
4. En el anillo de clases residuales R/I con ICRse tiene una cadena de ideales primos para R/I como:
P0/I ⊂P1/I ⊂ · · · ⊂Pn/I
donde:
P0 ⊂P1 ⊂ · · · ⊂Pn
es una cadena de ideales primos deR, tal queI ⊂P0, por lo tanto ponemos quedim(I) := dim(R/I) que a su vez es:
sup{n∈N0|I ⊂P0 ⊂P1 ⊂ · · · ⊂Pn}.
Para una variedad tenemos dim(V) = dim(I(V)) y para un idealdim(I) =dim(V(I)). Teorema .0.12 (Teorema de altura de Krull). SeaR un anillo conmutativo Noetheriano y sea I CR que puede ser generado por n elementos. Entonces ht(P) ≤ n para cada ideal primo
minimal de I.[Sharp]
Denición .0.13. SeaR un anillo conmutativo Noetheriano y seaICR, se dene la altura de
I por
ht(I) = min{ht(P)|P ∈Spec(R), I ⊆P}
Como todo ideal primo enV(I)contiene un ideal primo minimalI y como todo ideal enAss(I) contiene un ideal primo minimal deI se tiene que
ht(I) = min{ht(P)|P es ideal primo minimal de I}
Dimensión
Por denición, la dimensión dde una variedad afín V es la máxima longitud de una cadena
V0 ⊃V1 ⊃ · · ·
de distintos cerrados irreducibles (en la topología de Zariski). Entendemos por variedades irre-ducibles a aquellas que no se puede expresar como la unión de dos subconjuntos propios cerrados.
Corolario .0.14. [19, Cor. 3.43] Sean V una variedad afín irreducible y Z un subconjunto
cerrado maximal irreducible de V. Entonces
dim(Z) =dim(V)−1.
Corolario .0.15. [19, Cor. 3.44] Sea V una variedad afín irreducible. Toda cadena maximal
V0 ⊃V1 ⊃ · · · ⊃Vd
de distintos subconjuntos cerrados irreducibles deV tiene longitud d=dim(V).
Denición .0.16. Una función regular sobreV es una aplicaciónf :V →K tal que existe un
polinomiop∈K[x1, ..., xn]con la propiedad de que:
p(a1, ..., an) =f(a1, ..., an), para todaa = (a1, ..., an)∈V
Corolario .0.17. [19, Cor. 3.45] SeaV una variedad afín irreducible, y seanf1, ..., fr funciones
regulares enV. Toda componente irreducible Z de V(f1, ..., fr) tiene codimension a lo más r:
codim(Z)≤r.
Álgebra Homológica
A continuación se muestra algunas relaciones entre categorías por medio de funtores, en particular tomando especícamente a la categoría de R-módulos MR.
Denición .0.18. Una cadena de complejos C de R-módulos es una familia {Cn}n∈Z de R -módulos, junto con sus aplicaciones tal que cada composicióndn−1d˙n :Cn→Cn−2 es cero. Las
aplicacionesdn son llamados diferenciales de C. El kernel de dn es el módulo de n-ciclos de C,
denotado por Zn =Zn(C). La imagen de dn+1 :Cn+1 →Cn es el módulo de n-fronteras de C,
denotado porBn=Bn(C). Como dn−1d˙n = 0 se tiene:
para todon. Eln-ésimo módulo de homología de C es el subcociente Hn(C) =Zn/Bn de Cn.
Existe una categoría de complejo de cadenas de R-módulos donde los objetos son los
com-plejos de cadenas. Un morsmo u:C →Des una aplicación de complejo de cadenas, es decir,
una familia de homomorsmos de R-módulos un : Cn → Dn conmutando con los di, en el
sentido de que un−1dn=dn−1un. Es decir:
· · · Cn+1 Cn Cn−1 · · ·
· · · Dn+1 Dn Dn−1 · · ·
-
-dn+1
?
un+1
-dn
?
un
-dn−1
?
un−1
-
-dn+1
-dn
-Una cadena de complejos B recibe el nombre de subcomplejo de C si cadaBnes un submódulo
Cn y el diferencial en B es la restricción del diferencial en C, es decir, cuando la inclusión
in:Bn ⊆Cn constituye una aplicación de cadenas B →C.
Cohomología Local
Denición .0.19. Para cadaR-mód M denimos:
ΓI(M) =
[
n∈N
(0 :M In).
Es decir, ΓI(M) es el conjunto de elementos de M que se anulan por alguna potencia de
I. Como observación, notamos que ΓI(M) es un submódulo de M. Para cualquier
homo-morsmo f : M → N de R-módulos se tiene f(ΓI(M)) ⊆ ΓI(N), así que la aplicación
ΓI(f) : ΓI(M)→ΓI(N) se corresponde con f en cada elemento de ΓI(M).
Si f : M → N y h : N → L son homomorsmos de R-módulos y r ∈ R, entonces
ΓI(h◦f) = ΓI(h)◦ΓI(f), ΓI(f +h) = ΓI(f) + ΓI(h), ΓI(rf) = rΓI(f) y ΓI(IdM) = IdΓI(M).
Entonces estas igualdades convierten a ΓI en un funtor R-lineal covariante de MR en MR.
Llamamos aΓI el funtor de I-torsíon.
Lema .0.20 (Local Cohomology, Brodman-Sharp, Lema 1.1.6). El funtor de I-torsión ΓI :
MR → MR es exacto izquierdo.
Denición .0.21. Para i∈ N eli-ésimo funtor derivado de ΓI denotado por HIi es el i-ésimo
funtor de cohomología local con soporte en I.
Denición .0.22. Si aplicamos el funtor Hi
I a un R-mód M, nos referimos a HIi(M) como el
i-ésimo módulo de cohomología local de M con soporte en I. Para ΓI(M) nos referimos como
Sea M un R-mód arbitrario, para calcular a Hi
I(M) tomamos una resolución inyectiva de
M como sigue:
I∗: 0 d - I0 I1 · · · Ii Ii+1 · · ·
−1
-d0
- - d
-i
-Aplicamos el funtorΓI al complejo I∗y obtenemos:
ΓI(I∗) : 0 - ΓI(I0) ΓI(I1) · · · ΓI(Ii) ΓI(Ii+1) · · ·
ΓI(d−1)
-ΓI(d0)
- -
-ΓI(di)
-y tomamos el i-ésimo módulo de cohomología local de este complejo, así obtenemos:
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