Álgebra homológica y álgebra conmutativa

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Texto completo

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Carlos Ivorra Castillo

´

ALGEBRA

HOMOL ´

OGICA Y

´

ALGEBRA

(2)
(3)
(4)
(5)

´Indice General

Introducci´on vii

1

Algebra homol´

´

ogica

1

Cap´ıtulo I: Funtores derivados 3

1.1 Haces . . . 3

1.2 Espacios anillados . . . 13

1.3 Categor´ıas y funtores . . . 17

1.4 M´odulos inyectivos y proyectivos . . . 24

1.5 Complejos . . . 29

1.6 Resoluciones inyectivas y proyectivas . . . 34

1.7 Funtores derivados . . . 39

1.8 Caracterizaci´on axiom´atica . . . 45

Cap´ıtulo II: Ejemplos de funtores derivados 51 2.1 Los funtores Tor . . . 51

2.2 Grupos de cohomolog´ıa . . . 54

2.3 M´odulos localmente libres . . . 57

2.4 Los funtores Ext . . . 63

2.5 Cohomolog´ıa en espacios paracompactos . . . 68

2.6 La cohomolog´ıa singular . . . 76

2.7 La cohomolog´ıa de Alexander-Spanier . . . 83

2.8 La cohomolog´ıa de De Rham . . . 87

2.9 La estructura multiplicativa . . . 89

2

Algebra conmutativa

´

95

Cap´ıtulo III: La geometr´ıa af´ın 97 3.1 M´odulos de cocientes . . . 97

3.2 Conjuntos algebraicos afines . . . 103

3.3 La topolog´ıa de Zariski . . . 112

3.4 El espectro de un anillo . . . 115

3.5 Primos asociados . . . 120

(6)

3.6 Extensiones enteras . . . 124

3.7 La dimensi´on de Krull . . . 128

3.8 Funciones regulares . . . 139

Cap´ıtulo IV: Anillos locales 145 4.1 Compleciones . . . 145

4.2 Topolog´ıas inducidas por ideales . . . 152

4.3 Anillos y m´odulos artinianos . . . 162

4.4 El polinomio de Hilbert . . . 167

4.5 El teorema de la dimensi´on . . . 173

Cap´ıtulo V: Regularidad 183 5.1 El teorema de la altura . . . 183

5.2 Anillos locales regulares . . . 186

5.3 Sucesiones regulares . . . 192

5.4 Anillos de Cohen-Macaulay . . . 200

5.5 La dimensi´on proyectiva . . . 203

5.6 Variedades regulares . . . 220

Ap´endice A: M´odulos planos 233

Ap´endice B: Im´agenes directas e inversas de m´odulos 247

Bibliograf´ıa 255

(7)

Introducci´

on

El prop´osito original de este libro era presentar los resultados sobre ´algebra conmutativa necesarios para un futuro libro de geometr´ıa algebraica moderna (teor´ıa de esquemas). Algunos de estos resultados requieren para su demos-traci´on una base de ´algebra homol´ogica, que en una primera redacci´on aparec´ıa intercalada en los distintos cap´ıtulos a medida que iba siendo necesaria y, para las demostraciones, remit´ıa a menudo a mi libro de Topolog´ıa algebraica. Sin embargo, dado que la teor´ıa de esquemas requiere una exposici´on m´as general del ´algebra homol´ogica que la que en principio exigir´ıa la finalidad de este libro, decid´ı finalmente tratar esta materia con la generalidad necesaria a largo plazo en un primer cap´ıtulo preliminar. Me encontr´e entonces con que la teor´ıa de este primer cap´ıtulo tiene aplicaciones a la topolog´ıa algebraica y a la geometr´ıa diferencial m´as inmediatas que sus pretendidas aplicaciones a la teor´ıa de es-quemas, por lo que decid´ı incluirlas tambi´en en el presente libro. A su vez, este tratamiento del ´algebra homol´ogica hac´ıa natural anticipar algunos resultados que en un principio pensaba introducir en el libro sobre teor´ıa de esquemas.

El resultado final es que, formalmente, este libro ha pasado de ser un libro de ´algebra conmutativa a tener dos partes de aproximadamente igual peso: una primera de ´algebra homol´ogica, dividida en dos cap´ıtulos, y una segunda de ´

algebra conmutativa, dividida en tres. Por otra parte, en cuanto a su contenido se pueden distinguir tres niveles, que pueden dar lugar a tres lecturas diferen-tes seg´un los intereses de cada lector. En primer lugar est´an los resultados de ´

algebra homol´ogica con aplicaciones a la topolog´ıa algebraica y a la geometr´ıa diferencial; en segundo lugar est´an los resultados de ´algebra conmutativa que incluyen una parte de ´algebra homol´ogica; y en tercer lugar est´an los resulta-dos de ´algebra homol´ogica —m´as un ap´endice en el que se combinan las dos ´

algebras— incluidos aqu´ı para referirme a ellos en el citado libro de geometr´ıa algebraica, y que ser´ıa razonable omitir en una primera lectura.

Prescindiendo de algunos ejemplos y comentarios marginales, el esquema de dependencia entre las distintas partes es el que aparece en la p´agina siguiente. La primera columna contiene los resultados de ´algebra homol´ogica (Cap´ıtulo I) y sus aplicaciones relacionadas con la geometr´ıa diferencial y la topolog´ıa alge-braica. En la secci´on 2.1 se construyen los funtores Tor, que son la ´unica herra-mienta cohomol´ogica necesaria en la parte de ´algebra conmutativa, mientras que las secciones 2.3 y 2.4 contienen propiedades sobre los m´odulos localmente libres y sobre los funtores Ext que no tendr´an ninguna aplicaci´on en este libro, pero que son necesarios en la teor´ıa de esquemas (y lo mismo vale para los resultados

(8)

sobre los funtores f∗ y f

estudiados en el ap´endice B). La tercera columna

corresponde a los resultados de ´algebra conmutativa propiamente dicha. En la secci´on 2.5 se usar´a un resultado sobre m´odulos que aparece demostrado en el ap´endice A, si bien la prueba se basa ´unicamente en resultados elementales. Por ´

ultimo, las aplicaciones de las secciones 2.6–2.9 hacen referencia a los resultados de topolog´ıa algebraica y geometr´ıa diferencial que aparecen demostrados en mi libro de Topolog´ıa Algebraica.

Cap´ıtulo I

≤≤ SSSSS))

S S S S S S S S S

S Cap´ıtulo III

≤≤

Secci´on 2.2

≤≤ SSSSS))

S S S S S S S S S

S Secci´on 2.1

(( R R R R R R R R R R R R R "" D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D

D Cap´ıtulo IV

≤≤

Secci´on 2.5

≤≤

Secciones 2.3–2.4

≤≤

Cap´ıtulo V

≤≤

Secciones 2.6–2.9 Ap´endice B Ap´endice A

ll

Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

El cap´ıtulo I empieza introduciendo la noci´on de haz sobre un espacio to-pol´ogico. Se trata del concepto b´asico para enlazar la teor´ıa que pretendemos desarrollar con sus aplicaciones geom´etricas. Un hazFes simplemente una es-tructura definida sobre un espacio topol´ogicoX, que asigna a cada uno de sus abiertosU un grupo F(U), o un anillo, o un m´odulo, o cualquier otra estruc-tura algebraica, junto con condiciones que garanticen que los distintos grupos, anillos, etc. est´an relacionados de forma razonable.

Existe una infinidad de haces que aparecen de forma natural en casi todas las ramas de la matem´atica. Por ejemplo, a cada abierto U de una variedad diferencialX podemos asociarle laR-´algebraC∞(U) de sus funciones de clase

C∞con valores enR.

Cuando en un espacio topol´ogicoX tenemos definido un haz de anillos OX, podemos hablar deOX-m´odulos, que son los hacesMsobreX tales queM(U) es un m´odulo sobre el anillo OX(U), para cada abiertoU ⊂X. Por ejemplo, el haz que a cada abierto U de una variedad diferencial le asigna el R-espacio vectorial Λp(U) de sus formas diferenciales de dimensi´onp, es unC-m´odulo,

pues, ciertamente, Λp(U) es un m´odulo sobre el anilloC(U).

