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(1)

UN MODELO

TEORICO PARA LOS

ACELEROGRAMAS

DE

TEMBLORESFUERTES

Arturo ARIAS·

Luis PETIT LAURENT··

RESUMEN

Un analisis de

_{la respuesta de}

una _capa

elastica

horizontal

homogenea

de espesor constante soldada a un

medio

elasti co

semi-infinito

_y sobre la

cual incide

un tren

de

ondas

transversa/es _que se _propaga

segun

la

vertical,

conduce

a

proponer un

mode/o

teorico

de los

ace/erogramas

de temblo

res

fuertes

consistente en [iltrar un

_segmento

de

ruido

bIan co de

duracion

finita a traves de un

oscilador

simple

en _que

el

_amorfiguador

_y el resorte

estan

_dispuestos

en serie.

Se estab/ece

a

_partir

de este

mode/o

una

_expresion

_para

estructuras

lineales

que

coincide satisfactoriamente

con los

espectros

standard

propuestos

por Housner a base

de

un ano

lists de

_espectros

de temblores rea/es.

INTRODUCCION

Var ios modelos teSricos del movimiento del suelo durante temblores fuertes han sido _propuestos _{por diferentes Inves}

_rlgadore

s, En

algunos

de estos mode

los,

el movimiento es

_represontado

como un ruido

blancol,2,'.

Otto

_tipo

de

mo-deJa se basa sobre la

_hipete

sis de que el movimiento

_puede

considerarse co

mo una sucesion de

_puIs

os

_{rectangulares}

de velocidad 0 de acelerac

Ien,

dis tribuidos de acuerdo con cierra

_{ley probabilistica}

en cuanto a

_{magnitud, signo}

o intervalo de

_tiempo

entre los

pulsos4,5,6.

Finalmente

_{Bogdanoff, Goldberg}

_y

Bernard"

han _propuesto un modelo en el cual la aeelerae ien del suelo es re

pre-• _Director

del IDIEM. Profesor de Meclinica Racional de la Escuela de Inaenieria de la Universidad

deChile.

(2)

IDIEM.-30 REVISTA DEL IDIEM vol _4. nD 1. mayo1965

sentada como un tren _{de ondas} sinusoidales moduladas en

_amplitud.

La re_presentacien del movimiento sismico como ruido blanco tiene la venta

ja

de su

_simplicidad,

_pero no esta de acuerdo con la observacion

_{experimental.}

Se ha

_pod

ido demostrarl,9 _que el movimiento del suelo en los temblores reales

e sta _muy

_lejos

de ser

_{representable}

como ruido

blanco;

e sta misma conclusion

fluye

de los datos

_publicados

sobre espectros de respuesta de osciladores li neales.

Ademas,

desde un punto de vista

teoric0,

e ste modelo no es satisfac

torio,

porque

implica algunas

consecuencias fisicamente

absurdas,

como ser

que la potencia total e s infinita. Sin

_embargo,

varios

_{investigadores}

han mos

trade que e sre modelo

_explica

cualitativamente

_algunas

caracteristicas de los

e_spectros de respuesta maxima de osciladores lineales.

Las

_desvenrajas

mas

_importantes

del ruido blanco como modelo del movi

miento sisrnico son:

a)

su inadecuacion para tener en cuenta el caracter tran siror io del fen ome no;

b)

la dificultad que ofrece para

_incorporar

en la

_descrip

cion las caracterlsticas _{diferentes que ofrecen los} terremotos ocurridos en dis tintas

_localidades,

_{especialmente}

en r eIac ion con Ia influencia de las condi

ciones

_particulares

del suelo.

Se

_puede

obrener un modelo

_mejor

utilizando un ruido blanco de banda limi tada _y de durac ien finita.

_Pero,

aun en tal _caso, rodav ia subsiste en el

mode-10 una buena dos is de

arbitrariedad,

incluso si la banda de frecuencias e_{le g ida} esta relacionada en

_alguna

forma con las

_propiedades

del suelo en el

_lugar

del temblor. La

_hipore

sis de d istribucion uniforme de _{la pore}ncia dentro de la banda de frecuencias ele g ida

_sigue

sie ndo arb itrar ia _y no e sra corroborada por los hechos que se derivan de la observacidn de temblores re ales, Este ri

po de modelo pue de, enronce s, descartarse desde un comienzo.

Los _{modelos que} _representan eI movimiento sIsmico como trenes de

_puis

os o como trenes de ondas son

_equivalentes

desde el punto de vista de la te oria, ya que las series

temporales pueden

analizarse en

_cualquiera

de estas dos formas alternativas. Cua l forma s e el

_ija

es solo c ue stion de conveniencia. Es

te

_ripo

de modelo ofrece

_{posibilidades}

mas

_promisorias.

En

_primer,

_lugar

_per mite tratar los temblores como fenome nos transitorios. En

_segundo

_lugar,

atri

buyendo

al modelo

_{algunas propiedades}

e srad Istica s

_adecuadas,

resulta pos i

(3)

MODELO TEORICO PARA ACELEROGRAMAS

ne s

_propias

de diferentes localidades.

_Finalmente,

esee

_tipo

de modelo abre la

_posibilidad

de bacer estudios tearicos bien fundados sobre el

_comportamien

to estadistico de las estructuras

no-lineales,

que por

principio

no

_puede

n ser analizadas con la tecnica usual del espectro de _respuesta de osciIadores li

neales.

EI _prese nte

_trabajo

e s un _{intento para} eseab lecer un modelo como el recien

descrito,

que te_nga en e uenta a la vez las condiciones tearicas _{que todo} mo

delo debe

_satisfacer,

_{y los becbos conocidos}a traves del analisis de

_registros

de terremotos reales.

1.- Rozon de

_{amortiguamiento}

para los yib,aciones de cort. d. uno capo .Ias tic« horizontal

Consideremos una _capa elastica

_homogeuea

de _espesor

_H,

Iimitada _{por dos}

pIanos

borizontales,

tales que el

_superior

coincide con la

_superficie

Iibre y el inferior e sra

_fijo

_(Fig.

1).

z

o u

Fig.

1.

_Capo

eleiltlco

_homogenea

de espe sor H con borde inferior

_fiio.

o _u

<D

iz

Fig.

2.

_Capo

eleiltica

_homogenea

de _espe.

lor H soldado .ob,e medio elei.tl

co••mi·infinito.

