Soluciones exactas y num´ ericas de modelos de difusi´ on con retardo en dominios bidimensionales y no acotados

(1)

DOMINIOS BIDIMENSIONALES Y NO ACOTADOS

Julio Escolano Cerdán

(2)

Soluciones exactas y num´ ericas de modelos de difusi´ on con retardo en dominios bidimensionales y no acotados

Julio Escolano Cerd´ an

Tesis presentada para obtener el grado de DOCTOR POR LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE

Programa de Doctorado en:

Métodos Matemáticos y Modelización en Ciencias e Ingenier´ıa

Dirigida por:

Francisco Rodr´ıguez Mateo, Profesor Titular de Universidad Francisco Vives Maci´a, Catedr´atico de Escuela Universitaria

(3)

(4)

(5)

(6)

Esta Tesis Doctoral ha sido posible gracias a un grupo de personas a las que me gustar´ıa expresar mi agradecimiento:

En primer lugar, a mis directores de tesis Francisco Rodr´ıguez Mateo y Francisco Vives Maciá por su orientación en la elección de la l´ınea de investigación, por proporcionarme los documentos y conocimientos que tan útiles han sido para la elaboración de los art´ıculos que forman parte de este trabajo, por su magn´ıfico esfuerzo en la supervisión y dirección, y por su motivación y aliento para presentarlos.

Este agradecimiento lo hago extensivo también a los profesores del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Alicante, M. Ángeles Castro por su inestimable ayuda en todo el proceso de ela- boración de los art´ıculos y de la tesis y José Antonio Mart´ın Alustiza, director del grupo de investigación Ecuaciones diferenciales con retardo, por sus aportaciones.

Por ´ultimo, a mi esposa y mis hijas por su paciencia y por su constante apoyo.

El trabajo desarrollado en esta tesis se inicia en el marco del proyecto GV06/07, financiado por la Generalitat Valenciana. En su fase final, ha recibido financiaci´on parcial del proyecto GRE12-08 de la Universidad 5

(7)

de Alicante. El grupo de investigación de Ecuaciones diferenciales con retardo, en cuyo seno se ha realizado el trabajo, ha recibido financiación de la Universidad de Alicante a través de las sucesivas convocatorias anuales de ayudas a grupos de investigación (VIGROB-038).

(8)

Agradecimientos 5

I S´ıntesis 13

1 Objetivos, estructura y resumen de la tesis 15 1.1 Antecedentes, objetivos y desarrollo del trabajo de inves-

tigación . . . 16 1.2 La ecuación de difusión bidimensional con retardo . . . 22 1.3 Modelos bidimensionales de conducción del calor con retardo 26 1.4 Modelos de conducción del calor con retardo en la semirrecta 32 Referencias . . . 37

II Trabajos publicados 43

2 Proceedings XXI CEDYA 2009 45

2.1 Introducción . . . 49 2.2 Solución exacta en forma de serie infinita . . . 50 2.3 Solución numérica aproximada . . . 52 7

(9)

2.4 Condiciones de contorno no-Dirichlet . . . 56 2.5 Comentarios finales . . . 58 3 Mathematical and Computer Modelling 2011 61 3.1 Introduction . . . 65 3.2 Non-Fourier models . . . 66 3.3 Solutions of bidimensional models . . . 68

4 Abstract and Applied Analysis 2013 81

4.1 Introduction . . . 85 4.2 Solutions of DPL models in a semi-infinite domain. . . 87 4.3 Numerical examples. . . 91

III Conclusiones 103

(10)

2.1 Solución numérica aproximada u_{N M}(t, x, y) (N = M = 20) del problema (2.1)-(2.4) con función inicial ϕ(t, x, y) = sen(t)x(1− x)y(1 − y) y parámetros τ = 1, l¹ = l₂ = 1 y a = b = 1, para y = 0,5. . . 53 2.2 Solución numérica aproximada u_{N M}(t, x, y) (N = M =

20) del problema (2.1)-(2.4) con función inicial ϕ(t, x, y) = tx(1− x)y(1 − y) y parámetros τ = 1, l¹ = l₂ = 1, a = 1 y b = 0,75, para y = 0,5. . . 54 2.3 Solución numérica aproximada u_{N M}(t, x, y) (N = M =

20) del problema (2.1)-(2.4) con funci´on inicial ϕ(t, x, y) = t²x(1 − x)y(1 − y) y par´ametros τ = 1, l1 = l₂ = 1 y a = b = 0,1, para y = 0,5. . . 55 3.1 Temperature evolution, at (x, y) = (0,5, 0,5), for DPL and

DH models with Dirichlet boundary conditions and parameters τ_T = 0, τ_q = τ_Cu, α = α_Cu, and initial function ϕ(x, y, t) = sin(πx) sin(πy). Differences from classical diffusion (top) and from DPL models to DH (bottom). . . 72

9

(11)

3.2 Temperature evolution for DPL, DH, and classical diffusion (Diff) models, with Dirichlet boundary conditions, with parameters τ_T = 0, τ_q = 1, and α = 0,1/π² (top), or α = 0,4/π² (bottom). . . 74 3.3 Temperature evolution for DPL, DH, and classical diffusion

(Diff) models, with Dirichlet boundary conditions, with τ_T = 0 and α = α_Cu. Top: τ_T = 29τ_Cu, τ_q = 30τ_Cu. Bottom:

τ_T = 59τ_Cu, τ_q= 60τ_Cu. . . 75 3.4 Temperature evolution for DH model, with Neumann boun-

dary conditions, with initial function ϕ(x, y, t) = 2e^t + e^tcos(πx) cos(πy)+e^tcos(πx) cos(2πy), and parameters τ = 1, α = 0,005, for t = 0 (top left), t = 5 (top right), t = 10 (down left), and t = 20 (down right). . . 76

4.1 Temperature evolution, at x = 10, for DPL, DH, and classical diffusion (Diff) models with Dirichlet boundary conditions and parameters τ_T = 0, τ_q = 1, and initial function ϕ(x, t) = 2(1−cos(x))/(πx), for α = 0.1 (top) and α = 0.8 (bottom). . . 92 4.2 Differences from classical diffusion for models DPL and

DH, for the data shown in Figure 1. . . 93 4.3 Temperature evolution, for (x, t) ∈ [10, 20] × [0, 10], for

the DH model with Dirichlet boundary conditions and parameters τ_T = 0, τ_q = 1, α = 0.8, and initial function ϕ(x, t) = 2(1− cos(x))/(πx) (top), and differences from DH of DPL(1,1) and DPL(2,1) at x = 10 (bottom). . . 94

(12)

4.4 Temperature evolution for DPL, DH, and classical diffusion (Diff) models (left), and differences from DH of DPL aproximations (right), at x = 10, with Dirichlet boundary conditions, initial function ϕ(x, t) = 2(1− cos(x))/(πx), and parameters α = 0.8, τ_T = 1 and τ_q = 1 (top), or τ_T = 19 and τ_q = 20 (down). . . 96

(13)

(14)

S´ıntesis

13

(15)

(16)

Objetivos, estructura y resumen de la tesis

La estructura general de esta memoria de tesis viene determinada por la normativa sobre presentaci´on de tesis por compendio de publicaciones vigente en la Universidad de Alicante. Esta normativa, de obligado cumplimiento para las tesis presentadas dentro de los nuevos programas de doctorado dependientes de la Escuela de Doctorado de la Universidad de Alicante, define, de forma bastante r´ıgida, la estructuraci´on de los contenidos de la memoria y diversas especificaciones concretas sobre cuestiones de formato.

