Analisis Modal Generado-Barra Infinita.p

Análisis de estabilidad del sistema Generador - Barra Infinita a causa de

pequeñas perturbaciones

Rodmy Miranda Ordoñez rmiranda@hidrobol.com

1. NOMENCLATURA

La nomenclatura utilizada en este trabajo es la siguiente:

KS, Coeficiente del par sincronizante KD, Coeficiente del par de amortiguación ωd, Frecuencia natural amortiguada ζ, Amortiguamiento relativo σ, Constante de atenuación

2. INTRODUCCIÓN

El análisis de estabilidad para pequeñas perturbaciones permite determinar el comportamiento de una central eléctrica, conectada a un gran sistema de potencia a través de sus líneas de transmisión, cuando existen ligeras variaciones de la frecuencia, a causa de pequeñas variaciones en la carga ó en la generación. Este fenómeno se presenta continuamente en un sistema de potencia, ya que la demanda de energía no es constante. Este análisis es conocido como “Análisis Modal”.

3. ANÁLISIS MODAL: OSCILACIONES

MÁQUINA-SISTEMA

Mediante este análisis, se calculan los modos de oscilación natural y su factor de amortiguamiento relativo del sistema.

El análisis modal es un análisis dinámico lineal alrededor de un punto de operación, razón por la cual también se le conoce como estabilidad de pequeña señal. Su objetivo es conocer la capacidad del sistema de mantener el sincronismo cuando es sometido a pequeñas perturbaciones. La inestabilidad en este caso puede surgir de dos formas:

Incremento permanente de los ángulos del rotor de las unidades de generación debido a la carencia de par ó momento sincronizante.

Oscilaciones del rotor de amplitud creciente debido a la carencia de par de amortiguación.

El análisis modal se realiza para calcular los valores y vectores propios (eigenvalores y eigenvectores) de un sistema dinámico y sus controles, que en el caso de los modos electromecánicos tendrán un amortiguamiento y una frecuencia de oscilación. Adicionalmente, se obtendrán los factores de participación normalizados de las unidades de generación que participan en cada uno de los modos. La parte real del autovalor (λ) será una medida del amortiguamiento del modo y la parte imaginaria la medida de la frecuencia de la oscilación que el modo representa, de acuerdo con la siguiente relación:

2

1 ζ

ω ζω ω σ

λ = + j _d = _n + j _n −

Donde:

σ, es la constante de atenuación, d

ω , es la frecuencia natural amortiguada

n

ω , es la frecuencia natural no amortiguada, ζ , es el amortiguamiento relativo.

Una parte real negativa (σ<0) representa un comportamiento del sistema con oscilaciones amortiguadas, y una parte real positiva (σ>0) representa oscilaciones de amplitud creciente a medida que transcurre el tiempo, llegando a producirse la inestabilidad del sistema.

Resumen: La inestabilidad de un sistema de potencia puede tomar diferentes formas y puede ser influenciada por diversos factores. En el análisis del problema de la estabilidad del ángulo del rotor, se deben identificar los factores que contribuyen a la inestabilidad del sistema, para este fin es de gran utilidad realizar un análisis dinámico lineal ó análisis modal alrededor del punto de operación normal del sistema eléctrico de potencia, para determinar el grado de participación del conjunto de generadores en la estabilidad del sistema y con esto determinar posteriores ajustes en los componentes de control de las unidades generadoras si corresponde.

Para los cálculos normalizados del amortiguamiento relativo (ζ) y la frecuencia natural no amortiguada de oscilación (ωn) se utilizan las siguientes ecuaciones:

ζ σ ω ω

σ σ

ζ =

+

= y n

2 2

Para propósitos de planeamiento, se considera un amortiguamiento aceptable aquel que sea superior al 5%, ya que mediante estabilizadores de potencia puede mejorarse la calidad del amortiguamiento.

En el análisis modal es importante conocer algunos conceptos básicos.

Propiedades de la matriz de estado

a) Valores propios (eigenvalores)

Los valores propios o valores característicos están dados por los parámetros del escalar (λ), para el cual existe una solución no trivial (otra que φ=0), para la ecuación.

