El fenómeno de remodelación ósea: dos enfoques diferentes

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(1)Facultad Matemática, Física y Computación Licenciatura en Matemática. El fenómeno de remodelación ósea.Dos enfoques diferentes.. Diplomantes: Amauris de la Cruz Rodríguez Fredy E. Sosa Núñez. Tutor: Dr. Miguel A. Martínez Hernández. “Año 50 de la Revolución” Santa Clara 2008 i.

(2) Hago constar que el presente trabajo fue realizado en la Universidad Central Marta Abreu de Las Villas como parte de la culminación de los estudios de la especialidad de Licenciatura en Matemáticas, autorizando a que el mismo sea utilizado por la institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos ni publicado sin la autorización de la Universidad.. _____________________ Firma del autor. Los abajo firmantes, certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdos de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada. ________________. _________________________ ii.

(3) Firma del tutor. Firma del jefe del Seminario. Dedicatoria. Amauris: Le dedico este trabajo. Fredy: Le dedico este trabajo a mi mamá, mi papá, mis hermanos y en especial a mi novia Mirel.. iii.

(4) Agradecimientos. Amauris: A, mis padres, mi novia Danais, toda mi familia, mis amigos Fredy, Damichel, Ricardo, Rubén, Rangel, Robin, Ronquillo, Liucel, Alexander, Javier, Addiel, Malu, Ariadny, Kaylen, Yoli, Irena, Leidys, Grether y su familia y en especial a mi hermano Aliesky. Todos ellos de una forma u otra contribuyeron a que esto fuera posible, por eso una vez más les doy las gracias.. Fredy: Agradezco a toda mi familia, a mis amigos, a todos los maestros y profesores que he tenido en el transcurso de mi vida como estudiante y que han influido de una forma u otra en mi formación profesional. No es posible mencionar algunos porque siempre quedaran personas importantes sin poner, ni a todos porque entonces esta hoja no alcanzaría. A todos muchas gracias porque sin su ayuda esto ni seria posible.. Ambos: Agradecemos al Dr. Miguel A. Martínez por la gran labor que realizó como nuestro tutor. Además agradecemos a Yoan por la gran ayuda que nos brindó en nuestro empeño por entender la tarea a la que nos enfrentamos. A todos nuestros profesores y, por qué no los que no eran nuestros profesores y también, junto con los primeros, influyeron en nuestra formación como matemáticos. A todos los colegas de la carrera, a todos nuestros amigos. A todos gracias.. iv.

(5) Resumen: En este trabajo de diploma se ha realizado (Capítulo 1) una revisión de los principales métodos que tratan de simular el fenómeno de remodelación ósea, exponiendo las principales ideas que serán empleadas por los modelos que nos ocupan y que se verán en detalle en los posteriores capítulos. Además, en este mismo capítulo se da, al principio, una serie de ideas sobre biología ósea que creemos necesarias para una mejor comprensión de los modelos. En el siguiente Capítulo se trata en detalles un enfoque mecánico basado en la Mecánica del Daño Continuo conocido como Modelo de Doblaré el cual considera al hueso como un material anisótropo, y por tanto siendo un paso de avance en los modelos de remodelación ósea. Posteriormente, en el Capítulo 3, se abordan aspectos esenciales de dos modelos de corte biológico los cuales aportan ideas para el siguiente modelo tratado en detalles que constituye un enfoque mecano-biológico del fenómeno estudiado. Este modelo esta basado en los dos enfoques introduciendo nuevos conceptos. Este es el modelo mas completo de todos los abordados en este trabajo y, de los que tenemos conocimiento. En el Capitulo 4 se aborda el tema de la implementación numérica de modelo de Doblaré el cual ha sido algoritmizado y programado en el Paquete Matemática realizándose varias corridas para comprobar el buen funcionamiento del algoritmo para su futura programación e inserción en un simulador profesional basado en el MEF (ABAQUS).. v.

(6) Índice Introducción: ...................................................................................................................... 1 Planteamiento del problema .............................................................................................. 2 Objetivos............................................................................................................................. 2 Capítulo 1................................................................................................................................ 3 1.1 Introducción ................................................................................................................. 3 1.2 Biología ósea ................................................................................................................ 4 1.3 Revisión histórica ...................................................................................................... 12 1.3.1 Los primeros modelos. La ley de Wolff ...................................................................... 13 1.3.2 La teoría de la flexibilidad adaptativa de Cowin ........................................................ 14 1.3.3 El concepto de “auto-optimación” de Carter............................................................... 17 1.3.4 El modelo isótropo de Huiskes .................................................................................... 18 1.4.1 Modelo isótropo de Stanford ........................................................................................ 19 1.5 Conclusiones .............................................................................................................. 27 Capítulo 2: Modelo de remodelación ósea basado en la Mecánica de Daño ................... 30 2.1 Introducción ............................................................................................................... 30 2.2. Conceptos fundamentales de la Mecánica del Daño. ............................................ 30 2. 3 Formulación teórica ................................................................................................. 33 2.3 Esquema del modelo.................................................................................................. 41 Capítulo3: Un enfoque mecano-biológico.......................................................................... 43 3.1 Introducción ............................................................................................................... 43 3.2 Modelo de Hazelwood.............................................................................................. 44 3.3 El modelo de Hernández ........................................................................................... 46 3.4 El modelo de Tomas Rueberg. Un enfoque mecano-biológico. ............................ 48 3.4.1 Breve comentario. ......................................................................................................... 49 3.4.2 Definición de las variables principales del modelo . .................................................. 51 3.4.3 Cálculo de los estímulos. .............................................................................................. 54 3.4.4 Cálculo de la nueva natalidad de BMUs. .................................................................... 55 3.4.4 Criterios de remodelación. ........................................................................................... 56 3.4.5 Actividad de los osteoclastos y los osteoblastos, balance óseo focal (Rueberg, 2003). ..................................................................................................................... 58 3.4.6 Cambios en la fracción de volumen óseo. ................................................................... 60 3.4.7 Nuevo grado de mineralización ................................................................................... 63 3.4.8 Evolución del daño. ..................................................................................................... 65 3.4.9 Nuevo tensor de remodelación ........................................................................ 66 3.4.9 Nuevas propiedades del material ..................................................................... 66 3.4.10 Discusión de aspectos del modelo que no han quedado claro para los autores. ..... 66 Capítulo 4: Implementación numérica del modelo de Doblaré......................................... 69 4.1 Introducción ............................................................................................................... 69 4.2 Algoritmo en seudocódigo ........................................................................................ 70 Conclusiones: ....................................................................................................................... 71 Recomendaciones:................................................................................................................ 72 Referencias bibliográficas ................................................................................................... 73 vi.

(7) Introducción: El tejido óseo está compuesto esencialmente por. tejido conjuntivo con la. sustancia intercelular mineralizada, siendo, de entre todos los tejidos 1.

(8) conectivos, el único que responde a la denominación de tejido duro. Garantiza varias funciones esenciales entre las que destacan las siguientes: •. Proveer de estructura soporte al sistema muscular y garantizar la. protección de órganos vitales. •. Actuar como reserva de sustancias químicas como el calcio y fósforo y. ser el responsable del mantenimiento de la homeostasis (mantenimiento de constantes fisiológicas) del calcio en colaboración con el sistema endocrino. •. Ser el lugar de mayor formación de glóbulos rojos y blancos.. Centrándonos tan sólo en su carácter estructural, el hueso posee además la capacidad de adaptarse a las influencias mecánicas a las que se encuentra sometido, variando tanto su micro-estructura interna como su forma externa. El estudio detallado de este fenómeno denominado remodelación, es esencial para comprender y predecir los cambios inducidos por alteraciones funcionales o por la implantación de prótesis.(Manuel Doblaré, 2002). Planteamiento del problema ¿Es posible predecir el comportamiento estructural del tejido óseo a causa de cambios en su estado fisiológico normal debido, por ejemplo, a un exceso de cargas, a una fractura o a la inserción de una prótesis?. Objetivos Objetivo General: Estudiar y evaluar diferentes modelos de remodelación ósea interna.. Objetivos Específicos: 2.

