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SOLICITACIONES LATERALES EN

CHIMENEAS

_UNIFORMES.

INFLUENCIA DEL AMORTIGUAMIENTO VISCOSO EN LA

_RESPUESTA

Raul HUSID*

Juan

MARCUS**

RESUMEN

En el _presente

_trabajo

se estudia la

influencia

del amorti­

guamiento

en la estimacion de la

respuesta

de chimeneas

uniformes

cuya base es sometida a la accion de terremo­

tos reales,

Se determinan

_expresiones

exactas _para el

despla­

zamiento,

esfuerzo

de corte y momento de

flexiOn

en

[uncion

de la

_posicion,

del tiem_{po y} del numero de

modos de vibracion considerados, Tanto el

_desplaza­

miento como el

esfuerzo

de corte _y el momenta de

flexion

ex actos maximos

[ueron

evaluados numerica­

mente _para un numero variable de modos de vibrar con

el

_propb

sito de encontrar con

que rapidez

_convergen las

series

_{correspondientes.}

'

Se estudio la

_posibilidad

de estimar la _respuesta

exacta maxima mediante criterios de

_{superposicion}

modal,

para 10 cual se consideraron seis

formas

de _super­

posicion

modal

_diferentes.

EI estudio se realizo _para chimeneas cuyo

periodo

fundamental

toma tres valores dados _y se obtuvo la res­

puesta

de esas estructuras cuando se les sometia a la

accion de tres terrem atos reales. Ademas se consideraron varias distribuciones de los

_grados

de

_{amortiguamiento}

viscoso con el arden del modo.

Se

_concluye

_que la _{respuesta exacta,} 0 sea el des­

plazamiento,

el

_esfuerzo

de corte _y el momento de

*Decano de la Facultad de _{Ingenieria Civil,} Universidad Tecnica Federico Santa _Maria,

_ValparallO;

_Jefe Seccion _{IngenieriaSismica, Departamento} de _Geofisica,Universidad de Chile, Santiago,Chile.

16 REVISTA DEL IDIEM vol. _12, nO _{1, mayo} 1973

flexion, suJre

una

Juerte

reduccion al incrementarse el

grado

de

_{amortiguamiento}

considerado, T'amblen se en­

cuentra _que las series _convergen

_rapldam

ense: basta

tomar, en

general,

dos terminos de la serie _para el des­

plazamiento,

tres _para el momento de

_flexion

_y cuatro

para el

esJuerzo

de corte.

De las _{superp osiciones} modales

_estudiadas,

se con­

cluye

que el criterio de su_{p erp}osicibn modal cuadratico

SI es inadecuado cuando se considera la estructura no

amortiguada,

mejorando

sensiblemente a medida _que

aumenta el

_grado

de

_{amortiguamiento.}

Cuando se consi­ deran

_grados

de

_{amortiguamiento}

_apreciables,

no convie­

ne

emplear

una combinacion lineal de los criterios de

su_perposicion _{SI y S2, para} estimar la re_spuesta de chi­ meneas sometidas ala accion de terremoto s,

INTRODUCCION

Cada dia se hace mas necesario diseiiar _y construir chimeneas de _gran altura 0

estructuras altas del

_tipo

chimenea _{capacelo de}

_resistir,

adern as del _peso

_propio,

los

efectos

_producidos

_{por terremotos,}

_vientos,

etc;

Aun _{cuando la respuesta de chimeneas sometidas} a _cargas laterales ha sido

analizada _por varios

_{investigadores,}

_poco se sabe como la afecta el mecanismo de

. . ,

id d 1 2 3 4 5

am_ortrguacion consl era 0 ' , , , •

EI _{pro pc}sito de este

trabajo

es estudiar la _respuesta de estructuras

uniformes,

con masa _por unidad de

largo

_{p. constante,} altura total H, deformables solo _por

flexion,

_empotradas

en la

base,

sometidas a la acci6n de un terremoto

dad06,7

_y

analizar como se modifican esas _respuestas cuando se varia el

grado

de

amortigua­

miento viscoso

considerado,

_por modo.

