IFR.pdf
18
0
0
Texto completo
(2) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. Para el caso 3, Hay que factorizar g ( x ) , y luego se expresa como un producto de factores lineales px + q o formas cuadráticas irreducibles ax 2 + bx + c , se agrupan los factores repetidos para que g ( x ) quede expresado como un producto de factores distintos de la forma ( px + q) m o bien (ax 2 + bx + c) n , con m y n enteros no negativos. Una vez agrupados de la forma indicada anteriormente se utiliza las siguientes condiciones: (1) Por cada factor de la forma ( px + q) m con m ≥ 1, la descomposición de fracciones parciales contiene una suma de m fracciones parciales de la forma:. Am f ( x) A1 A2 = + + ... + 2 ( px + q) m g ( x) ( px + q) ( px + q). , donde cada numerador Am es un número. real. Se determinan las constantes respectivas: 1.a) El denominador tiene raíces reales simples: f ( x) f ( x) A B A( x − x2 ) + B ( x − x1 ) = = + = g ( x) ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x1 )( x − x2 ). Se. iguala f ( x) = A( x − x2 ) + B( x − x1 ) y se calcula A y B comparando coeficientes o. dándole valores a la x, y por último se resuelven las integrales. f ( x). A. B. ∫ g ( x) dx = ∫ ( x + x ) dx + ∫ ( x + x ) dx + ...+ = ALn( x + x ) + BLn( x + x ) + .. + k 1. 1. f ( x). A1. 2. 2. A2. ∫ g ( x) dx = ∫ ( px + q) dx + ∫ ( px + q). 2. dx + ... + ∫. Am dx ( px + q)m. 1.b) El denominador tiene raíces reales múltiples:. f ( x) f ( x) A B C D = = + + + g ( x) ( x − x1 )( x − x2 )3 ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x2 ) 2 ( x − x2 )3. f (x) A(x − x2 )3 + B(x − x1)(x − x2 )2 + C(x − x1)(x − x2 ) + D(x − x1) = g(x) (x − x1)(x − x2 )3 Igualando el principio con el final:. 60 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(3) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. f ( x ) = A( x − x2 )3 + B ( x − x1 )( x − x2 ) 2 + C ( x − x1 )( x − x2 ) + D ( x − x1 ). Calculamos los coeficientes A, B, C y D. Resolvemos la siguiente integral: f ( x). A. B. C. ∫ g ( x) dx = ∫ ( x − x )dx + ∫ ( x − x ) dx + ∫ ( x − x ) 1. ∫ ∫. 2. 2. 2. dx + ∫. D dx ( x − x2 )3. ( x − x2 ) −2+1 ( x − x2 ) −3+1 f ( x) dx = ALn( x − x1 ) + BLn( x − x2 ) + C +D +k g ( x) −2 + 1 −3 + 1 f ( x) 1 1 dx = ALn( x − x1 ) + BLn( x − x2 ) + C +D +k g ( x) −( x − x2 ) −2( x − x2 ) 2. (2) Por cada factor (ax 2 + bx + c) n , n ≥ 1 , donde (ax 2 + bx + c) , es irreducible, b ≠ 0 la descomposición en fracciones parciales contiene una suma de n fracciones parciales de la forma: Axn + bn f ( x) Ax1 + b1 Ax2 + b2 = + + ... + , donde todos los Axn , Bn son 2 2 2 g ( x) ( ax + bx + c) ( ax + bx + c) ( ax 2 + bx + c) n números reales. 