(9) 1. Algoritmizar e implementar numéricamente alguno de los modelos estudiados. 2. Evaluar numéricamente el comportamiento del algoritmo implementado.. Capítulo 1 1.1 Introducción La remodelación es un complicado proceso biológico en el que factores hormonales, junto a variaciones de la presión local sobre las membranas celulares activan o inhiben la formación o desaparición de nuevo tejido. Un estudio, siquiera somero, de la biología del tejido óseo es pues previo a cualquier comprensión del fenómeno. A ello se dedica el primer apartado. A continuación, se presenta un resumen de los modelos más interesantes planteados a lo largo de la historia para, posteriormente, centrarnos en la formulación de algunos de ellos que permiten obtener una razonable aproximación a los resultados experimentales. Todos ellos presentan, sin embargo, limitaciones conceptuales importantes, además de ser incapaces de reproducir con suficiente fidelidad comportamientos esenciales del hueso como la evolución de la anisotropía. Con la intención de mejorar las deficiencias de 3.

(10) estas formulaciones y tomando como partida el modelo isótropo de Stanford, se estudia un nuevo modelo de remodelación ósea basado en una extensión original de la Mecánica de Daño Continuo y Anisótropo que incorpora la posibilidad de reparación del daño, lo que da lugar a una teoría más general de Daño-Reparación con interesantes particularidades termodinámicas.. 1.2 Biología ósea A continuación se brindan ideas esenciales acerca del proceso de remodelación ósea las cuales se consideran importantes para una mejor comprensión del fenómeno a simular. Las mismas fueron extraídas del articulo donde Doblare expone su modelo(Manuel Doblaré, 2002). El tejido óseo es un componente vivo formado por células óseas y rodeadas por una matriz extracelular. Las células óseas presentan diferente morfología según su función y localización. Cuatro son los tipos de células óseas habitualmente reconocidos, tres de ellos cubren las superficies del tejido óseo: osteoblastos, células de borde y osteoclastos, mientras que el cuarto tipo, los osteocitos, se encuentra dentro de la matriz mineralizada.. La célula ósea responsable de la formación del hueso es el osteoblasto. La principal función de los osteoblastos es la síntesis y segregación de la componente orgánica de la matriz ósea.. 4.

(11) Las células óseas de borde son células planas que se encuentran localizadas en las superficies óseas inactivas que constituyen más del 80 por ciento del hueso esponjoso y endocortical, formando una fina capa que se encuentra extendida por toda la superficie ósea. Estas células representan una fase terminal de los osteoblastos. Normalmente no presentan ningún tipo de actividad, aunque podrían llegar a ser activadas de nuevo en algunos casos para formar una capa de osteoblastos.. El osteoclasto es la célula ósea que se encarga de la eliminación del hueso. Un sistema hormonal específico y factores de crecimiento influyen para desarrollar osteoclastos precursores que se encuentran en la médula o en el flujo sanguíneo. precursores. Cuando proliferan. son. estimulados,. hasta. fusionar. los y. osteoclastos formar. mononucleares. grandes. osteoclastos. multinucleados. Los osteoclastos eliminan tanto la componente orgánica como la inorgánica del tejido óseo, mediante un proceso extremadamente eficiente. Inicialmente se consigue disminuir el ph desde aproximadamente un valor de 7 hasta un valor de 4. Este ph tan ácido disuelve el mineral y degrada la parte orgánica de la matriz. Una vez que un osteoclasto ha completado su actividad de reabsorción, se divide en células mononucleares que pueden ser reactivadas para la formación de nuevos osteoclastos.. Finalmente, más del 90 por ciento de las células óseas de una persona adulta son osteocitos. El principal papel del osteocito es el mantenimiento y vitalidad de la matriz ósea circundante.. La matriz ósea presenta una gran durabilidad y estabilidad, pudiendo permanecer prácticamente inalterable y mantener su resistencia durante siglos después de que el organismo haya muerto. Es un material compuesto formado por una componente orgánica, otra inorgánica y agua. La componente inorgánica constituye aproximadamente un 65 por ciento del peso de hueso, la 5.

(12) orgánica un poco más del 20 por ciento y el agua constituye aproximadamente un 10 por ciento. Estos valores son genéricos y varían según el tipo de hueso, (Figura 1).. La componente orgánica dota. al hueso de su forma y contribuye a la. capacidad de resistir a tracción, mientras que la componente inorgánica o mineral contribuye a la resistencia a compresión. El hueso desmineralizado, como pueden interpretarse que son los ligamentos o tendones, es flexible y resistente a tracción.. Por el contrario, la eliminación de la parte orgánica del hueso hace a éste rígido y frágil. La parte inorgánica o mineral de la matriz ósea realiza dos funciones esenciales: sirve de reserva de iones y confiere al hueso la mayor parte de su rigidez y resistencia. Aproximadamente el 90 por ciento del calcio del cuerpo, el 85 por ciento del fósforo y entre un 40 y un 60 por ciento del total del sodio y magnesio del cuerpo se encuentra en los cristales minerales óseos.. La formación de hueso nuevo (osteoide) no contiene mineral inicialmente, estando el espacio que posteriormente será ocupado por éste relleno de agua. La mineralización normalmente ocurre bastante rápidamente. De hecho, una vez que comienza, el 60 por ciento o más de los últimos minerales se forman durante horas. Después de esta fase inicial, el mineral sigue acumulándose aumentando gradualmente la densidad del hueso.. Aunque los cambios que se producen durante la mineralización en la composición de la matriz ósea no son muy conocidos, está claro que la cantidad de agua y la concentración de proteínas no colágenas disminuye cuando la concentración mineral aumenta, quedando la concentración de colágeno y su estructura prácticamente iguales. Con el incremento de la mineralización, la. 6.

(13) organización de la matriz, la maduración de los cristales óseos y la sustitución de hueso plexiforme por laminar, la rigidez y fragilidad del hueso incrementa.. Hay dos tipos fundamentales de tejido óseo: cortical (o compacto) y esponjoso (o trabecular), (Figura 2 y Figura 3).Ambos tienen la misma composición y estructura, pero la masa de hueso cortical por unidad de volumen es mucho mayor, o lo que es lo mismo, tiene menor porosidad (aproximadamente 10 por ciento para el hueso cortical y del 50 al 90 por ciento para el esponjoso).. También ambos tipos pueden estar formados por dos formas de tejido óseo: el plexiforme (primario o fibroso) y el laminar (secundario). El hueso plexiforme forma el embrión del esqueleto, y conforme va madurando va desapareciendo, siendo sustituido por el laminar. Los callos que aparecen cuando se produce alguna fractura ósea se forman de la misma manera. Pequeñas cantidades de hueso plexiforme pueden formar partes permanentes de tendones y ligamentos. Exceptuando estos casos, el hueso plexiforme no se presenta en el esqueleto humano normal después de los cuatro o cinco años de edad. Sin embargo, puede volver a aparecer cuando se produce cualquier tipo de lesión ósea.. Los tejidos plexiforme y laminar se diferencian en su formación, composición, organización y propiedades mecánicas. El plexiforme posee una alta velocidad de reabsorción y aposición óseas, no presenta una relación estable de contenido mineral a colágeno (de hecho su densidad mineral varía de forma importante) y contiene aproximadamente cuatro veces más de osteocitos por unidad de volumen que el laminar, variando éstos en cuanto a tamaño, orientación y distribución. Por el contrario, el tejido laminar es mucho menos activo y sus osteocitos son uniformes en tamaño con sus ejes principales orientados paralelos a las fibras de colágeno que forman la matriz.. 7.

