Capitulo VI MCII EDP Parabólicas pdf

Texto completo

(1)1. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABÓLICAS EN DERIVADAS PARCIALES Armando Blanco A..

(2) Capitulo VI ECUACIONES DIFERENCIALES PARABÓLICAS EN DERIVADAS PARCIALES •Introducción •Diferencias finitas •Nociones de estabilidad, convergencia y consistencia •Métodos para problemas parabólicos bidimensionales. 2.

(3) 3. Introducción Los problemas asociados a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas corresponden a procesos dependientes del tiempo. Para ilustrar los métodos asociados a este tipo de problemas consideremos la ecuación de conducción del calor:. ∂T ∂ 2T =α 2 ∂t ∂x. (1). De acuerdo a la clasificación dada en el capítulo anterior tendremos que. ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u A 2 +B +C 2 + D + E + Fu + G = 0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y y, en consecuencia, corresponde (1) a una EDP parabólica ya que A = α; B = 0; C = 0; B 2 − 4 AC = 0. (2). (3).

(4) 4. Consistencia, convergencia y estabilidad Es de gran importancia entender bajo que circunstancias la solución numérica se aproxima a la solución real del problema. Para ello requerimos de tres conceptos. •Convergencia: Una solución de una EDP se dice que converge (o es convergente) cuando la solución aproximada se acerca a la solución exacta para cada valor de las variables independientes cuando el espaciamiento (tamaño de paso) tienden a cero.. T jn → T (x j , t n ). ∆x, ∆t → 0. En otras palabras, el error definido como. e nj = T (x j , t n ) - T jn tiende a cero. La solución aproximada es la solución del sistema de ecuaciones algebraicas, lo cual incluye errores de redondeo..

(5) 5. Consistencia, convergencia y estabilidad Probar la convergencia es en general muy difícil, aún en casos relativamente simples. No obstante, a través del refinamiento de la malla se puede verificar si la solución esta convergiendo, al menos numéricamente. •Consistencia: El sistema de ecuaciones algebraicas generado en el proceso de discretización se dice consistente si, en el limite hacia cero del espaciamiento de la malla, el sistema de ecuaciones algebraicas es equivalente a la ecuación diferencial parcial en cada punto de la malla. •Estabilidad: Un esquema es estable si perturbaciones (tales como errores de redondeo) espontáneas decaen..


(7) 7. Diferencias Finitas La ecuación del calor puede ser discretizada utilizando un método explícito. En la EDP ∂T ∂ 2T =α 2 ∂t ∂x T es la temperatura y α es el coeficiente de difusividad térmica. Las condiciones de frontera e iniciales son:. (1). T (0, t ) = b T (1, t ) = d. T (x,0) = T0 ( x ). 0 ≤ x ≤1. Las derivadas pueden expresarse en diferencias finitas, de orden ∆t y ∆x2 como n +1 n n n n ∂T T j − T j ∂ 2T T j −1 − 2T j + T j +1 ≈ ≈ 2 ∂t ∆t ∂x (∆x )2. (4). (5).

(8) 8. Diferencias Finitas donde los tamaños de paso en cada variable son ∆t y ∆x. La solución aproximada se encontrará en cada nodo (j,n). Para ello, sustituimos (5) en (1) y obtenemos. T jn +1 − T jn ∆t. ≈α. T jn−1 − 2T jn + T jn+1. (∆x ). 2. (6).

(9) 9. Diferencias Finitas Con este esquema de discretización el problema se reduce a encontrar, en cada nivel (n+1) las temperaturas dadas por. T. n +1 j.  α∆t  n n n  = T +  T − 2 T + T j j +1 2  j −1  (∆x )  n j. (. ). (7). Definiendo.  α∆t   s =  2   (∆x )  obtenemos T jn +1 = sT jn−1 + (1 − 2 s )T jn + sT jn+1 En este caso, no es necesario la utilización de un “solver” o algoritmo para encontrar la solución del sistema de ecuaciones algebraicas.. (8). (9).

