Interferometria de modulación de fase y visibilidad mediante modulación de amplitud en no cuadratura

167 

Texto completo

(1)

!!

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!

Interferometria!de!modulación!de!fase!y!visibilidad!

mediante!modulación!de!amplitud!en!no!

cuadratura.!!

!

!

Tesis!que!para!obtener!el!grado!de!Doctor!en!Ciencias!presenta!

M.C.!Alberto!Uriel!Rivera!Ortega!!

!

!

Asesor!

Dr.!Cruz!Meneses!Fabián!

!

Puebla,!Pue.!Enero!de!2014!

Benemérita!Universidad!Autónoma!de!

Puebla!

!

!

(2)

Agradecimientos

!!

!

!

A!mi!mamá!que!me!ha!apoyado!paciente!e!incondicionalmente!dia!con!dia!para!lograr!cada!una!de! mis!metas!profesionales!y!personales,!a!quien!le!dedico!cada!uno!de!mis!logros.!

!

A!mi!asesor!que!me!ha!guiado!de!una!menera!atinada!en!mi!etapa!doctoral!con!el!que!formé!un! gran!equipo!de!trabajo.!

!

Al!Doctor!Zurita!por!sus!invaluables!consejos!y!apoyo.!

!

A!cada!uno!de!los!miembros!de!!mi!jurado!que!han!apoyado!con!sus!comentarios!al! enriquecimiento!de!este!trabajo!de!tesis!doctoral.!

!

A!mis!compañeros!de!doctorado!y!en!general!a!todos!los!que!de!manera!directa!o!indirecta!me! han!apoyado!en!este!importante!y!definitivo!ciclo!que!se!cierra.!

(3)

Índice!

Resumen!

CAPÍTULO!1!

Organización!de!la!tesis!

1.1

!Introducción!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1!

1.2

!Planteamiento!del!problema!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2!

1.3

!Objetivos!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2!

1.4

!Organización!de!los!capítulos!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3!

!

CAPÍTULO!2

!

Antecedentes!

2.1

!Introducción!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5!

2.2

!Interferencia!de!dos!ondas!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5!

2.3

Interferometría!de!corrimiento!de!fase!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!8!

2.3.1

Algunos!métodos!para!generar!corrimiento!de!fase!!!!!!!!!9!

2.3.1.1

Movimiento!de!un!espejo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!9!

2.3.1.2

Rotando!una!placa!de!fase!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!10!

2.3.1.3

Desplazando!una!rejilla!de!difracción!!!!!!!!!!!!!!!!11!

2.3.1.3.1!Corrimiento!mediante!el!desplazamiento!

de!una!rejilla!en!un!interferómetro!de!trayectoria!

común!de!dos!ventanas!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!11!

(4)

2.3.1.5

Rotando!una!placa!polarizadora!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!16!

2.3.1.6

Mediante!el!cambio!de!la!fuente!de!luz!laser!!!18!

2.4

!Métodos!de!extracción!de!fase!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!18!

2.4.1

Técnica!de!tres!pasos!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!19!

2.4.2

Técnica!de!cuatro!pasos!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!20!

2.4.3

Técnica!de!Carré!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!21!

2.4.4

Método!de!2+1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!21!

2.4.5

Método!de!la!Transforma!de!de!Fourier!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!22!

2.5

!Desenvolvimiento!de!fase!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!24!

2.6

!PSI!Generalizado!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!24!

2.7

!Referencias!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!25!

!

CAPÍTULO!3!

Interferometría!de!corrimiento!de!fase!por!modulación!de!amplitud!en!y!

no!cudratura:!nuevo!cambiador!de!fase!

3.1

!Introducción!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!29!

3.2

!Modulación!de!amplitud!en!cuadratura!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!29!

3.3

!Modulación!de!amplitud!en!no!cuadratura!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!34!

3.4

!Referencias!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!39!

!

!

(5)

CAPÍTULO!4!

Métodos!experimentles!de!modulación!de!amplitud!para!la!

implementación!del!método!de!modulación!de!amplitud!en!no!

cuadratura!

4.1

!Introducción!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!40!

4.2

!Métodos!de!modulación!de!amplitud!!!!! !

!

!

!!!!!!!!!40!!

4.2.1

Filtros!de!densidad!neutra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!40!

4.2.1.1! Prueba! cualitativa! para! determinar! si! existe!

corrimiento!de!fase!debida!a!los!filtros!neutros!!!!!!!!!!!!!!41!

4.2.1.2!Método!de!Pfaff!para!determinar!si!existe!

corrimiento!de!fase!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!43!

4.2.1.3!Caracterización!en!amplitud!de!filtros!neutros!!!!45!!

4.2.1.4!Caracterización!en!amplitud!de!filtros!neutros!

mediante!el!método!de!la!Transformada!de!Fourier!!!!!!!46!

4.2.1.5!Caracterización!en!amplitud!de!filtros!neutros!

mediante!el!método!!de!corrimiento!de!fase!!!!!!!!!!!!!!!!!!!48!

4.2.2

Órdenes!de!difracción!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!50!

4.2.3

Divisores!variables!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!50!

4.2.4

Modulador!Mach`Zehnder!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!51!

!!!!!!!!!!!!!!!!!4.2.5!!Retardador!dinámico!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!52!

4.3!Interferómetros!de!tres!haces!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!53!

4.3.1!!Configuración!Mach`Zehnder!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!53!

4.3.2

Interferómetro!de!trayectoria!común!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!55!

(6)

CAPÍTULO!5!

Interferometría!de!modulación!de!fase!y!visibilidad:!Nuevo!método!de!

extracción!de!fase!

5.1!Interferometría!de!modulación!homogénea!de!fase!y!visibilidad!por!

medio!de!una!modulación!binaria!en!no!cuadratura!de!la!amplitud!del!

campo!eléctrico!con!filtros!de!densidad!neutra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!61!

5.1.1!Introducción!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!61!

5.1.2!Análisis!teórico!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!61!

5.1.3!Simulación!numérica!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!66!

5.1.4!Resultados!experimentales!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!71!

5.1.5!Conclusiones!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!74!

5.1.6!Medición!de!corrimiento!de!fase!por!el!método!de!ajuste!a!

elipses!de!intensidad!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!75!

4.3.2

Referencias!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!79!

5.2!Interferometría!de!modulación!homogénea!de!fase!y!visibilidad!por!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

medio! de! una! modulación! binaria! “on`off”! en! no! cuadratura! de! la!

amplitud!del!campo!eléctrico!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!81!

5.2.1!Introducción!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!81!

5.2.2!Análisis!teórico!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!81!

5.2.3!Simulación!numérica!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!88!

5.2.4!Verificación!experimental!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!90!

5.2.5!Discusiones!y!comentarios!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!92!

(7)

5.3! Interferometría! de! modulación! de! fase! por! medio! de! modulación!

on`off!de!amplitud!en!no!cuadratura,!en!una!sola!toma!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!95!

5.3.1!Introducción!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!95!

5.3.2!Análisis!teórico!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!95!

5.3.3!Verificación!experimental!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!100!

5.3.4!Discusiones!y!comentarios!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!102!

5.3.5!Referencias!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!102!

!

CAPÍTULO!6!

Conclusiones!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!104!

Referencias!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!106!

APÉNDICE!

Publicaciones!referentes!a!la!tesis!doctoral!

!

!

!

!

!

!

(8)

Resumen!

!

Existen!muchas!técnicas!propuestas!para!la!extracción!de!fase!en!interferometría,!una!de!las!más! usadas! es! la! interferometría! de! corrimiento! de! fase! basada! en! la! interferencia! de! dos! ondas! en! donde! sólo! aparece! un! término! de! interferencia,! realizándose! dicho! corrimiento! mediante! una! diferencia!de!fase!contante!entre!ellas.!

En! el! presente! proyecto! de! tesis! se! presenta! un! nuevo! método! de! generar! cambios! de! fase! constante!para!interferometría!de!corrimiento!de!fase!basado!en!la!variación!de!amplitud!de!los! campos! bajo! el! esquema! de! un! interferómetro! de! tres! haces,! en! donde! uno! es! usado! como! de! prueba!y!los!otros!dos!son!usados!para!implementar!el!haz!de!referencia!modulado!en!fase!(PM)! mediante! el! método! de! modulación! de! amplitud! en! y! no! cuadratura! (QAM! y! NQAM).! NQAM! consiste!en!la!modulación!de!amplitud!de!dos!haces!que!se!suman!y!mantienen!una!diferencia!de! fase,!y!en!un!caso!particular,!cuando!es!igual!a!π 2!es!llamada!QAM.!Además,!como!algo!aún!más! trascedente!dentro!de!los!métodos!de!extracción!de!fase!en!inteferometría,!en!el!presente!trabajo! de!tesis!doctoral,!se!presenta!un!nuevo!método!de!extracción!de!fase,!más!general!y!más!inmune! al! ruido! que! los! métodos! conocidos! actualmente! tales! como:! interferometría! de! corrimiento! de! fase!(PSI),!de!fase!generalizado!(GPSI)!y!de!franjas!portadoras!(CFI).!Este!método!se!ha!nombrado! como!interferometría!de!modulación!de!fase!y!visibilidad!(PVMI),!cuyo!funcionamiento!se!basa!en! la! modulación! del! haz! de! referencia! en! amplitud! y! fase! (PAM)! mediante! NQAM.! En! PVMI! los! interferogramas! obtenidos! tienen! variaciones! de! fase! y! visibilidad! espaciales! en! lugar! de! ser! constantes! como! en! PSI! o! GPSI.! Como! una! característica! importante! es! que,! a! pesar! de! las! variaciones! generadas! en! PVMI,! es! posible! obtener! la! extracción! de! fase! de! este! tipo! de! interferogramas!con!mayor!inmunidad!al!ruido.!Lo!anterior!es!debido!a!que!las!variaciones!de!fase! y!visibilidad!están!relacionadas!con!la!modulación!de!amplitud!y!con!la!diferencia!de!fase!de!los! haces!con!los!que!se!implementa!el!método!NQAM!para!modular!el!haz!de!referencia.!Así,!si!las! variaciones!de!amplitud!de!las!referencias!resultan!ser!inhomogéneas!y!arbitrarias,!éstas!pueden! ser!calculadas!a!partir!de!las!intensidades!individuales!medidas!y!por!lo!tanto!los!interferogramas! pueden!ser!normalizados!y!sus!variaciones!de!fase!conocidas.!

