La combinatoria en libros de texto de matemáticas de educación secundaria en España.

Facultad de Ciencias de la Educación

Departamento de Didáctica de la Matemática

L

A

C

OMBINATORIA EN LIBROS DE TEXTO DE

M

ATEMÁTICA DE

E

DUCACIÓN

S

ECUNDARIA

EN

E

SPAÑA

Facultad de Ciencias de la Educación

Departamento de Didáctica de la Matemática

L

A

C

OMBINATORIA EN LIBROS DE TEXTO DE

M

ATEMÁTICA DE

E

DUCACIÓN

S

ECUNDARIA

EN

E

SPAÑA

Trabajo de Investigación Tutelada presentado por

D. Jonathan Espinoza González

para optar por el Máster en Didáctica de la Matemática,

con la dirección del Dr. Rafael Roa Guzmán.

D. Jonathan Espinoza González

El Director

Dr. Rafael Roa Guzmán

A Dios que abrió puertas a mi favor para cumplir mis sueños, ¡Gracias Abba Padre!

Al Dr. Rafael Roa Guzmán por dirigir este trabajo y por el tiempo que dedicado a él.

A la Junta de Becas de la Universidad Nacional de Costa Rica por la beca otorgada para continuar mis estudios.

Al Consejo Nacional para Investigaciones Científicas y Tecnológicas y al Ministerio de Ciencia y Tecnología de Costa Rica por el complemento de beca otorgado.

Al Dr. Edwin Chaves Esquivel, gracias por su apoyo en todo momento.

A las autoridades de la UNA Sede Regional Brunca, Campus Pérez Zeledón, por la confianza depositada en mí y por la oportunidad ofrecida para realizar este Máster.

A mi amiga Nielka Rojas, gracias por el tiempo que dedicaste. Tus sugerencias y comentarios marcan un antes y un después de este trabajo.

A mis nuevos amigos ticos: Carlos e Ivania y su hijo Andrés, Gaby, German, Miguel y Mariel, gracias por recibirnos con una sonrisa en sus casas y por ayudarnos a instalarnos en “Granaa”. Le doy gracias a Dios por ponerlos en mi camino, ¡que Dios los bendiga!

A mi familia, en especial a mis padres, Ana y Rafael, que siempre me han apoyado y que son un ejemplo a seguir.

A Gerardo Solís, un amigo incondicional.

A mis amigos de Costa Rica: Jorge Paniagua y su esposa Yenny, Edwin Godínez y su esposa Dorey, Jeison y Roberto Vargas, y a la familia Abellán Pereira, gracias por las muestras de cariño que recibimos y por las oraciones que hacen a nuestro favor.

A la familia Mora Solís, gracias por recibirme como uno de sus hijos.

Y un agradecimiento muy especial merece mi esposa Jesenia, compañera de viaje, amiga, confidente, consejera, ayuda idónea,… gracias por dejar “todo” para seguir mis sueños, ahora vamos juntos por los tuyos y por los nuestros.

Í

G

I

G

C

1. P

1.1 Introducción 3

1.2 Área de estudio 3

1.3 Antecedentes que justifican el estudio 4

1.3.1 Importancia de la Combinatoria 4

1.3.2 Importancia del análisis del libro de texto 6

1.3.3 Estudios sobre el tema de Combinatoria en libros de texto de

Matemática 7

1.4 El problema de investigación 9

1.4.1 Objetivo general 10

1.4.2 Objetivos específicos 10

C

2. F

T

2.1 Introducción 11

2.2 Significado institucional y personal de los objetos matemáticos 11

2.3 Variables para caracterizar el significado institucional del objeto

matemático “Combinatoria” en la institución de los libros de texto 15

2.4 La combinatoria como objeto matemático 20

2.4.1 ¿Qué se estudia en el análisis combinatorio y qué clase de problemas

se resuelven? 21

2.4.2 ¿Qué es la Combinatoria? 22

2.4.3 Operaciones combinatorias básicas 22

C

3. M

3.1 Introducción 27

3.3 Etapas que conforman el estudio 28

3.4 Procedimiento para recoger, clasificar y analizar la información 29

3.4.1 Objeto de análisis 30

3.4.2 Reglas de codificación 31

3.4.3 Variables y sistemas de categorías 32

3.4.4 Fiabilidad del sistema de codificación-categorización 39

3.4.5 Inferencia 40

C

4. R

4.1 Introducción 41

4.2 Resultados del análisis de las tareas donde se puede aplicar un contenido combinatorio en su resolución, presentes en los libros de texto de

Matemática de Educación Secundaria 41

4.3 Resultados del análisis del desarrollo teórico del tema de Combinatoria

presente en algunos libros de texto de Matemática de Educación Secundaria 52

4.4 Resultados del análisis de las tareas propuestas en el capítulo de Combinatoria de uno de los libros de texto de Matemática de Educación

Secundaria 62

C

5. C

I

5.1 Introducción 69

5.2 Conclusiones de la primera etapa del estudio 69

5.3 Conclusiones de la segunda etapa del estudio 71

5.4 Conclusión general 75

5.5 Limitaciones y perspectivas para el avance de la investigación 77

R

A

Anexo A. Recomendaciones del NCTM para la enseñanza de la Combinatoria y

Anexo B. La Combinatoria en los resultados del informe PISA 2003 95

Anexo C. Referencias de los libros de texto de Matemática utilizados en la

Educación secundaria que conforman la muestra del estudio 101

Anexo D. Un breve recorrido histórico de la Combinatoria y su papel en la

Matemática y la Probabilidad 103

Anexo E. Modelización de los problemas combinatorios simples de

Í

C

2

Tabla 2.1 Variables consideradas por Navarro-Pelayo (1991, 1994) a las

cuales realizamos adaptaciones 18

Tabla 2.2 Relación entre las variables utilizadas en nuestro estudio y las

prácticas descritas por Godino y Batanero (1994) 20

Tabla 2.3 Operaciones combinatorias básicas 24

C

3

Tabla 3.1 Clasificación de la tarea 32, p. 14 del manual de Matemática de cuarto curso opción A de la editorial Anaya, según las categorías

de las variables de estudio 37

Tabla 3.2 Clasificación de la tarea 21a, p. 230 del manual de Matemática de cuarto curso opción A de la editorial Anaya, según las

categorías de las variables de estudio 37

C

4

Tabla 4.2.1 Distribución de las tareas según editorial y curso 42

Tabla 4.2.2 Tipo de tarea combinatoria 43

Tabla 4.2.3 Contenido combinatorio que podría utilizarse para resolver la

tarea 44

Tabla 4.2.4 Valor del parámetro m para las variaciones, combinaciones y

permutaciones 44

Tabla 4.2.5 Valor del parámetro n para las variaciones, combinaciones y

permutaciones 44

Tabla 4.2.6 Valor del parámetrompara la regla del producto 45 Tabla 4.2.7 Valor del parámetronpara la regla del producto 45

Tabla 4.2.8 Contexto de las tareas 45

Tabla 4.2.9 Modelo combinatorio considerado en el enunciado de la tarea 46 Tabla 4.2.10 Distribución de las tareas según el bloque temático al que