La e cuacion diferencial de las vibraciones de corte _que se _propagan en la

d irec cion vertical es:

en _que

(1)

u =

desplazamiento

horizontal de la ca_pa a la cota z

(4)

32 REVISTA DEL !DIEM vol4,nt_I, _mayo 1965

p. = _c_{on sra}_nt_e _ehistica

e

=

constante de

_{amortiguamiento}

z = _coordenada _vertical

t =

tiempo

Las cond ic iones de borde son

para z H

u=O

au = ₀

az

(2 )

(3 )

para z o

Busquemos

una s olucion de la e c,

(1)

de Ia forma

u = _F

(t)

G

(z)

(4)

Debe

cumplirse,

entonces, que

dF

pG

F

+e

dt

d2G

=

P.

d2F

d Z2

dt2

P

.,.,2

(5)

en _{que .,.,} e s una constante de se_paracion,

Tomando en cuenta la cond icion de borde

(2),

se obt iene

G

(

z₎ = _{A sen.,.,} z

La funcion F

(t)

debe satisfacer la ecuacion diferencial

(6)

o

(7)

Llamaremos

_e

al valor de

_e

_que s e_para las soluciones oscilatorias y las c

no oscilatorias de la ec,

(7).

Resulta

(8)

La ecuacian

(3)

da

cos

_(.,.,

_H)

= ₀

(9)

Por _{10 tanto, TJ debe} tomar uno de los valores .,." dados por

,

(j

:::

_0,1,2,

...•

)

17

(10)

2

De acuerdo con e sro, los valores crit ico s de

e

se ran los

siguientes

(�

).

c ,

ee

4Hm

(2;+1)17

(5)

Entonces,

si

(12)

los modos naturales

_{correspondientes}

a

_j=0,1,2,

•••

,k

seran

oscilatorios,

_y los

re stanres, no-oscilatorios.

Delinamos e1

_grado

de

_{amortiguamiento}

0 razon de

_{amortiguamiento}

de la ca pa por Ia reIacion:

n =

....L.

=

_Tl_�

__

(�)

_4HViiP

e 0

(13)

2.. Factor de transmision _para una _capa

horizontal

s06re un medio ••mi-inlinito Para avaluar el factor de

transmision,

_que se define mas

abajo

_{oportunamente,}

basta considerar vibraciones sinusoidales. EI resultado obtenido e s de validez

general, independientemente

de la naturaleza del movimiento.

Por

_{conveniencia,}

el e

_je

Oz ba sido orientado bacia

_abajo,

con el

origen

en _{Ia supe rf ic ie libre}

_(Fig.

2).

El Ind ice 1 se refiere a la capa

_superior

de al

tura

_H;

el Ind ice 2

_corresponde

al medio semi-infinito sobre el cua! reposa Ia eapa. Se supone que los dos med ios e snin soldados en eI

_plano

de contacto.

Las ecuaciones diferenciales de las vibraciones de corte en los medios 1 y 2 son,

respectivamente:

a2u

a'u

I I

+

_�

I

PI

_at2

=Il

az

2 a

z2at

I 1

�

a2u

₂

=

112 a2u2

+�

a'u2

at2

a Z2

2

a

Zaat

La s olucidn debe satisfacer las

_siguientes

condiciones de borde:

(14)

(15)

Para z = ₀ ₌₀

₍₁₆₎

Para z = _H

{

au,

I:

I"s

_--a;:-

+

"'I

III=

112

=

Ila

+�

(17)

(18)

Siguiendo

a KANAI 10 , consideramos un tren de ondas incidentes que se

propaga

verticalmente, representado

por

(6)

34 REVISTA DEL IDIEM vol4, nlI, mayo 196'

Si _{ul Y} _u2 son los c:orrimientos en los medios 1 _{Y 2 que} resultan de la re

flec:cion en la

_superficie

libre _{y de} la transmision _y reflec:eion en el

_plano

_z=H,

se _puede esc:ribir

(20)

(21

)

Para satisfac:er las ec:uaciones diferenc:iales

(14)

y

(15),

f y f deben ee ner

I 2

los valores

_{partic:ulares}

_que se dan aeontinuacidn

(22

)

Las condiciones de borde

_exigen

_que s e _tenga

if2H

B = _C = a_e __

ip" �

cos

flH+ -f-

sen

_r,

H Al

(23)

Delinamos

un'tactor

de

transmisi6n'A_

por Ia relac i Snt

De

_(19),

(20)

y

(23)

s e s

_ig

ue _que

(Ul)

Z =0

(uo)z=

H

2 I3 =

(24

)

2

(25)

Para avaluar eI denominador de Ia ultima expres

_ion,

_pongamos

Se tendrsi, entonc e s,

H P

_..;p;

Ml

=

---JIL�

+

e:

p2

N =

I

HpYP;

(26)

j

liz

I

1 +

ILl

llL:

+

_el2

_p2

j

t;,

I

1 -

ILl

VIL2

+

e2p2

I

I I

(27)

(7)

MODELO TEORICO PARAACELEROGRAI'oIAS 35

Abora

_bien,

_{la velocidad de propagac ion} en el medio 1 es

(29)

y, por 10 tanto, el

periodo

fundamental _{para la capa} estudiada eo el

_parrafo

_I)

sera

T =

4H

=4H�

0.1 v u.

I r,

(30)

y la frecueneIa circular

_{correspondientc:}

tendra la

_expresion

Po

1 =

.2.!!_

=

_"

__

j

III

i

•

TO.I

28

PI

(31)

En las ec s,

(30)

y

(31)

el Indice 0 se refiere al modo

fundamental;

el

Iodice

1

ee_presenta el medio 1

De I. ec,

(13)

obtenemos

�I

=

(32)

de donde

(33)

Utilizando e see

_resultado,

_{las expre}sIones _para

_M,

_y

_Nl

_quedao

como

_sigue

" _P

2

Pol M =

-r=====;

I

4_/ 2 i

v'1+4n2

.z;

I ₂

POI

(34)

.:

_£_

N I

:=

_;:::2==P:::o:::!=-JI+4nZI

₊

PO!

j�

I

(35)

Admitamos,

para

simplificar,

que eI

_{amortiguamiento}

_�

del medio semi-In a

finito e s nulo, Obtenemos

8p

(8)

36 REVISTA DEL IDIEM vol 4.III1. mayo 1965

(37)

Introduciendo la notacion

(38)

en _que

(40)

La expresion final _para el factor de rransmis ion e s

enton�es

(41)

3.-

_Espeetro

J.

_potendo

poro 10 oce/erodon en 10

super/ide

/ibre.

Aceptemos

la

_siguiente

h

_ipore

sis

1

U_o

12

•

p2

= K = constante

,

max

(42)

Esta s_{upos ic idn} e s

_equivalente

a _{admitir que} el espectro de porencia de las ondas incidentes

_(para

las

_velocidades)

e s una _constante; e s decir que el

tren de ondas incidenres es "blanco",

Esta

_hipcte

sIs tiene

_alguna

base

_empirica

en los resultados obtenidos _por

KANAIl7

er.a

_l.,

al _comparar

_regis

tros de temblores reales obtenidos _para un mismo temblor con instrumentos situados en la s

_uperfic

ie _{Iibre y} en la roca a 300 metros de

_profundidad.