φ λ φ= ⋅ ⋅

A (1) Donde:

A, es una matriz cuadrada n x n (real para un sistema físico como un sistema eléctrico de potencia)

φ, es un vector n x 1

Para encontrar los valores característicos, la ecuación (1) puede ser escrita de la forma:

(

A−λ⋅I

)

⋅φ=0 (2)

Para una solución no trivial

(

)

0

det λ⋅I−A = (3)

Las n soluciones de λ = λ1, λ2,...., λn son los valores característicos de A.

b) Vectores propios (eigenvectores)

Para cualquier valor característico (λi), el vector de la n-columna (φi) que satisface la ecuación (1) es llamado vector propio o vector característico derecho de (A), asociado con el valor característico de (λi). Por lo tanto se tendrá:

i i i

A⋅φ =λ ⋅φ i=1,2,..,n (4) El vector característico φi tiene la forma:





















=

ni i i i

φ φ φ φ

M 2 1

Debido a que la ecuación (2) es homogénea,

i

kφ (donde k es un escalar) es también una solución. Así los vectores característicos son determinados solamente dentro de un múltiplo escalar. De igual forma, el vector de la n-fila ψi, el cual satisface

i i A

i λ ψ

ψ ⋅ = ⋅ i=1,2,..,n (5)

es llamado vector característico izquierdo, asociado con el valor característico λi.

Los vectores característicos izquierdo y derecho, correspondientes a diferentes valores característicos son ortogonales. En otras palabras, si λi no es igual a λj,

0

= ⋅ _i j φ

ψ (6)

Asimismo, en caso de que los vectores característicos correspondan al mismo valor característico, se tendrá:

i C i j⋅φ =

ψ (7)

Donde Ci es una constante diferente de cero.

Es una práctica común normalizar estos vectores para que:

1

= ⋅ _i j φ

ψ (8)

c) Factor de participación

La matriz de participación (P), combina los vectores característicos izquierdos y derechos, para obtener una medida de la asociación entre las variables de estado y los modos del sistema.

[

p p pn

]

P L

2 1

= (9)

Con:









































= =

in ni

i i

i i

ni p

i p

i p i p

ψ φ

ψ φ

ψ φ

M M

2 2

1 1

2 1

(10)

En MATLAB, el enunciado de asignación doble:

[

X,D

]

=eig

( )

A

Produce los valores y vectores característicos de la matriz de estado (A). Los elementos de la diagonal (D) son los valores característicos, y las columnas de (X) son los vectores característicos derechos. Los vectores característicos izquierdos se obtienen al invertir la matriz (X).

La identificación de los modos provee herramientas necesarias para evaluar si estos representan problemas de inestabilidad para la operación sincronizada de los sistemas y las medidas a tomar para amortiguarlo, generalmente mediante el ajuste de estabilizadores de potencia (conocidos como PSS por sus iníciales en inglés) de las unidades involucradas en dicho modo, o algún tipo de medida de compensación utilizando elementos de electrónica de potencia (SVC, TCSC, entre otros) con función de amortiguamiento en su ajuste.

En los sistemas eléctricos de potencia, los cambios en el par eléctrico de una máquina sincrónica seguidos a una perturbación pueden ser resueltos dentro de dos componentes:

ω δ + ⋅∆ ∆

⋅ =

∆T_e K_S K_D

Donde: δ ∆ S

K , es la componente en el cambio de par en fase con el ángulo del rotor ∆δ y es conocida como la componente del par sincronizante; K_S es el coeficiente del par sincronizante.

ω ∆ D

K , es la componente del par en fase con la desviación de la velocidad ∆ωy es conocida como la componente del par de amortiguación;

D

K es el coeficiente del par de amortiguación. La estabilidad del sistema depende de la existencia de ambas componentes de par, para cada máquina sincrónica del sistema. Como se indico anteriormente la inestabilidad del sistema puede surgir ante la carencia de cualquiera de las dos componentes de par eléctrico.

