Simulación numérica computacional de fenómenos dinámicos

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(1)ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS Y ENERGÍA Titulación: INGENIERO SUPERIOR DE MINAS. PROYECTO FIN DE CARRERA. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA A LOS RECUERSOS NATURALES. SIMULACIÓN NUMÉRICA COMPUTACIONAL DE FENÓMENOS DINÁMICOS. ALEJANDRO MIGUEL SÁNCHEZ DE LA MUELA GARZÓN. JUNIO 2014.

(2) TITULACIÓN: INGENIERO DE MINAS. PLAN: 1996. Autorizo la presentación del proyecto. Simulación numérica computacional de fenómenos dinámicos. Realizado por. D. Alejandro Miguel Sánchez de la Muela Garzón. Dirigido por. D. Antonio Ruiz Perea. Firmado: Prof. D. Antonio Ruiz Perea Fecha:…………………….

(3) AGRADECIMIENTOS. Quisiera aprovechar la oportunidad que se me brinda para agradecer a mi abuelo, Vicente Sánchez Naverac, el enorme apoyo que me ha ofrecido durante todos estos años y sus consejos que, en gran medida, junto con los de mi padre han facilitado alcanzar este momento. Agradecer a mi familia la confianza que han depositado en mí durante la carrera. Así como la gran paciencia de la que han hecho gala mis hermanos en los periodos más estresantes, que no han sido pocos. A Sara por su fortaleza, apoyo y cariño. A Antonio Ruiz Perea, mi director de proyecto y tutor en E.T.S.I. de Minas y Energías, por proporcionar un proyecto tan innovador como original, por conseguir la perfecta sintonía entre desarrollos matemáticos y programación orientada a objetos. Sin su gran entereza e inagotable paciencia no habría sido posible plasmar todo el trabajo que se ha llevado a cabo. También agradecer el buen trato con que me ha recibido siempre y la gran entrega a la elaboración del proyecto. A Jesús Ollero Callejo, José María Pérez Argilés y Manuel Ocón Barbas por alentarme en el periodo en que coincidimos y continuar haciéndolo. Al Departamento de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales por permitir que el presente proyecto se realice bajo su tutela y dirección.. I.

(4) ÍNDICE DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA 1. OBJETIVOS Y ALCANCE ................................................................................................................... 2. 2. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 3. 2.1. Ecuación diferencial parcial lineal .................................................................................................. 3. 2.2. Solución de una ecuación diferencial parcial ................................................................................. 4. 2.3. Separación de variables.................................................................................................................. 4. 2.4. Principio de superposición ............................................................................................................. 4. 2.5. Clasificación de las ecuaciones ....................................................................................................... 5. 3. ECUACIÓN DE ONDA ...................................................................................................................... 5. 4. CONDICIONES EN LA FRONTERA .................................................................................................... 8. 5. PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA ................................................................................. 8. 6. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA ........................................................... 9. 7. APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDAS A UNA CUERDA PULSADA .......................................... 12. 7.1. Ondas Estacionarias ..................................................................................................................... 13. 8. SIMULACIÓN DEL PROBLEMA FÍSICO REAL .................................................................................. 16. 8.1. Problema matemático .................................................................................................................. 17. 8.2. Problema aproximado .................................................................................................................. 18. 8.3. Estudio de la estabilidad del esquema ......................................................................................... 21. 8.4. Cálculo de las condiciones iniciales “j=0” ..................................................................................... 25. 8.5. Cálculo de los valores de la función en el instante “j=1” ............................................................. 27. 8.6. Cálculo de la periodicidad del sistema ......................................................................................... 29. 8.7. Cálculo de los valores desde “j=2” a “j=16” ................................................................................. 30. 9. CÓDIGO DEL SIMULADOR............................................................................................................. 39. 9.1. Desarrollo del programa .............................................................................................................. 39. 9.1.1. Elección del lenguaje de programación ....................................................................................... 40. 9.1.2. Desarrollo de una aplicación Visual Basic .................................................................................... 41. 9.1.3. Características del lenguaje de programación ............................................................................. 42. 9.2. Algoritmo del programa ............................................................................................................... 44. 9.3. Resultados .................................................................................................................................... 45. 9.4. Bibliografía ................................................................................................................................... 69. II.

(5) DOCUMENTO Nº 2: ESTUDIO ECONÓMICO 1. COSTES DEL PROYECTO ................................................................................................................ 71. 1.1. Costes de ingeniería ..................................................................................................................... 71. 1.2. Costes de material ........................................................................................................................ 72. 1.3. Costes totales ............................................................................................................................... 73. DOCUMENTO Nº 3: ANEXOS ANEXO A:. PROGRAMACIÓN DE FORMULARIOS ...................................................................................... 76. III.

(6) FIGURAS Figura 3-1: Cuerda tensada entre dos puntos del eje x. ............................................................................... 6 Figura 3-2: Cuerda pulsada. ......................................................................................................................... 7 Figura 7-1: Cuadros de una película de cuerda pulsada. ............................................................................ 12 Figura 7-2: Primeras tres ondas estacionarias. .......................................................................................... 15 Figura 8-1: Plantilla de cálculo para j <> 1 ................................................................................................. 20 Figura 8-2: Ejemplo gráfico del uso de la plantilla. .................................................................................... 21 Figura 8-3: Condiciones iniciales del caso 2. ............................................................................................... 25 Figura 8-4: Plantilla de cálculo para j = 1. .................................................................................................. 28 Figura 8-5: Esquema gráfico del uso de la plantilla j = 1. ........................................................................... 28 Figura 8-6: Plantilla de cálculo para j <> 1. ................................................................................................ 30 Figura 8-7: Esquema gráfico del uso de la plantilla j <> 1. ......................................................................... 31 Figura 9-1: Algoritmo del simulador para el Caso 2. .................................................................................. 44 Figura 9-2: Formulario de inicio.................................................................................................................. 45 Figura 9-3: Formulario de inicio - Primer botón......................................................................................... 45 Figura 9-4: Formulario de inicio - Problema físico. ..................................................................................... 46 Figura 9-5: Formulario de inicio - El problema matemático ....................................................................... 46 Figura 9-6: Formulario de inicio - Problema práctico. ................................................................................ 47 Figura 9-7: Formulario del problema real. .................................................................................................. 48 Figura 9-8: Formulario del problema real - Controles principales. ............................................................. 48 Figura 9-9: Formulario del problema real - Enunciado. .............................................................................. 49 Figura 9-10: Formulario del problema real - Ecuaciones. ........................................................................... 49 Figura 9-11: Formulario del problema real - Introducir datos. ................................................................... 50 Figura 9-12: Introducción de datos - Paso espacial. ................................................................................... 50 Figura 9-13: Introducción de datos - Tensión de la cuerda......................................................................... 50 Figura 9-14: Introducción de datos - Longitud de la cuerda. ...................................................................... 51 Figura 9-15: Introducción de datos - Peso de la cuerda. ............................................................................ 51 Figura 9-16: Introducción de datos - Gravedad terrestre. .......................................................................... 51 Figura 9-17: Formulario del problema real - Volcado de datos. ................................................................. 52 Figura 9-18: Formulario del problema real - Obtención de variables internas. .......................................... 52 Figura 9-19: Formulario casos de estudio................................................................................................... 53 Figura 9-20: Formulario condiciones iniciales del Caso 2. .......................................................................... 53 Figura 9-21: Formulario condiciones iniciales del Caso 2 - Nuevos controles. ............................................ 54 Figura 9-22: Formulario condiciones iniciales del Caso 2 - Cuerda estirada. .............................................. 54 Figura 9-23: Formulario condiciones iniciales del Caso 2 - Valores j = 0 y j = 1. ......................................... 55 Figura 9-24: Formulario de los cálculos finales del Caso 2 - Obtención del mallado. ................................. 56 Figura 9-25: Formulario de los cálculos finales del Caso 2 - Obtención de j = 2. ........................................ 56 Figura 9-26: Formulario de los cálculos finales del Caso 2 - Mallado finalizado. ....................................... 57 Figura 9-27: Formulario de la solución gráfica lineal sin plotear. .............................................................. 57 Figura 9-28: Ploteo de la solución gráfica lineal del Caso 2. ...................................................................... 58 Figura 9-29: Formulario de la solución gráfica curva de inicio manual. ..................................................... 58 Figura 9-30: Formulario Solución gráfica curva Caso 2 - Condición inicial (j = 0). ...................................... 59 Figura 9-31: Formulario Solución gráfica curva Caso 2 - Representación de j = 0 y j = 1........................... 59 Figura 9-32: Formulario Solución gráfica curva Caso 2 - Representación de los intervalos hasta j = 2. ..... 60 Figura 9-33: Formulario Solución gráfica curva Caso 2 - Representación de los intervalos hasta j = 8. ..... 60 Figura 9-34: Formulario Solución gráfica curva Caso 2 - Representación de los intervalos hasta j = 16. ... 61 Figura 9-35: Formulario Simulación del movimiento del Caso 2 ................................................................ 61. IV.

