Power Point sobre relatividad pptx

Relatividad

TEORIA QUE DESARROLLO ALBERT EINSTEIN PARA TRATAR EVENTOS FISICOS QUE LA FISICA CLASICA NO

Al comenzar el Siglo XX dos son las teorías que revolucionan el conocimiento y pensamiento científico.

_{En 1900 Planck propone las ideas básicas que llevaron a}

formular la Teoría Cuántica.

• _{La mayor parte de nuestras experiencias y}

observaciones cotidianas se relacionan con objetos que se mueven a velocidades mucho menos que la velocidad de la luz.

• _{Las primeras ideas sobre el espacio, el tiempo y la}

mecánica newtoniana se formularon para describir el movimiento de dichos objetos.

• _{La mecánica newtoniana fracasa cuando se}

• _{Es posible acelerar un electrón a una velocidad de}

0.99c empleando una diferencia de potencial de varios millones de voltios.

• _{De acuerdo con la mecánica Newtoniana, si la}

diferencia en potencial se incrementa por un factor de cuatro, la velocidad del electrón se duplica, es decir, debe ser 1.98c.

• _{Pero la velocidad del electrón al igual que las}

velocidades de otras partículas en el universo, siempre permanece menor que la velocidad de la

luz independientemente del voltaje de

• _{La mecánica newtoniana es contraria a los}

resultados experimentales modernos debido a que no impone un límite superior a la velocidad de la luz.

• _{La teoría de la relatividad surge de la necesidad}

de resolver contradicciones serias y profundas en la vieja teoría de las cuales parece no haber salida.

• _{La teoría newtoniana sólo es un caso especial de}

El Principio de la

Relatividad

Marco Inercial:

•

_{Un marco inercial es aquel en el}

• _{No hay un marco inercial privilegiado:}

• _{Esto significa que los resultados de un}

experimento efectuado en un sistema de referencia que se mueve con velocidad constante son iguales a los resultados de un experimento que se lleve a cabo en un sistema en reposo.

PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD NEWTONIANA

• _{Las leyes de la mecánica deben ser las mismas en}

Consideremos dos marcos inerciales S y S1

10

• _{El sistema S}1 _{se mueve con una velocidad}

constante v a lo largo de los ejes xx1_{, donde v es}

la velocidad respecto de S.

• _{Supongamos que un suceso ocurre en el punto P y}

que los orígenes de S y S1 _{coinciden en t = 0, un}

observador en S describe el suceso con unas coordenadas espacio tiempo, (x, y, z, t) en tanto

que un observador en S1 _{emplea las coordenadas}

espacio tiempo (x1_{, y}1_{, z}1_{, t}1_{) para describir el}

11

• _{Queremos transformar estas coordenadas de un marco}

inercial a otro. De la figura estas coordenadas se relacionan por medio de las ecuaciones.

» _{x = x}1 _{+ vt}

» _{y = y}1

» _{z = z}1

» _{t = t}1

• _{Es lo mismo que:}

» x1 _{= x - vt}

» _y 1 _{= y}

» z 1 _{= z}

» _t1 _{= t}

•

_{Transformación de coordenadas}

12

• _{Dentro de el marco de la mecánica clásica, todos}

los relojes funcionan al mismo tiempo sin que la velocidad entre los marcos inerciales importe;

• _{de modo que el tiempo durante el cual ocurre un}

evento para un observador en (S) es el mismo tiempo para el mismo evento en (S1_).

• _{Como consecuencia el intérvalo de tiempo entre}

13

•

_{Ésta suposición se vuelve incorrecta cuando}

tratamos situaciones en las cuales (v) es

comparable a la velocidad de la luz.

•

_{La igualdad de tiempos representa una de}

14

• _{Supongamos que dos sucesos están separados}

por una distancia (dx) y un intervalo de tiempo (dt) de acuerdo como lo mide un observado en (S).