Combinando

(24)

y

(42)

se ob tiene

(43 )

Resultado _que

_equivale

a _{afirmar que} el e_spectro _{de pote}nc_{ia para las} ve

-loc idade s en la

_superficie

Iibre e s

_proporcional

a

A2

K.

Asi,

si se tiene

R

s·

_(p)

= -- = _Constante

u

(9)

MODELO TEORICO PARAACELEROGRAMAS '1

enronces

(45)

y teniendo en cuenta

que'

(46)

el e s_{pectro de pote}ac_{Ia para} las aceIeracIones en la

_superficie

Iibre sera

p2

�

POI

2

-...;..::;---8 _P 01

(47)

La expresion

(48)

ha sido calculada como funcion de

�

_{para distintos valores de} los

_parametros

Paa

n1 Y y.

Algunos

de los resultados obtenidos se dan en

_Figs.

3 _y 4.

II II

Fig. 3. _E.p.ctro d. _pot.ncla d. la.ac.leraclon•••n la _.up.rflci. Ilbr._para _n"'0,005,

_,,=0,4.

Estos _{espectros teoricos cfre}ce n

_algunas

de las caracteristicas cualitati vas encontradas en los e_speetros de

_potencia

de

_{acelerogramas}

de temblores

reales'.

_Ademas,

satisfacen la cendlcien _{de que}

_Sii(P)

e s de orden

p2

en el ori

gen, y, como se demosnara mas ade lante, que la porencia total es finita.

EI numero _{de puntas que} _aparece en el e_{spectrc de}

_potencia

te6rico _y eI nu

mero de orden de la _{punta mas}

_alta,

de

_penden

de los valores de los

para�e

(10)

38 REVISTA DEL IDIEM vol4, n'I, Mayo 196 5

lnversa, para valores de Dl relativamente

grandes

y valores

pequeiios

de y, los

e_spectros de

_potencia

teoricos conrlenen s6lo una 0 dos puntas.

Resulta,

asi,

posible

estimar los valores adecuados de _n1 _{y de y, de modo que los} _espectros

/�,

I

_\'

I ' I

\

I

_\

I \

\

1\\

,

\

' I ' , \

\

, \

\

Envolvenl. Ec. (53)

, \

X

,

\

"

1\,

\ \

, \ \

I \

\

1\\

I \ ,

1\\

1\'

I " Ec.(54)

I

_'/

-, , , , " "

"'"

, I I I

I

I I I , , I I I I I

\

Esp.clro Ec.(4n

� \ \ \ \ \ , \ ,

o 2 3 4 5 6 7

Fig. 4. _Especlro de polenclo de las aceleraciones en la superficie Ilbre para n=0,02,

y=0,2.

reoricos calce n -al menos cualitativamente- con los e s_pecrros de

_potencia

de ducidos de

_{acelerogramas}

de temblores reales obtenidos en cada localidad de

(11)

4..

Envo/v.nt. J.I

••

p.ctro J.

pot.ne/a

para

la. ae.I.rae/on

•••n

la

_.up.r·

lie/.

libr.

Comparando

los resultados del

_parrafo

anterior con los obtenidos

en',

se in

fiere que para

lograr

aeuerdo con _{los espectros de}

_potencia

de

_{acelerogramas}

reaIes, el

parametro

n debe ee aer valores

pequenos

comparados

con la uni dad",

_Pongamos,

eneonce s,

«1

₍₄₉₎

es dec ir, admitamos que la constante de

amortiguamiento

de la cap.

superior

es

una fracdon

_pequena

del

_{amortiguamiento .critico}

del modo fundamental de dicha

cap. Valen en tal

_hipotesis

las s

_Iguie

nee s relac lones

_aproximad.s.

(SO)

Introduciendo estas e_xpresiones en la ee,

(39)

obtenemos la

proximacion.

(SI )

"p a

2"P

p "p

+

cos2('2

-) +y

sen

(- -)

_-y n - _sen

(

-)

Po

2

Po

De sde el punta de vista

_practico,

eI

_proyectista

de estructuras esta intere sado enlos valores maximos del e_specero de aceleraeiones, Esto es

, al peoyee tista Ie interesa conocer la envolvente

_superior

del e_spectre,

EI calculo de los valores exeremos de

_{cpa +",2}

_implicaria

un

_uabajo

bastan

te tedioso. Se _puede obtener uoa

aproximacion

_para I. ecuacion de Ja envnlvea te _por el

_siguiente

camino: eo la ecuaeIen

(51)

_ponemos

k = _entero

•

(12)

40 REVISTA DEL IDIEM vol 4, p'I, mayo1965

en los terminos oscilatorios s olamente, Entonces

(52)

Se pue de

juzgar

de la bondad de esta apeoximacidn observando las

_Figs.3

y 4.

Finalmente se

_llega

a la

_siguiente

ecuacidn

_aproximada

_{para la} e nvolvente

superior

del e_spectro de

_potencia

de las aceleraciones

S_

_(p.

)

==

u Z"O,eDV " _p " _p

(53)

Is

enh[- (_)2n]

+ _{y Cosh}

[_ (_)2n]

12

2 _P 2 _P

o 0

Desarrollando las func iones h

_iperbdl

icas _que

_figuran

en Ia ec.

(53)

en se

de de potencias _y conservando solamente eI

_primer

termino en cada

_desarrollo,

se obtiene la s

_iguie

nre ex_presion

_aproximada

S..

(p)

'"

u Z=0,env

(54 )

["

p 2

]

_(_)

n + _y 2

2 _P

o

La curva de e c. <54) presenta _un maximo

para

(55)

y la ordenada maxima es

S

U,eD�,m's

_2"ny

(56)

Como puede observarse en las

_Figs.

3 _y

_4,

la envolvente de ec,

(53)

resul

ta bastante satisfactoria _para todos los valores de

..E_.

En

_cambio,

la envol

Po

vente de ec.

(54)

se se_para nororiamenre de las _{puntas del espectro de} poten-cia para los valores de

L

_{mayores que} el dado por e c.

(55).

Sin

embargo,

el

Po

error cometido

_queda

_siempre

por el lado de Ia

_seguridad

y, como se vera mas ade lanre, alecta solo al d is efio de e srructura s de periodo

propio pequefio

;

es dec ir, alecta

aquella

parte de los espectros de respuesta que esta menos de

finida a causa de las limitaciones pr -pias de los instrumentos de

registro

exis

(13)

MODELO TEORICO PARA ACELEROGRAMAS 41

5..

_PropieJoJes

e.toJisticos

Je

los

_{pseuJo-temblor}

•••

Llamaremos

_{pseudo-temblor}

a un movimiento teorico del suelo _que es e.tacio

nario en el sentido estadistico del termino _{y cuyo espectro de}

_potencia

_para las aceleraciones esta dado _por

p2

7"""

__________0

Bp2

_o

(57)

Sii

(p)

=

en _{que p} , n, _{y y B} son constantes. Es

decir,

atribuimos a los

pseudo-temblo

-res un es_pectro de

_potencia

_{que coincide} con la envolvente

_aproximada

de ec,

(53)

desarrollada en el

_parrafo

_anterior,

_y

_ademas,

la

_propiedad

de ser _procesos

e stacionar ios.

