La Función Parte Entera

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(1)La Función Parte Entera José Pablo Flores Zúñiga (Para Docentes). Ilustración hecha por: Dorian Román Pérez.

(2) Función Parte Entera. 2. José Pablo Flores Zúñiga. ÍNDICE Página. Introducción…………………………………………........... 3 Recomendaciones…………………………………………. 4 Marco teórico……………………………………………….. 5 Plan Unidad…………………………………………………. 7 Objetivos…………………………………………………….. 8 Motivación histórica……………………………...………… 9 1.1 Definición de parte entera………………….…............ 10 Ejercicios 1.1……………………………………………….. 12 1.2 Orden de los números reales……………………….... 13. Ejercicios 1.2 ……………………………………………….. 14 1.3 Análisis de la función parte entera…………………… 15 Ejercicios 1.3 ……………………………………………….. 15 Ejercicios de mayor grado dificultad……………………... 17 Respuesta de los ejercicios…………………………......... 18.

(3) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. Introducción La función parte entera es considerada como una función especial la cual es estudiada por estudiantes de diferentes niveles a nivel de secundaria y universitaria como por ejemplo comparar números reales, en el estudio de la continuidad, y principalmente sus aplicaciones en la teoría de números. En este protocolo se pretende conocer el marco teórico de la función parte para trabajar con la unidad didáctica de este tema, de manera que se pueda aplicar a nivel de secundaria y permita abrir puertas para el estudio más profundo de la función parte entera en sus aplicaciones. Se mostrará una propuesta de planeamiento de la unidad de la función parte entera para que los docentes puedan utilizarla o modificarla de acuerdo a las necesidades de los estudiantes a trabajar.. Al terminar de leer y analizar este documento se espera que se alcance los siguientes objetivos: Familiarizarse con la motivación histórica de la función parte entera. Notar la definición de parte entera. Analizar el marco teórico relacionado con la función parte entera. Observar la unidad didáctica de la función Parte Entera. Considerar el tema de función parte entera en educación secundaria.. 3.

(4) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. Recomendaciones Se recomienda que los estudiantes dispongan de una calculadora para poder aproximar números irracionales. Se recomienda al docente de matemática que trabaje el manual con estudiantes de décimo nivel después de que el estudiante maneje los conocimientos básicos sobre funciones para practicar el tema y relacionarlo con la parte entera la cual tiene aplicaciones que no se enseñan en secundaria. El docente puede aplicar el manual a estudiantes de noveno año para el estudio de los números reales, la cual debe hacer las modificaciones necesarias debido a que el estudiante no maneja los conceptos de funciones, pero no limita a que se utilice la parte entera porque no es necesario conocer sobre funciones para poder calcular la parte entera de un número real. El manual se puede aplicar como un trabajo extraclase dado a que se incluye explicaciones de cómo calcular la parte entera con variedad de ejemplos. El manual se puede entregar como material complementario o utilizarlo con estudiantes talentosos en matemática y además viene una lista de ejercicios de mayor dificultad diseñados para estudiantes talentosos. El manual se puede aplicar para una enseñanza a distancia. Se recomienda que el docente oriente al estudiante la relación de la función parte entera con el conjunto de los números reales para caracterizar las propiedades del mismo como que es ordenado y denso.. 4.

(5) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. Función Parte Entera Definición: Sea:, : tal que esta definido por

(6) donde

(7) á / Observación: De la definición se desprende que, evidentemente , ;

(8)

(9) Ejemplos:

(10) 3

(11) √3

(12) 3 1

(13) 4 4

(14) # ln 10 #3

(15) 0,9 0 Teorema 1 , : a)

(16) es único b)

(17) (

(18) 1 c)

(19) ) d) *, * :

(20) *

(21) *. e) , )

(22) # #

(23) f) , # )

(24) # #

(25) # 1. g) , ; +, + tal que + ( + 1 ) +

(26) . Prueba

(27) - entonces a) Sean

(28) , , y , (1) , , . , (2) - y - (3) /, / , / . / - (4). De (1) y (4), , de (2) y (3), - , b) Sea

(29) , entonces , y , (1) , , . , (2). 0, -. Por (1) al ser

(30) , se sigue

(31) Si 1

(32) 1 entonces 1 , 1 . , 1 con , 1 (por ser ,, 1 . Por condición (2) , 1 , . 1 0 ¡ ! 0 (

(33) 1 y finalmente

(34) (

(35) 1. c) . Por hipótesis

(36) y por definición

(37) 0 4 y sea

(38) , entonces. , y , (1) , , . , (2) Puesto que ,por condición (2) , y por condición (1) , 0 ,

(39) . d) Sean

(40) * /

(41) , entonces , y , (1) , , . , (2) / y / *. (3). 5.

