1 PROPOSTAS DE TRABALLOS FIN DE GRAO

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1 PROPOSTAS DE TRABALLOS FIN DE GRAO

CURSO 2015-2016

Código AL01_16

Área de coñecemento Álxebra

Título Intersección de curvas algebraicas planas: Del algoritmo de Euclides al teorema de Bezout.

Titor/a Ana Jeremías López

Breve descrición do contido

Una muestra de las primeras ventajas de considerar el plano proyectivo en lugar del plano afín es el teorema de Bezout: dos curvas planas proyectivas sin componentes en común definidas por ecuaciones polinómicas homogéneas de grados n y m se cortan exactamente nm veces. Este enunciado que parece fácil de entender debe ser establecido de forma precisa. Tanto en el enunciado como en su demostración los manuales sobre curvas algebraicas hacen uso de resultados de álgebra conmutativa. Es posible utilizar el algoritmo de Euclides para determinar los puntos de intersección de dos curvas proyectivas planas junto con sus multiplicidades, y dar una demostración alternativa del teorema de Bezout. Este es precisamente el objetivo de este trabajo.

Seguiremos la exposición de Jan Hilmar and Chris Smyth  (2010) revisada por R. P. Hulst (2011). Estudiaremos también algunas de las aplicaciones del teorema de Bezout.

Recomendacións (non vinculantes)

Se recomienda haber cursado las asignaturas “Ecuaciones Algebraicas”, “Estructuras Algébraicas”, y estar cursando paralelamente la asignatura “Álgebra, Números y Geometría”.

Código AL02_16

Área de coñecemento Alxebra

Título Infinitésimos y Lógica : Análisis no estandar Titor/a Javier Barja Pérez

El "análisis no estándar" que fue desarrollado por A. Robinson en la mitad del pasado siglo, permite entroncar con la tradición del uso de infinitésimos por Euler y Leibnitz. Los infinitésimos fueron considerados inadmisibles por Gauss, y excluidos por Cauchy y Weierstrass quienes fundamentaron el cálculo diferencial sobre el concepto de infinito potencial (base de la usual definición de límite).

Las bases de la construccion del análisis no estándar son la teoría de modelos y el uso de ultrapotencias del modelo estandar de R, usando un ultrafiltro no principal de N. Dentro de esa teoría pueden probarse algunos de los clásicos teoremas del análisis de una forma sencilla, pero rigurosa. Se trataría de ver algunos de esos resultados formulados con este nuevo lenguaje.

Este es un tema clásico de Lógica Matemática y las referencias remiten a libros de teoría de Modelos Robinson, A. Non standard analysis (1966),1974 2ª ed. Nord Holland

Barnes D.W ; Mack, J. M. An Algebraic Inroduction to Mathematical Logic. Springer. 1975 N.Y.

Chang, C. C. ; Keisler, H. J. Model Theory. North-Holland Amsterdam,

Bell, J.L.; Machover M.. A-course-in-mathematical-logic (1977), North Holland N.Y CHAP 11.

Enderton, H. A Mathematical Introduction to Logic, 2thEd 2001/1972 Harcourt/ Acad. Press. Chap Two.

Stroyan,_ K..D._; _Luxemburg. W._A._J._Introduction to the theory of infinitesimals. Acad Press 1976 NY Keisler, H. J Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Creative Commons

Código AL03_16

Título A Álxebra Xeométrica dos Elementos de Euclides Titor/a Celso Rodríguez Fernández

Estudarase o método que seguen os Elementos de Euclides nos Libros I e II, facendo unha versión de máis fácil lectura das demostracións.

Código AL04_16 Área de coñecemento Álxebra

Título Métodos alxebráicos na cinemática de robots Titor/a Felipe Gago Couso

O espacio de posibles configuracións dunha articulación mecánica pode ser descrito mediante variedades alxebraicas. Usando bases de Gröbner pódense resolver os problemas cinemáticos de certos tipos de robots.

Cursar a materia Álxebra, Números e Xeometría.

Código AL05_16 Área de coñecemento Alxebra

Título Los teoremas de las unidades de Dirichlet y de finitud del número de clase de los cuerpos globales

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(demostración idélica).

Titor/a Leoncio Franco Fernández

Se comienza con una introducción a los cuerpos de números y sus divisores primos. Luego se exponen la llamada “geometría de números” y la teoría de Minkowski, que llevan a teoremas clásicos de teoría de números algebraicos como los citados en el título de este trabajo.

1. Cuerpos de números algebraicos y de funciones algebraicas [4, 5, 56 2. Adeles. Geometría de números. Teoría de Minkowski [3,4,5]

3. Ideles. Finitud del número de clase [1,2,4,5,6]

4. Teorema de las unidades de Dirichlet [1,5, 6]

[1] Adams-Goldstein, Introduction to Number Theory, Prentice Hall 1976 [2] Cassels-Fröhlich, Algebraic Number Theory, AP 1967

[3] Childress, Class field theory, Springer 2009

[4] Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley 1970 [5] Neukirch, Algebraic number theory, Springer 1999 [6] Weiss, Algebraic number theory, MacGraw-Hill 1963

Se recomienda tener superadas todas las materias del tercer curso de Grao en Matematicas, así como haber cursado o estar matriculado en Códigos e criptografía y en Alxebra, números e xeometría.

Código AL06_16 Área de coñecemento ÁLXEBRA

Título Aneis primitivos e o teorema de densidade de Jacobson.

Titor/a José Manuel Fernández Vilaboa Breve descrición do

contido

Trátase de introducir a teoría de aneis primitivos e de estudar a estrutura de estes aneis que serán caracterizados mediante o teorema de densidade de Jacobson. Ademais este teorema utilizarase para dar unha proba do teorema de estrutura para aneis artinianos simples.

Título Cifrado homomórfico Titor/a José Luis Gómez Pardo

O cifrado homomórfico permite realizar computacións con datos cifrados sen necesidade de descifralos previamente, de modo que ó aplicarlles unha certa operación e logo descifrar o resultado produce a mesma resposta que se se aplica a operación análoga ós datos sen cifrar. O obxectivo do proxecto é o estudo deste tipo de cifrado, que adquiriu gran importancia últimamento debido ó desenvolvemento da "computación na nube" (cloud computing). En particular, estudaranse os esquemas de cifrado de Goldwasser-Micali e de Paillier, que son homomórficos no senso de que a función de descifrado é un homomorfismo de grupos e analizarase a súa aplicación ós esquemas de votación electrónica.

Recomendacións

(non vinculantes) É recomendable cursar as materias “Códigos correctores e criptografía” e “Álxebra, números e xeometría”.

Título Probas automáticas de teoremas xeométricos Titor/a Manuel Ladra González

O obxectivo deste TFG é aplicar a técnica das bases de Gröbner no estudo das probas automáticas de teoremas xeométricos.

Xa que as hipóteses dun teorema xeométrico se poden expresar como ecuacións polinómicas relacionando as coordenadas cartesianas de puntos no plano euclidiano, entón os teoremas xeométricos poden ser expresados como polinomios no ideal xerado polas hipóteses.