Demostraremos en

_seguida

_que este

_tipo

_{de proceso posee} una funcion de

autocorr eIacien finita y que su _{espectro de}

_potencia

tiene momentos de todos los ordenes si las constantes n _{y y} son

_positivas.

La func ien de autocorreIacion esta dada por

'P.•

(r)

=

_1_

foo

Sjj

(p)

_cos

pr

_dp

u 11

(58)

o

Pongamos

x =

(59)

1- Y

oc =

---l+y

(60)

'P..

(r)

=

u

-4 B

_pI

""

f

o

(61)

Entonces

Desarrollando e_{l denominador por el} teorema del binomio e

_integrando

termino a termino la serie que

resulta,

se obtiene el resultado

_siguiente:

(62)

(14)

42 REVISTA DEL IDIEM "014. at1.mayo 1965

Esta expresidn e s Hnita para todo valor de r si n _{y y} son _{POSlt!VOS. Lo mismo}

e s valido _para las derivadas de

_cualquier

ordende

_Yii

(r)

con re_specrc a r.

La

_potencia

total

_Pu

_puede

avaluarse teniendo en cuenta _que

1 00

'P

(0)

=

--;-

f

_o

Sa

dp

(63)

Lueg o,

00 00

Pu

=

f Siidp

= ₂

fSijdp

=

2".p(o)

- ₀₀

0

(64)

o sea

2 B

_p�

P.. =

---u

"(1+

_Y

_)an..;n

k -I

kat

00 oc

I--

Vk

(65)

Expre

s_{ion que} es Hnita cuando n _{y y} son ambos

_positivos

Se pue de demostrar _que

_1

r-;;-"-

__

1_

<

I

_oc_k_-

I_

<

_1_

j

"

ac

In

_1_

2

k.l.fk

oc

In

_l_

ac oc

1

+--2

(66)

Ahora bien

1 _{1+ Y}

In - = _In -- '" 2 Y

ac 1

-Y

(67)

Vale,

e ntonce s, la s

igu

iente relac ion

aproximada

(68)

Se Ile_ga al mismo resultado si se calcula

_Pii

a

_partir

de la

_{expresion aproximada}

de s.. dada en ec,

(54).

u,env

La relac ion

(68)

mue stra _{que la velocidad} de

_propagacion

en la cap.

supe-rior rien e una influencia muy marcada sobre la

_potencia

total.

Se

_pueden

alcanzar conclusiones se me

_janre

s si

_partimos

del e_spectre de potenc ia para las

velocidades,

definido par la relacidn

S

_-(p)

=

_1_

S

..

(p)

(69)

u

pa

u

en _que

_Sii

(p)

esta dado por

(57).

(15)

2Bp.o

Yo.o

k

Vk

(

)

� .. -,

k-'PU'

=---� ...

rr

(1+y)2

k.:,

4rra k

(70)

y

(71)

EI es_pectro de

_potencia

_y la funcion de autocorrelacion _para las velocida des resulten finitos si n _y _y son

_positivos.

Una vez conocida la funcion de auroeoreelac

Idn,

las

_propiedades

mas

im-;

portantes del proceso p-ie den establecerse utilizando resultados conocidos de la teoria de los _procesos estocasticos. No

_{proseguiremos}

en este

_camino,

porque nuestro

_propds

iro es

_justificar

un modelo matematico de los temblo-res fuerees,

6,- Un

mode'o

teorico para generar un ensemb'e de

_{ace/erogramas}

artificia/es

Los _pseudo-temb lores tratados en eI

_paragrafo

5)

son series

_temporales

esta

cionarias. Intentaremos en

_seguida

construir un "ensemble" de _{series tempo}

rales _{no-estacionarias que}

_satisfaga

la

_siguiente

cond ic ient si la duracion de un elemento

_cualquiera

del "ensemble" rie nde a

_infinito,

las

_propiedades

e a

tadisticas del "ensemb Ie" deben tender a las

_{correspondientes propiedades}

encontradas _para los _pseudo-temb loees, En

particular

el especero de

potencia

y la fune ion de aurcc orreIac

_ion,

calculados como valores medios sobre el "en

semble" deben tender a las

_expresiones

obtenidas en el

_paragrafo

antes men

cionado.

Estas condiciones

_puede

n

_cumplirse

calculando la aceleracion en la su

perficie

de la _capa

_superior

_para un rre a de ondas incidentes obtenido cortan

do un ruido blanco de modo que el tren incidente comience _para t = ₀ y ter

mine para t = _{T. Si T} =

-00, el e_spectro de

_potencia

_y la funcion de correla cion tienden obviamente a las expresIones _ya

enconnadas,

dentro de las

_aprosi

maciones que hemos

_adoptado.

Este modelo es demasiado

complicado

_para los

prop6sitos

de la

practica,

porque

implica

la ee solucIen de ecuaciones a derivadas

_parciales

con condicio

nes de borde que

_dependen

del

_tiempo.

(16)

44 REVISTA DEL IDlEr.! vol4, nRI, mayo 1965

de abordar.

_{Reemplazaremos}

Ia _capa

_superior

_por un osciIador 0 filtro formado

por una masa

_ligada

al medio semi-infinito mediante un re serte y un

_amortigua

dor

_dispuestos

en serie, y aceptaremos que no

hay

retro-aUmentacion

(feed

back)

entre eI osciIador y su base.

Sean m,

k,

e la _masa, Ia constante elastica _y el coef ic Ienre de

_amortigua

miento del

_osciIador,

re_spectivamente, Sean x el

desplazamiento

absoluto de la

masa, y el

_{desplazamiento}

absoluto _{del pun}to de union entre eI resorte _y el a

mortiguador,

z el

_{desplazamiento}

absoluto de la base

(Ver

_Fig.

5).

Las ec uaeIo

nes diferenc Ia les del movimiento son

mx=-c(i-i)

}

c

(x

-z)

- k

(z

-y)

= ₀

c

y

m

I_�

I

z

x

Fig.

S. Oscilador

_simple

que representa a 10 estrata _superior

del suelo.

