EL DÍAMETRO MEDIO DE FIBRAS DE LANA
Ana María Islas Cortes Instituto Politécnico Nacional, ESIT
amislas@ipn.mx
Gabriel Guillén Buendía
Instituto Politécnico Nacional, ESIME Azcapotzalco gguillen@ipn.mx
Yolanda Montoya Vargas Instituto Politécnico Nacional, ESIT
yolanda_mvarg@hotmail.com
Resumen
Para el tratamiento estadístico de la medición de 200 diámetros de fibras de lana obtenidos a través del método de microscopia de proyección, fue usada la función secante hiperbólica al cuadrado con resultados significativos del 99% y fueron validados mediante un análisis estadístico para distribución de frecuencia de datos. Se concluye que los resultados son congruentes.
Palabras clave: Estadística, fibras de lana, microscopia de proyección.
La lana de oveja posee características que la colocan como la reina de las fibras pues es resistente y elástica, tiene un excelente poder aislante, buena resistencia a la formación de arrugas, gran capacidad de absorción de humedad y recuperación elástica, no se inflama ni funde; por otra parte, se apolilla si no se trata debidamente y tiende a fieltrarse. A mayor longitud de la fibra, mayor diámetro, el cual generalmente varía entre 15 y 60 micrómetros (µm). (Gacén, 1990). En la figura 1 se ilustra el aspecto superficial de las fibras de lana de oveja, la escala de referencia es de 30 micrómetros (µm).
Figura 1. Aspecto superficial de fibras de lana de oveja. (Castellar Bertrán, M. D., CSIC Barcelona, 2005).
El objetivo de este trabajo fue determinar el diámetro medio de 200 fibras de lana de oveja, obtenido por el método de microscopía de proyección, norma ITWO 8-92. En esencia se ilustra en la figura 2.
Figura 2. Determinación del diámetro medio de fibras de lana de oveja a través del método microscopia de proyección, norma ITWO 8-92.
Experimentación.
Las fibras de lana de oveja fueron previamente acondicionadas durante 24 horas en una atmósfera a 20°C ± 2°C de temperatura y con 65% ± 2% de humedad relativa. A continuación, se procedió a realizar 200 lecturas de diámetros de fibras usando una proyectina, de acuerdo con la norma técnica; a partir de los resultados obtenidos se construyó la distribución de frecuencias correspondiente, señalada en tabla 1.
Tabla 1. Marcas de clase y frecuencias absolutas correspondientes a la distribución de frecuencias de 200 lecturas de diámetros.
Diámetro
(µm) Frecuencia F
Diámetro
(µm) Frecuencia F
13 9 25 28
15 16 27 17
17 24 29 14
19 26 31 4
21 42 33 5
23 15
Los datos contenidos en la tabla se graficaron y se muestra en la figura siguiente:
Figura 3. Distribución de frecuencias de 200 lecturas de diámetros de fibras de lana de oveja.
La distribución de frecuencias obtenida describe una campana envolvente, por ello se analizó usando la función secante hiperbólica al cuadrado. Tal como señala la figura 4, el experimento tiene la misma gráfica que la función.
Figura 4. Gráfica de la función secante hiperbólica (línea negra) y el cuadrado de la misma (línea roja).
Análisis de resultados.
Con base en lo anterior, la función usada para analizar el histograma de frecuencias de los diámetros de lana de oveja fue:
k 1
sech F
F max 2 moda
Donde: F es la frecuencia absoluta, Fmax es la frecuencia máxima observada (42), k es la constante de esbeltez y moda es el valor del diámetro que más se repite; todas éstas en relación a la distribución de frecuencias.
Aplicando operaciones algebraicas a la expresión anterior, se conduce a su transformación lineal como se indica a continuación:
2 k
k F
cosh 1 42 moda
Se procedió a ajustar a una recta de regresión la expresión (2) recordando que la función secante hiperbólica omite el signo, por ello se agregó un signo negativo a los valores anteriores a la frecuencia máxima de la columna transformación. La figura 5 ilustra dicha recta, la cual resultó significativa al 99%, de acuerdo al coeficiente de correlación y coeficiente de determinación.
Figura 5.- Transformación lineal del modelo de secante hiperbólica al cuadrado, usando los datos de distribución de frecuencias del diámetro de fibras de lana de oveja.