É recomendable cursar a materia "Álxebra, Números e Xeometría".

Título Visualizando superficies alxébricas Titor/a Manuel Ladra González

Surfex e Surfer son dous excelentes ferramentas de software libre para a visualización de curvas e superficies alxébricas. Surfer foi utilizada para construír as belas imaxes expostas na exposición RSME-Imaginary-Santiago celebrada en Santiago de Compostela no ano 2013.

O obxectivo deste TFG é que o alumno aprenda a manexar o devandito software e poida representar as

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devanditas imaxes.

Recomendacións

(non vinculantes) É recomendable cursar a materia "Álxebra, Números e Xeometría".

Título Módulos proyectivos sobre anillos de polinomios.

Titor/a Leovigildo Alonso Tarrío

El objetivo de este trabajo es edstudiar las demostraciones elmentales del celebrado teorema de Quillen-Suslin según el cual todo módulo proyectivo (i.e. sumando directo de un módulo libre) sobre un anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo es libre, hecho sencillo cuando el número de variables es 1 y conjeturado por Serre en general.

Referencia básica: Lam, T. Y.; Serre's problem on projective modules. Springer Monographs in Mathematics.

Springer-Verlag, Berlin, 2006.

Recomendacións

(non vinculantes) Haber superado y comprendido los contenidos de la asignatura “Estructuras algebraicas”, en especial las propiedades básicas de los módulos sobre un anillo conmutativo unitario.

Código AL11_16 Área de coñecemento Álgebra

Título Formas cuadráticas Titor/a Javier Majadas Soto

Formas cuadráticas sobre cuerpos, estudiando especialmente el caso de cuerpos finitos, p-adicos y racionales, y sus anillos de Witt.

Será necesario estudiar:

W. Scharlau, Quadratic and Hermitian Forms, capítulos 1 y 2.

J.-P. Serre, Cours d’arithmétique / A course in arithmetic, capítulos I a IV.

Más detalles sobre esta propuesta de TFG pueden verse en:

http://webspersoais.usc.es/persoais/j.majadas/

Una buena formación en Álgebra es muy recomendable. En particular se recomienda soltura con los contenidos de las asignaturas ”Estructuras Algebraicas”, “Ecuaciones Algebraicas” y “Álgebra, Números y Geometría”

(pudiendo cursar esta última simultáneamente).

Código AL12_16 Área de coñecemento Álgebra

Título Teoremas Fundamentales de la Geometría Afín y Proyectiva Titor/a María Jesús Vale Gonsalves

El propósito de este trabajo es estudiar los teoremas fundamentales de la geometría afín y proyectiva que afirman que dados dos espacios afines (proyectivos) de igual dimensión finita n”maior”2, sobre dos cuerpos K y K’ con mas de dos elementos, toda biyección entre ellos que lleve tres puntos alineados en tres puntos no alineados, es un isomorfismo semi-afín (semilineal proyectivo).

Se introducirán previamente nociones tales como aplicación semilineal, aplicación semi-afín, espacio proyectivo, aplicación semilineal proyectiva y encaje de un espacio afín en un espacio proyectivo.

Título Los códigos de Reed-Solomon y el disco compacto Titor/a Nieves Rodríguez González

Se hace un estudio de los códigos de Reed-Solomon y de las diferentes técnicas que entran en juego en la codificación de los discos compactos.

Recomendacións

(non vinculantes) Haber cursado “Ecuacións alxébricas” y cursar “Códigos Correctores e Criptografía”.

Código AL14_16

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Área de coñecemento ALXEBRA

Título Superficies algebraicas racionales: la superficie de Veronese y sus proyecciones.

Titor/a Manuel PEDREIRA PÉREZ

Los ejemplos más habituales de curvas y superficies manejados por un estudiante en el estudio de la geometría (diferencial mayoritariamente) e incluso en ciertas partes del Análisis Matemático dentro del Grado de

Matemáticas, son curvas y superficies parametrizadas. Estos ejemplos corresponden a lo que se llaman curvas y superficies racionales. En la literatura matemática de finales del siglo XIX y principios del XX, la mayoría de los trabajos clásicos sobre esta disciplina se centraron en describir ejemplos de tales curvas y superficies y, por razones obvias de calcular explícitamente sus ecuaciones, se estudió el caso algebraico. En este trabajo se estudian tales ejemplos poniendo mayor énfasis en el caso 2-dimensional de superficies algebraicas racionales.

A principio del siglo XX, E. Bertini estableció un punto de vista que ha llegado hasta nuestros dias. Una superficie racional se corresponde con una imagen homeomorfa de un abierto en el plano proyectivo, trabajando con la topología en donde los cerrados vienen definidos por ecuaciones polinómicas homogéneas. La manera explícita de construir estas superficies dió lugar al concepto de “sistema lineal de curvas” y mediante él se generalizaron las llamadas superficies de Veronese que son las realizaciones proyectivas del sistema lineal y completo de las cónicas del plano proyectivo en un espacio proyectivo de dimensión superior y sus sucesivas proyecciones. Este trabajo de fín de grado introduce al estudiante en el mundo de la Geometría Proyeciva haciéndole manejar no sólo conceptos de Algebra Lineal que se aplican para comprender esa disciplina, sino también para ilustrar conceptos de geometría diferencial como inmersión, diferencial de una aplicación entre superficies, que surgen al estudiar las realizaciones proyectivas del plano proyectivo como superficies racional en un espacio proyectivo de dimensión superior. Después de estudiar algunas consideraciones generales, el trabajo se centra en el estudio de la superficie de Veronese V_2 en el espacio proyectivo P^5, y sus

proyecciones a P^4 y P^3. El estudio de la variedad secante de V_2, permite un criterio geométrico interesante para decidir cuando una proyección es una inmersión; es decir, un homeomorfismo en su imagen y siendo sus diferenciales en todo punto isomorfismos. Se ilustra el concepto de sistema lineal de curvas planas de grado dado y la manera en que éste da información sobre la inmersión, e incluso la forma en que aparecen elementos singulares en la superficie proyectada.

Código AL15_16

Título Módulos de cocientes Titor/a María Purificación López López

Se trata del estudio de la localización de módulos sobre anillos arbitrarios y de obtener como caso particular la localización de módulos sobre anillos conmutativos. Para alcanzar este objetivo se comenzará con el estudio de la localización en el caso conmutativo analizando sus principales propiedades. A continuación se estudiarán los módulos inyectivos que son la herramienta que permitirá abordar el caso general.

Código AL16_16

Título Módulos planos. Teorema de Lazard Titor/a Antonio García Rodicio

Estudio de los módulos planos, comenzando por el producto tensorial, requisito indispansable para la definición de tales módulos, y llegando hasta el teorema de Lazard, que afirma que los módulos planos son exactamente los límites directos de módulos libres de tipo finito.

Recomendacións

(non vinculantes) Tener un buen dominio del contenido de la asignatura Estructuras Algebraicas.