La normativa establece que la memoria debe incluir una sección inicial de s´ıntesis en la que se presenten, en una de las dos lenguas oficiales de la Comunidad Autónoma, los objetivos e hipótesis, los trabajos presentados y se justifique la unidad temática, debiendo incorporar un resumen global de los resultados obtenidos, de la discusión de estos resultados y de las 15

(17)

conclusiones finales, proporcionando una idea precisa del contenido de la tesis.

La segunda sección debe contener los art´ıculos o cap´ıtulos de libro publicados, bajo el t´ıtulo de Trabajos publicados. Cada uno de los trabajos publicados debe aparecer como un cap´ıtulo diferenciado, incluyendo la referencia bibliográfica completa, y puede consistir, tal como se presenta en esta memoria, en una versión maquetada para la tesis del trabajo publicado, debiendo incluirse en este caso una reproducción de la primera página de la publicación. La última sección de la tesis debe estar formada por las conclusiones de la misma.

En este primer cap´ıtulo se presenta el conjunto de aspectos indicados en la normativa para la secci´on de S´ıntesis, incluyendo un resumen de todos los contenidos de las publicaciones recogidas en los siguientes cap´ıtulos de la memoria. Teniendo en cuenta que en las publicaciones ya se ha llevado a cabo una necesaria labor de s´ıntesis de resultados, el cumplimiento de la normativa en este aspecto conlleva una inevitable re- petici´on de parte de los contenidos presentes en las publicaciones, aunque reflejados aqu´ı de forma conjunta y en una de las lenguas oficiales de la Comunidad Valenciana.

1.1 Antecedentes, objetivos y desarrollo del trabajo de investigaci´ on

Los modelos basados en ecuaciones diferenciales constituyen una de las herramientas fundamentales de la modelización matemática. En muy diversos problemas reales de la ciencia y la técnica es preciso tener en cuenta

(18)

que el comportamiento del sistema puede depender, de alguna forma, de su historia previa, de modo que para poder construir modelos adecuados para estos procesos es preciso utilizar ecuaciones diferenciales funcionales. Entre este tipo de ecuaciones, las ecuaciones diferenciales con retardo (EDR) y las ecuaciones en derivadas parciales con retardo (EDPR) permiten de forma relativamente directa recoger las caracter´ısticas esenciales de los procesos en los que existen efectos hereditarios o retardados, por lo que han encontrado numerosas aplicaciones en problemas y campos muy variados. Ejemplos de aplicaciones de modelos basados en EDR y EDPR en problemas, entre otros, de dinámica de poblaciones, transmisión de calor, control de procesos y propiedades de materiales viscoelásticos pueden encontrarse en los manuales básicos sobre EDR y EDPR (véase, p. ej., [1–7] y las referencias all´ı incluidas).

El modelo clásico para describir procesos de difusión, transmisión del calor o fenómenos de transporte o dispersión es la ecuación, usualmente denominada de difusión o de conducción del calor,

u_t(t, x) = a²u_xx(t, x). (1.1) La incorporación de efectos de retardo en estos procesos da lugar a la ecuación generalizada de difusión con retardo

u_t(t, x) = a²u_xx(t, x) + b²u_xx(t− τ, x), (1.2) donde τ > 0 es el valor del retardo, ecuaci´on que se reduce al modelo cl´asico para b = 0.

En dos tesis anteriores [8, 9], desarrolladas dentro del grupo de Ecua-

(19)

ciones diferenciales con retardo de la Universidad de Alicante, se abordó la construcción de soluciones exactas y numéricas de problemas mixtos para la ecuación generalizada de difusión con retardo del tipo

u_t(t, x) = a²u_xx(t, x) + b²u_xx(t− τ, x), t > τ, 0 ≤ x ≤ l, (1.3) con condici´on inicial

u(t, x) = ϕ(t, x), 0≤ t ≤ τ, 0 ≤ x ≤ l, (1.4) y condiciones de contorno de tipo Dirichlet

u(t, 0) = u(t, l) = 0, t≥ 0. (1.5) Entre los problemas en los que intervienen fenómenos de retardo, ca- be destacar los fenómenos de conducción del calor a nivel de microescala, desde el punto de vista temporal o espacial, en los que se ponen de manifiesto propiedades que no se corresponden con la ley de Fourier clásica [10]. Como se explica más adelante, algunos de los modelos más usuales para incorporar estos comportamientos se traducen en modelos de EDPR o en modelos basados en aproximaciones de distinto orden.

El objetivo general planteado en el proyecto de esta tesis fue la obten- ción de soluciones exactas y anal´ıtico-numéricas de ecuaciones generalizadas de difusión con retardo en dominios bidimensionales y no acotados. El interés fundamental era extender los resultados obtenidos en [8] a dominios más generales de los all´ı considerados, permitiendo con ello ampliar el rango de problemas y aplicaciones en los que podr´ıan ser de utilidad resultados similares a los obtendidos en [8]. Asimismo, dado el enorme

(20)

interés que se estaba registrando en particular por los modelos no clási- cos de conducción del calor, se incluyó entre los objetivos del proyecto de tesis la obtención de soluciones para algunos de los distintos modelos de conducción del calor con retardo propuestos en la literatura, con el fin de disponer de soluciones que facilitaran el estudio comparativo de las propiedades de los distintos modelos.

De forma algo m´as detallada, los objetivos de este trabajo de tesis se concretan en los siguientes puntos:

1. Obtención de soluciones anal´ıticas en forma de serie infinita para la ecuación generalizada de difusión con retardo en dominios bidimensionales. Se consideran ecuaciones con coeficientes constantes y para la construcción de las soluciones se utiliza el método de separación de variables. Se consideran distintas condiciones de contorno y se utilizan las soluciones exactas para obtener aproximaciones numéricas continuas mediante el truncamiento de las series que definen las soluciones anal´ıticas.

Los algoritmos desarrollados se implementan mediante sistemas de cálcu- lo simbólico y numérico, obteniendo soluciones, exactas o aproximadas dependiendo del problema considerado, que permiten el cálculo efectivo de sus valores y el estudio de sus comportamientos y propiedades.

2. Obtención de soluciones similares a las consideradas en el punto anterior para distintos modelos bidimensionales de conducción del calor con retardo. Cálculo efectivo de las soluciones y comparación de las propiedades de los distintos modelos considerados.

3. Obtención de soluciones anal´ıticas y anal´ıtico-numéricas para modelos de conducción del calor con retardo en la semirrecta. Para la cons- truccón de las soluciones exactas en este caso se utiliza el método de la transformada de Fourier continua.

(21)

A lo largo del desarrollo del trabajo de tesis los resultados parciales obtenidos se han ido presentando en diversos congresos y recogido en diferentes publicaciones, tal como se enumera a continuación. Las publicaciones más relevantes son las incluidas en la siguiente sección de la memoria, Trabajos publicados, según se indica en el siguiente listado.

Comunicaciones a congresos

1. Escolano, J.; Rodr´ıguez, F.; Vives, F.; Mart´ın, J.A.

Constructive analytic solutions of mixed problems for the bidimensional diffusion equation with delay.

First French-Spanish Congress of Mathematics, Zaragoza, 2007.

2. Escolano, J.; Vives, F.; Rodr´ıguez, F.; Mart´ın, J.A.

Obtención de soluciones exactas y anal´ıtico-numéricas de problemas mixtos para la ecuación de difusión bidimensional con retardo.

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones / XI Con- greso de Matem´atica Aplicada, Ciudad Real, 2009.

3. Escolano, J.; Rodr´ıguez, F.; Castro, M.A.; Vives, F.; Mart´ın, J.A.

Exact and analytic-numerical solutions of bidimensional lagging models of heat conduction.

Mathematical Models of Addictive Behaviour, Medicine & Enginee- ring 2010, Valencia, 2010.