Hasta el _presente no se ha considerado en forma

expHcita

el efecto del amor­

tiguamiento

en el diseiio sismico debido a _que no se conoce bien el mecanismo de amort

_igu

acion de las estructuras reales. Al diseiiar las estructuras considerando

amortiguamiento

nulo,

las solicitaciones asi obtenidas resultan _{mayores que}

cuando los

_grad

os de

amortiguaci6n

viscosa se

eligen

_{mayores que} cero.

Es sabido _{que el}

_grado

de

_{amortiguaci6n}

viscosa modifica sustancialmente la

respuesta de estructuras sometidas a la acci6n de

terremotos6,7,8,9,

10 _y resulta

por

ende de interes estudiar co m 0 se modifica la re_spuesta maxima de las estructuras

consideradas cuando se introducen varios modelos m atematicos _{para representar}

el mecanismo de amort

_igu

acien.

En cada caso

considerado,

re sulta atractivo verificar la

_posibilidad

de _estimar

SOLICITACIONES LATERALES CHIMENEAS UNIFORMES 17

Para edificios

_chilenos,

construldos entre 1963 _{y 1970,} se ha encontrado que

el

_grado

de

_{amortiguamiento}

_{correspondiente}

al modo fundamental de vibracion

,

0 5 7

. 14

varia entre . y por crento .

Aun cuando el artificio marematico utilizado en este

_trabajo

_para introducir

el

_{amortiguamiento}

conduce a una solucion matemarica

conveniente,

hay

_que

destacar que flsicamente es

posible

_que no sea la forma mas adecuada de definir

el mecanismo de

_{amortiguamiento.}

ESTRUCTURA NO AMORTIGUADA

Ecuacion

diferencial del

movimiento.

Vibraciones

libres

Se estudia una estructura elastica

_continua,

deformable solo _por

flexion,

de altura

total H, sin

_{amortiguamiento,}

seccion transversal _constante, modulo de elasticidad E y masa _por unidad de

largo

_,"" constantes. Se

desprecia

el efecto de la

gravedad,

se _supone

_{empotramiento}

perfecto

en el extrema inferior _y no se considera la inre­ raccion suelo estructura.

En la

_figura

1 se muestra el _esquema de la estructura de altura H; en la

figura

2 se muestra un elemento de

longitud

infinitesimal dx, con modulo de

elasticidad _{E y} momenta de inercia I

_(respecto

al

_eje

neutro de la seccion perpen­

dicular al

_plano

formado _{par los}

_ejes

_x-y).

.

lEx

T

H

.

Jl ,

E,

I

. . ... . .. ... .

f

X

Q

�Mx.dx

x+dx

T

B

dx

_L

y

Fig. 1. _Esquema de la estruetura. _Fig. 2. _Diagrama de solicitaeiones de un elemento infinitesimaL

Se

_designa

con

_M"

al momento de flexion en la cota x_, con

_M"+G"

al momen­

to de flexion en la cota x+dx _y con

_Q"

_Y

_Q,,+dx

al esfuerzo de corte en las

18 REVIST A DEL IDIEM vol 12, nO _{1, mayo} 1973

Segu

n la

segunda ley

de Newton se tiene:

pero:

as! resulta:

(1)

Evaluando la suma de momentos en torno al punto B

_(flgura

₂₎

se obtiene:

pero:

M"+d,,

_ M +

aM"

dx

"

ax

aSI se

llega

a:

(2)

Recordando _que:

M =

"

(3)

Empleando

las ecuaciones _{1, 2 Y 3,} se obtiene finalmente:

y como tanto _p. como EI se consideran constantes:

(4)

Resolucion de la

ecuacion

diferencial del

movimiento.

Modos

normales

Sea la solucien de la ecuacion 4 del

tipo:

y(x,

t)

=

X(x) T(t)

(5)

SOLICITACIONES LATERALES CHIMENEAS UNIFORMES 19

1

T(t)

d2

_T(t)

d t2

El 1

=-Il

X(x)

(6)

La e cuacien

(6)

debe ser

igual

a una constante

_negativa,

_pues las deforma­

ciones son finitas _para

tiempos

infinitos. De la relacien 6 se obtiene:

d4 X(x)

Ilw2

dx4

-El

X(x)

= ₀

(7)

Esta ecuacion diferencial de cuarto orden tiene Ia solucion:

X(x)

= _B

1

(senpx

-

senhpx)

+

B2

(senpx

+

senhpx)

+

B3

(cospx

-coshpx)

+

+

_B4(COSpX

+

_coshpx)

donde:

y

B1,

B2,

B_{3 Y} B4 son constantes.