Taba 4.2.11 Distribución de las tareas según editorial y bloque temático 50 Tabla 4.3.1 Manuales de cuarto curso de Educación Secundaria que tienen

un capítulo sobre Combinatoria 52

Tabla 4.3.2 Contenidos combinatorios presentes en los manuales 54 Tabla 4.3.3 Fórmulas algebraicas utilizadas por los manuales para calcular

operaciones combinatorias 55

Tabla 4.3.4 Orden de presentación de algunos contenidos combinatorios

según manual en que se encuentren 56

Tabla 4.3.5 Notación empleada en las operaciones combinatorias según

manual en el que se encuentra 57

Tabla 4.3.6 Modelo combinatorio considerado en las definiciones de las

operaciones combinatorias 59

Tabla 4.3.7 Ejemplos y ejercicios introductorios y posteriores al concepto

combinatorio según manual 61

Tabla 4.4.1 Tipo de tarea combinatoria 63

Tabla 4.4.2 Contenido combinatorio utilizado para resolver la tarea 64 Tabla 4.4.3 Valor del parámetro m para las variaciones, combinaciones y

permutaciones 65

Tabla 4.4.4 Valor del parámetro n para las variaciones, combinaciones y

permutaciones 65

Tabla 4.4.5 Contexto de las tareas 66

I

Los problemas combinatorios tienen profundas implicaciones tanto en el desarrollo de algunas ramas de la Matemática como de otras disciplinas (Batanero, Godino y Navarro-Pelayo, 1994), aunque como señala Fischbein en el prefacio del libro Razonamiento Combinatoriode los autores Batanero, Godino y Navarro-Pelayo (1994), el Análisis Combinatorio, con sus conceptos y métodos no representa solo un dominio definido de la Matemática sino un prerrequisito estructural importante para el desarrollo del pensamiento lógico en general.

Una mención especial merece el papel de la Combinatoria en la probabilidad, ya que como indica Piaget e Inhelder (1951) una escasa capacidad del razonamiento combinatorio reduce la aplicación del concepto de probabilidad a casos muy sencillos o de fácil enumeración.

Sin embargo, según Batanero, Godino y Navarro-Pelayo (1994), debido a que la Combinatoria se encuentra aislada del currículo español; a la dificultad propia del tema de Combinatoria y que por lo general su enseñanza se presente sin conexión con los demás temas del currículo, provoca que en algunos casos se omita su enseñanza y cuando se enseña el tema, se basa principalmente en el aprendizaje de las fórmulas de combinatoria y en la realización de ejercicios estereotipados.

Debido a la problemática descrita hemos escogido el tema de Combinatoria concentrándonos en su tratamiento en libros de texto de Educación Secundaria, principalmente porque el libro de texto es considerado por diversos autores como uno de los recursos didácticos más utilizados por los profesores y alumnos en los procesos de Enseñanza y Aprendizaje.

Para ello decidimos no solo analizar el capítulo de Combinatoria presente en los textos de Matemática de Educación Secundaria seleccionados, sino que también identificamos las tareas donde es posible aplicar un contenido combinatorio para su resolución a lo largo de todo el texto y de cada uno de los textos seleccionados del estudio.

El presente trabajo está conformado por cinco capítulos. En el primer capítulo se describe el problema de investigación concerniente al estudio, además se desarrollan aspectos relacionados con la importancia de la Combinatoria y la problemática en la que está inmersa, así como la importancia de los libros de texto como objeto de análisis. Se presentan también algunas investigaciones previas sobre la Combinatoria en libros de texto de Matemática.

En el segundo capítulo presentamos los fundamentos teóricos que sirven de base para nuestro estudio, principalmente algunas nociones teóricas desarrolladas por Godino y Batanero (1994) sobre los significados personal e institucional de los objetos matemáticos. También se incluyen apartados sobre la Combinatoria como objeto matemático y la presentación de las categorías que permitirán analizar los libros de texto seleccionados.

En el tercer capítulo se presenta el enfoque de la investigación y se describe el procedimiento seguido para recolectar, clasificar y analizar la información por medio de la metodología de análisis de contenido.

En el cuarto capítulo se presentan los resultados obtenidos a partir del análisis realizado a los libros de texto de Matemática utilizados en la Educación Secundaria en España que seleccionamos para tal fin.

Por último, en el quinto capítulo se incluyen las conclusiones obtenidas del análisis de los libros de texto de Matemática empleados en la Educación Secundaria en España. Además se presentan las limitaciones de nuestro estudio y las perspectivas para el avance de la investigación.

C

1. P

1.1 Introducción 1.2 Área de estudio

1.3 Antecedentes que justifican el estudio 1.3.1 Importancia de la Combinatoria

1.3.2 Importancia del análisis del libro de texto

1.3.3 Estudios sobre el tema de Combinatoria en libros de texto de Matemática 1.4 El problema de investigación

1.4.1 Objetivo general 1.4.2 Objetivos específicos

1.1 Introducción

En este capítulo describimos el problema de investigación concerniente al estudio. Primero presentamos el área de estudio del trabajo, posteriormente desarrollamos aspectos relacionados con la importancia de la Combinatoria y la problemática en la que está inmersa, así como la importancia del análisis de libros de texto. También se presentan algunas investigaciones sobre la Combinatoria en libros de texto que ponen de manifiesto una problemática en el tema de la Combinatoria y su tratamiento en libros de texto de Matemática. Por último definimos nuestro problema de investigación y presentamos los objetivos que guían el estudio.

1.2 Área de estudio

La investigación se enmarca dentro de la agenda de investigación en Didáctica de la Matemática propuesta por Godino y Batanero (1994), basada en la noción de significado de los objetos matemáticos. Estos autores señalan que un problema fundamental de investigación es la caracterización de los significados institucionales de los objetos matemáticos en las diversas instituciones, por ejemplo, una tipo especial de institución es la Matemática formada por los productores del saber matemático.

Antes de definir nuestro problema de investigación presentamos algunos antecedentes que justifican el estudio.

1.3 Antecedentes que justifican el estudio

En este apartado presentamos la importancia del tema de Combinatoria no solo como una herramienta para el cálculo de probabilidades sino como un componente del razonamiento formal. Además se incluye un apartado sobre la importancia de analizar los libros de texto. También contiene las principales conclusiones de algunos estudios realizados sobre Combinatoria en libros de texto de Matemática.

1.3.1 Importancia de la Combinatoria

La Combinatoria o Análisis Combinatorio como se conoce históricamente estudia los conjuntos finitos y las configuraciones que pueden obtenerse a partir de sus elementos mediante ciertas transformaciones que originan cambios en la estructura (permutaciones de sus elementos) o composición de los mismos (obtención de muestras o subconjuntos). Tanto la existencia de esas configuraciones, su proceso de formación, como su recuento y optimización son objeto de estudio de la Combinatoria (Batanero, Godino y Navarro-Pelayo, 1994).

La Combinatoria es de gran importancia para la probabilidad, en el sentido que una escasa capacidad de análisis combinatorio reduce la aplicación del concepto de probabilidad a casos muy sencillos o de fácil enumeración (Piaget e Inhelder, 1951). Sin embargo, la Combinatoria no es únicamente útil para la probabilidad, como indican los autores mencionados, es también un componente básico del razonamiento formal y constituye un recurso para la elaboración de la lógica proposicional en los adolescentes.

Por su parte, Kapur (1970) menciona que la Combinatoria brinda oportunidades a los alumnos de realizar actividades características de la Matemática como hacer conjeturas, generalizar, indagar la existencia de soluciones, cuestiones de optimización, entre otras. Además el mismo autor indica que por medio de la Combinatoria el estudiante puede crear la costumbre de examinar todas las posibilidades, enumerarlas y hallar la mejor alternativa, contribuyendo al pensamiento sistémico.

Ciencia, 2007) y en el correspondiente a la Comunidad Autónoma de Andalucía (Junta de Andalucía, 2007), el papel de la Combinatoria es poco significativo dado que en estos documentos no aparecen, de forma explícita, contenidos específicos relacionados con la Combinatoria en ninguno de los cursos y bloques de contenido que lo componen, solo se puede encontrar, de modo indirecto y de forma implícita, referencias a recuentos de casos y a la construcción del espacio muestral de un experimento, principalmente aplicadas al cálculo de probabilidades. Esta situación no es nueva, los autores Batanero, Godino y Navarro-Pelayo (1994) indican que la enseñanza de la Combinatoria en los niveles no universitarios está aislada del currículo de Matemática en España.