(9)

El resto del cap´ıtulo est´a dedicado a desarrollar en este contexto la teor´ıa de funtores derivados. Puede considerarse —y as´ı fue, de hecho, como surgi´o— una versi´on abstracta que unifica las diversas construcciones de grupos de homolog´ıa y cohomolog´ıa que aparecen en topolog´ıa algebraica y en geometr´ıa diferencial. En sus aplicaciones geom´etricas, permite asignar a cada espacio topol´ogicoX y a cada anilloA(bajo ciertas hip´otesis) una sucesi´on de grupos de cohomolog´ıa Hp(X, A

X). La construcci´on es extremadamente abstracta, pero satisface un poderoso teorema de unicidad que hace f´acil probar queHp(X, AX) coincide con casi cualquier cosa. As´ı, por ejemplo, se demuestra (f´acilmente) que los grupos de cohomolog´ıa de De Rham de una variedad diferencialX son isomorfos a los gruposHp(X,R

X), y lo mismo sucede con los grupos de cohomolog´ıa singular diferenciable. Al combinar estos dos isomorfismos:

Hp(X)=Hp(X,RX)=H∞p (X,R),

obtenemos el teorema de De Rham. Podr´ıa pensarse que esta prueba obte-nida por mediaci´on de un concepto abstracto como Hp(X,R

X) es una mera prueba de existencia que no nos proporciona informaci´on expl´ıcita sobre cu´al es ese isomorfismo, pero en realidad sucede justo lo contrario. Los isomorfismos individuales

Hp(X)=Hp(X,RX) y H∞p(X,R)=Hp(X,RX) hacen part´ıcipes a los gruposHp(X) yHp

(X,RX) de la potente unicidad que satisfacen los grupos Hp(X,R

X), y ello implica que cualquier homomorfismo entre ellos que satisfaga unas m´ınimas condiciones ha de ser necesariamente un isomorfismo. As´ı, la prueba de que el isomorfismo expl´ıcito entre la cohomolog´ıa de De Rham y la cohomolog´ıa singular viene dada por la integraci´on de formas diferenciales sobre s´ımplices no requiere m´as c´alculo integral que el imprescindi-ble para definir la integraci´on de formas sobre s´ımplices. La parte no trivial del teorema, es decir, que esta integral induce un isomorfismo entre los grupos de cohomolog´ıa, se vuelve poco menos que trivial. M´as a´un, esta t´ecnica permite demostrar con sorprendente simplicidad la versi´on fuerte del teorema de De Rham, a saber, que los isomorfismos entre los distintos grupos de cohomolog´ıa se combinan para formar un isomorfismo de ´algebras

L p=0

Hp(X)= L p=0

Hp(X,R),

cuando cada miembro se dota de estructura de ´algebra con el correspondiente producto exterior. Nuevamente, los ´unicos c´alculos de la prueba son los necesa-rios para construir los productos exteriores.

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importantes son los m´odulos TorAp(M, N) y ExtAp(M, N). Ambas familias est´an relacionadas y a menudo es posible elegir entre usar una u otra para un determi-nado fin. Nosotros hemos optado por utilizar Tor en todas las aplicaciones, de modo que, aunque tambi´en daremos la construcci´on de Ext, no veremos aplica-ciones. (Al contrario que Tor, la familia Ext puede definirse para m´odulos sobre un espacio anillado, y pueden usarse para demostrar un profundo teorema sobre cohomolog´ıa de esquemas, el teorema de dualidad.)

Si el ´algebra homol´ogica ha surgido a partir de la topolog´ıa algebraica, el ´

algebra conmutativa ha surgido de la geometr´ıa algebraica. La geometr´ıa al-gebraica cl´asica estudia los conjuntos algebraicos afines y proyectivos, es decir, subconjuntos del espacio af´ın o del espacio proyectivo definidos como conjuntos de ceros de uno o varios polinomios de varias variables. Los conjuntos algebrai-cos pueden dotarse de una topolog´ıa (la topolog´ıa de Zariski) en la que cada punto tiene un entorno isomorfo a un conjunto algebraico af´ın, por lo que los problemas geom´etricos locales, es decir, los que dependen ´unicamente de las propiedades de un conjunto algebraico en un entorno de uno de sus puntos, pueden reducirse al estudio de conjuntos algebraicos afines. Es, precisamente, en el estudio de los conjuntos algebraicos afines donde la conexi´on con el ´algebra conmutativa es m´as estrecha:

A cada conjunto algebraico af´ınC⊂An(k) (un conjunto definido por poli-nomios con coeficientes en un cuerpo k), se le puede asignar lak-´algebrak[C] de las funciones polin´omicas (las funciones definidas por polinomios sobre los puntos deC). Sucede que las propiedades geom´etricas deCest´an determinadas por las propiedades del anillo k[C]. Para ser m´as precisos, podemos distinguir entre las propiedadesextr´ınsecasdeC, las propiedades que dependen del modo en queCest´a sumergido en el espacio af´ınAn(k), y las propiedadesintr´ınsecas, las que comparten dos conjuntos algebraicos isomorfos, independientemente de c´omo est´en sumergidos enAn(k), incluso para distintos valores den. Las pro-piedades intr´ınsecas son precisamente las que pueden expresarse en t´erminos del anillok[C].

Por ejemplo, en el caso m´as simple, en que el cuerpo kes algebraicamente cerrado, los puntos de C se corresponden con los ideales maximales de k[C], y los ideales primos de k[C] se corresponden con los subconjuntos algebraicos

irreduciblesdeC. (La irreducibilidad expresa que no pueden descomponerse en un n´umero finito de conjuntos algebraicos menores. Por ejemplo, una circunfe-rencia es irreducible, mientras que la uni´on de una recta y una circunferencia tiene dos componentes irreducibles.) Esto permite expresar la dimensi´on deC en t´erminos de los ideales dek[C]: el hecho de que una esferaStiene dimensi´on 2 se corresponde con el hecho de que las mayores cadenas de subconjuntos algebraicos irreducibles contenidos en una esfera tienen longitud 3, pues son necesariamente de la forma

puntocurva esfera.

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en general puede ser infinita. En estos t´erminos, la dimensi´on de un conjunto algebraicoC es una propiedad intr´ınseca, pues es igual a la dimensi´on de Krull de su ´algebrak[C] de funciones polin´omicas.

Tenemos as´ı un ejemplo t´ıpico de lo que se hace al estudiar el ´algebra con-mutativa: partimos de una propiedad geom´etrica como la dimensi´on, y pasamos a una propiedad que tiene sentido en un anillo arbitrario, como es la dimensi´on de Krull. La generalizaci´on de conceptos y resultados geom´etricos a anillos arbitrarios tiene varias razones de ser, entre las que cabe destacar:

Facilita el empleo de t´ecnicas algebraicas para el estudio de determinados problemas geom´etricos.

Permite comprender mejor las propiedades intr´ınsecas de los conjuntos algebraicos.

Flexibiliza las posibilidades de tratarlos al no estar sometidos a la necesi-dad de trabajar en todo momento con conjuntos definidos por polinomios.

Permite aplicar las t´ecnicas geom´etricas a otros contextos distintos de la propia geometr´ıa, como la teor´ıa algebraica de n´umeros.

Esto se entender´a mejor si pensamos en la situaci´on an´aloga en geometr´ıa diferencial. Los conjuntos algebraicos son equiparables a las variedades diferen-ciales definidas como subconjuntos deRn. Sin embargo, la noci´on abstracta de variedad diferencial, que permite tratar como tal a un espacio topol´ogico que satisfaga ciertas condiciones, aunque no sea un subespacio deRn, presenta estas mismas ventajas. Aunque puede probarse que toda variedad diferencial puede sumergirse enRn, lo cierto es que hacerlo puede ser complicado y no ayudar en nada a su estudio, sino m´as bien al contrario. Pensemos por ejemplo en el plano proyectivo P2(R). Es cierto que puede sumergirse en R4, pero es mucho m´as c´omodo considerarla como variedad abstracta, por ejemplo, como el cociente que resulta al identificar los puntos opuestos de una esfera.