Con las condiciones de coneornor

.)'(0, t)

= ₀

aYI

= ₀

ax

%=0

=0

%=H

se encuentra _que

_B3

=

B4 =

0, ademas:

Bl

(-senpH

-seDhpH)

-B3

_(cospH

+

coshpH)

= ₀

Bl

_(-cospH

-coshpH)

-B3

(-seDpH

+

seDhpH)

= ₀

(8)

EI sistema de ecuaciones

₍₈₎

solo riene solucion distinta de la trivial Ii IU

determinante vale cero. De

aqui

se obriene Ia ecuacion caracteriltica:

cospH

•

coshpH

=

-1

₍₉₎

20 REVISTA DEL IDIEM vol. 12, nO _{1, mayo} 1973

hab lara de _p"x 0

_p"H,

en _que" indica el "-esimo modo de vibrar.

Para los 10

_primeros

_modos,

evaluados en el

computador

IBM-360 de la

Universidad de

_Chile,

los valores obtenidos _que

_cumplen

can la ecuacien 9 son

los

_siguientes:

PIH

- 1.8751041

P2H

- 4.6940911

P3H

-7.8547574

P4H

- 10.9955407

PsH

- 14.1371684

P6H

-17.2787593

p,H

- 20.4203523

PsH

- 23.5619449

P9H

- 26.7035376

PloH

= _29.8451302

Para modos

_superiores

se

puede

_usar, can bastante a_proximacion :

p"H

=

P"-1 H + 17

(";;;.

5)

De

_cualesquiera

de las dos ecuaciones del sistema

(8)

se

puede

calcular el cuociente entre las constantes _{B3 y B1•}

_ASI,

se

puede

escribir:

B�

=--=

cos

p"H

+ cosh

p"H

sen

p"H

- senh

p"H

que e s constante para un modo de vibrar dado.

Finalmente,

la funcion _que

_depende

solo de la

_posicion

tiene la forma:

para 101 " modos de vibrar

_(n

= 1, 2, 3, ...

).

Vibraciones

forzadas

A conrinu acion se estudia la respuesta de chimeneas

uniformes,

_cuya base se mueve durante un terremoto.

_Empleando

nuevamente la

_{segunda ley}

de _Newton,

Ie tiene:

(

11)

donde:

Z{t)

e. el

_{desplazamiento}

_del suelo durante el temblor. Se _supone una lolucion

_general

de _{la forma:}

y"

[x, t)

=!

_{x; (x)}

_r;

(t)

,.=1

SOLICITACIONES LATERALES CHIMENEAS UNIFORMES 21

donde X

n

(x)

aparece dado por la relacion 10.

Haciendo

dlZldtl

=

-F(t)

Y

reemplazando

la relacion

₍₁₂₎

en la e cuacion

_(11),

se

llega

a:

00

El

_�

JI.

L

00

2

n=1

•

( 13)

n=1

Adem_as,

reemplazando

la ecuacion

(7)

en la ex_{pre sio}n

anterior,

se obtiene:

00

2

00

=

F(t)

2

n=1

(14 )

n=1

donde se cum

pie,

ide nricarne nte:

(15

)

y adem

as,

Rn es una constante _cuyo valor es determinado mas adelante.

Introduccion del

_{amortiguamiento.}

_Respuesta

de

la chimenea

Considerando _que se desconoce el verdadero mecanismo de am ort

_igu

acion que

poseen las estructuras y

pensando

en la

posibilidad

de estudiar la influencia _que el am

_ortigu

amiento

_puede

tener sobre la respuesta de

elias,

se decidie considerar varias

_expresiones

_para definir los

_grados

de

_{amortiguamiento}

viscoso _por modo

de vib racion. Los valores considerados de

clcc

se dan mas adelante.

Incluyendo

amortiguamiento

viscoso y tomando en cuenta 10 recien mencio­

nado,

se

puede

escribir:

•

+

_2tnwn

d�:(t)

+

W!