Publicaciones

1. Escolano, J.; Vives, F.; Rodr´ıguez, F.; Mart´ın, J.A.

Obtenci´on de soluciones exactas y anal´ıtico-num´ericas de problemas

(22)

mixtos para la ecuaci´on de difusi´on bidimensional con retardo.

Proceedings XXI CEDYA, Cap. 74, 2009. ISBN: 978-84-692-6473-7 Publicaci´on incluida como Cap´ıtulo 2 de la memoria.

En: L. J´odar (ed.), Modelling for Addictive Behaviour, Medicine and Engineering 2010, pp. 66–70. Instituto de Matem´atica Multi- disciplinar, Valencia, 2010. ISBN: 978-84-693-9537-0

Mathematical and Computer Modelling 54: 1841-1845, 2011.

Publicaci´on incluida como Cap´ıtulo 3 de la memoria.

4. Castro, M.A.; Rodr´ıguez, F.; Escolano, J.; Mart´ın, J.A.

Exact and Analytic-Numerical Solutions of Lagging Models of Heat Transfer in a Semi-Infinite Medium.

Abstract and Applied Analysis, Volume 2013, Article ID 397053.

Publicaci´on incluida como Cap´ıtulo 4 de la memoria.

A continuaci´on se presenta un resumen de los principales resultados correspondientes a las publicaciones incluidas en los siguientes cap´ıtulos de la memoria.

(23)

1.2 La ecuaci´ on de difusi´ on bidimensional con retardo

En la publicación recogida en el Cap´ıtulo 2 se aborda la obtención de soluciones exactas y la construcción de aproximaciones numéricas continuas de problemas mixtos para la ecuación de difusión bidimensional con retardo,

u_t(t, x, y) = a²(u_xx(t, x, y) + u_yy(t, x, y))

+ b²(u_xx(t− τ, x, y) + u^yy(t− τ, x, y)) , t > τ, 0≤ x ≤ l¹, 0≤ y ≤ l²,

con condici´on inicial

u(t, x, y) = ϕ(t, x, y), 0≤ t ≤ τ, 0≤ x ≤ l¹, 0≤ y ≤ l², y, en primer lugar, con condiciones de contorno

u(t, 0, y) = u(t, l1, y) = 0, 0≤ t, 0≤ y ≤ l², u(t, x, 0) = u(t, x, l₂) = 0, 0≤ t, 0≤ x ≤ l¹,

aunque posteriormente tambi´en se consideran condiciones de contorno m´as generales.

El procedimiento utilizado consiste en aplicar el método de separación de variables y proponer una solución formal mediante una serie infinita que, bajo condiciones adecuadas de regularidad de la función inicial ϕ(t, x, y), proporciona una solución exacta del problema. A partir de esta

(24)

solución exacta, pueden construirse soluciones numéricas continuas truncando la serie infinita en un número adecuado de términos, pudiendo estimarse cotas de error en dominios acotados.

El método de separación de variables, o método de Fourier, es una técnica clásica para la resolución de problemas mixtos de ecuaciones en derivadas parciales, especialmente utilizada en problemas con coeficientes constantes [11–14], escalares o matriciales [15, 16], aunque puede ser aplicada en problemas con coeficientes variables [17, 18]. Las soluciones exactas en forma de serie infinita que resultan de la aplicación de este método, as´ı como las soluciones númericas aproximadas continuas que se pueden obtener truncando estas series, se expresan en términos de los datos del problema y, en consecuencia, facilitan el análisis de las variacio- nes de la solución frente a perturbaciones de los datos, el estudio de sus propiedades de oscilación o asintóticas y la evaluación de la corrección de los supuestos de los modelo utilizados.

El método de separación de variables también ha sido aplicado en algunos problemas de ecuaciones en derivadas parciales con retardo [19, 20], incluyendo problemas para la ecuación generalizada de difusión con retardo en una dimensión [8]. La aplicación del método es similar al caso de ecuaciones en derivadas parciales no funcionales, pero en la ecuación separada para el tiempo que se obtiene como resultado se obtiene un problema de valores iniciales de una ecuación diferencial con retardo, siendo necesario disponer de una solución explicita para este problema.

La aplicación del método de separación de variables en el problema considerado en este trabajo lleva a buscar soluciones de la forma

u(t, x, y) = F (t)G(x)H(y)

(25)

y, mediante superposici´on de estas soluciones, se obtiene la expresi´on formal en serie infinita

u(t, x, y) =

∞

X

n=1

∞

X

m=1

F_nm(t) sen nπx l₁

sen mπy l₂

,

donde las funciones F_nm(t) corresponden a las soluciones de los problemas temporales de valores iniciales con retardo

F_nm⁰ (t) + λ²_nm a²F_nm(t) + b²F_nm(t− τ) = 0, t > τ, F_nm(t) = B_nm(t), 0≤ t ≤ τ,

para la sucesi´on doble de valores propios

λ²_nm= n²π²

l₁² +m²π² l₂²

y donde las funciones B_nm(t) son los coeficientes de la serie doble de Fourier de senos de la funci´on inicial ϕ(t, x, y), de modo que

ϕ(t, x, y) =

∞

X

n=1

∞

X

m=1

Bnm(t) sen nπx l₁

sen mπy l₂

.

Utilizando un resultado previo de [34], que permite dar una expresión expl´ıcita para las funciones temporales F_nm(t), se deduce la expresión de la solución candidata para el problema considerado para valores de t en cada intervalo [pτ, (p+1)τ ]. Se puede demostrar que esta expresión en serie infinita es solución exacta del problema si se asume que la función inicial ϕ(t, x, y) cumple ciertas condiciones de regularidad. Asimismo, truncando

(26)

las sumas infinitas en n y m en los N y M primeros términos se obtiene una solución numérica continua, u_{N M}(t, x, y), con error acotado.

En la publicación del Cap´ıtulo 2 se presentan y discuten con más deta- lle los resultados indicados, presentando diferentes ejemplos, en términos de las funciones iniciales y los valores de los parámetros a y b, de soluciones numéricas aproximadas que muestran los distintos comportamientos que pueden exhibir las soluciones de los modelos de difusión con retardo considerados. Asimismo, se presenta la extensión de estos resultados al caso de condiciones de contorno de tipo no-Dirichlet, incluyendo condiciones tipo Newman,

u_x(t, 0, y) = u_x(t, l₁, y) = 0, 0≤ t, 0 ≤ y ≤ l2, u_y(t, x, 0) = u_y(t, x, l₂) = 0, 0≤ t, 0 ≤ x ≤ l¹, o condiciones de contorno m´as generales del tipo

Au(t, 0, y) + Bux(t, 0, y) = Au(t, l1, y) + Bux(t, l1, y) = 0,

para la variable x, para 0 ≤ t, 0 ≤ y ≤ l2 y, respectivamente para la variable y,

Cu(t, x, 0) + Du_y(t, x, 0) = Cu(t, x, l₂) + Du_y(t, x, l₂) = 0,

para 0 ≤ t, 0 ≤ x ≤ l1, donde las constantes A y B, y respectivamente C y D, no son simult´aneamente nulas, pudiendo considerarse tambi´en condiciones de tipo Dirichlet en un extremo del intervalo de una variable espacial y de tipo Neumann en el otro extremo.

(27)

1.3 Modelos bidimensionales de conducci´ on del calor con retardo

Al considerar la ecuación clásica de difusión o conducción del calor surge una cuestión, que se ha venido planteando desde hace ya largo tiempo, sobre su falta de fundamento f´ısico, ya que este modelo implica una velocidad de propagación infinita [21–23]. Se han propuesto diferentes va- riaciones del modelo clásico, especialmente en el campo de la transmisión del calor, que dan lugar a velocidades de propagación finitas y que pueden, por tanto, resultar en modelos más realistas en situaciones en las que existen fenómenos de “inercia” térmica, ondas de calor o respuestas retardadas a las perturbaciones (véase, por ejemplo, [24]).