(7) Figura 9-36: Formulario Simulación del movimiento del Caso 2 - En j = 0. ................................................ 62 Figura 9-37: Formulario Simulación del movimiento del Caso 2 - En j = 1. ................................................ 62 Figura 9-38: Formulario Simulación del movimiento del Caso 2 - En j = 2. ................................................ 63 Figura 9-39: Formulario Simulación del movimiento del Caso 2 - En j = 13. .............................................. 63 Figura 9-40: Formulario Simulación del movimiento de forma automática. .............................................. 64 Figura 9-41: Formulario Simulación del movimiento de forma automática - Condición inicial.................. 64 Figura 9-42: Formulario Simulación del movimiento de forma automática - Tras un intervalo de tiempo. .................................................................................................................................................................... 65 Figura 9-43: Formulario Cálculo para cualquier instante de tiempo - Caso 2. ........................................... 65 Figura 9-44: Formulario cálculo para cualquier instante - Valores iniciales. .............................................. 66 Figura 9-45: Formulario cálculo para cualquier instante - Obtención de los valores iniciales.................... 66 Figura 9-46: Formulario cálculo para cualquier instante - Introducir instante aleatorio. .......................... 67 Figura 9-47: Formulario cálculo para cualquier instante - Valores para el intervalo indicado. .................. 67 Figura 9-48: Formulario Comparar la simulación de todos los casos. ........................................................ 68. V.

(8) RESUMEN Y ABSTRACT. En este proyecto se trata la simulación numérica de un fenómeno dinámico, basado en el comportamiento de una onda transmitida a lo largo de una cuerda elástica de un instrumento musical, cuyos extremos se encuentran anclados. El fenómeno físico, se desarrolla utilizando una ecuación en derivadas parciales hiperbólicas con variables espacial y temporal, acompañada por unas condiciones de contorno tipo Dirichlet en los extremos y por más condiciones iniciales que dan comienzo al proceso. Posteriormente se han generado algoritmos para el método numérico empleado (Diferencias finitas centrales y progresivas) y la programación del problema aproximado con su consistencia, estabilidad y convergencia, obteniéndose unos resultados acordes con la solución analítica del problema matemático. La programación y salida de resultados se ha realizado con Visual Studio 8.0. y la programación de objetos con Visual Basic .Net. In this project the topic is the numerical simulation of a dynamic phenomenon, based on the behavior of a transmitted wave along an elastic string of a musical instrument, whose ends are anchored. The physical phenomenon is developed using a hyperbolic partial differential equation with spatial and temporal variables, accompanied by a Dirichlet boundary conditions at the ends and more initial conditions that start the process. Subsequently generated algorithms for the numerical method used (central and forward finite differences) and the programming of the approximate problem with consistency, stability and convergence, yielding results in line with the analytical solution of the mathematical problem. Programming and output results has been made with Visual Studio 8.0. and object programming with Visual Basic. Net. VI.

(9) SIMULACIÓN NUMÉRICA COMPUTACIONAL DE FENÓMENOS DINÁMICOS. DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA.

(10) 2. 1 OBJETIVOS Y ALCANCE Se ha desarrollado una simulación numérica sobre un fenómeno físico de tipo dinámico, basado en la evolución de una onda a través de una cuerda de un instrumento musical, mediante un proceso matemático por medio de una ecuación diferencial en derivadas parciales hiperbólicas con variables espacial y temporal, acompañada de unas condiciones de contorno e iniciales. A través de la realización de un algoritmo mediante el cual se ha programado en Visual Studio 8.0, por medio de VisualBasic.Net el problema anteriormente citado utilizando como método numérico el Método de diferencias finitas, tanto de tipo central como progresivas dependiendo de la ecuación a aproximar. Los resultados obtenidos se presentan de forma numérica y posteriormente gráfica en movimiento según las condiciones iniciales tratadas. La simulación numérica ha sido estructurada en diversas etapas. La primera etapa se basa en el conocimiento del problema físico de carácter dinámico; posteriormente se adapta el problema matemático de ecuaciones en derivadas parciales de tipo hiperbólico, tomando las condiciones de contorno e iniciales adecuadas. En una segunda etapa se desarrolla el problema aproximado y se hace un estudio de la estabilidad y convergencia del método numérico utilizado. En la última etapa, se genera un potente código computacional, utilizando algoritmos programados en objetos, donde la programación a través del tiempo da unos resultados acordes con el problema analítico, utilizando el Visual Studio 8.0. Se ha conseguido alcanzar la generación de un código de simulación de ondas tratadas con ecuaciones diferenciales en derivadas parciales hiperbólicas de una gran fiabilidad, tanto en análisis matemático comprobado por la consistencia, estabilidad y convergencia del método, como por su programación orientada a objetos..

(11) 3. 2 INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP), igual que las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), se clasifican en lineales y no lineales. Así como en las EDO, en una EDP lineal la variable dependiente y sus derivadas parciales aparecen sólo en la primera potencia. Nuestro interés se centrará solamente en las ecuaciones diferenciales parciales lineales.. 2.1 Ecuación diferencial parcial lineal Si establecemos que u denota la variable dependiente y x e y las variables independientes, entonces la forma general de una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden es dada por.  2u  2u  2u u u A· 2  B·  C· 2  D·  E·  F·u  G, x x·y y x y. ( 2-1). donde los coeficientes A, B, C,..., G son constantes o funciones de x y de y . Cuando G  x, y   0 , se dice que 1 es homogénea, de otra forma, es no homogénea. Por ejemplo, las ecuaciones lineales.  2u  2u  0 x 2 y 2. ( 2-2).  2u u   x·y x 2 y. ( 2-3). y. son homogénea y no homogénea, respectivamente..

(12) 4. 2.2 Solución de una ecuación diferencial parcial La solución de una ecuación diferencial parcial lineal (2-1) es una función u  x, y  de dos variables independientes que tienen todas las derivadas parciales concurriendo en la ecuación y que la satisface en alguna región del plano xy . No es nuestra intención analizar procedimientos para encontrar soluciones generales de las ecuaciones diferenciales parciales lineales. A menudo no solamente es difícil obtener la solución general de una EDP lineal de segundo orden, sino que una solución general con frecuencia tampoco resulta muy útil en las aplicaciones. Por lo tanto, nos enfocaremos en determinar soluciones particulares de algunas EDP lineales importantes, es decir, ecuaciones que aparecen en un gran número de aplicaciones.. 2.3 Separación de variables A pesar de que existen varios métodos que pueden utilizarse para encontrar soluciones particulares de una EDP lineal, con el método de separación de variables nuestro objetivo es encontrar una solución particular en forma del producto de una función de x y una función y,. u  x, y   X  x ·Y  y  .. ( 2-4). Mediante esta suposición, a veces es factible reducir una EDP lineal de dos variables en dos EDO. Con este objetivo en mente, podemos observar que. u  X 'Y , x. u  XY ', y.  2u  X '' Y , x 2.  2u  XY '', y 2. ( 2-5). donde las primas expresan la diferenciación ordinaria.. 2.4 Principio de superposición El teorema siguiente se conoce como el principio de superposición. Si u1 , u2 , ..., uk. son las soluciones de una ecuación diferencial parcial lineal. homogénea, entonces la combinación lineal.

