Procesamiento digital de señales de audio

(1)

Procesamiento digital de se˜ nales de audio

Filtros digitales y aplicaciones en audio

Instituto de Ingenier´ıa El´ectrica Facultad de Ingenier´ıa

Filtros digitales en audio Procesamiento digital de se˜nales de audio 1 / 62

1 Algunos filtros empleados en modelado ac´ustico Filtros peine

Analog´ıa de los filtros peine con ondas estacionarias Filtros pasa-todos

2 Aplicaciones en s´ıntesis y efectos de audio S´ıntesis de cuerdas pulsadas

Reverberadores

(2)

Filtros peine

• Constituyen unidades b´asicas de procesamiento para generar y transformar sonidos.

– Efectos de audio que consisten en combinar copias de la se˜nal:

echo, flanging, phasing, reverb, etc.

– En s´ıntesis de sonido, para crear se˜nales con espectros arm´onicos.

• Son filtros recursivos de implementaci´on muy sencilla. Requieren un par de operaciones aritm´eticas para obtener cada muestra de la salida.

• Permiten la s´ıntesis de se˜nales con espectros complejos.

Filtros peine realimentados hacia adelante

(Feedforward Comb, FIR Comb o Inverse Comb) Ecuaci´on en recurrencia

y [n] = x [n] − R^Lx [n − L]

Respuesta al impulso h[n] = δ[n] − R^Lδ[n − L]

Diagrama de bloques

+ -

0 5 10 15 20 25

−0.5 0 0.5 1

...

Respuesta al impulso (R = 0.9, L = 8)

Numero de muestra

Amplitud

(3)

Filtros peine realimentados hacia adelante

Funci´on de transferencia

H(z) = 1 − R^Lz^−L = z^L− R^L z^L

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

8 R

2π/L

Diagrama de polos y ceros (R = 0.9, L = 8)

Parte real

Parte imaginaria

Ceros

z^L − R^L = 0 ⇒

z = Re^{j 2πk/L}, k = 0, . . . , L − 1 Polos

z^L = 0 ⇒

z = 0 con multiplicidad L

Filtros peine realimentados hacia adelante

Respuesta en frecuencia H(e^{j θ}) = 1 − R^Le^−jθ

Magnitud de la respuesta en frecuencia

|H(e^{j θ})| = q

1 + R^2L− 2R^Lcos(θL)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Frecuencia (rad)

Magnitud

Magnitud de la respuesta en frecuencia (L = 8)

R = 0.9 R = 0.95 R = 1

(4)

Filtros peine

(Feedback Comb, Comb) Ecuaci´on en recurrencia

y [n] = x [n] + R^Ly [n − L]

Respuesta al impulso

h[n] =

R^kL si n = kL, k = 0, 1, . . . 0 en otro caso

Diagrama de bloques

+

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

...

Numero de muestra

Amplitud

Filtros peine

H(z) = 1

1 − R^Lz^−L = z^L z^L− R^L

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

8 R

2π/L

Parte real

Parte imaginaria

Ceros z^L = 0 ⇒

z = 0 con multiplicidad L Polos

z^L − R^L = 0 ⇒

z = Re^{j 2πk/L}, k = 0, . . . , L − 1

(5)

Filtros peine

−1.5

−1 −0.5

0

0.5 1

1.5

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

0 1 2 3 4 5 6

Parte real Parte imaginaria

|H(z)|

Filtros peine

Respuesta en frecuencia

H(e^{j θ}) = 1 1 − R^Le^−jθ

|H(e^{j θ})| = 1

p1 + R^2L− 2R^Lcos(θL)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−10 0 10 20 30 40 50

Frecuencia (rad)

Magnitud (dB)

R = 0.9 R = 0.95 R = 0.999

(6)

Filtros peine

Comparaci´ on con el filtro peine inverso

• Tienen funciones de transferencia inversas.

– Equivale a cambiar los polos por ceros y los ceros por polos en el diagrama de polos y ceros.

• Las respuestas en frecuencia son inversas.

Observaciones

• Frecuencias de resonancia en m´ultiplos de la frecuencia fundamental ^2π_L radianes.

• Una aplicación directa es en el modelado de señales armónicas.

• La frecuencia fundamental de la se˜nal arm´onica es ^fs_L Hertz.

• Permite generar espectros complejos con solo 2 operaciones (suma y multiplicaci´on).