Consideremos el fenómeno de la conducción del calor en una dimen- sión, cuyo modelo clásico está basado en la ley de Fourier

q(t, x) =−kux(t, x),

donde q es el flujo de calor, u la temperatura y k > 0 es la conductividad térmica, un coeficiente que mide la capacidad del material para conducir el calor. La ecuación clásica de difusión se obtiene combinando la ley de Fourier con la ecuación de conservación de la energ´ıa

−qx(t, x) + Q(t, x) = C_pu_t(t, x),

donde C_p es el calor espec´ıfico por unidad de volumen, Q es la energ´ıa t´ermica generada por unidad de tiempo y volumen, correspondiendo a la posible existencia de fuentes de calor, y a² = k/Cp es la difusividad

(28)

t´ermica.

El modelo clásico de conducción del calor proporciona descripciones macroscópicas precisas del comportamiento, en periodos largos de tiempo, de sistemas con dimensiones espaciales suficientemente grandes, por lo que se ha venido aplicando de forma plenamente satisfactoria en los problemas técnicos convencionales. Sin embargo, existen diversos problemas, como se ha venido poniendo de manifiesto de forma creciente en las últimas décadas, en los que se necesita una descripción de la conduc- ción del calor a escala microscópica o en los que se producen fenómenos transitorios rápidos. Ejemplos de este tipo de problemas son el análisis del calentamiento de estructuras de láminas delgadas mediante láseres ultrarrápidos o el fenómeno del segundo sonido en el helio [25–28], en los que es preciso considerar modelos, denominados modelos de conducción del calor no-clásicos o no-Fourier, que incluyan retardos en el flujo de calor y/o en el gradiente de temperatura [10, 29].

Uno de los modelos de este tipo que ha recibido m´as atenci´on en la literatura especializada es el modelo denominado de retardo de fase dual (dual-phase-lagging o DPL) propuesto por Tzou [10]. En este modelo la ley de Fourier se reemplaza por

q(t + τ_q, x) = −ku^x(t + τ_u, x),

donde τ_q y τ_u son, respectivamente, los retardos del flujo de calor y del gradiente de temperatura.

En las aplicaciones del modelo DPL es habitual utilizar aproximacio-

(29)

nes de primer orden en la ecuaci´on anterior, q(t, x) + τ_q∂q

∂t(t, x) ∼=−k{u^x(t, x) + τ_u∂u_x

∂t (t, x)},

y es usual referirse como modelo DPL a la ecuación resultante de esta aproximación [29]. Para τ_u = 0 este modelo se reduce a uno de los primeros modelos propuestos para evitar el problema de la propagación infinita en la conducción del calor, el denominado modelo de Cattaneo-Vernotte [21–

23].

En este trabajo este modelo será denominado DPL(1,1), haciendo expl´ıcito el orden de aproximación en cada uno de los dos retardos que incorpora. Se han propuesto también otros modelos que se derivan de la formulación original del modelo DPL utilizando aproximaciones de orden superior, hasta orden dos, en uno o en ambos retardos, τ_q y τ_T [30, 31].

Estos modelos de orden de aproximaci´on superior ser´an denominados en este trabajo DPL(2,1), para el modelo de segundo orden en τq y de primer orden en τ_T y DPL(2,2), para el modelo de segundo orden en ambos retardos.

Con la formulación utilizada en el Cap´ıtulo 3, válida para una o varias variables, donde r representa un punto en el dominio espacial, ∆ es el operador Laplaciano y T es la temperatura, combinando la ley de Fourier modificada con la ecuación de conservación de la energ´ıa se obtiene la ecuación para el modelo DPL(2,1)

T_t(r, t) + τqT_tt(r, t) + τ_q²

2 T_ttt(r, t) = α{∆T (r, t) + τ^T∆T_t(r, t)},

(30)

mientras que la correspondiente ecuaci´on para el modelo DPL(2,2) es

Tt(r, t)+τqTtt(r, t)+τ_q²

2 Tttt(r, t) = α{∆T (r, t)+τ^T∆Tt(r, t)+τ_T²

2 ∆Ttt(r, t)}.

Sin embargo, si se mantiene la formulación original del modelo DPL, sin aproximaciones, y se combina con la ecuación de conservación de energ´ıa adecuada, puede demostrarse [32,33] que, para τ = τ_q−τû > 0, el modelo DPL de conducción del calor puede escribirse en la forma de una ecuación en derivadas parciales con retardo. En el caso unidimensional se tiene

ut⁰(t⁰, x) = αuxx(t⁰− τ, x), t⁰ > τq,

donde u es la temperatura, α la difusividad térmica y t⁰ = t + τq, que es de la forma de la ecuación generalizada de difusión considerada en el apartado anterior con a = 0, y que denominaremos modelo DH.

En la publicación recogida en el Cap´ıtulo 3 se obtienen soluciones expl´ıcitas para distintos modelos bidimensionales de conducción del calor con retardo, considerando diferentes tipos de condiciones de contorno. Las soluciones se obtienen mediante la aplicación del método de separación de variables, en forma de series infinitas, que pueden ser truncadas para obtener soluciones aproximadas con errores acotados.

Se considera un problema de conducci´on del calor en una placa rec- tangular, con condiciones de contorno tipo Dirichlet, para t ≥ 0,

T (0, y, t) = T (l1, y, t) = T (x, 0, t) = T (x, l2, t) = 0, 0≤ y ≤ l², 0≤ x ≤ l¹,

(31)

o condiciones de contorno tipo Neumann

Tx(0, y, t) = Tx(l1, y, t) = Ty(x, 0, t) = Ty(x, l2, t) = 0, 0≤ y ≤ l², 0≤ x ≤ l¹. Las condiciones iniciales que es preciso especificar dependen del tipo de modelo considerado. As´ı, para el modelo DPL(1,1) se deben especificar valores iniciales para la temperatura y su derivada,

T (x, y, 0) = ϕ(x, y, 0), Tt(x, y, 0) = φ(x, y, 0), 0≤ x ≤ l¹, 0≤ y ≤ l², mientras que para los modelos DPL(2,1) y DPL(2,2) es necesario especificar tambi´en los valores iniciales para la segunda derivada,

T_tt(x, y, 0) = ψ(x, y, 0), 0≤ x ≤ l1, 0≤ y ≤ l2.

Para el modelo DH, al tratarse de una ecuaci´on en derivadas parciales con retardo, es preciso especificar las condiciones iniciales de temperatura para un intervalo temporal de amplitud igual al valor del retardo, τ ,

T (x, y, t) = ϕ(x, y, t), 0≤ t ≤ τ, 0 ≤ x ≤ l1, 0≤ y ≤ l2.

La aplicación del método de separación de variables lleva a la obten- ción de soluciones en forma de series infinitas dobles de senos o cosenos en las variables espaciales, dependiendo, respectivamente, de que se con- sideren condiciones de contorno tipo Dirichlet,

T (x, y, t) =

∞

X

n=1

∞

X

m=1

Φ_n,m(t) sin nπx l₁

sin mπy l₂

,

(32)

o condiciones de contorno tipo Neumann,

T (x, y, t) =

∞

X

n=0

∞

X

m=0

Φ_n,m(t) cos nπx l₁

cos mπy l₂

.