2.1) Que el denominador tenga raíces reales complejas sencillas: Si al intentar resolver una ecuación de 2º grado nos sale una raíz negativa se dice que no tiene solución real, pero sí compleja.. f ( x) f ( x) Ax + B Cx + D = = + 2 2 2 2 g ( x ) ( ax + bx + c )( ax1 + bx1 + c1 ) ( ax + bx + c ) ( ax1 + bx1 + c1 ) f ( x ) ( Ax + B )( ax12 + bx1 + c1 ) + (Cx + D )( ax 2 + bx + c ) = g ( x) ( ax 2 + bx + c )( ax12 + bx1 + c1 ). f ( x) = ( Ax + B )( ax12 + bx1 + c1 ) + (Cx + D )( ax 2 + bx + c ) Se determinan las constantes por un sistema de ecuaciones y luego se sustituye. f ( x) Ax + b Cx + D = + dx dx ∫ g ( x) ∫ (ax 2 + bx + c) ∫ (ax12 + bx1 + c1 ) dx + ... El denominador complejo es necesario completar el cuadrado como sigue:. ax 2 + bx + c = a ( x 2 +. bx b b2 ) + c = a( x + )2 + c − a 2a 4a 61. http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(4) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. Debemos colocarlo de la forma ( x − a ) 2 + b 2 y resolver la integral de la siguiente forma: f ( x). Ax + B Cx + D a partir de aquí nos saldrá como solución un +∫ 2 2 +b (x1 − a1 ) 2 + b12. ∫ g ( x) dx = ∫ (x − a). Logaritmo (Ln) y una arco tangente. 2.2) Que el denominador tenga raíces reales complejas múltiples: Se determinan las constantes respectivas y por último se resuelven las integrales. f ( x) f ( x) Ax + B Cx + D = = + 2 2 2 2 (ax + bx + c) (ax + bx + c) 2 g ( x) (ax + bx + c) f ( x) ( Ax + B )(ax 2 + bx + c) 2 + (Cx + D)(ax 2 + bx + c) = (ax 2 + bx + c)(ax 2 + bx + c) 2 g ( x) f ( x) = ( Ax + B )(ax 2 + bx + c) 2 + (Cx + D)(ax 2 + bx + c). Se procede a determinar las constantes como se indicó anteriormente f ( x) Ax + b Cx + D ∫ g ( x) dx = ∫ (ax 2 + bx + c) dx + ∫ (ax 2 + bx + c)2 dx + ... Una vez sustituidas las variables se completa cuadrados y se resuelven las integrales. EJERCICIOS RESUELTOS. − x2 + 7 x + 9 dx ⇒ 1) ∫ 3 x + 2x2 − x − 2 − x2 + 7 x + 9 − x2 + 7 x + 9 A B C = dx ∫ x3 + 2 x2 − x − 2 ∫ ( x + 1)( x − 1)( x + 2) =∫ x + 1 dx + ∫ x − 1 dx + ∫ x + 2 dx − x2 + 7 x + 9 A( x − 1)( x + 2) + B( x + 1)( x + 2) + C ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)( x − 1)( x + 2) ( x + 1)( x − 1)( x + 2) − x 2 + 7 x + 9 = ( A + B + C ) x 2 + ( A + 3B ) x + ( A + 2 B − C ) ⎧ A + B + C = -1 ⎪ ⎨ A + 3B = 7 ⎪ A + 2 B -C = 9 ⎩. ⇒ A =1. B=2. C = −4. dx dx 2dx − x2 + 7 x + 9 ∫ x3 + 2 x 2 − x − 2 dx =∫ x + 1 + 2∫ x − 1 − 4∫ x + 2 = Ln( x + 1) + 2Ln( x − 1) − 4Ln( x + 2) + k 62 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(5) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. 3 x + 12 ⇒ ( x − 2)( x + 1) 2 3 x + 12 A B C ∫ ( x − 2)( x + 1)2 dx = ∫ x − 2 dx + ∫ x + 1 dx ∫ ( x + 1)2 dx. 2) ∫. A( x + 1) 2 + B ( x − 2 )( x + 1) + C ( x − 2 ) 3 x + 12 A B C = + + = ( x − 2)( x + 1) 2 x − 2 x + 1 ( x + 1)2 ( x − 2)( x + 1) 2 3 x + 12 ( A + B ) x 2 + (2 A − B + C ) x + ( A − 2 B − 2C ) = ( x − 2)( x + 1) 2 ( x − 2)( x + 1) 2 3 x + 12 = ( A + B ) x 2 + (2 A − B + C ) x + ( A − 2 B − 2C ). ⎧A + B = 0 ⎪ ⎨2 A − B + C = 3 ⇒ A = 2 , B = −2 y C = −3 ⎪ A − 2B − 2C = 12 ⎩ 3x +12. 2dx. −2dx. −3dx. ∫ (x − 2)(x +1) = ∫ x − 2 + ∫ x +1 + ∫ ( x +1) 2. 3)∫. 2. = 2Ln(x - 2) − 2Ln( x +1) +. 3 +k ( x +1). x +3 ⇒ x + 2x + 4 2. factor cuadráticoirreducible ⇒ x2 + 2x + 4 = ( x2 + 2x +1) −1+ 4 = ( x + 1) + 3 2. ∫x. 2. x +3 Ax + B x +3 Ax + B =∫ ⇒ 2 = ⇒ x + 3 = Ax + B ⇒ A = 1; B = 3 2 2 + 2x + 4 ( x +1) + 3 x + 2x + 4 ( x +1) + 3. x +3 x +3 2 2 = ∫ x + 2x + 4 ∫ ( x +1)2 + 3 dx ⇒ De la forma : x + a ⇒ Cambio : x = atgθ 2. x +1 = 3tgθ ⇒ x = 3tgθ −1; ( x +1)2 = 3tg 2θ ; dx = 3Sec2θ dθ x +3. ∫ ( x +1) I=. 