• _{A partir de la ecuación x}1 _{= x – vt, la distancia}

recorrida (dx1_{) medida por un observador en S}1

es:

dx1 _{= dx – vdt}

Dada la igualdad temporal (dt = dt1 _{) podremos escribir:}

Donde y son las velocidades instantáneas del suceso en relación a S1 _{y S, respectivamente, v es la velocidad el}

marco inercial S1 _{desde el punto de vista del observador en}

S. Esta expresión representa

16

17

Albert Michelson (1852-1931)

Edward W. Morley (1838-1923)

•

_{Idearon un experimento que accidentalmente}

En el experimento de Michelson y Morley se intentaba medir cual era la velocidad de luz en la Tierra, en distintas direcciones, a distintas horas y en distintos momentos del año, suponiendo que el movimiento relativo del éter no puede ser igual, a la vez, en dos direcciones distintas.

La razón teórica clásica de este experimento se basa en que la luz viaja a una velocidad c respecto de su fuente y en un medio en reposo. Como la Tierra se mueve a una velocidad v, la velocidad relativa de la Tierra, en las distintas direcciones, respecto del éter (medio en el que se mueve la luz), varía a lo largo del día y de los meses. En consecuencia, la velocidad de la luz medida en la Tierra en condiciones óptimas (es decir, cuando la tierra se mueve en la misma dirección del éter), debería ser:

• _{En la dirección y sentido del movimiento de la Tierra “ “}

Fuente de luz

Si el éter se moviera (como si midiéramos

la velocidad de las ondas sonoras en aire

en movimiento), las trayectorias de los

rayos serían (visto desde el sistema en

Fuente de luz

ct

c` t

vt

En estas condiciones la velocidad de la

luz

c’

resultante, que se mediría en la

Tierra en el eje perpendicular al

movimiento, sería: . Visto desde el

observador

las

trayectorias

y

Fuente de luz

Observador terrestre

√

c  − v

c  + v

v

En el interferómetro lo que se mide es la proporción entre c y c’ cuyo valor es:

A continuación en esta película simula la configuración utilizada en el

experimento de Michelson-Morley, incluido el viento de éter (no existente) y que estaban tratando de detectar. La idea básica consiste en detectar la diferencia de tiempo entre la luz va "contra y a favor del viento" y la luz que va "perpendicular al mismo."

Rotando el aparato se cambian los itinerarios: establecer la dirección de un aparato haciendo clic en el círculo central en el control, ajuste de precisión con +, -.

Debido a las limitaciones de flash, el incremento gradual no puede ser menor que 0,05 píxeles. Así que la proporción de velocidad de la luz al éter la velocidad tal como se representa aquí no puede ser de cerca de 10.000, el orden de magnitud de M & M espera de encontrar. Para hacer que nuestra animación se vea más como el resultado esperado del experimento original, hemos hecho trampa al no tener en cuenta el efecto del viento de éter en la dirección del movimiento de la luz, sólo incluyendo su efecto sobre la velocidad de la luz. El punto de esta animación es para ilustrar la idea existente detrás de experimento de M & M, y no dar una

representación cuantitativa.

28

Principio de relatividad de

29

30

Postulado 1º:

Todas las leyes de la física son

las mismas en todos los

31

Postulado 2º

La velocidad de la luz es

c

en todos

los marcos inerciales.

32

Simultaneidad y relatividad del tiempo

• _{Una premisa básica de la mecánica newtoniana es}

que existe una escala de tiempo universal que es la misma para todos los observadores.

• _{La mecánica relativista propone, que una medida}

A

A

1

2

37

• _{Dos eventos que son simultáneos en un marco de}

referencia no son en general simultáneos en un segundo marco de referencia que se mueve en relación con el primero.

• _{La simultaneidad no es un concepto absoluto si}

no que depende del marco de referencia del observador.