(42) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. 5, 5 , 5 * . / (4). Mostremos que * , / / , * De , . , * *, como , * por (4) se sigue que , * / 6. Por otra parte: / * . / # * y / # * , por (2) / # * , . / , * (**). Así de (*) y (**) / , * .

(43) *

(44) *. e) . Por parte c) del teorema

(45) y como , # 0

(46) # # Luego

(47) # #

(48) . 4 Hipótesis

(49) # #

(50) por parte b) del teorema

(51) # #. . #

(52) # 1 .

(53) 1 6 por parte b)

(54) 66 De 6 66.

(55) y como

(56) 0

(57) - entonces f) . Sean

(58) # , , y , # (1) , , # . , (2) - y - (3) /, / , / . / - (4). Mostremos que , #- # 1 . , #- # 1 – - # 1 , De (1) y (3): , # - . , - 0 , - . , - 0 8 , - ( 0 Si , - 0 entonces , #- .

(59) # #

(60) por e) del teorema . contradice la hipótesis # Luego , - ( 0 se sigue , - #1 . , #- # 1 Por otra parte por b) del teorema (

(61) 1 . ( - 1 0 # 9 #- # 1. Así – - # 1 ( # , por (2) #- # 1 ,. Luego de , #- # 1 # - # 1 , se sigue que , #- # 1 como se quería demostrar. 4 Si : # entonces y por e) del teorema

(62) # #

(63) ¡! que contradice la hipótesis 0 # g) Mostremos que

(64) + satisface la definición (propiedad a) nos da la unicidad) . Hay que demostrar:. (1) + + (2) , , . +. Por hipótesis se da (1) pues + + . Para mostrar (2) tenemos que , , por ley de tricotomía + 8 9 + Supongamos que 9 + entonces + ( ( + 1 (hipótesis) 0 + ( + 1, al ser +, + 1 enteros consecutivos, : ¡! Luego no queda más que + a) 4 por hipótesis

(65) + y por parte b) del teorema

(66) (

(67) 1 0+ (+1. 6.

(68) Función Parte Entera. 7. José Pablo Flores Zúñiga. PLAN DE UNIDAD: FUNCIÓN PARTE ENTERA Objetivo General: Caracterizar el conjunto de los números reales a partir del estudio de la función parte entera. Tiempo: 4 Lecciones Objetivos. Contenidos. Conocer la función parte entera. Introducción a la función parte entera. Determinar imágenes de números reales en la función parte entera. Caracterizar la función parte entera. Definición de parte entera Cálculo de imágenes en la función parte entera Comparar números reales Dominio Ámbito Intersecciones con los ejes Tabla de valores Gráfica Clasificación Cálculo de preimágenes. Actividades De Mediación Los estudiantes leen en el manual páginas 4,5,6 la motivación histórica, la introducción y la definición de parte entera. Valores Y Actitudes Se fomentará el hábito de la lectura. Los estudiantes calcularán la parte entera de diversos números reales y compararán números usando la parte entera mediante la ejercicios del manual Páginas 7,8,9 En grupos de estudiantes, caracterizarán la función parte entera dadas en el manual páginas 10 y 11 determinando el dominio, ámbito, intersecciones con los ejes, construcción de la gráfica, clasificación de función y el cálculo de algunas preimágenes. Se fomentará El orden en el aula. Se fomentará el compañer ismo. Estrategias De Evaluación. Tiempo Probable. Se observará si el estudiante reconoce la parte entera.. 1 Lección. Se observará si el estudiante calcula la parte entera de un número real. 1. Se observará si los estudiantes caracterizan correctamente las funciones dadas relacionando dichas características con la gráfica.. Lección. 2 Lecciones. Observaciones: El Manual para estudiantes se puede conseguir gratuitamente en: http://matematicacr.files.wordpress.com/2010/06/manual-funcion-parte-entera.pdf. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________.