Lo anterior contrasta con las recomendaciones propuestas por los Principios y Estándares para la educación Matemática (SAEM Thales, 2003)1_{, propuesta del NCTM} sobre lo que debería valorarse en la enseñanza de la Matemática, donde se menciona de forma explícita la utilización de la Combinatoria en la Probabilidad y los demás contenidos matemáticos, por ejemplo, para la etapa 9-12 se indica que los estudiantes “deberían aprender a identificar sucesos mutuamente excluyentes, el suceso unión y sucesos condicionales, y a utilizar sus conocimientos sobre combinaciones, permutaciones y técnicas de recuento para calcular las probabilidades asociadas a tales sucesos” (p. 336). Observándose así que la enseñanza de la Combinatoria, en el sistema educacional obligatorio, es un tema recomendado por organismos internacionales.

Sumado a lo anterior, el tema de Combinatoria es considerado difícil por los propios profesores que lo enseñan (Navarro-Pelayo, 1994). Por su parte Roa (2000) en un estudio sobre el razonamiento combinatorio de estudiantes con preparación matemática avanzada, encontró que los problemas combinatorios son difíciles incluso para este tipo de estudiantes con una preparación matemática avanzada.

Por otra parte, al revisar los ítems liberados en la evaluación internacional PISA del año 20032 _{(INECSE, 2005), se encontraron tres ítems que se pueden resolver al aplicar un} contenido combinatorio, precisamente estos problemas se ubican en un nivel de dificultad 4, donde 6 es el nivel más alto descrito por el organismo a cargo de la

1_{En el anexo A se presentan las recomendaciones del NCTM para la enseñanza de la Combinatoria y la}

Combinatoria en el currículo vigente de Educación Secundaria de España.

2_{Para mayor profundización en el anexo B se presenta un análisis realizado a los ítems liberados de la}

evaluación internacional. Revisando los porcentajes de acierto de los tres ítems de la prueba PISA 2003 en los cuales se puede aplicar un contenido combinatorio, se encontró que el porcentaje de acierto obtenido por los estudiantes españoles es alrededor del 50%, lo cual consideramos bajo.

Según Batanero, Godino y Navarro-Pelayo (1994), debido a que la Combinatoria se encuentra aislada del currículo español; a la dificultad propia del tema de Combinatoria y que por lo general su enseñanza se presente sin conexión con los demás temas del currículo, provoca que en algunos casos se omita su enseñanza y cuando se enseña el tema, se basa principalmente en el aprendizaje de las fórmulas de combinatoria y en la realización de ejercicios estereotipados.

Las razones antes mencionadas nos motivaron a estudiar el tema de Combinatoria en este trabajo. Como hemos indicado anteriormente nos concentramos en los libros de texto, ya que entre otras razones es uno de los recursos didácticos más utilizados por los profesores y estudiantes en los procesos de Enseñanza y Aprendizaje. Seguidamente presentamos la importancia de analizar los libros de texto.

1.3.2 Importancia del análisis del libro de texto

En la actualidad el libro de texto se considera como uno de los recursos más utilizados en las aulas. El caso de la asignatura de Matemática el uso del libro de texto se ha generalizado ejerciendo diferentes papeles, entre ellos: material de consulta para el profesor y los estudiantes, registro de actividades del alumno o como colección de ejercicios propuestos y problemas a resolver. Esto ha originado una práctica escolar determinada por su uso, así como una organización de la enseñanza que se mantiene en la actualidad salvo casos aislados (González y Sierra, 2004).

Chevallard (1991) destaca que “los libros de texto ofrecen una concepción legitimada del saber a enseñar y además se convierten en la norma de progresión del conocimiento de los alumnos” (pp. 61-62). Por otra parte, Romberg y Carpenter (1986) indican que "el libro de texto es visto como la autoridad del conocimiento y guía del aprendizaje" (p. 867). Por lo que los estudiantes y docentes que utilizan el libro de texto confían en la veracidad de su contenido.

del conocimiento dotándoles de carácter eminentemente objetivo. Según los autores señalados esta doble faceta de los libros de texto hace que su estudio aporte información de las concepciones en relación con el contenido matemático que desarrollan, así como del proceso educativo con el que están relacionados.

Los estudios basados en libros de texto tienen gran importancia en el campo de la didáctica debido a diversos factores, entre ellos porque es un recurso básico del quehacer diario del profesor. En este sentido el informe Cockcroft (1985), menciona que "los libros de texto constituyen una ayuda inestimable para el profesor en el trabajo diario del aula" (p. 114), por otra parte Rico (1990) indica que “el profesor conserva, mantiene y transmite el saber institucionalizado en los manuales, donde aparece seleccionado y adecuadamente estructurado” (p. 22).

Robert y Robinet (1989) señalan que una forma de conocer el pensamiento de los profesores sobre un contenido específico es mediante el estudio de los libros de texto.

Las referencias anteriores muestran el interés del libro de texto como recurso didáctico, como fuente de datos de clase y en consecuencia como objeto de estudio.

A continuación presentamos algunos estudios sobre el tema de Combinatoria en libros de texto de Matemática, los cuales evidencian la existencia de una problemática en dicho tema y en todos los niveles educativos.

1.3.3 Estudios sobre el tema de Combinatoria en libros de texto de Matemática

Al realizar una búsqueda bibliográfica encontramos que autores como Navarro-Pelayo (1991, 1994), Matos Filho y Pessoa (2006), Sabo (2007), Barros y Bicho (2010), y Gomes y Gitirana (2011) realizan investigaciones relacionadas con la Combinatoria en libros de texto de Matemática utilizados en los niveles educativos de primaria y secundaria. En general las investigaciones descritas evidencian una problemática respecto al tema de Combinatoria y su tratamiento en libros de texto de Matemática.

Respecto a la notación empleada para representar las operaciones combinatorias en los textos, se encontró que no hay homogeneidad entre notaciones e incluso se mezcla más de un tipo de notación en un mismo texto (Navarro-Pelayo, 1991). Además, en general, hay poca presencia de consideraciones históricas en los textos analizados que se relacionen con el análisis combinatorio (Navarro-Pelayo, 1991 y Barros y Bicho, 2010).

Aunque algunos manuales realizan esfuerzos en presentar situaciones contextualizadas, la forma de presentar los conceptos no contribuye a la construcción del razonamiento combinatorio (Barros y Bicho, 2010). En el caso de la investigación de Navarro-Pelayo (1991) la investigadora encontró que la forma más común de introducir el tema es por medio de un ejemplo, seguido por el concepto y de otro ejemplo posterior a cada uno de los conceptos. Por su parte, Barros y Bicho (2010) hallaron que uno de los libros inicia con el concepto de factorial de un número, seguido por la regla del producto, los diagramas en árbol, las variaciones, las combinaciones y las permutaciones ordinarias.

Además, en los textos se presentan pocas tareas en las que se aplique la regla del producto o de la suma, también hay escases de ejercicios de enumeración y actividades manipulativas y se da gran importancia a los ejercicios relacionados a contextos algebraicos (Navarro-Pelayo, 1991). Sabo (2007) concluye que las técnicas empleadas en la solución de las tareas son repetitivas y exigen solo la aplicación de fórmulas algebraicas y que los ejercicios propuestos en los libros de texto no contribuyen al crecimiento del razonamiento combinatorio de los alumnos.