Eliminando z _y i se obtiene

mcx+kmx+kcic=kcy

EI discriminante de la e c, caractedstica e s

Lue go, el valor critico del

_{amortiguamiento}

e s

1 _{ .,

c =

-vmk

c ₂

(72)

(73)

(74)

(17)

Introduzcamos Ja

_siguiente

notacion

k

m

h = g

_c_ = __

2""c

__ =

Cc

�

2c

(76)

.

x=v

La e c,

(73)

s e reduce a

. ,

+ v =

y

(t)

(77)

La funci6n de transferencia de e sre liltro es

c,6(ip)

= 1

(

ip

)2

+

2

_ip

hg

+ 1

Vg

JIg

La res_puesta _percusiona l del filtro estan! dada por

(78)

k

(t)

=

Vg

JIg

l

-k"'t

-;- e . g sen oc t

JIg:

2 ---t

JIg

ka '

- _e ., _Senh

f3

e

fi

, para

hg

> 1

(79)

k

_(t)

==

, para h '> 1 g

-JI t

k(t)=v.2te

g

g , para h

== ₁

en _que

[1

__

1_)

h2

8

(80)

�j suponemos que el es_pecero de

_potencia

_para la velocidad de la base es c o nsta nte, e s de cir, si

Sy

(p)

== _A =

constante

_{(81 )}

(18)

46 _REVISTA _DEL _IDIEM vol4. liD1. mayo 1965

A

_{(82 )}

Sx (p)

= _A

I

<POp)

12:::

y el espectro de potenc ia para x

(e),

Si

(p)

=

(83)

La s elucion de la ecuaci6n diferenciaI

(77)

e s

v(t)=x(t)

=

Vg

V 2 -

-(t-O)

-+

/y

(0)

e

hg

sen ex

(t

-0)

d0

·00

, para h g

> 1

Vg

- -

(t-O)

j'y(O)e

hg

Senh!3(t-O)dA

, para

hg

< 1

(84 )

!3

-00

, para h

= ₁

Si

_Y

(t)

es un ruido blanco de duracion inf in ira, obtene mos, en los tres c a

sos, procesos estacionarios cuyos espectros de

_potencia

para las velocidades y aceleraciones esran dados _por

(82)

y

(83),

respectivamente, Si

y

(t)

e s un seg

mento tornado de un ruido

_blanco,

comenzando en el instante t = ₀

y terminando

en eI instanre t =

T,

de _{modo que}

_y

(t)

sea nulo fuera del intervalo

(o,T),

en

tonces las ecuaciones

(84)

representan procesos no _{estacionarios cuyas pr op ie} dades renderrin a las de los procesos estacionarios re cien mencionados cuando T .... 00. En

_particular,

cuando T ....

00, los e s_pecrros de _potencia de velocidades y aceleraciones tenderan a los de ecs.

(82)

_y

(83).

En el caso

_particular

_h =

1,

las e cuacione s

_{(82)y (83)}

rornan formas mas g

simples.

A

Sx (p)

=

---1)

2

(1

+

L)2

" 2 g

(82)'

SiC

(p)

= ₁₎

(19)

Si c_omparam os

(83)'

con

_(54),

vemos _que estos _{dos espectro. de}

_potencia

coinciden si se

_cumplen

las

_siguientes

relaciones:

Z _ 2 Y Z

v

---P

B 17n 0

}

(85)

A=

Observe se _que _Vg e s el valor de la frecuencia p deducido en ec,

(55)

para

el cualla envolvente de ec.

(54)

_presenta un maximo.

Se ve entonces _que si _{representamos} la capa

_superior

del suelo par un os

cilador lineal

_simple

en _que el resorte _{y el}

_amortiguador

estan en serie

yelegi

mos eI

_{amortiguamiento}

igual

al

critico,

obtenemos al fHtrar un ruido blanco a

trave s de e ste

_oscilador,

una _{respuesta del oscilador cuyo} e s_pecreo de

_potencia

coincide con la a_{prox ima}cion deducida en el para

_grafo

4)

_{para la envolvente} su

perior

del e s_pectro de

_potencia

del movimiento de la

_superficie

libre de una

capa elasrica her

izontal,

soldada sobre un medio eIasrico

_{semi-infinito,}

_y soli citada por un tren de ondas _{incidentes que}

_constituya

un ruido blanco.

Proponemos,

entonces, como modelo matemdt ico del movimiento del suelo en un temblor fuerre la soluc ion de la e cuacidn diferencial:

x

2x..

( )

--+--+x=yt

vg2

Vg

(86)

con las s

_iguie

nres condiciones iniciales

x(o)

=

0,

i(o)

=0,

x(o)

=0

(87)

siendo

_y

(t)

un _segmento de ruido blanco _{que comienza} en eI instante t = ₀ y

termina en el Instante T.

La soluc ion de

(86)

con estas condiciones de borde es

- _v

(t-8)

i (t)

=

VgZ

(y

(8) (t

-

8)

e g d8

o

(88)

y la ecuacion del

_acelerograma

sera

(89)

(20)

48 REVISTA DEL IDIEM vol_4, nOI, mayo 1965

el de

(89)

por

(83)',

EI modelo propuesto es suficientemente

_simple

_{para que} sea facilmente u

tilizable _por c

_ompurad

ce a s electronicas sin demasiado

_trabajo.

Se han hecho

algunas pruebas

y los

acelerogramas

artificiales obtenidos se

_asemejan

a los

a los temblores reales. Este punto 10 e stamos

_explorando

con _{mayor de}tencidn para ver si los resultados son

_aceptables

0 si de b iera introducirse

_alguna

mo d if icacionen e_{l modelo propuesto.}

BOGDANOFF,

GOLDBERG y

BERNARD7

han propuesto un modelo en el cual el

_acelerograma

e s re_presentado por una suma de ondas sinusoidales mo duladas, Es pecIficamenre, el modelo propuesto por esos autores e s el s

igu

ie

n-te:

x

(t)

_Xo

(r)

+

_'xl

(

t

)

+ x 2

(t)

+

_..

en _que

{

D

-"jt

!

t

aje

cos

(w·t+¢·)

xo

(t)

=

1 J J

0,

t <0

t�o

y

0,

t

_{� Tk}

Esre modelo tiene a

_lgun

parecido

al propuesto

aquJ.

Para rno strnr las seme

jansas

bastaria descom_poner

y

(t)

en una suma de ondas sinusoida les,

JENNINGS"

ha _propuesto un modelo similar al introducido en el presente

trabajo,

en el cual un _{segmento de} ruido blanco e s filtrado a trave s de un os ci lador con resorte _y

_amortiguador

en

_paralelo.

Cuando la duracidn de la s efial de entrada

_(input)

tiende a

infinito,

la respuesta del oscilador tiende a un _proceso

estacionario cuyo e_spectro de

_potencia

es el _propuesto _por

KANAI12;

la _poren cia total rie nde, entonc e s, a infinito.

7.-

Espectros

Je respuesta Je maxima

ace/eracion

_para el

Jiseno

cJe estructuras

lineales.

Sea S la ordenada del e s_pectr Ie res_puesta de maxima ac eIeracion _para

(21)

MODELO TEORICO PARA ACELEROGRAMAS 4'

una estructura lineal de un

_grado

de Iiberrad fundada sobre la _c.p.