Tn(t)}

=

F(t)

�

RnXn(x}

n=1

(16 )

Multiplicando

la relaci6n

₍₁₆₎

_por

_X,(x}

e

integrando

entre 0 y

_H,

_Y recordando

la relad6n de

_{ortogonalidad,}

se obtiene:

(

17)

Para encontrar el valor de

_Rn

basta

_multiplicar

la e cuacien

(IS)

_por

X,(x}

(r

:i=

_n)

e

integrar

entre 0 _{y H.}

_Asl,

_empleando

la condicion de

ortogonalidad

22 REVISTA DEL IDIEM vol. 12, nO _{I, mayo} 1973

fH

x,

(x ) dx

o

(18 )

•

J:

x:

(x

)

dx

La soluci6n de la ecuaci6n

_(17),

_para condiciones iniciales

nulas,

esta

dada _por:

( 19)

donde:

Introduciendo la

_expresi6n

_Dn(t),

como

_sigue:

• 1

rt

-�

Wn(t-T)

--q-n

0

F(T)

e n

senqn

(t-T)

dr

se

puede

escribir:

De esta _manera, la

_expresi6n

del

_{desplazamiento}

en Iun cion de la

posicion

y del

tiempo

puede

escribirse como

_sigue:

00

y(x,

t)

=

2"

Xn(x)Dn(t)Rn

"=1

(20)

donde

_Xn(x)

esta dado _por la relaci6n

₍₁₀₎

_{Y s; por la} relacion

(18).

Momento

de flexion

_y

esfuerzo

de

corte

Para encontrar la ex

_presio

n del momenta de flexion bastara

_reemplazar

la e cu a­ cion

₍₂₀₎

en la relacion

(3),

obte niendo se asi:

00

M(x,

t)

= _-E1

2"

n=1

(21

)

dado _que se ha supuesto E1 constante.

Analogamente,

empleando

las ecuaciones

₍₂₎

_y

_(21),

se obrien e la serie infi­

SOLICITACIONES LATER ALES CHIMENEAS UNIFORMES 23

00

Q(x, t)

--EI2

,,=1

(22)

dende:

B"

2

-

-IP"

B"

3

-

-1

P"

�

(cosp"x

+

coshp"x)

+

E"

(-senp"x

+

senhp"x)

�

Si se observan las sumatorias _que

permiten

calcular el

desplazamiento,

momenta de flexion _y esfuerzo de _corte, se encuentra _que en

respuesta

correspondiente

al modo de orden n contiene

R",

A ealcu lars esa constante,

Empleando

la relaci6n

₍₁₀₎

_y

_luego

de realizar la

_integracion

_indicada,

se

los tres casos la

. . ,

conrmuacton se

encuentra:

JH

X"

(x)dx

= 2

B"

__

I

p"

o

(23)

La masa

equivalente correspondiente

al modo de orden n de una chimenea

uniforme esta dada _por

_(1):

(f�

X,,(x)dx

)2

-p.

M"

JH

2

o

X"

(x)dx

(24)

De la e cuacien anterior se encuentra:

(25)

Reemplazando

la relacion

₍₂₅₎

en la definicion de

_R",

se tiene:

R"

-M"

Introduciendo el valor del

_denominador,

obtenido en la

_expresion

_(23),

se

concluye:

R,.

-

p"H

2B"

1

M"

24 REVISTA DEL IDIEM vol. 12, nO _{1, -uayo 197,}

donde se ha

empleado

la notacion :

m

-p. H

La e cua cion

(26)

permite

conocer _Rn

_siempre

_que las masas

equivalentes

sean conocidas.

Empleando

la relacion

(24)

_{que las}

define,

_y de_spues de

algunas

reducciones,

se encuentra:

Aln

= m

2

(

2

(senpnH

-senhpnH)

)

(PnH) (senpnH·

senhpnH)

(27\

A c ontinuacion se _{entregan las} masas

equivalentes

_para los diez _pnmeros

modos de _vibrar, como fraccion de la masa total de la chimenea:

MI

0.61307610

-m

]1.12

0.18830037

-m

M3

0.06473223

-m

M4

0.03308689

-m

Ms

0.02001400

-m

M6

0.01339784

-m

M,

0.00959254

-m

Ms

0.00720506

-m

M9

0.00560948

-m

Mlo = _0.00449069

m

Vale la _pena destacar _que las masas

correspondientes

a los diez

primeros

modos de vib racion alcanzan al 95,95 ./. de la masa total.