El an´alogo en geometr´ıa algebraica al concepto abstracto de variedad dife-rencial es el concepto de esquema, y el ´algebra conmutativa es a la teor´ıa de esquemas lo que el c´alculo diferencial es a la geometr´ıa diferencial.

Respecto a las posibilidades de aplicaci´on a la teor´ıa de n´umeros, pensemos en la siguiente analog´ıa: la geometr´ıa cl´asica puede reformularse en t´erminos del ´algebra lineal, identificando los puntos, rectas, planos, etc. con las subvarie-dades afines deRn, pero entonces estas t´ecnicas geom´etricas pueden aplicarse igualmente a las subvariedades afines dekn, dondekes un cuerpo arbitrario o, en otra direcci´on, pueden generalizarse a espacios de dimensi´on infinita (espa-cios de Banach o espa(espa-cios de Hilbert) con numerosas aplicaciones. Igualmente, la geometr´ıa abstracta que proporciona la teor´ıa de esquemas tiene importantes aplicaciones a la teor´ıa de n´umeros (curvas el´ıpticas, variedades abelianas, etc.)

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cap´ıtulo conciernen a la dimensi´on de Krull de un anillo. Los an´alogos algebrai-cos de propiedades geom´etricamente intuitivas pueden ser dif´ıciles de probar a causa de que un anillo arbitrario (o sujeto a hip´otesis razonables, pero generales al mismo tiempo) no tiene por qu´e comportarse a priori como el ´algebra de funciones polin´omicas de un conjunto algebraico.

Veremos tambi´en que el estudio de las propiedades locales de un conjunto algebraico af´ınC, esto es, las propiedades que tieneC alrededor de uno de sus puntos P, pueden reducirse al estudio de un anillo asociado a k[C], el anillo

OC,P de los cocientes de funciones polin´omicas definidos enP. Veremos que la construcci´on deOC,P a partir de k[C] puede generalizarse a anillos arbitrarios (formaci´on de anillos de fracciones), y que los anillos construidos de esta forma tienen la caracter´ıstica fundamental de seranillos locales,es decir, anillos con un ´unico ideal maximal (en el caso de OC,P el ideal maximal es el ideal de las funciones que se anulan en P). El Cap´ıtulo IV est´a ´ıntegramente dedicado al estudio de los anillos locales. Un ejemplo de propiedad local es la dimensi´on alrededor de un punto. Por ejemplo, la uni´on de un plano y una recta tiene, por definici´on, dimensi´on 2, pero se puede hablar de la dimensi´on alrededor de un punto, que en este caso ser´a 1 para los puntos de la recta y 2 para los puntos del plano. Esto hace que los resultados principales sobre la dimensi´on de Krull de un anillo se apliquen a anillos locales (lo que simplifica la situaci´on al eliminar los casos “h´ıbridos” como el del ejemplo que acabamos de comentar). El resultado fundamental de este cap´ıtulo es el teorema de la dimensi´on, que da dos caracterizaciones alternativas de la dimensi´on de Krull de un anillo local, que resultan ser una poderosa herramienta de trabajo.

Finalmente, en el cap´ıtulo V estudiamos el ´algebra subyacente al equivalente en geometr´ıa algebraica al concepto de diferenciabilidad en geometr´ıa diferen-cial. Estudiar la diferenciabilidad sin c´alculo diferencial no es cosa f´acil, y es aqu´ı donde hacen falta las t´ecnicas de ´algebra homol´ogica. El concepto del que hablamos recibe el nombre de regularidad, y es crucial en geometr´ıa algebraica por el mismo motivo que el concepto de diferenciabilidad es fundamental en geo-metr´ıa diferencial. En general, un conjunto algebraico (o un esquema) puede tener puntos “singulares” donde falla la regularidad (por ejemplo, un cono es singular en su v´ertice), y no es de extra˜nar que muchos resultados requieran la hip´otesis de regularidad o, al menos, requieran distinguir los puntos regulares de los singulares. Por otra parte, las buenas propiedades de los conjuntos algebrai-cos regulares no son, ni mucho menos, evidentes, sino que es necesario disponer de una potente maquinaria algebraica para sacar partido de una hip´otesis de regularidad. ´Esta es la finalidad de este ´ultimo cap´ıtulo.

(13)

Primera parte

´

Algebra homol´

ogica

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(15)

Cap´ıtulo I

Funtores derivados

En este cap´ıtulo expondremos la teor´ıa de funtores derivados en el grado justo de generalidad que vamos a necesitar. Ello significa que no trabajaremos ni en el contexto —demasiado restrictivo— de las categor´ıas de m´odulos sobre un anillo, ni tampoco en el contexto —inaceptablemente abstracto— de las categor´ıas abelianas. Como t´ermino medio entre ambos extremos, hemos optado por desarrollar la teor´ıa en el contexto de las categor´ıas de m´odulos sobre un espacio anillado, as´ı que las primeras secciones est´an dedicadas a presentar este concepto.

En lo sucesivo, todos los anillos se supondr´an conmutativos y unitarios (y todo homomorfismo de anillos conserva la unidad por definici´on). Por el con-trario, no supondremos que los espacios topol´ogicos tengan la propiedad de Hausdorff salvo que lo indiquemos expl´ıcitamente.

1.1

Haces

Representaremos por K el cuerpo R o C. Si X es un espacio topol´ogico, para cada abierto U de X podemos considerar el conjunto CX(U,K) de las funciones continuas U −→ K, que tiene una estructura de K-´algebra con las operaciones definidas puntualmente. Estas ´algebras est´an relacionadas entre s´ı: cuandoU ⊂V ⊂X son abiertos, la restricci´onρV

U :CX(V,K)−→CX(U,K) es un homomorfismo deK-´algebras.

´

Este es s´olo uno de los muchos ejemplos en los que es posible asignar con-sistentemente de forma natural a cada abierto de un espacio topol´ogico (tal vez dotado de estructuras m´as fuertes) un objeto algebraico (unaK-´algebra, un es-pacio vectorial, etc.). Pensemos, por ejemplo, en ´algebras de funcionesC∞, u

holomorfas, o espacios de tensores o formas diferenciales, etc. La noci´on de haz axiomatiza este tipo de situaciones:

Definici´on 1.1 Un prehaz sobre un espacio topol´ogico X es un par (F, ρ), dondeF es una aplicaci´on que a cada abiertoU deX le asigna un grupo abe-lianoF(U) yρ es una aplicaci´on que a cada par de abiertos U ⊂V deX les

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asigna una homomorfismoρV

U :F(V)−→F(U) (que llamaremos restricci´on) de modo que se cumplan las propiedades siguientes:

a) F() = 0,

b) ρU

U es la identidad enF(U),

c) siU ⊂V ⊂W son abiertos deX, entoncesρW

V ◦ρVU =ρWU.

Si los grupos F(U) son anillos o m´odulos, etc. y las restricciones son ho-momorfismos de anillos, m´odulos, etc., entonces tenemos un prehaz de anillos, m´odulos,etc.

Normalmente, si f F(V) yU ⊂V escribiremosf|U =ρVU(f).

Unhazsobre un espacio topol´ogicoX es un prehaz tal que siU es un abierto enX yU =S

i

Ui es un cubrimiento abierto de U, entonces

a) Sif F(U) cumple quef|Ui = 0 para todoi, entoncesf = 0.

b) Para cada familia de elementosfi F(Ui) tales quefi|Ui∩Uj =fj|Ui∩Uj

para todos los ´ındicesi,j, existe unf F(U) tal quef|Ui =fipara todo

´ındicei.

Notemos que el elementof cuya existencia se afirma en la propiedad b) es ´

unico por la propiedad a).