• _{Ambos observadores tienen razón cuando}

38

¿Qué dice el

39

•

_{El principio de la relatividad dice que no}

h 2h  = c   t

1

Un observador dispara un rayo hacia un espejo desde su marco de referencia que se mueve con velocidad uniforme respecto a éste.

v

c t 2 v t 2 h v

Observación realizada desde el exterior

h2=c2t

2

4 − v

2t2

4

es decir

h =t

2 √c

2

−v2

Teniendo en cuenta los resultados obtenidos, es decir:

y

deducimos que:

resultado que nos dice que el intervalo de tiempo t medido por un observador que se mueve respecto del reloj es más largo que el intervalo de tiempo t1 _{medido por el observador en reposo respecto del reloj. Este}

efecto se conoce como la dilatación del tiempo.

2h  = c   t1

h =t

2 √c

2

44

La dilatación del tiempo es un fenómeno verificable.

Por ejemplo los muones son partículas elementales inestables que tienen una carga igual a la del electrón y 207 veces su

masa. Éstos se producen por el choque de radiación cósmica con átomos a gran altura en la atmósfera.

Tienen una vida media de 2.2 μs cuando se mide en un marco de referencia en reposo relativo a ellos. Si la vida media de un muón es 2.2 μs y suponemos que su velocidad es cercana a la de la luz encontramos que estas partículas sólo pueden

recorrer una distancia de aproximadamente 600m antes de su decaimiento.

45

• _{El fenómeno de dilatación del tiempo explica este}

evento.

• _{En relación con un observador en tierra los muones}

tienen un tiempo de vida t donde t = 2.2 μs es el tiempo de vida media en un marco de referencia que viaja con los muones.

• _{Por ejemplo si, v = 0.999c,}



46

• _{En el 1976 se inyectaron muones en el (CERN)}

laboratorio del Consejo Europeo para la

Investigación Nuclear en Ginebra Suiza.

• _{Éstos alcanzaron velocidades de aproximadamente}

0.9994C.

• _{Los electrones producidos por los muones en}

decaimiento fueron detectados mediante

47

Contracción de la longitud  

• _{La distancia medida entre dos puntos, depende del}

marco de referencia.

• _{La longitud de un objeto medida por alguien en un}

Tiempo Inicial t = 0

Tiempo final t = t

al ser v la velocidad

l_p=v   t

donde (l_p) es la longitud propia de un objeto, y que se define como la longitud del  objeto medida por alguien que esta en reposo respecto del objeto

Debido a la dilatación del tiempo, un viajero del tren mediría un tiempo  de viaje más pequeño 

t1=t

√

2

c2

Y de esta forma la longitud que él medirá será:

en definitiva

l  =  l_p

√

2

La longitud de un objeto medida por alguien en un marco de referencia que  se mueve respecto del objeto, siempre es menor que la longitud propia.

Es  decir,  que  si  un  objeto  tiene  una  longitud  l_p  cuando  está  en  reposo,  entonces al moverse con velocidad “v” en una dirección paralela a su longitud,  ésta se contrae en un factor dado por:

√

2

51

Ecuaciones de Transformación

de

52

•

_{Las transformaciones galileanas no son}

válidas cuando v se aproxima a la velocidad

de la luz (c).

•

_{Estableceremos}

_las

_ecuaciones

_de

53

Supongamos que un evento que ocurre en algún punto P es recogido por dos observadores uno en descanso en el marco S y otro en el marco S1 _{que se}

mueve hacia la derecha con velocidad v

• _{El observador en S, informa sobre el evento con}

coordenadas espacio-tiempo (x, y, z, t). Mientras el observador en S1 _{informa sobre el mismo evento}

empleando las coordenadas (x1_{, y}1_{, z}1_{, t}1_).

• _{Deseamos encontrar una relación para estas}

coordenadas que sea válida para todas las 

54

•

_{Las coordenadas y}

z no son afectadas por

el movimiento a lo largo de la dirección x.

Aunque el movimiento a lo largo de x no

cambia las coordenadas y

z, si cambia

55

•

_{Estas ecuaciones las desarrolló Hendrick A.}

Lorenz (1853-1928) pero fue

•

_{Einstein quien reconoció su significado físico y}

56

• Vemos  que  el  valor  de  t1  asignado  a  un 

evento  por  un  observador  en  O1  depende 

tanto  del  tiempo  t  como  de  la  coordenada  x  según los mide un observador en O. 