La naturaleza de la respuesta del sistema para pequeñas perturbaciones depende de un número de factores incluyendo la operación

inicial, la interconexión al sistema, y el tipo de control del sistema de excitación del generador.

Figura 1. Sistema Generador-Barra Infinita

Para nuestro análisis, el sistema de la figura 1(a) puede ser reducido a la forma de la figura 1(b). Donde una fuente de voltaje, con voltaje y frecuencia constante representa una barra infinita. Para cualquier condición del sistema, la magnitud del voltaje de la barra infinita E_B permanece constante, cuando la máquina es perturbada. De cualquier manera en un cambio en la condición del sistema en estado estable, la

magnitud de E_B puede cambiar, representando un cambio en la condición de operación de la red externa. Usaremos un modelo detallado para la representación de la máquina sincrónica, tomando en cuenta los efectos dinámicos del circuito de campo, el sistema de excitación, y los circuitos amortiguadores. Presentando las expresiones para los elementos de la matriz de estado como funciones explicitas de los parámetros del sistema.

El análisis modal del sistema nos permitirá determinar la participación de cada variable de estado en los diferentes modos del sistema.

3.1 Representación del sistema Generador-Barra Infinita, para pequeñas perturbaciones.

circuito amortiguador en el eje directo y el eje de cuadratura, en la representación de un generador de polos salientes, utilizado en las Centrales Hidroeléctricas.

ϕd ϕad ϕq ϕaq

Figura 2. Circuito equivalente de la máquina sincrónica de polos lisos

Para la representación del sistema de excitación se empleara un modelo simplificado que incluya solo aquellos elementos que son necesarios en este tipo de análisis. Con una ganancia del excitador (KA), sin realimentación derivativa, como se muestra en la figura 3, el parámetro Tr representa la constante de tiempo del transductor del voltaje en terminales.

Figura 3. Sistema de Excitación con RVA

La representación matricial de las ecuaciones de estado linealizadas para este sistema tendrán la forma x&(t)= Ax(t)+Bu(t)_{, donde (A) es la}

matriz de estado; (B) es la matriz de entrada; (x) es el vector de las variables de estado; y (u) es el vector de entradas.

Las ecuaciones de estado completas serán:

[

m

]

q q d fd r q q d fd r T b v r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a v ∆                       +                       ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆                       =                       ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 1 2 1 1 77 76 75 74 73 72 66 65 64 63 62 56 55 54 53 52 46 45 44 43 42 37 36 35 34 33 32 21 16 15 14 13 12 11 1 2 1 1 ϕ ϕ ϕ ϕ δ ω ϕ ϕ ϕ ϕ δ ω & & & & & & &

Las variables de estado linealizadas de este sistema son:

r ω

∆ , la desviación de velocidad en p.u δ

∆ , el ángulo del rotor en radianes eléctricos fd

ϕ

∆ , el enlace de flujo del circuito de campo

d

1

ϕ

∆ , el enlace de flujo del circuito de amortiguamiento del eje directo

q

1

ϕ

∆ , el enlace de flujo del circuito de amortiguamiento 1, del eje de cuadratura

q

2

ϕ

∆ , el enlace de flujo del circuito de amortiguamiento 2, del eje de cuadratura

1

v

∆ , el voltaje de salida del transductor, proporcional al voltaje en terminales del generador. (Ver figura 3)

Los coeficientes de la matriz de estado (A), y de la matriz de entrada (B), se determinan considerando el circuito equivalente de un generador sincrónico de polos lisos y el esquema del sistema mostrado en la figura 1.