!

En! un! enfoque! teórico! del! presente! trabajo,! QAM! y! NQAM! son! usados! para! modular! el! haz! de! referencia! en! modo! PM,! siendo! una! contribución! original! en! PSI! como! un! cambiador! de! fase! constante.! Por! otro! lado,! serán! propuestos! dos! arreglos! para! la! demostración! experimental! de! PVMI!como!una!de!las!contribuciones!más!importantes!en!la!presente!tesis!doctoral;!uno!basado! en!la!configuración!Mach`Zehnder!(MZI)!y!el!otro!en!un!interferómetro!de!trayectoria!comun!de! tres!aberturas!(TACPI).!En!MZI,!NQAM!se!implementa!en!modo!binario!usando!filtros!de!densidad! neutra!(NDF)!y!en!modo!on`off!mediante!hojas!obscuras!para!desbloquear`bloquear!el!paso!de!los! haces.!En!TACPI!se!implementa!el!modo!on`off!simultáneamente!en!una!sola!toma!mediante!los! órdenes!de!difracción!de!dos!rejillas!de!Ronchi!cruzadas!con!un!factor!de!llenado!1/2.!

(9)

Capítulo!1!

Organización!de!la!tesis!

1.1

Introducción!

La!interferometría!usa!el!principio!de!superposición!de!las!ondas!electromagnéticas!bajo!ciertas! condiciones! de! coherencia! para! obtener! información! acerca! de! ellas.! Si! el! frente! de! onda! proveniente! de! una! fuente! es! dividido! en! dos! frentes! de! onda! al! utilizar! un! divisor! de! haz! y! se! superpone!nuevamente!en!algún!punto!en!el!espacio!mediante!en!uso!un!recombinador!optico,!la! intensidad!en!el!área!de!la!superposición!variará!de!un!máximo!(cuando!la!cresta!de!dos!ondas! llegan! simultáneamente! al! mismo! punto)! a! un! mínimo! (cuando! un! valle! y! una! cresta! llegan! simultáneamente!al!mismo!punto)!teniendo!como!resultado!lo!que!se!conoce!como!un!patrón!de! interferencia.! En! un! interferómetro! de! dos! brazos! una! onda! es! típicamente! una! onda! plana! o! esférica!conocidas,!el!cual!se!denotará!como!haz!de!referencia,!y!la!otra!onda!contendrá!un!frente! de!onda!distorsionado!cuya!forma!se!desea!conocer,!por!lo!que!se!le!llama!haz!de!prueba.!!

La! aparición! de! franjas! de! interferencia! puede! ocurrir! cuando! dos! o! más! ondas! de! luz! se! superponen! en! algún! punto! en! el! espacio.! A! través! de! un! patrón! de! franjas! se! puede! medir! cantidades! físicas! de! los! objetos,! como! por! ejemplo:! ! su! módulo! de! Young,! obtencion! de! la! topografía,! determinación! de! esfuerzos! mecánicos,! medición! de! temperatura,! de! índice! de! refracción,! distribución! en! 3D! de! desplazamiento! o! deformación,! detección! de! fracturas! mecánicas,! obtención! de! modos! de! vibración,! etc.,! con! una! alta! precisión! del! orden! de! una! fracción!de!la!longitud!de!onda.!!La!interferometría!de!corrimiento!de!fase!(por!sus!siglas!en!ingles! PSI)!es!una!técnica!muy!usada!para!la!extracción!de!fase!como!consecuencia!de!la!evaluación!de! franjas!de!interferencia.!En!esta!técnica!se!generan!una!serie!de!N !interferogramas!corridos!por! un!valor!conocido!de!fase!con!lo!que!se!obtendrá!una!serie!de!N!ecuaciones!cada!una!con!tres! incógnitas!las!cuales!son:!la!luz!de!fondo,!la!luz!de!modulación!y!la!fase!del!objeto,!las!cuales!se! consideran! constantes! durante! la! aplicación! de! la! técnica! de! PSI.! De! esta! manera! se! forma! un! sistema! Nx3el! cual! puede! ser! resuelto! sí!

N

3

.! Dichos! corrimientos! en! un! interferómetro! pueden! ser! introducidos! moviendo! un! espejo,! inclinando! una! placa! de! vidrio,! trasladando! una! rejilla,! usando! un! modulador! electro`óptico! o! acusto`óptico,! usando! un! láser! Zeeman! [1`4]! o! cambiando!el!estado!de!polarización.!Dispositivos!tales!como!espejos!móviles,!rejillas,!placas!de! vidrio!inclinadas,!o!componentes!de!polarización!pueden!producir!un!corrimiento!de!fase!continuo! y!discreto!entre!el!objeto!y!el!haz!de!referencia.!Todos!estos!métodos!efectivamente!cambian!la! frecuencia!de!un!haz!en!el!interferómetro!con!respecto!al!otro!para!generar!una!diferencia!de!fase! entre!los!haces.!!!

(10)

propone! un! nuevo! método! de! corrimiento! de! fase! para! PSI! basado! en! la! modulación! de! la! amplitud!de!las!ondas.!

!

1.2

Planteamiento!del!problema!

En!la!presente!tesis!se!propone!un!nuevo!método!de!corrimiento!de!fase!para!interferometría!de! desplazamiento!de!fase!(PSI)!basado!en!la!modulación!de!la!amplitud!de!dos!ondas!llamadas!ondas! de!referencia!bajo!el!esquema!de!un!interferómetro!de!tres!haces.!

Para! demostrar! dicha! propuesta! se! realizarán! dos! arreglos! experimentales.! Uno! de! ellos! está! basado!en!una!configuración!tipo!Mach`Zehnder,!dicho!método!será!ampliamente!discutido!para! un!caso!particular!(cuando!se!condiciona!a!la!diferencia!de!fase!entre!las!ondas!de!referencia!a! tener! el! valor! de!

π

2

)! y! dos! casos! de! modulación! de! amplitud:! on/off! y! binario.! Ambos! implementan!NQAM!en!modo!fase!y!modulación!(PAM).!El!caso!on/off!es!implementado!mediante! el!bloqueo!y!desbloqueo!del!paso!del!haz.!El!caso!binario!se!implementa!mediante!el!uso!de!filtros! de!densidad!neutra.!El!otro!método!se!basa!en!un!interferómetro!de!trayectoria!común!que!usa! una!rejilla!en!el!plano!de!Fourier!y!tres!ventanas!en!el!plano!objeto.!Si!se!conserva!una!diferencia! de! fase! constante! entre! los! haces! de! referencia! diferente! a!

m

π

! el! haz! resultante! puede! ser! modulado!en!amplitud!y!en!fase!variando!solo!las!amplitudes!de!los!haces!de!referencia,!lo!que! implica! un! corrimiento! de! fase! en! el! patrón! de! interferencia;! en! este! esquema! es! posible! implementar!simultáneamente!el!método!on`off!y!binario.!

!

1.3

!Objetivos!

1.!Mostrar!que!la!modulación!de!amplitud!de!dos!haces!sumados!fuera!de!fase!pueden!modular! un!campo!óptico!en!amplitud!y!fase;!método!llamado!modulación!de!amplitud!en!cuadratura!o!no! cuadratura!(QAM!o!NQAM)!

!

2.!Mostrar!que!tanto!QAM!y!NQAM!implementados!en!modo!sólo!fase!(PM)!pueden!ser!usados! como!cambiadores!de!fase!en!interferometría!de!corrimiento!de!fase.!

!

3.!Proponer! y! desarrollar! un! nuevo! método! de!extracción!de!fase!en!interferometría!basada!en! NQAM!en!modo!modulación!de!fase!y!amplitud!(PAM).!

!

4.! Implementar! algoritmos! de! extracción! de! fase! mediante! el! método! del! gradiente! y! ajuste! de! elipses!de!intensidad.!

!

(11)

1.4

!Organización!de!los!capítulos!

La! presente! tesis! estará! dividida! en! cinco! capítulos,! los! cuales! se! abordarán! desde! el! planteamiento!del!problema,!los!conceptos!fundamentales!de!interferometría!de!corrimiento!de! fase,!análisis!del!problema!y!simulación,!hasta!llegar!a!los!resultados!experimentales!obtenidos.!

En!el!capítulo!1!se!da!una!breve!descripción!de!la!interferometría!y!de!la!técnica!de!PSI,!así!como!el! planteamiento!del!problema!a!tratar,!los!objetivos!y!una!descripción!general!de!cada!capítulo.!

En! el! capítulo! 2! se! hace! un! análisis! matemático! para! la! interferencia! de! dos! o! más! ondas,! se! describe!el!concepto!de!interferometría!de!corrimiento!de!fase!(PSI)!y!los!métodos!comúnmente! usados! para! realizar! corrimientos! de! fase,! así! como! una! descripción! general! de! los! métodos! de! extracción!de!fase.!

En! el! capítulo! 3! se! hará! un! análisis! teórico! sobre! el! nuevo! método! propuesto! para! generar! corrimiento!de!fase!mediante!la!modulación!de!la!amplitud!de!los!campos,!en!donde!se!analizará! el!caso!particular!(cuando!la!diferencia!de!fase!entre!los!haces!de!referencia!es!igual!a!

π

2)!y!para! el! caso! general! (cuando! la! diferencia! de! fase! entre! los! haces! de! referencia! está! en! el! rango! de!