(10) 10. Diferencias Finitas Ejemplo: encuentre los valores de la temperatura en una barra con las condiciones mostradas en la figura. T (0, t ) = 100 x=0. T (x,0) = 0. 0 ≤ x ≤1. T (1, t ) = 100 x =1. El material tiene un coeficiente de difusión térmica α=1/2. El esquema (9). T jn +1 = sT jn−1 + (1 − 2s )T jn + sT jn+1 será utilizado con una malla con ∆x=0.1 y ∆t= 0.001. Luego el valor de s es.  α∆t   (1/ 2 ) (0.001)  s= =  = 0.05 2 2  ( ∆x )    ( 0.1)    . (9).

(11) 11. Diferencias Finitas Los resultados para los primeros pasos de tiempo son: t\x 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019 0.02. 0 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100. 0.1 0 5 9.5 13.5625 17.2412 20.5826 23.6264 26.4074 28.9555 31.2967 33.4537 35.4463 37.2917 39.005 40.5995 42.0869 43.4775 44.7804 46.0037 47.1544 48.2389. 0.2 0 0 0.25 0.7 1.3087 2.0422 2.8725 3.7765 4.7354 5.7336 6.7586 7.8001 8.8497 9.9006 10.9476 11.9861 13.013 14.0255 15.0215 15.9996 16.9586. 0.3 0 0 0 0.0125 0.0462 0.1071 0.1986 0.3228 0.4802 0.6705 0.8928 1.1455 1.4269 1.7349 2.0675 2.4225 2.7978 3.1913 3.6012 4.0254 4.4622. 0.4 0 0 0 0 0.0006 0.0029 0.0079 0.0171 0.0316 0.0526 0.0811 0.1182 0.1645 0.2208 0.2875 0.3651 0.4538 0.5538 0.6652 0.788 0.9222. 0.5 0 0 0 0 0 0.0001 0.0003 0.0011 0.0027 0.0056 0.0103 0.0174 0.0275 0.0412 0.0591 0.082 0.1103 0.1446 0.1855 0.2335 0.289. 0.6 0 0 0 0 0.0006 0.0029 0.0079 0.0171 0.0316 0.0526 0.0811 0.1182 0.1645 0.2208 0.2875 0.3651 0.4538 0.5538 0.6652 0.788 0.9222. 0.7 0 0 0 0.0125 0.0462 0.1071 0.1986 0.3228 0.4802 0.6705 0.8928 1.1455 1.4269 1.7349 2.0675 2.4225 2.7978 3.1913 3.6012 4.0254 4.4622. 0.8 0 0 0.25 0.7 1.3087 2.0422 2.8725 3.7765 4.7354 5.7336 6.7586 7.8001 8.8497 9.9006 10.9476 11.9861 13.013 14.0255 15.0215 15.9996 16.9586. 0.9 0 5 9.5 13.5625 17.2412 20.5826 23.6264 26.4074 28.9555 31.2967 33.4537 35.4463 37.2917 39.005 40.5995 42.0869 43.4775 44.7804 46.0037 47.1544 48.2389. 1 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100.

(12) 12. Diferencias Finitas En t=0.02, la distribución de temperaturas luce como: t = 0.02 120. 100. T. 80. 60. 40. 20. 0. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 x. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. Las láminas siguientes presentan el programa en MATLAB, junto con la opción de creación de un video..

(13) 13. Programa MATLAB: método explícito % Programa EcuDif1DF_expl % Resuelve la ecuación de difusión % % % % %. % parámetros computacionales % Nx: número de nodos % delta_t : incremento en el tiempo % Nmaxt = número de ciclos en la iteración en el tiempo. dT/dt = alfa * d2T/dx2. Nx = 11; utilizando un método explícito, en diferencias finitas, delta_t = 0.001; con condiciones de Dirichlet en una barra de longitud L, Nmaxt = 200; cuyas temperaturas en los extremos son Tb y Td % delta_x = discretización espacial L/(Nx-1) % Datos de entrada % b : posición del extremo izquierdo de la barra delta_x = (d-b)/(Nx-1); % Tb : temperatura en el punto b s = alfa*delta_t/(delta_x^2) % d: posición del extremo derecho de la barra % Td: temperatura en el punto d % x: ubicación de los nodos, para la graficación % alfa: coeficiente de difusión clear all x = b:delta_x:d; close all b=0; % T: vector de temperaturas d=1; Tb=100; T(1)= Tb; Td=100; T(Nx)= Td; alfa = 1/2; T(2:Nx-1)=0;.