En estas expresiones, las funciones Φn,m(t) son las soluciones de los correspondientes problemas separados temporales para cada uno de los valores propios λ_n,m = −(n²π²/l₁² + m²π²/l²₂). En el caso de los modelos DPL aproximados, es decir, de los modelos DPL(1,1), DPL(2,1) y DPL(2,2), estos problemas temporales consisten en problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, que pueden ser resueltos para obtener las soluciones buscadas. En el caso del modelo DH, se trata de un problema de valor inicial para una ecuaci´on diferencial con retardo,

Φ⁰(t) = λ_n,mαΦ(t− τ), t > τ, Φ(t) = B_n,m(t), 0≤ t ≤ τ, donde B_n,m(t) son los coeficientes de Fourier de la funci´on inicial ϕ(x, y, t).

Este problema puede resolverse de forma constructiva utilizando el méto- do de pasos y una convolución integral [34, 35], obteniendo la expresión de la solución, para cada intervalo t∈ [pτ, (p + 1) τ],

Φ_n,m(t) = B_n,m(τ ) + B_n,m(0)

p

X

k=1

α^kλ^k_n,m(t− kτ)^k k!

+

p−1

X

k=1

α^kλ^k_n,m k!

Z τ 0

(t− kτ − s)^kB_n,m⁰ (s) ds

+α^pλ^p_n,m p!

Z t−pτ 0

(t− pτ − s)^pB_n,m⁰ (s) ds.

(33)

Puede demostrarse que las series infinitas obtenidas convergen y proporcionan soluciones exactas de los problemas considerados, asumiendo condiciones adecuadas de regularidad de las funciones iniciales. Truncan- do estas series infinitas en los N y M primeros términos se obtienen soluciones numéricas continuas con errores acotados. Utilizando estas soluciones numéricas, en el Cap´ıtulo 3 se muestran distintos ejemplos que ilustran los diferentes tipos de comportamiento que pueden presentar los distintos modelos de conducción del calor considerados.

1.4 Modelos de conducci´ on del calor con retardo en la semirrecta

En la publicación recogida en el Cap´ıtulo 4 se aborda la obtención de soluciones expl´ıcitas para modelos de conducción del calor con retardo en la semirrecta, incluyendo los distintos modelos indicados en el apartado anterior, es decir, los modelos DPL aproximados que hemos denominado DPL(1,1), DPL(2,1) y DPL(2,2), as´ı como el modelo en forma de ecuación en derivadas parciales con retardo que hemos denominado modelo DH.

En este caso, la herramienta utilizada es la transformada continua de Fourier, obteniéndose soluciones exactas en forma de integrales impropias, cuyo intervalo de integración es toda la semirrecta positiva. De forma similar a los modelos considerados en los cap´ıtulos anteriores, se consideran diferentes tipos de condiciones de contorno. Asimismo, mediante la trun- cación del intervalo de integración o mediante otras técnicas de evaluación numérica de las integrales que aparecen en la solución, es posible obtener soluciones aproximadas con errores acotados.

(34)

La literatura previa que aborda la construcción de soluciones para modelos de conducción del calor con retardo en la semirrecta es escasa y se limita a algunos casos particulares. En [10,36] se obtiene, para un modelo de tipo DPL(1,1), la solución para la propagación del calor en el caso de un sólido semiinfinito sometido a un aumento instantáneo de temperatura en la frontera, mediante la utilización de transformadas de Fourier y de Laplace. En [32, 37], también en el caso de un sólido semiinfinito, se estudió la relación entre los valores locales de los flujos de calor y de temperatura.

Aunque en este trabajo sólo se consideran modelos con coeficientes constantes, el método de la transformada de Fourier también puede ser utilizado en problemas con coeficientes variables (e.g., [38,39]), por lo que el enfoque seguido en este trabajo también se podr´ıa aplicar en modelos DPL con coeficientes variables en el tiempo, un tipo de modelo que ha sido propuesto recientemente, [40], como una posible forma de enlazar los modelos con retardo requeridos en tiempos ultracortos con los modelos clásicos que resultan válidos en tiempos más largos.

Consideremos una placa de grosor infinito, x ∈ [0, ∞], que puede ser calentada bien en su superficie o bien hasta una cierta profundidad.

En el extremo inicial, para cualquier t ≥ 0, se consideran condiciones de contorno tipo Dirichlet, T (0, t) = 0, o condiciones de contorno tipo Neumann, T_x(0, t) = 0, imponiéndose también la condición l´ımite en el infinito

x→∞l´ım T (x, t) = 0, t ≥ 0.

De forma similar al trabajo del cap´ıtulo anterior, es necesario propor- cionar condiciones iniciales adecuadas seg´un el tipo de modelo considera-

(35)

do. En el caso del modelo DPL(1,1) se especifican los valores iniciales de la temperatura y de su derivada,

T (x, 0) = ϕ(x, 0), T_t(x, 0) = φ(x, 0), 0≤ x < ∞,

mientras que para los modelos DPL(2,1) y DPL(2,2) se necesita tambi´en especificar los valores de su segunda derivada,

Ttt(x, 0) = ψ(x, 0), 0≤ x < ∞.

En el modelo DH, en el que se mantiene la ecuación original de difusión con retardo, la distribución de temperaturas debe especificarse para todo un intervalo de tiempo de amplitud τ ,

T (x, t) = ϕ(x, t), 0≤ t ≤ τ, 0 ≤ x < ∞.

La aplicaci´on del m´etodo de la transformada de Fourier permite obtener soluciones exactas en forma de integrales impropias, utilizando transformadas seno en el caso de las condiciones de contorno tipo Dirichlet,

T (x, t) = 2 π

Z ∞ 0

T (w, t) sin(wx)dw,

o transformadas coseno en el caso de condiciones tipo Neumann, T (x, t) = 2

π Z ∞

0

T (w, t) cos(wx)dw.

En las expresiones anteriores, las funcionesT (w, t), que son las correspondientes transformadas seno o coseno T (x, t), se obtienen resolviendo los

(36)

correspondientes problemas transformados temporales, para el conjunto continuo de autovalores w².

Estos problemas transformados temporales, en el caso de los modelos DPL aproximados, son problemas de valores iniciales para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. As´ı, para el modelo DPL(1,1) se tiene el problema

τqT⁰⁰(w, t) + (1 + w²ατT)T⁰(w, t) + w²αT (w, t) = 0, T (w, 0) = F (w), T⁰(w, 0) = G(w),

mientras que para los modelos DPL(2,1) y DPL(2,2) se plantean los problemas, respectivamente,

τ_q²

2T⁰⁰⁰(w, t) + τ_qT⁰⁰(w, t) + (1 + w²ατ_T)T⁰(w, t) + w²αT (w, t) = 0, y

(τ_q²/2)T⁰⁰⁰(w, t) + (τ_q+ w²ατ_T²/2)T⁰⁰(w, t) + (1 + w²ατ_T)T⁰(w, t) + w²αT (w, t) = 0, en ambos modelos con las mismas condiciones iniciales,

T (w, 0) = F (w), T⁰(0) = G(w), T⁰⁰(0) = H(w).

En las expresiones anteriores, las funciones F (w), G(w) y H(w) son las transformadas de Fourier, seno o coseno seg´un las condiciones de contorno, de las funciones iniciales ϕ(x, t), φ(x, t) y ψ(x, t), respectivamente.

(37)

Para el modelo DH, los problemas temporales transformados son problemas de valor inicial para una ecuaci´on diferencial con retardo,

T⁰(w, t) + w²αT (w, t − τ) = 0, t > τ, T (w, t) = F (w, t), 0 ≤ t ≤ τ, donde F (w, t) es la transformada de Fourier correspondiente, según las condiciones de contorno, de la función inicial ϕ(x, t). Para este problema, similar al encontrado en cap´ıtulos anteriores, se puede dar la solución, válida en cada intervalo t∈ [pτ, (p + 1) τ],

T (w, t) = F (w, τ) + F (w, 0)

p

X

k=1

(−w²)^kα^k(t− kτ)^k k!