Ejemplos Al principio de la secci´on hemos definido el haz CX de las fun-ciones (reales o complejas) continuas sobre un espacio topol´ogico X, que es, concretamente, un haz deK-´algebras. Es obvio que cumple las condiciones de la definici´on. Similarmente podemos definir el hazC∞

X de las funciones de clase C∞sobre los abiertos de una variedad diferencial, o el hazHX de las funciones

holomorfas definidas sobre los abiertos de una variedad compleja.

Consideremos un espacio topol´ogico arbitrarioX, un grupo abeliano arbi-trario A y fijemos punto p X. Llamaremos ApX al haz que a cada abierto U ⊂X le hace corresponder el grupo

ApX(U) = Ω

A sip∈U, 0 sip /∈U, y en el queρU

V es la identidad sip∈V y el homomorfismo nulo en caso contrario. Es f´acil comprobar que se trata ciertamente de un haz. Los haces de esta forma se llamanrascacielos.

Veamos ahora un ejemplo de prehaz que no es un haz:

SeaX un espacio topol´ogico y seaAun grupo abeliano. Definimos elprehaz constanteA−X como el dado por

A−X(U) = Ω

(17)

en el queρU

V es la identidad enAsalvo siV =∅. ObviamenteA−X es un prehaz de grupos, pero es claro que no es un haz siA 6= 0 yX contiene dos abiertos disjuntos.

Los haces permiten relacionar las propiedades globales y locales de los espa-cios sobre los que est´an definidos. La herramienta clave para ello es el concepto siguiente:

Definici´on 1.2 Si F es un prehaz sobre un espacio topol´ogico X y P X, definimos el grupo de g´ermenes o grupo local de F en P como el grupo FP formado por las clases de equivalencia de pares (U, f) con P U, U abierto enX, yf F(U), respecto de la relaci´on dada por (U, f)(V, g) si y s´olo si existe un abiertoW ⊂U ∩V tal que P ∈W y f|W =g|W. La operaci´on de grupo es la dada por

[(U, f)] + [(V, g)] = [(U∩V, f|U∩V +g|U∩V)].

Sif F(U) yP ∈U, representaremos porfP = [(U, f)]FP. Es claro que la aplicaci´onF(U)−→FP dada porf 7→fP es un homomorfismo de grupos.

Si F es un prehaz de anillos o m´odulos, etc., los grupos de g´ermenes FP adquieren la misma estructura de forma natural. En lo sucesivo omitiremos este tipo de observaciones, que siempre ser´an triviales.

Si F es un prehaz en un espacio topol´ogico X y U X es un abierto, definimos larestricci´ondeFaU como el prehazF|U que a cada abiertoV ⊂U le asigna el grupo F|U(V) = F(V) y respecto al que las restricciones entre abiertos son las mismas que las deF. Es obvio que siFes un haz su restricci´on a cualquier abierto tambi´en lo es. SiP U, tenemos un isomorfismo natural (F|U)P −→F|P dado por [(V, f)]7→[(V, f)].

Ejemplos Si X es un espacio topol´ogico y p X es un punto cerrado (en particular, siX es un espacio de Hausdorff), entonces, para todo puntoq∈X, el haz rascacielosApX cumple que

ApX,q = Ω

A siq=p, 0 siq6=p.

(Esta propiedad ha sugerido el nombre de “rascacielos”.)

Por otra parte, el prehaz constante A−X cumple que A−X,q = A para todo puntoq∈X.

Veamos un primer ejemplo elemental de c´omo un hecho global se puede probar localmente:

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Demostraci´on: La hip´otesis significa que todo punto P U tiene un entorno VP ⊂U donde f|VP = g|VP. Equivalentemente, (f −g)|VP = 0. La

definici´on de haz implica quef−g= 0.

Definici´on 1.4 SeaXun espacio topol´ogico yFun prehaz enX. Unsubprehaz

de F es un prehaz G en X tal que, para todo abierto U X, se cumple que

G(U) es un subgrupo deF(U) y las restricciones deG son las restricciones de las restricciones correspondientes de F (o, en otras palabras, que siV U y f G(U), entoncesf|V es el mismo tanto si lo calculamos enFo enG). SiGes un haz diremos que es unsubhazdeF.

Observemos que si G es un subprehaz de F y P X, tenemos un mono-morfismo natural GP −→FP dado por [(U, f)]7→ [(U, f)], el cual nos permite identificar aGP con un subgrupo deFP.

Ejemplo SiX es una variedad diferencial, es claro que el hazCXde las fun-ciones diferenciables enX es un subhaz del hazCX de las funciones continuas.

Un subhaz est´a determinado por sus grupos de g´ermenes:

Teorema 1.5 Sea X un espacio topol´ogico, sea F un haz en X y sea G un subhaz. Si U X es un abierto y f F(U), entonces f G(U) si y s´olo si

fP GP para todoP ∈U.

Demostraci´on: Una implicaci´on es obvia. Si se cumple la condici´on local, cada punto P U tiene un entorno VP U tal quef|VP = gP, para cierto

gP G(VP). Como Ges un haz, existe ung G(U) tal queg|VP =gP =f|VP

para todoP y, comoFes un haz, esto implica quef =g∈G(U).

Definici´on 1.6 SiF yG son dos prehaces sobre un espacio topol´ogico X, un

homomorfismo de prehaces(o de haces, si es queFyG son haces)α:F−→G

es una aplicaci´on que a cada abierto U de X le asigna un homomorfismo de grupos αU : F(U) −→ G(U) tal que si U ⊂V X, el diagrama siguiente es conmutativo:

F(V)

ρV U

≤≤

αV

//G(V)

ρV U

≤≤

F(U) α

U //G(U)

Es claro que αinduce homomorfismosαP :FP −→GP entre los grupos de g´ermenes, dados porαP([(U, f)]) = [(U, αU(f))], de modo que siU es un abierto yP ∈U, el diagrama siguiente es conmutativo:

F(U)

≤≤

αU

//G(U)

≤≤

(19)

La composici´on de homomorfismos de prehaces se define de forma obvia, al igual que el homomorfismo identidad 1F : F −→ F. Un homomorfismo de

prehacesα:F−→Ges un isomorfismosi existe un homomorfismoβ:G−→F

tal que α◦β = 1 yβ◦α = 1. Esto equivale a que todos los homomorfismos αU : F(U) −→ G(U) sean isomorfismos. El teorema siguiente nos da otra caracterizaci´on:

Teorema 1.7 Un homomorfismo de haces α : F −→ G sobre un espacio to-pol´ogicoX es un isomorfismo si y s´olo si para todoP ∈X los homomorfismos

αP :FP −→GP son isomorfismos.

Demostraci´on: Una implicaci´on es obvia. Supongamos que los homomor-fismos αP son isomorfismos. Sea U un abierto en X y sea s F(U) tal que αU(s) = 0. Entonces, para cada P U tenemos que αP(sP) =αU(s)P = 0. Por consiguientesP = 0 para todoP ∈U, y el teorema 1.3 nos da ques= 0. Esto prueba queαU es un monomorfismo.

Tomemos ahora t G(U). Para cada P U existe un f FP tal que αP(f) = tP. Esto significa que existe un abierto P UP U de forma que f = [(UP, sP)] yt|UP =αUP(sP). Entonces

αUP∩UQ(sP|UP∩UQ) =t|UP∩UQ =αUP∩UQ(sQ|UP∩UQ).

Ya hemos probado que αUP∩UQ es inyectiva, luego sP y sQ coinciden en

UP ∩UQ. Por la definici´on de haz existe uns∈F(U) tal que s|UP =sP para

todoP ∈U. AhoraαU(s)|UP =αUP(sP) =t|UP, con lo queαU(s) =t.

Definici´on 1.8 Diremos que un homomorfismo de haces α:F−→G sobre un espacio topol´ogicoX es unmonomorfismo(resp. unepimorfismo)si para todo P ∈X se cumple queαP es un monomorfismo (resp. un epimorfismo).