Respecto a los valores de los parámetros, Navarro-Pelayo (1991) encontró un alto porcentaje de parámetros variables y cuando no lo son, los valores son menores a 5, lo cual coincide parcialmente con los resultados obtenidos por Gomes y Gitirana (2011). Por último, Matos Filho y Pessoa (2006) y Gomes y Gitirana (2011) concluyen que los manuales no presentan orientaciones para que los profesores trabajen problemas de razonamiento combinatorio.

resolución, a lo largo de todo el texto y de cada uno de los textos seleccionados del estudio.

Se pretende en este estudio analizar una muestra concreta y reducida de libros de texto utilizados en la Educación Secundaria en España, consideramos que los resultados que obtengamos serán de gran importancia para la didáctica de la Combinatoria, principalmente por ser los libros de texto uno de los recursos didácticos más utilizados en las aulas por los profesores y alumnos, como indican las referencias descritas. Además constituye el inicio de un estudio de una investigación doctoral.

1.4 El problema de investigación

Los apartados anteriores muestran la existencia de una problemática sobre el tema de Combinatoria, caracterizada principalmente por la dificultad de este objeto de estudio, su inclusión implícita en el currículo actual de Educación Secundaria de España (Ministerio de Educación y Ciencia, 2007 y Junta de Andalucía, 2007). Además por ser un contenido que suele enseñarse de forma aislada de los demás temas descritos en el currículo, provocando, en ocasiones, que el tema de Combinatoria no se enseñe o bien cuando se enseña se enfatiza solo en aspectos de cálculo y aplicación de fórmulas. Considerando que el libro de texto es de gran uso entre los profesores y estudiantes, decidimos acercarnos a dicha problemática realizando un análisis de libros de texto utilizados en la Educación Secundaria de España.

Nos basamos en la teoría de los significados personales e instituciones de los objetos matemáticos propuesta por Godino y Batanero (1994) para considerar el libro de texto como una institución, dado que contienen problemas matemáticos y en él se describen prácticas específicas para resolverlos. Así el problema que pretendemos abordar es la caracterización del significado institucional del objeto matemático “Combinatoria” presente en la institución de los libros de texto de Matemática utilizados en la Educación Secundaria en España.

Con relación a nuestro problema de estudio, nos planteamos a continuación el objetivo general y los objetivos específicos que guiarán la investigación.

1.4.1 Objetivo general

Caracterizar el significado institucional del objeto matemático “Combinatoria” presente en la institución de los libros de texto de Matemática utilizados en la Educación Secundaria en España.

1.4.2 Objetivos específicos

O1: Identificar tareas3 _{en una muestra de libros de texto de Matemática usados en la} Educación Secundaria en España, donde se pueda aplicar un contenido combinatorio en su resolución.

O2: Clasificar y describir las tareas presentes en los textos donde se pueda aplicar un contenido combinatorio en su resolución, según variables y categorías consideradas.

O3: Describir el desarrollo teórico del tema de Combinatoria en una muestra de libros de texto de Matemática utilizados en la Educación Secundaria en España, según variables y categorías consideradas.

O4: Clasificar y describir las tareas propuestas en el capítulo de Combinatoria de uno de los libros de texto de Matemática usados en la Educación Secundaria en España, según variables y categorías consideradas.

En el siguiente capítulo presentaremos los fundamentos teóricos en los cuales se basa nuestro estudio, principalmente la teoría desarrollada por Godino y Batanero (1994) sobre los significados personales e institucionales de los objetos matemáticos, el desarrollo del tema matemático y la presentación de las categorías que permitirán analizar los libros de texto.

3_{Nos referimos a tareas como sinónimo de las situaciones-problema (Godino, Batanero y Font, 2007), es}

C

2. F

T

2.1 Introducción

2.2 Significado institucional y personal de los objetos matemáticos

2.3 Variables para caracterizar el significado institucional del objeto matemático “Combinatoria” en la institución de los libros de texto

2.4 La Combinatoria como objeto matemático

2.4.1 ¿Qué se estudia en el análisis combinatorio y qué clase de problemas se resuelven? 2.4.2 ¿Qué es la Combinatoria?

2.4.3 Operaciones combinatorias básicas

2.1 Introducción

En este capítulo presentamos los fundamentos teóricos que sirven de base para nuestro estudio, particularmente algunas nociones teóricas desarrolladas por Godino y Batanero (1994) sobre los significados personal e institucional de los objetos matemáticos. También se incluye un apartado sobre las variables utilizadas para caracterizar el significado institucional del objeto matemático “Combinatoria” en la institución de los libros de texto. Además desarrollamos algunas nociones elementales del objeto matemático “Combinatoria”.

2.2 Significado institucional y personal de los objetos matemáticos

En nuestra investigación se aplican algunas nociones teóricas desarrolladas por Godino y Batanero (1994) sobre el significado personal e institucional de los objetos matemáticos. Para estos investigadores la Didáctica de la Matemática estudia los procesos de enseñanza y aprendizaje de los saberes matemáticos, tanto en los aspectos teóricos-conceptuales como en la resolución de problemas, tratando de caracterizar los factores que condicionan dichos procesos. Uno de estos factores son los recursos didácticos utilizados por el profesor y los alumnos en los procesos de enseñanza y aprendizaje. Dentro de estos recursos el libro de texto juega un papel fundamental (González y Sierra, 2004).

significados de las expresiones lingüísticas dependen del contexto en el que se usen, así, por ejemplo, una palabra se hace significativa por el hecho de desempeñar una determinada función en un juego lingüístico.

Nuestro estudio acoge la visión de los autores mencionados, en el sentido que los supuestos ontológicos del constructivismo social, como filosofía de las Matemáticas, conlleva la adopción de las teorías pragmáticas del significado por sobre las realistas. Bajo esta perspectiva consideramos los objetos matemáticos como símbolos de unidades culturales, emergentes de un sistema de usos ligados a las actividades de resolución de problemas que realizan ciertos grupos de personas y que evolucionan con el tiempo.

En la concepción de Godino y Batanero (1994), ciertas instituciones realizan determinados tipos de prácticas, entendidas éstas como cualquier actuación o manifestación (lingüística) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución, validarla o generalizarla a otros contextos. Una práctica es significativa si desempeña una función en algunos de los procesos descritos. El hecho de que en el seno de las instituciones se realicen estas prácticas, es lo que determina la emergencia progresiva de los objetos matemáticos y que el significado de los mismos esté ligado a los problemas y a las actividades realizadas para resolverlos.

En consecuencia el significado de un objeto no puede reducirse a su definición, si no que hay que tener en cuenta también, las situaciones-problemas en las cuales, el objeto matemático, interviene como herramienta de resolución, de esta forma, el punto de partida de una investigación científica sobre el significado de los objetos abstractos es la caracterización del uso que se hace de ellos en una institución determinada.

Una noción básica en la teoría expuesta por Godino y Batanero (1994) es precisamente el concepto de situación-problema, concebido como aplicaciones extra-matemáticas, ejercicios, problemas, acciones que inducen una actividad matemática (Godino, Batanero y Font, 2007). Generalmente las situaciones-problema no aparecen aisladas, sino englobados en campos de problemas para los cuales puede ser válida la misma solución o soluciones similares.

una estrategia para contar el número de posibilidades de seleccionar, colocar o repartir los elementos de un conjunto finito, tomado en cuenta ciertas características de sus elementos.

Las situaciones-problemáticas y sus soluciones son socialmente compartidas, es decir, están vinculadas a instituciones. “Una institución (I) está constituida por las personas involucradas en una misma clase de situaciones problemáticas. El compromiso mutuo con la misma problemática conlleva la realización de unas prácticas compartidas, las cuales están, así mismo, ligadas a la institución a cuya categorización contribuyen” (Godino y Batanero, 1994, p. 9).