•  Esto es consistente con la noción de que un  evento  está  caracterizado  por  cuatro  coordenadas espacio tiempo (x, y, z, t).  

Consideremos dos marcos inerciales S y S1

La primera intención de la Relatividad fue modificar las relaciones galileanas, de manera que a la hora de calcular la velocidad de la luz se obtenga siempre, sea cual sea el sistema inercial, el mismo valor “c”.

Tomaremos, en lugar de la transformación de Galileo, una transformación de coordenadas del tipo

x1=k(x − vt)

donde “k” es un factor a determinar, independiente de “x” y de “t”. Esta constante debe Ser la misma para ambos sistemas, ya que en caso contrario, tendríamos una manera de diferenciar un sistema inercial de otro.

Supondremos que, inicialmente los sistemas S y S1 _{coinciden y que se produce una}

emisión luminosa. En estas condiciones, S1 _{se pone en movimiento con velocidad v}

respecto de S. En el sistema S la velocidad será:

c = x t

La transformación inversa será:

En el sistema S1 _{la velocidad será:}

c = x

1

t1

de donde

c t1=k (c  −  v ) t

ct = k ( c  +  v )t

}

multiplicando ambas expresiones, y simplificando se obtiene:

k = 1

√

2

c2

x1=x  −  v𝑡

√

2

c2 y1=y

z1=z

t1=

t −vx c2

√

2

c2

}

Del sistema S al sistema S1

x  =  x

1

+vt

√

2

c2 y  =  y1

z  =  z1

t  = 

t1+v x

1

c2

√

2

c2

}

Del sistema S1 _{al sistema S}

61

Transformación de

velocidades

62

Supongamos que S es el marco de referencia estacionario y S1 _{es el marco de referencia que se}

mueve a una velocidad v relativa a S. Y que se observa un objeto en el marco S1 _{con una velocidad}

u_x1_{, que vendrá dada por:}

u1_x=d x

1

Las transformaciones de Lorentz ya descritas, en forma diferencial se pueden escribir como:

d x1=dx  − vdt

√

2

c2

d t1=

dt  −vdx c2

√

2

c2

y

dividiendo ambas expresiones, se obtiene:

d x1 d t1 =

dx  −  vdt

dt  − vdx c2

= dx dt −v

1−

Teniendo en cuenta que:

u_x=dx

dt

tendremos

u1_x=ux−v 1−v ux

c2

análogamente, la transformación de velocidad inversa es:

Si la partícula tiene componentes de la velocidad a lo largo de “y” y “z”, procediendo de igual forma, pero teniendo en cuenta que al ser

entonces

y el resultado ya obtenido de “dt”, tendremos

Y resultados semejantes para las transformaciones inversas

1 1 _{;z z}

y

y  

1 1 _{;dz dz}

dy

dy  

2 x 2 2 z 1 z 2 x 2 2 y 1 y c u v -1 c v -1 u u ; c u v -1 c v -1 u

u  

66

•

_{En el caso de que u}

x

y v sean mucho más

pequeñas que c (caso no relativista) el

denominador de la ecuación A, se aproxima a la

unidad y u

x

= u

– v que es la ecuación para la

transformación de velocidades galileanas.

•

_{En el otro extremo cuando u}

x

= c la ecuación

de u

x

se transforma en u

= c

67

A  partir  de  este  resultado,  vemos  que  un  objeto  que  se  mueve  con  una  velocidad  c  relativa  a  un  observador  en  S  tiene  también  una  velocidad  c  relativa  a  un  observador  S1 

independientemente del movimiento relativo de  S y S1.

• Esta conclusión es consistente con el segundo

68

La segunda ley de Newton

F  = ma

o también

F  = dp dt

Tiene carácter de ley natural, su forma debe conservarse al cambiar de sistema de referencia. Y así sucede respecto a las transformaciones de Galileo, pero no frente a las de Lorentz.