_superior

de suelo. Sea

_Su..

la ordenada de la envclveuee

_superior

_{del espectro de}

poten-, nv

cia para las aceleraciones de I sue

_10,

en la

_superficie

libre de dich. cap•• Ad-mitimos la s

_igu

ienre

hip6tesis":

Sa

es

_proporcional

a la rab cuadr.d. de

Sii,env

�

= _C

V

Sii

_,env

(90)

en _{que C} es una constante

Entonces de la e c,

(53)

obtenemos para

Sa

la

_{aproximacion:}

S =

a

(91)

p p

Senb

[�

_(..!..)2n]

_+"

_{Cosh["'!(-·);)·}

2 _p 2 _P

o a

o

_bien,

usando Ia apeox imac Idn de ee,

(54)

CYBP.

(92)

11 _P

2

-(-)0+"

2

Po

Ahora

211

P

=--•

T. (93)

en _{que T}s e s el

periodo propio

de la estructura; pongamos,

ademas,

211

P =

o

_To

(94)

Entonces,

sustituyendo

en

(92):

211C

_VB

Sa"

---11 T 2

T. [-n

--2..+,,]

2

T2

•

(95)

Introduzcamos la notacion

rv:

Tg

=

v -i:-=-

To

2"

(96)

(22)

50 REVISTA DEL !DIEM _vol

4,01 I,mayo 1965

(97)

Al mismo resultado se

_llega

_partiendo

de

(83)'

y

ocupando

las reIac iones

(85

>,

(90)

y

(98)

La ecuacIon

(97)

representa, e neonce s, el espectro de respuesta de maxima

aceleracion _para una estruc tura lineal. En la

_Fig.

6 s e ha

_representado

este e s pectro en forma ad imensiona l,

2

---'"

I _\

I \

/

,

I "

/

'

/

"

/

"

/

... hiperbolo

I

---/----

...

...._/

/

" -_

I

-_-_

�

��-

---o

y vale

Fig. 6. Espectro de respuesto de oceleraciones de un oscilador lineal. La ordenada maxima del e_specrro de respuesta ocurre _para

T .

max.

(99)

(100)

Ocupando

la

_segunda

de las ecs. (85) y los resultados de e cs

(13),

(31)

se

puede

expresar eI valor del

periodo

_{para el cual} ocurre el maximo en funcion de

las pr op ie dade s de Ia capa

_superior

_{y del medio}

(23)

Tmas:.

=

(101)

Se observa que los

parametros

que

influyen

sobre la

posicion

del

punto

de ordenada maxima son, en orden de

_importaneia:

la constante _{elastica 1'.} de 1a capa

superior;

el _espesor II y la constante de

_{amortiguamiento}

_"

_{de d icha capa;}

la constante elastica _{1'2 y la densidad P2 del medio semi-infinito.}

La ordenada maxima _{del espectro,}

_expresada

en funcion de las

_propiedades

de la capa

superior

y del med io

semi-infinito,

esta dada _por

(102)

De nuevo _{pue de observarse que Inf}

_luye

n mas

_{los'paramettos}

relativos _ la _capa

superior

que los del medio semi-infinito.

La "constante" C

_depende

del

_grado

de amort

_igua

miento

_h.

de 1a estrue tura _{y de} la duracion del temblor

_comparada

con el

_periodo

_propio

de 1_ estruc tura, Este efecto ha sido analizado por varios

investigadores

1.12.11.

Un aDa

lisis de espectros de respuesta

correspondiente

a temblores

reales"

ha con

ducido a la s

_ig

uiente formula

_empirica

_propuesta _por

_primera

vez _por

KANAI'·:

h's

0,4

=

_(-)

hs

(103)

,

valida _para

_grados

de

_{amortiguamiento}

_{mayores que}

_0,02,

en_que

_hs

_y

_hs

son los

grados

de

_{amortiguamiento}

de dos estructuras. Para valores de

_hs

menores _que

0,02,

la duracion del temblor tiene un .efecto _{muy marcado} _{y debe} tenerse en cuenta. La ec,

(103)

compara los espectros de respuesta de un mismo

temblor,

en un mismo

_lugar,

_{para dos} estructuras lineales de diferente

_grado

de amorti guam iento,

La constante B _{representa la densidad} de

_potencia

de las ondas

_incidentes;

esrara, enronc e s, relacionada con la sismieidad

dellu8ar

en que ocurre el tem blor.

EI resto de la e_xpresidn

(102)

se _separa endos factores _que son

%

(p

I'

)

2 2

y

(24)

52 REVlSTA DEL IDIEM vol 4, nVI, mayo 1965

Tomando en cuenta la discusion

_anterior,

_{la ecuaci6n del espectro de} ace

lerac ion de maxima _respuesta se

puede

escribir en la forma

T2

__s_

T2

g

En la

_Fig.

7 s e ha he cho una c_omparacion entre e ste e_spectro te orico _y los e_spectros medios de HOUSNER. Para la c_omparaci Sn se han

_fijado

los

siguien-0,4

1+

tes valores para las constantes

5

pies

₂ s e_g,

Tg

0,3

seg.

h' =

0,10

(104)

Las curvas de linea llena que se

_prolongan

hacia la

_izquierda

_por Iineas de

trazos c orre

_sponde

n a los _{espectros propuestos} _{por HOUSNER}•

• Puntos col cui ados d. Ec.(9n

9

"

/

8 I

I

7

l

'":

6 I, "

-= I,

_/

/' _fI

� 5 I ',"

'"

II,'

��'

4 _H...._"/

I,' ,-1/ I

II'

,'I

ii'

2

_/,1

.'

" " , ,

0 ,

0 0,5 1,0 1,5

T, s.g

Fig. 7. Comparacion de los _espectro. de Ec. (97) con los espectros standard de Housn.r.

2,0

Los _{puntos marcados} con circulos _negrO!I han sido calculados de la ecua cion

(104).

Se

_puede

a_preciar _que el acuerdo es bastante satisfactorio.

(25)

-MODELO TEORICO PARA ACELEROGRAMAS "

cHador lineal en _que el resorte _y el

_amordauador

estan

_di8puestos

en

_paralelo.

Sun Ps la freeueneia circular del oseilador no

_amord,uado

_y

_�

el

_pedodo

eo

rrespondiente.

El espeetro de

potencia

de las aeeleraeiones del oseilador sera

Si (p)

=

Sii

(p)

I

�

(

ip)

I'

( 105)

en _{que S}..

(p)

e s el espectro de

_potencia

de las aeeleraeiones del suelo _y u

1�(ip)I'=

(106)

siendo

_hs

el

_grado

de

_{amord.uamiento}

de la estructura

Para

obtener

Ia envolvente de

_Sf

(p)

debemos suslieuir

_S«(p)

en ee,

(105)

por la

expresion

de

Su(p)'env

de ee,

(53)

y determinar el maximo de la funcion

de _p asl obtenida.