2. +3. dx = ∫. ( 3tgθ −1+ 3) 3Sec2θ dθ 3 ( 3tgθ + 2)Sec2θ dθ = 3tg 2θ + 3 3 ∫ tg 2θ +1. 3 ( 3tgθ + 2)Sec2θ dθ 3 2 3 = ( 3tgθ + 2)dθ = ∫ tgθ dθ + dθ 2 ∫ ∫ 3 Sec θ 3 3 ∫. I = Ln Secθ +. 2 3 θ +k 3. 63 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(6) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. x +1 x +1 Del cambio : x + 1 = 3tgθ ⇒ tgθ = ⇒ θ = arctg ; Secθ = 3 3 x+3 ∫ x2 + 2x + 4 = Ln. ( x + 1). x+3 ∫ x2 + 2x + 4 = Ln. ( x + 1). 2. +3. 3 2. +3. 3. +. x +1 2 3 arctg +k 3 3. +. 2 3 x +1 arctg +k 3 3. ( x + 1). 2. +3. 3. 1 dx ⇒ x + 4x +13. 4)∫. 2. factor cuadrático irreducible ⇒ x2 + 4x +13 = ( x + 2) − 4 +13 = ( x + 2) + 9 2. 2. dx Ax + B ( Ax + B)dx 1 = ⇒ = 2 2 ∫ x + 4x +13 ∫ ( x + 2) + 9 x + 4x +13 ( x + 2)2 + 9 ⇒1 = Ax + B ⇒ A = 0; B = 1 2. ∫x. dx dx =∫ ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : x = atgθ 2 + 4x +13 ( x + 2) + 9. 2. x + 2 = 3tgθ ⇒ x = 3tgθ − 2; ( x + 2)2 = 9tg 2θ ; dx = 3Sec2θ dθ. ∫. 3Sec2θ dθ = = dθ = θ + k 2 ( x + 2) + 9 ∫ 9tg 2θ + 9 ∫ dx. dx 1 ⎡ x + 2⎤ = arctg ∫ x + 4x +13 3 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ + k 2. 5)∫. 1 dx ⇒ 2x2 − 4x +10. factor cuadrático irreducible ⇒ 2x2 − 4x +10 = 2( x2 − 2x + 5) = 2(( x −1) + 4) 2. dx Ax + B 1 ( Ax + B)dx 1 = ⇒ = ∫ 2x2 − 4x +10 2 ∫ ( x −1)2 + 4 2x2 − 4x +10 ( x −1)2 + 4 ⇒1 = Ax + B ⇒ B = 1. ∫ 2x. 2. dx dx 1 = ∫ ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : x = atgθ 2 − 4x +10 2 ( x −1) + 4. x −1 = 2tgθ ⇒ x = 2tgθ +1; ( x −1)2 = 4tg 2θ ; dx = 2Sec2θ dθ 1 dx 1 2Sec2θ dθ 1 Sec2θ dθ 1 1 = = ∫ 2 = ∫ dθ = θ + k 2 2 ∫ ∫ 2 ( x −1) + 4 2 4tg θ + 4 4 tg θ +1 4 4 64 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(7) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ∫ 2x. 2. dx 1 ⎡ x −1⎤ = arctg ⎢ +k − 4 x +10 4 ⎣ 2 ⎥⎦. 3x + 2 2 dx ⇒ factor cuadrático irreducible ⇒ x2 − 4x + 8 = ( x − 2) + 4 x − 4x + 8 (3x + 2)dx ( Ax + B)dx 3x + 2 Ax + B ∫ x2 − 4x + 8 = ∫ ( x − 2)2 + 4 ⇒ x2 − 4x + 8 = ( x − 2)2 + 4 ⇒ 3x + 2 = Ax + B ⇒ A = 3; B = 2. 6)∫. 2. (3x + 2)dx (3x + 2)dx =∫ ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : x = atgθ 2 2 − 4x + 8 ( x − 2) + 4. ∫x. x − 2 = 2tgθ ⇒ x = 2tgθ + 2; ( x − 2)2 = 4tg 2θ ; dx = 2Sec2θ dθ 3x + 2 (3(2tgθ + 2) + 2)2Sec2θ dθ 2 (3(2tgθ + 2) + 2)Sec2θ dθ = ∫ ∫ x2 − 4x +8 dx = ∫ 4tg 2θ + 4 4 tg 2θ +1 3x + 2 1 1 1 ∫ x2 − 4x +8 dx = 2 ∫ (3(2tgθ + 2) + 2)dθ = 2 ∫ (6tgθ + 6 + 2)dθ = 2 ∫ (6tgθ + 8)dθ. ∫x. 3x + 2 dx = 3∫ tgθ dθ + 4 ∫ dθ = 3Ln Secθ +θ + k − 4x + 8. 2. x−2 ⇒ Secθ = Del cambio : x − 2 = 2tgθ ⇒ tgθ = 2 3x + 2 ∫ x2 − 4x +8 dx = 3 Ln. ( x − 2). 2. +4. 2. + arctg. ( x − 2). 2. 2. +4. ;θ = arctg. x−2 2. x−2 +k 2. 2x3 + 3x2 − 6x −12 7)∫ dx ⇒ 2x3 + 3x2 − 6x −12 x2 − 4 2 x −4 − 2x3. + 8x. 2x + 3. 3x2 + 2x −12 − 3x2. +12 2x. 2x3 + 3x2 − 6x −12 3x = 2x + 3 + 2 2 x −4 x −4 2x 2x3 + 3x2 − 6x −12 dx = ∫ ( 2x + 3) dx + ∫ 2 dx = x2 + 3x + Ln x2 − 4 + k 2 ∫ x −4 x −4. 65 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(8) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 2 x 3 − 5 x 2 − 4 x + 13 8) ∫ dx ⇒ x2 − 4x + 4 2 x 3 − 5 x 2 − 4 x + 13. x2 − 4x + 4. − 2 x3 + 8x2 − 8x. 2x + 3. 