(

0,2

π

)

).!

!En!el!capítulo!4!se!describirán!los!métodos!comúnmente!utilizados!para!hacer!una!modulación!de! amplitud.!Se!presentará!una!caracterización!en!fase!y!amplitud!para!los!filtros!de!densidad!neutra! debido!a!que!éstos!serán!utilizados!en!uno!de!los!arreglos!experimentales!que!se!propondrán!en!el! capítulo! 5.! Finalmente! se! presentarán! una! descripción! y! análisis! matemático! de! dos! tipos! de! arreglos! interferométrico! que! serán! utilizados! en! la! implementación! experimental! del! método! propuesto,!los!cuales!serán!la!configuración!tipo!Mach`Zehnder!y!de!trayectoria!común.!

En!el!capítulo!5!se!presentarán!tres!metodologías!en!forma!teórica!y!sustentadas!con!resultados! experimentales!que!se!basan!en!la!interferencia!de!un!haz!de!prueba!con!un!haz!de!referencia!el! cual!está!!formado!a!su!vez!por!la!superposición!de!dos!haces,!que!es!modulado!en!amplitud!y!fase! (PAM)! mediante! el! método! de! modulación! de! amplitud! en! no! cuadratura! (NQAM),! bajo! los! siguientes!esquemas!experimentales:!

a) Dos! de! ellos! basados! en! dos! interferómetros! tipo! Mach`Zehender! conectados! en! serie! donde!la!modulación!de!amplitud!se!hará!mediante!el!uso!de!filtros!de!densidad!neutra! NDF!y!de!hojas!de!plástico!negro!

b) Un! interferómetro! de! trayectoria! común! donde! la! modulación! de! la! amplitud! la! hará! intrínsecamente!una!rejilla!de!Ronchi!colocada!en!su!plano!de!Fourier!

(12)

para! calcular! de! manera! aproximada! el! corrimiento! de! fase! entre! dos! patrones! de! interferencia.!

(13)

Capítulo!2!

Antecedentes!

2.1!Introducción!

2.2!Interferencia!de!dos!ondas!

Podemos! representar! n! perturbaciones! ópticas! en! forma! compleja,! con! polarización! elíptica! y! viajando!en!dirección!z!de!la!siguiente!forma:!

k

k i

i ky kx

k E i E e j e

E! =( ˆ+ δ ˆ) φ ,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(1)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

donde!k !toma!valores!de!1…n,!φk!es!la!fase!de!cada!frente!de!onda!y!δk!es!la!diferencia!de!fase! relativa!entre!las!componentes!de!cada!onda!(por!simplicidad,!se!han!omitido!las!dependencias! temporales!y!espaciales).!En!el!caso!particular!que!

δ

km

π

!donde!mes!un!número!entero,!la!

onda!tendrá!polarización!lineal;!por!el!contrario,!en!el!caso!que! Ekx!=!Eky!y!

2 ) 1 2

(

π

δ

km+ !!!!! la!onda!tendrá!polarización!circular!1.!

El!fenómeno!de!interferencia!puede!ocurrir!cuando!dos!o!más!ondas!se!traslapan!entre!ellas!en!el! espacio!y!matemáticamente!la!onda!resultante!es!la!suma!vectorial,!

=

= n

k k

T E

E 1

! !

.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2)!

Cuando!el!campo!es!observado!mediante!un!detector,!el!resultado!es!el!promedio!de!energía!del! campo!por!unidad!de!área!durante!el!tiempo!de!integración!del!detector,!es!decir,!la!irradiancia,!la! cual! se! demuestra! que! es! proporcional! al! módulo! cuadrado! de! la! amplitud2.! Sin! embargo,! usualmente!se!acepta!la!aproximación!!

!

2

1 2

= =

= n

k k

T E

E

I ! ! ,! (3)!!

Si!se!tienen!dos!o!más!ondas!polarizadas!linealmente!en!el!mismo!plano,!la!suma!de!éstas!en!un! punto!en!el!espacio!admite!un!tratamiento!escalar,!esto!es! i k

k k E e

E = 0 φ por!lo!tanto!la!Ec.!(3)!se! convierte!en!!

!

2

1 2

=

=

= n

k k

T E

E

(14)

Un!interferómetro!es!un!instrumento!que!emplea!la!interferencia!de!las!ondas!de!luz!para!medir! con!alta!aproximación!pequeñas!deformaciones!del!frente!de!onda.!El!esquema!general!para!un! interferómetro!de!dos!haces!se!puede!observar!en!la!Figura!1,!donde!una!onda!electromagnética!

E!!es!dividida!típicamente!en!dos!partes!coherentes!esto!es,!en!una!onda!E1

! onda! de! referencia! y! E2

!

! es! la! onda! de! prueba.! Lo! más! usado! como! divisor! de! haz! es! un! vidrio! semitransparente.! Después! de! que! las! ondas! E1

!

! y! E!2! han! viajado! a! lo! largo! de! dos! brazos! separados! y! que! han! acumulado! retrasos! de! fase,! se! vuelven! a! recombinar! por! medio! de! un! segundo!divisor!de!haz!para!dar!como!resultado!al!campo!ET

! .!

!

Figura!1.!Esquema!general!de!un!interferómetro!de!dos!haces.!

Para!el!caso!particular!de!dos!ondas!(n=2),!utilizando!la!Ec.!(3)!para!el!tratamiento!vectorial,!se! encuentra!que!la!irradiancia!(debido!a!la!alta!frecuencia!de!la!onda!de!luz!y!la!escasa!rapidez!de! en! la! Ec.! (5)! se! puede! observar! que! existen! tres! términos,! los! cuales! serán! desarrollados! a! continuación!

donde!k !tomará!los!valores!de!1!y!2!con!lo!cual!se!obtendrán!los!dos!primeros!términos!de!la!Ec.! (5),!el!tercer!término!de!esta!ecuación!se!obtiene!evaluando!los!productos!cruzados!

(15)

donde! 2 2 por!la!suma!de!dos!patrones!de!interferencia,!uno!con!componentes!en!x!(ax+bxcos

φ

)!y!el!otro! con!!componentes!en!

y

!(ay+bycos

(

φ

+

δ

)

).!

donde!a!es!conocida!como!la!luz!de!fondo,!b!como!la!luz!de!modulación!y!

ψ

!indica!un!corrimiento! de!fase!adicional,!los!cuales!pueden!ser!dados!por!

Cabe!destacar!de!la!Ec.!(11)!que!tanto!el!corrimiento!de!fase!ψ !como!la!luz!de!fondo!a!y!la!luz!de! modulación!b!dependen!de!las!componentes!ax,!ay,!bx,!by!y!de!la!diferencia!de!fase!entre!las!

amplitudes!de!las!ondas!δ.!Note!que,!un!corrimiento!de!fase!ψ !también!produciría!un!cambio!

tanto!en!a!como!en!b.! !

En!un!caso!particular,!si!se!logra!que!en!la!Ec.!(11)!bx=by =b0!entonces!

δ

con! lo! cual! se! consigue! un! corrimiento! de! fase! que! puede! ser! modificado! cambiando! la! polarización!de!las!ondas!a!interferir!mediante!δ .!Una!forma!de!cambiar!la!polarización!de!una! onda! es! mediante! el! uso! de! un! retardador! o! lámina! de! onda,! donde! el! cambio! de! polarización! dependerá! del! ángulo! al! que! se! coloque! este! retardador! así! como! de! sus! características.! Los! retardadores!comúnmente!son!de!λ 2!y!de!λ 4,!sin!embargo!existen!láminas!de!onda!variable! que!también!hacen!posible!este!cambio!de!polarización.!

Si!se!da!un!valor!de!

δ

=

π

2

!en!la!Ec.!(11),!tenemos! !

x

(16)

y yE

E1 2 ! y! a! la! vez! éstas! amplitudes! están! ligadas! entre! sí,! da! como! consecuencia! que! el!

corrimiento!de!fase!resulte!impráctico.!

Como!casos!particulares!de!la!interferencia!de!dos!ondas,!si!estas!se!hacen!interferir!con!la!misma! elipticidad!(implica!que!

δ

1

=

δ

2

=

δ

0,δ =0),!girando!hacia!el!mismo!sentido!y!con!el!mismo!ángulo!

de! inclinación! de! la! elipse! entonces! según! la! Ec.! (11)

!

(

)

y x b b + =0

tan

ψ

,! y! por! lo! tanto!

φ

cos

b a

I= + .!!

0

=

ψ ;!!!!!!!!!!!!!!! 2 2 2 2

y y x x bb b b

b = + + ,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(14)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !

Para!el!caso!particular!en!que!estas!ondas!tengan!una!polarización!circular!y!que!sus!amplitudes! sean!iguales!entre!sí,!entonces!bx=by =b0,!ax =ay =a0!por!lo!tanto!b=2b0,!a=2a0,!debido!a!

esto! I=2

(

a0 +b0cos

φ

)

,! con! lo! que! se! puede! concluir! que! de! la! interferencia! de! dos!

polarizaciones!circulares!de!igual!amplitud,!se!obtiene!dos!veces!el!mismo!patrón.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

En!el!caso!en!que!las!ondas!tengan!polarizaciones!girando!en!sentido!opuesto,!

δ

1 =−

δ

2 =

δ

0,!se! tiene:!

δ

=2

δ

0!

0 0

2 cos

2 sin tan

δ δ ψ

y x

y

b b

b

+

= ;!!!! 2 2 2 cos

( )

2 0 2

y y

x

x bb b

b

b = +

δ

+ ,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(15)!

En!general!para!este!caso!existe!corrimiento!de!fase,!por!lo!que!el!patrón!de!interferencia!es!de!la! forma!de!la!Ec.!(10)!tomando!en!cuenta!que!ahora!

ψ

!y!bestán!dados!por!la!Ec.!(15).!!!!!!!!!!!!!!

Si!estas!ondas!tienen!polarización!circular,!haciendo!que!