+

p−1

X

k=1

(−w²)^kα^k k!

Z τ 0

(t− kτ − s)^kF_s(w, s) ds

+ (−w²)^pα^p p!

Z t−pτ 0

(t− pτ − s)^pF_s(w, s) ds.

Se puede demostrar que las soluciones obtenidas proporcionan soluciones exactas de los problemas considerados, asumiendo condiciones adecuadas de regularidad e integrabilidad para las funciones iniciales. Asi- mismo, como ya se ha indicado, la evaluación de las integrales, aunque en algunos casos especiales puede realizarse de forma exacta, en general re- quiere de aproximaciones numéricas, que pueden realizarse manteniendo bajo control el error cometido. Como se ilustra en la publicación recogida en el Cap´ıtulo 4, las soluciones numéricas obtenidas permiten estudiar los distintos comportamientos que presentan los diferentes modelos considerados.

(38)

[1] R. Bellman and K.L. Cooke, Differential-Difference Equations, Aca- demic Press, New York, 1963.

[2] O. Diekmann, S.A. van Gils, S.M. Verduyn Lunel and H.-O. Walther, Delay Equations, Springer-Verlag, New York, 1995.

[3] L.E. El’sgol’ts and S.B. Norkin, Introduction to the Theory and Ap- plication of Differential Equations with Deviating Arguments, Aca- demic Press, New York, 1973.

[4] V. Kolmanovskii and A. Myshkis, Applied Theory of Functional Dif- ferential Equations, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1992.

[5] V. Kolmanovskii and A. Myshkis, Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999.

[6] J. Wu, Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1996.

[7] J.K. Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer- Verlag, New York, 1977.

37

(39)

[8] E. Reyes. Soluciones anal´ıtico-num´ericas de ecuaciones en derivadas parciales con retardo. Tesis doctoral, Universidad de Alicante, 2008.

[9] P. Garc´ıa. Soluciones num´ericas mediante esquemas en diferencias de ecuaciones en derivadas parciales con retardo. Tesis doctoral, Uni- versidad de Alicante, 2009.

[10] D.Y. Tzou, Macro- to Microscale Heat Transfer: The Lagging Beha- vior, Taylor & Francis, Washington, 1996.

[11] G. Cain and G.H. Meyer, Separation of Variables for Partial Differential Equations. An Eigenfunction Approach, Chapman &

Hall/CRC, Boca Raton, 2006.

[12] S.J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engi- neers, Dover, New York, 1993.

[13] G.B. Folland, Fourier Analysis and its Applications, Wadsworth &

Brooks, Pacific Groove, 1992.

[14] E.A. Gonz´alez-Velasco, Fourier Analysis and Boundary Value Pro- blems, Academic Press, New York, 1995.

[15] L. J´odar, E. Navarro and J. A. Mart´ın, Exact and Analytic- Numerical Solutions of Strongly Coupled Mixed Diffusion Problems.

Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 43, pp. 1-25, 2000.

[16] E. Navarro, E. Ponsoda and L. J´odar, A Matrix Approach to the Analytic-Numerical Solution of Mixed Partial Differential Systems, Computers and Mathematics with Applications 30, pp. 99-109, 1995.

(40)

[17] P. Almenar, L. J´odar and J.A. Mart´ın, Mixed Problems for the Time-Dependent Telegraph Equation: Continuous Numerical Solu- tions with A Priori Error Bounds, Mathematical and Computer Mo- delling 25, pp. 31-44, 1997.

[18] L. J´odar and P. Almenar, Accurate Continuous Numerical Solutions of Time Dependent Mixed Partial Differential Problems, Computers and Mathematics with Applications 32, pp. 5-19, 1996.

[19] E.J. Scott, On a Class of Linear Partial Differential Equations with Retarded Argument in Time, Buletinul Institutului Politehnic Din Iasi 15, pp. 99-103, 1969.

[20] J. Wiener and L. Debnath, Boundary value problems for the diffusion equation with piecewise continuous time delay, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 20, pp. 187-195, 1997.

[21] C. Cattaneo, Sur une forme de l’équation de la chaleur éliminant le paradoxe d’une propagation instantanée, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences 247, 431-433, 1958.

[22] P. Vernotte, Les paradoxes de la théorie continue de l’équation de la chaleur, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences 246, 3154- 3155, 1958.

[23] P. Vernotte, P. Vernotte, Some possible complications in the phe- nomena of thermal conduction, Comptes Rendus de l’Acad´emie des Sciences 252, 2190-2191, 1961.

[24] D.D. Joseph and L. Preziosi, Heat waves, Review of Modern Physics 61, pp. 41-73, 1989.

(41)

[25] B. Bertman and D.J. Sandiford, Second sound in solid helium, Scien- tific American 222, p. 92, 1970.

[26] T. Q. Qiu and C. L. Tien, Short-pulse laser heating on metals, Inter- national Journal of Heat and Mass Transfer 35, pp. 719-726, 1992.

[27] T. Q. Qiu and C. L. Tien, Heat transfer mechanisms during short- pulse laser heating of metals, ASME Journal of Heat Transfer 115, pp. 835-841, 1993.

[28] D.Y. Tzou, Experimental support for the lagging behavior in heat propagation, AIAA Journal of Termophysics and Heat Transfer 9, pp. 686-693, 1995.

[29] D.Y. Tzou, The generalized lagging response in small-scale and high- rate heating, International Journal of Heat and Mass Transfer 38, pp. 3231-3240, 1995.

[30] D.Y. Tzou, A unified approach for heat conduction from macro to micro-scales, ASME J. Heat Transfer 117 (1995) 8-16.

[31] R. Quintanilla, R. Racke, A note on stability in dual-phase-lag heat conduction, Int. J. Heat Mass Transfer 49 (2006) 1209-1213.

[32] V.V. Kulish and V.B. Novozhilov, An integral equation for the dual- lag model of heat transfer, ASME Journal of Heat Transfer 126, pp.

805-808, 2004.

[33] M. Xu and L. Wang, Dual-phase-lagging heat conduction based on Boltzmann transport equation, International Journal of Heat and Mass Transfer 48, pp. 5616-5624, 2005.

(42)

[34] J.A. Mart´ın, F. Rodr´ıguez and R. Company, Analytic Solution of Mixed Problems for the Generalized Diffusion Equation with Delay, Mathematical and Computer Modelling 40, pp. 361-369, 2004.

[35] E. Reyes, F. Rodr´ıguez, J.A. Mart´ın, Analytic-numerical solutions of diffusion mathematical models with delays, Comput. Math. Appl.

56 (2008) 743-753.

[36] P.J. Antaki, Solution for non-Fourier dual phase lag heat conduction in a semiinfinite slab with surface heat flux, lnt. J. Heat Mass Transfer. 41 (1998) 225-2258.

[37] V.V. Kulish, K.V. Poletkin, A generalized relation between the lo- cal values of temperature and the corresponding heat flux in a one- dimensional semi-infinite domain with the moving boundary, Int. J.

Heat Mass Transfer 55 (2012) 6595-6599.

[38] L. J´odar, J. P´erez, Exact Solution of Mixed Problems for Varia- ble Coefficient One-Dimensional Diffusion Equation, Comput. Math.

Appl. 41 (2001) 689-696.

[39] L. J´odar, J. P´erez, R.J. Villanueva, Explicit Solution of Time Depen- dent Diffusion Problems in a Semi-Infinite Medium, Comput. Math.

Appl. 43 (2002) 157-167.

[40] M. A. Castro , F. Rodr´ıguez , J. Cabrera, J. A. Mart´ın, Difference schemes for time-dependent heat conduction models with delay, Int.