(14) La mineralización del hueso plexiforme se produce de manera adireccional, creando una apariencia muy irregular. En cambio, en el hueso laminar, las fibras de colágeno varían menos en diámetro permaneciendo paralelas y formando distintas lamelas de cuatro a doce micrómetros de espesor con una distribución uniforme. Esta organización le da un aspecto mucho más homogéneo.. Debido a esta irregular orientación de las fibras de colágeno, alto contenido en células y agua y una irregular mineralización, el hueso plexiforme es más flexible y débil que el hueso laminar. La irregularidad de la estructura del hueso plexiforme implica que sus propiedades mecánicas no dependen para nada de las cargas aplicadas, teniendo un comportamiento prácticamente isótropo. Por el contrario, el hueso laminar, es anisótropo y sus propiedades mecánicas dependen de la orientación de las cargas aplicadas. Por estas razones, la restitución de las propiedades mecánicas en el lugar en el que se produzca una fractura ósea requiere la sustitución del hueso plexiforme que forma el callo con hueso laminar. Cabe destacar que hay cuatro formas de hueso laminar.. La trabecular del hueso esponjoso, la capa interna y externa del hueso cortical, los intersticios del hueso y las lamelas de osteonas (Figura 6). Cada lamela está formada por fibras de colágeno con una elevada direccionalidad y densidad de empaquetamiento. Las fibras y las lamelas adjuntas van en diferentes direcciones. Las fibras de colágeno normalmente se interconectan no sólo entre sí, sino que entre también con otras lamelas, aumentando así la resistencia del hueso.. Las osteonas forman la mayor parte de la capa cortical del esqueleto humano (Figura 4 y 5). Longitudinalmente aparecen cilindros enrollados en forma espiral alrededor de la diáfisis formando cada lamela de hueso alrededor de los canales centrales. Por estos canales centrales, denominados como canales 8.

(15) haversianos, aparecen venas sanguíneas, venas linfáticas y ocasionalmente nervios (Figura 7 y 8). El canal central está conectado a los osteocitos a través de los canalículos, que son pequeños canales donde se realizan los procesos celulares de los osteocitos extendiéndose de una forma radial a partir del canal central. Ya que la transmisión de nutrientes a través de la parte mineralizada está muy limitada, las células dependen de los canalículos para que se produzca el reparto de sus necesidades metabólicas. La orientación longitudinal de las osteonas (Figura 5) explica porqué la capa cortical de la diáfisis es más resistente cuando la carga es paralela a esta orientación que cuando la carga es perpendicular.. Las líneas de cementación delimitan el contorno de cada osteona. Estas finas capas están formadas por una componente orgánica. En general, los procesos de las células óseas y las fibras de colágeno de las osteonas no atraviesan las líneas de cementación, de forma que cada osteona está aislada del resto. Por ello, cuando la matriz ósea se fractura, la línea de rotura tiende a seguir las líneas de cementación más que atravesar una osteona. Esta desviación que puede sufrir la grieta puede prevenir los fallos por fatiga, permitiendo a las células óseas reparar el fallo antes de que se produzca la fractura completa.. En conclusión, el hueso laminar cortical está formado por una compleja red de canales, lagunas y canalículos. Los canales centrales están conectados entre sí por los canales de Volkmann (Figura 5). Estos canales se encuentran a lo largo del hueso y conectan el periostio y el endosteo, formando importantes canales de comunicación. La superficie disponible de los canales, lagunas de osteocitos y canalículos es aproximadamente cien veces mayor que la superficie del periostio y endosteo juntas (hueso cortical de adulto). Esta red de canales y lagunas dentro del hueso constituye un amplio espacio donde los iones y líquido fluyen libremente. La deformación del hueso al estar sometido a un estado de. 9.

(16) cargas hace que éstos líquidos fluyan generando potenciales, siendo pues esencial en el papel regulador de la función de las células óseas.. Según la forma, los huesos se pueden clasificar en tres grupos: cortos, planos y largos. Los huesos cortos, como los tarsianos, carpianos y las vértebras, miden aproximadamente lo mismo en todas las direcciones y son trapezoidales, en forma cúbica, cuneiformes o de forma irregular. Los huesos planos tienen una dimensión que es mucho menor que las otras dos, forman por ejemplo, la escápula y las crestas del ilión. Los huesos largos tienen una dimensión que es mucho mayor que las otras dos, como por ejemplo el fémur, la tibia, el húmero, los metacarpianos, los metatarsianos y falanges. Éstos tienen una zona tubular de gran espesor, diáfisis, que termina expandiéndose a cada extremo, metáfisis. En un animal todavía joven, por encima de la metáfisis se encuentra la epífisis, unida a aquella por una zona cartilaginosa denominada placa epifisaria. En la extremidad de cada epífisis aparece un cartílago articular formando la superficie de articulación. La placa epifisaria es el lugar donde se produce preferentemente la calcificación del cartílago. En la. (Figura 8) se. pueden observar las diferentes partes de un hueso largo.. El hueso cortical forma aproximadamente el 80 por ciento del esqueleto de una persona madura, y rodea la médula ósea y el hueso esponjoso. En huesos largos, el tejido cortical forma la diáfisis (tubo de hueso cortical). La superficie exterior de un hueso está cubierta por una membrana dura denominada periostio. En la diáfisis, la superficie de separación entre el hueso y la médula se denomina endostio. Las paredes de hueso cortical de la diáfisis se van haciendo más delgadas a la vez que su diámetro va aumentando, formando lo que se conoce como metáfisis, donde aparece una gran cantidad de hueso esponjoso o trabecular. El hueso trabecular se presenta en las regiones epifisaria y metafisaria de los huesos largos y en el interior de huesos cortos y planos. Así, los huesos cortos y planos están formados en su mayor parte por 10.

(17) hueso esponjoso y rodeado por una pequeña capa de hueso cortical. El periostio recubre las superficies exteriores de los huesos exceptuando las regiones inmediatamente próximas a las articulaciones, tales como el cuello femoral y los lugares donde se insertan tendones y ligamentos. Las células que hay en el periostio pueden eliminar y generar hueso como respuesta a estímulos y juegan un importante papel en el metabolismo del hueso. Consiste en dos capas: una externa densa y fibrosa y otra interna vascular y celular. Esta capa interna contiene células que pueden llegar a ser osteoblastos y pueden también formar cartílago, así como ayudar a la formación del callo óseo en el tratamiento de fracturas. La capa externa tiene menos células y más colágeno.. En cuanto al comportamiento mecánico, aunque ambos tipos de huesos (cortical y esponjoso) tienen la misma composición y propiedades materiales, las diferencias en la distribución y su estructura dan lugar a diferentes propiedades mecánicas.. La parte tubular de la diáfisis es apropiada para resistir esfuerzos axiles, flectores y torsores de una manera eficiente y con una cantidad mínima de material, mientras que en la metáfisis y en la epífisis, la fina capa cortical y la gran cantidad de tejido trabecular permiten grandes deformaciones bajo la misma carga. Esta compleja estructura ayuda a absorber de manera eficiente las cargas de impacto aplicadas a través de las uniones, así como a proteger el cartílago de la articulación.. La sustitución de parte de la metáfisis por una prótesis insertada y fijada al hueso elimina los efectos de absorción de cargas mencionados, aumentando de manera considerable la máxima carga transmitida por la articulación debido a cargas de impacto.. 11.