• Con una l´ınea de retardo de 40 muestras se logran 20 frecuencias de resonancia.

Filtros peine con realimentaci´ on negativa

Ecuaci´on en recurrencia y [n] = x [n] − R^Ly [n − L]

h[n] =

(−1)^kR^kL si n = kL, k = 0, 1, . . .

0 en otro caso

Diagrama de bloques

+ -

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

−0.5 0 0.5 1

...

Numero de muestra

Amplitud

(7)

Filtros peine con realimentaci´ on negativa

H(z) = 1

1 + R^Lz^−L = z^L z^L+ R^L

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

8 R

π/L

Parte real

Parte imaginaria

Ceros z^L = 0 ⇒

z = 0 con multiplicidad L Polos

z^L + R^L = 0 ⇒

z = Rej (2k+1)π/L, k = 0, . . . , L − 1

Filtros peine con realimentaci´ on negativa

Respuesta en frecuencia

H(e^{j θ}) = 1 1 + R^Le^−jθ

|H(e^{j θ})| = 1

p1 + R^2L+ 2R^Lcos(θL)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−10 0 10 20 30 40 50

Frecuencia (rad)

Magnitud (dB)

R = 0.9 R = 0.95 R = 0.999

(8)

Filtros peine con realimentaci´ on negativa

Comparaci´ on con el filtro peine

• El diagrama de polos y ceros es una rotación de ángulo ^π_L radianes respecto al del filtro peine con realimentación positiva.

Observaciones

• El espectro tiene frecuencias de resonancia en m´ultiplos impares de la frecuencia fundamental ^π_L radianes.

Filtros peine

Filtros peine usando una l´ınea de retardo de 40 muestras L = 40, R = 0.999

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 5 10 15 20 25 30

Realimentacion positiva

Magnitud (dB)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 5 10 15 20 25 30

Realimentacion negativa

Frecuencia (rad)

Magnitud (dB)

(9)

Ondas viajeras y ondas estacionarias

La ecuaci´ on de onda

∂²y

∂t² = c²∂²y

∂x²

Interpretaci´ on intuitiva de onda viajera en una cuerda

• La aceleraci´on vertical de un punto de la cuerda es proporcional a la curvatura de la cuerda en ese punto. La fuerza sobre el punto se debe a que la cuerda trata de restablecerse al equilibrio.

• curvatura positiva: la cuerda tiene forma ∪ y se acelera hacia arriba.

• curvatura negativa: la cuerda tiene forma ∩ y se acelera hacia abajo.

Ondas viajeras y ondas estacionarias

Onda viajera en una cuerda y (x , t) = f (t − x /c), (1)

donde

• f (·) es una funci´on arbitraria que representa la forma del pulso.

• c es la velocidad de propagaci´on del pulso.

Observaciones

• La ecuación 1 representa un pulso de forma dada por la función f (·) viajando hacia la derecha con velocidad c. La ecuación 1 es válida si la cuerda es infinita.

• Es fácil verificar que la ecuación 1 cumple la ecuación de onda.

(10)

Ondas viajeras y ondas estacionarias

Soluci´ on general de la ecuaci´ on de onda

La solución general de la ecuación de onda es la superposición de una onda viajera moviéndose hacia la derecha y otra moviéndose hacia la izquierda,

y (x , t) = f (t − x /c) + g (t + x /c). (2)

Observaciones

• No se impuso ninguna restricci´on sobre la cuerda:

es de largo inifinito y no est´a sujeta en ning´un punto.

• De la ecuación 2 no se deduce una vibración periódica.

• Para que la cuerda vibre de forma peri´odica (como una cuerda de guitarra) debe ser restringida en un par de puntos.

Ondas viajeras y ondas estacionarias

Reflexi´ on en un extremo fijo

• Se fija la cuerda en el punto x = 0 (no puede moverse).

• Esto implica que para todo t se debe cumplir

y (0, t) = f (t) + g (t) = 0 =⇒ g (t) = −f (t)

• La soluci´on general de la ecuaci´on 2 queda

y (x , t) = f (t − x /c) − f (t + x /c). (3)

Interpretaci´ on

• Se comienza con la onda y = f (t + x /c) en la regi´on de las x positivas viajando hacia la izquierda.

• Para que el punto en x = 0 sea estacionario, debe existir una onda viajando en el sentido opuesto que llegue simult´aneamente al punto x = 0.

• La onda contin´ua viajando hacia la derecha con el signo opuesto.