Para Godino y Batanero (1994) el concepto de institución es muy amplio. Una institución especial es la Matemática (M) formada por los productores del saber matemático. Otras, posibles, son las instituciones de enseñanza en los diversos niveles. En un sentido amplio, podemos considerar los libros de texto como instituciones, ya que en ellos se proponen problemas matemáticos y se describen prácticas específicas para resolverlos, usando medios expresivos con frecuencia propios de la Matemática.

Como se mencionó anteriormente, en cada institución se realizan ciertos tipos de prácticas asociadas a un campo de problemas, los autores mencionados llaman a este tipo de prácticas, institucionales y están constituidas por las prácticas consideradas como significativas para resolver un campo de problemas C y compartidas en el seno de la institución I. Su carácter social indica que son observables. Como tipos de tales prácticas sociales se citan: descripciones de problemas o situaciones, representaciones simbólicas, definiciones de objetos, enunciados de proposiciones, procedimientos que son invariantes característicos del campo de problemas, argumentaciones, etc. El sistema de prácticas institucionales asociadas a un campo de problemas C, se denota por PI(C).

De las prácticas institucionales y personales emergen los objetos institucional (OI) y personal (OP), es decir, el objeto institucional (OI) es un emergente del sistema de prácticas institucionales asociadas a un campo de problemas C, esto es, OI emerge de PI(C). Si la institución I es la institución Matemática M, el objeto institucional recibirá el nombre de objeto matemático (pueden ser conceptos, proposiciones, teorías, etc.). De forma análoga, el objeto personal Op es un emergente del sistema de prácticas personales significativas asociadas a un campo de problemas, esto es, un emergente de Pp(C).

Según Godino y Batanero (1994), el significado de los objetos matemáticos debe estar referido a la acción (interiorizada o no) que realiza un sujeto en relación con dichos objetos (personales o institucionales), por lo que es preciso diferenciar una dimensión personal e institucional para este significado.

El significado de un objeto institucional OI es el sistema de prácticas institucionales asociadas al campo de problemas de las que emerge OIen un momento dado. Se trata de un constructo relativo a la institución y dependiente estocásticamente del tiempo. Simbólicamente para un tiempot y una institución I: S(OI)=PI(C). Si I=M, hablaremos del significado matemático del objeto.

Con relación al significado de un objeto personal Op, corresponde al sistema de prácticas personales de una persona p para resolver el campo de problemas del que emerge el objeto Op en un momento dado. Depende por tanto del sujeto y del tiempo estocásticamente. Simbólicamente S(Op)=Pp(C). Una parte del significado es observable, aunque no lo son directamente las prácticas constituidas por acciones interiorizadas.

En resumen, en cada campo de problemas e institución (persona) hay un sistema de prácticas institucionales (personales) significativas asociadas al campo de problemas. Los objetos institucionales (personales) son los emergentes de este sistema de prácticas que son indicadores empíricos que nos permiten caracterizar estos objetos. El sistema de prácticas de donde emerge un objeto institucional (personal), se define como el significado institucional (personal) del objeto dado.

compartidas en el seno de una institución (Significado institucional) para resolver situaciones-problemas en los cuales interviene dicho objeto.

“Los currículos y los libros de texto presentan siempre muestras del significado de los conocimientos matemáticos, con frecuencia no representativas y a veces con sesgos difíciles de eliminar” (Godino y batanero, 1994, p.21), por lo que el análisis del entorno de significación que se ofrece al alumno en la clase de Matemática se revela como esencial para interpretar correctamente las respuestas de éste.

Godino y Batanero (1994) describen una agenda de investigación en didáctica, basada en la noción de significado de los objetos matemáticos. Señalan como un problema fundamental de investigación la caracterización de los significados institucionales de los objetos matemáticos dentro de las diversas instituciones, lo cual es parte de nuestro problema de investigación.

A continuación presentamos las variables utilizadas para caracterizar y describir el significado institucional del objeto Matemático “Combinatoria” en la institución de los libros de texto.

2.3 Variables para caracterizar y describir el significado institucional del objeto matemático “Combinatoria” en la institución de los libros de texto

El objetivo de nuestro estudio es caracterizar el significado institucional del objeto matemático “Combinatoria” presente en la institución de los libros de texto utilizados en la Educación Secundaria de España. Según los fundamentos teóricos en que basamos la investigación, el significado institucional de un objeto matemático es el sistema de prácticas institucionales asociadas al campo de problemas de las que emerge dicho objeto (Godino y Batanero, 1994).

Debido a lo anterior para caracterizar y describir el objeto matemático “Combinatoria” en la institución de los libros de texto, se debe centrar la atención en las prácticas asociadas al campo de problemas que llamamos problemas combinatorios y compartidas en la institución de los libros de texto de Matemática utilizados en la Educación Secundaria en España.

situaciones, representaciones simbólicas, definiciones de objetos, enunciados de proposiciones y procedimientos que son invariantes característicos del campo de problemas, argumentaciones, entre otras.

Para buscar variables asociadas a algunas de las prácticas descritas por Godino y Batanero (1994) que nos permitieran caracterizar el significado institucional del objeto matemático “Combinatoria” en la institución de los libros de texto de Matemática utilizados en la Educación Secundaria en España, recurrimos a investigaciones previas relacionadas con nuestra temática. Tres investigaciones llamaron nuestra atención, las realizadas por Navarro-Pelayo (1991, 1994) y la elaborada por Ortiz (1999), ya que algunas de las variables utilizadas por estos autores se relacionan con las prácticas descritas por Godino y Batanero (1994).

Por ejemplo, Navarro-Pelayo (1991) en su investigación sobre la Enseñanza de la Combinatoria en Bachillerato, analiza una muestra de trece libros de texto utilizados en el primer curso de Bachillerato publicados durante el periodo de 1975-1991 con el objetivo de estudiar el desarrollo teórico del tema de Combinatoria y analizar los ejercicios propuestos en dos de los trece libros seleccionados. En el estudio del desarrollo teórico del tema, la investigadora mencionada, consideró las siguientes variables: contenidos incluidos y orden de presentación; notación empleada para representar las operaciones combinatorias; definiciones presentadas; recursos didácticos y modos en que son presentados; presencia de consideraciones históricas; y tipo, número y distribución dentro del texto de ejercicios introductorios y posteriores a los conceptos combinatorios.

Para analizar los ejercicios de dos de los manuales seleccionados, Navarro-Pelayo (1991) empleó las siguientes variables: tipo de operación combinatoria; presencia de variables; magnitud de los parámetros; contexto; número de operaciones combinatorias ligadas a un mismo ejercicio y tipo de ejercicio combinatorio.

modelo combinatorio considerado en el enunciado de la definición de la operación combinatoria y en los ejercicios.

La investigación realizada por Ortiz (1999) se engloba dentro del análisis del significado institucional de los conceptos probabilísticos básicos y de su transposición didáctica en una muestra de once libros de texto de primer curso de bachillerato publicados durante el periodo de 1975-1991. De las siete variables empleadas por el investigador para estudiar los ejercicios de dos de los once libros de texto, solo la siguiente es de interés para nuestro estudio: tipo de actividad que se pide al alumno.

El sistema de variables y categorías de nuestro estudio se basa en las variables antes mencionadas. Debido a que las investigaciones de Navarro-Pelayo (1991, 1994) y Ortiz (1999) se realizan en contextos diferentes (Libros de texto de bachillerato), realizamos un proceso de adaptación de algunas de dichas variables para utilizarlas en nuestra investigación.