δ

0 =

π

2,!el!corrimiento!de!fase!según!la! Ec.!(14)!está!dado!por!tanψ =0

(

bxby

)

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Si!estas!dos!polarizaciones!circulares!tienen!la!misma!amplitud!bx =by,!entonces!b=0!por!lo!que!

a

I = ,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(16)!

con!lo!cual!se!puede!concluir!que!de!la!interferencia!de!dos!ondas!polarizadas!circularmente!de! igual!amplitud!y!girando!en!sentidos!opuestos!hace!que!no!exista!término!de!interferencia!debido! a!que!las!componentes!de!estas!dos!ondas!son!ortogonales!entre!sí.!!

!

!

2.3!Interferometría!de!corrimiento!de!fase!

(17)

moteado! (Nakadate! and! Saito! 19857;! Creath! 19858;! Robinson! and! William! 19869! y! a! Interferometría!holográfica!(Nakadate!et&al.!198610;!Stetson!and!Brohinski!198811).!

En!un!interferómetro!de!corrimiento!de!fase!un!frente!de!onda!de!referencia!es!movido!a!lo!largo! de!su!dirección!de!propagación!con!respecto!al!frente!de!onda!de!prueba,!cambiando!por!tanto!la! diferencia! de! fase! entre! ellas12.! Es! posible! determinar! la! fase! del! frente! de! onda! bajo! prueba! midiendo!los!cambios!en!la!irradiancia!correspondiente!a!cada!corrimiento!de!fase.!!

En!un!interferómetro!se!tienen!generalmente!dos!haces,!uno!que!es!el!haz!de!prueba!(E!1)!y!el! otro! (E!2)! el! haz! de! referencia,! los! cuales! se! pueden! expresar! como! en! la! Ec.! (1).! La! intensidad! resultante!de!la!interferencia!de!estas!dos!ondas!es!expresada!como!en!la!Ec.!(10).!

!

2.3.1!Algunos!métodos!para!generar!corrimiento!de!fase!

En!la!práctica,!hay!diversas!maneras!de!poder!generar!un!corrimiento!de!fase,!entre!las!cuales!las! más!comunes!son:!!

2.3.1.1!Movimiento!de!un!espejo!

Este! método! consiste! en! cambiar! el! camino! óptico! de! un! haz! mediante! el! movimiento! de! un! espejo!colocado!a!lo!largo!de!la!!trayectoria!de!este.!Este!movimiento!se!puede!hacer!con!el!uso!de! un!transductor!piezoeléctrico!(Soobitsky,!198813;!Hayes,!198914).!Debido!a!que!el!cambio!de!fase!

(

2π λ

)

(dco)

ψ = ,!donde!dcoes!la!diferencia!de!camino!óptico.!Como!ejemplo!ilustrativo,!si!en!la! Figura!2a!el!espejo!es!trasladado!una!distancia!de!λ 8!y!debido!a!que!el!haz!recorre!dos!veces!la! misma! trayectoria,! entonces! el! corrimiento! de! fase! es!ψ =π 2.! Ejemplos! de! interferómetros! basados! en! corrimiento! de! fase! por! medio! de! un! piezoeléctrico! son! los! interferómetros! de! Twyman`Green,!Mach`Zehnder,!Fizeau,!los!cuales!se!representan!el!la!Figura!2.!Los!primero!dos! realizan!un!corrimiento!de!fase!por!medio!del!movimiento!de!un!espejo!que!está!colocado!en!el! brazo!de!referencia.!En!el!interferómetro!de!Fizeau!el!corrimiento!de!fase!se!hace!se!hace!con!la! traslación!del!objeto!de!prueba!o!de!referencia.!

(18)

!

!

Figura!2.!Esquemas!más!usados!de!interferómetro:!(a)!Twyman`Green,!(b)!Mach`Zehnder,!(c)!Fizeau.!

2.3.1.2!Rotando!una!placa!de!fase!

(19)

2.3.1.3!Desplazando!una!rejilla!de!difracción!

Este!método!consiste!en!mover!una!rejilla!perpendicularmente!al!haz!de!luz!(Suzuki!y!Hioki!196724;! Stevenson! 197025;! Bryngdahl! 197626;! Srinivasan!et& al.198527,! Meneses!et& al.!200928)! como! se! muestra!en!la!Figura!3.!Si!la!rejilla!de!difracción!se!mueve!una!pequeña!distancia!Δy,!los!cambios!

de! fase! están! dados! por! y d

m

Δ

= π

ψ 2 ! donde! d es! el! periodo! de! la! rejilla! y! mes! el! orden! de! difracción.!

2.3.1.3.1!Corrimiento!mediante!el!desplazamiento!de!una!rejilla!en!un!interferómetro!de!

trayectoria!común!de!dos!ventanas!

Este!corrimiento!se!hará!bajo!el!esquema!de!un!interferómetro!de!trayectoria!común!de!dos!haces! el!cual!está!basado!en!un!sistema!telecéntrico!formador!de!imágenes!de!doble!transformada!de! Fourier,!que!consta!de!dos!ventanas!en!el!plano!objeto!separadas!por!una!distancia!x0!y!una!rejilla!

de!Ronchi!de!periodo!espacial!upen!el!plano!de!frecuencia!(espacio!de!Fourier).!!

!

Figura!3.!!Interferómetro!de!trayectoria!común!de!dos!haces,!la!figura!ilustra!la!suma!de!dos!campos!simultáneamente!en!diferentes! puntos!debido!a!la!superposición!de!los!órdenes!de!difracción!de!las!ventanas.!

La!Figura!3!muestra!un!esquema!unidimensional!del!sistema,!donde!el!eje!óptico!coincide!con!el! eje!z!y!el!plano!del!objeto!coincide!con!el!plano!xy.!Entonces,!en!el!plano!imagen!en!virtud!de!los! efectos! de! difracción! de! campo! lejano! de! Fraunhofer,! cada! ventana! estará! replicada! uniformemente! por! la! distancia! λf up(siendo! λ! la! longitud! de! onda! de! la! fuente! de! luz! del!

sistema! y! f la! distancia! focal! de! las! lentes! transformadoras).! De! manera! que! si! escogemos! la! distancia!!x0!en!el!plano!objeto!con!respecto!a!la!separación!de!las!réplicas!en!el!plano!imagen!

p u f

λ ,!la!interferencia!de!las!ventanas!de!entrada!puede!llevarse!a!cabo.!Por!lo!tanto,!la!distancia! de!separación!entre!ventanas!para!que!se!propicie!la!interferencia!puede!escribirse!como!

p u

f

(20)

Debido!a!que!se!desea!la!superposición!de!dos!campos!es!conveniente!cambiar!los!puntos!A!y!B!de! la! Figura! 3! por!dos!ventanas.! La! descripción! de! una! onda! plana!que! las!cruza! puede!describirse! mediante!

donde!t(x,y)!representa!la!función!de!transmitancia!en!el!plano!objeto,!φ!es!la!fase!asociada!a!la! onda!de!prueba,!w1,!w2!son!funciones!de!ventana,!en!la!que!w1!se!considerará!libre!de!obstáculo,!

por!lo!que!el!haz!que!pasa!por!ella!actuará!como!brazo!de!referencia,!w2!contendrá!al!objeto!bajo!

estudio! por! lo! que! se! considerará! como! brazo! del! objeto;! A1! y! A2! son! las! amplitudes! de! los!

campos! ! E1! y! E2.! Las! ! funciones! de! ventanas! están! expresadas! en! términos! de! una! función! rectángulo!de!ancho!

a

!y!de!altura!b!

⎟ cuyas!copias!de!sí!misma!estarán!en!periodos!n

µ

p!y!la!cual!puede!ser!movida!transversalmente!a! una!distancia!

µ

d!

(

)

donde! los! subíndices! a,! p,! d indican! el! ancho! de! la! barra! brillante,! periodo! de! la! rejilla! y! desplazamiento!de!la!misma.!

La! transmitancia! de! salida! está! dada! por! la! operación! de! convolución! entre! la! transmitancia! de! entrada!t(x,y)!y!la!respuesta!al!impulso!de!la!función!de!rejilla!!r(x,y)!

)

(21)

{

}

Lo! cual! resulta! un! “peine”! de! Dirac! modulado! por! una! función!

senc

;! donde! se! ha! tomado! en! cuenta!las!relaciones!entre!las!variables!espaciales!y!frecuenciales!

La! Ec.! (27)! muestra! que! la! función! de! transmitancia! de! entrada! es! trasladada! a! la! posición! horizontal! x=nxp! donde!

n

! es! un! número! entero! que! varía! en! el! intervalo! de! (−∞,∞).! Esto! quiere!decir!que!a!la!salida!se!tendrá!una!réplica!de!la!función!de!entrada!en!cada!periodo! xp,! notando!que!la!amplitud!varía!dependiendo!de!los!valores!de!n.!

Sustituyendo!la!Ec.!(18)!en!la!Ec.!(21)!para!obtener!la!transmitancia!de!salida!en!términos!de!las!

Obteniendo!las!expresiones!para!los!órdenes!de!difracción!n= j,k!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

(22)

Para!que!se!dé!el!traslape!entre!los!órdenes!de!difracción!de!las!ventanas!w1k!y!w2j,!se!igualan!los!

(23)
(24)

⎥ respecto!al!eje!óptico!de!la!rejilla!ud,!así!como!de!los!órdenes!de!difracción!k , j!que!se!traslapen.!

Como!ejemplo!si!la!rejilla!de!la!Figura!4!se!mueve!perpendicularmente!con!respecto!al!eje!óptico,! se!generará!un!corrimiento!de!fase.!!

2.3.1.4!Inclinando!una!placa!de!vidrio!

Otro! método! de! hacer! corrimiento! de! fase! es! insertando! una! placa! de! vidrio! en! el! haz! de! luz! (Wyant!y!Shagam!197829).!El!corrimiento!de!fase!