En la prueba del teorema anterior se muestra que αes un monomorfismo en este sentido si y s´olo siαU es un monomorfismo para todo abiertoU deX. En cambio el ejemplo siguiente muestra que, aunqueαsea un epimorfismo, los homomorfismosαU no tienen por qu´e ser epimorfismos:

Ejemplos Sea X = C\ {0}, sea HX el haz de las funciones holomorfas y seaH

X el haz de las funciones holomorfas que no se anulan (que es un grupo abeliano con el producto de funciones, no con la suma). Seaφ:HX −→HX∗ el homomorfismo dado porφU(f)(z) = ef(z). La teor´ıa de funciones de variable compleja prueba queφes un epimorfismo (porque cada funci´on holomorfa que no se anula tiene un logaritmo holomorfo en un entorno de cada punto), mientras que la identidad I H

X(X) no tiene antiimagen por φX (pues no existe un logaritmo holomorfo definido sobre todoC\ {0}).

SeaXuna variedad diferencial y sea Λ1

Xel haz de las formas diferenciales de grado 1 sobreX, es decir, para cada abiertoU ⊂X definimos Λ1

(20)

espacio vectorial de las formas diferenciales definidas sobreU, y las restricciones son las naturales. La diferencial exterior induce un homomorfismo de haces

d:CX∞−→Λ1X.

Concretamente, para cada abierto U ⊂X, el homomorfismo dU :CX∞(U)−→Λ1X(U)

es el que a cada funci´onf le asigna su diferencial.

SiX tiene dimensi´on 1, entoncesdes un epimorfismo. En efecto, siP ∈X, un elemento de Λ1

X,P est´a determinado por una forma diferencial ω definida en un entorno V de P, que podemos tomar arbitrariamente peque˜no y, en particular, contractible. Esto hace que el grupo de cohomolog´ıa de De Rham H1(V) sea nulo,1 y, como la dimensi´on de V es 1, toda forma ω cumple que = 0, (pues Λ2(V) = 0), por lo que existe f C

X(V) tal que df = ω. El germen def enP es, entonces una antiimagen para el germen deω.

Sin embargo, el homomorfismodX:CX∞(X)−→Λ1X(X) ser´a suprayectivo si y s´olo siH1(X) = 0, lo cual no tiene por qu´e ser cierto. (No lo es, por ejemplo, siX es la circunferenciaS1.)

Nos encontramos as´ı por primera vez con un fen´omeno que est´a en el n´ucleo de la teor´ıa de haces. Es el que hace que ´esta no sea trivial y es la principal raz´on de ser del ´algebra homol´ogica sobre haces, que desarrollaremos m´as adelante.

Todo prehaz puede “completarse” hasta un haz:

Teorema 1.9 Si F es un prehaz sobre un espacio topol´ogico X, existe un haz

F+ sobre X y un homomorfismo i:F −→F+ de modo que si G es un haz en X y α : F −→ G es un homomorfismo de prehaces, entonces existe un ´unico homomorfismoα+:F+−→G tal queα=i◦α+. Adem´as, los homomorfismos

iP :FP −→FP+ son isomorfismos.

Demostraci´on: Para cada abiertoU enX definimosF+(U) como el con-junto de todas las funcionesf :U −→ L

P∈U

FP que cumplan lo siguiente:

Para cadaP ∈U existe un entorno abiertoV deP enU y uns∈F(V) de modo que para todoQ∈V se cumple quef(Q) =sQ.

Claramente F+(U) es un grupo con la suma definida puntualmente. Como restricciones tomamos las restricciones usuales de aplicaciones. Es inmediato entonces que F+ es un haz en X. Definimos i

U : F(U) −→ F+(U) mediante iU(s)(P) =sP. Claramente es un homomorfismo de prehaces.

Si α : F −→ G es un homomorfismo de prehaces, podemos definir un ho-momorfismo α+U : F+(U) −→ G(U) de la forma siguiente: dado f F+(U), consideramos pares (V, s) que cumplen la definici´on deF+(U) paraf y de modo

(21)

que los abiertosV cubranU. Entonces los elementosαV(s)G(V) se extien-den a un elemento α+U(f) G(U). Este elemento est´a caracterizado por que α+U(f)P =αP(f(P)), luego no depende del cubrimiento elegido para calcularlo. Es claro entonces queα+U es un homomorfismo de haces.

Sis∈F(U), entoncesαU+(iU(s)) =αU(s) (pues podemos calcularlo a partir del par (U, s)), luegoα=i◦α+.

Si α0 : F+ −→ G cumple tambi´en que α = iα0, entonces, para cada

f F(U) y cada par (V, s) seg´un la definici´on deF+(U), tenemos queα0

U(f)|V = α0

V(f|V) =α0V(iV(s)) =αV(s) =α+(iV(s)) = α+(f|V) =α+(f)|V. As´ı pues, α0

U(f) =αU+(f).

Veamos ahora que iP es un isomorfismo. Si iP([(U, s)]) = [(U, iU(s))] = 0, entonces existe un entornoV deP tal queiU(s)|V = 0. As´ısP = 0 para todo P ∈V, luegos|V = 0 y [(U, s)] = 0. Esto prueba queiP es inyectiva.

Dado [(U, f)] FP+, tomamos un entornoV deP enU seg´un la definici´on deF+(U), y entonces i

P([(V, s)]) = [(U, f)].

La propiedad de F+ implica en particular que es ´unico salvo isomorfismo. As´ı mismo, si F es un haz, entonces i : F −→ F+ es un isomorfismo (por el teorema 1.7). Tambi´en se sigue de la construcci´on que si F es un prehaz de anillos, ´algebras, etc., entoncesF+ tambi´en lo es.

Ejemplo SeaX un espacio topol´ogico y seaAun grupo abeliano. Definimos elhaz constante AX como la compleci´on del prehaz constante A−X definido en la p´agina 4. Analizando la demostraci´on del teorema anterior se ve f´acilmente que, para cada abiertoU ⊂X no vac´ıo,AX(U) est´a formado por las funciones U −→ A que son localmente constantes. Al igual que el prehaz, cumple que AX,P =A para todo puntoP ∈X.

Ahora podemos dar un ejemplo muy simple que muestra que la suprayecti-vidad de un homomorfismo de haces no implica la suprayectisuprayecti-vidad de los homo-morfismos que lo definen:

Consideremos un espacio topol´ogico conexoX y fijemos dos puntos cerrados distintos p1, p2 X. Sea A un grupo abeliano y F = ApX1 ⊕A

p2

X, donde la suma directa tiene el significado obvio: para cada abierto U X definimos

F(U) =Ap1

X(U)⊕A p2

X(U), y las restricciones son los homomorfismos inducidos de forma natural sobre la suma por las restricciones de los dos haces rascacielos. Es f´acil ver entonces que, para cada punto q∈X, se tiene que

Fq=ApX,q1 ⊕ApX,q2 = Ω

A siq∈ {p1, p2}, 0 siq /∈ {p1, p2}. Definimos un homomorfismof−:A

X−→F mediante

fU(a) =     

(22)

Es inmediato que los homomorfismos fU conmutan con las restricciones, por lo que definen ciertamente un homomorfismo de prehacesf−, de modo que,

para cada q ∈X, el homomorfismof−

q : A−X,q −→ Fq es la identidad enA si q∈ {p1, p2}y el homomorfismo nulo en caso contrario. Por el teorema anterior f− se extiende a un homomorfismo de haces f : AX −→ F para el que los

homomorfismosfq son los mismos que los homomorfismosfq−, luego todos son epimorfismos.

Esto significa quef es un epimorfismo de haces, mientras que el homomor-fismofX :AX(X)−→F(X) no puede ser suprayectivo (siAes razonable, por ejemplo si es un cuerpo), porque, al ser X conexo,AX(X)=A, mientras que

F(X)=A⊕A.

Sea X un espacio topol´ogico, sea F un haz en X y seaG un subhaz deF. Entonces podemos definir un prehaz (F/G)(U) =F(U)/G(U) tomando como

restricciones los homomorfismos inducidos por las restricciones deF. En general no se trata de un haz, pero definimos F/G= (F/G)+. Es f´acil ver que, para todoP∈U, se cumple que (F/G)P = (F/G)−P =FP/GP.