J. Comput. Math. 91 (2014) 53–61.

(43)

(44)

Trabajos publicados

43

(45)

(46)

Obtenci´ on de soluciones

exactas y anal´ıtico-num´ ericas de problemas mixtos para la ecuaci´ on de difusi´ on

bidimensional con retardo

Proceedings XXI CEDYA, Cap. 74, 2009 ISBN: 978-84-692-6473-7

45

(47)

(48)

Obtención de soluciones exactas y anal´ıtico-numéricas de problemas mixtos para la ecuación de difusión

bidimensional con retardo

J. Escolano, F. Vives, F. Rodr´ıguez, J.A. Mart´ın

Dpto. de Matem´atica Aplicada, Universidad de Alicante, Apdo. 99, 03080 Alicante. E-mails:

[email protected], [email protected], [email protected], [email protected].

Palabras clave: Separaci´on de variables, soluci´on en serie, condiciones de contorno no-Dirichlet

Resumen

En este trabajo se aborda la obtención de soluciones exactas y de aproximaciones numéricas continuas de problemas mixtos para la ecuación de difusión bidimensional con retardo

u_t(t, x, y) = a²(u_xx(t, x, y) + u_yy(t, x, y)) + b²(u_xx(t− τ, x, y) + uyy(t− τ, x, y)) , t≥ τ, 0≤ x ≤ l1, 0≤ y ≤ l2,

con condici´on inicial

u(t, x, y) = ϕ(t, x, y), 0≤ t ≤ τ, 0≤ x ≤ l1, 0≤ y ≤ l2, y condiciones de contorno

u(t, 0, y) = u(t, l1, y) = 0, 0≤ t, 0≤ y ≤ l2, u(t, x, 0) = u(t, x, l2) = 0, 0≤ t, 0≤ x ≤ l1.

Mediante el método de separación de variables se obtienen soluciones exactas en forma de serie infinita, que pueden truncarse para construir aproximaciones numéricas continuas con precisión prefijada en dominios acotados. Se consideran también condiciones de contorno más generales.

1. Introducci´on

Las ecuaciones diferenciales con retardo (EDR) y las ecuaciones en derivadas parciales con retardo (EDPR) son herramientas ´utiles de modelizaci´on en numerosos problemas

1

(49)

(50)

2.1 Introducci´ on

Las ecuaciones diferenciales con retardo (EDR) y las ecuaciones en derivadas parciales con retardo (EDPR) son herramientas útiles de modeli- zación en numerosos problemas cient´ıfico-técnicos en los que intervienen fenómenos hereditarios o retardados (véase, por ejemplo, [1], [5] y las referencias all´ı incluidas), por lo que resulta de interés la obtención de soluciones exactas y de aproximaciones numéricas precisas para distintos tipos particulares de EDPR.

El objetivo de este trabajo es la obtención de soluciones exactas y la construcción de aproximaciones numéricas continuas de problemas mixtos para la ecuación de difusión bidimensional con retardo,

u_t(t, x, y) = a²(u_xx(t, x, y) + u_yy(t, x, y))

+ b²(u_xx(t− τ, x, y) + u^yy(t− τ, x, y)) , (2.1) t ≥ τ, 0 ≤ x ≤ l1, 0≤ y ≤ l2,

con condiciones inicial y de contorno

u(t, x, y) = ϕ(t, x, y), 0≤ t ≤ τ, 0≤ x ≤ l¹, 0≤ y ≤ l², (2.2) y

u(t, 0, y) = u(t, l₁, y) = 0, 0≤ t, 0≤ y ≤ l², (2.3) u(t, x, 0) = u(t, x, l₂) = 0, 0≤ t, 0≤ x ≤ l¹, (2.4) aunque también se analizarán condiciones de contorno más generales.

(51)

El procedimiento seguido es similar al utilizado en [2] para el caso de la ecuación generalizada de difusión con retardo unidimensional. Se trata de utilizar el método de separación de variables para proponer una solución formal mediante una serie infinita que, bajo ciertas condiciones de regularidad de la función inicial ϕ(t, x, y), puede demostrarse que proporciona una solución exacta del problema (2.1)-(2.4). Truncando esta solución en serie, con el número de términos adecuado, se obtiene una solución numérica continua que proporciona aproximaciones con cotas de error a priori en dominios acotados.

2.2 Soluci´ on exacta en forma de serie infi- nita

Usando el m´etodo de separaci´on de variables, se buscan soluciones de (2.1) de la forma

u(t, x, y) = F (t)G(x)H(y)

y, mediante el procedimiento habitual, se propone como soluci´on candidata del problema (2.1)-(2.4) la expresi´on formal en serie infinita

u(t, x, y) =

∞

X

n=1

∞

X

m=1

F_nm(t) sen nπx l₁

sen mπy l₂

. (2.5)

Aqu´ı, F_nm(t) es la soluci´on del problema de valores iniciales con retardo F_nm⁰ (t) + λ²_nm a²F_nm(t) + b²F_nm(t− τ) = 0, t > τ, (2.6)

Fnm(t) = Bnm(t), 0≤ t ≤ τ, (2.7)

(52)

donde

λ²_nm= n²π²

l₁² +m²π² l₂²

y B_nm(t) son los coeficientes de la serie doble de Fourier de senos de la funci´on inicial ϕ(t, x, y),

B_nm= 4 l₁l₂

Z l2

0

Z l1

0

ϕ(t, x, y) sen nπx l₁

sen mπy l₂

dxdy,

de modo que

ϕ(t, x, y) =

∞

X

n=1

∞

X

m=1

B_nm(t) sen nπx l₁

sen mπy l₂

.

En [2, Teorema 1] se dio una soluci´on expl´ıcita para un problema general del tipo (2.6)-(2.7), en t´erminos de las funciones gamma y gamma incompleta complementaria,

Γ(k) = Z ∞

0

e^−ss^k−1ds, Γ(k, x) = Z ∞

x

e^−ss^k−1ds.

Utilizando ese resultado, la soluci´on candidata (2.5), para valores de t en el intervalo [pτ, (p + 1)τ ], puede escribirse en la forma

u(t, x, y) =

∞

X

n=1

∞

X

m=1

sen(d_1nx) sen(d_2my) X

1

+X

2

+X

3

!

+ (−1)^pc^2pϕ(t− pτ, x, y), (2.8)

(53)

donde X

1

=

p

X

k=1

(−1)^k−1c^2(k−1) B_nm(τ ) + c²B_nm(0) Q k, λ²_nma²(t− kτ) ,

X

2

=

p−1

X

k=1

(−1)^k−1c^2k Z τ

0

B_nm⁰ (s)Q k, λ²_nma²(t− kτ − s) ds, X

3

= (−1)^p−1c^2p Z t−pτ

0

B_nm⁰ (s)Q p, λ²_nma²(t− pτ − s) ds,

y

c = b

a, d_1n = nπ l1

, d_2m= mπ l2

, Q(k, t) = Γ(k, t) Γ(k) .

Exigiendo que la función inicial ϕ(t, x, y) sea suficientemente regular, de modo que las funciones ϕ(t, x, y) y ϕ_t(t, x, y) sean continuas en t y tengan segunda derivada continua respecto de x y respecto de y, puede demostrarse, con argumentos similares a los utilizados en [2, Teorema 2], que la expresión anterior proporciona una solución exacta del problema (2.1)- (2.4).