3 x 2 − 12 x + 13 − 3 x 2 + 12 x − 12 1 2 x 3 − 5 x 2 − 4 x + 13 1 = 2x + 3+ 2 2 x − 4x + 4 x − 4x + 4. ∫. 2 x 3 − 5 x 2 − 4 x + 13 dx = x2 − 4x + 4. ∫. 1 2 x 3 − 5 x 2 − 4 x + 13 1 +k dx = x 2 + 3 x + ∫ dx = x 2 + 3 x − 2 2 x−2 x − 4x + 4 (x − 2). ∫ ( 2 x + 3 ) dx + ∫. x 2 + 3x − 4 9) ∫ 2 dx ⇒ x 2 + 3x − 4 x − 2x − 8 − x 2 + 3x − 4. 1 dx x − 4x + 4 2. x2 − 2 x − 8 1. 5x + 4 ⇒. 5x + 4 x 2 + 3x − 4 x 2 + 3x − 4 = + ⇒ 1 dx = ∫ dx + x2 − 2 x − 8 x2 − 2 x − 8 ∫ x2 − 2 x − 8. 5x + 4 ∫ x2 − 2 x − 8 dx ⇒. 2 ± 4 + 32 2 ± 6 ⎧ x1 = 4 5x + 4 2 ⇒ − − = ⇒ = = =⎨ 2 8 0 dx x x x ∫ x2 − 2x − 8 2 2 ⎩ x2 = −2 B 5x + 4 5x + 4 A ∫ x2 − 2 x − 8 dx = ∫ ( x − 4)( x + 2 ) dx = ∫ x − 4 dx + ∫ x + 2 dx A ( x + 2) + B ( x − 4) 5x + 4 = ⇒ 5x + 4 = A ( x + 2) + B ( x − 4) x − 2x − 8 ( x − 4 )( x + 2 ) 2. x = 4 → 24 = 6 A → A = 4; x = − 2 → − 6 = − 6 B → B =1 5x + 4 4 1 ∫ x2 − 2 x − 8 dx = ∫ x − 4 dx + ∫ x + 2 dx = 4 Ln x − 4 + Ln x + 2 x 2 + 3x − 4 ∫ x2 − 2 x − 8 dx = x + 4 Ln x − 4 + Ln x + 2 + k. 66 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(9) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 10)∫. x4 − x3 − x−1 x4 − x3 − x−1 − x−1 dx x ⇒ = + x3 − x2 x3 − x2 x3 − x2. x4 − x3 − x−1 − x−1 dx xdx = + ∫ x3 −x2 ∫ ∫ x3 −x2 dx A B C − x−1 − x−1 −x−1 3 2 2 ∫ x3 −x2 dx ⇒x −x = x ( x−1) ⇒∫ x3 −x2 dx = ∫ x2 ( x−1) dx = ∫ x dx+ ∫ x2 dx+ ∫ x−1dx −x−1 A B C Ax( x−1) + B( x−1) +Cx = + 2+ = ⇒− x−1= Ax( x−1) + B( x−1) +Cx2 2 2 x ( x−1) x x x−1 x ( x−1) 2. x = 0 →−1 = −B → B=1 x = 1 →−2 = C →C=−2 x = 2 →−3 = 2A + B + 4C →−3 = 2A + 1 −8 → 2A = 4 → A = 2 −x−1. 2. 1. −2. 1. ∫ x −x dx = ∫ x dx + ∫ x dx + ∫ x−1 dx = 2Ln x − x −2Ln x−1 +k 3. 2. 2. x4 − x3 − x−1 x2 1 dx = + 2 Ln x − − 2 Ln x− 1 +k ∫ x3 −x2 2 x 11)∫. 8x2 +6x + 6 dx ⇒ x3 −3x2 +7x−5. 1 −3 7 −5 1 1 −2 5 ⇒x3 −3x2 +7x−5=( x − 1) ( x2 −2x+5) ⇒x2 −2x+5 = 0 → 1 −2 5 0 2 ± 4−20 2 ± −16 = ∉sol 2 2 8x2 +6x + 6 8x2 +6x + 6 A Bx + C = = + dx dx dx 3 2 2 ∫ x −3x +7x−5 ∫ ( x−1) ( x2 −2x+5 ) ∫ x−1 ∫ x −2x+5 dx x=. A( x2 −2x+5 ) +( Bx + C)( x−1) 8x2 +6x + 6 = ⇒8x2 +6x + 6 = A( x2 −2x+5 ) +( Bx + C)( x−1) 2 2 ( x−1) ( x −2x+5 ) ( x−1) ( x −2x+5 ) x = 1 → 20 = 4A → A=5 x = 0 →6 = 5A − C →C=5A − 6 = 25 − 6⇒C= 19 x = 2 →50 = 5A + 2B +C →50 = 25 +2B + 19 → 2B = 50 − 25 − 19 = 6⇒B = 3 67 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(10) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 8x2 + 6x + 6 5 3x + 19 ∫ x3 −3x2 + 7x −5 dx = ∫ x −1 dx + ∫ x2 − 2x + 5 dx = 5 Ln x −1 + I1 3x + 19 2 2 Para I1 : ∫ 2 dx ⇒ x2 − 2x + 5 = ( x −1) − 1 + 5 = ( x −1) + 4 x − 2x + 5 (3x +19)dx (3x +19)dx 2 2 = 2 ∫ x − 2x + 5 ∫ ( x −1)2 + 4 ⇒ De la forma : x + a ⇒ Cambio : x = atgθ x −1 = 2tgθ ⇒ x = 2tgθ +1; (x −1)2 = 4tg 2θ ; dx = 2Sec2θ dθ. ∫. (3(2tgθ +1) +19)2Sec2θ dθ 2 (3(2tgθ +1) +19)Sec2θ dθ = = ∫ 2 4tg 2θ + 4 4 tg 2θ +1 ( x −1) + 4 ∫. (3x +19)dx. (3x + 19)dx. ∫ ( x −1). 2. +4. (3x + 19)dx. ∫ ( x −1). 2. +4. =. 1 1 1 (3(2tgθ + 1) + 19)dθ = ∫ (6tgθ + 3 + 19)dθ = ∫ (6tgθ + 22)dθ ∫ 2 2 2. = 3∫ tgθ dθ +. 22 dθ = 3Ln Secθ + 11θ + k 2 ∫. x −1 Del cambio : x −1 = 2tgθ ⇒ tgθ = ⇒ Secθ = 2 3x + 19 ∫ x2 − 2x + 5 dx = 3 Ln. ( x −1). 2. +4. 2. + 11arctg. ( x −1). 