(14) 14. Programa MATLAB: método explícito % Graficación de las condiciones iniciales de Temperatura en la barra mov = avifile('ecudif1.avi') plot(x,T) axis([b d 0 120]); %title(' Ecuación de Difusion Explícita'); t=0; title([' t = ',num2str(t)],'FontSize',18); xlabel('x'); ylabel('T'); grid on F = getframe(gcf); mov = addframe(mov,F); pause(1) % Told : variable auxiliar (vector) para almacenar las temperaturas del % paso de tiempo anterior Told=T;. % Ciclo iterativo for n=1:Nmaxt T(1)=Tb; for j=2:Nx-1 T(j)=s*Told(j-1) + (1-2*s)*Told(j) + s*Told(j+1); end T(Nx)=Td; plot(x,T,'o-') axis([b d 0 120]); %title(' Ecuación de Difusion Explícita'); t=t+delta_t; title([' t = ',num2str(t)],'FontSize',18); grid on xlabel('x'); ylabel('T'); F = getframe(gcf); mov = addframe(mov,F); pause(0.01) Told=T; disp([n T]) end mov = close(mov);.

(15) 15. Diferencias Finitas El esquema dado por (9). T jn +1 = sT jn−1 + (1 − 2s )T jn + sT jn+1. (9). se denomina explícito ya que los valores de las variables en el instante de tiempo (n+1)∆t son calculados directamente a partir de los valores de las variables en t= n ∆t. Si, la discretización de la derivada espacial se hace en el instante (n+1)∆t n +1 n +1 n +1 ∂ 2T T j −1 − 2T j + T j +1 ≈ 2 ∂x (∆x )2. (10). Obtenemos, en la ecuación de difusión. T jn +1 − T jn ∆t. ≈α. T jn−+11 − 2T jn +1 + T jn++11. (∆x ). 2. (11).

(16) 16. Diferencias Finitas que se reduce a. − sT jn−+11 + (1 + 2 s )T jn +1 − sT jn++11 = T jn En este esquema no es posible despejar la variable en cada instante de tiempo, generándose un sistema de ecuaciones algebraicas que debe resolverse en cada instante de tiempo. Este tipo de esquemas es conocido como esquemas implícitos. En este caso particular, una solución eficiente del sistema de ecuaciones puede obtenerse utilizando un algoritmo para matrices tridiagonales. Veamos la implementación en la práctica del esquema implícito. Para ello tendremos que (12) nos permite escribir una ecuación para cada nodo. Considerando, la imposición de las condiciones de borde de Dirichlet nos llevan a escribir el conjunto de sistema como:. (12).

(17) 17. Diferencias Finitas = T ( 0, t ) = b. T1n +1 − sT1n +1 + (1 + 2s ) T2n +1. − sT3n +1. = T2n. − sT2n +1 + (1 + 2s ) T3n +1 − sT4n +1. = T3n. . − sT jn−+11 + (1 + 2s ) T jn +1 − sT jn++11. = T jn. . − sTNn−+13 + (1 + 2s ) TNn−+12. − sTNn−+11. = TNn− 2. − sTNn−+12 + (1 + 2s ) TNn−+11 − sTNn +1 = TNn−1 TNn +1 = T (1, t ) = d.

(18) 18. Diferencias Finitas Pasando las condiciones de borde al lado derecho. = T ( 0, t ) = b. T1n +1. (1 + 2s ) T2n+1. − sT3n +1. = T2n + sT1n +1. − sT2n +1 + (1 + 2s ) T3n +1 − sT4n +1. = T3n. . − sT jn−+11 + (1 + 2s ) T jn +1 − sT jn++11. = T jn. . − sTNn−+13 + (1 + 2s ) TNn−+12. − sTNn−+11. = TNn−2. − sTNn−+12 + (1 + 2s ) TNn−+11 = TNn−1 + sTNn +1 TNn +1 = T (1, t ) = d.

(19) 19. Diferencias Finitas En forma matricial este sistema se escribe como el producto, obteniendo una matriz (n-2)*(n-2) 1 + 2s − s  − s 1 + 2s − s   − s 1 + 2s − s  .    0    . ..  T2n +1   T2n + sT1n +1     n +1   n T3   T3     .   0 .     .   .  =    .   .     . .   .    − s 1 + 2s − s  TNn−+12   TNn− 2    n +1   n n +1 − s 1 + 2s  TN −1  TN −1 + sTN . La solución de este sistema de ecuaciones llevará a la determinación de las variables Tj, en cada instante de tiempo..