(11)

Ondas viajeras y ondas estacionarias

Reflexi´ on en un extremo fijo

El efecto de un extremo fijo es que la onda reflejada se invierte.

x

x Extremo

fijo

x=0

Ondas viajeras y ondas estacionarias

Reflexi´ on en un extremo libre

El efecto de un extremo libre es que la onda se refleja sin invertirse.

x

x Extremo

abierto

x=0

(12)

Ondas viajeras y ondas estacionarias

Ondas estacionarias

• Se considera que la cuerda se fija en los puntos x = 0 y x = L.

y (L, t) = f (t − L/c) − f (t + L/c) = 0 =⇒ f (t) = f (t + 2L/c)

• Se forman patrones de onda estacionarias que vibran a frecuencia:

Cuerda con dos extremos fijos Cuerda con un extremo fijo y un extremo libre ω0 = πkc

L , k = 1, 2, 3, . . . ω₀ = π(2k − 1)c

2L , k = 1, 2, 3, . . .

Ondas estacionarias

• Al especificar condiciones de borde en dos puntos la cuerda vibra con cierta frecuencia fundamental (inversamente proporcional al largo L de la cuerda).

Ondas viajeras y ondas estacionarias

Modos de vibraci´on de ondas estacionarias Cuerda con dos extremos

fijos

ω_k = kπc L λk = 2L

k

Cuerda con un extremo fijo y un extremo libre

ωk = (2k − 1)πc 2L λ_k = 4L

2k − 1

• Mitad de la frecuencia fundamental

• Solo arm´onicos impares

ω = πc L , 2πc

L ,3πc

L , . . . ω = πc 2L, 3πc

2L , 5πc 2L , . . .

(13)

Ondas viajeras y ondas estacionarias

Columna de aire vibrando en un tubo

• Analog´ıa con cuerdas (ondas de presi´on)

– Ambos extremos abiertos: cuerda con dos extremos fijos.

– Extremos abierto y cerrado: cuerda con extremo fijo y libre.

Ondas viajeras y ondas estacionarias

Columna de aire vibrando en un tubo

• Ejemplos de instrumentos de viento

– Ambos extremos abiertos: flauta, flauta dulce, ´organo de tubos.

– Extremos abierto y cerrado: clarinete (aproximaci´on).

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10 0 10 20

Magnitude spectrum and spectral envelope of a fragment of a clarinet sound (Bb3)

Frequency (Hz)

Magnitude (dB)

Magnitude spectrum Spectral envelope

(14)

Analog´ıa entre propagaci´ on de ondas y filtros peine

Ondas Viajeras Ambos extremos fijos

(o ambos extremos abiertos).

Un extremo fijo y otro libre (o uno cerrado y otro abierto).

Al realizar un viaje de ida y vuelta, la onda regresa con el mismo signo.

Al realizar un viaje de ida y vuelta, la onda regresa con el signo invertido.

• Si el medio tiene largo L, el viaje de ida y vuelta es de largo 2L.

• En el recorrido, el medio absorbe energ´ıa y la onda se aten´ua.

Analog´ıa entre propagaci´ on de ondas y filtros peine

Filtro peine

• La salida del filtro peine viaja a trav´es del lazo de realimentaci´on y retorna atenuada luego de L muestras.

• La salida atenuada y retardada puede compararse con el retorno de una onda viajera.

• El retardo L es el tiempo de ida y vuelta de la onda en muestras. La atenuación puede compararse con la pérdida de energ´ıa de la onda en el tiempo (atenuación R por muestra).

+

(15)

Analog´ıa entre propagaci´ on de ondas y filtros peine

Salida de filtro peine

0 50 100 150 200 250 300 350

−1 0 1

Entrada (L = 80 muestras, R = 0.995)

Amplitud

0 50 100 150 200 250 300 350

−1 0 1

Realimentacion positiva

Amplitud

0 50 100 150 200 250 300 350

−1 0 1

Realimentacion negativa

Numero de muestra

Amplitud

Analog´ıa entre propagaci´ on de ondas y filtros peine

Salida de filtro peine

Realimentaci´on positiva Realimentaci´on negativa La salida realimentada no cambia de signo

al sumarse con la entrada

La salida realimentada cambia de signo al sumarse con la entrada

Analog´ıa

• El filtro peine con realimentaci´on positiva modela:

– la cuerda con dos extremos fijos – el tubo con dos extremos abiertos.