Resultara aSl

una

funeion

de

_Ps

_�

y de los

parametros

que a

parece n en la

expresion

de

S.,(p)

Hechas las

operaeiones

descritas se

He,a

u env.

a _{que, salvo} _para valores

,randes

de Ps, eI maximo ocurre para P=P.i de manera que con la meneionada

salvedad.

Si(Ps )env

=

Su

(ps

)

I

�

_(iP.

)II

siendo

1

+-ih'

I

�

_{(iPs) I'}

=

"

h'

•

(107)

(

108)

Si aceptamos que eI e_speereo de _respuesta para las aeeleraeiones del oseilador

es

_proporcional

a 1" raiz

euadrada del

respectivo

_{espectro de}

potencia

eendremos la e c,

(90)

en que ahora C es un factor de

proporeionalidad

que, entre ottas eo

sas,

depende

de

_hs'

EI raciocinio anterior

_justifiea

la omision de

_I

_�

(i

_p)

_I

en la

_expresion

(90)

del _espectro de res_puesra _{para las} aeeleraciones.

B.•

Esp.e'ro.

J.

r ••

pu.s'" J

••s'rucfur"s

IIn."I.s lunJ"J"

•• n

Jil.r.n'

••

_,ipo.

J.

au.

1o.

Definiremos 1. intensidad I de un temblor por la relacion

(26)

54 REVISTA DEL IDIEM vol4, nIl, mayo 1965

en _que

_Sv

e s el e_speetro de respuesta de velocidades de un oscUador

_simple.

Entonces I sera Iune Ien del

_{amortiguamiento}

_hs

del oscilador.

Introduciendo _{la expre}sidn del e_speetro de _{respuesta de velocidades}

cyYf

(n o)

en _que

(Ill)

seobriene_{de spue}s de

algunas

_operaciones

sencillas

cp

I2B

00

I = __0_

..;

�--

I

l+y

n k=o

y"'2iC+T

(112)

en _que IX tiene el

_significado

def in ido en e c.

(60)

De

_aqui

resultan las

_siguientes

_expresiones

de los e s_pectros de respuesta

s

_(p

)

= _I

r;;;;

.!.i2:i

v s

v

7-1

(

113)

F

_(ps'

Po'

n,

y)

1

(114)

en las cuale s se _{ha puesto}

f

_(y)

=

l_+_y--...,..

__

vy

i

IX k

o

y'2k+1

(115

)

El maximodel e s_pectro de aceleraciones ocurre

_{aproximadamente}

_para

y vale

aproximadamente

S ' "" a,max

I

f

_(y)

2

_Vii

(27)

La funcion

_f(y)

_{expresa la} influencia delsuelode fundaclon sobre eI valor ma ximo de la _{ordenada del espectro de} _{respuesta de}

_{aceleraciones,}

_para una inten sidad de temblor

_fija.

Hemos tabulado la funcion

_fey)

_para valores de la variable

comprendidos

entre _{0 y 1. Se ha}

_agregado

una columna en la cual se ha tabulado

la expresIdn 1 +

fi.

Se ve _que

_puede

_{ponerse, sin gran} error,

f

_(y)

= ₁ ₊

fi

(

117)

Y f

(y)

1

-vv

0 1 1

1

_1,23

_1,238

-18

1

_1,34

_1,333

9

1

_1,43

1,447

5

1

1,55

1,577

3

2

_1,80

_1,817

--3

1 2 2

Valores de

_fCy)

y de I +

vy

para _{y comprendido} enrre 0y l.

En la

_practica

_y osciIa entre valores relativamente

estrechos;

desde.1...,

pa:

12

ra suelos

_blandos,

a

�

_{para los} suelos

_duros,

de manera _que a

igual

intensidad,

3

la ordenada maxima del e_spectro de _{respuesta de aeeleraclones} en suelo blando

e s

_{aproximadamente}

igual

a

_0,8

ve ce s de la _{maxima para} s uelo duro.

Oeupando

la

_aproximacion

introducida en e e,

(54)

y

aprovechando

la relacioa

(96)

se _puede eseribireI e s_{pectro de velocidades} en la forma

T g

T2

S

(118)

2"

y el de aeeleraeiones

S

(T )

=

l1+fi

a s

(28)

56 REVIST A DEL IDIEM vol 4, nDI, mayo 1965

uno _para un sueIo

"duro",

con _y

"blando'�ony

=

:2

y

_Tg

= 1 seg_

En la

_Fig-

8 se han

_dibujado

dos e_specrros de re s_puesta de ac eIerac Iones t 1

=

T'

Tg

=

0,3

seg, y otro _para un suelo

0,5 1,5 2,5

�

I

0,5

0,1

r.

.tz.-,

T, = 1••,

0,2

0,1

Tl,..,

Fig. 8. E.peetro. d. _re.puesto de aeelerac(one. para estrueturas lineale. fundo

dossabre das suelos dlferentes, elCpresodos como froecion de 10 intensidod I.

Finalmente

_comparando

las

_{expresiones (102),}

(104)

y

(116)

y haciendo uso

de la relaci6n

₍₁₁₇₎

se

_puede

n _expresar las intensidades I e I' en dos suelos distintos _para un mismo

_temblor,

e s decir, para un mismo valor de la constante

B,

_que s e_gun

(44)

es

_proporcional

a la ordenada del espectro de

_potencia

en el

medio semi-infinito situado

_bajo

la estrata de suelo

_superficial.

Se obtiene des pues de

_algunas

transfamaciones la s

_igu

iente relaci6n

I'

I

(29)

MODELO TEOmCO PARA ACELEROGRAMAS •

57

CONCLUSIONES

1)

El analisis de la re_spuesta de una _capa

_homogenea

de suelo de espesor constanre_, soldada sobre un medio semi-infinito en el cual se _propaga un tren

de ondas de corte _{puro conduce} a establecer ecuaciones _{para los} _espectros de potenc_{ia de velocidades y} aceleraciones en la

superfic

ie,

Bajo

la

hipotesis d�

que eI tren de ondas incidente e s un ruido blanco

(espectro

de

_potencia

de las

velocidades

_constantes),

los e_spectr os de

_potencia

en la

_superficie

libre ob

tenidos de este analisis teorico ofrecen

_semejanzas

cualitativas _{y cuantitad} vas notables con los es_pectros _{de pote}ncia de temblores reales.

2)

Es

_posible

obtener

_expresiones

sencillas _para los envolventes de los e s

pectros de

poteneia

en la

_superficie

Libre, Estas expresiones sencillas coinci

den con los e_spectros de

_potencia

_que resultan de liltrar un ruido blanco

(e

s

pectro de

potencia

de veloeidades

_constante)

a naves de un osciIador

_simple

en _que el resorte _y el

_amortiguador

esten

_dispuestos

eo

_paralelo.

