EJERCICIOS DE CONTEO 25 de julio de 2015 Autor: Laura Pontón
Análisis Combinatorio
Unidad 1 Actividad 3
1
Análisis Combinatorio | 25/07/2015
Análisis Combinatorio
Unidad 1 Actividad 3
1. En el patio de la escuela hay 15 niños tomados de la mano. ¿De cuántas formas pueden formar un círculo?
𝐶 = 𝑛!
𝑛 𝑛 = 15
𝐶 = 15!
15 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × … .× 13 × 14 × 15
15 = 14!
𝐶 = 8.71782912 × 10
10∴
Se pueden formar 8.71782912 × 10
10formas de formar un círculo con 15 niños.
2. Una asociación civil con 50 miembros debe elegir una mesa directiva con un presidente, un secretario y tres equipos de dos personas cada uno. ¿Cuántas mesas directivas distintas se pueden formar?
Puesto # de personas
Presidente 1
Secretario 1
Equipo1 2
Equipo2 2
Equipo3 2
Total 8
Una mesa directiva será formada por 8 persona, y cualquiera de ellas puede ser presidente, o ser miembro de un equipo, no importa el orden
:𝑛 = 50 𝑟 = 8
#𝑀 = 𝑛𝑃𝑟 = 𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!= 50!
(50 − 8)!=50!
42!= 2.164649717 × 1013
2
Análisis Combinatorio | 25/07/2015
∴
Se pueden formar 2.164649717 × 1013 maneras, una mesa directiva.
3. ¿De cuántas formas pueden dividirse doce personas en dos grupos, de siete y cinco personas respectivamente?
Para formar dos grupos, tanto uno de 5, como otro de 7, es lo mismo si decimos que queremos dos grupos, tanto uno de 7, como otro de 5, pues es lo mismo 5+7=12, como 7+5=12.
#𝐹 = 𝑛𝐶𝑟 = 𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
𝑛 = 12, 𝑟 = 7
12𝐶7 = 12!
7! (12 − 7)!= 792 𝑛 = 12, 𝑟 = 5
12𝐶5 = 12!
5! (12 − 5)!= 792
∴
Se pueden formar los grupos, uno de 7 y otro de 5, de 792 formas.
4. ¿De cuántas maneras diferentes puede elegirse un grupo de cuatro o más personas de entre un grupo de ocho personas?
Se tienen que formar grupos de 4, 5, 6, 7 u 8 personas. Entonces, será la suma de las combinaciones independientes:
#𝐹 = 8𝐶4 + 8𝐶5 + 8𝐶6 + 8𝐶7 + 8𝐶8
#𝐹 = 𝑛𝐶𝑟 = 𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
𝑛 = 8, 𝑟 = 4
8𝐶4 = 8!
4! (8 − 4)!= 70 𝑛 = 8, 𝑟 = 5
8𝐶5 = 8!
5! (8 − 5)!= 56
3
Análisis Combinatorio | 25/07/2015
𝑛 = 8, 𝑟 = 6
8𝐶6 = 8!
6! (8 − 6)!= 28 𝑛 = 8, 𝑟 = 7
8𝐶7 = 8!
7! (8 − 7)!= 8 𝑛 = 8, 𝑟 = 8
8𝐶8 = 8!
8! (8 − 8)!=1 1= 1
∴
#𝐹 = 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 163 Se pueden hacer 163 formas
5. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse nueve personas en una hilera de doce sillas?
Si clasificamos a cada persona con un número, la persona con el numero #1 pudiese estar sentada tanto en el primer lugar, como en medio o al final de las 12 sillas.
𝑛 = 12 𝑟 = 9
#𝑀 = 𝑛𝑃𝑟 = 𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!=
12𝑃9 = 12!
(12 − 9)!= 79833600
Pueden sentarse nueve personas en una hilera de doce sillas de 79833600 formas.
6. Cuatro parejas asisten a una cena y tomarán asiento alrededor de una mesa redonda.
¿Cuántas formas distintas de sentar a las ocho personas existen si:
a) ¿las parejas deben sentarse juntas?
Si denotamos a las personas como A,B,C,D,E,F,G,H y sabemos que las parejas son AB, CD, EF, y GH, las parejas se pueden sentar ya sea AB o BA, en combinación con todas, entonces serán 4 grupos de 2 elementos que se pueden sentar juntos:
4
Análisis Combinatorio | 25/07/2015
AB BA CA DA EA FA GA HA
AC BC CB DB EB FB GB HB
AD BD CD DC EC FC GC HC
AE BE CE DE ED FD GD HD
AF BF CF DF EF FE GE HE
AG BG CG DG EG FG GF HF
AH BH CH DH EH FH GH HG
Según el análisis, tenemos 7x8=56 grupos de dos personas, pero, de estos, solo 8 combinaciones de sentarse, son parejas.
Entonces, son 8 combinaciones, con 4 subgrupos de máximo 2 personas:
#𝐹 = 8!