• El filtro peine con realimentaci´on negativa modela:

– el tubo con un extremo cerrado y el otro abierto.

• La longitud del medio L (tubo de aire, cuerda) se corresponde en el filtro peine a un retardo de L/2 muestras, as´ı el recorrido de ida y vuelta es de L muestras.

(16)

Analog´ıa entre propagaci´ on de ondas y filtros peine

Resonancias de filtro peine de retardo L

Realimentaci´on positiva Realimentaci´on negativa

θ_k = 2πk

L , k = 0, . . . , L − 1 θ = 0, 2π

L , 4π L ,6π

L , . . .

θ_k = (2k + 1)π

L , k = 0, . . . , L − 1 θ = π

L,3π L , 5π

L , . . .

Modos de vibraci´ on de ondas estacionarias

Ambos extremos fijos/abiertos Extremos abierto y cerrado

ω = πc L , 2πc

L , 3πc

L , . . . Largo L

ω = πc 2L, 3πc

2L ,5πc 2L , . . . ω

c = 2π L , 4π

L , 6π

L , . . . L =⇒ L/2 ω

c = π L, 3π

L ,5π L , . . .

Resoluci´ on de filtros peine

Resoluci´ on

• Frecuencia fundamental: θ₀ = 2π

L rad/muestra =⇒ f₀ = f_s L Hz.

• Si f_s = 22050 Hz,

– L = 14 =⇒ f0 = 1575 Hz (G 6 : 1567, 98 Hz) – L = 13 =⇒ f₀ = 1696 Hz (G #6 : 1661, 22 Hz)

0 2000 4000 6000 8000 10000

0 5 10 15 20

Filtros peine de retardos sucesivos

Frecuencia (Hz)

Magnitud

L = 14 L = 13 L = 12 L = 11 L = 10

(17)

Resoluci´ on de filtros peine

Resoluci´ on

• Para controlar la frecuencia fundamental con mayor resoluci´on hay que encontrar la forma de introducir retardos fraccionarios arbitrarios.

• El filtro que implementa el retardo no puede alterar la magnitud.

+

Retardo fraccionario

Filtro pasa-todos de primer orden

Ecuaci´on en recurrencia Diagrama de bloques

y [n] − ay [n − 1] = −ax [n] + x [n − 1] ₊ ₊

-

H(z) = z⁻¹ − a

1 − az⁻¹ = 1 − az z − a Ceros

1 − az = 0 ⇒ z = 1 a Polos

z − a = 0 ⇒ z = a ⁻¹ ^−0.5 ⁰ ^0.5 ¹ ^1.5

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

a 1/a

Diagrama de polos y ceros

Parte real

Parte imaginaria

(18)

Filtro pasa-todos de primer orden

Respuesta en frecuencia

Se eval´ua la funci´on de transferencia en

el c´ırculo unidad H(e^{j θ}) = e^−jθ− a

1 − ae^−jθ = e^−jθ/2− ae^{j θ/2} e^{j θ/2}− ae^−jθ/2 Se observa que consiste en el cociente

entre un complejo y su conjugado H(e^{j θ}) = re^{j Ψ(θ)} re^−jΨ(θ) ⇒







|H(e^{j θ})| = 1

∠H(e^{j θ}) = 2Ψ(θ) Se desarrolla el numerador usando la

ecuaci´on de Euler para encontrar la fase re^{j Ψ(θ)} = (1 − a) cos θ 2

− j(1 + a) sin θ 2

La respuesta en frecuencia en notaci´on polar es

|H(e^{j θ})| = 1

∠H(e^{j θ}) = −2 arctan 1 + a

1 − a tan θ 2

Filtro pasa-todos de primer orden

• Respuesta en fase

– La respuesta en fase es

φ(θ) = −2 arctan 1 + a

1 − a tan θ 2

– Definiendo δ = 1 + a

1 − a la respuesta en fase queda φ(θ) = −2 arctan

δ tan θ 2

• Retardo de fase: cantidad de muestras que se retarda cada componente.