Código AL17_16

Título O problema da extensión en módulos Titor/a Rosa María Fernández Rodríguez Breve descrición do

contido

Introdución ás nocións e propiedades básicas de módulos e á linguaxe de categorías, estudando os conceptos e construcións necesarios para aborda-lo problema da extensión en módulos.

Recomendacións

(non vinculantes) Ter superada-las materias Estruturas Alxebraicas e Ecuacións Alxebraicas.

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Código AN01_16

Área de coñecemento Análise Matemática

Título Medidas de Borel. Teorema de representación de Riesz.

Titor/a Miguel Antonio del Río Vázquez Breve descrición do

contido

Trátase dunha introdución á integración dende o punto de vista funcional, no contexto dos espazos topolóxicos localmente compactos.

Código AN02_16

Título Introdución á diferenciación en espacios normados: Os teoremas da aplicación inversa e da aplicación implícita.

Titor/a Miguel Antonio del Río Vázquez Breve descrición do

contido

No grao de Matemáticas considérase a diferenciación en espazos euclídeos, como primeira aproximación ós conceptos do calculo diferencial. A proposta que facemos

consiste en considerar unha breve introdución do cálculo diferencial ós espazos de dimensión infinita, centrándose nos teoremas da inversa e da implícita

Código AN03_16

Título Do teorema de Bolzano ao teorema de Schauder: unha incursión na Teoría do Grao Topolóxico Titor/a Rubén Figueroa Sestelo

Desde o bacharelato é ben coñecido por todos o teorema de Bolzano, que permite garantir a existencia de raíces dunha ecuación nun determinado intervalo. Moitos problemas matemáticos poden reducirse en último termo á busqueda de raíces de ecuacións, pero o teorema de Bolzano non ten sentido cando traballamos en espazos de varias dimensións ou, incluso, de dimensión infinita. O propósito deste traballo será buscar ferramentas que xeneralicen este teorema ao conexto finito dimensional e infinito dimensional, o que nos levará a falar sobre os graos topolóxicos de Brower e de Leray – Schauder.

Recomendacións

(non vinculantes) Serán necesarios os contidos relativos á materia “Diferenciación de funcións de varias variables reais”. Tamén é recomendable, mais non necesario, ter algunhas nocións de Análise Funcional.

Código AN04_16

Título Funcións de variación acotada e funcións absolutamente continuas Titor/a Rubén Figueroa Sestelo

O obxectivo deste traballo será realizar unha introdución ás funcións de variación acotada e absolutamente continuas, coñecer as súas principais propiedades e chegar á demostración do Teorema Fundamental do Cálculo para a integral de Lebesgue.

Ter superadas as materias “Series funcionais e integración de Riemann en varias variables reais” e “Cálculo vectorial e integración de Lebesgue”.

Código AN05_16

Título Curiosidades en Teoría da Medida Titor/a Alberto Cabada Fernández Breve descrición do

contido

Trátase de obter conxuntos e funcións que verifican propiedades moi particulares relacionadas coa teoría da medida.

Definiranse funcións e conxuntos que porán de manifesto a relación da teoría da medida coa continuidade de funcións, así como entre as integrais de Riemann e Lebesgue.

Bos coñecementos de teoría da medida e da integración.

Código AN06_16

Título Solucións de EDO por medio de series de potencias: Funcións especiais da Física Matemática.

Titor/a Alberto Cabada Fernández

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Breve descrición do

contido Trátase de estudar a resolución ecuacións diferenciais ordinarias con coeficientes polinomiais.

Aplicarase a teoría desenrolada a ecuacións particulares da Física Matemática (Hermite, Euler, Chebyshev,....).

Bos coñecementos de teoría de series de potencias e de EDO.

Código AN07_16

Título A integral de Lebesgue según Riesz Titor/a Rodrigo López Pouso

A opción máis extendida no ensino da integral de Lebesgue é a orixinal do propio Lebesgue: comézase introducindo a medida de Lebesgue e defínese, a partir dela, o concepto de integral no sentido de Lebesgue.

Probablemente a opción máis simple para definir dita integral sexa a debida a Frederic Riesz, que comeza coa integración directa das funcións escalonadas (constantes en intervalos) e na que o concepto de medida de Lebesgue pode definirse facilmente ao final, cando xa dispoñemos da integral. Neste traballo farase unha descrición da teoría da integración de Lebesgue seguindo as ideas de Riesz.

Bos coñecementos de Integración de Lebesgue.

Código AN08_16

Título A integral de Lebesgue según Lax Titor/a Rodrigo López Pouso

A opción máis extendida no ensino da integral de Lebesgue é a orixinal do propio Lebesgue: comézase introducindo a medida de Lebesgue e defínese, a partir dela, o concepto de integral no sentido de Lebesgue.

Neste traballo levarase a cabo a construción da integral de Lebesgue recentemente descrita por Lax (Premio Abel no 2005) que consiste en completar topolóxicamente espazos de funcións continuas con normas dadas por integrais de Riemann.

Recomendacións

(non vinculantes) Bos coñecementos de Integración de Lebesgue e Topoloxía.

Código AN09_16

Título Elaboración de recursos co ordenador para a comprensión de conceptos e resultados relativos á Análise Matemática

Titor/a Rosa Mª Trinchet Soria

O obxectivo principal deste traballo, cunha importante compoñente didáctica, é a elaboración de procedementos informáticos que ilustren, principalmente (mais, se cadra, non unicamente) a través da visualización, algúns dos principais conceptos e/ou resultados da Análise Real e/ou Complexa, preferentemente os referidos a Funcións, Diferenciación, Integración e distintas nocións de Converxencia de Sucesións e Series funcionais, etc.).

Naturalmente, as tarefas de programación conlevarán unha análise previa das principais propiedades e resultados que se intenten ilustrar cos programas realizados, así como unha reflexión sobre aqueles aspectos que poidan ser máis significativos para a ilustración. Cando proceda, compaxinaranse as competencias propias do desenvolvemento dos contidos do traballo con algunhas outras competencias da Memoria de Grao (principalmente, coa relacionada co coñecemento da evolución histórica dos conceptos).

Recomendacións

(non vinculantes) Os procedementos informáticos mencionados elaboraranse co programa MAPLE.

Código AN10_16

Título Introdución á Teoría da Medida e Integración abstractas Titor/a Rosa Mª Trinchet Soria

Segundo o propio H. Lebesgue indicaba hai máis ou menos un século, a Física leva, de xeito natural, á consideración de funcións de conxunto, como, por exemplo, masa, cantidade de calor, cantidade de electricidade, etcétera. As medidas abstractas (positivas, reais, …) sirven para dar forma a estas funcións de conxunto. O obxectivo do traballo é iniciar o estudo da Teoría da Medida e Integración en abstracto, que se desenvolve nos denominados espazos de medida, que poden ser considerados en distintos contextos.Trala introdución das nocións e estruturas básicas apropiadas (medida, espazo de medida, integral respecto dunha medida,...) e a consideración dalgúns dos principais resultados, prestaremos atención ás medidas definidas a través de “integrais respecto a medidas”, ás que fan referencia as distintas versións dun dos resultados fundamentais da teoría.