La proyecci´on can´onicaπ−:F−→(F/G)dada porπ

U(f) = [f] se extiende a un epimorfismoπ:F−→F/Gtal que, siP∈X, entoncesπP :FP −→FP/GP es la proyecci´on can´onica.

El teorema 1.5 implica ahora que F/G= 0 si y s´olo siG=F.

Sif :F−→Ges un homomorfismo de haces sobre un espacio topol´ogicoX, podemos definir su n´ucleo N(f) como el subhaz deFdado por (Nf)(U) = NfU. Es claro que (Nf)P = NfP.

En cambio, el subprehaz (Imf) deG dado por (Imf)(U) = Imf

U no es en general un haz. Definimos Imf = (Imf)+. Observemos que la inclusi´on j : (Imf) −→ G se extiende a un homomorfismo j+ : Imf −→ G de modo quej =i◦j+ (dondei: (Imf)−→Imf). En particular, siP X tenemos

que jP = iP ◦jP+, de donde se sigue que jP+ es inyectivo. Por lo tanto los homomorfismos jU+ : (Imf)(U) −→ G(U) son inyectivos. Esto nos permite considerar a Imf como un subhaz de G. Esta identificaci´on nos lleva a su vez a identificar ImfP = (Imf)−P con (Imf)P. El teorema 1.5 nos determina entonces a Imf como subhaz deG: siU ⊂X es un abierto, el grupo (Imf)(U) est´a formado por loss∈G(U) tales quesP ImfP para cadaP ∈U, es decir, por los elementos deG(U) que localmente tienen antiimagen porf.

Ejemplos Cualquiera de los ejemplos que hemos dado de homomorfismos de haces φ:F −→G que son suprayectivos sin que todos los homomorfismos φU lo sean, sirve como ejemplo de que (Imφ)− no es necesariamente un haz. En

efecto, sig∈G(U) no est´a en la imagen deφU, entonces podemos cubrirU con abiertosV tales queg|V (Imφ)−(V), y estos elementos son consistentes entre s´ı, pero no se extienden a ning´un elemento de (Imφ)−(U).

(23)

elcon´ucleodef como CN(f) =G/Imf. As´ı,f es inyectivo si y s´olo si Nf = 0 y es suprayectivo si y s´olo si CN(f) = 0.

Las propiedades elementales sobre grupos abelianos tienen su an´alogo para haces sobre un espacio topol´ogico, y las demostraciones son elementales, aunque requieren cierta familiaridad con las t´ecnicas de trabajo con haces (manejo de compleciones y localizaciones). Veamos algunos ejemplos como ilustraci´on:

En primer lugar demostramos el teorema de isomorf´ıa: un homomorfismo f :F−→Gpuede descomponerse como

F−→π F/Nf −→f¯ Imf −→i G,

donde el primer homomorfismo es suprayectivo (la proyecci´on can´onica), el se-gundo es un isomorfismo y el tercero un monomorfismo (la inclusi´on).

En efecto, para cada abierto U ⊂X definimos de forma natural el isomor-fismo ¯fU : F(U)/NfU −→ ImfU. Estos isomorfismos definen un isomorfismo

¯

f− : (F/Nf) −→ (Imf). Para cada P X, se comprueba

inmediata-mente que ¯fP: (F/Nf)P −→ImfP se corresponde con el isomorfismo natural

FP/NfP −→ImfP. La composici´on

(F/Nf)−−→(Imf)−−→Imf

se extiende a un homomorfismo de haces ¯f : F/Nf −→ Imf tal que, para cada P X, el homomorfismo ¯fP se corresponde con el isomorfismo natural

¯

fP : FP/NfP −→ ImfP. Por lo tanto ¯f es un isomorfismo y, puesto que πP ◦f¯P◦iP =fP, se cumple queπ◦f¯◦i=f.

Observemos ahora que siF−→f G−→g Hson dos homomorfismos de haces, entonces f◦g= 0 si y s´olo si Imf es un subhaz de Ng. En efecto,f ◦g = 0 equivale a quefP◦gP = 0 para todoP ∈X, lo que equivale a que ImfP NgP y esto a su vez equivale a que Imf Ng (por 1.5).

Diremos que la sucesi´on anterior esexacta enG si cumple que Imf = NG, lo cual claramente equivale a que todas las sucesionesFP −→GP −→HP sean exactas.

Ejemplo Ahora podemos ver ejemplos en los que los prehaces (F/G)no son

haces. Siφ:F−→Ges un epimorfismo de haces, entonces (F/Nφ)−(X) =F(X)/NφX = ImφX,

mientras que (F/Nφ)(X) = G(X), y estos isomorfismos forman el diagrama conmutativo

(F/Nφ)(X) //G(X)

(F/Nφ)−(X)

OO qq88

(24)

Si (F/Nφ)− es un haz, la flecha vertical es un isomorfismo, luego los otros dos

isomorfismos tendr´ıan la misma imagen, ImφX =G(X). As´ı pues, siφX no es suprayectivo, entonces (F/Nφ)− no es un haz.

Hasta aqu´ı hemos considerado haces sobre un mismo espacio topol´ogicoX. Ahora veamos que podemos transportar haces a trav´es de aplicaciones continuas:

Definici´on 1.10 Sea f : X −→ Y una aplicaci´on continua entre espacios to-pol´ogicos yFun haz sobreX. Definimosf∗(F) como el haz sobreY determinado

por los gruposf(F)(U) =F(f1[U]) y las restriccionesρV U =ρ

f−1[V]

f−1[U].

Para cada P X tenemos un homomorfismo natural f∗(F)f(P) −→ FP dado por [(U, s)] 7→[(f1[U], s)], pero en general no es un isomorfismo. Una condici´on suficiente para que lo sea es que las antiim´agenes porf de los abiertos deY sean una base deX, lo cual sucede, por ejemplo, sif es una inmersi´on, es decir, un homeomorfismo en un subespacio deY.

En efecto, en tal caso, si [(f1[U], s)] = 0 existe un abiertoPV f1[U] tal ques|V = 0. Podemos tomar un abiertoU0 ⊂U tal queP ∈f−1[U0]⊂V, con lo que [(U, s)] = [(U0, s|

U0)] = 0. Esto prueba la inyectividad.

Por otra parte, dado [(U, s)] FP, podemos tomar un abierto V enY tal queP ∈f−1[V]U, con lo que [(V, s|

f−1[V])]∈f(F)f(P) tiene por imagen a

[(f1[V], s|

f−1[V])] = [(U, s)]. Esto prueba la suprayectividad.

Si f : X −→ Y es un homeomorfismo entre X y un cerrado de Y todav´ıa podemos decir m´as:

f(F)Q= Ω

0 siQ /∈f[X],

FP siQ=f(P).

En efecto, siQ /∈f[X] y [(U, s)]∈f(F)Q, consideramosV =U∩(Y\f[X]), que es un entorno deQpara el cual s|V ∈f∗(F)(V) =F(f1[V]) =F(∅) = 0,

luego [(U, s)] = 0].

Consideremos ahora una aplicaci´on continuaf :X −→Y y seaFun haz so-breY. Definimos el prehazf−1[F]enX para el quef1[F](U) est´a formado

por las clases de equivalencia de pares (V, s), conV abierto tal quef[U]⊂V ⊂Y ys∈F(V), respecto a la relaci´on dada por

(V, s)(V0, s0)existe un abiertof[U]⊂W ⊂V ∩V0 tal que s|W =s0|W. La suma se define restringiendo los representantes a un abierto com´un y sumando. Las restricciones vienen dadas por [(V, s)]7→[(V, s)].

En generalf−1[F] no es un haz, por lo que definimosf1[F] =f1[F]+. Observemos que tenemos un isomorfismo f−1[F]

P −→ Ff(P) determinado por [(U,[(V, s)])]7→[(V, s)], luego tambi´enf−1[F]

P =Ff(P).

Tambi´en conviene observar que si U es abierto en X ei : U −→ X es la inclusi´on entoncesi−1[F] =F|

(25)

Teorema 1.11 Sea f :X −→Y un homeomorfismo de un espacio topol´ogico

X en un subespacio de un espacio topol´ogicoY y seaF un haz enX. Entonces

F=f−1[f

(F)].