Por ejemplo, en el caso de las variables utilizadas por los autores mencionados para caracterizar el desarrollo teórico del tema, se hicieron adaptaciones como reformulación del nombre de la variable o se agrupó dos variables en una sola. Respecto a la variable “Tipo, número y distribución dentro del texto de ejercicios introductorios y posteriores a los conceptos combinatorios” empleada por Navarro (1991), no se utilizó en nuestro trabajo, en su lugar consideramos la variable del estudio de Ortiz (1999) antes descrita. Estas dos variables son similares, sin embargo la utilizada por Ortiz (1999) es más amplia ya que las categorías que considera incluye todas las categorías, y una más, que las que considera Navarro-Pelayo (1991) en la variable de su investigación que no usamos.

Además de las variables mencionadas, creamos otras variables que consideramos de interés para caracterizar el desarrollo teórico del tema de Combinatoria, las cuales son: ubicación del capítulo de Combinatoria en el libro de texto, y bloque temático y contenido en el cual se ubica la tarea identificada. Así, las variables empleadas en nuestro estudio para caracterizar el desarrollo teórico del tema de Combinatoria en la institución de los libros de texto de Matemática utilizados en la Educación Secundaria de España son:

b) Contenidos incluidos, notación empleada y orden de presentación.

c) Tratamiento dado a las definiciones.

d) Modelo combinatorio considerado en el enunciado del concepto combinatorio.

e) Utilización de recursos didácticos.

f) Presencia de consideraciones históricas.

g) Ejemplos/ejercicios introductorios y posteriores a los contenidos sobre Combinatoria.

También adaptamos, para nuestro estudio, algunas de las variables utilizadas por Navarro-Pelayo (1991, 1994) mediante las cuales analizó los ejercicios de dos de los libros de texto. En la siguiente tabla se muestran únicamente las variables consideradas por Navarro-Pelayo (1991, 1994) a las cuales realizamos adaptaciones para obtener las variables que utilizamos para clasificar y describir las tareas combinatorias propuestas por los libros de texto de nuestra muestra.

Tabla 2. 1

Variables consideradas por Navarro-Pelayo (1991, 1994) para analizar ejercicios, a las cuales realizamos adaptaciones

Variables Adaptaciones Tipo de

operación combinatoria.

Se reformuló el nombre de la variable para incluir, además de las operaciones combinatorias básicas, otros contenidos combinatorios como los números combinatorios o el factorial de un número, etc. La nueva variable recibe el siguiente nombre: contenido combinatorio utilizado para resolver la tarea

Valor numérico

demyn. Se agrega una nueva categoría para el caso de los valores de losparámetros de la regla del producto, la cual no fue considerado por Navarro-Pelayo (1991)

Contexto. Se separó la categoría, letras y números, elaborada por Navarro-Pelayo (1991), en dos categorías mutuamente excluyentes, una correspondiente al contexto de letras y otra categoría para el contexto de números.

También reformulamos el nombre de la categoría “grafos” considerada por Navarro-Pelayo (1991) por el de caminos.

Por último agregamos una nueva categoría a esta variable llamada “cálculo combinatorio”.

Esta variable se utiliza en nuestra investigación con el siguiente nombre: naturaleza (contexto) de los elementos inmersos en la tarea.

Tipo de ejercicio combinatorio.

En la categoría, identificación de una operación combinatoria, considerada por Navarro-Pelayo (1991) para esta variable, agregamos el caso en que además de identificar la operación combinatoria se deba resolver una ecuación.

También agregamos dos categorías más a esta variable: “construcción o invención de un problema” y “ejercicio aplicado a la probabilidad”

Además de las variables antes mencionadas agregamos dos variables más que consideramos de interés para nuestro estudio, las cuales son: bloque temático y contenido en el que se encuentra la tarea, y tarea resuelta o propuesta. Así las variables utilizadas en nuestro estudio para clasificar y describir las tareas propuestas en la institución de los libros de texto de Matemática empleados en la Educación Secundaria de España son:

a) Contenido combinatorio utilizado para resolver la tarea.

b) Valor numérico de los parámetrosmyn.

c) Naturaleza (contexto) de los elementos inmersos en la tarea.

d) Modelo combinatorio considerado en el enunciado de la tarea.

e) Bloque temático y contenido en el que se encuentra la tarea.

f) Ausencia o presencia de variables en los parámetrosmyn.

g) Número de operaciones combinatorias ligadas a una misma tarea.

h) Tipo de tarea combinatoria.

i) Tarea resuelta o propuesta.

Tabla 2.2

Relación entre las variables utilizadas en nuestro estudio y las prácticas descritas por Godino y Batanero (1994)

Variable Práctica Ubicación del capítulo de Combinatoria

en el libro de texto Relación del concepto con otras áreas deconocimiento Contenidos incluidos, notación

empleada y orden de presentación Definiciones simbólicas de objetos/representaciones Tratamiento dado a las definiciones Definiciones de objetos

Modelo combinatorio considerado en el

enunciado del concepto combinatorio Definiciones de objetos/invariantes característicos del campo deProcedimientos problemas.

Utilización de recursos didácticos Utilización de instrumentos u objetos para el conteo de situaciones

Presencia de consideraciones históricas Relación del concepto con otras áreas de conocimiento

Ejemplos/ejercicios introductorios y

posteriores al concepto combinatorio Descripciones de problemas o situaciones Contenido combinatorio utilizado para

resolver la tarea Definiciones/Procedimientoscaracterísticos del campo de problemasinvariantes /Descripciones de problemas o situaciones Valor numérico de los parámetrosm y n Descripciones de problemas o situaciones Naturaleza (contexto) de los elementos

inmersos en la tarea. Relación del concepto con otras áreas deconocimiento/Descripciones de problemas o situaciones

Modelo combinatorio considerado en el

enunciado de las taras. Descripciones de problemas o situaciones/Procedimientos invariantes característicos del campo de problemas.

Bloque temático y contenido en el que

se encuentra la tarea. Relación del concepto con otras áreas deconocimiento Ausencia o presencia de variables en los

parámetrosmyn. Descripciones de problemas o situaciones Número de operaciones combinatorias

ligadas a una misma tarea. Descripciones de problemas o situaciones Tipo de tarea combinatoria Descripciones de problemas o

situaciones/Procedimientos invariantes característicos del campo de problemas.

Tarea resuelta o propuesta Descripciones de problemas o situaciones

A continuación presentamos un apartado sobre la Combinatoria como Objeto matemático.

2.4 La Combinatoria como objeto matemático

2.4.1 ¿Qué se estudia en el análisis combinatorio y qué clase de problemas se resuelven?

Ribnikov (1988) enuncia las siguientes situaciones con el objetivo de percibir intuitivamente el carácter combinatorio implícito en ellas:

a) Un alumno que ha terminado la enseñanza media y aspira a ingresar en la Universidad tiene que aprobar cuatro exámenes, siendo el sistema de calificación de cinco puntos. Para ingresar es suficiente obtener 17 puntos. ¿Cuántas son las combinaciones que le permiten aprobar los exámenes, por supuesto, sin sacar ni uno solo mal?

b) Como se debe buscar el itinerario más corto para un cartero o un operador cinematográfico que atienden un número dado de poblados? La distancia entre cada par de poblados se conoce.

c) ¿Qué número de reinas o de otras piezas de ajedrez es suficiente para que ellas mantengan bajo amenaza todas las casillas del tablero de ajedrez y no se puedan comer una a la otra? ¿Cuántas son las combinaciones de su colección?

d) ¿En cuántas partes dividen un espacio n planos si de cuatro cualquiera de ellos ninguno pasa por un mismo punto, de tres, ninguno pasa por una misma recta y de dos, ninguno es paralelo, mientras que cualesquiera tres planos tienen un punto en común?