Para encontrar los distintos

pedodos

TPI de o scilac ion de la estructura resulta

SOLICITACIONES LATERALES CHIMENEAS UNIFORMES 25

(28)

Con el

_objeto

de obtener

_expresiones

adimensionales _para el

_{desplazamiento,}

momenta de flexion _y esfuerzo de corte, en este

_trabajo

se evaluan las

_expresiones

siguientes:

Para el

_{desplazamiento:}

00

g:�4

y(x,

t)

=

2:

_{{(senpnx-senhPnx)}

+

_En

_{(cosPnx-coshpnx)}

�

_Dn(t)Pn

₍₂₉₎

n=1

Para el momenta de flexion:

;��t)

=

�

�

(senpnx

+

senhpnx)

+

_{En (cosPnx}

+

_coshPnx)

}

n=1

(30)

Para el esfuerzo de corte:

Dn (t)

"'n

(31)

donde se tiene:

Prj

3

m

- 2

(prj

H)

wn

Mn

m

Pn - 2

(Pn

H)

Ivln wn

"'n

- 2 _!!!_ wn

Mn

Eleccion de

la solicitacion

lateral

En el _presente

_trabajo

se ha determinado la respuesta de cada una de las chimeneas

consideradas _para los

_siguientes

terremotos

reales,

digitalizados

en la Secci6n

Ingenieria

Sismica del

_Departamento

de Geofi'sica de la Universidad de Chile:

1)

Terremoto _Vernon, ocurrido el 2 de Octubre de

_1933,

_componen­

te N 8 _E,

_(U.S.A.)

2)

Terremoto

_Lima,

ocurrido el 24 de Enero de _{1957, componen­}

te N 82 _W,

_(Peru)

3)

Terremoto

_Eureka,

ocurrido ellO de Diciembre de

_1967,

_componen­

te N 79 _E,

_(U.S.A.)

Todos estos terremotos tienen en com un el estar

digitalizados,

• intervalol

de

_tiempo

_desiguales.

Las caracteristicas

_ingenieriles

fundamentales de los trel terrern otos recien

26

Estructuras

consideradas

REVISTA DEL IDIEM vol. _12, nO _{1, mayo} 1973

Las chimeneas utilizadas se seleccionaron sin dar un valor nu m erico a cada uno de

los _paramerros _que la

definen,

sino _que se

eligio

el

periodo

del modo fundamental

(T.),

de modo _{que el rango} de

_periodos

cubriese en foima adecuada los valores

obtenidos

_{experimentalmente}

_para chimeneas altas.

Los

_periodos

fundamentales de las estructuras consideradas son: 2.0 _S;

4.0 5; _Y 6.0 s.

Esta eleccion

_impone

una co ndicion _que deben satisfacer E, 1, _{#). Y} H,

segun

se

desprende

de la relac ion

(28)

al

emplearla

_para n = 1:

(32)

En esta

forma,

los

_pedodos

de todos los modos de vibracion

quedan

deter­

minados una vez _que se

elige

el

periodo

fundamental.

La _respuesta de las chimeneas fue determinada considerando los diez

_prime­

ros modos de vibracion. Los

grados

de a m o rt

_igu

acion viscosa _para los modos

considerados fueron los

_siguientes:

a)

�n

-b)

t,

c)

�n

d)

�n

e)

_�n

f)

�n

g)

_t,

h)

�n

-0.0

_(n

= _{1, 2,}

10)

(n=1,2,

10)

(n

= _1,2,

10)

(n=1,2,

10)

(n

=

1,2,.._,

10)

(n

= _1,2,

10)

(n

= _{1, 2,}

10)

0.055

-0.005 n

_(n

= _1,2,

10)

-0.01

-0.02

-0.10

-0.01 n

-0.11-0.0In

-0.005 n

Metodos

de

_super

_posicion

modal

Las

_expresiones

desarrolladas anteriormente _{dan la respuesta} exacta teoriea _para

el

_{desplazamiento,}

momento de flexion _y esfuerzo de corte de una estruetura

continua, deformable _{solo por}

_flexion,

sometida a la accion de un terremoto dado

como funcion del

_tiempo

_y de la

posicion.