2. +4. 2. ;θ = arctg. x −1 2. x −1 +k 2. 5 x 2 + 12 x + 1 12) ∫ 3 dx ⇒ x + 3x 2 − 4 x3 + 3x 2 − 4 = ( x − 1) ( x + 2)2 5 x 2 + 12 x + 1 5 x 2 + 12 x + 1 A B C dx = ∫ x3 + 3x 2 − 4 ∫ ( x − 1) ( x + 2)2 dx = ∫ ( x − 1) dx + ∫ ( x + 2)2 + ∫ ( x + 2) dx 5 x 2 + 12 x + 1 A ( x + 2)2 + B ( x − 1) + C ( x − 1) ( x + 2) = ( x − 1) ( x + 2)2 ( x − 1) ( x + 2)2 5 x 2 + 12 x + 1 = A ( x + 2)2 + B ( x − 1) + C ( x − 1) ( x + 2) 5 x 2 + 12 x + 1 = ( A + B) x 2 + (4 A + B + C ) x + 4 A − 2 B − 2 B − C ⎧A + B = 5 ⎪ ⎨4 A + B + C = 12 ⎪4 A − 2 B − C = 1 ⎩. ⇒ A = 2; B = 3; C = 1. 68 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(11) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 5 x 2 + 12 x + 1 2 ∫ x 3 + 3 x 2 − 4 dx = ∫ x − 1 dx +. 3. ∫ ( x + 2). 2. dx +. dx. ∫ ( x + 2). 5 x 2 + 12 x + 1 3 dx 2 Ln x 1 = − − + Ln x + 2 + k ∫ x3 + 3x2 − 4 x+ 2. 5x2 + 20 x + 6 dx ⇒ 13)∫ 3 x + 2 x2 + x x3 + 2 x2 + x = x ( x + 1) ( x + 1) A B C 5x2 + 20 x + 6 5x2 + 20 x + 6 ∫ x3 + 2 x2 + x dx = ∫ x ( x + 1) ( x + 1) dx = ∫ x dx + ∫ ( x + 1)2 dx + ∫ ( x +1) dx 5x2 + 20 x + 6 x ( x + 1). 2. A B C 5x2 + 20 x + 6 A ( x + 1) + B x +Cx ( x + 1) = + + ⇒ = 2 2 x ( x + 1)2 ( x +1) x ( x + 1) x ( x + 1) 2. 5x2 + 20 x + 6 = A ( x + 1) + B x + Cx ( x + 1) 2. 5x2 + 20 x + 6 = A ⎡⎣x2 + 2x + 1⎤⎦ + Bx + Cx2 + Cx 5x2 + 20 x + 6 = Ax2 + 2Ax + A + Bx + Cx2 + Cx 5x2 + 20 x + 6 = x2 [ A + C] + x [ 2A + B + C] + A ⎧5 = A + C ⎪ ⎨20 = 2A + B + C ⇒ A = 6; B = 9;C = −1; ⎪6 = A ⎩ 5x2 + 20 x + 6 dx dx dx = + − 6 9 dx 2 2 ∫ x ( x + 1) ∫x ∫ ( x + 1) ∫ x + 1 dx = Ln x + k x −9 9 dx du = u = x + 1 ⇒du = dx ⇒ 9∫ 2 ⇒ 9∫ u−2 du ⇒ I2 = ⇒ I2 = − +k I2 = 9 ∫ 2 u ( x + 1) u + x 1 ( ) I1 = 6 ∫. I3 = ∫. ∫. dx = Ln x +1 + k x +1. 5x2 + 20 x + 6 x ( x + 1). 2. dx =Ln x −. 9 Ln x +1 + k (x + 1). 69 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(12) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ex dx ⇒ 14)∫ (1 − ex )( 2 + ex ) Cambio de Variable : u = ex ⇒du = exdx ⇒∫. du A B =∫ du + ∫ du 2+u (1−u)( 2+u) 1 − u. A B A(2+u) + B(1−u) 1 1 = + ⇒ = (1−u)( 2+u) 1 − u 2 + u (1−u)( 2+u) (1−u)(2+u) 1 = A (2+u) + B(1−u) ⇒1=2A+ Au + B− Bu ⇒1 = u[ A− B] +(2A+ B) ⎧0 = A − B ⇒ A = B ⇒ B = − 2A + 1⇒ A = − 2A + 1⇒ 3A =1 ⇒ A = 13 ⇒ B = 13 ⎨ ⎩1 = 2A + B du. 1. du. 1 du. 1. ∫ (1−u)(2+u) = 3 ∫1−u + 3 ∫ 2+u = 3 Ln 1 − u. 1 + Ln 2 + u + k 3. ex dx 1 1 ex dx x x = Ln − e + Ln + e + k ⇒ =3 Ln(1 − ex ) (2 + ex ) + k 1 2 ∫ (1 − ex )( 2 + ex ) 3 ∫ x x 3 (1 − e )( 2 + e ). ⎛ 1 ⎞ 15)∫⎜ x ⎟dx ⇒ ⎝ 2 +3⎠ Cambio deVariable: u = 2x +3⇒2x = u −3⇒du = 2x Ln( 2) dx ⇒dx =. du du ⇒ = dx 2x Ln( 2) (u −3)Ln( 2). 1 1 1 ⎡ A du B ⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ = = = + dx du du ∫⎜⎝ 2x +3⎟⎠ ∫⎜⎝ u ⎟⎠ (u −3) Ln( 2) Ln( 2) ∫ u(u−3) Ln( 2) ⎢∫ u ∫ (u−3)du⎥ ⎣ ⎦ 1 A B = + ⇒1= A( u −3) + Bu ⇒1= u(A+ B) −3A u( u −3) u ( u −3) ⎧A+ B = 0 −1 1 ⇒A = ; B = ⎨ 3 3 ⎩−3A=1 −1 ⎡ du 1 1 1 du ⎤ = − =− ⎡ln u −ln u −3⎤+ du ⎢ ⎥ ⎦ k 3Ln( 2) ⎣∫ u ∫ ( u −3) ⎦ 3ln( 2) ⎣ Ln( 2) ∫ u( u −3) 1 1 ⎛ 1 ⎞ x x ⎡ ⎤ ⎡ln 2x +3 − xln 2 ⎤ +k =− + − + =− ln 2 3 ln 2 dx k ⎜ ⎟ x ∫⎝ 2 +3⎠ 3ln( 2) ⎣ ⎦ ⎦ 3ln( 2) ⎣ x ⎛ 1 ⎞ x ln 2 +3 ∫⎜⎝ 2x +3⎟⎠dx = 3 − 3ln( 