(69) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. Función Parte Entera. Objetivos Conocer la función parte entera Determinar imágenes de números reales en la función parte entera Caracterizar la función parte entera Determinar la propiedad de ordenado y densidad de números reales. “Si quieres triunfar, debes abrir. nuevos caminos en vez de avanzar por los trillados senderos por donde siempre has pasado” John D. Rockefeller. 8.

(70) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. 9. Introducción Analicemos la imagen de la portada ¿En algún momento de su vida usted ha tenido exactamente 5 años, o √101 años? Patrick, un estudiante que nació el 12 mayo de 1994 le preguntó su compañera Melissa ¿qué edad tienes? (Ella le preguntó el día 4 abril de 2010) Si hacemos los cálculos de la edad, Patrick tiene 15,89589 años; sin embargo Patrick le responde a Melissa tengo 15 años. Actividad: Pregúntele a la persona más cercana ¿Qué edad tienes?. Motivación Histórica. En 1616, en la traducción al inglés de una obra del escocés John Napier (1550-1617), las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con coma decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. Napier propuso un punto o una coma como signo de separación decimal: el punto decimal se consagró en países anglosajones, pero en muchos otros países, se continúa utilizando la coma decimal.1. En la historia de las matemáticas se le da créditos al matemático suizo Leonhard Euler por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la griega, la babilónica, la egipcia y la china.2. Referencias [1] http://sites.google.com/a/glm.edu.co/matematicas-2009-200/sexto-profundizacion/tareas/ii-bimestre [2] http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Externos/fcuadraticas/paginas/histori a.htm.

(71) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. 10. 1.1 Definición de Parte Entera Sea , : entonces se llama función parte entera denotada por:

(72) donde

(73) á / Ejemplos: a) Calculemos la parte entera para el número Recordemos que es un número irracional y su aproximación es: D 3,14159265358979323846 …. De la definición de parte entera buscamos un número entero menor que , algunos enteros menores: #3 ( #2 ( #1 ( 0 ( 1 ( 2 ( 3 ( ¿Cuál es el máximo de esos enteros (el mayor entero)? El mayor entero es 3 Entonces

(74) 3. b) Calculemos Observe que. =. >. =. >. 4,5 algunos enteros menores que 4,5. 2 ( 3 ( 4 ( 4,5 El mayor entero menor que 4,5 es 4. 9 ? @ 4 2. c) Calculemos

(75) 2 Algunos enteros menores o iguales a 2 #1 ( 0 ( 1 ( 2 2 El mayor entero es 2

(76) 2 2 d) Ahora . > A. observe que. > A. 0,6666666 …. Algunos enteros menores o iguales #2 ( #1 ( 0 ( 0,666 … Entonces . > A. 0.

(77) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. Observemos que si el número es positivo la parte entera, es el número entero que lo separa la coma decimal. 14563,26548 Parte entera parte decimal e)

(78) 14563,26548 14563 Ahora veamos que pasa con números negativos f) Calculemos #√35 Con ayuda de una calculadora o de tablas #√35 #5,916079783 … Algunos enteros menores que #√35 #8 ( #7 ( #6 ( #5,9160 … Note que #√35 G #5 si no #√35 #6 g) Ahora

(79) +H*240°. Con ayuda de una calculadora, tablas o triángulos observe que +H*240° D #0,8660254 … Algunos enteros menores que +H*240°. #3 ( #2 ( #1 ( #0,8660254 …

(80) +H*240° #1 h) Finalmente calculemos

(81) #7 Algunos enteros menores o iguales a -7 #9 ( #8 ( #7 #7

(82) #7 #7. Nota: Si el número es entero, la parte entera es el mismo número

(83) 2 2

(84) 0 0

(85) #7 #7. 11.

(86) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. Ejercicios 1.1 Calcule la parte entera de los siguientes números i) 5 ii) #6 iii) √101 iv) 5 v) tan 80°. L. vi) √#27 L. vii) √45 viii) #√2 ix) #0,999 … x) cos 100°. xi) 2PA xii) #3Q xiii) #7P> xiv) H xv) H R xvi) ln 10 xvii) log H xviii) # log A 56. 12.