Para obtener estos valores el

_ingeniero

tendria _que contar con un

_computador,

10 que

generalmente

resulta antiecone­ mico. Por este motivo se trata de obtener formulas 10 mas

_aproximadas

posibles

que

permitan

evaluar en forma

simple

la _{respuesta de} las estructuras sometidas a

la accion de terremotos.

Las normas de diseiio sismico

_permiten

estimar la _respuesta de estrueturas

someridas a terremot_os, usando el Analisis Dinamico

ModaliS.

La _respuesta se

evalua mediante criterios de

superposicie

n

modal,

_{que consisten} en combinar las

contribuciones modales maximal de acuerdo a eiertas tecnieas.

SOLICITACIONES LATERALES CHIMENEAS UNIFORMES 27

criterios de su

perpoaicion

modal. Esto se hace determinando dichas estimaciones

mediante seis formas de

_{superposicion}

modal diferentes.

El

_primer

m etcdo de _sup

erpcslcicn

aqul

considerado consiste en evaluar la

ralz cuadrada de la suma de los cuadrados de las respuestas exactas modales

, .

m axrmasv o sea:

•

EI

_segundo

criterio de _{superp osicion} utilizado consiste en sumar las con­

tribuciones maximas modales en valor

absoluto,

0 sea:

Este metodo

proporciona

una cota

_superior

_para la respuesta exacta.

La tercera forma e s el

promedio

de las

anteriores,

es decir:

La cu_{art a, propuesta por} Rosenblueth

11,

es

algo

mas

complicada:

donde:

"�w· + ,,:w.

"', ,

_"'))

2 w·s

,

s = duracion del sismo en

segundos.

s = dur acion del sismo en _segundos.

Los dos ultimos m etodos de _sup

erposicio

n modal considerados son combina­ ciones de los dos

_primeros:

y

S6

=

J1S�

+

₍₁

_-1)

_S�

donde las constantes a _{Y 1} son evaluadas mediante el merodo de los cuadrados

, .

m rmm o s,

Todos estos metodos de _superposicion fueron utilizados considerando los

28 REVISTA DEL IDIEM vol. _12, nO _{1, mayo} 1973

RESULTADOS Y CONCLUSIONES

Para todos los casos resultantes de utilizar los terremotos

enumerados,

los tres

periodos

fundamentales considerados _y las diversas distribuciones del

_grado

de

amortiguamiento

con el

modo,

re cien

mencionados,

se obtuvo la _{respuesta exacta,}

o sea

desplazamiento,

momento de flexion _y esfuerzo de corte como funcion de la

posicion,

del

_tiempo

_{y para} un num er o variable de modos normales de vibracion,

Esto perrnirio _estudiar, en todos los _casos, el minimo n umer o de modos normales

de _{vibrar necesarios para} estimar con bastante a_pro xirnacion la _respuesta exacta

considerada.

La

_integr

acion en el

_tiempo

se tra nsformo en una sumatoria de_spues de

suponer una variac ion lineal del

acelerograma

entre dos _puntos consecutivos de la

d

_igitaliz

acion.

En la tabla I se

indica,

_{para los} casos mas

desfavorables,

el nurn ero minimo de modos _{necesarios para estimar} la _respuesta exacta con suficiente a_proximacio_n,

como funcion del mecanismo de arnort

_igu

acion considerado. Se observa _que la

convergencia

de las series es mas r_apida cuando se aumenta el

_grado

de amorti­

guac ion viscosa

_escogido.

TABLA I

NUMERO MINIMO DE MODOS

Tipo de arnort_iguac ro n _{a) b) c) d) e) f) g) h)}

Desplazamiento 3 2 2 2 2 2 2 2

Momento de flexion 4 4 4 3 4 4 3 4

Esfuerzo de corte 5 5 4 3 4 4 3 4

En todos los casos considerados se deterrnino cada una de las estimaciones

de la respuesta enumeradas en el

parrafo

anterior de este

_trabajo

con el

proposito

de

_investigar

la

_posibilidad

de

_sugerir

la utilizacion de

algu

n criterio

simple

de supe_rposic ion modal _{para estimar} la respuesta de chimeneas sometidas a la accion

de terremotos.