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Código AN11_16

Título Unha introdución á teoría das inclusións diferenciais Titor/a Rosana Rodríguez López

Trátase de realizar unha primeira aproximación á teoría das inclusións diferenciais en espazos vectoriais de dimensión finita. Con esta finalidade, será preciso manexar a noción de solución, o concepto de viabilidade, así como estudar resultados relativos á existencia de solución e ás principais propiedades da aplicación solución.

Presentaranse algúns exemplos concretos, como o caso das inclusións diferenciais lineais.

Ter superadas as materias

Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias

Series Funcionales e Integración de Riemann en Varias Variables Reales Ecuacións Diferenciais Ordinarias

Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico Código AN12_16

Título Semigrupos de operadores lineais e aplicacións Titor/a Rosana Rodríguez López

O traballo pretende realizar un percorrido por algunhas cuestións básicas sobre a teoría dos semigrupos de operadores lineais, así como a súa aplicación á resolución de ecuacións diferenciais. Considerarase a motivación da propiedade de semigrupo, as nocións de semigrupo fortemente continuo e uniformemente continuo, e a relación entre o semigrupo e o operador lineal, presentando algúns exemplos relacionados coa resolución de ecuacións en derivadas parciais.

Ter superadas as materias

Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias Ecuacións Diferenciais Ordinarias

Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais Código AN13_16

Título Algunhas aplicacións en Análise Matemática de Teoremas de punto fixo.

Titor/a Fernando Costal Pereira

A actual configuración do plan de estudos do Grado en Matemáticas fai que, por falta de tempo, algúns dos resultados que son básicos non soamente na Análise Matemática senón tamén noutras áreas das matemáticas, sexan vistos e utilizados con frecuencia ao longo dos estudos do grado pero non demostrados (teorema das funcións. implícitas, teorema da inversa, regularidade do fluxo asociado a un campo de vectores, etc.).

O obxectivo de leste traballo fin de grado é o de completar este estudo. Para iso, comezarase por ver algún dos distintos teoremas de punto fixo, técnica usada habitualmente na proba de moitos teoremas de existencia, e facendo uso desa ferramenta demostrar algúns deses resultados esenciais en matemáticas.

Coñecer e manexar con soltura, os diferentes temas estudados nas materias de Análise matemática do grado en matemáticas.

Código AN14_16

Título Algunhas aplicacións das Ecuacións Diferenciais.

Titor/a Fernando Costal Pereira

Moitos modelos matemáticos que permiten obter información sobre a evolución de diferentes problemas da vida real inclúen ecuacións diferenciais. O obxectivo deste traballo consiste en estudar a dinámica dalgúns procesos, modelados por medio de ecuacións diferenciais, vinculados a distintas ramas do saber. Preténdese, facendo uso de ferramentas matemáticas vistas nas materias de ecuacións diferenciais do grado en matemáticas (existencia e unicidade de solución, dependencia dos datos iniciais, estabilidade, diagramas de fases, etc.) obter información, a partires do modelo, sobre o proceso considerado co fin de poder predicir o posible comportamento do sistema en estudo.

Coñecer e manexar con soltura, os diferentes temas estudados nas materias de Ecuacións Diferenciais do grado en matemáticas.

Código AN15_16 Área de coñecemento Análise Matemática

Título Introdución á dinámica discreta unidimensional

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Titor/a M. Victoria Otero Espinar

A teoría de sistemas dinámicos discretos espertou gran interese na segunda metade do século XX motivada, en parte, pola dinámica complicada e pouco predicible que presentan modelos relativamente sinxelos.

O obxectivo deste traballo é realizar unha introdución aos sistemas dinámicos discretos definidos a partir de aplicacións continuas do intervalo. O traballo centrarase principalmente en certos aspectos de estabilidade local e global dos seus puntos fixos e órbitas periódicas. Completarase o traballo coa presentación dalgún exemplo.

Recomendacións (Non vinculantes)

Título Diferenciabilidade en espacios de Banach Titor/a Juan José Nieto Roig

Concepto de espacio normado. Espacios de Banach.

Algúns espacios de Banach notables.

Cálculo en espacios de Banach.

Ter cursado a materia de “Análise Funcional en Espacios de Hilbert” do grao en Matemáticas.

Título O Teorema do punto fixo de Brouwer para funcións holomorfas Titor/a Juan José Nieto Roig

E ben coñecido que toda función continua dun intervalo compacto da recta real en si mesmo ten un punto fixo. A extensión deste resultado a dimensións superiores é o famoso Teorema de Brouwer.

Probarase dito resultado para á bola unidade do plano complexo e para funcións diferenciables.

Código AST01_16

Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica

Título Cálculo de órbitas no Sistema Solar. Método de Gauss Titor/a José Ángel Docobo Durántez

Logo de expoñer tanto a versión orixinal de Gauss coma unha nova, trátase de programar este método clásico para aplicalo a casos concretos e mesmo estudar a operatividade do mesmo utilizando distintos conxuntos de datos de observación

Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica

Título Cálculo de órbitas no Sistema Solar. Método de Laplace Titor/a José Angel Docobo Durántez

O método de Laplace é un dos clásicos para o calculo de órbitas a partires de tres observacións angulares.

Logo de describir os elementos orbitais e os escenarios de aplicación, trátase de desenvolver polo miúdo e mesmo programar este método co obxecto de poder aplicalo a casos concretos e analizar os resultados tendo en conta distintos datos de observación.

Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica Título Calendarios

Titor/a Josefina F. Ling

A humanidade necesita referir cronoloxicamente os seus acontecementos. O calendario constitúe unha referencia indispensable para ordenalos. Estudarase a xéneses e a evolución destas estruturas a partir dos fenómenos astronómicos que rexen a nosa vida civil.

- Tipos de calendarios: lunares, solares, lunisolares - Análise histórico do calendario gregoriano.

- Calendarios noutras culturas

- Escalas continuas de tempo.Transformacións.

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Recomendacións

(non vinculantes) Haber cursado a materia de Fundamentos de Astronomía Código AST04_16

Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica Título Precesión e Nutación Titor/a Josefina F. Ling

Causas e consecuencias destes fenómenos astronómicos.

Analizarase a formulación necesaria para corrixir as perturbacións que provocan nos planos fundamentais dos sistemas de coordenadas astronómicas.

Un percorrido do seu tratamento ao longo da historia, dende o século II a.c. ata o último modelo de precesión- nutación adoptado pola Unión Astronómica Internacional, será levado a cabo.