(13) 5. u  c1·u1  c2·u2  ...  ck ·uk ,. ( 2-6). donde las ci , i  1, 2, ..., k son constantes, es también una solución. En lo que resta, supondremos que siempre que tengamos un conjunto infinito u1 , u2 , u3 ,... de soluciones de una ecuación lineal homogénea, podremos construir otra solución u formando la serie infinita . u   ck ·uk. ( 2-7). k 1. donde las ck , k  1, 2, ... , son constantes.. 2.5 Clasificación de las ecuaciones Una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden en dos variables independientes con coeficientes constantes puede clasificarse como uno de tres tipos. Esta clasificación depende solamente de los coeficientes de las derivadas de segundo orden. Desde luego, suponemos que al menos uno de los coeficientes A, B y C es diferente de cero. La ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden.  2u  2u  2u u u A· 2  B·  C· 2  D·  E·  F·u  0, x x·y y x y. ( 2-8). Donde A, B, C, D, E y F son constantes reales, se dice que es hiperbólica si. B2  4·AC ·  0,. parabólica si B  4·AC ·  0, 2 elíptica si B  4·AC ·  0, 2. ( 2-9) ( 2-10) ( 2-11). 3 ECUACIÓN DE ONDA Considere una cuerda de longitud L , como la cuerda de una guitarra, tensada entre dos puntos localizados en el eje x , digamos, x  0 y x  L . Cuando la cuerda comienza.

(14) 6. a vibrar, suponga que el movimiento tiene lugar en el plano xy de tal manera que cada punto de la cuerda se mueve en dirección perpendicular al eje x (vibraciones transversales). Como se muestra en la Figura 3-1 a), establecemos que u ( x, t ) exprese el desplazamiento vertical de cualquier punto de la cuerda medido a partir del eje x para t  0 . Además suponemos que:       . La cuerda es perfectamente flexible. La cuerda es homogénea; esto es, su masa por unidad de longitud  es constante. Los desplazamientos u son pequeños en comparación con la longitud de la cuerda. La pendiente de la curva es pequeña en todos los puntos. La tensión T actúa en dirección tangente a la cuerda y su magnitud T es igual en todos los puntos. La tensión es grande en comparación con la fuerza de gravedad. No actúan otras fuerzas externas sobre la cuerda.. a) Segmento de la cuerda. b) Ampliación del segmento. Figura 3-1: Cuerda tensada entre dos puntos del eje x.. Ahora, en la Figura 3-1 b), las tensiones T1 y T2 son tangentes en los extremos de la curva en el intervalo  x, x  x  . Para valores pequeños de 1 y  2 , la fuerza vertical neta que actúa sobre el elemento correspondiente s de la cuerda es, por lo tanto,. T ·sen  2  T ·sen 1  T ·tan  2  T ·tan 1 =T ·ux  x  x, t   u x  x , t   ,. Donde. T  T1  T2. ( 3-1).

(15) 7. Ahora ·s  ·x es la masa de la cuerda en  x, x  x  , por lo que la segunda ley de Newton nos da T ·ux  x  x, t   ux  x, t   ·x·utt. ( 3-2). ux  x  x, t   ux  x, t    ·utt . x T. ( 3-3). o bien. Si el límite se toma como x  0 , la última ecuación se convierte en. uxx    T ·utt. ( 3-4). . Por otro lado, para una cuerda vibratoria, podemos especificar su desplazamiento inicial (o forma) f  x  así como su velocidad inicial g  x  . En estos términos matemáticos, estamos buscando una función u  x, t  que satisfaga las dos condiciones iniciales:. u  x, 0   f  x  ,. u  g  x, t t 0. 0  x  L.. ( 3-5). Por ejemplo, la cuerda podría estarse pulsando, como en la Figura 3-2, y liberarse del reposo ( g  x   0 ).. Figura 3-2: Cuerda pulsada..

(16) 8. 4 CONDICIONES EN LA FRONTERA La cuerda de la Figura 3-2 está asegurada al eje x en x  0 y x  L en todo momento. Interpretamos lo anterior mediante las dos condiciones de frontera (CF):. u  0, t   0,. u  L, t   0,. t 0. ( 4-1). Observe que en este contexto la función f es continua en (3-5) y, en consecuencia,. f  0  0. ( 4-2). f  L  0. ( 4-3). y. En general, existen tres tipos de condiciones de frontera. En una frontera, podemos especificar los valores de uno de los siguientes formatos:. i  u,. ii . u , n. o. iii . u  h·u, n. donde h es una constante. Aquí u n expresa la derivada normal de u (la derivada direccional de u en la dirección perpendicular a la frontera). Una condición de frontera del primer tipo i  se llama condición de Dirichlet; una condición de frontera del segundo tipo ii  es la condición de Neumann, y una condición de frontera del tercer tipo iii  se conoce como condición de Robin.. 5 PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA Ahora estamos en una posición favorable para resolver el problema de valores en la frontera. El desplazamiento vertical u  x, t  de una cuerda de longitud L que se encuentra vibrando libremente en el plano vertical ilustrado en la Figuran 3-1.a está determinado por.  2u  2u a 2· 2  2 , x t. 0  x  L,. t0. ( 5-1).

(17) 9. u  0, t   0,. u  L, t  ,. u  g  x, t t 0. u  x, 0   f  x  ,. t 0. ( 5-2). 0 xL. ( 5-3). 6 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA Con la suposición común de que. u  x, t   X  x ·T ( x). ( 6-1). mediante la separación de variables en (5-1) obtendremos. X '' T ''    X a 2·T. ( 6-2). X '' ·T  0. ( 6-3). T '' a 2··T  0. ( 6-4). Por lo que. Las condiciones de frontera (5-2) se traducen en X  0   0 y X  L   0 . La ecuación diferencial ordinaria dada en (6-3) junto con estas condiciones de frontera forman el problema habitual de Sturm-Liouville. X '' ·X  0,. X  0   0,. X  L   0.. ( 6-5). De las tres posibilidades usuales del parámetro  :.   0,    2  0. ( 6-6).  2  0. ( 6-7). y.

(18) 10. solamente la última nos lleva a soluciones no triviales. La solución general de (6-3), correspondiente a.    2,   0 ,. ( 6-8). X  c1·cos ·x  c2·sen ·x.. ( 6-9). es. x  0 y x  L indican que c1  0 y c2·sen ·L  0 . La última ecuación implica de. nuevo que ·L  n· o   n· L . Los valores propios y las correspondientes funciones propias de (6-5) son. n  n2· 2 L2. ( 6-10). y. X  x   c2·sen. n· ·x , L. ( 6-11). siendo n  1, 2,3,... . La solución general de la ecuación de segundo orden (6-4) es entonces. T  t   c3·cos. n· ·a n· ·a ·t  c4·sen ·t L L. ( 6-12). Al volver a escribir c2·c3 como An y c2·c4 como Bn , las soluciones que satisfacen tanto a la ecuación de onda (5-1) como a las condiciones de frontera (5-2) son n· ·a n· ·a  n·  un   An ·cos ·t  Bn ·sen ·t ·sen ·x L L  L . ( 6-13).  n· ·a n· ·a  n·  u  x, t     An ·cos ·t  Bn ·sen ·t ·sen ·x. L L  L n 1 . ( 6-14). y.

(19) 11. En (6-14), se fija el valor t  0 y utilizando la condición inicial u  x,0   f ( x) obtenemos . u  x, 0   f  x    An ·sen n 1. n· ·x. L. ( 6-15). Puesto que la última serie es una desarrollo de medio intervalo de f en una serie seno, podemos escribir An  bn :. 2 L n· An  · f  x ·sen ·x·dx. L 0 L. ( 6-16). Para determinar Bn , diferenciamos (6-14) respecto a t y, después, fijamos el valor t  0:. u   n· ·a n· ·a n· ·a n· ·a  n·     An · ·sen ·t  Bn · ·cos ·t ·sen ·x t n1  L L L L  L. ( 6-17).  u n·  n· ·a   g  x     Bn · ·x. ·sen t t 0 L  L n 1 . ( 6-18). Con la finalidad de que esta última serie sea el desarrollo en serie de senos de medio intervalo de la velocidad inicial g presente en el intervalo, coeficiente total Bn ·n· ·a L debe estar dado mediante:. n· ·a 2 L n· Bn ·   g  x ·sen ·x·dx L L 0 L. ( 6-19). a partir de la cual tenemos. Bn . 2 L n· g  x ·sen ·x·dx  0 n· ·a L. ( 6-20). La solución del problema de valores en la frontera de la ecuación (5-1) a la (5-3) consta de la serie (6-14) con los coeficientes An y Bn definidos en las ecuaciones (6-16) y (6-20), respectivamente..

