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FRACCIONES II

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Academic year: 2020

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FRACCIONES II

Pitágoras descubrió que los intervalos musicales están regidos por relaciones entre números enteros. La posición I determina una longitud que da do grave.

una octava por debajo del do natural; II, 3/4 de longitud de la curva dan el fa por encima de do grave; III, con 2/3 se obtiene sol; IV, 1/2 da do natural.

LAS MATEMÁTICAS DE LA MÚSICA

L

egado para un pianista de jazz.

Pitágoras hizo una segunda contribución altamente práctica, que figura en toda ejecución de un pianista de jazz o de un cuarteto de cuerda. Se trata de su descubrimiento de las matemáticas que están implícitas en la escala musical. Pitágoras averiguó que existía una maravillosa conexión entre la armonía musical y los números enteros con los que contamos: 1, 2, 3, 4, 5, etc. Pulsemos una cuerda y hagamos sonar una nota, después pulsemos una cuerda igual de tensa y el doble de larga que la anterior y oiremos una nueva nota, exactamente una octava armónica debajo de la primera. Empezando por cualquier cuerda y considerando la nota que produce, se puede bajar la escala aumentando la longitud de la cuerda según simples fracciones que pueden expresarse mediante las relaciones de los números enteros. Por ejemplo, 16/15 de una cuerda que da el do dan la nota baja siguiente si; 6/5 de ésta dan la; 4/3 de ésta, sol; 3/2 de ésta; fa; 8/5 de ésta, mi; 16/9 de ésta, re, y exactamente dos de ésta vuelven a dar el do de octava más baja. Pitágoras descubrió las relaciones entre los números enteros, entre do, fa, sol, y el do inferior y entre sus equivalentes en cualquier escala.

“El hombre es el arquitecto

de su propio

destino”

(2)

1. Sabiendo que Leo puede hacer una obra en 8 días y Diana puede hacer la misma obra en 12 días. I. Leo en un día hace 1/8 de la obra

II. 1/12 de la obra es lo que hace Diana en un día III. Leo en 6 días hace los 3/4 de la obra.

IV. Trabajando los dos juntos en 1 día hacen los 5/24 de la obra.

V. Trabajando juntos terminan la obra en 4 5 4 días.

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

2. Superman puede destruir con sus puños una pared en 5 minutos, mientras que el Chapulín Colorado con su chipote demora 20 minutos. ¿En qué tiempo destruirán la pared juntos?

a) 1 min b) 2 min c) 3 min d) 4 min e) 6 min

3. Carlos y Daniel hacen una obra en 4 días y Daniel sólo lo puede haber hecho en 12 días.¿En cuántos días, Carlos trabajando sólo podría hacer los 2/3 de la obra?

a) 2 b) 3 c) 4

d) 6 e) 9

4. Mauricio es el triple de rápido que Giovanni. ¿En que tiempo harán una obra si trabajan juntos, sabiendo que Giovanní hace toda la obra en 6 horas?.

a) 1 hr 20 min d) 1 hr 15 min b) 1 hr 30 min e) 1 hr 10 min c) 1 hr 45 min

5. Tres obreros hacen un trabajo en 4 días sabiendo que el primer obrero lo haría en sólo 9 días y el segundo en 12 días. ¿Cuánto tiempo tardaría el tercero trabajando solo?

a) 15 días b) 16 días c) 18 días d) 20 días e) 21 días

6. Cristian puede hacer una obra en 15 días y su enamorada puede hacer la misma obra en 10 días. Cristian empieza a trabajar en la obra y después de 5 días se incorpora su enamorada. ¿A los cuántos días de incorporada ésta concluirá la obra?

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

7. Un grifo A llena un depósito en 4 horas y otro B en 6 horas. Además el depósito tiene una tubería de desagüe C en el fondo por el que se vacía en 12 horas todo el contenido.

I. En 1 hora A llena 1/4 del depósito. II. En 1 hora C desagua 1/12 del depósito III. En 1 hora A y B llenan 5/12 del depósito IV. En 1 hora A y C llenan 1/6 del depósito V. Abiertos los grifos A, B y C; el depósito se

llena en 3 horas.