(18) Finalmente, y como ya se ha comentado, el hueso no es un material inerte sino que se producen modificaciones sustanciales en su estructura interna y su composición a lo largo del tiempo. Estos cambios están regulados por procesos fisiológicos que, en cualquier caso, siempre se producen en las superficies internas de la matriz ósea o en las paredes de los huecos, dependiendo del punto de vista con el que se mire. Solamente en estas superficies puede ser añadido hueso (por células que se denominan osteoblastos) o eliminado (por células que se llaman osteoclastos), de modo que la velocidad de cambio de la porosidad se verá afectada por la cantidad de superficie interna que hay disponible para la actividad fisiológica. Una parte de hueso que tiene una superficie específica de 5 mm 2 / mm 3. tiene un mayor potencial para la. remodelación que una cuya superficie específica es de 1 mm 2 / mm 3 . 1.3 Revisión histórica A lo largo de la historia, desde al menos el siglo diecisiete, muchos científicos han estudiado la relación existente entre la estructura del tejido óseo y las cargas a las que se encuentra sometido. Así, en el siglo diecinueve, varios autores describieron la relación entre la forma y la función del hueso con gran detalle, pero puede decirse que fue Wolff el primero que observó de que no sólo existe una clara relación entre la estructura ósea y la carga, sino que el hueso como tejido vivo es capaz de adaptarse a las alteraciones de estas cargas de acuerdo con leyes matemáticas precisas. Estudios experimentales han verificado posteriormente la validez de la ley de Wolff, mostrando cómo a consecuencia de la remodelación ósea, el hueso se adapta a las variaciones de la carga, incluso en estado adulto.. La descripción, siquiera somera, de cada uno de los trabajos publicados que estudian el proceso de remodelación ósea es inabordable, por lo que en este apartado se pretende tan sólo revisar aquellos que proponen una relación constitutiva describiendo la naturaleza adaptativa del tejido óseo. 12.

(19) 1.3.1 Los primeros modelos. La ley de Wolff (Wolff, 1986). Aunque precedido por varias investigaciones de la arquitectura del hueso esponjoso, cabe destacar que los dibujos de la estructura interna de la parte proximal del fémur realizados por el anatomista suizo Von Meyer en 1867 marcaron el inicio de las investigaciones en la línea de la influencia mecánica en el comportamiento óseo. Estos dibujos fueron estudiados por Culmann, quien observó que las trayectorias de las tensiones principales eran significativamente similares a las propuestas por Von Meyer.. Aunque parecía claro que el alineamiento óseo trabecular estaba regulado por las trayectorias de las tensiones principales, no fue hasta dos años después cuando Wolf planteó su teoría que fue ampliamente cuestionada por la comunidad científica de la época, incluso por científicos tan importantes como Mohr . Wolff, basándose en el hecho de que las direcciones de tensión principal son perpendiculares, pensaba que las trayectorias del alineamiento óseo trabecular debían interseccionar de forma perpendicular, criticando los dibujos de Von Meyer, en los que las trayectorias intersectaban formando ángulos agudos, por lo que propuso un dibujo alternativo en el que las trayectorias incidían formando 90º (Figura 9). Aunque esta teoría ( trajectorial theory ) implicaba un modelo experimental de la respuesta del hueso esponjoso al estado tensional, Wolff tenía en mente un modelo que relacionaba las tensiones y las deformaciones de una manera única. En otras palabras un modelo constitutivo continuo.. Roux incorporó las ideas de Wolff dentro de su teoría estableciendo un funcional adaptación de estructuras biológicas y órganos. Dicho funcional 13.

(20) respondía a la idea de la resolución de un problema de optimización de diseño mecánico: máxima resistencia con mínimo material y, según Roux, el mismo no sólo se podía aplicar a huesos, sino que a cualquier otro sistema biológico. En general, este trabajo fue aceptado como prueba matemática de la ley de Wolff.. En los años siguientes no aparecieron progresos significativos respecto de la formulación de un modelo matemático de remodelación ósea completo. Renovado interés surgió durante la década de los sesenta, ante la aparición de los ordenadores y la posibilidad de realizar simulaciones numéricas.. En este período, aunque muchos investigadores mostraron interés por establecer un modelo constitutivo para la remodelación ósea, fueron Pauwels y Kummer los que retomaron la idea de Roux. Pauwels propuso la existencia de un estímulo mecánico que controlaba el estado de hipertrofia o atrofia de la masa ósea. Pequeños valores tensionales provocaban reabsorción, mientras que niveles de tensión superiores implicaban formación. Esta respuesta de realimentación fue formulada matemáticamente por Kummer en 1972, aunque no desarrolló una ley general continua. En la (Figura 10) se muestra la representación gráfica de las trayectorias tridimensionales para la extremidad proximal del fémur según Kummer, que estaba de acuerdo con la idea de que el hueso seguía las trayectorias tensionales.. 1.3.2 La teoría de la flexibilidad adaptativa de Cowin (Cowin, 1986). La primera formulación matemática continua de la remodelación ósea fue propuesta por Cowin y Hegedus. En ella consideran la matriz ósea como un material poroelastico con una fase sólida porosa rodeada por un componente fluido. La remodelación ósea aparecía como consecuencia de reacciones 14.

(21) químicas entre la matriz ósea y los fluidos extracelulares. Un interesante resultado de este trabajo fue que la torsión alrededor del eje longitudinal de huesos largos no influía en el comportamiento de remodelación.. En un principio esta teoría de la flexibilidad adaptativa fue desarrollada para describir el comportamiento de remodelación del hueso cortical. La hipótesis de partida era suponer que el tejido óseo tiene un estado natural de equilibrio en el que no se produce remodelación. A partir de las ideas desarrolladas por Frost, se plantea una ley de remodelación ósea interna-externa que se expresa como:. (1.1) con E el modulo de Young,. el tensor de deformación,. el tensor de. deformación en equilibrio y A un tensor de coeficientes de remodelación interna.. En el caso de remodelación externa, la ecuación equivalente es:. (1.2). donde X es una coordenada característica en la dirección del vector normal a la superficie del sólido y B un tensor de coeficientes de remodelación externa.. Posteriormente, Cowin et al presentan una nueva formulación continua en la que se establece que la reorientación y los cambios en el comportamiento anisotrópico de la arquitectura trabecular son función de las solicitaciones mecánicas (tensiones). Con esta idea introdujo el fabric tensor. como una. medida cuantitativa estereológica del reordenamiento microestructural de las trabéculas y los poros del hueso esponjoso. Además, relaciona este tensor con las constantes elásticas del hueso, obteniendo la primera formulación matemática de la ley de Wolff. Su modelo se basa en que la condición de equilibrio de remodelación se obtiene cuando las direcciones principales del 15.