(20) 12. Podemos observar que, en el momento que se libera la cuerda a partir del reposo, entonces g  x   0 para toda x en el intervalo  0, L  y, en consecuencia, Bn  0.. 7 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDAS A UNA CUERDA PULSADA Un caso especial del problema de valores en la frontera planteado en (5-1), (5-2) y (5-3) es un modelo de cuerda pulsada. Podemos observar el movimiento de la cuerda graficando la solución o el desplazamiento u  x, t  para valores incrementales de tiempo t y utilizando la herramienta de animación que proporciona un CAS. En la Figura 7-1 se proporcionan algunos ejemplos de los cuadros de una película generados de esta forma.. a) t = 0 estado inicial. b) t = 0.2. c) t = 0.7. d) t = 1.0. e) t = 1.6. f) t = 1.9 Figura 7-1: Cuadros de una película de cuerda pulsada..

(21) 13. 7.1 Ondas Estacionarias De la deducción de la ecuación de onda examinada en el apartado 3, recuerde que la constante a mostrada en la solución del problema de valores en la frontera en (5-1), (5-2), y (5-3) está dada por. T ,. ( 7-1). Donde:. :. Es una masa por unidad de longitud.. T:. Es la magnitud de la tensión en la cuerda.. Cuando T es lo suficientemente grande, la cuerda vibratoria genera un sonido musical como resultado de las ondas permanentes. La solución (6-4) es una superposición de las soluciones producto llamadas ondas estacionarias o modos normales:. u  x, t   u1  x, t   u2  x, t   u3  x, t   .... ( 7-2). Para el movimiento no amortiguado, las soluciones producto (6-3) pueden escribirse como n·  n· ·a  un  x, t   Cn ·sen  ·t  n ·sen ·x L  L . ( 7-3). Cn  An2  Bn2. ( 7-4). n. ( 7-5). sen n  An Cn. ( 7-6). donde. y. se definen como.

(22) 14. y cos n  Bn Cn. ( 7-7). Para n  1, 2, 3, ... las ondas estacionarias son, en esencia, las gráficas de. sen  n· ·x L  ,. ( 7-8). con una amplitud variable en el tiempo dada por  n· ·a  Cn ·sen  ·t  n  .  L . ( 7-9). De manera alterna, en (7-3) podemos observar que en un valor fijo de x , cada función producto un  x, t  representa el movimiento armónico simple de la amplitud Cn · sen  n· ·x L . ( 7-10). f n  n·a 2·L. ( 7-11). y la frecuencia. En otras palabras, en una onda estacionaria, cada punto vibra con distinta amplitud pero a la misma frecuencia. Cuando n  1 ,.    ·a  u1  x, t   C1·sen  ·t  1 ·sen ·x L  L . a) Primera onda estacionaria.. ( 7-12).

(23) 15. b) Segunda onda estacionaria.. c). Tercera onda estacionaria.. Figura 7-2: Primeras tres ondas estacionarias.. Se llama primera onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental de vibración. Las primeras tres ondas estacionarias, o modos normales, se muestran en la Figura 7-2 Las líneas discontinuas representan las ondas estacionarias en diversos puntos en el tiempo. Los puntos en el intervalo  0, L  , para los cuales sen  n· L ·x  0 , corresponden a los puntos localizados en una onda estacionaria donde no existe movimiento. A estos puntos se les llama nodos. Por ejemplo, en las Figura 7-2 b) y c), podemos observar que la segunda onda estacionaria tiene un nodo en L 2 y la tercera tiene dos nodos, en L 3 y 2·L 3 . En general, el n-ésimo modo normal de vibración tiene n  1 nodos. La frecuencia f1 . a 1 T  2·L 2·L . ( 7-13). del primer modo normal se llama frecuencia fundamental, o primer armónico, y está relacionado directamente con el tono generado por un instrumento de cuerdas. Es evidente que conforme la tensión sobre la cuerda sea mayor, el tono del sonido lo será también. Las frecuencias f n de los demás modos normales, los cuales son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, se llaman sobretonos. El segundo armónico es el primer sobretono, y así sucesivamente..

(24) 16. 8 SIMULACIÓN DEL PROBLEMA FÍSICO REAL La simulación consiste en calcular y representar en los distintos instantes de tiempo, el comportamiento de una cuerda de un instrumento musical que tiene una longitud de 80 centímetros y un peso de 1 gramo. Se estira hasta alcanzar una altura de 0,6 centímetros con respecto a la posición de equilibrio, utilizando para ello una tensión de 40 000 gramos en un punto determinado, a una cierta distancia de uno de los extremos y posteriormente soltarla. El comportamiento físico de la onda generada por la cuerda ha sido estudiado bajo cuatro casos distintos cuyas condiciones iniciales tienen la forma siguiente:   f  x U  x, t  0     g  x. 0 xa 0 x L. ( 8-1). Donde:. a:. Distancia entre el extremo origen de la cuerda y el punto de estiramiento. Límite superior del segmento de la Recta A y límite inferior del segmento de la Recta B.. L:. Longitud total de la cuerda del instrumento musical, objeto de estudio.. x:. Punto del eje x (abscisas).. t:. Instante de tiempo en el que se desarrollan los cálculos.. f  x :. Ecuación de la recta que intersecta origen en x=0 y pasa por el punto x=a.. g  x :. Ecuación de la recta que intersecta el punto x=a y pasa por el extremo final de la cuerda x = L = 80.. Caso 1:   f  x   0, 06·x U  x, 0      g  x   0, 6857  0, 00857·x. 0  x  10 0  x  80. ( 8-2).

(25) 17. Caso 2:   f  x   0, 03·x U  x, 0      g  x   0,8  0, 01·x. 0  x  20.   f  x   0, 02·x U  x, 0      g  x   0,96  0, 012·x. 0  x  30.   f  x   0, 015·x U  x, 0      g  x   1, 2  0, 015·x. 0  x  40. 0  x  80. ( 8-3). Caso 3:. 0  x  80. ( 8-4). Caso 4:. 0  x  80. ( 8-5). 8.1 Problema matemático La ecuación en derivadas parciales que describe las vibraciones de una cuerda tensa estirada entre dos puntos extremos fijos viene dada por: 2  2u T ·g  2u  2u 2  u ,,  ·  c · t 2 w x 2 t 2 x 2. ( 8-6). donde. c2 . T ·g w. Donde:. u  x, t  : Es la posición de la cuerda en el instante “ t ”. T:. Es la tensión de la cuerda estirada.. g:. Es la gravedad.. w:. Es el peso por unidad de longitud.. ( 8-7).

(26) 18. La posición de partida de la cuerda viene dada por las condiciones iniciales:.  f ( x) u ( x, 0)    g ( x). 0 xa a  xb. u ( x, 0)  0 t. ( 8-8). ( 8-9). Y al estar los extremos de la cuerda sujetos, las condiciones de contorno son:. u(0, t )  u(x, t )  0. ( 8-10). 8.2 Problema aproximado Desarrollando la función u  x, t  por Taylor en su variable espacial: h u h2  2u h3 3u h 4  4u u ( x  h, t )  u ( x, t )  ·  · 2  · 3  · 4  ..... 1! x 2! x 3! x 4! x. ( 8-11). h u h2  2u h3 3u h 4  4u u ( x  h, t )  u ( x, t )  ·  · 2  · 3  · 4  ..... 1! x 2! x 3! x 4! x. ( 8-12). h 2  2u u ( x  h, t )  u ( x  h, t )  2·u ( x, t )  2· · 2  Residuo 2! x. ( 8-13). Donde: h:. Es el paso espacial.. h 4  4u Residuo : Es 2· · 4  ..... . 4! x Despejando:  2u u ( x  h, t )  2·u ( x, t )  u ( x  h, t )  x 2 h2. ( 8-14).