Haber cursado a materia de Fundamentos de Astronomía

Código EST01_16

Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa

Título Modelización matemática en problemas de logística usando AMPL Titora Balbina Virginia Casas Méndez

Se propone un trabajo de naturaleza fundamentalmente aplicada. En primer lugar, se realizará una introducción al lenguaje AMPL, de utilidad en el modelado y resolución de problemas de optimización. A continuación, se presentarán algunos problemas tomados de la logística agraria, que serán enmarcados teoricamente junto con posibles algoritmos de resolución, para después ser modelados haciendo uso del lenguaje presentado en la primera parte. Finalmente, se resolverán algunos casos de los problemas, haciendo uso de herramientas de uso gratuíto y que son accesibles desde el servidor NEOS de optimización.

Título Modelos de investigación operativa en problemas de gestión de inventarios Titora Balbina Virginia Casas Méndez

Se plantea el problema de decisión de una empresa que debe de gestionar cuándo y cómo reabastecer su inventario con el objetivo de minimizar costes. Se presentan diversos modelos, tanto determinísticos como probabilísticos, y los resultados principales que permiten dar respuesta a la cuestión planteada. Se revisará también la librería de R SCperf que implementa diferentes modelos de inventario. Finalmente, se introducen los llamados juegos de inventario, que aparecen cuando varias empresas se plantean cooperar al efectuar pedidos y en consecuencia se generan ahorros.

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Título Correlación estatística

Titor/a Rosa M. Crujeiras Casais

Neste traballo preténdese que a/o alumna/o afonde no concepto de “correlación” estatística, en distintos contextos. En concreto, o traballo incluirá:

1. Unha revisión do concepto de correlación. Correlación e asociación. Correlación e independencia.

Estimación e contrastes sobre a correlación.

2. Correlación e regresión. Coeficientes de correlación en regresión múltiple.

3. Correlación secuencial. Estimación e contrastes. Tests de Portmanteau.

4. Correlación espacial. Estimación e contrastes. I de Moran e C de Geary.

Nas distintas seccións, realizarase unha revisión dos conceptos teóricos, aplicaranse as técnicas de estimación e contrastes sobre datos simulados e empregaranse exemplos de datos reais para ilustrar as ferramentas introducidas. Para a parte de simulación e de datos reais utilizarase R.

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa

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Título Regresión segmentada Titor/a Rosa M. Crujeiras Casais

A regresión segmentada (ou regresión por anacos) é un método de regresión no que a variable (ou variables) independente segméntase en intervalos sobre os cales se axustan distintas rectas de regresión. Este método é de utilidade cando o patrón de crecemento da variable explicativa con respecto á resposta ten distinta velocidade dependendo dos valores da variable explicativa. En concreto, neste traballo a/o alumna/o revisará os seguintes aspectos:

1. Introdución á regresión segmentada.

2. Correlación en regresión segmentada.

3. Estimación e contrastes en regresión segmentada.

4. Detección de puntos de ruptura.

Ademais dos conceptos teóricos, realizarase un estudo de simulación para ver o funcionamento dos estimadores por mínimos cadrados adaptados a este contexto (utilizando o paquete segmented de R). O traballo complementarase cunha ilustración con datos reais.

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Título Modelización estatística espacial: Kriging Titor/a Manuel Febrero Bande

O obxectivo deste traballo é desenvolver a creación de mapas de predicción espacial a partires de datos xeoestadísticos. O traballo consistirá nunha introducción amigable aos procedementos de estatística espacial e a súa aplicación a datos do entorno galego.

Recomendacións

(non vinculantes) Soltura co paquete estatístico R Código EST06_16

Título Modelización financeira: Estimación de Portfolio Titor/a Manuel Febrero Bande

O obxectivo deste traballo é presentar e aplicar a metodoloxía para a creación de Portfolios de inversión óptimos. O traballo consistirá nunha introdución amigable ás técnicas financeiras e de optimización lineal para a súa aplicación á datos do IBEX35.

Programación Lineal e Enteira e soltura co paquete estatístico R.

Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa Título El Análisis Discriminante no paramétrico Titor/a Wenceslao González Manteiga

Se trata de revisar las reglas discriminantes tipo Bayes y aplicadas al caso de poblaciones normales, para luego extenderlas al caso en el que las distribuciones de las poblaciones sean totalmente desconocidas. Guión aproximado del estudio:

1) Optimalidad en el Análisis Discriminante 2)Reglas discriminantes lineales y cuadráticas

3)Reglas no paramétricas: Vecinos mas cercanos y SVMs 4)Estudio comparativo de simulación

5)Ilustración en bases de datos reales Recomendacións

(non vinculantes) Haber cursado la asignatura optativa de Modelos de regresión y Análisis Multivariante de cuarto curso Código EST08_16

Título Técnicas de aprendizaje estadístico en el contexto de "Big Data".

Titor/a Wenceslao González Manteiga Breve descrición do

contido

Se trata de estudiar las técnicas de aprendizaje estadístico mas importantes y de referencia,tanto para variables de respuesta continua como de respuesta discreta y el papel que juegan dichas técnicas en el moderno contexto del "Big Data".

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Guión aproximado:

1) Técnicas de aprendizaje para respuesta discreta.

2) Técnicas de aprendizaje para respuesta continua.

3) Análisis del papel que juegan estas técnicas en el contexto actual del llamado "Big Data".

4)Ilustración en bases de datos reales Recomendacións

(non vinculantes) Haber cursado la asignatura optativa de Modelos de regresión y Análisis Multivariante de cuarto curso Código EST09_16

Título Técnicas de aprendizaxe estatística: clasificación mediante regresión loxística Titor/a Beatriz Pateiro López

Nos últimos anos, fenómenos como a dixitalización dos negocios ou a proliferación das redes sociais, están a facer que se xeren grandes cantidades de datos (un novo concepto que deu en denominarse Big Data). As dificultades máis habituais nestes casos céntranse en distintos aspectos como son a captura, o almacenamento e a análise e visualización deses datos masivos.

Estes fenómenos requiren unha formación ampla en técnicas de aprendizaxe estatística. Neste traballo preténdese que o alumno profunde en técnicas predictivas que sexan eficientes en problemas de alta dimensionalidade. En concreto, un dos métodos habituais para tratar problemas de clasificación é a regresión loxística. En regresión loxística, se modeliza a probabilidade dun proceso binomial como a función loxística dunha combinación lineal dunha ou varias variables dependentes. Neste traballo se pretende que o alumno faga unha revisión exhaustiva deste modelo, das súas propiedades e aplicacións

Textos básicos:

G. James, D. Witten, T. Hastie, y R. Tibshirani, An Introduction to Statistical Learning with Applications in R.

Springer, 2013.

T. Hastie, R. Tibshirani, y J. Friedman, The elements of statistical learning. Springer, 2009.

Título Métodos de regresión lineal regularizada: Regresión lineal Ridge Titor/a Beatriz Pateiro López

Os modelos de regresión intentan describir e predecir o comportamento dunha variable a partir dun conxunto de variables que, a priori, poderían estar asociadas con ela. O modelo de regresión lineal é un dos enfoques máis sinxelos e habituais e a súa estimación usual é polo método de mínimos cadrados. Estes estimadores non resultan adecuados, por exemplo, en situacións de alta dimensionalidade. Entre as solucións plantexadas a este problema están os métodos de regresión lineal regularizada. Neste traballo se pretende que o alumno faga unha revisión deste tipo de métodos, en particular do método de regresión lineal Ridge, das súas propiedades e aplicacións.