0

ψ

!es!generado!cuando!esta!placa!de!vidrio!es!

inclinada!un!ángulo!ϑ!con!respecto!al!eje!óptico,!por!lo!tanto!ψ =

(

ncosϑ'cosϑ

)

n t

,!donde!

t

!es!

el!espesor!de!la!placa!de!vidrio,!

n

!es!el!índice!de!refracción,!

(25)

2

Si! estas! dos! ondas! se! hacen! interferir,! entonces! según! la! Ec.! (16)! no! existirá! un! término! de! interferencia,!por!lo!cual!no!se!observarán!franjas,

!sin!embargo!si!estas!dos!ondas!!se!hacen!pasar! por!un!polarizador!colocado!a!un!ángulo!

α

y!posteriormente!se!hacen!interferir!entonces!

)

!colocado!a!un!ángulo!

α

.!En!la!Ec.!(57)! se!!observa!que!existe!un!corrimiento!de!fase!en!el!patrón!de!interferencia!el!cual!es!igual!al!doble! del!ángulo!al!cual!se!coloque!el!polarizador!lineal28,30,31.!

(26)

!

!

!

!

!

!

Figura!4.!Esquemas!de!interferómetros!donde!se!utiliza!el!método!de!corrimiento!de!fase!por!medio!de!polarización.!

2.4.1.6!Mediante!el!cambio!de!la!fuente!de!luz!laser!

Otro!método!para!producir!corrimiento!de!fase!es!cambiando!la!frecuencia!de!la!fuente!laser.!Este! cambio!se!puede!hacer!de!dos!maneras.!Uno!de!los!métodos!es!iluminando!el!interferómetro!con! un! láser! Zeeman.! La! frecuencia! del! láser! es! dividida! en! dos! frecuencias! ortogonalmente! polarizadas! de! salida! por! medio! de! un! campo! magnético! (Burgwald! and! Kruger! 197032).! El! otro! método!es!mediante!el!uso!de!un!interferómetro!desbalanceado,!esto!es,!uno!con!una!diferencia! de!caminos!ópticos!muy!larga,!y!usando!un!diodo!laser!con!su!frecuencia!controlada!por!corriente! como! fue! propuesto! por! Ishii!et& al.! (1991)33! y! posteriormente! estudiado! por! Onodera! ! e! Ishii! (1996)34.! Este! método! se! basa! en! el! hecho! que! la! diferencia! de! fase! en! un! interferómetro! es! proporcional!al!producto!de!la!diferencia!de!caminos!ópticos!y!la!frecuencia!temporal.

!

En!resumen,!las!técnicas!de!corrimiento!de!fase!aquí!expuestas!son!aplicadas!en!interferómetros! de! dos! brazos;! sin! embargo! ninguna! de! estas! usa! la! variación! de! la! amplitud! de! los! campos! a! interferir,!por!lo!que!en!la!presente!tesis!se!abordará!esta!opción.!!

!

2.4!Métodos!de!extracción!de!fase!

La!interferometría!de!corrimiento!de!fase!se!basa!en!la!reconstrucción!de!la!fase!

φ

!mediante!el! muestreo!de!un!cierto!número!de!patrones!de!interferencia!los!cuales!difieren!entre!ellos!debido!a! diversos!valores!de!

ψ

0.!Si!se!hace!un!corrimiento!de!

ψ

0!en!N!pasos,!entonces!serán!medidos!N!

valores!de!intensidad!In!(donde!n=1,...,N)!!

(

n

)

n a b

I = + cos

φ

+

ψ

0 .!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(59)!

donde!

ψ

0n =2

π

n N.!

La!Ec.!(59)!se!puede!reescribir!como!

n n

n A B C

(27)

donde!!

a

A= ,!!!!!!!!!!!!!B=bcos

φ

!,!!!!!!!!!!!!!C=bsin

φ

.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(61)!

Se! puede! mostrar! en! base! al! ajusto! de! mínimos! cuadrados! que! B! y! C! satisfacen! las! siguientes! ecuaciones!en!forma!analítica36!

En!general!para!determinar!la!fase!φ!son!necesarias!un!mínimo!de!tres!mediciones,!debido!a!que! existen!tres!incógnitas!en!la!ecuación!general!!de!interferencia!Ec.!(10):!a,!b!y!!φ ,!donde!a!es!la! luz! de! fondo,!b! es! la! luz! de! modulación,!φ! es! la! fase! del! frente! de! onda.! Sin! embargo,! con! un! puede! ser! calculada! con! un! corrimiento! de!π 2! por! exposición.! Las! tres! medidas! de! intensidad! pueden!ser!expresadas!como!(Wyant,!Koliopoulus,!Bhushan!and!George!198437).!

(28)

Si!se!usa!un!corrimiento!de!fase!de!2π 3,!las!tres!mediciones!de!intensidad!serán!

(29)

2.4.3!Técnica!de!Carré!

En!las!técnicas!anteriores,!es!posible!conocer!el!corrimiento!de!fase!calibrando!el!instrumento!que! realiza! este! corrimiento! o! midiendo! cuanto! se! ha! corrido! la! fase! cada! vez! que! existe! un! movimiento.! Carré39! presentó! una! técnica! de! corrimiento! de! fase! que! es! independiente! de! la! cantidad! en! que! se! ha! corrido! la! fase,! sin! embargo! la! magnitud! de! este! corrimiento! debe! ser! constante,!lo!cual!da!como!ventaja!que!la!fase!no!necesita!ser!calibrada.!Esta!técnica!asume!que!la! fase! se! ha! corrido! por!ψ0! entre! medidas! de! intensidad! consecutivas! para! tener! las! siguientes!

cuatro!ecuaciones!

(30)

El! método! 2+1! (Angel! y! Wizinowich,! 198840;! Wizinowich,! 1989,! 199041)! ataca! el! problema! antes! descrito!haciendo!que!la!fase!de!uno!de!los!haces!sea!corrida!π 2!de!una!manera!tan!rápida!que! se!puedan!reducir!efectos!de!la!vibración,!es!decir!

φ

cos

1

a

b

I

=

+

,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(84)!

φ π

φ sin

2 cos

2 a b a b

I = + ⎢⎣⎡ − ⎥⎦⎤= + .!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(85)!

Posteriormente!se!toma!un!tercer!interferograma!el!cual!es!el!promedio!de!dos!interferogramas! con!un!corrimiento!de!fase!de!180°!

[

]

[

(

)

]

{

a b a b

}

a

I = + cosφ + + cosφ+π = 2

1

3 .!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(86)!

Resolviendo!las!Ecs.!(84`86)!para!la!obtención!de!la!fase!del!frente!de!onda!se!tiene!

⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝

⎛ − − = −

3 1

3 2 1

tan

I I

I I

φ

!.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(87)!

!

2.4.5!Método!de!la!transformada!de!Fourier.!

Las!deformaciones!del!frente!de!onda!en!un!interferograma!también!pueden!ser!calculadas!con!un! procedimiento!que!usa!la!transformada!de!Fourier.!Este!método!fue!originalmente!propuesto!por! Takeda&et&al.!(1982)47!usando!la!transformada!de!Fourier!en!una!sola!dimensión!a!lo!largo!de!una! línea! escaneada.! Más! tarde! Macy48! (1983)! extendió! el! método! de! Takeda! a! dos! dimensiones! añadiendo! la! información! de! varias! líneas! escaneadas,! obteniendo! rebanadas! de! la! fase! en! dos! dimensiones.! Bone!et& al! (1986)49! extendió! el! trabajo! de! Macy! a! dos! dimensiones! usando! la! transformada!de!Fourier!en!dos!dimensiones.!!

Una!vez!obtenido!el!interferograma!(al!cual!se!le!ha!introducido!una!fase!lineal50,51,52)!,!se!calcula! su!transformada!de!Fourier,!con!lo!cual!se!obtiene!una!imagen!en!el!espacio!de!Fourier!como!se! muestra!en!la!Figura!5a,!una!vez!obtenida!esta!imagen,!se!toma!uno!de!los!lóbulos!laterales!y!se! aísla!por!medio!de!una!frontera!de!tal!manera!que!todos!los!valores!de!irradiancia!fuera!de!esta! son!multiplicados!por!cero.!Después!de!que!este!lóbulo!es!aislado,!se!recorre!su!centro!al!origen! de!coordenadas!y!se!le!obtiene!su!transformada!de!Fourier,!lo!que!da!como!resultado!el!frente!de! onda!bajo!prueba.!

(31)

donde!a~,!c~!y!~c*son!amplitudes!complejas!de!Fourier.!Por!medio!de!un!filtraje!digital,!un!lóbulo!

lateral! es! aislado! usando! una! ventana! de! filtraje! y! recorriéndolo! hacia! el! origen! haciendo! que!

0

(32)

2.5!Desenvolvimiento!de!fase!

El!cálculo!de!la!fase!presentará!discontinuidades!debido!a!que!es!obtenida!mediante!el!uso!de!la! tangente! inversa! Ec.! (63).! Debido! a! que! la! tangente! inversa! es! una! función! multivaluada,! la! solución! para!φ! es! una! función! diente! de! sierra! Figura! 6a,! donde! las! discontinuidades! ocurren! cada! vez! que!φ! cambia! por!2π .! Si!φ! se! incrementa,! la! pendiente! de! la! función! es! positiva! y! viceversa! si! la! fase! decrece.! El! paso! final! en! el! proceso! de! medición! del! patrón! de! franjas! es! desenvolver!o!“integrar”!la!fase!a!lo!largo!de!una!línea!o!camino!contando!las!discontinuidades!en!

π

2 !y!sumándole!2π cada!vez!que!el!ángulo!de!la!fase!haga!un!salto!de!2π !a!cero!y!restando!2π ! si! cambia! de! cero! a! 2π .! La! Figura! 6b! muestra! los! datos! de! la! Figura! 6a! después! del! desenvolvimiento.! La! clave! de! un! confiable! algoritmo! de! desenvolvimiento! de! fase! está! en! su! capacidad!de!detectar!con!estos!saltos!con!precisión.!