2.3 Soluci´ on num´ erica aproximada

A partir de la solución en serie infinita definida en (2.8), truncando las sumas infinitas en n y m en los N y M primeros términos, respectivamente, se obtiene una solución aproximada u_{N M}(t, x, y). Bajo las condiciones de regularidad exigidas a la función inicial, pueden obtenerse acotaciones para los restos de la serie truncada, y por tanto para el error

|u(t, x, y) − u^{N M}(t, x, y)|, de forma an´aloga a los resultados obtenidos en

(54)

Figura 2.1: Solución numérica aproximada uN M(t, x, y) (N = M = 20) del problema (2.1)-(2.4) con función inicial ϕ(t, x, y) = sen(t)x(1− x)y(1 − y) y parámetros τ = 1, l₁ = l₂ = 1 y a = b = 1, para y = 0,5.

[4] para el caso unidimensional.

En las siguientes figuras se presentan ejemplos de soluciones numéri- cas aproximadas, para distintas funciones iniciales y diferentes valores de los parámetros a y b (Figs. 2.1-2.3), que muestran los diferentes comportamientos que pueden exhibir las soluciones de estos modelos de difusión con retardo, tanto en una como en dos dimensiones, en función de los valores de los parámetros que determinan la importancia de los términos con y sin retardo en (2.1).

(55)

Figura 2.2: Solución numérica aproximada u_{N M}(t, x, y) (N = M = 20) del problema (2.1)-(2.4) con función inicial ϕ(t, x, y) = tx(1− x)y(1 − y) y parámetros τ = 1, l₁ = l₂ = 1, a = 1 y b = 0,75, para y = 0,5.

(56)

Figura 2.3: Solución numérica aproximada uN M(t, x, y) (N = M = 20) del problema (2.1)-(2.4) con función inicial ϕ(t, x, y) = t²x(1− x)y(1 − y) y parámetros τ = 1, l₁ = l₂ = 1 y a = b = 0,1, para y = 0,5.

(57)

2.4 Condiciones de contorno no-Dirichlet

Se pueden considerar condiciones de contorno m´as generales, del tipo, para t≥ 0,

Au(t, 0, y) + Bu_x(t, 0, y) = Au(t, l₁, y) + Bu_x(t, l₁, y) = 0, 0≤ y ≤ l2, (2.9) para la variable x y, respectivamente para la variable y,

Cu(t, x, 0) + Duy(t, x, 0) = Cu(t, x, l2) + Duy(t, x, l2) = 0, 0≤ x ≤ l¹, (2.10) donde A y B, respectivamente C y D, no son simult´aneamente nulas.

En estas condiciones pueden darse algunos casos especiales. Si se tiene B = 0 y D = 0, (2.9)-(2.10) se reduce a las condiciones tipo Dirichlet ya estudiadas, mientras que si son A = 0 y C = 0 se tienen condiciones de tipo Neumann,

ux(t, 0, y) = ux(t, l1, y) = 0, 0≤ t, 0 ≤ y ≤ l², (2.11) u_y(t, x, 0) = u_y(t, x, l₂) = 0, 0≤ t, 0 ≤ x ≤ l¹. (2.12) En este caso, al buscar soluciones de (2.1) de la forma

u(t, x, y) = F (t)Φ(x, y) = F (t)G(x)H(y) y resolver el problema de valores propios

∇²Φ + λ²Φ = 0

(58)

con las condiciones de contorno (2.11)-(2.12), se obtienen los autovalores

λ²_nm = n²π²

l²₁ + m²π²

l²₂ , n = 0, 1, 2 . . . , m = 0, 1, 2 . . . , siendo las correspondientes autofunciones

Φ_nm(x, y) = cos nπx l₁

cos mπy l₂

, n = 0, 1, 2 . . . , m = 0, 1, 2 . . . ,

con lo que la soluci´on candidata, que puede demostrarse que efectivamente es soluci´on del problema (2.1)-(2.2),(2.11)-(2.12), resulta

u(t, x, y) =

∞

X

n=0

∞

X

m=0

F_nm(t) cos nπx l₁

cos mπy l₂

. (2.13)

En esta expresión, F_nm(t) es la solución del problema (2.6)-(2.7), en donde ahora los B_nm(t) son los coeficientes de la serie doble de Fourier de cosenos de la función inicial ϕ(t, x, y),

ϕ(t, x, y) =

∞

X

n=0

∞

X

m=0

B_nm(t) cos nπx l₁

cos mπy l₂

,

de modo que

Bnm= knm

l₁l₂ Z l2

0

Z l1

0

ϕ(t, x, y) cos nπx l₁

cos mπy l₂

dxdy,

siendo k_nm = 4 si n 6= 0 y m 6= 0, knm = 2 si n = 0 y m 6= 0 o n 6= 0 y m = 0 y k_nm = 1 si n = m = 0.

De forma similar, planteando y resolviendo los correspondientes pro-

(59)

blemas de valores propios para las variables espaciales, y utilizando la expresión de la solución del problema (2.6)-(2.7) dada en [2], pueden obtenerse expresiones en serie doble, en general con senos y cosenos, para las condiciones de contorno (2.9)-(2.10), as´ı como para otros casos de interés no incluidos all´ı, como, por ejemplo, la especificación de condiciones de tipo Dirichlet en un extremo del intervalo de una variable espacial y de tipo Neumann en el otro extremo.

2.5 Comentarios finales

Las ecuaciones generalizadas de difusión con retardo pueden aparecer, entre otros, en problemas de dinámica de poblaciones y en modelos de conducción del calor cuando se debe analizar a escala microscópica la evolución de estados transitorios rápidos (véanse referencias en [4]). En este contexto, el estudio de regiones espaciales bidimensionales, con condiciones de contorno generales, resulta natural y de interés.

La obtención de soluciones anal´ıtico-numéricas, truncando las soluciones exactas en forma serie obtenidas por el método de separación de variables, permite la obtención de cotas de error en función del dominio en el que se desea evaluar la solución aproximada y de los parámetros que definen la ecuación. Sin embargo, aunque las aproximaciones obtenidas evaluando un número reducido de términos de la serie pueden mostrar un alto grado de precisión, las acotaciones del error de truncación no garan- tizan que esto deba ocurrir, obteniéndose, para las condiciones de regularidad exigidas a la función inicial en la Sección 2, cotas de error que son O(máx(N, M )³m´ın(N, M )). La utilización de aproximaciones polinómi- cas de la función inicial, como se hizo en [4]) para la ecuación generalizada

(60)

de difusión unidimensional, podr´ıa permitir aumentar el grado de preci- sión garantizado en este tipo de soluciones numéricas aproximadas.

Una alternativa para la obtención de aproximaciones numéricas, bien conocida para el caso de ecuaciones en derivadas parciales sin retardo, es el desarrollo y utilización de esquemas en diferencias finitas espec´ıficos para el problema considerado, como se ha hecho en [3] para la ecuación generalizada de difusión unidimensional con retardo con condiciones de contorno de tipo Dirichlet.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido financiado parcialmente por el proyecto GV06/207 de la Conselleria de Empresa, Universidad y Ciencia de la Generalitat Valenciana.

(61)

[1] V. Kolmanovskii and A. Myshkis, Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999.

[2] J.A. Mart´ın, F. Rodr´ıguez and R. Company. Analytical solution of mixed problems for the generalized diffusion equation with delay.

Math. Comp. Mod., 40 (2004), 361–369.

[3] P. Garc´ıa, M.A. Castro, J.A. Mart´ın and A. Sirvent. Numerical solutions of diffusion mathematical models with delay. Math. Comp.

Mod., 50 (2009), 860–868.

[4] E. Reyes, F. Rodr´ıguez and J.A. Mart´ın. Analytic-numerical solutions of diffusion mathematical models with delays. Comput. Math.

Appl., 56 (2008), 743–753.

[5] J. Wu, Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1996.

60

(62)

Exact and analytic-numerical solutions of bidimensional

lagging models of heat conduction

Mathematical and Computer Modelling 54:

1841-1845, 2011

doi: 10.1016/j.mcm.2010.11.074

61

(63)