Textos básicos:

G. James, D. Witten, T. Hastie, y R. Tibshirani, An Introduction to Statistical Learning with Applications in R.

Springer, 2013.

T. Hastie, R. Tibshirani, y J. Friedman, The elements of statistical learning. Springer, 2009.

Título Implementación del método de las submatrices Titor/a José Manuel Prada Sánchez

Se trata de presentar una breve introducción a la Teoría de Juegos, deteniéndose en el análisis de los juegos matriciales, para describir sobre ellos el método de las submatrices (que se basa en la caracterización de los puntos extremos de los conjuntos de estrategias óptimas de los jugadores), y realizar su implementación con el software estadístico R. Puede ilustrarse todo con ejemplos basados en datos reales, y comprobar que la programación lineal proporciona una solución sólo parcial al problema de dicha caracterización.

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Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa Título Juegos Estocásticos

Titor/a José Manuel Prada Sánchez

Se trata de presentar una breve introducción a la Teoría de Juegos, resumiendo el análisis de juegos en forma estratégica, para abordar la presentación de los juegos estocásticos. Éste es un tema de carácter

fundamentalmente teórico del que se pretende que el alumno haga una aproximación conceptual e ilustrativa con ejemplos adecuados.

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Título Mixturas de distribucións

Titor/a Alberto Rodríguez Casal

Unha mixtura de varias distribucións defínese como a combinación lineal convexa destas distribucións . As mixturas proporcionan un modelo natural para poboacións que presentan varios grupos diferenciados. Por exemplo na variable altura teríamos os grupos muller e home y é natural presentar un modelo que combine as distribucións en cada grupo. Estes traballo centraríase en ofrecer unha revisión do tema, incluíndo aplicacións prácticas, aspectos computacionais, abordando o problema de estimación dos parámetros.

Referencia:

Titterington, D. M., Smith, A. F. M. y Makov, U. E. (1985). Statistical analysis of finite mixture distributions. Wiley.

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Título Os segredos da normal

Titor/a Alberto Rodríguez Casal

Neste traballo descubrirás todo o que sempre quixeches saber sobre a normal e nunca te atreviches a preguntar. É unha distribución de probabilidade que pola súa importancia xa se introduce no primeiro curso do grao. Sen embargo moitas das súas propiedades non son presentadas ao longo dos estudos de grao. Neste traballo preténdese facer unha revisión sobre a orixe histórica desta distribución, as razóns do seu papel protagonista dentro da estatística e as súas principais características. Abordaranse tamén diferentes posibilidades de obtención de datos normais e a súa aplicabilidade en diversos ámbitos científicos.

Bibliografía

Bryc W. (1995) The normal distribution. Characterization with applications. Lecture Notes in Statistics, 100.

Springer.

Mathai, A.M. y Pederzoli G. (1977) Characterizations of the normal probability law. Wiley Eastern Limited.

Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa Título Inferencia sobre cuantís

Titor/a César Sánchez Sellero, Mercedes Conde Amboage

Os cuantís veñen acadando cada día unha maior atención na Estatística, como consecuencia da súa capacidade para describir de maneira máis completa a distribución dunha variable, tanto nas súas posicións centrais como en posicións superiores ou inferiores. Ademais, mentres que a media é moi sensible a datos atípicos, os cuantís son medidas robustas, que se adaptan a toda clase de situacións, sen necesidade de supoñer que os datos proveñen dunha distribución normal. Neste traballo imos completar o estudo dos cuantís, non só como medidas descritivas, senón estudando tamén as tarefas básicas de Inferencia, como son a estimación, os intervalos de confianza e os contrastes de hipóteses. A título orientativo, o traballo podería estruturarse nas seguintes seccións:

1) O cuantil como medida descritiva e as súas propiedades principais.

2) Distribución exacta e asintótica do cuantil mostral.

3) Estimación do erro típico do cuantil mostral.

4) Intervalos de confianza para cuantís.

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5) Contrastes de hipóteses sobre cuantís.

En cada sección ilustraranse os métodos con representacións gráficas, ou táboas coas propiedades dos métodos, obtidas con datos simulados ou reais, todo elo mediante o software R.

Título Estimación del error típico en contrastes de hipótesis Director/a César Sánchez Sellero

En el problema de contraste de una proporción, lo más habitual es estimar el error típico, que aparece en el denominador, utilizando la proporción conjeturada. En este trabajo, analizaremos qué es mejor: estimar el error típico utilizando la proporción conjeturada o utilizando la proporción muestral. Debemos observar que para el contraste de la media de una población normal, el error típico se estima sin tener en cuenta la media conjeturada.

Análogamente, para la comparación de dos proporciones, la estimación del error típico puede realizarse asumiendo que las dos proporciones son iguales o sin asumir esta condición.

Esta cuestión se puede extender al problema de estimación de la información de Fisher en un test de razón de verosimilitudes (¿bajo la nula o bajo la alternativa?), o en general a la estimación de la varianza del estadístico de contraste, por ejemplo en tests no paramétricos de bondad de ajuste.

Nos centraremos en las situaciones más sencillas e intentaremos dar una respuesta a través de la revisión bibliográfica y de estudios de simulación.

Título Estimación con datos censurados por intervalos Titor/a César Sánchez Sellero

Los datos censurados por intervalos surgen cuando no conocemos el valor exacto de la variable de interés, sino únicamente que pertenece a cierto intervalo. Este problema es bastante frecuente en estudios de tiempos de vida, por ejemplo, tiempos desde el nacimiento hasta la muerte, desde la infección a la enfermedad, desde la instalación de un aparato hasta que deja de funcionar.

Al estudiar tiempos de vida, necesitamos registrar un instante inicial y un instante final. Para ello, sería necesario hacer un seguimiento continuo de la vida del individuo. Como eso no siempre es posible, es habitual que se hagan observaciones puntuales del individuo (detección de anticuerpos, en el caso de una enfermedad infecciosa) en intervalos prefijados. Como resultado, el observador sólo llega a conocer que la enfermedad se ha desarrollado en cierto intervalo.

Para estimar la función de distribución con este tipo de datos, se emplea el método de máxima verosimilitud. Sin embargo, el estimador de máxima verosimilitud con datos censurados por intervalos no tiene forma explícita, sino que se calcula aplicando un algoritmo EM, que está implementado en varios paquetes de R.

Estudiaremos este estimador y sus propiedades principales, acompañándolo de ejemplos simulados y datos reales.

Código MA01_16

Área de coñecemento Matemática Aplicada

Título Resolución de modelos de fluxo de gas nun conducto Titor/a Alfredo Bermúdez de Castro

Trátase de analizar e resolver analítica ou numericamente os modelos que rexen o fluxo de gas nun conducto en réximes estacionario e transitorio. Trátase de ecuacións diferenciais ou en derivadas parciais cunha dimensión.