(27) 19. Si x <> i , t <> j  2u ui 1, j  2·u i , j  ui 1, j  x 2 h2. ( 8-15). k u k 2  2u k 3 3u k 4  4u u ( x, t  k )  u ( x, t )  ·  · 2  · 3  · 4  ..... 1! t 2! t 3! t 4! t. ( 8-16). k u k 2  2u k 3  3u k 4  4u u ( x, t  k )  u ( x, t )  ·  · 2  · 3  · 4  ..... 1! t 2! t 3! t 4! t. ( 8-17). k 2  2u u ( x, t  k )  u ( x, t  k )  2·u ( x, t )  2· · 2  Residuo 2! t. ( 8-18). De forma análoga:. Donde: k:. Es el paso temporal.. k 4  4u Residuo : Es 2· · 4  ..... 4! t Despejando:  2u u ( x, t  k )  2·u ( x, t )  u ( x, t  k )  t 2 k2. ( 8-19).  2u ui , j 1  2·u i , j  ui , j 1  t 2 k2. ( 8-20). Si x <> i , t <> j. La ecuación del problema aproximado será: ui , j 1  2·u i , j  ui , j 1 k. Operando:. 2. u  2·u i , j  ui 1, j  c 2· i 1, j h2. ( 8-21).

(28) 20. c 2·k 2 ui , j 1  2·u i , j  ui , j 1  2 ·(ui 1, j  2·u i , j  ui 1, j ) h. ( 8-22). ui , j 1  2·ui , j  ui , j 1   2·(ui 1, j  2·ui , j  ui 1, j ). ( 8-23). Donde:. . c·k h. ( 8-24). Despejando:. ui , j 1   2·ui 1, j  2·(1   2 )·ui , j   2·ui 1, j  ui , j 1.  j  2,3,...  i  1, 2,..., (n  1). ( 8-25). Siendo (8-25) la ecuación del problema aproximado. Esquema de cálculo:. Figura 8-1: Plantilla de cálculo para j <> 1. Para obtener el valor u A , utilizando el esquema, es necesario calcular los valores de uC y u D , previamente, ya que el valor de u E es conocido a priori por la condiciones iniciales del problema u( x,0)  f ( x) y el valor u B por las condiciones de contorno. u(0, t )  0 ..

(29) 21. Figura 8-2: Ejemplo gráfico del uso de la plantilla.. 8.3 Estudio de la estabilidad del esquema  2U  2U 2  2 ·c t 2 x. ( 8-26). ui , j 1  2·ui , j  ui , j 1   2U   2   k2  t i , j. ( 8-27). ui 1, j  2·ui , j  ui 1, j   2U   2   h2  x i , j. ( 8-28). El esquema: ui , j 1  2·ui , j  ui , j 1 k. ui , j 1  2·ui , j  ui , j 1 . 2. . ui 1, j  2·ui , j  ui 1, j h. 2. ·c 2. c 2·k 2 · u  2·ui , j  ui 1, j    2· ui 1, j  2·ui , j  ui 1, j  2  i 1, j h. ( 8-29). ( 8-30). ui , j 1   2·ui 1, j  2· 2·ui , j  2·ui , j   2·ui 1, j  ui , j 1. ( 8-31). ui , j 1   2·ui 1, j   2  2· 2 ·ui , j   2·ui 1, j  ui , j 1. ( 8-32).

(30) 22. ui , j    j·k ·ei·n·i·h    t ·ei·n·x. ( 8-33). ui 1, j    j·k ·ei·n·(i 1)·h    t ·ei·n·(i·h h )    t ·ei·n·(x h )    t ·ei·n·x ·ei·n·h. ( 8-34). ui , j 1     j  1·k ·ei·n·i·h    t  k ·ei·n·x. ( 8-35). ui , j 1     j  1·k ·ei·n·i·h    t  k ·ei·n·x. ( 8-36). ˆ. ˆ. ˆ. ˆ. ˆ.   t  k ·ei·n·x   2·  t ·ei·n·x ·ei·n·h    2  2· 2 ·  t ·ei·n·x    2·  t ·ei·n·x ·e i·n·h     t  k ·ei·n·x . ( 8-37).   t  k     t · 2·ei·n·h   2  2· 2    2·ei·n·h     t  k . ( 8-38).   t  k    t  k     2· ei·n·h  ei·n·h    2  2· 2   t   t . ( 8-39). . 1. .   2·2·cos  n·h    2  2· 2 . ( 8-40).  2  1   · 2  2· 2  2· 2·cos  n·h    1   ·2  2· 2·1  cos  n·h        n·h    2 2  n·h    1   · 2  2· 2· 2·sen 2      1   ·2  4· ·sen    2    2    . .  n·h     2 .  2  1   ·2 1  2· 2·sen2  . ( 8-41).  n·h  A  1  2· 2·sen2    2 . ( 8-42).  2  1  2· ·A. ( 8-43).

(31) 23.  2  2· ·A  1  0. ( 8-44). Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen sus dos raíces:.   A   A2  11/2  1  1/2  2  A   A2  1 . ( 8-45).  1. ( 8-46). Condición de estabilidad:. Veamos qué valores de A son los que permiten esta condición:  n·h  A  1  2· 2·sen2    2 . ( 8-47).   n·h  sen   1   2   2  n·h    sen   1  2   n·h   sen    1  2  . ( 8-48).   n·h  2  n·h  sen    0   sen  0  2   2  . ( 8-49).  2  n·h  2  sen  2   1  A  1  2·  A  1     n·h   2  n·h  A  1  2· 2 ·sen 2    sen    0  A 1  2   2   2  n·h  1 2 1  sen     A  1  2· ·  A  1 4  2  4 . ( 8-50). Luego A  1. Pero si A  1 , que estaría dentro de la posibilidad anterior qué sucede:.

(32) 24. 1  A   A2  1. 1/2.  2   4  1. 12.  2  3  0, 267. 1  0, 267  1, luego no produce inestabilidad.. . . 1  A   A2  1  1, 001  1, 001  1 1/2. 2. 12.  0,956. 1  0,956  1, luego no produce inestabilidad. 2  A   A2  1. 1/2.  2   4  1. 12.  2  3  3, 732.  2  3, 732  1, luego produce inestabilidad.. . . 2  A   A2  1  1, 001  1, 001  1 1/2. 2. 12.  1, 045.  2  1, 045  1, luego produce inestabilidad. De acuerdo a lo anteriormente expuesto se concluye que la condición necesaria de estabilidad: 1  A  1. ( 8-51).  n·h  1  1  2· 2·sen2   1  2 . ( 8-52). Si desarrollamos la desigualdad:  n·h  1  2· 2·sen 2   1  2 . ( 8-53). 0  n·h  2 2· 2·sen 2  0 0  2  n·h   2  2·sen    2 . ( 8-54). Sin embargo:. . c·k 0 h. Luego, se deduce que la única desigualdad útil es la siguiente:. ( 8-55).

(33) 25.  n·h  1  1  2· 2·sen2    2 . ( 8-56). Análogamente al desarrollo anterior:  n·h  2  2· 2·sen2    2 . ( 8-57).  n·h  2 2 2 sen2    1  2  2·  1      1 2  . ( 8-58). Cuando:. La condición de estabilidad será, por tanto:.  1. ( 8-59). 8.4 Cálculo de las condiciones iniciales “j=0”. Figura 8-3: Condiciones iniciales del caso 2.. Recta A: y  m·x  n. ( 8-60). Donde n  0 porque la recta pasa por el origen. y  m·x. 0'6  m·20  m  y  0'03·x. ( 8-61). 0'6  0'03 20 ( 8-62).