A partir de los valores de pendiente e intersección al eje vertical de la recta anteriormente expuesta, fueron obtenidas la constante de esbeltez k (dispersión) y el diámetro modal moda:
3 μm
21.10 0.1692,
k moda
En consecuencia, el modelo numérico- funcional de la expresión hiperbólica al cuadrado resultó de la siguiente manera:
21.00 χ
0.4558, R
0.6751, r
4 21.1027
0.1692 sech
42 F
2 2
2
Con la finalidad de reducir los residuos del ajuste anterior, se procedió a optimizarlo llegando a:
14.361 χ
0.7092, R
0.8422, r
5 21.012
- 0.140 sech
31.096 F
2 2
2
Resultando una bondad de ajuste significativa al 95% del modelo optimizado, de acuerdos a sus parámetros de correlación y determinación. En la figura 6 se aprecian los ajustes (4) y (5) arriba expuestos.
Figura 6.- Optimización del ajuste numérico del modelo de secante hiperbólico a los 200 datos de diámetros de fibras de lana de oveja.
La frecuencia acumulada, también denominada tamaño de muestra, se obtuvo de:
1 tanh k 6
2 / 2
Fc max moda
F k
Donde tiene un valor de 0.5 por corresponder a la mitad de la campana envolvente, mientras que k y Fm ya son conocidas; por ello:
1 tanh 0.169 21.103 7
2 993.023
Fc
De aquí resultó sencillo obtener el diámetro :
8
1 993.023
F tanh 2
0.169
21.10 1 -1 c
Ahora, por ejemplo, si el tamaño de la muestra o frecuencia acumulada es de 177 fibras de lana, el diámetro modal de dicha población es de 23.31 micrómetros (µm).
Con la finalidad de comparar los resultados obtenidos con el modelo numérico-funcional expuesto, se procedió a evaluar los datos de diámetros citados en antecedentes mediante métodos estadísticos ampliamente conocidos.
En la tabla 2 aparecen los productos entre marca de clase y frecuencia, así como el cuadrado de marca de clase y frecuencia absoluta.
Tabla 2. Tratamiento estadístico de la tabla de distribución de frecuencias del diámetro de 200 fibras de lana de oveja.
Diámetro
(µm)
Frecuencia F
F ² F
10 9 117 1521
11 16 240 3600
12 24 408 6936
13 26 494 9386
14 42 882 18522
23 15 345 7935
25 28 700 17500
27 17 459 12393
29 14 406 11774
31 4 124 3844
33 5 165 5445
200 4340 98856
Sustituyendo los valores de la tabla anterior, en la ecuación de diámetro medio:
21.70 μm 9
200 4340 F
F
La desviación estándar o típica de los diámetros contenidos en la tabla 2, es:
4.848 μm 10 1
F F F F
σ
2 2
φ
El coeficiente de variación (CV%) es una dispersión alrededor de la media de los datos:
11 22.343%
100 σ .
CV(%) φ
En el caso que nos ocupa, la dispersión es moderada.
Para determinar el intervalo de las medidas de diámetros, considerando una confianza estadística del 99%, se usó la expresión siguiente:
12 200
σ 2.57 , 200
σ 2.57
Entonces, el intervalo de las medidas de los diámetros fue:
20.82, 22.581 m 13
Otros autores usan la expresión (14) para determinar la desviación estándar (Barella, 1969):
14
μm 5.008 n
F σ
2
φ
El tratamiento estadístico para la desviación típica usando la expresión (14) aparece en la tabla 3.
Tabla 3. Tratamiento estadístico de los datos de la distribución de diámetros de fibras de lana.
2
m
23
2
F
100 900
64 1024
36 864
16 416
4 168
0 0
4 112
16 272
36 504
64 256
100 500
440 5016
Entonces, el coeficiente de variación CV%
con ésta última desviación estándar fue:
% 23.078 % 15
CV
Finalmente, el intervalo correspondiente al 99% fue:
20.79 , 22.61 m 16
Conclusiones.
La campana unimodal de moda centrada fue ajustada a un modelo de secante hiperbólica al cuadrado con una bondad de ajuste del 99% de confianza estadística.
Fueron usados dos tratamientos estadísticos para validar los resultados obtenidos. Dichos resultados fueron similares.
Referencias.
Gacén Guillén, J. (1990). Parámetros de fibras de lana. Universidad Politécnica de Cataluña. Barcelona, España.
IWTO 8-96 (1996), ITWO Meetings in Nice.
Silver Group Meeting. 7-11th December.
Islas, A. M., et al. (2017). El proceso enzimático de fibras de Lyocell. 8 de febrero del 2019, de Revista Electrónica Humanidades, Tecnología y Ciencia del IPN.
Sitio web: www.revistaelectronica- ipn.org/Inicio
Barella, A. (1969). Estadística aplicada.
AITA, Barcelona, España. 49.