(20) 20. Diferencias Finitas Ejemplo: encuentre los valores de la temperatura en una barra con las condiciones mostradas en la figura, utilizando el método implícito.. T (0, t ) = 100 x=0. T (x,0) = 0. 0 ≤ x ≤1. T (1, t ) = 100 x =1. El material tiene un coeficiente de difusión térmica α=1/2. El esquema (12). − sT jn−+11 + (1 + 2 s )T jn +1 − sT jn++11 = T jn será utilizado con una malla con ∆x=0.1 y ∆t= 0.001. Luego, el valor de s es.  α∆t   (1/ 2 ) (0.001)  s= =  = 0.05 2 2  ( ∆x )    ( 0.1)    . (12).

(21) 21. Diferencias Finitas El sistema de ecuaciones a resolver es:  1.1 −0.05  −0.05 1.1 −0.05   −0.05 1.1 −0.05  .   .  0    .  T2n +1  T2n + 5   n +1   n   T3   T3   .   .  0      .  =  .   .   .      .  .   .  −0.05 1.1 −0.05 T9n +1   T9n    n +1   n  −0.05 1.1  T10  T10 + 5. Los valores de las Tn son reemplazados a la derecha en cada iteración para hallar los de las Tn+1..

(22) 22. Diferencias Finitas Para hallar la solución en el instante 1. ∆t= 0.001 tendremos que el sistema a resolver es:  1.1 −0.05  −0.05 1.1 −0.05   −0.05 1.1 −0.05  .   .  0    .   T21  0 + 5  1  0    T3     .   .  0     . .   =    .   .      .  .   .  −0.05 1.1 −0.05  T91   0   1    −0.05 1.1  T10  0 + 5. Los resultados de esta primera iteración son mostrados en la lámina siguiente..

(23) 23. Diferencias Finitas Para hallar la solución en el instante 1. ∆t= 0.001 tendremos que el sistema a resolver es: 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00. -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00. 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00. 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00. 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00. obteniendo. =. 4.5549 0.2075 0.0095 0.0004 0 0.0004 0.0095 0.2075 4.5549. 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00. 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05. 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10. 100 90 80 70 60 T. T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10. 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00. 50 40 30 20 10 0. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 x. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10. =. 5 0 0 0 0 0 0 0 5.

(24) 24. Diferencias Finitas Luego, para hallar la solución en el instante 2. ∆t= 0.002 tendremos que el sistema a resolver es: 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00. -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00. 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00. 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00. 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00. obteniendo. 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00. 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00. 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05. 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10. 100 90. =. 8.7129 0.5863 0.0353 0.002 0.0002 0.002 0.0353 0.5863 8.7129. 80 70 60 T. T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10. 50 40 30 20 10 0. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 x. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10. =. 9.5549 0.2075 0.0095 0.0004 0 0.0004 0.0095 0.2075 9.5549.