Estos problemas tienen ciertas semejanzas, por ejemplo estudian los conjuntos discretos finitos (aunque no se excluyen del análisis combinatorio los conjuntos infinitos) y siempre se debe contar el número de posibilidades o configuraciones de los elementos de esos conjuntos.

Sobre los conjuntos discretos se realizan operaciones que pueden cambiar tanto la estructura como su composición. Por ejemplo, las permutaciones de elementos es una de las operaciones más simples que cambian el orden relativo de los mismos. Entre las operaciones que cambian la composición de los conjuntos se encuentra la obtención de muestras o subconjuntos a partir de un conjunto dado.

frecuencia las acciones antes mencionadas se aplican más de una vez, de forma reiterada, y en las combinaciones más diversas. Dichas configuraciones son el objeto de estudio de la Combinatoria, especialmente los procesos de formación de estas configuraciones y recuentos de las mismas.

2.4.2 ¿Qué es la Combinatoria?

Es difícil dar una definición precisa de la Combinatoria e indicar en pocas palabras sus numerosos campos de aplicación, sin embargo pueden encontrarse diferentes definiciones como las de Stanley (1946), Ribnikov (1988), Wilhelmi (2004).

En nuestro trabajo entendemos la Combinatoria, o Análisis Combinatorio como se conoce históricamente, como la rama de las Matemática que estudia los conjuntos discretos finitos y las configuraciones que pueden obtenerse a partir de sus elementos mediante ciertas transformaciones que originan cambios en la estructura (permutaciones de sus elementos) o composición de los mismos (obtención de muestras o subconjuntos). Tanto la existencia de esas configuraciones, su proceso de formación, como su recuento y optimización son objeto de estudio de la Combinatoria (Batanero, Godino y Navarro-Pelayo, 1994).

2.4.3 Operaciones combinatorias básicas

Debido a que no siempre es posible enumerar todas las formas de colocar, seleccionar o repartir los elementos de un conjunto, presentamos los procedimientos y estrategias que permiten contar las diferentes posibilidades de dichas configuraciones sin necesidad de explicitarlas. Estas estrategias garantizarán que no se cuente por exceso (contar una posibilidad más de una vez) ni por defecto (omitir posibilidades).

Entre las principales estrategias para contar dichas configuraciones se encuentran: el principio del producto y la suma, y las operaciones combinatorias básicas: Variaciones, permutaciones y combinación. A continuación se definen cada una de dichas estrategias.

Principios del producto y la suma

multiplicación cuando el problema se puede descomponer en varios procedimientos independientes de forma que en el procedimiento global intervenga un elemento de cada uno de los procedimientos.

Otro principio básico que se utiliza es el de la suma que permite calcular el número de formas totales en que puede suceder una situación u otra, pero no ambas. Este principio se define de la siguiente manera: si una situación puede ocurrir demmaneras diferentes y otra de n maneras diferentes, incompatibles las unas con las otras, entonces existen m n maneras en las cuales puede ocurrir la primera o la segunda, pero no ambas. Las situaciones son incompatibles en el sentido que no se cuentan las formas en que pueden realizar ambas situaciones de forma simultánea.

Los principios del producto y de la suma se pueden generalizar para una cantidad finita de situaciones, por ejemplo si  1, ,...,2 kson ksituaciones que se pueden hacer de x1,

x2,x3,…,xkformas diferentes entonces:

i. Las k situaciones pueden ocurrir a la vez de x x1  2 ... xk formas diferentes

(principio de multiplicación).

ii. Existen x x1 2 ... xk maneras en las que puede ocurrir las situaciones

1, ,...,2 k

   pero no a la vez, siendo  1, ,...,2 ksituaciones incompatibles

(Principio de la suma).

Variaciones, permutaciones y combinaciones

El primer tipo de problemas que dio origen a las nociones combinatorias más primitivas y de gran importancia en la Estadística es el de seleccionar n objetos de un conjunto dado demobjetos distintos a a a1, , ,...,2 3 am para lo cual es necesario tener en cuenta dos

condiciones:

1. Orden de los elementos: ¿se trata de una muestra ordenada o una no ordenada?

2. Repetición de los elementos: ¿Se pueden repetir o no los elementos?

Al combinar entre sí las respuestas de las dos preguntas anteriores, se obtienen las cuatro operaciones combinatorias básicas:

b) Variaciones con repetición demobjetos tomados denenn(VRm n, )

c) Combinaciones demobjetos tomados denenn(Cm n, )

d) Combinaciones con repetición demobjetos tomados denenn(CRm n, ).

Las cuales se muestran en la siguiente tabla

Tabla 2.3

Operaciones combinatorias básicas

Selección

(muestra) repeticiónCon o sin combinatoriaOperación Ordenada Sin repetición Vn r,

Con repetición VRn r,

No ordenada Sin repetición Cn r, Con repetición CRn r,

Como se observa en la tabla 2.3, en las variaciones importa el orden al seleccionar los elementos del conjunto, mientras que en las combinaciones no.

A estas cuatro operaciones básicas hay que añadir las permutaciones denelementos (Pn

) que son un caso particular de las variaciones ordinarias denobjetos tomados denenn (Vn n, ). Otra interpretación de las permutaciones es el distinto modo en que pueden ordenarsen objetos dados. Si entre estos n objetos hay r r1 2, ,...,rk objetos iguales entre

sí, se obtienen las permutaciones con repetición.

Seguidamente definimos las 6 operaciones combinatorias mencionadas.

Variaciones ordinarias o sin repetición

Se llaman variaciones ordinarias o sin repetición demelementos, tomados denenn(de ordenn), a los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de tal forma que en cada grupo entrennelementos distintos, de forma que dos grupos se diferencien en algún elemento o en el orden de colocación. Esta operación se representa porV_{m n,} .

El número de variaciones ordinarias de melementos tomados de n enn, se calcula con

Variaciones con repetición

Se llaman variaciones con repetición demelementos, tomados denenn, a los distintos grupos que se pueden formar con losmelementos, de tal manera que en cada grupo esté formado por nelementos iguales o distintos y que un grupo se diferencie de los demás en algún elemento o en su orden de colocación. Esta operación se representa porVR_{m n,}

. La fórmula utilizada para calcular las variaciones con repetición de m elementos tomados denennes VRm n, mn

Permutaciones sin repetición

Se llaman permutaciones ordinarias o sin repetición de n elementos (de orden n), denotado por Pn a los distintos grupos de n elementos que se pueden formar, de tal

manera que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación de los elementos.

De la definición anterior se puede notar que las permutaciones de n elementos son un caso particular de las variaciones ordinarias tomadas denenn(Vn n, ). Por lo que:





,

! ! _!

! 0!

n n n n n

P V n

n n

   

 . Así el número de permutaciones ordinarias denelementos es n!, es decir, n n



 



Permutaciones con repetición

Como se mencionó, otra interpretación de las permutaciones es el distinto modo en que pueden ordenarse n objetos dados, entre los cuales hay objetos iguales entre sí. Por ejemplo, suponga que se quiera encontrar el número de palabras que se forman con las letras de la palabra ROMANO, observe que no todas las letras son diferentes, sino que la letra “O” se repite dos veces. En este caso debemos calcular el número de permutaciones con repetición. Dicho concepto se presenta a continuación.

Se llaman permutaciones con repetición de n elementos distribuidos en k grupos de

1 2, ,..., k

r r r elementos indistinguibles (r r1  2 ... rk n), a las distintas configuraciones

reordenaciones de elementos indistinguibles, es decir, que pertenecen a un mismo grupo. Se representa por r r1 2, ,...,rk

n

P .