(

)

(

)

                                ⋅ + − − = ⋅ + − − = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ + = = ⋅ + − − = ⋅ + − − = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ + ⋅ = = aqs L" q L aqs L" D td X q L aqs L" q L q R o ω a aqs L" q L aqs L" D td X q L aqs L" q L q R o ω a aqs L" d L ads L" D t R q L q R o ω a aqs L" fd L ads L" D t R q L q R o ω a aqs L" δ z senδ z D B E q L q R o ω a a aqs L" q L aqs L" D td X q L aqs L" q L q R o ω a aqs L" q L aqs L" D td X q L aqs L" q L q R o ω a aqs L" d L ads L" D t R q L q R o ω a aqs L" fd L ads L" D t R q L q R o ω a aqs L" δ z senδ z D B E q L q R o ω a a 2 2 1 2 2 66 1 1 2 2 65 1 2 2 64 2 2 63 cos 4 2 2 2 62 0 61 2 2 1 1 56 1 1 1 1 1 55 1 1 1 54 1 1 53 cos 4 2 1 1 52 0 51 Donde:

(

)

(

)

                                                                        + + + = + + ⋅ + + ⋅ = + + ⋅ + + ⋅ = + + ⋅ − + ⋅ = + + ⋅ − + ⋅ = + ⋅ + + + ⋅ + − = 2 1 2 1 2 2 2 2 " " 2 " .... " 2 " 23 1 " " 1 " ... " 1 " 22 1 " " 1 " ... " 1 " 21 " " " .... " " 2 } " 3 cos 1 .... " cos 4 2 { 1 b a e x e r tq X td X t R D do i q L aqs L qo i ads L aqo q L aqs L D t R do i aqs L ado q L aqs L D td X K do i q L aqs L qo i ads L aqo q L aqs L D t R do i aqs L ado q L aqs L D td X K qo i d L ads L qo i ads L aqo d L ads L D tq X do i aqs L ado d L ads L D t R K qo i fd L ads L qo i ads L aqo fd L ads L D tq X do i aqs L ado fd L ads L D t R K qo i ads L aqo sen z z do i aqs L ado z sen z D B E K ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ δ δ ϕ δ δ

Importante: Las ecuaciones descritas anteriormente representan a un generador de polos lisos. Para representar un generador de polos salientes, eliminamos la variable de estado ϕ2q, es decir el orden de nuestro sistema se reduce por uno.

3.2 Determinación de los Modos de Oscilación de Huaji 2.

Con la finalidad de mostrar el análisis modal del sistema generador-barra infinita, se determinara los modos de oscilación de la unidad Huaji 2, perteneciente al parque generador del sistema interconectado nacional (SIN) para un despacho típico del periodo seco (Mayo-Octubre).

La siguiente figura muestra el diagrama unifilar de la interconexión de la planta Huaji 2 al SIN.

Las impedancias mostradas en la figura están en por unidad sobre la base de 100 MVA, 6.9 kV (referidos al lado de baja tensión del transformador elevador).

El objetivo de este problema es el de analizar las características de estabilidad debido a pequeñas perturbaciones en el sistema, cerca de la condición de operación. Los valores de prefalla de la unidad son:

P = 7.5 MW Q = 0.8562 MVAr (sobreexcitado) Et = 0.9698 / -2.0799° EB = 1.0363 /-4.899°

Los parámetros del generador y el sistema de excitación corresponden a los valores señalados en el documento “Validación de los modelos de reguladores de tensión y velocidad” de FUNSJ1.

En este sentido, los parámetros del generador sobre su misma base son:

H = 2.62 s ra = 0.003 xl = 0.1012 xd = 1.135 xd’ = 0.282 xd’’ = 0.182

xq = 0.635 xq’’ = 0.18 T’do = 3.696 T’’do = 0.093 T’’qo = 0.17

Los parámetros del sistema de excitación son:

Tr = 0.02 KA = 33.33

1

0 0.5 1 1.5 2 -0.04

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Respuesta a una entrada escalón

tiempo [s]

d

w

r

[p

.u

.]