(25) 25. Diferencias Finitas Para cada instante de tiempo entre 0 y 0.02, la solución es: t\T 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019 0.02. 0.0 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100. 0.1 0.0 4.5549 8.7129 12.5165 16.0032 19.2059 22.1538 24.8728 27.3855 29.7124 31.8714 33.8785 35.7478 37.4922 39.1229 40.6501 42.0827 43.4291 44.6963 45.8911 47.0192. 0.2 0.0 0.2075 0.5863 1.1056 1.7396 2.466 3.2661 4.1242 5.0268 5.9627 6.9225 7.8981 8.8831 9.8719 10.8598 11.8432 12.8189 13.7844 14.7378 15.6773 16.6017. 0.3 0.0 0.0095 0.0353 0.0826 0.1547 0.2538 0.3809 0.5365 0.7202 0.9314 1.169 1.4317 1.7181 2.0267 2.3558 2.7038 3.0691 3.4502 3.8455 4.2536 4.6731. 0.4 0.0 0.0004 0.002 0.0056 0.0122 0.0228 0.0384 0.0598 0.0879 0.1236 0.1673 0.2198 0.2814 0.3526 0.4337 0.5248 0.6261 0.7377 0.8597 0.9919 1.1343. 0.5 0.0 0 0.0002 0.0007 0.0018 0.0037 0.0068 0.0116 0.0186 0.0281 0.0408 0.057 0.0774 0.1025 0.1326 0.1682 0.2098 0.2578 0.3125 0.3743 0.4434. 0.6 0.0 0.0004 0.002 0.0056 0.0122 0.0228 0.0384 0.0598 0.0879 0.1236 0.1673 0.2198 0.2814 0.3526 0.4337 0.5248 0.6261 0.7377 0.8597 0.9919 1.1343. 0.7 0.0 0.0095 0.0353 0.0826 0.1547 0.2538 0.3809 0.5365 0.7202 0.9314 1.169 1.4317 1.7181 2.0267 2.3558 2.7038 3.0691 3.4502 3.8455 4.2536 4.6731. 0.8 0.0 0.2075 0.5863 1.1056 1.7396 2.466 3.2661 4.1242 5.0268 5.9627 6.9225 7.8981 8.8831 9.8719 10.8598 11.8432 12.8189 13.7844 14.7378 15.6773 16.6017. 0.9 0.0 4.5549 8.7129 12.5165 16.0032 19.2059 22.1538 24.8728 27.3855 29.7124 31.8714 33.8785 35.7478 37.4922 39.1229 40.6501 42.0827 43.4291 44.6963 45.8911 47.0192. 1.0 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100.

(26) Programa MATLAB: método implícito % EcuDif1dDF_imp Resuelve la ecuacion del calor en 1D con el esquema FTCS % % --- Calculo del espaciamiento. % Synopsis: EcuDif1dDF_b(nt,nx,dt,alpha,L) nt=100; % nx=51; % Entrada: nt = numero de intervalos de tiempo. dt=0.01; % nx = número de nodos en direccion x. alpha=0.5; % dt = incremento en el tiempo. L=1; % alpha = difusividad. T0=100; % L = longitud del dominio. Tl=100; % T0 = Temperatura en el nodo 1 dx = L/(nx-1); % Tl = Temperatura en el nodo nx % % --- Ubicación de los nodos en la barra % Salida: x= vector con la ubicación espacial de los nodos % U= matriz con la solución en cada dt (U(:,k) contiene la x = linspace(0,L,nx); % solución para t=(k-1)dt clear all close all. % --- Calculo del parámetro s s = alpha*dt/(dx^2). 26.

(27) Programa MATLAB: método implícito for n=1:nt for j=1:nx-2 b(j)=T(j+1); end T(1)=T0; % condiciones de frontera i=1 b(1)=b(1)+s*T(1); T(nx)=Tl; % condiciones de frontera i=nx b(nx-2)=b(nx-2)+s*T(nx); T(2:(nx-1))=0; % condiciones iniciales b=b'; T3D(:,1)=T; % disp(b) % --- Ciclo temporal x1=A\b; A(1:nx-2,1:nx-2)=0; clear('b'); t=0; T_nuevo(1)=T0; for j=1:nx-2 for j=2:nx-1 A(j,j)=1+2*s; T_nuevo(j)=x1(j-1); if j<nx-2 end A(j,j+1)=-s; T_nuevo(nx)=Tl; end % Actualizando las variables if j>1 % para repetir el ciclo A(j,j-1)=-s; T=T_nuevo; end T3D(:,n+1)=T; end plot(x,T,'o-'); disp([A]) xlabel('x'); ylabel('T'); axis([0 L 0 T0]); t=t+dt; % --- Imposición de condiciones iniciales % y de frontera. 27. title([' t = ',num2str(t)],'FontSize',18); grid on pause(0.1) end figure surf(T3D).

(28) 28. Diferencias Finitas Este sistema se puede resolver de manera eficiente para cada instante dt, utilizando un algoritmo para matrices tridiagonales. En particular, el de uso mas común es conocido como Algoritmo de Thomas:. Versiones en Fortran y otros lenguajes están disponibles..

(29) Capitulo VI ECUACIONES DIFERENCIALES PARABÓLICAS EN DERIVADAS PARCIALES •Introducción •Diferencias finitas •Nociones de estabilidad, convergencia y consistencia •Métodos para problemas parabólicos bidimensionales •Referencias. 29.