Estudiaranse tamén os casos particulares isotermo e isentrópico Recomendacións

(non vinculantes)

Código MA02_16

Título Modelos electromagnéticos de parámetros concentrados: análise matemática e numérica

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Titor/a Alfredo Bermúdez de Castro Breve descrición do

contido Introdución de modelos lineares ou non lineares de parámetros concentrados para unha rede eléctrica. Análise e resolución numérica de diferentes formulacións.

Código MA03_16

Título Unha introdución á interpolación por funcións spline Titor/a Carmen Rodríguez Iglesias

No terceiro tema da materia de Cálculo numérico nunha variable faise unha introdución á interpolación e, en particular, ao problema de interpolación polinómina de Lagrange. Debido ás oscilacións que manifestan os polinomios ao ir aumentando o seu grao (comportamento nada desexable na aproximación de funcións razoablemente regulares), en vez de interpolar unha función f nun intervalo [a b] onde están os nodos mediante un polinomio de alto grao (n grande), é mellor dividir dito intervalo en subintervalos e interpolar f en cada un deses subintervalos por polinomios de baixo grao. Así, a función resultante é continua e interpola tódolos datos.

Isto é o que se chama interpolación polinómica a trozos.

O caso máis sinxelo de interpolación polinónica a trozos é a interpolación linear a trozos: búscase unha función q continua en [a, b] de forma que q(xi)=f(xi) , i=0,...,n e tal que restrinxida a cada subintervalo [xi,xi+1] sexa un polinomio de grao menor ou igual que 1. Graficamente, a función q é o resultado de unir mediante segmentos os puntos (xi,f(xi)), i=0,..,n. Na interpolación polinómica a trozos os polinomios únense con continuidade, de modo que a función q resultante é continua, aínda que pode non ter derivadas continuas nalgúns puntos. Isto corríxese coa interpolación con funcións spline, que é en certo modo un procedemento intermedio entre os dous casos anteriores (interpolación con n grande e interpolación a trozos) e que pode ademais mellorar a aproximación, xa que permite obter unha función interpolante globalmente regular

O obxectivo deste traballo é, previa enmarcación do tema, realizar unha introdución ao estudo da interpolación con splines e deterse nos splines cúbicos.

Código MA04_16

Título Resolución de ecuacións numéricas non lineares. Unha introdución aos métodos híbridos.

Titor/a Carmen Rodríguez Iglesias

No segundo tema da materia Cálculo numérico nunha variable preséntanse os métodos clásicos de dicotomía, iteración funcional simple e o método de Newton-Raphson para aproximar as raíces dunha ecuación numérica non linear. Neste traballo trátase de recoller, ademais, os métodos clásicos de Secante, Regula-Falsi e o método de Müller. Non obstante, estes métodos clásicos nunca se usan de forma aillada debido ás súas debilidades, senón que son acompañados doutros métodos que lles aportan robustez e eficacia. Neste traballo trátase de realizar unha introdución a este tipo de métodos. Ademais, o alumno poderá ter que elaborar algún código en Matlab ao respecto e aplicalo a diversos exemplos.

Código MA05_16

Título Inclusión dunha librería de resolución directa de sistemas nun paquete de resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais

Titor/a Francisco José Pena Brage

As librerías de resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais (EDP) dependen habitualmente de librerías externas para a resolución dos sistemas lineares que aparecen nos algoritmos numéricos empregados. Neste traballo preténdese conectar a librería de resolución directa MUMPS cun paquete de resolución de EDP desenvolvido no departamento de Matemática Aplicada. O traballo consistirá en familiarizarse coa programación do paquete propio, coñecer as opcións de uso do resolvedor de sistemas lineares MUMPS e integrar na programación do paquete propio as chamadas a MUMPS.

Recomendacións

(non vinculantes) O traballo está relacionado cos contidos de Análise Numérica Matricial adquiridos no Grao de Matemáticas. Son importantes os coñecementos sobre a linguaxe de programación Fortran.

Código MA06_16

Título Métodos de Newton y Muller para la aproximación de raíces complejas de ecuaciones Titor/a José A. Alvarez Dios

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Se estudiará desde el punto de vista teórico los métodos mencionados para el cálculo numérico de raíces complejas de ecuaciones polinómicas o no, con coeficientes reales o no, y también desde el punto de vista práctico elaborando códigos para el cálculo efectivo de las raíces que permitan valorar la eficacia de dichos métodos.

Dominio de los métodos clásicos de cálculo de raíces reales, teoría de variable compleja, un paquete de cálculo simbólico, y un lenguaje de programación

Código MA07_16

Título Métodos numéricos de cálculo de raíces reales o complejas de polinomios con coeficientes reales o complejos Titor/a José A. Alvarez Dios

Se estudiará desde el punto de vista teórico los métodos mencionados para la aproximación de raíces reales o complejas de polinomios con coeficientes reales o complejos, y también desde el punto de vista práctico elaborando códigos para el cálculo efectivo de las raíces que permitan valorar la eficacia de dichos métodos.

Dominio de los métodos clásicos de cálculo de raíces reales, teoría de variable compleja, un paquete de cálculo simbólico, y un lenguaje de programación

Código MA-08_16 Área de coñecemento Matemática Aplicada

Título Generación de mallados en 2D: Triangulación de Delaunay combinada con una optimización de los nodos.

Director/a Jerónimo Rodríguez García

De cara a la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales mediante el método de los elementos finitos es fundamental el poder obtener una triangulación de buena calidad del dominio de cálculo.

En el presente trabajo, el alumno estudiará un método de generación de mallados para dominios en dos dimensiones. El método se basará en dos ingredientes fundamentales: i) la triangulación de Delaunay asociada a una nube de puntos contenida dentro del dominio que queremos mallar, ii) un algoritmo de optimización de la posición de los nodos del mallado [1].

En primer lugar el estudiante tendrá que documentarse sobre las propiedades de la triangulación de Delaunay así como seleccionar y programar un algoritmo que proporcione dicha triangulación para una nube de puntos dada. Durante la segunda parte del proyecto se estudiará e implementará la técnica de optimización de nodos presentada en [1].

[1] P.-O. Persson and G. Strang, A simple mesh generator in matlab, SIAM Review, 46 (2004), pp. 329–345 Recomendacións

(non vinculantes)

Se recomienda tener conocimentos básicos de Fortran90.

Código MA09_16

Título Aproximación numérica de integrales de convolución mediante el método de cuadratura de convolución.

Titor/a Jerónimo Rodríguez García

En múltiples aplicaciones se necesita calcular integrales de convolución de dos funciones

El objetivo de este trabajo es la comprensión y programación del método de cuadratura de convolución de cara a aproximar numéricamente este tipo de integrales. La aproximación de la convolución entre dos funciones f y g sobre una malla equiespaciada x = 0, h, 2h, ..., Nh se obtiene mediante la convolución discreta con los valores de g sobre la misma malla. Los pesos de cuadratura se determinan mediante la transformada de Laplace de la función f (función llamada con frecuencia el núcleo de convolución) y un método lineal multipaso.