(34) 26. Recta B: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: y  y1 y2  y1  x  x1 x2  x1. ( 8-63). Sean los puntos P1 y P2 de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2), respectivamente:. P1 (20, 0'6)  y  0'6 0  0'6 0'6    0'1  P2 (80, 0)  x  20 80  20 60 y  0'06  ( x  20)·(0'01)  0'01·x  0'2  y  0'6  0'2  0'01·x y  0'8  0'01·x. ( 8-64). Donde x es el producto entre paso espacial h y la posición i en la que se realiza el cálculo, es decir:. x  h·i Cálculo de los valores de la función en el instante j  0 : u(0,0)  0'03·(10·0)  0 u(1,0)  0'03·(10·1)  0'3 u(2,0)  0'03·(10·2)  0'6. u(3,0)  0'8  0'01·(10·3)  0'5 u(4,0)  0'8  0'01·(10·4)  0'4 u(5,0)  0'8  0'01·(10·5)  0'3 u(6,0)  0'8  0'01·(10·6)  0'2 u(7,0)  0'8  0'01·(10·7)  0'1 u(8,0)  0'8  0'01·(10·8)  0. ( 8-65).

(35) 27. 8.5 Cálculo de los valores de la función en el instante “j=1” u 0 t ( x ,0). ( 8-66). k u k 2  2u u ( x, t  k )  u ( x, t )  ·  · 2  ..... 1! t 2! t. ( 8-67). k u k 2  2u u ( x, t  k )  u ( x, t )  ·  · 2  ..... 1! t 2! t. ( 8-68). u u ( x, t  k )  u ( x, t  k )  2·k·  Residuo t. ( 8-69). u u ( x, t  k )  u ( x, t  k )  0 t 2·k. ( 8-70). u( x, t  k )  u( x, t  k )  0  u( x, t  k )  u( x, t  k ). ( 8-71). ui , j 1  ui , j 1. ( 8-72). Despejando:. Haciendo j  0 en la ecuación (8-25):. ui ,1   2·ui 1,0  2·(1   2 )·u i ,0   2·ui 1,0  ui ,1. ( 8-73). Entrando en la ecuación (8-27) con j  0 : ui ,1  ui ,1. ( 8-74). ui ,1   2·ui 1,0  2·(1   2 )·u i ,0   2·ui 1,0  ui ,1. ( 8-75). Entrando en (8-74) con (8-73):.

(36) 28. 2·ui ,1   2·ui 1,0  2·(1   2 )·u i ,0   2·ui 1,0. ui ,1 . 2 2. ·ui 1,0  (1   2 )·u i ,0 . 2 2. ·ui 1,0. ( 8-76). ( 8-77). Esquema de cálculo:. Figura 8-4: Plantilla de cálculo para j = 1.. Figura 8-5: Esquema gráfico del uso de la plantilla j = 1.. Tomando   1 , valor más crítico dentro de la estabilidad del método: 1 1 ui ,1  ·ui 1,0  (1  1)·u i ,0  ·ui 1,0 2 2. ( 8-78). ui ,1  0'5·ui 1,0  0·ui ,0  0'5·ui 1,0. ( 8-79). Aplicando el esquema de cálculo para j  1 : u(0,1)  Condición de contorno  0. u(1,1)  0'5·(0)  0  0'5·(0'6)  0'3 u(2,1)  0'5·(0'3)  0  0'5·(0'5)  0'4 u(3,1)  0'5·(0'6)  0  0'5·(0'4)  0'5.

(37) 29. u(4,1)  0'5·(0'5)  0  0'5·(0'3)  0'4 u(5,1)  0'5·(0'4)  0  0'5·(0'2)  0'3. u(6,1)  0'5·(0'3)  0  0'5·(0'1)  0'2 u(7,1)  0'5·(0'2)  0  0'5·(0)  0'1 u(8,1)  Condición de contorno  0. 8.6 Cálculo de la periodicidad del sistema Cálculo de k :. . c2 . c·k h. ( 8-80). T ·g 40 000·980   3 136·106 1 w 80. c  2 3 136·106  56 000 Para que el método sea convergente   1 :. . 56 000·k 1 1 k  10 5 600. La fórmula estándar física para el cálculo de la frecuencia es: F. a 1 T ·g 1 40 000·980    350 ciclos s 1 2·L 2·L  2·80  80. El periodo es la inversa de la frecuencia: P. 1 1   n·k F 350. ( 8-81).

(38) 30. Sustituyendo los parámetros por sus valores numéricos, previamente calculados, se obtiene: 1 1  n· 350 5 600. Un ciclo se encuentra constituido por “n” intervalos temporales: n. 5 600  16 350. Por tanto, el periodo será:. P  16·k. ( 8-82). 8.7 Cálculo de los valores desde “j=2” a “j=16” A través de la ecuación del problema aproximado, obtenida en el apartado 8.2.:. ui , j 1   2·ui 1, j  2·(1   2 )·ui , j   2·ui 1, j  ui , j 1.  j  2,3,...  i  1, 2,..., (n  1). Siguiendo el esquema de cálculo:. Figura 8-6: Plantilla de cálculo para j <> 1.. ( 8-83).

(39) 31. Figura 8-7: Esquema gráfico del uso de la plantilla j <> 1.. Tomando   1 , valor más crítico dentro de la estabilidad del método:. ui , j 1  1·ui 1, j  2·(1  1)·ui , j  1·ui 1, j  ui , j 1. ( 8-84). ui , j 1  1·ui 1, j  0·ui , j  1·ui 1, j  ui , j 1. ( 8-85). Aplicando el esquema de cálculo para j  2 : u(0, 2)  Condición de contorno  0. u 1, 2   1· 0'4   0  1·(0)  (0'3)  0'1 u  2, 2   1· 0'5  0  1·(0'3)  (0'6)  0'2 u  3, 2   1· 0'4   0  1·(0'4)  (0'5)  0'3 u  4, 2   1· 0'3  0  1·(0'5)  (0'4)  0'4.

(40) 32. u  5, 2   1· 0'2   0  1·(0'4)  (0'3)  0'3 u  6, 2   1· 0'1  0  1·(0'3)  (0'2)  0'2 u  7, 2   1· 0   0  1·(0'2)  (0'1)  0'1 u(8, 2)  Condición de contorno  0. Aplicando el esquema de cálculo para j  3 : u(0,3)  Condición de contorno  0 u 1,3  1· 0'2   0  1·(0)  (0'3)  0'1 u  2,3  1· 0'3  0  1·(0'1)  (0'4)  0. u  3,3  1· 0'4   0  1·(0'2)  (0'5)  0'1 u  4,3  1· 0'3  0  1·(0'3)  (0'4)  0'2 u  5,3  1· 0'2   0  1·(0'4)  (0'3)  0'3 u  6,3  1· 0'1  0  1·(0'3)  (0'2)  0'2 u  7,3  1· 0   0  1·(0'2)  (0'1)  0'1 u(8,3)  Condición de contorno  0. Aplicando el esquema de cálculo para j  4 : u(0, 4)  Condición de contorno  0 u 1, 4   1· 0   0  1·(0)  (0'1)  0'1 u  2, 4   1· 0'1  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2. u  3, 4   1· 0'2   0  1·(0)  (0'3)  0'1 u  4, 4  1· 0'3  0  1·(0'1)  (0'4)  0 u  5, 4   1· 0'2   0  1·(0'2)  (0'3)  0'1.

(41) 33. u  6, 4   1· 0'1  0  1·(0'3)  (0'2)  0'2 u  7, 4   1· 0   0  1·(0'2)  (0'1)  0'1 u(8, 4)  Condición de contorno  0. Aplicando el esquema de cálculo para j  5 : u(0,5)  Condición de contorno  0 u 1,5  1· 0'2   0  1·(0)  (0'1)  0'1 u  2,5  1· 0'1  0  1·(0'1)  (0)  0'2 u  3,5  1· 0   0  1·(0'2)  (0'1)  0'3. u  4,5  1· 0'1  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2 u  5,5  1· 0'2   0  1·(0)  (0'3)  0'1 u  6,5  1· 0'1  0  1·(0'1)  (0'2)  0 u  7,5  1· 0   0  1·(0'2)  (0'1)  0'1 u(8,5)  Condición de contorno  0. Aplicando el esquema de cálculo para j  6 : u(0,6)  Condición de contorno  0 u 1,6  1· 0'2   0  1·(0)  (0'1)  0'1 u  2,6  1· 0'3  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2 u  3,6   1· 0'2   0  1·(0'2)  (0'1)  0'3. u  4,6  1· 0'1  0  1·(0'3)  (0)  0'4 u  5,6   1· 0   0  1·(0'2)  (0'1)  0'3 u  6,6  1· 0'1  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2.