Si en un conjunto denelementos el primero se repite r1, el segundo r2 veces y el último

k

r veces y además r r1  2 ... rk n entonces 1 2, ,...,

1 2 ! ! ! ... !

k r r r n

k

n P

r r r



  

Combinaciones ordinarias o sin repetición

Se llaman combinaciones ordinarias o sin repetición demelementos tomados de nenn (de ordenn), denotado por Cm n, a los diferentes conjuntos de nelementos distintos que se pueden formar con losmelementos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación.

Si se escogen sin importar el orden n elementos entre un conjunto de m elementos distintos, entonces el número de grupos que se puede formar son





P m n n

 

  .

Combinaciones con repetición

Una combinación con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos denelementos iguales o distintos que se pueden formar con losmelementos, de forma que dos grupos se diferencien en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por CRm n, .

Para calcular las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, se utiliza la siguiente fórmula CRm n, Cm n n 1,

C

3. M

3.1 Introducción 3.2 Tipo de estudio

3.3 Etapas que conforman el estudio

3.4 Procedimiento para recoger, clasificar y analizar la información 3.4.1 Objeto de análisis

3.4.2 Reglas de codificación

3.4.3 Variables y sistemas de categorías

3.4.4 Fiabilidad del sistema de codificación-categorización 3.4.5 Inferencia

3.1 Introducción

En este capítulo se presenta el enfoque dado a nuestra investigación, además se describe el procedimiento seguido para recolectar la información por medio de la metodología de de análisis de contenido, además se describen las dos etapas que componen nuestro estudio y se definen las unidades de análisis, las variables y el sistema de categorías del estudio. Por último, y a manera de ejemplo, consideramos dos ejercicios del libro de texto de Matemática de cuarto curso opción A de Secundaria de la editorial de Anaya y describimos el proceso de clasificación de acuerdo a las variables establecidas y categorías consideradas.

3.2 Tipo de estudio

El enfoque de nuestro estudio se enmarca en el paradigma cualitativo, dado que no se probarán hipótesis, ni generalizaremos de manera probabilística los resultados a poblaciones más amplias, tampoco buscamos obtener muestras representativas y las variables no se definen con el propósito de manipularse ni controlarse experimentalmente, los cuales son algunos elementos que según Hernández, Fernández y Baptista (2006) caracterizan una investigación cualitativa.

en un estudio descriptivo se seleccionan una serie de cuestiones o componentes del fenómeno a estudiar (variables) y se mide cada una de ellas, para especificar lo que se investiga.

La observación es una de las principales técnicas de recolección de datos en la investigación descriptiva. En nuestra investigación los datos se obtuvieron al observar libros de texto de Matemática empleados en la Educación Secundaria en España, utilizando para ello la metodología de análisis de contenido. Antes de profundizar en la metodología de análisis de contenido describimos las etapas que conforman nuestro estudio.

3.3 Etapas que conforman el estudio

Como mencionamos en el capítulo 1, el objetivo general de nuestra investigación es caracterizar el significado institucional del objeto matemático “Combinatoria” presente en la institución de los libros de texto utilizados en la Educación Secundaria en España, para ello decidimos no solo analizar el capítulo de Combinatoria presente en los textos de Matemática de Educación Secundaria seleccionados, sino que también identificamos las tareas donde es posible aplicar un contenido combinatorio para su resolución a lo largo de todo el texto y de cada uno de los textos seleccionados del estudio. Por ello, nuestro estudio se divide en dos etapas que describimos a continuación.

En la primera etapa identificamos en todos los libros de texto de Matemática de Educación Secundaria seleccionados, aquellas tareas en las cuales puede aplicarse un contenido combinatorio en su resolución, luego se clasifican y describen según variables y categorías consideradas. En esta etapa no consideramos las tareas que se ubican en el capítulo de Combinatoria presente en algunos libros de texto de Matemática de cuarto curso de Educación Secundaria que conforman nuestra muestra.

Nos referimos a tarea como sinónimo de las situaciones-problema (Godino, Batanero y Font, 2007), es decir, aplicaciones extra-matemáticas, ejercicios, ejemplos, problemas o acciones que inducen una actividad matemática.

conforman la muestra. Además seleccionamos uno de estos manuales, que contienen el tema de Combinatoria, para clasificar y describir las tareas propuestas en dicho capítulo según variables y categorías consideradas.

3.4 Procedimiento para recoger, clasificar y analizar la información

En nuestra investigación se emplea la metodología de análisis de contenido, la cual se basa en la lectura (textual o visual) como instrumento de recogida de información. Fox (1981), y Pinto y Gálvez (1996), indican que el análisis de contenido es un proceso complejo y conlleva un esfuerzo de observación y reflexión por de parte de quien elabora los criterios de valoración.

Autores como Ghiglione y Matalón (1989), Pinto y Gálvez (1996) o Krippendorff (1990) presentan distintas definiciones para la metodología de análisis de contenido. En este trabajo adoptamos la de Bardin (1996) citada por Andréu (2000), quien conceptualiza la metodología de análisis de contenido como:

“Conjunto de técnicas de análisis de las comunicaciones tendentes a obtener indicadores (cuantitativos o no) por procedimientos sistémicos y objetivos de descripción del contenido de los mensajes permitiendo la inferencia de conocimientos relativos a las condiciones de producción/recepción (contexto social) de estos mensajes” (p. 3).

Partimos de la concepción adoptada por Bardin (1996) citada por Andréu (2000) por considerar la objetividad (empleo de procedimientos que puedan ser utilizados por otros investigadores) y la sistematización (pautas ordenadas que abarcan el total del contenido observado), requisitos para la reproductividad de todo instrumentos de investigación científica (Krippendorff, 1990).

Toda investigación científica mediante la metodología de análisis de contenido distingue varios elementos o pasos en su proceso. En este trabajo seguiremos los propuestos por Andréu (2000), que son:

1) Determinar el objeto o tema de análisis.

2) Determinar las reglas de codificación.

3) Determinar el sistema de Categorías.

4) Comprobar la fiabilidad del sistema de codificación-categorización.

5) Inferencias.

A continuación describimos cada uno de estos pasos.

3.4.1 Objeto de análisis

Con relación al objeto de nuestro estudio o tema de análisis, en el capítulo 1 de este documento mencionamos la problemática de estudio y su importancia, así como diversas investigaciones halladas sobre el tema en cuestión. Los fundamentos teóricos en el cual se basa el estudio se presentan en el capítulo 2. Respecto a las unidades de análisis (unidades de muestreo, de registro y de contexto) en este trabajo son:

Unidad de muestreo: Libros de texto para primero, segundo, tercero y cuarto curso (opción A y B) de Educación Secundaria en España, de las editoriales SM, Anaya y Santillana publicados en los años 2007 o 20084_{. Decidimos realizar el estudio en el} nivel de Secundaria debido que al analizar los currículos vigentes para la Educación Primaria, Secundaria y Bachillerato en España, encontramos que en el currículo correspondiente a la Educación Secundaria aparece con mayor frecuencia menciones implícitas acerca de la Combinatoria. Además en el nivel educativo de Secundaria en España no encontramos investigaciones relacionadas con el tratamiento de la Combinatoria en libros de texto. Respecto a las editoriales se escogieron según el criterio de profesores expertos que afirman que los textos seleccionados son de gran difusión y uso entre los estudiantes y profesores de distintos institutos de Enseñanza

4_{La referencia completa de los libros de texto de Matemática empleados en nuestro estudio se encuentran}