(22) material óseo se encuentran alineadas con las direcciones principales del tensor deformación que, a su vez, quedará alineado con las del tensor de tensiones.(Manuel Doblaré, 2002). Los parámetros que Cowin utiliza para cuantificar la arquitectura trabecular son el porcentaje de volumen sólido del hueso esponjoso que puede variar entre 0 (material completamente vacío) y 1 (matriz ósea sin poros) y el fabric tensor . Este tensor es un tensor de segundo orden, definido positivo, cuyos ejes principales son coincidentes con las direcciones principales de las trabéculas y cuyos autovalores son proporcionales a la cantidad de masa de la estructura trabecular asociada a dicha dirección principal. Cowin determina el fabric tensor utilizando el modelo MIL, o de la longitud de intersección promedio. Las características mecánicas o propiedades elásticas quedan definidas por el tensor elástico de comportamiento de cuarto orden que relaciona de forma directa tensiones y deformaciones, y que depende directamente del fabric tensor y del porcentaje de volumen de sólido del hueso esponjoso. El fabric tensor se normaliza habitualmente imponiendo que su traza sea igual a la unidad, con lo que la parte desviadora del tensor normalizado, constituye una medida del grado de anisotropía relativo en las tres direcciones principales.. Cowin consideró como principal objetivo de la remodelación el mantenimiento de la deformación en un rango aceptable para el tejido óseo. Definió entonces el equilibrio de remodelación como el conjunto de condiciones en las que no se produce reordenamiento de la arquitectura trabecular, ni formación o reabsorción del tejido óseo esponjoso, planteando dos condiciones de equilibrio: una de la cantidad de volumen de hueso y otra del reordenamiento anisótropo.. Este modelo plantea una formulación excesivamente complicada y necesita de una gran cantidad de variables para que quede completamente definido. Por 16.

(23) esta razón, se han resuelto tan sólo problemas muy sencillos de regiones homogéneas de hueso mediante modelos analíticos, no pudiendo abordar otros problemas más complejos, asimismo por falta de datos de los parámetros. Además, este modelo presenta un inconveniente adicional, ya que no incorpora ningún efecto de los procesos biológicos a nivel celular: superficie efectiva, acción de osteoblastos y osteoclastos, etc.. 1.3.3 El concepto de auto-optimación de Carter. En una serie de trabajos, Carter y sus colaboradores introdujeron una formulación matemática de una funcional adaptación del hueso trabecular, basado en un concepto de auto-optimización. De acuerdo con Frost y Pauwels que propusieron que un cierto estímulo debe estar presente en el tejido óseo, de manera que cuando este estímulo se encuentra entre unos ciertos niveles se alcanza un estado cuasi-estacionario de remodelación ósea nula, Carter et al. propusieron un estímulo proporcional a una cierta tensión efectiva que tiene en cuenta la influencia de la historia completa de carga durante un cierto periodo de tiempo. Dicha tensión efectiva. es una función del estado tensional local. correspondiente a cada caso de carga a través de la densidad de energía de deformación U y de la densidad aparente local (1.3). Se supone entonces que la remodelación ósea ha de ser tal, que la funcional adaptación maximiza la rigidez con la menor cantidad de masa ósea. Esto es equivalente a suponer que la tensión actúa como una herramienta de optimización, minimizando. alguna. función 17. objetivo. A partir de. estas.

(24) consideraciones, se propone una relación directa entre la densidad aparente y la tensión efectiva (Manuel Doblaré, 2002). (1.4). 1.3.4 El modelo isótropo de Huiskes. A partir de las ideas propuestas por Cowin y Carter, Huiskes plantean un modelo de remodelación ósea adaptativa utilizando la deformación como variable de control del proceso, a través de la energía de deformación. .. Además, suponen una relación lineal entre la respuesta adaptativa del hueso y el estímulo, incorporando una idea de Carter en la que se sugiere que el hueso es perezoso a la hora de adaptarse ante el estímulo mecánico. Para ello introduce el concepto de zona muerta o zona de equilibrio (Figura 11) (Manuel Doblaré, 2002).. En. trabajos. posteriores,. Weinans. junto. a. Huiskes,. caracterizan. el. comportamiento mecánico del hueso utilizando la densidad aparente, de manera similar a otros modelos. La variación de la densidad aparente del hueso se puede describir a través de una función objetivo F que depende a su vez de la densidad aparente y de la energía de deformación adscrita a cada caso de carga. La principal limitación de este modelo es su carácter isótropo.. 18.

(25) 1.4.1 Modelo isótropo de Stanford (Manuel Doblaré, 2002, AZNAR, 1999) En este modelo de remodelación se considera una condición de remodelación homeostática a nivel local, es decir, que el tejido óseo, para mantener sus características, necesita un cierto nivel de estímulo mecánico e intenta siempre autorregularse para mantener dicho nivel, de modo que si se encuentra sometido a un estado tensional superior modifica sus propiedades mecánicas incrementándolas, para reducir ese nivel de estímulo mecánico, mientras que cuando el estado tensional es inferior, el hueso disminuye sus características mecánicas con el fin de alcanzar, de nuevo, ese nivel. El objetivo global del hueso es pues, según este modelo, homogeneizar el valor del estímulo mecánico local en todos los puntos del mismo.. Se supone pues que la respuesta ósea local está relacionada directamente con el efecto provocado por la carga, que hace que no se cumpla la condición homeostática. Esta condición se define por un escalar, que cuantifica el estímulo mecánico local, que se comparará con un valor de referencia. Este escalar se denomina estímulo tensional diario a nivel de tejido ( daily tissue level stress stimulus ). , de modo que la condición homeostática se escribe. como (1.5) donde. es el valor de referencia del estímulo tensional a nivel de tejido.. 19.

(26) Para evaluar la cuantía del incumplimiento de la condición homeostática, se define el error de remodelación, , como (1.6) Se supone que el valor del estímulo diario a nivel de tejido puede calcularse considerando el efecto de varios casos, que caracterizan la historia de carga a la que se encuentra sometido el hueso durante las actividades habituales en un día. Cada caso de carga influye en el estímulo tensional, de forma que se define éste mediante. (1.7) donde N es el número de diferentes casos de carga, de ciclos por día de cada caso de carga , y. es el número promedio. es la tensión efectiva real (una. cantidad escalar que representa la intensidad local del estado tensional en el tejido mineralizado) para cada caso de carga. . El exponente m es un. parámetro que cuantifica la importancia del estado tensional frente al número de ciclos. Valores fisiológicos habituales de m oscilan entre 3 y 8, dependiendo de la actividad que se realice.. Se observa pues de (1.7) que la remodelación depende de la componente cíclica de las tensiones y de la historia de carga, siendo importante caracterizar la carga de un modo sencillo para facilitar la formulación.. Las cargas a las que está sometido un hueso generan en éste un estado tensional y de deformación que varía con el tiempo de una manera compleja y en espacios de tiempo muy pequeños. La respuesta del hueso, por el contrario, es mucho más lenta que la carga que induce a la respuesta homoestática (por ejemplo, en el caso típico de caminar, el paso es un proceso cíclico que ocurre en segundos, y la dinámica de una carga de impacto es mucho más rápida, 20.

(27) cuando las escalas temporales de respuesta ósea son al menos de días). Debido a ello es conveniente caracterizar la historia de carga con unos tensores de tensiones y deformaciones que no cambien en la pequeña escala de tiempos de las cargas aplicadas.. De esta manera, las tensiones y deformaciones instantáneas se sustituyen por cantidades que son casi estáticas o varían en una escala de tiempo mucho mayor, pero que incluyen los aspectos de las historias de carga que son relevantes para la remodelación. El valor del incremento de tiempo que se toma para promediar las tensiones y deformaciones tiene un efecto despreciable en la remodelación, siempre que no sea excesivamente grande o pequeño.. Para que la descripción y parametrización de las tensiones y deformaciones sea útil, es necesario condensarlas en el mínimo de información posible. Por ello la historia de carga se suele resumir en un pequeño número de actividades o casos de carga similares, según la influencia que pueden ejercer en la remodelación ósea. La primera hipótesis de partida que habitualmente se considera para poder realizar dicho agrupamiento es que el orden de aplicación de los casos de carga no influye en la respuesta adaptativa del hueso, lo que parece bastante lógico dada la diferente escala de tiempo entre ambos procesos ya comentada. Las cargas se agrupan, por tanto, de modo que aquellas. que. originan. comportamientos. de. remodelación. semejantes. pertenecen al mismo grupo y las que no influyen significativamente en la respuesta ósea son despreciadas. La muestra un esquema de una historia de carga típica en términos de rango de tensiones cíclicas, permitiendo agrupar los casos de carga de manera apropiada.. Una vez que las cargas han sido agrupadas, se observa en la expresión (1.7) que los diferentes casos de carga contribuyen simultáneamente al evaluar el 21.