(87) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. 13. 1.2 Orden de los números reales Ahora veamos una aplicación de la función parte entera Recordemos que una de las propiedades de los números reales es el ordenamiento, por lo que podemos comparar si un número es mayor, menor o igual que otro número real y lo podemos analizar rápidamente si calculamos la parte entera de los números a comparar. Por. ejemplo. ordenemos. los. números. TU A. ascendentemente. Primero calculamos la parte entera de los números: 4 ? @ 4 3

(88) V8+30° 0 √2 1. , cos 30°, √2. Ahora podemos ver más fácil quien es mayor y menor, recordemos que ascendentemente va ordenado de menor a mayor: 0(1(4 Así entonces ordenamos:. cos 30° ( √2 (. TU A. Ahora otro ejemplo: ordenemos los números: +H*210°, #√3 , 0 Calculemos las partes enteras de cada uno

(89) +H*210° #1 #√3 #2

(90) 0 0 Por lo que #2 ( #1 ( 0 y así ordenamos #√3 ( +H*210° ( 0 ¿Qué pasa si la parte entera es el mismo valor? Comparemos 2√3 Si calculamos la parte entera 2√3 3 y

(91) 3 las partes enteras son el mismo valor 3, pero no significa que los números son iguales, para comparar los números habría que comparar la parte decimal de los mismos..

(92) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. 14. 2√3 D 3,4641 … y vimos que D 3,1415 … como 1415 ( 4641 entonces ( 2√3 Pero la idea es trabajar con la parte entera por lo que no se resolverán más casos de este tipo en este manual. Ejercicios 1.2 Coloque el símbolo de mayor, menor o igual según corresponda. a) √5_________√10 Q. A. b) T _________ X c) H > _______2 L. d) √9______√9 L. Y. e) # √80 _____# √60. f) V8+30°______ Z. √A > Q. g) # > ________# T. h) log > 5 _______ ln 4 Z. i) log 1 ________ log Z[ j) 2Q _________3A.

(93) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. 15. 1.3 Análisis de la función Parte Entera Repase primero la definición de la Función Parte Entera. Actividad: Determine el dominio y ámbito de la función parte entera y luego construya la gráfica ayudándose con una tabla de valores. Ejercicios 1.3 Complete lo indicado a continuación Dominio: _______ Ámbito: ________ Tabla de valores \ #5 ( #4 -5 -4 #3 ( #2 -2 #1 ( 0 0 (1 1 1 (2 2 (3 3 (4 4 (5 5. ]\. Gráfica.

(94) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. 16. Compare la gráfica hecha con la siguiente:. Con base en la gráfica, determine o complete a) Intersección con el eje de las abscisas: __________ b) Intersección con el eje de las ordenadas: __________ c) Indique tres preimágenes de 2: __________________ d) Indique tres preimágenes de -1: _________________ e) ¿Existen preimágenes de √2? ________ ¿por qué? ___________________________________________________ f) ¿Cuántas preimágenes tiene 3, compare este resultado para cualquier otra imagen? Vea la tabla de valores, ¿cómo se llama la propiedad de los números reales que generaliza esta observación?. Marque con una dentro de la casilla si la función parte entera es o no es Inyectiva, Sobreyectiva o Biyectiva. Clasificación Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva. Si. No. Felicidades, ya usted tiene el conocimiento básico de la función parte entera.

(95) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. 17. Ejercicios de mayor grado de dificultad 1) Pruebe a) #1 +H* 1 b) #1 V8+ 1 2) Grafique las funciones: a)

(96) > b) ^

(97) ln c) _

(98) 2` 3) Resuelva las ecuaciones: a)

(99) 6 b) #

(100) √2 # 1 4) Calcule

(101)

(102) # 5) Determine el criterio de la recta asintótica de la función parte entera.

(103) Función Parte Entera. José Pablo Flores Zúñiga. Respuestas de los ejercicios 1.1 i) 5 ii) -6 iii) 10 iv) 15 v) 5 vi) -3 vii) 3 viii) -2 ix) -1 x) -1 xi) 0 xii) -243 xiii) -1 xiv) 2 xv) 15 xvi) 2 xvii) 0 xviii) -4 1.2. 1.3. Dominio: Ámbito: Tabla de valores. Clasificación Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva. gráfica. Si. No X. X X. 18.

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