τ_φ(θ) = −φ(θ)

θ τ_φ(θ) = 2

θ arctan

δ tan θ 2

(19)

Filtro pasa-todos de primer orden

Respuesta en fase

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0

Respuesta en fase

Frecuencia normalizada

Fase (rad)

δ = 0.1 δ = 0.2 δ = 0.3 δ = 0.4 δ = 0.5 δ = 0.6 δ = 0.7 δ = 0.8 δ = 0.9

Filtro pasa-todos de primer orden

Retardo de fase

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Retardo de fase

Frecuencia normalizada

Retardo (muestras) δ = 0.1

δ = 0.2 δ = 0.3 δ = 0.4 δ = 0.5 δ = 0.6 δ = 0.7 δ = 0.8 δ = 0.9

(20)

Filtro pasa-todos de primer orden

Respuesta en fase

Objetivo

• Se requiere un filtro que logre retardos fraccionarios arbitrarios.

• Idealmente, igual retardo para todas las frecuencias (fase lineal).

• Adem´as, se quiere controlar el retardo. Dado cierto retardo de fase deseado, se quiere encontrar el coeficiente a del filtro.

Filtro pasa-todos

• No es de fase lineal. Distinto retardo para distintas frecuencias.

Filtro pasa-todos de primer orden

Aproximaci´ on lineal de la respuesta en fase en bajas frecuencias

Teniendo en cuenta que

θ ≈ 0 =⇒ tan θ ≈ θ, arctan θ ≈ θ la fase y retardo de fase se pueden aproximar respectivamente por

φ(θ) ≈ −θδ τ_φ(θ) ≈ δ

Observaciones

• El retardo de fase es δ en bajas frecuencias (ver figura del retardo de fase).

• a debe ser menor que 1 (filtro sea estable), por tanto, δ es siempre positivo.

• No tiene sentido implementar retardos mayores de 1 porque la parte entera puede ser implementada f´acilmente con la linea de retardo (δ < 1).

(21)

Filtro pasa-todos de primer orden

Observaciones

• El error es muy peque˜no en frecuencias menores a 0.05f_s (0.0031 muestras para δ = 0.5 muestras). El error crece con la frecuencia, donde no se cumple la hip´otesis de linealidad.

• El error es menor para valores de retardo cerca de 0 o 1 que para valores cerca de 0.5 (un retardo fraccionario implica interpolar la se˜nal, y la interpolaci´on es mas imprecisa en valores lejanos a valores de muestras conocidos).

• Dado el retardo δ requerido, el coeficiente a del filtro se calcula como a = δ − 1

δ + 1

S´ıntesis de cuerdas pulsadas

Kevin Karplus, Alex Strong.

“Digital Synthesis of Plucked String and Drum Timbres”

Computer Music Journal (MIT Press), 7(2): 43–55, 1983.

Caracter´ısticas generales del algoritmo

• Emplean un filtro peine para sintetizar sonidos de cuerda pulsada. Una cuerda en un instrumento tiene ambos extremos fijos, as´ı que se emplea un filtro peine con

realimentaci´on positiva.

• Incluyen un pasabajos para hacer que el espectro var´ıe en el tiempo atenuando mas r´apidamente las altas frecuencias.

• Incluyen un filtro pasa-todos para afinar el instrumento a cualquier frecuencia deseada.

(22)

S´ıntesis de cuerdas pulsadas

Modelado f´ısico de la onda estacionaria en una cuerda

• Una cuerda fija en sus dos extremos soporta patrones de onda estacionaria. El comportamiento de un filtro peine con realimentaci´on positiva es similar.

• Una cuerda no vibra por siempre. Eso est´a modelado en el filtro peine por el factor de atenuaci´on, haciendo que la amplitud de la forma de onda decaiga en el tiempo un factor R por cada muestra.

+

Se podr´ıa esperar que la respuesta al impulso suene como una cuerda pulsada.

S´ıntesis de cuerdas pulsadas

Frecuencia (Hz)

Respuesta al impulso de filtro peine (L = 200, R = 0.99995, fs = 44100 Hz)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2

0 0.2 0.4

Tiempo (s)

Amplitud

(23)

S´ıntesis de cuerdas pulsadas

Espectrograma de cuerda pulsada

Tiempo (s)

Frecuencia (Hz)

Espectrograma, Cuerda pulsada, Nota B3

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Espectro var´ıa en el tiempo. Las frecuencias mas altas se aten´uan mas r´apido.

S´ıntesis de cuerdas pulsadas

Implementaci´ on del espectro variable en el tiempo

Inclusi´on de un filtro pasabajos en el lazo. Cada vez que la salida retorna, sus componentes de alta frecuencia se aten´uan.

+ ^Pasabajos

Caracter´ısticas deseables del filtro

• El roll-off debe ser lento as´ı las altas frecuencias no se aten´uan demasiado r´apidamente.