(28) estímulo en cada instante de tiempo. Jacobs (1994) propone una simplificación que consiste en modificar la forma de aplicación de las cargas. En vez de considerarlas simultáneas, supone una aplicación de cargas secuencial, obteniendo resultados prácticamente idénticos.. Al imponer esta condición el número de ciclos para cada caso de carga no varía, y al ser el número de casos de carga. en un instante único, se puede. simplificar sustancialmente la expresión (1.7) que ahora queda como (Jacobs, 1994): (1.8) La segunda hipótesis de este modelo consiste en suponer que todo el volumen de la matriz ósea se encuentra completamente mineralizado siendo su densidad local, por tanto,. , la densidad de hueso cortical con porosidad nula.. Si se supone que la resistencia última de la matriz del tejido óseo esponjoso es constante, se puede obtener en función de ésta el valor de la resistencia última a escala continua. , a través de una expresión que está. directamente relacionada con la porosidad n (1.9). Para que esta expresión sea consistente, R(n) debe ser de tal manera que cuando el hueso está completamente mineralizado, es decir, para porosidad nula, R(n) valga 1.. Teniendo en cuenta la relación entre la porosidad y la densidad aparente:. (1.10). 22.

(29) Beaupré estableció la función R( ) fundamentándose en datos experimentales mediante(Manuel Doblaré, 2002, J.M. García Aznar, 2001):. (1.11) con lo que (1.9) queda:. (1.12) De esta manera, a efectos de comparación, se escala análogamente la tensión a nivel continuo con la tensión a nivel de tejido mediante. (1.13) con lo que el estímulo de tensión diario a nivel de tejido se puede poner en función de la tensión efectiva a nivel continuo como. (1.14) Si se define ahora el estímulo continuo de tensión diario como: (1.15) entonces. (1.16) La tensión efectiva que se utiliza es la empleada por Beaupré (1.17) con E el módulo elástico continuo promedio y U la energía de deformación.. Es obvio que, al no incluir la direccionalidad ni en las variables del modelo ni en el estímulo, este modelo conduce a un comportamiento isótropo tal y como se indicó en su enunciado inicial. 23.

(30) El siguiente paso a realizar corresponde al establecimiento de la relación entre el nivel de error de remodelación y la variación de densidad aparente en forma análoga a la planteada por otros autores. Sin embargo, como ya se ha visto antes, tanto la formación de hueso como su eliminación se producen en la superficie ósea. En el caso de remodelación ósea externa esto se observa claramente al producirse cambios en la geometría externa (endosteo y periosteo). En la remodelación interna, la actividad se produce en los canales haversianos (caso de hueso cortical) y en la interfase con la médula ósea (caso de hueso esponjoso).. En base a ello, se define la velocidad de remodelación superficial, , como la variable que cuantifica la cantidad de hueso que se forma en la superficie disponible de la matriz ósea por unidad de tiempo, planteándose entonces la ley de remodelación entre. y el estímulo mecánico considerado, es decir, el error. de remodelación en este caso.. En la (Figura 13) se presentan formas típicas de leyes de remodelación, observándose una zona central en torno al valor del estímulo de referencia, donde la pendiente de la curva es muy pequeña. Esta zona se corresponde con la zona muerta o zona de equilibrio. Así mismo, como queda reflejado en la figura, la curva de remodelación no es aplicable por igual a todos los huesos, pudiendo variar incluso según la zona de estudio, dentro de un mismo hueso. Por ejemplo, en los huesos planos como el cráneo y las costillas apenas se produce reabsorción.. El modelo de Stanford utiliza una curva similar a la anterior pero simplificada tal como la que se incluye en la (Figura 14), que se expresa matemáticamente como: 24.

(31) (1.18). Nota 1.1. Algunos autores presentan pequeñas variaciones respecto de (1.18). Una de las más comunes es el establecimiento de un valor límite de la cantidad de hueso que se puede formar o eliminar como respuesta ante el estado tensional al que se encuentra sometido, tal como se muestra en la (Figura 15). La incorporación de dicho efecto en el modelo parece lógica, pues el hueso no puede crecer o ser reabsorbido de forma ilimitada. Lo que sucede es que el estado real de trabajo del tejido óseo no suele alcanzar valores muy lejanos del estímulo de referencia. (aún en casos extremos como puede ser la. colocación de una prótesis), por lo que ese efecto no influye en demasía.. La evolución de la densidad está pues relacionada con. y, por supuesto, con el. área superficial disponible para producción/reabsorción de hueso. La superficie específica,. , fue medida por Martin (Martin, 1984), quién planteó una. correlación con la porosidad (o densidad aparente) a través de un polinomio de quinto (Figura 16), (1.19). Esta relación se cumple de forma suficientemente aproximada prácticamente para todo tipo de hueso, independientemente de la zona del cuerpo, de la edad y de su estado, observándose como el hueso compacto (alta densidad) según se aumenta la porosidad aumenta la superficie, mientras que en el hueso esponjoso al incrementar la porosidad disminuye la superficie.. 25.

(32) Una vez determinada la superficie disponible, la ley de evolución de la densidad viene dada inmediatamente por la siguiente expresión:. (1.20) donde se recuerda que: •. es la velocidad de remodelación superficial, y cuantifica la cantidad de volumen de hueso generado o eliminado por unidad de superficie disponible y por unidad de tiempo ( mm 3 /(mm 2 .día) ) ;. •. es la superficie de hueso disponible para remodelación por unidad de volumen de hueso ( mm 3 / mm 2 );. •. es la densidad del hueso completamente mineralizado (recuérdese que en este modelo se supone que el hueso añadido o eliminado se encuentra completamente mineralizado);. •. k es el porcentaje de superficie disponible que se encuentra activa para que se produzca la remodelación. En este modelo se considera que toda la superficie se encuentra activa (k=1).. Una vez que se conoce la ley de evolución de la densidad, es necesario determinar el valor de las propiedades mecánicas en función de la misma. Como la hipótesis de partida es que el hueso es un material isótropo, es suficiente con determinar el módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson. Ello se realiza en base a las siguientes correlaciones experimentales: (1.21) donde el módulo de Young viene dado en MPa.. Una. vez. conocidos. los. parámetros. comportamiento para un caso isótropo es. 26. elásticos. básicos,. el tensor. de.

(33) (1.22) con 1, I los tensores unidad de segundo y cuarto orden respectivamente.. Tal y como se ha modelado el comportamiento del hueso, se ha supuesto comportamiento isótropo pero no homogéneo, pues en cada punto del sólido existe un valor de densidad diferente y por tanto unas propiedades mecánicas distintas. Además, el cambio de propiedades a lo largo del tiempo da lugar a un problema. no. lineal,. que. hay. que. resolver. utilizando. las. técnicas. correspondientes. Así, el algoritmo de evolución de la densidad se resuelve en cada punto de Gauss de cada elemento finito para su implementación numérica (Jacobs, 1994). Este algoritmo se esquematiza en la (Figura 17). 1.5 Conclusiones. Muchos son los modelos que se han desarrollado durante los últimos años y se están planteando en la actualidad.. Uno de los más aceptados es el modelo de Stanford de Remodelación Ósea Isótropa, por su generalidad e interesantes conceptos biológicos que incorpora. Este modelo está basado fundamentalmente en los trabajos realizados por Beaupré y et al. y Carter et al. siendo, a su vez, una generalización del modelo isótropo de Huiskes.. Otros modelos se basan en la idea de que el hueso se adapta para obtener una resistencia óptima regulando el daño generado a nivel microestructural. En un 27.