En las

_Figs.

6 a 8,12 a 14, ...,54 a 56, se presentan los resultados

expresados

como funcion de la respuesta exacta _para todos los casos considerados. Se hace notar _que en dichas

figural

solamente se han

dibujado

los resultados obtenidos al utilizar tres de los seis criterios de su_per_posic ion modal antes

mencionados, SI, S2,

Y

S3'

Esto se hizo asf, debido a que los resultados obtenidos con el criterio de su­

perposicicn

S4 son

_pracric

am enre coincidentes con los obtenidos con el criterio de

su_perposic ion SI' Adem as se observe _que las constantes a _{y 'Y, que aparecen} en los criterios

_S5

_y

_S6

_{respectivamente,}

varian con el

grado

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amortiguamiento

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Fig. 52.

_{Desplazamiento.}

_{Fia.53. Momento de flam}

Fia. 51. Esfuerzo de corte. / ,

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.. Pig. 54. Superpo.ic:ioDCImodale. relacivu.

Esfuerzode corte. ..

u Fig. 55.

Superposic:iones

modale.relativu.

DesplazamieDto.

..

..

Fia. 56.

_{Superposic:iones}

modales retaeivaa.

Momento de flexion.

••.,'I..'11.,....

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SOLICITACIONES LATERALES CHIMENEAS UNIFORMES 41

grado

de

_{amortiguamiento.}

De la observacion de los

gnificos

antes mencionados se

conduye

_que el crite­ rio de _superposicion modal cuadratico

51

es obviamente inadecuado cuando se

considera la estructura no amorti guada, La esrimacion de la respuesta

mejora

sensiblemente a medida _que aumenta el

_grado

de

_{amortiguamiento,}

_llegando

_gene­

ralmente,

para zonas im_portantes de la _estructura, a

proporcionar

valores _mayores a los exactos.

En esta forma resulta claro _que no es

posible,

en

general,

_esperar buenos

resultados al tratar de estimar la respuesta exacta mediante una combmscicn

lineal de los criterios de _superpostcien modal

51

_y

51

_Y en

particualr

con su _pro­

medio

_53'

Los

_graficos

antes seiialados confirman 10 recien mencionado.

En las

_Figs.

3 a 5, 9 all _•...• 51 a 53 se ha estudiado en forma

gnlfica

como

varian con el mecanismo de am ort

_igu

acion el

desplazamiento,

esfuerzo de corte _y momento de flexion _para cada uno de los casos considerados. En estos

_graficos

se

puede

observar una fuerte reduccion de la respuesta al incrementarse el

amortigua­

miento

_escogido.

Revisando los resultados obtenidos en este estudio

_puede

_apreciarse

_que los

dos criterios cuadrarico s de _{sup erpo}sicion

₅₁

_y

54

son realmente coincidentes _para todo efecto _pracrico _{y por} ende, se

concluye

que al estimar la respuesta de chime­

neas uniformes sometidas a terremotos no se _gana

practicamente

nada con utilizar

el criterio de _superposic ion cuadratico modificado

84,

Bastar{a con

emplear

el criterio de

_{superposici6n}

cuadratico

_original

_81,

Se

_puede

observar tam

bien.

_{que los} resultados obtenidos en este

_trabajo,

_para

el caso no am

orrigu

ado,

coinciden con los _que obtuvieron Husid _y

Ronnberg4,5.

REFERENCIAS

1. HUSID, R. Estudio teorico _{sabre la rep}articio« vertical de

_fuerzas

s,'smicas en

edificios.

Memoria _{para optar al} titulo de _{ingeniero civil,} Facultad de Ciencias Fisicas _{y Matematicas,}

Universidad de Chile. _Santiago, 1960.

2. _RUMMAN, W.S. _Earthquake Forces in Reinforced Concrete _{Chimneys. Journal}

_of

the Structural _Division, ASCE, (diciembre 1967).