2) +k. 70 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(13) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. x2 − x − 21 16)∫ 3 2 dx ⇒ 2x − x + 8 x − 4 2x3 − x2 + 8 x − 4 = x2 ( 2x − 1) + 4( 2x −1) = (x2 + 4)(2x −1) x2 − x − 21 x2 − x − 21 Ax + B C dx dx dx = = + ∫ 2x3 − x2 + 8 x − 4 ∫ (x2 + 4)(2x −1) ∫ (x2 + 4) ∫ ( 2x −1) dx Ax + B)( 2x −1) + C (x2 + 4) ( x2 − x − 21 Ax + B C x2 − x − 21 = + ⇒= 2 = (x2 + 4)(2x −1) (x2 + 4)(2x −1) (x2 + 4) ( 2x −1) (x + 4)(2x −1) x2 − x − 21 = ( Ax + B)( 2x −1) + C (x2 + 4) ⎧1 = 2A + C ⎪ ⎨−1 = − A +2B ⎪−21 = − B+ 4C ⎩. ⇒ A = 3; B = 1;C = −5. x2 − x −21 dx x2 − x−21 dx dx 3x +1 3xdx dx = dx − ⇒ 5 ∫ (x2 +4)(2x −1) ∫ (x2 +4) ∫ ( 2x −1) ∫ (x2 +4)(2x −1) dx =∫ (x2 +4) +∫ (x2 +4) −5∫ ( 2x −1) x2 − x−21 3 1 5 2 ∫ 2x3 −x2 +8x −4 dx = 2 Ln(x +4) + 2 arctg(2x) − 2 Ln(2x −1) +k. 17) ∫. dx ⇒ 9x + x2 4. 9 x 4 + x 2 = x 2 ( 9 x 2 + 1). ∫ 9x. dx = + x2. 4. dx. ∫ x (9x 2. 2. + 1). =∫. A B (Cx + D )dx dx + ∫ dx + ∫ 2 x x ( 9 x 2 + 1). 1 A B (Cx + D ) = 2+ + ⇒ 1 = A(9 x 2 + 1) + Bx (9 x 2 + 1) + x 2 (Cx + D ) 2 2 x x ( 9 x + 1) x ( 9 x + 1) 2. ⎧9 B + C = 0 ⎪9 A + D = 0 ⎪ ⇒ C = 0; D = −9 ⎨ ⎪B = 0 ⎪⎩ A = 1 dx dx dx dx dx 0 (0 x − 9)dx ∫ x 2 ( 9 x 2 + 1) = ∫ x 2 + ∫ x dx + ∫ ( 9 x 2 + 1) ⇒ ∫ x 2 ( 9 x 2 + 1) = ∫ x 2 − 9∫ ( 9 x 2 + 1). 71 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(14) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. dx dx =− ∫ 2 2 ( 9x + 1) ( x +. −9∫ x=. 1 9. 1 9. ). tgθ ⇒ x2 = 19 tg 2θ ;. dx −∫ 2 (x +. 1 9. =− ) ∫. 1 9 1 9. [. ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : x = atgθ dx =. Sec2θ dθ. tg 2θ + 19. =. 1 9. −. ∫ 9x. dx 1 = − − 3arctg(3x) + k 2 x +x. 18)∫. x +1 dx ⇒ x −9x +14. 1 9 1 9. Sec2θ dθ. Sec2θ dθ ∫ tg 2θ +1 = −3∫ dθ = −3θ + k = −3arctg(3x) + k. 4. 2. x2 −9x +14 =( x − 2) (x − 7) (x +1)dx. (x +1)dx. Adx. Bdx. ∫ x −9x +14 = ∫ ( x −2) (x −7) = ∫ ( x −2) + ∫ (x − 7) ⇒ 2. −3 (x +1) A B 8 = + ⇒(x +1) = A(x − 7) + B(x − 2) ⇒ A = ; B = 5 5 ( x −2) (x − 7) ( x −2) (x − 7) (x +1)dx. 8. dx. 3. dx. (x +1)dx. 8. 3. ∫ ( x −2) (x −7) = 5 ∫ ( x −2) − 5 ∫ (x −7) ⇒ ∫ x −9x +14 = 5 Ln x − 2 − 5 Ln x −7 + k 2. 19)∫. 2x−1 dx ⇒ x + x2 −2x 3. x3 + x2 −2x = x( x−1) (x+2) Adx Bdx Cdx (2x−1)dx (2x +1)dx = = + + ∫ x3 + x2 −2x ∫ x( x−1) (x+2) ∫ x ∫ (x−1) ∫ (x+2) ⇒ A B C (2x+1) = + + ⇒2x−1= A(x−1)(x+2) + Bx(x+2) +Cx(x−1) x( x−1) (x +2) x (x−1) (x+2) −5 1 1 A= ; B = ; C = 2 3 6 (2x +1)dx 1 dx 1 dx 5 dx (2x−1)dx 1 1 5 = 1 + − ⇒ = Ln x + Ln x − − Ln x+2 +k 3 2 ∫ x( x−1) (x+2) 2∫ x 3∫ (x−1) 6∫ (x+2) ∫ x +x −2x 2 3 6. 72 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(15) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. (3x2 +5 x) dx ⇒ 20)∫ 3 x + x2 − x −1 x3 + x2 − x −1 =( x −1)( x + 1). 2. Adx Bdx C (3x2 +5 x) (3x2 +5 x) ∫ x3 + x2 − x −1 dx = ∫ ( x −1)( x + 1)2 dx = ∫ ( x −1) + ∫ ( x + 1)2 + ∫ ( x +1) dx (3x2 +5 x). ( x −1)( x + 1). 2. =. A B C 2 + + ⇒ (3x2 +5 x) = A( x +1) + B( x −1) + C( x −1) ( x + 1) 2 ( x −1) ( x + 1) ( x +1). A = 2; B =1; C =1 (3x2 +5 x). ∫ ( x −1)( x + 1). 2. dx = 2∫. dx dx dx +∫ +∫ ⇒ 2 ( x −1) ( x + 1) ( x +1). (3x2 +5 x)dx 1 ∫ x3 + x2 − x −1 = 2Ln( x −1) − x +1 + Ln( x +1) + k 21)∫. 