(42) 34. u  7,6   1· 0   0  1·(0)  (0'1)  0'1 u(8,6)  Condición de contorno  0. Aplicando el esquema de cálculo para j  7 : u(0,7)  Condición de contorno  0. u 1,7   1· 0'2   0  1·(0)  (0'1)  0'1 u  2,7   1· 0'3  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2 u  3,7   1· 0'4   0  1·(0'2)  (0'3)  0'3 u  4,7   1· 0'3  0  1·(0'3)  (0'2)  0'4. u  5,7   1· 0'2   0  1·(0'4)  (0'1)  0'5 u  6,7   1· 0'1  0  1·(0'3)  (0)  0'4 u  7,7   1· 0   0  1·(0'2)  (0'1)  0'3 u(8,7)  Condición de contorno  0. Aplicando el esquema de cálculo para j  8 : u(0,8)  Condición de contorno  0 u 1,8  1· 0'2   0  1·(0)  (0'1)  0'1 u  2,8  1· 0'3  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2 u  3,8  1· 0'4   0  1·(0'2)  (0'3)  0'3 u  4,8  1· 0'5  0  1·(0'3)  (0'4)  0'4. u  5,8  1· 0'4   0  1·(0'4)  (0'3)  0'5 u  6,8  1· 0'3  0  1·(0'5)  (0'2)  0'6 u  7,8  1· 0   0  1·(0'4)  (0'1)  0'3.

(43) 35. u(8,8)  Condición de contorno  0. Aplicando el esquema de cálculo para j  9 : u(0,9)  Condición de contorno  0 u 1,9   1· 0'2   0  1·(0)  (0'1)  0'1. u  2,9   1· 0'3  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2 u  3,9   1· 0'4   0  1·(0'2)  (0'3)  0'3 u  4,9   1· 0'5  0  1·(0'3)  (0'4)  0'4 u  5,9   1· 0'6   0  1·(0'4)  (0'5)  0'5. u  6,9   1· 0'3  0  1·(0'5)  (0'4)  0'4 u  7,9   1· 0   0  1·(0'6)  (0'3)  0'3 u(8,9)  Condición de contorno  0. Aplicando el esquema de cálculo para j  10 : u(0,10)  Condición de contorno  0 u 1,10   1· 0'2   0  1·(0)  (0'1)  0'1 u  2,10   1· 0'3  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2 u  3,10   1· 0'4   0  1·(0'2)  (0'3)  0'3 u  4,10   1· 0'5  0  1·(0'3)  (0'4)  0'4 u  5,10   1· 0'4   0  1·(0'4)  (0'5)  0'3. u  6,10   1· 0'3  0  1·(0'5)  (0'6)  0'2 u  7,10   1· 0   0  1·(0'4)  (0'3)  0'1 u(8,10)  Condición de contorno  0.

(44) 36. Aplicando el esquema de cálculo para j  11 : u(0,11)  Condición de contorno  0 u 1,11  1· 0'2   0  1·(0)  (0'1)  0'1 u  2,11  1· 0'3  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2. u  3,11  1· 0'4   0  1·(0'2)  (0'3)  0'3 u  4,11  1· 0'3  0  1·(0'3)  (0'4)  0'2 u  5,11  1· 0'2   0  1·(0'4)  (0'5)  0'1 u  6,11  1· 0'1  0  1·(0'3)  (0'4)  0. u  7,11  1· 0   0  1·(0'2)  (0'3)  0'1 u(8,11)  Condición de contorno  0. Aplicando el esquema de cálculo para j  12 : u(0,12)  Condición de contorno  0. u 1,12   1· 0'2   0  1·(0)  (0'1)  0'1 u  2,12   1· 0'3  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2 u  3,12   1· 0'2   0  1·(0'2)  (0'3)  0'1 u  4,12   1· 0'1  0  1·(0'3)  (0'4)  0 u  5,12   1· 0   0  1·(0'2)  (0'3)  0'1 u  6,12   1· 0'1  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2. u  7,12   1· 0   0  1·(0)  (0'1)  0'1 u(8,12)  Condición de contorno  0.

(45) 37. Aplicando el esquema de cálculo para j  13 : u(0,13)  Condición de contorno  0 u 1,15  1· 0'2   0  1·(0)  (0'1)  0'1 u  2,15  1· 0'1  0  1·(0'1)  (0'2)  0. u  3,15  1· 0   0  1·(0'2)  (0'3)  0'1 u  4,15  1· 0'1  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2 u  5,15  1· 0'2   0  1·(0)  (0'1)  0'3 u  6,15  1· 0'1  0  1·(0'1)  (0)  0'2. u  7,15  1· 0   0  1·(0'2)  (0'1)  0'1 u(8,13)  Condición de contorno  0. Aplicando el esquema de cálculo para j  14 : u(0,14)  Condición de contorno  0. u 1,14   1· 0   0  1·(0)  (0'1)  0'1 u  2,14   1· 0'1  0  1·(0'1)  (0'2)  0'2 u  3,14   1· 0'2   0  1·(0)  (0'1)  0'3 u  4,14   1· 0'3  0  1·(0'1)  (0)  0'4 u  5,14   1· 0'2   0  1·(0'2)  (0'1)  0'3 u  6,14   1· 0'1  0  1·(0'3)  (0'2)  0'2. u  7,14   1· 0   0  1·(0'2)  (0'1)  0'1 u(8,14)  Condición de contorno  0.

(46) 38. Aplicando el esquema de cálculo para j  15 : u(0,15)  Condición de contorno  0 u 1,15  1· 0'2   0  1·(0)  (0'1)  0'3 u  2,15  1· 0'3  0  1·(0'1)  (0)  0'4. u  3,15  1· 0'4   0  1·(0'2)  (0'1)  0'5 u  4,15  1· 0'3  0  1·(0'3)  (0'2)  0'4 u  5,15  1· 0'2   0  1·(0'4)  (0'3)  0'3 u  6,15  1· 0'1  0  1·(0'3)  (0'2)  0'2. u  7,15  1· 0   0  1·(0'2)  (0'1)  0'1 u(8,15)  Condición de contorno  0. Aplicando el esquema de cálculo para j  16 : u(0,16)  Condición de contorno  0. u 1,16   1· 0'4   0  1·(0)  (0'1)  0'3 u  2,16   1· 0'5  0  1·(0'3)  (0'2)  0'6 u  3,16   1· 0'4   0  1·(0'4)  (0'3)  0'5 u  4,16   1· 0'3  0  1·(0'5)  (0'4)  0'4 u  5,16   1· 0'2   0  1·(0'4)  (0'3)  0'3 u  6,16   1· 0'1  0  1·(0'3)  (0'2)  0'2. u  7,16   1· 0   0  1·(0'2)  (0'1)  0'1 u(8,16)  Condición de contorno  0.

(47) 39. Se comprueba que, efectivamente, el método es estable para   1 al obtenerse los mismos resultados en para j  0 y j  16 : u  0, 0   u  0,16   0 u 1, 0   u 1,16   0'3. u  2,0   u  2,16   0'6 u  3,0   u  3,16   0'5 u  4,0   u  4,16   0'4 u  5,0   u  5,16   0'3. u  6,0   u  6,16   0'2 u  7,0   u  7,16   0'1 u 8, 0   u 8,16   0. 9 CÓDIGO DEL SIMULADOR 9.1 Desarrollo del programa En este apartado se describirá brevemente el lenguaje de programación utilizado, Visual Basic .Net. Visual Basic es un lenguaje de programación desarrollado por Alan Cooper para Microsoft. Permite elaborar software destinado al entorno Windows a través de una curva de aprendizaje muy rápida. Su primera versión fue presentada en 1991, con la principal misión de facilitar la ardua tarea de escribir los entresijos de un programa informático. A pesar de que no sea, estrictamente, necesario poseer unos avanzados conocimientos de programación orientada a objetos, es imprescindible partir de la base de un usuario medio familiarizado con el entorno Microsoft Windows. Saber manipular el mouse o ratón y los controles de las ventanas o formularios (según el argot informático), así.