2! × 2! × 2! × 2!= 2520 Se pueden sentar de 2520 formas b) ¿una pareja debe quedar junta?
Pueden quedar sentadas una pareja de las cuatro de la forma AB ó BA o también CD ó DC, y así, sin importar el orden de las restantes personas. Entonces es un grupo de 2 elementos los que deben de quedar sentados:
#𝐹 =8!
2!= 20160 c) ¿una pareja debe quedar separada?
Esto sería imposible, en tal caso, 2 parejas deberían de quedar separadas.
7. En un grupo de 10 niños, cada uno es amigo de exactamente otros siete del mismo grupo (la amistad es mutua). Demuestra que no es posible formar tres equipos de tal manera que en cada equipo no haya un par de amigos.
El problema no expresa realizar combinaciones o permutaciones, solo expresa hacer prueba de tres equipos de 10 elementos.
Los niños son:
# nombre letra
1 Areli A
2 Beto B
3 Carla C
4 David D
5
Análisis Combinatorio | 25/07/2015
5 Ernesto E
6 Federico F
7 Gilberto G
8 Héctor H
9 Ignacio I
10 Javier J
Los 7 amigos recíprocos de Gilberto son:
Gilberto
Beto Carla David Federico
Héctor Ignacio Javier
Supongamos que se dividen los 10 niños en 3 equipos:
Equipo1 Equipo2 Equipo3 A
D I
B C E
F G H J Entonces para Gilberto:
Equipo1 Equipo2 Equipo3 A
D I
B C E
F G H J
Los equipos formados, tienen al menos 2 amigos en un equipo de los de tres.
Aquí se demuestra que no es posible formar tres equipos de tal manera que en cada equipo no haya un par de amigos.
∎
6
Análisis Combinatorio | 25/07/2015
De otra manera
Los 7 amigos recíprocos de Federico son:
Federico
Beto Carla David Gilberto
Héctor Ignacio Javier
Supongamos que se dividen los 10 niños en 3 equipos:
Equipo1 Equipo2 Equipo3 F
A I
B C E
D G H J
Los equipos formados, tienen al menos 2 amigos en un equipo de los de tres.
Aquí se demuestra que no es posible formar tres equipos de tal manera que en cada equipo no haya un par de amigos.
∎
7
Análisis Combinatorio | 25/07/2015
8. ¿De cuántas maneras se puede tomar un número impar de objetos, de un conjunto de 𝒏 objetos?
n Combinaciones
impares
resultado Suma
1 1C1 1 1
2 2C1 2 2
3 3C1
3C3
3
1 4
4 4C1
4C3
4
4 8
5 5C1
5C3 5C5
5 10
1 16
6 6C1
6C3 6C5
6 20
6 32
7 7C1
7C3 7C5 7C7
7 35 21
1 64
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝒏
𝑛𝐶1
𝑛𝐶2
𝑛𝐶3
𝑛!
(𝑛 − 1)! (1)!
𝑛!
(𝑛 − 2)! (2)!
𝑛!
(𝑛 − 3)! (3)!
…
8
Análisis Combinatorio | 25/07/2015
…
𝑛𝐶𝑛
𝑛!
(𝑛 − 𝑛)! (𝑛)!
2
𝑛−1Probando:
𝒏 # Combinaciones
impares. 𝟐
𝒏−𝟏1 1 2
𝑛−1= 2
1−1= 1
2 2 2
𝑛−1= 2
2−1= 2
3 4 2
𝑛−1= 2
3−1= 4
4 8 2
𝑛−1= 2
4−1= 8
5 16 2
𝑛−1= 2
5−1= 16
6 32 2
𝑛−1= 2
6−1= 32
7 64 2
𝑛−1= 2
7−1= 64
2
𝑛−1maneras se puede tomar un número impar de objetos, de un conjunto de 𝑛 objetos
9. ¿Cuántos números distintos de cinco cifras pueden formarse usando solamente los dígitos del número 75 226 522? Sugerencia: considera primero los números con un 2, luego con dos 2, etc.
𝑃(𝑛, 𝑟
1, 𝑟
2, … ) = 𝑛!
𝑟
1! × 𝑟
2! … El numero 75 226 522 tiene 8 digitos:
Digito #
repeticiones Elemento
7 1 𝑟
1= 1
6 1 𝑟
2= 1
5 2 𝑟
3= 2
2 4 𝑟
4= 4
Suma: 8 𝑛 = 8
9
Análisis Combinatorio | 25/07/2015
Los términos 𝑟
1= 𝑟
2= 1 se omiten, pues el factorial de 1 es 1:
𝑃(𝑛, 𝑟
1, 𝑟
2, … ) = 8!
2! × 4! = 840
Se pueden formar 840 números distintos de cinco cifras usando solamente los dígitos del número 75 226 522.
Bibliografía
Grimaldi, R. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics. Boston: Pearson.
Quinto, A. (2007). Módulo de Estadística 2. Chocó: Universidad Tecnológica del Chocó.