Reemplazando los valores numéricos en las formulas descritas anterioemente, la matriz de estado será:





























− −

−

− − − −

− −

− −

−

− − −

−

=

0 . 50 312 . 4 550 . 4 766 . 6 376 . 2 0

0 877 . 13 099 . 0 147 . 0 364 . 9 0

0 392 . 0 561 . 24 182 . 8 523 . 3 0

405 . 38 045 . 0 626 . 0 491 . 2 401 . 0 0

0 0

0 0 0 16 . 314

0 500 . 0 06 . 0 089 . 0 604 . 0 0

A

Los valores característicos de A y las correspondientes variables de estado con mayor participación son:

Estados

Dominantes KS KD

λ1 -45.5103

λ2, λ3 -2.8889 ±11.6844i 1.859 Hz 0.24 0.4194 5.2545

λ4 -14.017

λ5 -18.855

λ6 -6.7689

Valores Característicos

ω

_d

ζ

1

v ∆

δ

ω ∆

∆ r,

fd ϕ ∆

d

1

ϕ ∆

q

1

ϕ ∆

De los valores característicos obtenidos, podemos indicar que el sistema generador-barra infinita analizado es estable, porque la parte real (σ) es menor que cero, es decir que los polos del sistema se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo s.

Podemos observar que ∆ω_r y ∆δ tienen una alta participación en el modo oscilatorio (correspondiente a los valores característicos λ2 y λ3), que tienen una frecuencia de amortiguamiento de 1.859 Hz. Las oscilaciones decaen con una constante de tiempo de 1/2.8889 s. Esto corresponde a un amortiguamiento de 0.24 (24%), superior a valor aceptable para planeamiento de 5%, anteriormente indicado.

El enlace de flujo del circuito de campo (∆ϕ_fd) tiene una alta participación en el modo no oscilatorio λ4; los enlaces de flujo de los circuitos de amortiguamiento del eje directo y de cuadratura tienen una alta participación en los modos no oscilatorios λ5 y λ6 correspondientemente; el voltaje de salida del transductor tiene una alta participación en el modo no oscilatorio λ1.

La respuesta del modo oscilatorio, correspondiente a la desviación de la velocidad en p.u., se presenta en la figura 4

La estabilidad del sistema generador-barra infinita, también es observada en la respuesta

gráfica del modo oscilatorio de la desviación de la velocidad del rotor de la figura 4.

Asimismo, los resultados de los valores característicos λ2 y λ3, correspondientes al modo oscilatorio del sistema pueden ser observados en la respuesta gráfica de la desviación de la velocidad del rotor de la unidad Huaji 2 (figura 4).

Figura 4. Respuesta del Modo Oscilatoriopara Huaji 2

La frecuencia natural no amortiguada del sistema análizado es:

Hz d

n ₂ 1.915

24 . 0 1

859 . 1

2 1

= − = − =

ζ ω ω

Este resultado puede ser obtenido directamente la figura anterior, donde puede observarse que el periodo de la respuesta no amortiguada (Tu) es igual a 0.52 s, y la frecuencia natural no amortiguada será:

Hz u

T

n 1.92

52 . 0 1 1

= = = ω

El sistema generador-barra infinita analizado es de sexto orden, puesto que la cantidad de variables de estados necesarias para definir completamente la dinámica del sistema es igual a la cantidad de integradores que contiene dicho sistema.

4. CONCLUSIONES

especificada del sistema de potencia. Se examinan dos aspectos importantes: Qué tan cerca se encuentra el sistema de la inestabilidad, y por qué ocurre esta inestabilidad. En este sentido, el análisis modal de sistemas de potencia evalúa la estabilidad desde una amplia perspectiva del sistema e identifica claramente las áreas con problemas potenciales.

La estabilidad del sistema de potencia puede clasificarse en dos grandes categorías: Estabilidad de grandes señales y estabilidad de pequeñas señales.

Si bien el método de uso más generalizado para el análisis de estabilidad es el método de simulación en el dominio del tiempo, el análisis

modal en el dominio de la frecuencia presenta varias ventajas, entre las cuales se puede señalar las siguientes:

La forma sistemática como se obtiene la información revela las características del fenómeno dinámico inherentes al sistema de potencia.

Los modos débilmente amortiguados e inestables son seleccionados y pueden analizarse en detalle, lo que permite identificar el patrón de oscilación.

Los factores de participación proporcionan índices para ubicar medidas amortiguadoras atenuantes tales como dispositivos estabilizadores de potencia.

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