Es

_deck,

se

puede aproximar

e1

_{comportamiento}

de la capa

_superficial

_por eI de un solido de Maxwell.

3)

La conclusion anterior conduce a

_postular

un modelo matematico del ace

lerograma

consistente en eI resultado de filtrar un ruido blanco de duraeion finira a traves de un solido de Maxwell. EI modelo en cue stion ofreee simili

tudes notables con el _propuesto _por

_{Bogdanoff, Goldberg}

_y

_Bernard,

_que resul tada aSI

_{justificadoen}

_parte sobre bases fi'sicas.

4)

La introduce ion del modelo maremarico del

_acelerograma

abre la

_posibili

dad de realizar estudios estadlsticos sobre el

_{comportamiento}

de estructuras, lineales 0 _no, sorae tidas a

_temblor,

_porque se

_dispone

de un "ensemble" de

procesos no estacionarios que

_{plausiblemente}

_posee caracterlstieas seme

_jan

tes a las de los temblores reales.

5)

A

_partir

_{de los espectros} de

_potencia

obtenidos al estudiar la res_puesta de

una _capa de suelo soldada sobre un med io s emi-Infiu ito es _{pos ib le} obtener

e c uaciones _para los _espectros de _respuesta de estructuras lineales. Los e s

peetros de respuesta de aceleraeiones a _que s e

_llega

coinciden bastante bien

con los e_spec eros medios _propuestos _por Housner _{y que} han sido deducidos por este autor un

_promedio

_{de espectros de temblores} reales. Este acuerdo e s una c

_omprobac

Ion satisfactoria de la re oria desarrollada en e_{I pee}senee

_trabajo.

6)

Se introduce una definicion de intensidad del temblor _que

_permire

_expresar los e_spectr os _{de respuesta} en func ion de la intensidad _{y de parame}trcs carae

tedsticos del s ueIo, y comparar las intensidades que han de esperarse en dos

(30)

58 REVISTA DEL IDIEM vol 4,nDI, mayo1965

7}

Las formulas establecidas _para los _espectros de

_potencia

_{y de} _respuesta contienen

_parjime

tros relacionados con las caracteristicas del sueIo,

_Queda,

entonces, echada la base teorica para establecer correlaciones racionales en

tre los _espectros y las

propiedades

del suelo y se abre la

_posibilidad

de pre.

ver _{los espectros} sobre la base de _{exper ie}ncIas en _que se determinen dichas

propiedades

{mediciones

de aceleraciones debidas a

_{microtrepidaciones}

-mi crotremors-, ez

_pl

oracidn

sismica,

_sondajes,

determinaciones de mecanica _y d inamica de suelos}.

A,B,C,

NOTACION

c onsrantes

constante; como Indice se refiere a aceIerac ion

coeficiente de

_{amortiguamiento}

de oscilador

_simple;

como Indide

_significa

"cdtico"

g como Ind ice se refiere aI suelo

H _{espesor de capa de} s uelo

_superficial

a

c

h

_grade

de

_{amortiguamiento}

de oscilador unidad

_imaginar

ia

mimero entero

K

k

constante

mimero entero, constante elastica de oscilador

simple

masa de oscilador

_simple

grade

de

_{amortiguamiento}

del modo fundamental del sueIo potencia rotaI

frecuencia circular

densidad e s_pectra_{I de pore}ncia

ordenada de e s_pectro de respuesta de aceleraciones ordenada de espectro de re s_puesta de velocidades como Ind ice, se refiere a la e strucrur a

pedodo

tiempo

u corrimiento horizontal m

n

p

s

T

v

_velocidad,

velocidad de _{pr opa gac}ion de ondas de corte _puro

x :

_abscisa,

_{variable auxiliar}

ic velocidad

x aceleracion

'it derivada de la ac eIeracion

y abscisa

(31)

'"

_parametro

_relacionadoCon relacion de

_impedaocia.

_y

_(ee

,

60)

parameuos

(ee

,

80)

eeIaeIdn de

_impedancias

constante de

_separacion

(e

e,

₅₎

factor de transmision

(e

e,

24)

constante eI8stica del suelo

frecuencia circular

coeficiente de

_{amortisuamiento}

del s ueIo

densidad

variable

_temporal

func ion de transferencia funcion de autocorrelac ion

e

p

r

como Indice, se refiere al modo fundamental

como Ind ice, se refiere a la capa de suelo

superior

2 como IndIce, se refiere al medio semi-iofioito situado

bajo

la capa de suelo

superior

o

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UN MODELO

TEORICO PARA LOS

ACELEROGRAMAS

DE

TEMBLORESFUERTES

RESUMEN

la respuesta de

elastica

horizontal

homogenea

medio

semi-infinito

cual incide

de

ondas

segun

vertical,

conduce

mode/o

de los

ace/erogramas

de temblo­

fuertes

segmento

ruido

duracion

oscilador

simple

amorfiguador

estan

dispuestos

Se estab/ece

partir

mode/o

expresion

lineales

coincide satisfactoriamente

espectros

propuestos

de

espectros

INTRODUCCION

rlgadore

algunos

los,

represontado

blancol,2,'.

tipo

hipete

puede

puIs

rectangulares

Ien,

ley probabilistica

magnitud, signo

tiempo

pulsos4,5,6.

Bogdanoff, Goldberg

Bernard"

amplitud.

ja

simplicidad,

experimental.

pod

lejos

representable

blanco;

fluye

publicados

Ademas,

teoric0,

torio,

implica algunas

absurdas,

embargo,

investigadores

explica

algunas

desvenrajas

_{la respuesta de}

de temblo

_segmento

_amorfiguador

_dispuestos

_partir

_expresion

_espectros

_rlgadore

_represontado

_tipo

_hipete

_puede

_puIs

_{rectangulares}

_{ley probabilistica}

_{magnitud, signo}

_tiempo

_{Bogdanoff, Goldberg}

_amplitud.

_simplicidad,

_{experimental.}

_pod

_lejos

_{representable}

_publicados

_embargo,

_{investigadores}

_explica

_algunas

_desvenrajas

_importantes

_incorporar

_descrip

_localidades,

_{especialmente}

_particulares

_puede

_mejor

_Pero,

_alguna

_propiedades

_lugar

_hipore

_sigue

_puis

_equivalentes

_cualquiera

_ija

_ripo

_{posibilidades}

_promisorias.

_primer,

_lugar

_segundo

_lugar,

_{algunas propiedades}

_adecuadas,

_propias

_Finalmente,

_tipo

_posibilidad

_comportamien

_puede

_trabajo

_satisfacer,

_registros

_{amortiguamiento}

_homogeuea

_H,

_superior

_superficie

_fijo

_(Fig.

_Capo

_homogenea

_fiio.

_Capo

_homogenea

_{amortiguamiento}