Demostraci´on: Sea α : F −→ f−1[f(F)] definido como sigue: para

cada abiertoU ⊂X y cadas F(U), existe un abiertoV ⊂Y tal que U = f−1[V], luego f

(F)(V) = F(U). Definimos αU(s) = [(V, s)]. Se comprueba inmediatamente que αU(s) no depende de la elecci´on de V, as´ı como que α es un homomorfismo de prehaces, que se extiende a un homomorfismo de haces α+ :F−→f1[f

(F)]. Para cada puntoP ∈Xes f´acil ver que el homomorfismo

α+P :FP −→f∗(F)f(P)=FP es la identidad enFP, luegoαes un isomorfismo.

1.2

Espacios anillados

En esta secci´on estudiamos los haces de anillos sobre un espacio topol´ogico, si bien conviene asociarlos al espacio como una estructura:

Definici´on 1.12 Unespacio anilladoes un par (X,OX), dondeXes un espacio topol´ogico y OX es un haz de anillos sobre X. Diremos que (X,OX) es un

espacio anillado localsi adem´as, para todo puntoP ∈X, el anilloOX,P eslocal, es decir, tiene un ´unico ideal maximal, que representaremos por mP. En tal caso definimos tambi´en el cuerpo de restos k(P) =OX,P/mP. Habitualmente escribiremosX en lugar de (X,OX). Si los anillos de X son —de hecho— A-´

algebras, para un cierto anilloA, diremos que el espacio anilladoXest´adefinido sobreA.

Si (X,OX) es un espacio anillado (local) y U es un abierto enX, tambi´en lo es (U,OX|U). En lo sucesivo consideraremos a los abiertos de los espacios anillados (locales) como espacios anillados (locales) con esta estructura.

Ejemplo Todo espacio topol´ogicoX tiene una estructura de espacio anillado definido sobreKsi lo dotamos de su hazCX de funciones continuas con valores en K. Se trata de un espacio anillado local, pues para cada punto P X, el anilloCX,P tiene un ´unico ideal maximal, que es

mP ={[(U, f)]|f(P) = 0}.

Es evidente quemP es un ideal propio deCX,P y, siα= [(U, f)]∈CX,P\mP, entoncesP tiene un entorno abierto V ⊂U tal quef|V no se anula en ning´un punto, luego podemos considerarβ = [(V,(f|V)1)] CX,P, que cumple que αβ = 1. As´ı pues, CX,P \mP es el conjunto de las unidades de CX,P, luego todos los ideales deCX,P est´an contenidos en mP.

El mismo razonamiento se aplica a una variedad diferencial con su haz de funcionesC∞ o a una variedad compleja con su haz de funciones holomorfas.

(26)

Definici´on 1.13 Un homomorfismo de espacios anillados f : X −→ Y es un par (f0, f#) formado por una aplicaci´on continua f0 : X −→ Y y un homo-morfismo de haces f# : O

Y −→ f∗(OX). Si los espacios anillados son locales, diremos que f es un homomorfismo de espacios anillados locales si, adem´as, para todo P X, el homomorfismo natural fP# : OY,f0(P) −→ OX,P es un homomorfismo de anillos locales,es decir, si cumple que (fP#)1[m

P] =mf0(P)

(o, equivalentemente, que fP#[mf0(P)] mP.) Si los espacios anillados est´an

definidos sobre un anillo A, diremos que f est´a definido sobre A si f# es un homomorfismo de haces deA-´algebras.

En definitiva, un homomorfismo de espacios anillados determina homomor-fismos fU# : OY(U) −→ OX(f01[U]) de modo que los diagramas siguientes conmutan:

OY(V) fV#

//

ρV U

≤≤

OX(f01[V])

ρf

1 0 [V] f01[U]

≤≤

OY(U) fU#

//OX(f1

0 [U])

Es f´acil definir de forma natural la composici´on de homomorfismos de espa-cios anillados, as´ı como el homomorfismo identidad. Un isomorfismo f es un homomorfismo con inverso. Esto equivale a que f0 sea un homeomorfismo y las aplicacionesfU#sean isomorfismos. (En el caso de espacios anillados locales, esto ya implica que los homomorfismosfP#son isomorfismos y, por consiguiente, que hacen corresponder los ideales maximales, tal y como exige la definici´on de homomorfismo de espacios anillados locales.) Por el teorema 1.7, esto equi-vale a su vez a que f0 sea un homeomorfismo y los homomorfismos fP# sean isomorfismos.

Cuando no haya posibilidad de confusi´on escribiremosf en lugar def0. As´ı mismo, si hablamos de un homomorfismo entre dos espacios anillados locales, sobrentenderemos que el homomorfismo es un homomorfismo de espacios ani-llados locales y, si hablamos de un homomorfismo entre dos espacios aniani-llados definidos sobre un anilloA, sobrentenderemos que est´a definido sobreA.

Ejemplo Sea φ : X −→ Y una aplicaci´on continua entre dos espacios to-pol´ogicos, consideramos como espacios anillados con sus haces de funciones continuas en K. Entonces φ define un homomorfismo de espacios anillados en el que ella misma es φ0 y, para cada abierto U Y, el homomorfismo φ#U :CY(U)−→CX1[U]) es el dado porφ#U(f) =φ|φ−1[U]◦f.

(27)

Veamos ahora que si φ : (X, CX)−→ (Y, CY) es cualquier homomorfismo de espacios anillados locales definido sobreK, entoncesφ# es necesariamente el homomorfismo definido por composici´on con φ0.

En efecto, tomemos un abierto U ⊂Y y una funci´onf ∈CY(U). Vamos a probar queφ#U(f) =φ0|φ−01[U]◦f. Tomemos un puntoP∈φ−1[U] y sea

α= (φ0|φ−01[U]◦f)(P) =f(φ0(P))K.

Entonces (f −α)(φ0(P)) = 0, luego f −α∈ mφ0(P), luego φ

#

U(f−α)∈ mP, luegoφ#U(f)(P) =α. Esto prueba la igualdad.

As´ı pues, las aplicaciones continuas φ : X −→ Y entre dos espacios to-pol´ogicos se corresponden biun´ıvocamente con los homomorfismos de espacios anilladosφ: (X, CX)−→(Y, CY).

Ejemplo Veamos ahora que si X eY son dos variedades diferenciales existe una biyecci´on entre las aplicaciones φ:X −→Y de clase C∞ y los

homomor-fismos de espacios anilladosφ: (X, C

X)−→(Y, CY∞).

El razonamiento es el mismo empleado en el ejemplo anterior, salvo que ahora hemos de probar que siφ = (φ0, φ#) es un homomorfismo, entonces φ0 no s´olo es una aplicaci´on continua, sino que es, de hecho, de clase C∞. En

cualquier caso, tenemos queφ#es necesariamente la composici´on conφ

0, por lo que siU ⊂Y es un abierto yf ∈C∞(U), entoncesφ

0|φ−1

0 [U]◦f ∈C

X01[U]). Basta tomar comoU el dominio de una carta deY y comof la propia carta.

Igualmente se prueba que las funciones holomorfas entre variedades com-plejas se corresponden con los homomorfismos entre las estructuras de espacio anillado definidas por sus haces de funciones holomorfas.

Ejercicio: Demostrar que podemos definir una variedad diferencial como un espacio anilladoX tal que todo punto tiene un entorno isomorfo —como espacio anillado— a un espacio (U, C∞

U), dondeU es un abierto enRn.

Definici´on 1.14 SeaX un espacio anillado yU un abierto enX. Definimos la

inclusi´oni:U −→X como el homomorfismo de espacios anillados determinado por la inclusi´oni0 :U −→ X (como espacios topol´ogicos) y el homomorfismo i# : O

X −→ i∗(OU) para el quei#V : O(V) −→ O(U∩V) es i#V = ρVU∩V. Es claro que siP ∈U entoncesi#P es la identidad enOP, luegoies ciertamente un homomorfismo de espacios anillados.