!

Figura!6.!!a)Discontinuidades!presentadas!en!una!fase!envuelta,!(b)!fase!desenvuelta.!

El! principio! básico! del! desenvolvimiento! de! fase! es! “integrar”! la! fase! envuelta! (en! unidades! de!!

π

2 )!a!lo!largo!de!una!línea!de!datos.!El!gradiente!de!fase!se!calcula!para!cada!pixel!!

1 − − =

Δ

φ

φ

n

φ

n ,!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! (91)!

donde!nes!el!número!de!pixel.!Si! Δ

φ

!excede!un!cierto!umbral!como!π ,!entonces!se!asume!una! discontinuidad.!Este!salto!de!fase!es!corregido!mediante!la!suma!o!resta!de!2π !dependiendo!del! signo!de! Δ

φ

.!El!principio!más!usado!para!corregir!estas!discontinuidades!en!la!fase!se!basa!en!el! hecho!que!la!diferencia!de!fase!entre!cualesquiera!dos!puntos!medida!integrando!la!fase!a!lo!largo! de! una! trayectoria! entre! estos! dos! puntos! es! independiente! del! camino! escogido,! siempre! y! cuando!no!pase!a!través!de!una!discontinuidad!de!fase.!

!

2.6!PSI!Generalizado!

(33)

recorridos! en! fase! entre! sí,! si! este! corrimiento! es! conocido,! constante! o! no,! entonces! se! puede! hacer! uso! de! la!Ec.! (23).! En! el! caso! que! no! se! conozca! el! valor! del! corrimiento,! pero! es! éste! es! constante,!se!puede!aplicar!el!método!de!Carré.!Debido!a!factores!externos!al!experimento!como! son! vibraciones! o! turbulencia! del! aire,! muchas! veces! no! es! posible! conseguir! las! condiciones! mencionadas,! para! tal! caso! se! presenta! el! PSI! generalizado! (G`PSI)! debido! a! que! se! tiene! un! corrimiento! de! fase! no! constante! y! desconocido! presentado! como! inconveniente! que! por! cada! corrimiento! de! fase! se! obtiene! una! nueva! ecuación! con! una! variable! extra.! Se! han! propuesto! varias!técnicas!para!encontrar!la!fase!en!un!G`PSI42,!entre!las!se!puede!encontrar!la!técnica!de!dos! pasos43! con! la! cual! se! puede! recuperar! la! fase! del! objeto! con! un! corrimiento! de! fase! y! dos! interferogramas44,45,46,!así!como!técnicas!que!hacen!el!uso!de!un!solo!interferograma.!

2.7!Referencias! !

[1]!E.!Hech,!A.!Zajac,!Optics,!Addison`Wesley,!New!York,!1972,!p.324`328.!!

[2]!E.!Hech,!A.!Zajac,!Optics,!Addison`Wesley,!New!York,!1972.!p.!49.!

[3]Carré,! P.,! “Instalation! et! Utilisation! du! Comparateur! ! Photoelectrique! et! Interferentiel! du!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

.!!!!Bureau!International!des!Poids!et!Measures,”!Metrología,!2,!13`23!(1966).!

[4]!Crane!R.,!“Interference!Phase!Measurement,”!Appl.!Opt.,!8,!538`542!(1969).!

[5]!Moore!D.!T.,!Gradient!Index!Optics!and!Tolerancing,!Ph.D.!Thesis,!University!of!Rochester,!.!!!.!!!!!!

.!!!!!1973.!

[6]!Bruning!!J.!H.,!D.!R.!Herriott,!J.!E.!Gallagher,!D.P.!Rosenfield,!A.!D.!White,!and!D.!J.!Brangaccio,!.!!!!

.!!!“Digital!Wavefront!Measuring!Interferometer!for!Testing!Surfaces!and!Lenses,”!Appl.!Opt.,!13,!.!!!!!! .!!!!2693`2703!(1974).!

[7]!Nakadate!S.!and!J.!Saito,!“Fringe!Scanning!Speckle!Pattern!Interferometry,”!Appl.&Opt.,!24,!!.!.!!.!

.!.!!!2172`2180!(1985).!

[8]!Creath!K.,!“Phase`Shifting!Speckle!Interferometry,”!Appl.!Opt.,!8,!538`542!(1969).!

[9]!Robinson!D.!and!D.!Williams,!“Digital!Phase!Stepping!Speckle!Interferometry,”!Opt.!Commun.,!!!!!!!!!!!!! ……57,!26!(1986).!

[10]!Nakadate!S.,!H.!Saito,!and!T.!Nakajima,!“Vibration!Measurement!Using!Phase`Shifting!.!!..!!…!!

….!!!!Stroboscopic!Holographic!Interferometry,”!Opt.!Acta,!33,!1295`1309!(1986).!

[11]!Stetson!K.!A.!and!W.!R.!Brohinsky,!“Phase!Shifting!Technique!for!Numerical!Analysis!of!Time!.!!

.!!!!!!!Average!Holograms!of!Vibrating!Objects,”!J.!Opt.!Soc.!Am.&A,!5,!1472`1476!(1988).!

[12]!D.!Malacara,!M.!Servín,!Z.!Malacara,!Interferogram&analysis&for&optical&testing,!Marcel!Dekker,!

(34)

[13]!Soobitsky!J.!A.,!Piezoelectric&Micromotion&Actuator,!U.S.!Patent!No.!4,!577,!131!1986.!

[14]!Hayes!J.!B.,!Compact&Micromotion&Translator,!U.!S.!Patent!4.884.003!(1989).!

[15]!Crane!R.,!“Interference!Phase!Measurement,”!Appl.!Opt.,!8,!538`542!(1969).!

[16]!Okoomian!H.!J.,!“A!Two!Beam!Polarization!Technique!to!Measure!Optical!Phase,”!Appl.!Opt.,!.!!

.!!!!!!!8,!2363`1365!(1969).!

[17]!Bryngdahl!O.,!“Polarization!Type!Interference!Fringe!Shifter,”!J.!Opt.!Soc.!Am.,!62,!462`464!.!!!!.!

.!!!!!!!(1972).!

[18]!Sommargreen!G.!E.,!“Up.!Down!Frequency!Shifter!for!Optical!Heterodyne!Interferometry,”!J.!!.!!!!!!

.!!!!!!Opt!Soc.!Am.,!65,!960`961!(1975).!

[19]!Shagam!R.!N.!and!J.!C.!Wyant,!“Optical!Frequency!Shifter!for!Heterodyne!Interferometers!.!!.!.!

.!!!!!!!Using!Multiple!Rotating!Polarization!Retarders,”!Appl.!Opt.,!17,!3034`3035!(1978).!

[20]!Hu!H.!Z.,!“Polarization!Heterodyne!Interferometry!Using!Simple!Rotating!Analyser”,!1:!Theory!

.!.!!!!!!!and!Error!Analysis,”!Appl.!Opt.,!22,!2052`2056!(1983).!

[21]!Zhi!H.,!“Polarization!Heterodyne!Interferometry!Using!a!Simple!Rotating!Analyser!1:!Theory!..!!

..!!!!!!and!Error!Analysis,”!Appl.!Opt.,!22,!2052`2056!(1983).!

[22]!Kothiyal!M.!P.!and!C.!Delisle,!“Optical!Frequency!Shifter!for!Heterodyne!Interferometry!Using!!

..!!!!!!Counterrotating!Wave!Plates,”!Opt.!Lett.,!9,!319`321!(1984).!

[23]!Salbut!L.!and!K.!Patorski,!“Polarization!Phase!Shifting!Method!for!Moiré!Interferometry!and!..!!!

..!!!!!!Flatness!Testing,”!Appl.!Opt.,!29,!1471`1476!(1990).!

[24]!Susuki.!T.!and!R.!Hioki,!“Translation!of!Light!Frequency!by!a!Moving!Grating,”!J.!Opt.!Soc.!Am.,!

…!!!!!57,!1551`1551!(1967).!

[25]! Stevenson! W.! H.,! “Optical! Frequency! Shifting! by! Means! of! a! Rotating! Diffraction! Grating,”!!

……..Appl.!Opt.,!9,!649`652!(1970).!

[26]!Bryngdahl!O.,!“Heterodyne!Shear!Interferometers!Using!Diffractive!Filters!with!Rotational!..!!..!!!

..!!!!!!Symmetry,”!Opt.!Commun.,!17,!43`46!(1976).!

[27]!Srinivasan!V.,!H.!C.!Liu,!and!M.!Halioua,!“Automatic!Phase`Measuring!Profilometry:!A!Phase!…!! ..!!!!!!Measuring!Approach,”!Appl.!Opt.,!24,!184`188!(1985).!

[28]!Cruz!Meneses`Fabian,!Gustavo!Rodriguez`Zurita,!Maria`del`Carmen!Encarnacion`Gutierrez,!..! ..!!!!!Noel!I.!Toto`Arellano!“Phase`shifting!interferometry!with!four!interferograms!using!linear!..!!..!!! ..! ! ! polarization! modulation! and! a! Ronchi! rating! displaced! by! only! a! small! unknown! amount”,!!!!

(35)

![29]!Wyant!J.!C.!and!R.!N.!Shagam,!“Use!of!Electronic!Phase!Measurement!Techniques!in!Optical!..!! ..!!!!!!Testing,”!Proc&ICO=11,&Madrid,!659`662!(1978).!

[30]!G.!Rodriguez`Zurita,!C.!Meneses`Fabian,!N.!I.!Toto`Arellano,!J.!Vázquez`Castillo,!and!C.!…!!…!!…!! …..!!Robledo`Sánchez,!“One`shot!phase`shifting!phase`grating!interferometry!with!modulation!of!