3. _MONTES, R. _{Y ROSENBLUETH,} E. Cortantes _y momentos sismicos en chimenea•• Boletin n" _19, lnstituto de Bstrueturas, Uniuersidad Naciona' de

_Ingenierl4.

_{1968. Lima,}

Peru.

4. _HUSID, R. _{Y RONNBERG,} C. Exact _response and mode _{superposition techniques} of bending structures with _earthquake excitation. Fourth _Symposium on

Earthqualre,

Roorkee, India, Noviembre 1970.

S. HUSID, R. _{y RONNBERG,} C. The estimation o( the exact _response of _chimneys with

earthquake excitation. Third _{Japanese Earthquake Engineering Symposium, Tokyo, Japan,}

noviembre 1970.

6'� _HUSID, R. Caractedsticas de terremotos. Analisis _general. Revist« del _IDIEM, vol. _8, nO 1

(1969), pp. 21-42.

42 REVISTA DEL IDIEM vol. _12, nO _{I, mayo} 1973

8. _ARIAS, A. _{y HUSID,} R. Influencia del _{amortiguamiento sobre la respuesta de} estructuras

sometidas a temblor, Revista dellDIEM, vol. _I, nO 3 (diciembre 1962), _pp. 219·228.

9. HUSID, R., MEDINA, H. _{y RIOS, J.} Analisis de terremotos norteamericanos _{y japoneses,}

Rel/ista _dellDIEM, vol. 8, nO 2 _{(1969), pp.} 55·82.

10. HUSID, R., GUILOFF, R. y ROIZEN, S. Analisis de terremotos chilenos _y mexicanos,

Rel/ista dellDIEM, vol. _8, nO 3 _{(1969), pp. 121·144.}

11. _ROSENBLUETH, E. Sobre la _Respuesta Sismica de Estructuras de _{Comportamiento}

Lineal,lngenier{a (abrilI968), pp. 185·198. Ciudad de Mexico, Mexico.

12. _MERCHANT, H.C. _{Y HUDSON,} D.E. Mode _{superposition} in _multidegree of fredoom

systems using earthquake response spectrum data, BulletiPl Seismological Society ofAme­

rica, yolo _52, NO 2 _{(abrilI962), pp.} 405·415.

13. _CLOUGH, R.W. _{Earthquake analysis by response spectrum superposition,} BulletiPl _ofthe

Seismological Society of America, yolo _52, NO 3 _(julio _{1962), pp. 647·660.}

14. _{HUSID, R., ROMO, J. y} PIEBER, W. Medidas de _{amortiguamiento} en ed ific ios cb_ilenos, 15a _Jornadas Sudamericanas de _Ingenier{a Estructural, noviembre _1971, Porto _Alegre, Brasil.

15. ARIAS, A., HUSID, R. Y MONGE, J. Comments on the new chilean seismic code for

buildings. Proceedings Fourth World _Conference on

Earthquake

_{EngiPleeriPlg, January}

1969, Chile.

SEISMICAL FORCES IN STRAIGHT CHIMNEYS.

INFLUENCE OF VISCOUS DAMPING IN THE RESPONSE

SUMMARY:

The

_influence

_of

_damping

in the calculation

_of

the _response

_{of straight chimneys}

subjected

to actual

_earthquake

_spectra at their bases is

_analysed.

Exact

_expressions

were used to

_figure

out the

_{displacements,}

shear

_forces

and

_flexural

moments as

fonctions of

position,

time und number

_of

vibration modes. The exact maxima

_for

all

_of

them were calculated

for

various numbers

of

vibration modes to

_find

out

how

_rapid

the

_{corresponding}

series _converge. In

_addition,

_different

_types

_of

modal

superposition

were considered to calculate the exact maxima. For all cases three

fundamental

vibration

_periods

and three actual

_earthquake

_spectra

_together

with several distributions

_of

viscous

_damping

as

[onctions of

modal number were

considered. The main conclusions are:

_a)

that the exact _responses are

greatly

reduced when the

_{degree of}

the

_particular

_damping

taken in consideration in­

creases;

b)

the series are

rapidly

_convergent

so

that,

in

_general,

the

_first

and second

terms

_{for displacements,}

_up to the third

_{for flexural}

moment and _up to the

_fourth