(34) trabajo posterior, Prendergast y Huiskes realizan un estudio en el que muestran que existe una correlación entre la acumulación de daño en el sentido propuesto por Prendergast y la iniciación de reabsorción .. Jacobs et al. proponen que la respuesta adaptativa del hueso es globalmente eficiente desde el punto de vista estructural, lo que implica la necesidad de un proceso de regulación local. Con este principio, se plantea una formulación completamente anisótropa, continuación natural de la formulación Isótropa de Stanford, incorporando la anisotropía, por lo que se explicará con mayor detalle en el próximo apartado.. Rodrigues et al. (1998) han propuesto una formulación basada en la optimización global-local de estructuras de materiales porosos. Para ello suponen la existencia de dos escalas, trabajando con variables adscritas a cada una de ellas: una macro caracterizada por una longitud característica igual a la estructura del hueso, y una escala local definida por una longitud característica igual al tamaño de una trabécula. La distribución de la densidad aparente a nivel. macro. depende. de. la. distribución. de. la. microdensidad. local.. Posteriormente se plantea un problema de optimización donde se pretende obtener la minimización de la matriz de flexibilidad de la estructura (inversa de la matriz de rigidez). En este trabajo se obtienen resultados interesantes, pero los conseguidos a nivel microestructural no representan los detalles del hueso esponjoso, es decir, la escala micro no es representativa de la realidad, perdiendo gran parte de su interés.. Fernández, Rodrigues y Jacobs (1998) presentan otro trabajo con una idea similar, intentando definir un modelo de adaptación ósea basado en las ideas propuestas por Wolff a partir de un proceso de optimización global. Consideran que la microestructura del hueso está formada por una repetición de pequeños agujeros prismáticos, con los que se puede reproducir la anisotropía. De 28.

(35) manera análoga, plantean un problema de optimización en el que se busca minimizar la flexibilidad estructural sujeta a restricciones sobre el volumen. Las características del modelo y los resultados del mismo son similares a los del caso anterior (Manuel Doblaré, 2002).. 29.

(36) Capítulo 2: Modelo de remodelación ósea basado en la Mecánica de Daño 2.1 Introducción A continuación se presenta el modelo de M. Doblaré-J.M. García basado en los conceptos de la Mecánica del Daño Continua pero modificada adecuadamente para permitir la posibilidad de reparación. Este modelo considera al hueso como un material ortótropo y su creador demuestra que este es una generalización del modelo de Stanford, siendo entonces un paso de avance en el desarrollo de estos modelos del fenómeno de remodelación ósea.. 2.2. Conceptos fundamentales de la Mecánica del Daño (Manuel Doblaré, 2002). El fenómeno de iniciación y crecimiento de micro-grietas en materiales frágiles, de micro-cavidades en materiales dúctiles y de huecos en materiales porosos ha sido ampliamente estudiado en lo que se refiere a aspectos microestructurales. En contrapartida a éstos, los modelos basados en la Mecánica del Daño estudian dicho problema desde un punto de vista macroscópico típico de la Mecánica de Medios Continuos. Para ello se define un parámetro de daño, d, relacionado de alguna forma con la densidad efectiva de grietas o cavidades en cada punto (en el caso isótropo) y cada punto y cada plano (en el caso anisótropo), de forma que d varía entre 0 y 1, correspondiendo el valor d= 0 a un estado intacto o no dañado, mientras que el valor unidad corresponde al estado de ruptura local. Basado en el principio de deformación equivalente, Doblaré introduce el concepto de tensión efectiva como la tensión que daría lugar a las mismas deformaciones que aparecen en el sólido dañado pero en la situación sin daño. La definición de esta tensión en el caso de daño isótropo es inmediatamente 30.

(37) (2.1) que, junto al principio de deformación equivalente anterior, conduce de forma inmediata en el caso de material elástico lineal isótropo a la relación de comportamiento. (2.2) con. el tensor de comportamiento del material dañado y. el tensor de. comportamiento del material virgen.. Siguiendo con esta situación isótropa Doblare define una variable que altera el valor del daño ("estímulo"), el valor del mismo para que comience a producirse esta variación ("criterio de daño") y la evolución tanto del parámetro de daño ("ley de flujo") como de los parámetros que, junto al estímulo, aparecen en el criterio de daño ("ley de endurecimiento"). Los elementos constituyentes de una Teoría de Daño son en todo equivalentes a los de la Teoría de Plasticidad (o en general de Viscoplasticidad), sustituyendo la variable interna, deformación plástica, por el parámetro de daño, la ley de comportamiento elastoplástica por el criterio de daño y obviamente cumpliendo en ambos casos los dictados derivados de las leyes termodinámicas.. En este sentido, es bien conocido que, a partir de la segunda ley de la termodinámica, todo proceso termodinámico posible debe cumplir la siguiente desigualdad (producción de entropía o ley de la disipación):. (2.3) donde D es la disipación y. es la variación de la energía libre, que viene dada. para un material con comportamiento elástico por: 31.

(38) (2.4) con lo que. (2.5) Siguiendo la nomenclatura de Simo & Ju se denotara por. el estímulo o causa. intrínseca del daño, se escribe el criterio de daño (dominio del estímulo que no produce daño, equivalente al dominio elástico en plasticidad) una vez normalizado, como. (2.6) El estímulo. suele ser función de la variable termodinámica asociada al daño. que, en el caso isótropo y materiales elásticos, es inmediato que se identifica con la función. correspondiente a la densidad de energía libre asociada a la. deformación actual, pero considerando la tensión efectiva, es decir, en función del tensor de comportamiento. (2.7) Considerando, por razones análogas a las que se siguen en plasticidad (en concreto el equivalente al principio de la máxima disipación), una ley de evolución del daño (ley de flujo) asociada, se obtiene inmediatamente:. (2.8) o, equivalentemente, considerando como variable interna el propio tensor de comportamiento y no el parámetro de daño. 32.

(39) (2.9) con. el parámetro de consistencia del daño que se obtiene a partir de las. condiciones de carga y descarga de daño (condiciones de Kuhn-Tucker), teniéndose. (2.10) En otra dirección, Cordebois y Sideroff (1982) extienden la idea de parámetro de daño que pasa ahora a ser un tensor D y no un escalar, definiendo la tensión efectiva en la forma general que conserva la simetría. (2.11) y definiendo la ecuación constitutiva del daño en base a una identificación energética (2.12) Ambas expresiones, según demuestran Cordebois y Sideroff (1982), dan lugar a un tensor de comportamiento localmente ortótropo, cuyas direcciones principales de ortotropía coinciden con los ejes principales del tensor de daño D.. 2. 3 Formulación teórica. Utilizando las ideas anteriores, particularmente la teoría de daño anisótropo de Cordebois y Sideroff (1982), y el concepto físico de "fabric tensor" como medida de anisotropía ósea, Doblare plantea un nuevo modelo de daño-reparación aplicado al proceso de remodelación ósea interna, basado en la teoría isótropa de Stanford. 33.