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

8. Un tanque puede ser llenado por un primer caño en 20 horas y por un segundo caño en 30 horas. ¿En cuántas horas se llenará el tanque, si funcionan a la vez los dos caños?

a) 15 h b) 10 h c) 12 h d) 16 h e) 18 h

9. Dos grifos A y B llenan juntos un estanque en 30 horas. Si el grifo B fuera de desagüe se tardarían en llenar el estanque 60 horas. ¿En cuántas horas llenaría la llave A el estanque, estando este vacío?

a) 20 b) 25 c) 30

d) 35 e) 40

10. Un tanque está las 3/4 partes lleno, el caño A puede llenar todo en 12 min, el caño B puede desaguar todo en 8 min. Si ambos caños están abiertos, ¿Cuánto tiempo se emplearía en desaguar el tanque?

a) 14 min b) 22 min c) 16 min d) 18 min e) 21 min

11. Un depósito puede llenarse por un tubo en 8 horas, por otro en 6 y vaciarse por uno de desagüe en 4 horas. Si estando lleno 1/4 del tanque abrimos los tres tubos. ¿En cuántas horas se llenará el depósito?

(3)

a) 12 b) 15 c) 18

d) 24 e) 16

12. Se tienen tres caños para llenar un tanque: el primero lo puede llenar en 72h, el segundo en 90h y el tercero en 120h. Si estando vacío el tanque se abren simultáneamente las llaves de los tres caños. ¿En qué tiempo llenaran los 2/9 de los 3/2 del tanque?

a) 12h b) 8h c) 15h

d) 11h e) 10h

13. Un grifo llena un pozo en 4 horas y otro lo vacía en 6 horas. ¿En que tiempo se llenará el pozo, si se abre el desagüe una hora después de abrir el grifo de llenado?

a) 12h b) 9h c) 10h

d) 8h e) 15h

14. Para llenar su piscina, Lucia demora 6 horas utilizando sólo la llave A. Si cuando la piscina está llena hasta la tercera parte abre 2 llaves, B y C que suministran el doble y el triple de agua que A, respectivamente, cada hora. ¿Cuánto demorará en total llenar la piscina?

a) 2h 8min b) 2h 40min c) 2h 18min d) 2h 48min e) 2h 66min

15. Tres obreros trabajando juntos pueden concluir una obra en 10 días; si trabajan sólo los dos primeros, la acabarían en 15 días; pero si laboran los dos últimos culminan en 20 días. ¿Qué tiempo tardarán el primero y el tercero juntos?

a) 12 días b) 16 días c) 18 días d) 28 días e) 60 días

El caño A llena el recipiente

mostrado en 20 horas estando

cerrado B. El desagüe B saca la parte

que le corresponde en 30 horas

estando cerrado el caño A. Si se

abren los dos caños a la vez. ¿En

qué tiempo se llenará el recipiente?

(4)

1. Una piscina posee dos grifos de llenado y un desagüe los cuales realizan su función en 2, 4 y 8 horas respectivamente. Si estando vacía la piscina se abren los dispositivos simultáneamente. ¿En qué tiempo se llenaría?

a) 1h 24 min b) 1h 30 min c) 1h 36 min d) 1h 10 min e) 2h 36 min

2. Dos obreros necesitan 12 horas para hacer un trabajo. Si uno sólo lo hace en 20 horas. ¿Cuánto tiempo emplearía el segundo?

a) 32 h b) 30 h c) 36 h d) 24 h e) 35 h

3. Un grifo puede llenar un tanque en 6 horas y un desagüe lo vacía en 8 horas. Si ambos se abren a la vez. ¿En qué tiempo se llenaría el tanque?

a) 12 h b) 18 h c) 15 h d) 24 h e) 30 h

4. Un obrero cava una zanja en 1h 20min. El mismo trabajo realizado por otro obrero demoraría 2h. ¿En qué tiempo harán el trabajo juntos?

a) 48 min b) 36 min c) 52 min d) 56 min e) 39 min

5. Un caño puede llenar un depósito en 3 horas y otro lo puede hacer sólo en 4 horas. Si el depósito esta vacío y abrimos los dos caños a la vez. ¿En cuánto tiempo se llenará los 3/4 del depósito?

a) 1 7 5 h b) 2 7 1 h c) 1 7 3 h d) 1 7 2 h e) 1 7 4 h

Fueron

Fueron los Babilonios los primeros que utilizaron la potenciación, pues en las riberas del río

Eufrates, en un lugar donde existió un templo fue hallada una tabla de cuadrados perfectos

grabados en arcilla.