3 dx ⇒ x4 + x2 +1. x4 + x2 +1 = x4 + x2 +1+ x2 − x2 = x4 + 2x2 +1− x2 = (x2 +1)2 − x2 = ((x2 +1) − x)((x2 +1) + x) x4 + x2 +1= (x2 + x +1)(x2 − x +1) Ax + B 3dx 3dx Cx + D ∫ x4 + x2 +1 = ∫ (x2 + x +1)(x2 − x +1) = ∫ (x2 + x +1) dx + ∫ (x2 − x +1) dx 3 Ax + B Cx + D = 2 + 2 ⇒3 = ( Ax + B)(x2 − x +1) + (Cx + D)(x2 + x +1) 2 2 (x + x +1)(x − x +1) (x + x +1) (x − x +1) 3 = ( A+ C)x3 + (−A+ B + C + D)x2 + ( A− B + C + D)x + (B + D) ⎧A + C = 0 ⎪ ⎪−A+ B + C + D = 0 ⎨ ⎪A − B + C + D = 0 ⎪⎩B + D = 3. 3 3 3 −3 ⇒ A= ; B = ; C = ; D= 2 2 2 2. 3 x +1 3 x −1 3dx = dx − ∫ (x2 + x +1)(x2 − x +1) 2 ∫ (x2 + x +1) 2 ∫ (x2 − x +1) dx ParaI1 :∫. x +1 2 dx ⇒ x2 + x + 14 +1− 14 = ( x + 12 ) + 34 (x + x +1) 2. 73 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(16) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ∫. ( x + 1)dx ( x + 1)dx = ( x2 + x + 1) ∫ ( x + 12 )2 + 34. x + 12 =. 3 4. tgθ ⇒ x =. ( x + 1)dx. ∫ (x+ ) 1 2. 2. +. 3 4. ( x + 1)dx. ∫ (x+ ). 2. x+ =. 3 4. 1 2. 1 2. +. 3 4. =∫. (. 3 4 3 4. ⇒ De la forma : x2 + a2 ⇒ Cambio : x = atgθ. tgθ − 12 ; ( x + 12 )2 = 34 tg 2θ ; dx =. tgθ − 12 + 1) 3 4. 3 4. tg θ + 2. Sec2θ dθ. 3 4. =. 1 3 4. ∫(. 3 4 3 4. Sec2θ dθ. tgθ + 12 )dθ = ∫ tgθ dθ +. 1 3. ∫ dθ. = Ln Secθ + 13 θ + k. (2x + 1)2 + 3 2x +1 ⎛ 2x +1 ⎞ tgθ ⇒ tgθ = ⇒ θ = arctg ⎜ ⎟ ; Secθ = 3 3 ⎝ 3 ⎠. (2x +1)2 + 3 1 x +1 ⎛ 2x +1⎞ = + dx Ln arctg ⎜ ⎟+k ∫ (x2 + x +1) 3 3 3 ⎝ ⎠ ParaI2 :∫. x +1 (x +1)dx (x +1)dx 2 =∫ ⇒ dx ⇒ x2 − x + 14 +1− 14 = ( x − 12 ) + 43 ⇒ ∫ 2 (x − x +1) (x − x +1) ( x − 12 )2 + 34 2. De forma similar :∫. (2x −1)2 + 3 1 x +1 ⎛ 2x −1⎞ = − + 3 arctg ⎜ dx Ln ⎟+k 2 (x − x +1) 3 3 ⎝ ⎠. (2x +1)2 + 3 1 (2x −1)2 + 3 1 3dx ⎛ 2x +1⎞ ⎛ 2x −1⎞ + 3 arctg ⎜ + 3 arctg ⎜ ⎟ − Ln ⎟+k ∫ x4 + x2 +1 = Ln 3 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠. x4 +8x3 −x2 +2x+1 22)∫ dx ⇒ 2 3 (x + x)(x +1) (x2 + x)(x3 +1) = x(x+1)(x+1)(x2 − x+1) = x(x+1)2(x2 − x+1) x4 +8x3 −x2 +2x+1 Bdx Cdx (Dx + E)dx (x4 +8x3 −x2 +2x+1)dx Adx ∫ (x2 +x)(x3 +1) dx = ∫ x(x+1)2(x2 −x+1) =∫ x +∫ (x+1)2 +∫ (x+1) +∫ (x2 −x+1) C (Dx + E) (x4 +8x3 −x2 +2x+1) A B = + + + 2 2 2 2 x(x+1) (x −x+1) x (x+1) (x+1) (x − x+1) Resolver el sistemadeecuaciones : ⇒A=1; B=3; C =−2; D= 2; E =0 (x4 +8x3 −x2 +2x+1)dx dx dx dx 2xdx = + 3 − 2 + 2 2 2 2 ∫ x(x+1) (x −x+1) ∫ x ∫ (x+1) ∫ (x+1) ∫ (x −x+1). 74 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(17) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. I1; I2; I3 son inmediatas I4 = ∫. 2xdx 2xdx =∫ ⇒De la forma : x2 + a2 ⇒Cambio: x = atgθ 2 (x − x +1) ( x− 12 ) + 34 2. x − 12 =. 3 4. tgθ ⇒ x =. 2xdx. ∫ ( x− ) 1 2. 2. +. 3 4. ( x + 1)dx. ∫ (x+ ). 2. x− =. 3 4. 1 2. 1 2. +. 3 4. =∫. 2(. 3 4. tgθ + 12 ; ( x − 12 )2 = 34 tg 2θ ; dx =. 3 4. tgθ + 12 ) 3 4. 3 4. tg θ + 2. = 2Ln Secθ +. 2 3. Sec2θ dθ 3 4. =. 3 3 4. ∫(. 3 4. 3 4. Sec2θ dθ. tgθ + 12 )dθ = 2 ∫ tgθ dθ +. 2 3. ∫ dθ. θ +k. (2 x + 1)2 + 3 2x −1 ⎛ 2x −1 ⎞ ⇒ θ = arctg ⎜ tgθ ⇒ tgθ = ⎟ ; Secθ = 3 3 ⎝ 3 ⎠. (2x +1)2 + 3 2 2xdx ⎛ 2x −1⎞ = 2Ln + 3 arctg ⎜ I1 = ∫ 2 ⎟+k (x − x +1) 3 ⎝ 3 ⎠ (2x +1)2 + 3 2 x4 + 8x3 − x2 + 2x +1 3 ⎛ 2x −1⎞ dx = Ln x − Ln x + − + Ln + arctg 2 1 2 ⎜ ⎟+k 2 3 ∫ (x + x)(x +1) 3 x +1 3 3 ⎝ ⎠. 