Una vez se haya comprendido y programado el método para ejemplos sencillos, se tratará de aplicar a la resolución de EDO y EDP. Asimismo se estudiará la convergencia del tal aproximación.

[1] C. Lubich. Convolution Quadrature and Discretized Operational Calculus. I and II. Numerische Mathematik (52) 1988.

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[2] C. Lubich. Convolution Quadrature Revisited. BIT Numerical Mathematics (44) 2004.

Recomendacións

(non vinculantes) Se recomienda que el alumno tenga conocimientos básicos de variable compleja y de métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias.

Código MA10_16

Área de coñecemento Matématica Aplicada

Título Estrategias de pivoteo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Titor/a María Luisa Seoane Martínez

Se trata de elaborar una biblioteca documentada de programas en Fortran 90 para la resolución con métodos de factorización de sistemas de ecuaciones lineales y sus aplicaciones, con especial atención a los aspectos de estabilida numérica.

La memoria incluirá la descripción de los métodos de factorización LU con estrategias de pivote parcial y total, factorizaciones de Crout y Cholesky con elección de pivote en la diagonal y factorización AP=QR, y, entre las aplicaciones, la determinación del rango de una matriz, el cálculo de determinantes y de inversas de matrices cuadradas y la resolución de sistemas sobre y subdeterminados.

Buen nivel de programación en Fortran 90.

Haber superado las asignaturas de Análisis Numérico Matricial y Métodos Numéricos en Optimización y Ecuaciones Diferenciales.

Código MA11_16 Área de

coñecemento

Matemática Aplicada

Título Experimentos numéricos con la ecuación de Fokker-Planck en geometría de laja unidimensional.

Titor/a Óscar López Pouso

1. Ecuación de Fokker-Planck.

2. Simplificación en el caso de geometría de laja unidimensional.

3. Propagación de luz en tejidos biológicos.

4. Programación de un esquema de orden dos.

5. Experimentos numéricos. Orden numérico. Regularidad numérica.

En el TFG se desarrollará de forma especial el punto 5 del programa anterior.

Sin descuidar el resto de sus obligaciones, el tutor se encargará de proporcionar al estudiante la bibliografía necesaria, que está escrita en lengua inglesa.

Código MA12_16

Título Sistemas lineales. Avances fundamentales durante la segunda mitad del s. XX.

Titor/a Óscar López Pouso

Muchos de los métodos numéricos para sistemas lineales que se emplean actualmente tomaron su forma actual tras la publicación de trabajos fundamentales que vieron la luz durante la segunda mitad del s. XX. El alumno deberá estudiar una selección de esos trabajos.

De la siguiente lista, propuesta por el profesor Golub, saldrá el núcleo del TFG (la lista no está cerrada; no será necesario estudiar todos los artículos de la lista):

(1) S. P. Frankel. Convergence rates of iterative treatments of partial differential equations, Math. Tables Aids Comput. 4 (1950) 65-75.

(2) M. R. Hestenes and E. Stiefel. Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems. Journal of Research of the National Bureau of Standards Vol. 49, No.6, December 1952 Research Paper 2379.

(3) D. Young. Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic Type. Transactions of the American Mathematical Society. Vol. 76, No. 1 (Jan., 1954), pp. 92-111.

(4) A. S. Householder. Unitary triangularization of a nonsymmetric matrix. Journal of the ACM (JACM), 1958.

(5) J. H. Wilkinson. Error analysis of direct methods of matrix inversion. Journal of the ACM (JACM), 1961.

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(6) G. H. Golub. Numerical methods for solving linear least squares problems. Numerische Mathematik, 1965.

(7) V. Strassen. Gaussian elimination is not optimal. Numerische Mathematik, 1969.

(8) A. George. Nested Dissection of a Regular Finite Element Mesh. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1973.

(9) P. E. Gill, G. H. Golub, W. Murray and M. A. Saunders. Methods for Modifying Matrix Factorizations.

Mathematics of Computation, 1974.

(10) P. Concus, G. H. Golub, and D. P. O'Leary (1976) "A Generalized Conjugate Gradient Method for the Numerical Solution of Elliptic Partial Differential Equations," in Sparse Matrix Computations, ed.

James R. Bunch and Donald J. Rose, Academic Press, New York, pp. 309-332.

(11) J. A. Meijerink and H. A. van der Vorst. An Iterative Solution Method for Linear Systems of Which the Coefficient Matrix is a Symmetric M-Matrix. Mathematics of Computation, 1977.

(12) R. D. Skeel. Iterative refinement implies numerical stability for Gaussian elimination. Mathematics of Computation, 1980.

(13) Y. Saad and M. H. Schultz. GMRES: A Generalized Minimal Residual Algorithm for Solving Nonsymmetric Linear Sytems. SIAM J. Sci. Stat. Comput., 1986.

Código MA13_16

Título Modelado e simulación numérica do comportamento termo-mecánico de aceiros Director/a Peregrina Quintela Estévez

Trátase de realizar a modelización matemática, e a correspondente simulación numérica do comportamento termo-mecánico dunha estrutura de aceiro incorporando o cambio de fase de austenización, a partir da bibliografía existente. En particular, farase a simulación numérica dalgún sub-proceso involucrado, ben utilizando software existente ou desenrolando un código propio.

Recomendacións

(non vinculantes) Haber cursado as materias de Modelización Matemática e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais.

Código MA14_16

Título Descomposición en valores singulares de una matriz Titor/a Pilar Mato Eiroa

La descomposición en valores singulares (DVS) de una matriz, generalización natural a matrices arbitrarias de la diagonalización unitaria de matrices normales, es una de las herramientas más importantes del Álgebra Lineal Numérica actual. Además de aplicaciones tradicionales como el cálculo de normas, números de condición o rango de una matriz, existen otras aplicaciones más novedosas entre las que se encuentra, por ejemplo, la compresión de imágenes digitales de modo que puedan ser transmitidas de manera eficiente por medios electrónicos. En este trabajo se pretende:

 Analizar la DVS de una matriz.

 Proponer algún algoritmo para calcularla numéricamente e implementarlo en FORTRAN 90 o MATLAB.

 Aplicar la DVS en algún ejemplo.

Bibliografía básica:

J. W. Demmel. Applied Numerical Linear Algebra.SIAM, 1997.

G.H. Golub y C.F. Van Loan. Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, 1996.

G. W. Stewart. On the Early History of the Singular Value Decomposition. SIAM Review, 35:551-566, 1993.

Código MA15_16

Título La matriz inversa de Moore-Penrose Titor/a Pilar Mato Eiroa

La matriz inversa de Moore-Penrose, que existe para cualquier matriz rectangular, supone una generalización muy interesante de la matriz inversa usual, sólo posible para matrices cuadradas no singulares. La introdujo E.