Rafael Bombelli (Italiano), fue el primero en usar la potenciación, en su obra “ALGEBRA”

representaba el cuadrado de un número con el número uno; el cubo con el dos; y así sucesivamente.

El francés FRANCISCO VIETA, en 1591, en su obra “In Arten Analuticam Ysasoge” mejoró la

notación de Bombelli.

El inglés T. Harriet, en su célebre obra de Álgebra publicada en Oxford en 1631, utilizo la notación

“nn” para representar el cuadrado de n y “nnn”, para el cubo. El francés PIERRE HERRIGONE, en

su obra “CURSUS MATHEMATICUS” editada en París en 1634, introdujo una nueva notación:

representa una cantidad con “a”; su cuadrado, con a

2

, etc. Hasta que, finalmente, René Descartes

generalizó la notación que hoy usamos:

a

, a

2

, a

3

, a

4

(5)

6. Miguel puede hacer un trabajo en 5 días y Ángel en 8 días. ¿En cuántos días podrán hacer el trabajo los dos juntos? a) 3 días b) 3 13 1 días c) 5 4 1 días d) 2 2 1 días e) 4 días

7. Dos llaves abiertas a la vez pueden llenar un estanque en 5 horas y una de ellas sola lo puede llenar en 8 horas. ¿En cuánto tiempo puede llenar el estanque la otra llave?

a) 12 3 1 días b) 13 3 1 días c) 14 3 1 días d) 1 3 1 días e) 16 3 1 días

8. Roberto y Carlos pueden hacer una obra en 4 días y Carlos sólo lo puede haber hecho en 12 días. ¿En cuántos días Roberto trabajando sólo podría hacer los 2/3 de la obra?

a) 2 b) 3 c) 4

d) 6 e) 9

9. Un grifo llena un tanque en 8 horas y el desagüe lo vacía en 12 horas. Con el tanque lleno hasta la cuarta parte se abre el caño y el desagüe durante dos horas. ¿Qué parte falta llenar?

a) 3 1 b) 3 2 c) 4 3 d) 2 1 e) 4 1

10. Si Marco es el triple de rápido que Antonio. ¿En qué tiempo harán una obra si trabajan juntos, sabiendo que Antonio hace toda la obra en 15 horas?

a) 3h 10 min b) 3h 20 min c) 3h 30 min d) 3h 45 min e) 3h 15 min

11. Un caño puede llenar un tanque en 6 horas y un desagüe puede vaciarlo en 10 horas. ¿En cuántas horas se llenará los 3/4 del tanque, si cuando se abre el caño y el desagüe, la quinta parte del tanque ya esta lleno?

a) 8h 1min 16seg d) 8h 14min b) 8h 15min e) 8h 1min 18seg c) 8h 1min 15seg

12. Un tanque posee un caño que lo llena en 5h y un desagüe que lo deja vacío en 6h. Si el desagüe se abre en 3h después del caño. ¿En qué tiempo se llenaría el tanque?

a) 10h b) 12h c) 27h

d) 14h e) 15h

13. Lucía es el doble de rápida que Leticia, juntas hacen un trabajo en 10 días. ¿En qué tiempo Lucia hará los 2/3 de la obra?

a) 15 días b) 10 días c) 12 días d) 5 días e) 4 días

14. A y B pueden hacer una obra en 20 días, B y C pueden hacer la misma obra en 15 días y A y C la pueden hacer en 12 días ¿En cuánto tiempo harían la obra A, B y C juntos?

a) 14 días b) 10 días c) 16 días d) 5 días e) 8 días

15. Dos caños pueden llenar un depósito en 27 horas. Después de estar abiertos durante 12h se cierra uno y el otro llena lo que falta en 20h.

¿En cuántas horas llenará todo el depósito el de menos caudal?

a) 112h b) 110h c) 108h d) 106h e) 105h

Referencias

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