• Debe ser de fase lineal para no agregar complejidad al sistema. La distorsi´on de fase puede ser cr´ıtica ya que est´a en lazo cerrado.

(24)

S´ıntesis de cuerdas pulsadas

Implementaci´ on del espectro variable en el tiempo

Como filtro pasabajos se propone un filtro de media m´ovil de primer orden.

+ +

Ecuaci´on de recurrencia y [n] = 1

2x [n] + 1

2x [n − 1]

Respuesta en frecuencia H(e^{j θ}) = e^−jθ/2cos θ 2

S´ıntesis de cuerdas pulsadas

Observaciones sobre el filtro de media m´ ovil

• Es de fase lineal. Introduce un retardo de ¹₂ muestra en todas las frecuencias.

• El retardo adicional introducido por el filtro de media m´ovil cambia el retardo total del bucle.

Ahora es L + ¹₂ muestras en lugar de L muestras.

• La frecuencia fundamental generada es por lo tanto f₀ = f_s

L + ¹₂.

• Por cada vuelta en el bucle, la se˜nal se filtra con el pasabajos. Luego de m vueltas alrededor del bucle, el espectro de la se˜nal fue multiplicado por

|H(e^{j θ})|^m = cos^m θ 2

(25)

S´ıntesis de cuerdas pulsadas

Implementaci´on del espectro variable en el tiempo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Respuesta en frecuencia del filtro de media movil

Frecuencia (rad)

Magnitud

m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 m = 6 m = 7 m = 8 m = 9 m = 10

S´ıntesis de cuerdas pulsadas

Frecuencia (Hz)

Respuesta al impulso de filtro peine con pasabajos en la realimentacion (L = 200, R = 0.99995, fs = 44100 Hz)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Tiempo (s)

Amplitud

(26)

S´ıntesis de cuerdas pulsadas

Afinaci´on

• Las frecuencias fundamentales posibles de ser generadas son f₀ = f_s

L + ¹₂.

• Se agrega pasa-todos para retardos arbitrarios (i.e. frecuencias fundamentales arbitrarias).

+ Pasabajos Pasatodos

• El pasa-todos se afina especificando su retardo de fase δ para la frecuencia fundamental deseada, f0 = f_s

L + ¹₂ + δ.

Reverberadores

fuente

escucha onda

directa

re exión

En un recinto cerrado el sonido recorre diversos caminos desde la fuente a los o´ıdos de un escucha.

La reverberaci´on en un recinto es el producto de la superposici´on de muchas reflexiones.

Se compone de

• Onda directa

• Primeras reflexiones

• Reflexiones tard´ıas

(27)

Reverberadores

J. A. Moorer,

“About This Reverberation Business”,

Computer Music Journal, vol. 3, no. 2, pp. 13-28, 1979.

Modelado de las reflexiones

Buscando generar el efecto general de las reflexiones se pueden hacer las siguientes aproximaciones:

• Las reflexiones consisten en versiones repetidas del sonido original.

• Cada copia llega un tiempo fijo luego de la anterior.

• Cada copia llega con una atenuaci´on R fija respecto a la anterior.

y [n] = x [n − L] + Rx [n − 2L] + R²x [n − 3L] + . . .

Reverberadores

Modelo matem´atico del eco

• La relaci´on entre la entrada y la salida es

y [n] = x [n − L] + Rx [n − 2L] + R²x [n − 3L] + . . .

+

• La relaci´on entre la se˜nal original y el eco es

y [n] = Ry [n − L] + x [n − L] Y (z)

X (z) = z^−L 1 − Rz^−L.

• Excepto por el retardo, es igual a la funci´on de transferencia de un filtro peine.

(28)

Reverberadores

Observaciones sobre el modelo

• En este caso, el retardo del filtro modela el tiempo de ida y vuelta de la onda de sonido en un recinto y no en la longitud de un instrumento como en la aplicaci´on anterior (60 ms vs 1 ms o frecuencias de resonancia del orden de 20 Hz vs 1 kHz).

• En un recinto t´ıpicamente hay varias superficies reflectoras de sonido. No alcanza con un solo filtro peine, se deben combinar varios para obtener un efecto similar al de la

reverberaci´on.

• Al usar varios filtros peine, hay que evitar la regularidad. Es conveniente que los retardos de los distintos filtros peine sean n´umeros primos entre s´ı.