(30) 30. Consistencia, convergencia y estabilidad Veamos la estabilidad y convergencia de los esquemas estudiados. Recordemos la expresión en diferencias finitas obtenida para la ecuación del calor unidimensional (9). T jn +1 = sT jn−1 + (1 − 2s )T jn + sT jn+1 con s dado por.  α∆t   s =  2   (∆x )  y las condiciones (7) escritas como T (0, t ) = 100 α = 1/ 2 T (1, t ) = 100 T (x,0) = 0. 0 ≤ x ≤1. (9).

(31) 31. Consistencia, convergencia y estabilidad Utilicemos como tamaño de malla. ∆x = 0.1 y ∆t = 0.01 Luego tendremos que s es.  α∆t   (1 / 2)(0.01)   =   = 0.5 s =  2  2  (∆x )   (0.1)  Los resultados para los primeros pasos de tiempo se muestran en la lamina siguiente.

(32) 32. Consistencia, convergencia y estabilidad. < -----------t ----- -----------------. 0. 0 ------------------------ x ----------------------- 1 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2. 0 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100. 1 0 50 50 62,5 62,5 68,75 68,75 72,66 72,66 75,59 75,59 78,03 78,03 80,16 80,16 82,07 82,07 83,79 83,79 85,34 85,34. 2 0 0 25 25 37,5 37,5 45,31 45,31 51,17 51,17 56,05 56,05 60,33 60,33 64,14 64,14 67,58 67,58 70,67 70,67 73,48. 3 0 0 0 12,5 12,5 21,88 21,88 29,69 29,69 36,52 36,52 42,63 42,63 48,12 48,12 53,08 53,08 57,56 57,56 61,61 61,61. 4 0 0 0 0 6,25 6,25 14,06 14,06 21,88 21,88 29,2 29,2 35,91 35,91 42,02 42,02 47,55 47,55 52,55 52,55 57,08. 5 0 0 0 0 0 6,25 6,25 14,06 14,06 21,88 21,88 29,2 29,2 35,91 35,91 42,02 42,02 47,55 47,55 52,55 52,55. 6 0 0 0 0 6,25 6,25 14,06 14,06 21,88 21,88 29,2 29,2 35,91 35,91 42,02 42,02 47,55 47,55 52,55 52,55 57,08. 7 0 0 0 12,5 12,5 21,88 21,88 29,69 29,69 36,52 36,52 42,63 42,63 48,12 48,12 53,08 53,08 57,56 57,56 61,61 61,61. 8 0 0 25 25 37,5 37,5 45,31 45,31 51,17 51,17 56,05 56,05 60,33 60,33 64,14 64,14 67,58 67,58 70,67 70,67 73,48. 9 0 50 50 62,5 62,5 68,75 68,75 72,66 72,66 75,59 75,59 78,03 78,03 80,16 80,16 82,07 82,07 83,79 83,79 85,34 85,34. 10 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100.

(33) 33. Consistencia, convergencia y estabilidad. Ecuación de Difusión s=0.5. 0 0,1. 120. 0,2. T. 100 80. 0,3 0,4. 60. 0,5. 40 20 0. 0,6 0,7 0. 1. 2. 3. 4. 5 j. 6. 7. 8. 9 10. 0,8 0,9 1.

(34) 34. Consistencia, convergencia y estabilidad Como es de esperar, la temperatura se hace igual sobre toda la longitud después de cierto tiempo. La solución ha convergido (en sentido físico) a la solución estacionaria. Disminuyamos el paso de tiempo a la mitad. Ahora tendremos. ∆x = 0.1. ∆t = 0.005.  α∆t    1  (0.005)   =     = 0.25 s =  2  2   (∆x )    2  (0.1)  y el resultado se muestra en la pagina siguiente.

(35) 35. Consistencia, convergencia y estabilidad. T. Ecuación de Difusión s=0.25 0. 120 100 80 60. 0,1 0,2 0,3 0,4. 40 20. 0,5. 0. 0,6 0. 1. 2. 3. 4. 5 j. 6. 7. 8. 9 10. 0,7.