(40) Desde un punto de vista físico, se entiende por daño una medida del volumen de huecos en el interior del tejido óseo, si bien direccionado en la idea sugerida por Cowin para el "fabric tensor". Se considera pues como material virgen o material con daño nulo la situación ideal de hueso con porosidad nula que, supuesto el tejido óseo cortical como isótropo, corresponderá asimismo a una situación isótropa.. Es fundamental observar entonces que el proceso de reabsorción ósea plantea una correspondencia directa con el concepto de evolución de daño antes dicho, mientras que la formación ósea provoca la disminución del daño o lo que es lo mismo la reparación del material. Efectivamente, en todo modelo de daño clásico se produce una evolución del daño siempre positiva, es decir, el daño siempre va aumentando, consecuencia de la segunda ley de la termodinámica. Sin embargo, en remodelación ósea, la evolución del daño no tiene por qué ser siempre positiva, sino que el daño puede disminuir ya que se producen aportes energéticos metabólicos no considerados en un modelo puramente mecánico. De este modo, la tensión efectiva en el proceso de reparación se debe entender como la tensión que se necesita ejercer sobre el sólido totalmente reparado (sin daño) para obtener la misma deformación que en el real con reparación parcial.. Es importante resaltar también que el proceso de reabsorción ósea es ligeramente diferente al proceso de evolución de daño, ya que, en la Mecánica de daño estándar, el daño se incrementa como consecuencia de un estado tensional elevado en una zona concreta, mientras que en el caso de reabsorción ósea ésta se produce cuando el estado tensional es bajo. Ello dará lugar a diferencias termodinámicas importantes, si bien el marco de formulación es idéntico.(Manuel Doblaré, 2002, J.M. García Aznar, 2001). 34.

(41) En este modelo se eligen dos variables macroscópicas como variables internas independientes: la densidad aparente, que cuantifica el grado de porosidad y el fabric tensor o tensor estructural que cuantifica el grado de anisotropía de la estructura ósea.. A partir de esta consideración, se define el tensor de daño mediante la expresión. (2.13) con. la densidad aparente,. la densidad máxima de hueso cortical,. el parámetro experimental que relaciona el módulo elástico con la densidad aparente según (1.21), A un parámetro de ajuste también asociado con la relación entre el módulo elástico y la densidad aparente, que luego se define, y el "fabric tensor" que se considera normalizado tal que. . Este. tensor de daño incorpora no sólo la micro-direccionalidad de la estructura ósea a través del "fabric tensor", sino también la porosidad a través de. . Además, al. contrario que en Jacobs et al., ambas variables son independientes y la expresión (2.14) cumple los requisitos de una variable de daño, es decir D=0 para. y. independiente de. (en ese caso se demuestra que A=1) y D=1 para. =0. .. Por comodidad, a la hora de formular el modelo, Doblaré utiliza como variable intermedia el tensor H, directamente relacionado con el de daño D, mediante. (2.14) que se denomina tensor de remodelación.. 35.

(42) Utilizando la expresión de la tensión efectiva (2.11), en este caso queda inmediatamente como. (2.15) que da lugar a un tensor de comportamiento, tal como se indicó anteriormente, cuyas direcciones de ortotropía coinciden con los ejes principales del tensor de daño D. Con ello, se puede calcular el tensor de comportamiento a partir de las direcciones y los valores principales del tensor de daño. Efectivamente, en ejes principales del tensor de daño D se calculan los módulos elásticos principales del material, los coeficientes de Poisson y el módulo de rigidez se evalúan como. (2.16). con. los valores principales del tensor de remodelación. En (2.17), son el módulo elástico y coeficiente de Poisson isótropos del material virgen. o de daño nulo, respectivamente, que, utilizando, por ejemplo, los datos experimentales de Jacobs (1994), se expresan como. (2.17). 36.

(43) El ajuste del parámetro A que se ha incorporado en este modelo, se obtiene particularizando para el caso isótropo y siendo consistentes con la definición del modelo de daño, obteniéndose. (2.18) Una vez definida la variable de daño D, el siguiente paso se refiere a la definición del estímulo que, en forma análoga a lo que se plantea en plasticidad, se corresponderá con la variable termodinámica asociada al daño D o, mejor aún, al tensor de remodelación H.. Sin embargo, para establecer este estímulo es necesario también definir la variable mecánica independiente del proceso (deformación o tensión). Doblare considera que la variable básica que rige el proceso es la deformación. Con ello, se tiene(J.M. García Aznar, 2001). (2.19) Y con. la función de energía libre.. Utilizando (2.4) y (2.15) se obtiene directamente el valor de Y como. (2.20) con. los parámetros de Lamé correspondientes al hueso cortical con. porosidad nula.. 37.

(44) Nota 2.1. La consideración de la deformación o la tensión como variable básica independiente no influye en la determinación del estímulo. De hecho, si se plantea la variable asociada al tensor H, tomando como variable básica independiente la tensión se tiene. (2.21). Con. la energía potencial libre complementaria, teniendo en cuenta además. que, a partir de la equivalente a (2.15). (2.22) Con ello y de forma similar se puede obtener. (2.23) Es de resaltar que ambas fuerzas termodinámicas. están relacionadas. entre si pues corresponden a las variables asociadas a una misma variable interna. Efectivamente, teniendo en cuenta la relación (2.24) Derivando respecto de H se tiene. (2.25) Y teniendo en cuenta que. se obtiene inmediatamente que (2.26). Que sería la variable utilizada como estímulo desde este modelo.. 38.

(45) En función de este estímulo se plantean los criterios de daño, es decir, las condiciones bajo las cuales los mecanismos de remodelación ósea son activados:. (2.27) con J un nuevo tensor función del estímulo que cuantifica la importancia del nivel de anisotropía en el criterio de daño, definido como. (2.28) con. de forma que. conduce a un modelo dependiente. únicamente de la componente isótropa del estímulo y que, como se verá a continuación, conduce a un modelo de evolución isótropa en el sentido de que la velocidad de las componentes del tensor de comportamiento son independientes de la dirección, mientras que para. se obtiene el mayor. grado de anisotropía.. Suponiendo ahora una ley de evolución de daño o reparación asociada, se puede escribir la ley de flujo mediante. (2.29). cumpliéndose en ambos casos la condición de consistencia: (2.29) o bien en la forma propuesta por Koiter 39.

(46) (2.30) con las condiciones acopladas (2.31) Derivando directamente del criterio de daño se obtiene la evolución del tensor de daño(Manuel Doblaré, 2002, J.M. García Aznar, 2001). (2.32) o, equivalente. (2.33) con. definidos por. (2.34). Finalmente como que problema de remodelación es un problema de daño con dependencia de la velocidad, ello implica sustituir las condiciones de Kuhn40.

(47) Tucker por una ecuación constitutiva para µ en función de la densidad aparente(Manuel Doblaré, 2002, J.M. García Aznar, 2001).. Para ello, y a partir de la evolución de la densidad propuesta por Beaupré et al y definida en (1.20) se determina inmediatamente el valor del parámetro de consistencia que ahora puede escribirse como. (2.35) con lo que, en definitiva, la evolución de la variable interna H queda como. (2.36) 2.3 Esquema del modelo. A continuación se muestra un esquema propuesto por Doblaré para su modelo (Manuel Doblaré, 2002).. Conocidos Se calcula. Se evalúa J a partir de. 1+. Se calculan cada uno de los criterios de plastificación: Si. ENTONCES 41.

(48) Reabsorción:. Si. ENTONCES Formación:. Se calcula. , a partir de la expresión (2.16).. Se devuelve. 42.