Si f : X −→ Y es un homomorfismo de espacios anillados, definimos su

restricci´onaU comof|U =iU ◦f :U −→Y.

Definici´on 1.15 Si (X,OX) es un espacio anillado, un OX-m´oduloes un haz

(28)

adicional de OX(U)-m´odulo compatible con las restricciones, en el sentido de que, para cadaa∈OX(U), cadam∈M(U) y cada abiertoV ⊂U, se cumple que (am)|V = (a|V)(m|V).

Es claro entonces que para cada P ∈X tenemos una estructura natural de

OX,P-m´odulo enMP.

Un homomorfismo de OX-m´odulos f : M −→ N es un homomorfismo de haces tal que para cada abiertoU ⊂X se cumple que fU :M(U)−→N(U) es un homomorfismo deOX(U)-m´odulos.

Aparentemente, los OX-m´odulos tienen una estructura algebraica m´as rica que los haces cualesquiera, pero esto es m´as aparente que real:

Teorema 1.16 Sea X un espacio topol´ogico, sea A un anillo y sea AX el haz

constante asociado. Entonces los haces enX definidos sobreAse corresponden con losAX-m´odulos. En particular, todos los haces enX son ZX-m´odulos.

Demostraci´on: SiU⊂X es un abierto no vac´ıo, los elementos de AX(U) son las funciones U −→A localmente constantes. En particular podemos con-siderar que A AX(U) identificando los elementos de A con las funciones constantes. Esto hace que todo AX-m´odulo sea en particular un haz en X definido sobre A. Rec´ıprocamente, si M es un haz en X definido sobre A y U X es un abierto no vac´ıo, podemos definir como sigue un producto AX(U)×M(U)−→M(U). Tomamosa∈ AX(U) y m M(U), tomamos un cubrimiento abierto{Ui}i deU de modo quea|Ui sea constante, lo que nos

per-mite definira|Uim|Ui M(Ui). Es claro que estos elementos se extienden a un

´

unicoam∈M(U), de modo queM(U) es unAX(U)-m´odulo con este producto. Puesto que un grupo abeliano es lo mismo que unZ-m´odulo, todo haz enX est´a definido sobreZ, luego puede verse comoZX-m´odulo.

Se define de forma natural larestricci´onde unOX-m´odulo a un abierto deX y la noci´on desubm´odulode unOX-m´odulo.

Es f´acil ver que la compleci´on de un prehaz de m´odulos sobre OX (esto es, de un prehaz que cumpla la definici´on precedente salvo por el hecho de que no es necesariamente un haz) es un OX-m´odulo. En particular, si N es un OX -subm´odulo de unOX-m´odulo M, el cociente M/Ntiene estructura natural de

OX-m´odulo. As´ı mismo, el n´ucleo y la imagen de un homomorfismo de OX -m´odulos son tambi´enOX-m´odulos.

Se definen de forma natural el producto y la suma directa de una familia arbitraria deOX-m´odulos.

SiM yN son dosOX-m´odulos, los productos M(U)OX(U)N(U), con las

restricciones obvias, forman un prehaz (MOXN), aunque no necesariamente

un haz. Definimos el producto tensorialMOXNcomo la compleci´on de dicho

prehaz. Para cadaP ∈X se cumple que

(29)

En efecto: para cadaP ∈X y cada abiertoP∈U ⊂X, los homomorfismos

M(U)OX(U)N(U)−→MP⊗OX,P NP dado por m⊗n 7→mP ⊗nP inducen

un homomorfismo (MOX N)−P −→ MP OX,P NP, cuyo inverso se define de

forma similar.

Dos homomorfismosf :M−→M0 yg:N−→N0, definen de forma natural un homomorfismo de prehaces (MOXN)−−→(M0⊗OXN0) que, compuesto

con (M0

OX N0) −→M0⊗OXN0, se extiende a un homomorfismo de haces

f ⊗g:MOX N−→M

0

OX N

0.

Se prueba f´acilmente que (f⊗g)P =fP⊗gP para cadaP ∈X.

Veamos que (MN)OXP= (MOX P)(NOXP). En efecto, es f´acil

definir homomorfismos de prehaces

(MOXP)−−→((MN)OXP)−, (NOX P)−−→((MN)OX P)−,

que se extienden a homomorfismos de haces

MOX P−→(MN)OXP, NOXP−→(MN)OXP,

los cuales a su vez determinan un homomorfismo

(MOX P)(NOXP)−→(MN)OXP,

que localizado a cadaP ∈X es el isomorfismo natural

(MP⊗OX,P PP)(NP OX,P PP)−→(MP⊕NP)OX,P PP.

1.3

Categor´ıas y funtores

Aunque la noci´on de categor´ıa no va a ser esencial en la teor´ıa que vamos a desarrollar, no est´a de m´as presentar la definici´on para situar debidamente nuestro marco de trabajo:

Definici´on 1.17 Unacategor´ıaCest´a determinada por:

a) Una clase, a cuyos elementos llamaremosobjetosdeC,

b) Una funci´on que a cada par de objetosX,Y deCles asigna un conjunto Hom(X, Y), a cuyos elementos llamaremosmorfismos(enC) deX enY. Escribiremosf :X −→Y para indicar quef Hom(X, Y).

(30)

1. Asociatividad: (f◦g)◦h=f (g◦h), para todos los morfismos f, g,hpara los que la composici´on tenga sentido.

2. Para cada objetoX, existe un morfismo 1X Hom(X, X) de manera que 1X ◦f = f para todo f Hom(X, Y) yg◦1X =g para todo g∈Hom(Y, X).

Si X es un espacio anillado, representaremos por Mod(X) la categor´ıa de losOX-m´odulos con los homomorfismos deOX-m´odulos y la composici´on usual de homomorfismos. Es obvio que Mod(X) cumple la definici´on de categor´ıa.

Si M, N son dos OX-m´odulos, es claro que el conjunto HomOX(M,N) de

todos los homomorfismosφ:M−→Ntiene una estructura natural de OX(X )-m´odulo con las operaciones dadas por

(φ+ψ)U =φU +ψU, (aφ)U =a|UφU, para cada abiertoU ⊂X.

Observemos que siA es un anillo arbitrario, podemos considerar el espacio topol´ogicoP ={0}considerado como espacio anillado con el haz constanteAP, que obviamente consta ´unicamente de los anillos AP(∅) = 0 y AP(P) = A, con las restricciones obvias. Es claro entonces que la aplicaci´on que a cada AP-m´odulo M le asigna el A-m´odulo M(P) es biyectiva, como tambi´en lo es la aplicaci´on que a cada homomorfismo φ:M−→NdeAP-m´odulos le asigna el homomorfismo de A-m´odulos φP : M(P) −→ N(P), de modo que todas las nociones definidas paraAP-m´odulos se corresponden con sus an´alogas para A-m´odulos (cocientes, n´ucleos, im´agenes, sumas directas, etc.).

Esto significa que podemos identificar la categor´ıa Mod(AP) de losAP-m´ o-dulos con la categor´ıa Mod(A) de los A-m´odulos, de modo que todo lo que digamos para m´odulos sobre un espacio anillado ser´a v´alido en particular para m´odulos sobre un anillo.

Definici´on 1.18 Unfuntor covarianteF :C−→C0entre dos categor´ıas es una

aplicaci´on que a cada objetoX de Cle asigna un objetoF(X) de C0 y a cada

morfismo f : X −→ Y un morfismo F(f) : F(X) −→ F(Y) de modo que se cumplan las propiedades siguientes:

a) F(1X) = 1F(X).

b) F(f◦g) =F(f)◦F(g) (siempre que la composici´on tiene sentido).

Unfuntor contravariante se define del mismo modo, salvo que a cada mor-fismof :X −→Y le hace corresponder un morfismoF(f) :F(Y)−→F(X) y la propiedad b) hay que modificarla de forma obvia.

Ejemplos SiX es un espacio anillado, cada OX-m´oduloMdefine un funtor covariante

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