En estos sistemas los choques se verían diferentes

Antes del choque la partícula A se encuentra en reposo en O y la partícula B en O'. Así, en el mismo instante, A se lanza en el sentido +y a la velocidad v_A, mientras que B se lanza en el sentido -y' con una velocidad v'_B, donde:

v_A=v `_B

O O`

V

H

O`

V

H

Si las partículas se lanzan desde posiciones separadas por una distancia H, el tiempo t1 _{que invierte A en el}

recorrido de ida y vuelta, medido en el sistema O, es de:

t1=H

v_A

que es el mismo que el invertido por B en O`

t1=H

v_B

para que se conserve el momentum en el sistema O, se debe cumplir que:

donde m_A y m_B son las masas de A y B, mientras que v_A y v_B son sus velocidades medidas en el sistema O.

Si t es el tiempo que tarda B en realizar su recorrido de ida y vuelta, medido desde O, tendremos:

v_B=H

t

Ahora bien, en S', el recorrido de B se realiza en el tiempo t1_{, donde, utilizando la transformada para la}

dilatación temporal, podremos escribir:

t =t

1

√

2

sustituyendo t en la ecuación tenemos:

v_B=

H  

√

2

c2 t1

mientras que, por otro lado:

vA=

H t1

sustituyendo estas ecuaciones en la de conservación de la cantidad de movimiento tendremos:

m_A=m_B

√

2

La diferencia entre las masas significa que las medidas de masa, así como las de espacio y tiempo, dependen de la velocidad relativa entre el observador y lo que él observa. Por último, hacemos un cambio de variables:

m = m_B m₀= m_A

de esta forma llegamos a la deducción de la expresión de la masa relativista:

m =m0

√

2

2 2

0

c v

-1

v m mv

Integrando por partes







 s o

s

o

mv

o

c ds v d(mv)

dt d(mv) ds

operando











0 2 2

que nos indica que la energía cinética es igual a la variación de la masa correspondiente al movimiento de la partícula multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado. También:

2 0

c

(m

-

m

)

c

E



2 0 c

2

_E

_m

_c

c

y considerando que “mc2 _{“ representa la energía total, se}

deduce que la partícula, aunque se encuentre en reposo (E_c = 0), posee una energía “m₀c2 _{“ . Si la energía total la}

representamos por “ E “, entonces podremos escribir

donde:

Energía total

Energía en reposo

2 0

c

m

c

E

E





2

c

m

E



0

m

c

Estas expresiones ponen de manifiesto que la masa y la energía no son entes independientes, de hecho serían formas de manifestarse; la masa puede manifestarse

como energía y ésta como aquella. De esta forma, los principios de conservación de la masa y energía, que en la Mecánica Clásica, se formulan de forma separada,

constituyen un único principio:

Notemos que al establecer la energía total como “E =

mc2 _{“, estamos admitiendo que en todo momento la masa}

de inercia de un punto material será:

y en consecuencia podemos indicar: Toda variación en la

energía de un cuerpo, va siempre acompañada de una variación de su masa

2

En las aplicaciones prácticas suele conocerse en vez de la velocidad, la cantidad de movimiento o la energía de la partícula. Y así:

y utilizando el valor de la masa en reposo tendremos:

de donde





2 _{E m c E /c -p m c -m v m c - v}

c m

E      





2 _{c - v m c}

c v -1 m p -/c

E  

2 2 0 2

2

2 _{p c (m c )}

90

• Para  el  caso  de  partículas  que  tienen  masa  cero la ecuación:  E2

   = ( m0 c2 )  2  +  p2 c2  se 

convierte en:

E2

   =  p2 c2   

E   =  pc

91

De acuerdo a la ecuación E2

  =  m0 2c4  +  p2 c2, la 

cantidad  E2

    -  p2  c2  =    m0  2c4    debe  tener  el 

mismo  valor  en  todos  los  marcos  de  referencia,  ya  que  depende  de  la  masa  en  reposo  y  la  velocidad  de  la  luz,  ambas  cantidades invariantes en cualquier marco de  referencia.  

Entonces  E2

    -  p2  c2    es  invariante  bajo  una