(36) 36. Consistencia, convergencia y estabilidad Comparemos las soluciones a t=0.4 utilizando ambos valores de s (0.5 y 0.25) Comparación de Temperaturas t=0.4 100. T. 95 s=0.25 s=0.5. 90 85 80 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9 10. j. La solución ha convergido, en el sentido numérico a la solución real..

(37) 37. Consistencia, convergencia y estabilidad Nuevamente cambiemos el espaciamiento. Para ello utilicemos como tamaño de malla. ∆x = 0.1 y ∆t = 0.0104 Luego tendremos que s es.  α∆t    1  (0.0104)   =     = 0.52 s =  2  2  (∆x )    2  (0.1)  Los resultados se muestran en la lámina siguiente.

(38) 38. Consistencia, convergencia y estabilidad 0. Ecuación de Difusión s=0.52. 0,1 0,2. 150. 0,3 0,4. 100. 0,5 0,6. 50. 0,7 0,8. 0 0. 5. 10. 0,9 1 0.

(39) 39. Consistencia, convergencia y estabilidad Ecuación de Difusión s=0.52 150 130 110. 0,4. 90. 1. 70 50 0. 5. 10. Las oscilaciones de temperatura muestran que el esquema es inestable. No hay convergencia física ni numérica. Esto muestra que el esquema utilizado es condicionalmente estable. La condición de estabilidad es dada por: s < 0.5.

(40) 40. Consistencia, convergencia y estabilidad Utilicemos el método implícito en nuestro problema de conducción de calor, con las condiciones que hicieron fallar el método explícito:. ∆x = 0.1. ∆t = 0.0104.  α∆t    1  (0.0104)   =     = 0.52 s =  2  2  (∆x )    2  (0.1) . Puesto que x=0.1 entonces tenemos 11 nodos (0-10), con las condiciones de borde aplicadas en los nodos 0 y 10. Tendremos entonces un sistema de ecuaciones con 9 incógnitas (las temperaturas en los nodos 1-9). El sistema se expresa, con las condiciones de borde T0n = T (0, t ) = 100 T10n = T (1, t ) = 100. T j0 = T ( x,0) = 0. 1≤ j ≤ 9.

(41) 41. Consistencia, convergencia y estabilidad Obteniendo una matriz (n-2)*(n-2) − 0.52 1 + 2(0.52)  − 0.52 1 + 2(0.52) −s   1 + 2(0.52) − 0.52 − 0.52  .    0    . ..  T2n +1   T2n + (0.52)100     n +1   n T T 3 3          0 . .     .   .  =    .   .      . . .     n n + 1     − 0.52 1 + 2(0.52) − 0.52  TN −2 TN −2     1 + 2(0.52) TNn−+11  TNn−1 + (0.52)100 − 0.52. Luego, partiendo de las condiciones iniciales (n=0) el sistema puede ser resuelto de manera recurrente para hallar la temperatura en función del tiempo. Los resultados se muestran en la lámina siguiente..

(42) 42. Consistencia, convergencia y estabilidad Nótese que ahora no se presentan oscilaciones en la solución numérica.. T. Ecuación del Calor (Implícito) s=0.52 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0. 0,104 0,208 0,312 0,416 0,52 0,624 0,728 0,832 0,936 0. 5 j. 10.

(43) 43. Consistencia, convergencia y estabilidad Al comparar para un instante de tiempo en particular ambos métodos notamos la gran diferencia entre las soluciones predichas por ambos métodos. Comparación entre métodos s=0,52 100 95. T. 90 explícito. 85. implícito. 80 75 70 0. 5 j. 10.

(44) 44. Consistencia, convergencia y estabilidad Incluso para valores de s mucho mayores a los limites establecidos por los criterios de estabilidad para los métodos explícitos, los esquemas implícitos convergen a la solución sin problemas de estabilidad. Método Implícito s=1 100 0,2. 60. 0,4. T. 80. 0,6 40. 0,8. 20. 1. 0 0. 5 j. 10.