…!!!!!!polarization:!case!of!four!interferograms”,!Opt.!Exp.,!16,!7806`7817!(2008).! !

[31]!M.!Novak,!J.!Millerd,!N.!Brock,!M.!North`Morris,!J.!Hayes,!and!J.!Wyant,!”Analysis!of!a!…!!…!!…!! ….!!!!micropolarizer!array`based!simultaneous!phase`shifting!interferometer”,&Appl.!Opt.,&32,!6861`

…!!!!!6868!(2005).! !

[32]!Burqwald!G.!M.!and!W.!P.!Kruger,!“An!instant`On!Laser!for!Distant!Measurement,”!Hewlett`…!! ..!!!!!!Packard!J.,!21,!14!(1970).!

![33]!Ishii!Y.,!J.!Chen,!and!K.!Murata,!“Digital!Phase!Measuring!Interferometry!with!a!Tunable!Laser!

..!!!!!!Diode,”!Opt.!and!Lasers!in!Eng.,!14,!293`309!(1991).!

[34]!Onodera!R.!and!Y.!Ishii,!“Phase–Extraction!Analysis!of!Laser`Diode!Phase!Shifting!..!..!!…!!…!!….! …!!!!Interferometry!That!is!Insensitive!to!Changes!in!Laser!Power,”!J.!Opt.!Soc.!Am.!13,!139`146.!..!!!!!!!!

…….(1996).!

[35]!D.!Malacara,!Optical&Shop&Testing,!Wiley,!Tercera!Ed.,!2007.!p.!552`554.!

[36]!K.!Rastogi,!Optical&Measurement&Techniques&and&Applications,!!Artech!House,!Inc.!Tercera!Ed.,!

…!!!!!1997.!p.!552`554.!

[37]!Wyant,!J.C.,!C.L.!Koliopoulos,!B.!Brushan!and!O.!E.!George,!ASLE!Trans.!27,!101`113!(1984).!

[38]!Wyant,!J.C,!!“Interferometric!Optica!Metrology,”!1982,!Laser!Focus!(may),!p.!65.! !

[39]!Carré,!P.,!Metrología!2,!13!(1966).!

[40]!Angel!J.!R.!P!and!P.!L.!Wizinowich,!“A!Method!of!Phase!Shifting!in!the!Presence!of!Vibration,”!

…!!!!Eur.!Southern!Obs.!Conf!Proc.,!30,!561`567!(1988).!

[41]!Wizinowich!P.!L.!“Phase!Shifting!Interferometry!in!the!Presence!of!Vibration:!A!New!Algorithm!

…!!!!!and!System,”&Appl.&Opt.,!29,!3271`3279!(1990).!

[42]!L.!Z.!Cai,!Q.!Liu,!and!X.!L.!Yang,!“Generalized!Phase`Shifting!Interferometry!with!Arbitrary!..!!…!! …!!!!!Unknown!Phase!Steps!for!Diffraction!Objects”,!!Opt!Lett.,&29,!183`185!(2003).!

!

[43]

!

X.F.!Meng,!L.Z.!Cai,!Y.R.!Wang,!X.L.!Yang,!X.F.!Xu,!G.Y.!Dong,!X.X.!Shen,!X.C.!Cheng,!“Wavefront!

….!..!reconstruction!by!two`step!generalized!phase`shifting!interferometry”,!Opt.!Commun.,281,!!!!!!!!! !!!!!…5701`5705!(2008).!

(36)

[44]!Mendoza`Santoyo!F.,!D.!Kerr,!and!J.!R.!Tyrer,!“Interferometric!Fringe!Analysis!Using!!a!Single!!!!!!!!!!!!!!!!!

……..!Phase!Step!Technique,”!Opt.!Eng.,!33,!3709`3714!(1994).!

[45]

!

J.Villa,!I.!De!la!Rosa,!and!G.!Miramontes,!“Phase!Recovery!from!a!Single!Fringe!Pattern!Using!!!!!

..!!!!!!an!Orientational!Vector`Field`Regularized!Estimator”,!Opt.!Soc.!Am.,!22,!2766`2773,!(2005)! !

[46] M.!Servin,!J.!L.!Marroquin,!and!F.!J.!Cuevas,!“Demodulation!of!a!Single!Interferograma!by!Use!

.!!!!!!!!of!a!Two`Dimensional!Regularized!Phase`Tracking!Technique”,!Appl.!Opt.,&19,!4580`4548,!.!!..!

…!!!!!!(1997).! !

[47]!Takeda!M.,!H.!Ina,!and!S.!Kobayashi,!“Fourier`Transform!Method!of!Fringe`Pattern!Analysis!for!

.!!!!!!!Computer`Based!Topography!and!Interferometry,”!J.!Opt!Soc.!Am.,!72,!156`160!(1982).! !

[48]!Macy!W.!W.,!Jr.,!“Two`Dimensional!Fringe!Pattern!Analysis,”!Appl.!Opt.,!22,!3898`3901!(1983).!

[49]!Bone!D.!J.,!H.`A.!Bachor,!and!R.!J.!Sandeman,!“Fringe`Pattern!Analysis!Using!a!2`D!Fourier!.!..!! ..!!!!!!Transform,”!Appl.!Opt.,!25,!1653`1660!(1986).!

[50]! D.! T.! Moore! and! D.! P.! Ryan,! “Measurement! of! the! optical! properties! of! gradient! index!!!!!!!!!!!!!!!!!! materials,”!J.!Opt.Soc.!Am.,!68,!1157`1166!(1978)!

[51]!C.!S.!Vikram!and!M.!J.!Pechersky,!“Wedge!prism!for!direction!resolved!speckle!correlation! interferometry,”!Opt.!Eng.,!38,!1743`1747!(1999).!

!

[52]!C.!Meneses`Fabian!and!G.!Rodriguez`Zurita,!“Carrier!fringes!in!two`aperture!common`path! interferometer,”!Opt.!Lett.,!36,!642`644!(2011).!

!

!

!

!

!

!

!

!

(37)

Capítulo!3!

Interferometría!de!corrimiento!de!fase!por!modulación!de!amplitud!en!y!

no!cudratura:!nuevo!cambiador!de!fase!

3.1!Introducción!

En! la! presente! tesis! se! propone! un! método! de! corrimiento! de! fase! mediante! la! variación! de! la! amplitud! de! los! campos! en! el! esquema! de! un! interferómetro! de! tres! haces.! En! dicho! interferómetro! dos! ellos! serán! considerados! como! haces! de! referencia! y! el! tercero! será! considerado!el!haz!de!prueba.!La!expresión!para!la!irradiancia!debida!a!esta!interferencia!de!ellos! contendrá!tres!términos!de!interferencia,!sin!embargo!debido!a!que!es!introducida!una!diferencia! de! fase! constante! de!π 2 entre! los! haces! de! referencia,! se! cancelará! uno! de! los! tres! términos! haciendo!que!los!dos!restantes!se!encuentren!en!cuadratura.!Debido!a!esto!!y!aplicando!algunas! identidades! trigonométricas! al! patrón! resultante,! se! logra! que! este! sea! modelado! matemáticamente! como! un! interferómetro! de! dos! haces,! en! donde! el! término! de! interferencia! contendrá! una! fase! adicional! que! dependerá! de! la! variación! de! las! amplitudes! de! las! ondas! de! referencia.!

Debido!a!que!experimentalmente!no!siempre!se!logra!conseguir!la!diferencia!de!fase!de!π 2!entre! los!haces!de!referencia,!se!presentará!también!el!análisis!para!este!caso!general,!demostrando!que!! a! pesar! de! no! obtener! las! condiciones! de! este! caso! en! particular! aún! será! posible! obtener! corrimientos! de! fase! mediante! la! variación! de! la! amplitud! de! los! campos,! y! que! para! conservar! constante! la! visibilidad! de! los! patrones,! estas! amplitudes! deberán! ser! vistos! como! pares! ordenados!contenidos!en!una!elipse!.!

!

3.2!!Modulación!de!amplitud!en!cuadratura!

Muchas!de!las!técnicas!propuestas!en!interferometría!de!corrimiento!de!fase!(PSI)!son!basadas!en! la!interferencia!de!dos!ondas,!donde!sólo!se!presenta!un!término!de!interferencia!y!el!corrimiento! de!fase!se!lleva!a!cabo!mediante!una!diferencia!de!fase!constante!entre!ellas1`4.!

La! propuesta! anteriormente! mencionada,! se! basa! en! la! interferencia! de! tres! ondas! donde! la! variación! de! la! amplitud! se! hace! en! dos! de! ellas,! las! cuales! serán! consideradas! como! ondas! de! referencia,!la!otra!onda!será!considerada!como!onda!de!prueba,!la!cual!contendrá!la!información! del!objeto!bajo!estudio.!

Consideremos!tres!ondas!interfiriendo!en!algún!punto!en!el!espacio,!las!cuales!están!linealmente! polarizadas!en!el!mismo!plano!y!viajando!en!la!dirección!

z

!

[ ]

n

n

n A i

(38)

con!n=1,2,3,!siendo!An!la!amplitud!considerada!como!real!positiva,!φn!es!la!fase!que!contiene!el!

En! la! cual! los! tres! términos! de! interferencia! y! la! luz! de! fondo! dada! por! la! suma! de! las! tres! intensidades! de! cada! onda! están! presentes.! Consideremos! a!la! onda! uno! y! tres! como! ondas! de! referencia!y!a!la!onda!dos!como!onda!de!prueba.!Por!simplicidad!se!escogerá!

0 1=

φ

;!

φ

2 =

φ

!y!

φ

3=

π

2.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(95)!

(39)

2 3 2 1 2 A A Ar = + ;!