5x3 + 2 25x2 − 20x + 2 23)∫ 3 )dx dx ⇒ ∫ (5 + 3 x − 5x2 + 4x x − 5x2 + 4x x3 − 5x2 + 4x = x (x − 4)(x −1). ∫. 25x2 − 20x + 2 (25x2 − 20x + 2)dx A B C dx = ∫ dx + ∫ dx = ∫ dx + ∫ 3 2 (x − 4) (x −1) x − 5x + 4x x (x − 4)(x −1) x. 25x2 − 20x + 2 A B C = + + ⇒ 25x2 − 20x + 2 = A(x − 4)(x −1) + Bx(x −1) + Cx(x −1) x (x − 4)(x −1) x (x − 4) (x −1) −7 A = 12 ; B = 161 6 ; C= 3. (25x2 − 20x + 2)dx 1 dx 161 dx −7 dx ∫ x (x − 4)(x −1) = 2 ∫ x + 6 ∫ (x − 4) 3 ∫ (x −1) 5x3 + 2 ∫ x3 −5x2 + 4x dx = 5x + 12 Ln x + 1616 Ln x − 4 −37 Ln x −1 + k. 75 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(18) UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. [. x2 − 8x + 7 dx ⇒ 24)∫ 2 (x − 3x −10)2 (x2 − 3x −10)2 = ((x − 5)(x + 2))2 = (x − 5)2 (x + 2)2 x2 − 8x + 7 x2 − 8x + 7 Adx Bdx Cdx Ddx ∫ (x2 − 3x −10)2 dx = ∫ (x − 5)2 (x + 2)2 dx = ∫ (x − 5)2 + ∫ (x − 5) + ∫ (x + 2)2 + ∫ (x + 2) x2 − 8x + 7 A B C D = + + + (x − 5)2 (x + 2)2 (x − 5)2 (x − 5) (x + 2)2 (x + 2) 30 −30 ; C = 27 resolver el sistema deecuaciones : ⇒ A = −498 ; B = 343 49 ; D = 343. x 2 − 8x + 7 dx dx dx dx −8 30 27 30 = + + − dx 49 343 49 343 ∫ (x − 5)2 ( x + 2)2 ∫ ( x − 5)2 ∫ ( x − 5) ∫ ( x + 2)2 ∫ ( x + 2) −8 27 x2 − 8x + 7 ∫ (x2 − 3x −10)2 dx = 49( x − 5) + 34330 Ln ( x − 5) + 49( x + 2) − 34330 Ln ( x + 2) + k. NOTA: COMO PUEDEN OBSERVAR LA SOLUCIÓN DE INTEGRALES RACIONALES SE BASA EN PRIMER LUGAR, DETERMINAR LOS VALORES DE LAS CONSTANTES QUE APAREZCAN SEGÚN LOS CASOS ANTERIORMENTE ESTUDIADOS, Y UNA VEZ QUE TENEMOS ESOS VALORES, LAS INTEGRALES A CALCULAR SE RESUELVEN POR MÉTODOS YA CONOCIDOS.. 76 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(19)
Documento similar
"No porque las dos, que vinieron de Valencia, no merecieran ese favor, pues eran entrambas de tan grande espíritu […] La razón porque no vió Coronas para ellas, sería
Vistas así las cosas, la crítica formulada por los profesores de Alicante supondría un serio revés para la concepción alexiana de los principios co- mo mandatos de optimización,
También hemos visto como la principal característica de este proceso de racialización es que se hace presente en los libros de texto de una forma dialéctica, al pretender
El tercero tiene notas bajas pero la mayor es estadística, una de las temáticas trabajadas de forma más mecánica, asimismo el último arquetipo muestra que, aun con notas buenas,
En cuarto lugar, se establecen unos medios para la actuación de re- fuerzo de la Cohesión (conducción y coordinación de las políticas eco- nómicas nacionales, políticas y acciones
La campaña ha consistido en la revisión del etiquetado e instrucciones de uso de todos los ter- mómetros digitales comunicados, así como de la documentación técnica adicional de
b) El Tribunal Constitucional se encuadra dentro de una organiza- ción jurídico constitucional que asume la supremacía de los dere- chos fundamentales y que reconoce la separación
Sabemos que, normalmente, las cookies deben ser almacenadas y enviadas de vuelta al servidor sin modificar; sin embargo existe la posibilidad de que un atacante