(45) 45. Consistencia, convergencia y estabilidad AL ser independiente de s la convergencia, se dice que el mismo es incondicionalmente estable. A pesar de estas ventajas, los métodos implícitos tiene limitaciones y desventajas. Entre estas se encuentran: •Necesidad de resolver un sistema de ecuaciones algebraicas para cada paso de tiempo ( o aún mas) •Convergencia incondicional podría implicar conseguir una solución sin sentido físico Método implíto s=25 100. T. 90 0,5. 80. 1. 70 60 0. 1. 2. 3. 4. 5 j. 6. 7. 8. 9 10. En este ejemplo, para t=1, la solución no presenta oscilaciones pero no corresponde a los valores casi constantes obtenidos en todos los ejemplos anteriores. Esto ocurre por el error temporal del esquema el cual es de orden ∆t..


(47) 47. Problemas bidimensionales La ecuación del calor en dos dimensiones espaciales se escribe como ∂T ∂ 2T ∂ 2T = αx 2 +α y 2 ∂t ∂x ∂y la cual será resuelta, por ejemplo en el dominio y con las condiciones de frontera mostradas a continuación. y =1 T (0, y, t ) = a ( y, t ). T (x,0, t ) = d ( x, t ). ∆y. ∆x. i −1 i y=0 x=0. (13). n i, j. T. i +1. T ( x,0, t ) = c( x, t ). j +1 j. T (1, y, t ) = b( y, t ). j −1 x =1.

(48) 48. Problemas bidimensionales y con las condiciones iniciales. T (x, y,0) = T0 ( x, y ) La ecuación (13) puede ser discretizada de manera similar a como se hizo con su contraparte unidimensional. En ese caso, utilizando un método implícito llegaremos a. Ti ,nj+1 − Ti ,nj ∆t. = αx. Ti −n1+,1j − 2Ti ,nj+1 + Ti +n1+,1j. (∆x ). 2. +α y. Ti ,nj+−11 − 2Ti ,nj+1 + Ti ,nj++11. (∆y )2. Reorganizando obtenemos. − s xTi −n1+,1j + (1 + 2 s x + 2 s y )Ti ,nj+1 − s xTi +n1+,1j − s yTi ,nj+−11 − s yTi ,nj++11 = Ti ,nj con sx y sy definidos como en (11). Este esquema es de orden (∆t, ∆x2, ∆y2)..

(49) 49. Problemas bidimensionales El número de incógnitas es (Nx-2)*(Ny-2) dado que estamos suponiendo condiciones de Dirichlet. Nuevamente podemos representar la variable en cada nodo, con un índice único, numerando los nodos de manera que. k = ( N x − 2)( j − 2) + (i − 2) + 1 Luego, la matriz de coeficientes tendrá la forma − sx 1 + 2s x + 2s y  − sx 1 + 2sx + 2s y   − sx    − sy  − sy    . . − sx .. .. − sy − sy .. . − s x 1 + 2s x + 2s y 0. − sx . − s x 1 + 2sx + 2s y − sx.           − sx  1 + 2s x + 2s y .

(50) 50. Problemas bidimensionales Esta matriz es pentadiagonal y la solución al sistema de ecuaciones puede ser hallada por cualquier método como Eliminación Gaussiana, Gauss-Jordan, etc. Si se desea continuar utilizando las ventajas del algoritmo de Thomas, se puede hacer uso del método de las direcciones alternantes implícitos (ADI) de Peaceman y Rachford. Con este método, el paso de tiempo se descompone en dos mitades. En cada semi-intervalo de tiempo, solo los términos asociados con una dirección son tratados de manera implícita, de manera que solo tres términos implícitos aparecen en la ecuación de diferencias. Estos pueden ser agrupados en torno a la diagonal de manera que la matriz resultante sea tridiagonal..

(51) Capitulo VI ECUACIONES DIFERENCIALES PARABÓLICAS EN DERIVADAS PARCIALES •Introducción •Diferencias finitas •Nociones de estabilidad, convergencia y consistencia •Métodos para problemas parabólicos bidimensionales •Referencias. 51.

(52) Referencias 1. Análisis Numérico, Burden R., Faires J. D., 6ta Edición, International Thomson Editores, 1998 2. Applied Numerical Methods, Carnahan B., Luther H. A., Wilkes J. O., John Wiley and Sons, Inc, 1969 3. Nakamura, S.:”Métodos Numéricos Aplicados con Software”, Prentice Hall, (1992).. 52.

(53) 53. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABÓLICAS EN DERIVADAS PARCIALES Armando Blanco A..

(54)