(48) 40. como haber trabajado previamente con el Administrador de archivos (explorer.exe) y con el Administrador de tareas de Windows (taskmgr.exe).. 9.1.1 Elección del lenguaje de programación Las GUI (Graphical User Interface) han revolucionado la industria de las PCs o Personal Computers. Permitiendo llevar el mundo de la informática a todos los públicos, a individuos más avanzados y a los menos familiarizados con las computadoras. Haciendo del nexo de unión entre humano y máquina, evitando que las personas deban aprender un lenguaje de comandos como el que caracterizó al sistema operativo MS-DOS en la década de los ochenta. En cualquier caso poco amigable y de lenta curva de aprendizaje. En el que era necesario navegar manualmente entre los directorios escribiendo la dirección de la carpeta, perdiendo tiempo, capital, rendimiento y dificultando en última instancia el acercamiento de la población a este mundo lleno de posibilidades. La gran ventaja del actual sistema operativo de Microsoft, Windows, radica en sus ventanas. Dicho avance supuso un gran paso evolutivo en la interacción con las microcomputadoras. La fácil navegación entre directorios que permitió hizo del ratón, mouse, la herramienta por excelencia en las PCs. Con un clic sobre un botón de la ventana del monitor se logró lo mismo que con las líneas de comandos, donde no era tan intuitivo. El teclado volvía a ser una herramienta de escritura con lo fue en las antiguas máquinas de escribir. Transformó los entornos informáticos en sucesiones de eventos gráficos relativamente sencillos de interpretar y manipular. Así el usuario es capaz de apreciar la gran versatilidad de estos entornos con un simple vistazo. Previamente a la existencia de Visual Basic, el desarrollo de software para los sistemas operativos de Microsoft dependía de avanzados conocimientos de programación, de varios lenguajes, del conjunto de software orientado a esta tarea y de lo apto que fuera el desarrollador. Elaborar aplicaciones para Windows requería de expertos programadores en lenguaje C. Debido a estas circunstancias tan restrictivas los programadores no abundaban. Microsoft se percató de que limitar el progreso masivo en materia de programación podría costar el rechazo de sus entornos informáticos al no cumplir con odas las expectativas de sus clientes. En respuesta a la situación, encargó el desarrollo de un lenguaje de creación de aplicaciones para sus sistemas más amigable y cercano a la comunidad interesada en personalizar sus computadoras a los diferentes usos que requerían..

(49) 41. Visual Basic se caracteriza por permitir elaborar desde pequeñas y simples aplicaciones gráficas, por medio de ventanas, formularios, ligadas entre sí hasta complejos softwares que se adaptan mejor al usuario. Posee un sistema exhaustivo de búsqueda de errores y corrección de los mismos, reduciendo enormemente el tiempo de finalización de un programa. Tras cada avance en la escritura de la aplicación pueden observarse los efectos de los cambios a través la función denominada Depuración, en la que simula el código escrito hasta ese momento. Pudiendo interactuar en ese momento con el programa desarrollado.. 9.1.2 Desarrollo de una aplicación Visual Basic Lo que hace que VB.NET sea diferente de cualquier otra herramienta de programación es la facilidad con la que se puede diseñar una pantalla. Se puede dibujar figuradamente el interfaz gráfico de usuario, parecido a la forma en que se haría un esquema sobre papel. Una vez realizada la pantalla, que por defecto incluye los controles minimizar, maximizar y cerrar aunque se pueden deshabilitar, los botones, cajas de texto y otros controles reconocen acciones del usuario automáticamente, como son el movimiento del cursor o bien los clics sobre los botones. Al término del diseño de la GUI comienza la “escritura” del programa. Para que los controles respondan como se pretende es necesario escribir código en ellos. Describir las acciones y respuestas que se desean tras un clic sobre un botón o bien tras el clic de un CheckBox. Podría entenderse mejor la programación en Visual Basic si pensáramos en ella como un desarrollo modular, cuyos módulos son los controles incrustados en la ventana que se diseñó previamente. Escribiendo código en el interior de cada módulo se consigue una elaboración ordenada y simple de las acciones que realiza cada control. En sintonía a lo comentado en el párrafo anterior, durante el tiempo de ejecución, que en el argot informático significa durante la simulación o durante la depuración del código, Visual Basic interpreta el código escrito de manera muy diferente al resto de lenguajes de programación. Ésta es la siguiente, el núcleo de un programa en VB es un conjunto de diferentes partes de código, módulos o también subrutinas, que responden a los eventos especificados anteriormente. A diferencia de otros lenguajes en los que el código se interpreta de arriba hacia abajo. Y antiguamente donde la ejecución se iniciaba en la primera línea de código y seguía el avance del programa a las diferentes partes según fuera necesario..

(50) 42. Actualmente, el consumidor del programa VB.NET decide qué eventos van a suceder antes o después y no el programador, que únicamente debe de preocuparse por el correcto funcionamiento de todas las partes. Los pasos necesarios para llevar a buen término un proyecto a través del lenguaje se describen a continuación: a) Diseñar gráficamente la ventana que usará el usuario final, incluyendo en ella todos los controles. b) Decidir los eventos a los que responderá cada control y el procedimiento que resultará de la activación de dichos eventos. c) Codificar cada uno de los procedimientos anteriormente elaborados. d) Desarrollar los procedimientos auxiliares necesarios para la perfecta funcionalidad de la aplicación. El modo en que responde un proyecto VB.NET a su ejecución o simulación de su código es la siguiente: a) Revisa todas las ventanas, o formularios, del proyecto y sus respectivos controles. Revisa cómo se encuentran ligados controles y ventanas entre ellos. b) Inicia la aplicación contrastando los procedimientos ligados al evento Load de la ventana principal. En caso de no existir se mantiene a la espera. c) Al ejecutarse un evento, entendiendo por este una acción tipo clic sobre un botón, un doble clic sobre cualquier control, etc, revisa en el código si existe un procedimiento de actuación en relación a este. d) En caso de que exista dicho procedimiento lo ejecuta y se mantiene a la espera del siguiente evento, en caso de haber procedimiento se mantiene a la espera. Este comportamiento lo mantiene hasta que se cierra el formulario, momento en que cesa la ejecución de los procesos de esa ventana.. 9.1.3 Características del lenguaje de programación Visual Basic permite añadir a los formularios distintos controles como menús, cajas de texto (TextBoxes), botones de órdenes y de opción (Buttons) para realizar elecciones, cajas de listados (ListBoxes), barras de desplazamiento Horizontal y vertical (HScrollBar.

(51) 43. y VScrollBar) y cajas de archivos y directorios (TreeView). Se pueden utilizar mallados en lo que volcar bases de datos y mostrarlos ordenadamente de igual manera que se observan en las hojas de cálculo (p.e. Microsoft Office Excel o Access), así como enlazar con otras aplicaciones del entorno Windows. Este lenguaje de programación posee otras importantes particularidades como son las sentencias gráficas, acceso a avanzadas y eficaces librerías matemáticas, gran versatilidad en el manejo de bases de datos de múltiples procedencias, es decir, una compatibilidad sin igual. Es capaz de reducir en cualquier caso la tremenda tarea de elaborar complejos programas a través de la construcción modular del mismo. Una de las principales características es la programación modular, en la que un módulo erróneo no implica necesariamente un obstáculo catastrófico en la ejecución de la aplicación. Un módulo, se resume a una porción relativamente minúscula y manipulable de todo el código de programación. Un programa desarrollado en VB es por tanto un conjunto de módulos independientes cuyos procedimientos no interfieren en las restantes partes si no se encuentran ligados entre sí. De este modo, se centra el esfuerzo en la manera en que cada módulo responde, y en cómo se interrelacionan todos ellos..

(52) 44. 9.2 Algoritmo del programa. Figura 9-1: Algoritmo del simulador para el Caso 2..