1 3

tan

A A =

ψ ,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(102)!!

donde!Ares!la!amplitud!de!referencia!y!ψ !es!la!fase!adicional,!ambos!términos!dependientes!de!

las!variaciones!de!la!amplitud!de!la!onda!uno!A1!!y!de!la!onda!tres!A3.!De!esta!relación!se!observa!

que!es!posible!generar!un!corrimiento!de!fase!con!la!variación!de!dichas!amplitudes;!sin!embargo! debido!a!que!esto!también!afecta!a!Ar,!se!presentará!un!cambio!en!la!visibilidad!de!las!franjas,!

por!lo!que!se!puede!pensar!que!no!sería!posible!aplicar!las!técnicas!de!PSI!para!la!extracción!de! fase! (al! ser! una! de! las! condiciones! necesarias! que! la! visibilidad! de! las! franjas! permanezcan! constantes).!Una!manera!de!conservar!Ar!constante!es!considerar!a!las!amplitudes!de!la!onda!uno!

y!tres!como!un!par!ordenado!(A1,A3)!el!cual!debe!estar!contenido!en!un!segmento!de!arco!de! radio! Ar!en!el!primer!cuadrante!(debido!a!que!las!amplitudes!son!consideradas!como!positivas),! por! lo! tanto!ψ ! estará! ! en! un! rango! de!

[

0,

π

2

]

,! como! se! ilustra! en! la! Figura! 7.! Sin! embargo! es! posible!generar!una!modulación!negativa!de!la!amplitud!si!la!diferencia!de!fase!entre!las!ondas!de! referencia!es!de!π ,!teniendo!así!amplitudes!reales!negativas,!extendiéndose!de!esta!manera!el! rango!de!ψ !a!

[

0,2

π

]

!por!lo!que!las!técnicas!de!extracción!de!fase!en!PSI!pueden!ser!aplicadas!sin! ninguna!modificación.!

!

Figura!7.!Amplitudes!de!la!onda!una!y!tres!en!un!sistema!de!referencia.!Cualquier!punto!en!el!arco!mantiene!constante!a!

A

r!y!

ψ

! varia!como!se!requiera!para!aplicar!PSI.!

!

En!este!caso!las!amplitudes!en!cuadratura,!A1!y!A3!están!dadas!por!

ψ

cos

1 Ar

A = ;A3 = Arsin

ψ

.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(103)!

Con!la!finalidad!de!demostrar!la!viabilidad!del!método!propuesto,!se!presentará!una!simulación! numérica!en!donde!se!han!tomado!las!siguientes!consideraciones!

1

2 =Ar =

(40)

con!lo!cual!se!garantiza!que!el!patrón!de!interferencia!tendrá!el!mayor!contraste,!de!esta!manera,! los!tres!campos!tendrán!la!siguiente!forma!

1 1 A

E = ;E2 =exp

( )

i

φ

;E3 =iA3,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(105)!

teniendo!como!patrón!de!interferencia!

(

φ−ψ

)

+ =2 2cos

I .!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(106)!

La!Figura!8a!muestra!los!valores!de!amplitud!necesarios!para!un!corrimiento!de!tres!pasos!N =3.! La! gráfica! de! la! izquierda! señala! tres! puntos! sobre! el! arco!

( )

1,0 ,!

(

2 2, 2 2

)

,!

( )

0,1 ! correspondientes! a! los! valores! de! las! amplitudes! requeridas! para! generar! los! corrimientos! de!

2 , 4 ,

0

π

π

ψ

= ! respectivamente,! permaneciendo! Arconstante.! La! Figura! 8b! muestras! los! patrones! de! interferencia! modelados! mediante! el! uso! de! la! Ec.! (106)! para! los! corrimientos! indicados!en!la!Figura!8a;!el!diagrama!de!barras!arriba!de!cada!interferograma!indica!los!valores!de! amplitud!utilizados!para!cada!corrimiento.!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

Figura!8.!Variaciones!de!amplitud!para!PSI!de!tres!pasos:!a)!Punto!en!el!arco!que!genera!un!corrimiento!de!fase!mientras!la!amplitud!de! referencia!se!mantiene!constante;!b)!interferogramas!corridos!en!fase!correspondientes!a!las!variaciones!de!amplitud!mostradas!en!a).! !

De!manera!similar!la!Figura!9!muestra!los!valores!de!amplitud!necesarios!para!un!corrimiento!de! fase! de! cuatro! pasos! N =4.! ! La! gráfica! de! la! izquierda! señala! tres! puntos! sobre! el! arco!

( )

1

,

0

,!

(41)

La!Fig.!12b!muestras!los!patrones!de!interferencia!modelados!mediante!el!uso!de!la!Ec.!(106)!para! los! corrimientos! indicados! en! la! Figura! 9a;! el! diagrama! de! barras! arriba! de! cada! interferograma! indica!los!valores!de!amplitud!utilizados!para!cada!corrimiento.!

!

!

Figura!9.!Variaciones!de!amplitud!para!PSI!de!4!pasos:!a)!Puntos!en!el!arco!que!generan!los!corrimientos!de!fase!mientras!la!amplitud! de!referencia!se!mantiene!constante;!b)!Interferogramas!corridos!en!fase!que!corresponden!a!las!variaciones!de!amplitud!en!a).! !

Las!columnas!de!la!Figura!10a!muestra!interferogramas!simulados!con!diferentes!corrimiento!de! fase,!los!cuales!se!obtienen!cuando!los!valores!de!las!amplitudes!A1!y!A3!están!sobre!segmentos!

de!líneas!rectas!que!forman!un!ángulo!!ψ !con!respecto!al!eje!A1,!Figura!10b,!de!esta!manera!la!

(42)

Figure! 10.! Patrones! de! interferencia! con! diferente! visibilidad! a)! Interferogramas! con! corrimientos! de! fase! debidos! a! las! amplitudes! mostradas!en!b);!b)!puntos!sobre!arcos!y!líneas!rectas!que!generan!corrimientos!de!fase!conservando!para!algunos!casos!una!visibilidad! constante.!

!

3.3!Modulación!de!amplitud!en!no!cuadratura!

Como!se!demostró!en!el!punto!anterior,!es!posible!tener!un!nuevo!método!de!PSI!por!medio!de!la! modulación! de! la! amplitud! de! los! campos! basado! en! la! interferencia! de! tres! haces,! el! cual! fue! modelado!como!la!interferencia!de!dos,!en!donde!el!haz!de!referencia!y!un!término!constante!de! fase!!usado!para!generar!el!corrimiento!fueron!dados!en!función!de!los!dos!haces!de!referencia.! Debido!a!una!diferencia!de!fase!de!

π

2!entre!los!haces!de!referencia!(haz!uno!y!tres)!se!consiguió! que! uno! de! los! términos! de! interferencia! fuera! eliminado! dejando! a! los! dos! restantes! en! cuadratura.!

Sin! embargo! bajo! condiciones! experimentales! no! siempre! es! posible! obtener! una! diferencia! de! fase!de!

π

2!entre!los!haces!de!referencia.!A!pesar!de!esto,!se!demostrará!en!este!capítulo!que! aún! así! es! posible! generar! corrimiento! de! fase! mediante! la! modulación! de! los! campos! que! interfieren! en! in! interferómetro! de! tres! haces,! en! donde! ahora! para! conservar! la! visibilidad! constante,! las! amplitudes! de! los! campos! de! referencia! será! vistos! como! puntos! coordenados! contenidos!en!una!elipse!en!vez!de!en!un!círculo!y!además!el!rango!del!corrimiento!de!fase!puede! ser!extendido!a!

[ ]

0,

π

!en!vez!de!

[

0,

π

2

]

.!

Nuevamente!consideremos!tres!ondas!linealmente!polarizadas!en!el!mismo!plano!viajando!en!la! dirección!

z

como!se!muestra!en!la!Ec.!(92)!.!Cuya!irradiancia!se!puede!expresar!como!en!la!Ec.!(94)!

!!!!!!!!!! 2 1 2

(

1 2

)

1 3

(

1 3

)

2 3

(

2 3

)

3 2 2 2

1 + + +2 cos

φ

φ

+2 cos

φ

φ

+2 cos

φ

φ

=A A A AA AA A A

(43)

en! donde! las! intensidades! de! las! tres! ondas! están! presentes! en! la! luz! de! fondo! y! en! los! tres! donde!

φ

! es! la! fase! del! objeto! contenida! en! la! segunda! onda,! Δ

φ

1! es! una! diferencia! de! fase! constante! entre! la! primer! y! segunda! onda,! Δ

φ

2! es! una! diferencia! de! fase! constante! entre! la!

primer!y!tercer!onda;!por!lo!tanto!entre!la!segunda!y!tercera!onda!habrá!una!diferencia!de!fase!de!

1

2

φ

φ

−Δ

Δ .! En! resumen,! en! ausencia! del! objeto! de! fase! se! considerará! que! entre! cada! par! de! ondas!existe!una!diferencia!de!fase.!Cabe!destacar!que!cuando!Δ

φ

1=0!y!Δ

φ

2 =

π

2,!nos!llevará!al! caso!particular!analizado!en!la!sección!2.1.!Sustituyendo!la!Ec.!(108)!en!la!Ec.!(107)!obtenemos!! dos!ondas!donde!

A

r!equivale!a!la!amplitud!de!referencia!y!

ψ

!es!la!fase!adicional,!ambos!dados! por!

donde!se!puede!notar!que!tanto!Ar!como!ψ !depende!de!la!variación!de!las!amplitudes!A1!y!A3! así!como!sólo!de!la!diferencia!de!fase!entre!la!onda!uno!y!tres!Δ

φ

2.!!

Para!poder!aplicar!las!técnicas!de!PSI,!la!visibilidad!en!la!Ec.!(115)!debe!permanecer!constante!para! cada! corrimiento! de! fase;! esto! se! puede! lograr! si! la! amplitud!

A

r! de! la! Ec.! (116)! permanece! constante!mientras!que!ψ !varía!con!los!cambios!de! A1!y!A3.!Para!definir!el!comportamiento!de!

Figure

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Referencias

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