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8 Proporcionalidad numérica

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Academic year: 2022

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COMPETENCIA LECTORA

La historia de Colón y del descubrimiento de América es conocida por todos; sin embargo, el contrato previo entre Cristóbal Colón y los Reyes Católicos no lo es tanto e ilustra muy bien el concepto de proporcionalidad numérica.

Este contrato se firmó en Santa Fe (Granada)

el 17 de abril de 1492, durante el asedio de la última plaza árabe que quedaba en España. Entre otras concesiones se especifica en ese contrato que será propiedad de Colón el 10 % de todas las mercaderías que se trajeran de Indias y el derecho de contribuir con una octava parte de los gastos originados

para armar naves comerciales, obteniendo por esa razón la octava parte de los beneficios generados.

El manuscrito original de las Capitulaciones de Santa Fe se conserva en el Archivo de la Corona de Aragón en Barcelona.

ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD...

La parte del almirante

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CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

El sistema DIN ha sustituido a los folios, cuartillas, octavillas, etc., debido a que es un sistema proporcional que se relaciona con nuestra unidad de superficie: el metro cuadrado.

La idea es buscar una medida de un rectángulo, DIN A0, cuya superficie sea de 1 m2, de tal manera que conserve la proporción, es decir, que si lo partimos en dos, los nuevos lados conserven la proporción original.

La razón entre a y b será la misma que entre b y , por lo que se ha de cumplir que = y, en el caso de DIN A0, el área será de 1 m2. Para que se cumplan estas dos condiciones, los valores aproximados son a= 118,90 cm y b = 84,10 cm. En el DIN A1, el largo será 84,10 cm y el ancho 59,45 cm, o sea que el largo es el ancho del DIN A0, y el ancho, la mitad del largo del DIN A0.

Haciendo lo mismo, vamos obteniendo los diferentes tamaños. Observa la tabla, donde están algunas medidas de las diferentes hojas. El DIN A4 suele ser el formato que normalmente se utiliza para escribir y se suele llamar folio (aunque el folio es ligeramente mayor), el DIN A5 es

la cuartilla, etc. Comprueba que la medida del DIN A4 de la tabla coincide con la real.

b a/2 a b

a 2

Las medidas de los formatos DIN

COMPETENCIA LECTORA

Aristóteles (384-322 a.C.) fue el preceptor de Alejandro Magno. Creó la Lógica y dividió las ciencias en tres grupos:

Teóricas, Prácticas y Poéticas.

Los principios básicos de la Lógica desde Aristóteles son:

el principio de no contradicción y el del tercio excluso

o del tercero excluido.

Aristóteles

a

b b

Tipo Largo a Ancho b

(cm) (cm)

A0118,9084,10 A1 84,1059,45 A2 59,45

A3

A4 29,7021,05 A5

a 2

RECURSOS PARA EL AULA

(3)

LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS

CONTENIDOS PREVIOS

Amplificación. Multiplicamos numerador y denominador por un mismo número distinto de cero.

= = = =

Simplificación. Dividimos numerador y denominador entre un mismo número distinto de cero.

= = = = 28

13 84 3 39 3 : : 84 39 4

3 16 4 12 4

: : 16 12

60 84 5 12 712

⋅ 5 7 10

15 2 5 3 5

⋅ 2 3

Dos fracciones y son equivalentes, y se escribe = , si a⋅ d = b ⋅ c.

= , ya que: 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4 = 12.4 6

2 3

c d a b c

d a b

Para multiplicar un número entero por uno decimal, se multiplica normalmente y luego se separan tantas cifras decimales como tenga el número decimal.

Para dividir un número decimal entre uno entero, se divide normalmente y se coloca la coma en el dividendo al llegar al grupo de cifras decimales.

Se pone en el numerador el número decimal sin la coma,

y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras haya a la derecha de la coma. Simplificamos después todo lo que podamos.

1,6 = = 0,75 = = 3

4 75 100 8

5 16 10

→ →

Simplificamos Simplificamos

24,16 4

0 1 6,04

16 0 3,6 5

× 1 2 7 3 0 3 6 5 4 3,8 0 Conozcas la relación entre las

fracciones equivalentes.

CONVIENE QUE…

Te ayudarán a identificar qué es una proporción.

PORQUE…

Sepas amplificar y simplificar fracciones.

CONVIENE QUE…

Lo necesitarás para estudiar las series de razones iguales.

PORQUE…

Recuerdes algunas operaciones entre números enteros

y decimales.

CONVIENE QUE…

Tendrás que aplicarlas en la resolución de problemas de proporcionalidad.

PORQUE…

Domines la técnica de paso de números decimales exactos a fracciones.

CONVIENE QUE…

Lo necesitarás para trabajar con porcentajes.

PORQUE…

(4)

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

= = k Indica una proporción y su constante de proporcionalidad.

= Indica una proporción con un término desconocido.

c x a b

c d a b

La constante de proporcionalidad se representa por k.

Los términos desconocidos de una proporción se suelen expresar mediante x, y, z…

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

= = = … =

a1⋅ b1= a2⋅ b2= a3⋅ b3= … = m ⋅ n m

n a

b

3 3

a b

2 2

a b

1 1

Los puntos suspensivos expresan que todos los pares de valores mantienen la misma relación.

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

La proporción = , siendo x una cantidad desconocida, indica que a es proporcional a b como c lo es a x.

c x a b

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

% Indica que estamos expresando una cantidad en tanto por ciento.

k % de C Indica que de cada 100 partes de C tomamos k.

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos el tanto por la cantidad y dividimos entre 100.

16 % de 230 → = 36,8

Para expresar una fracción en tanto por ciento tomamos su expresión decimal y la multiplicamos por 100.

→ 2 = 0,4 = 0,4 ⋅ 100 % = 40 % 5

2 5

16 230 100

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

Los valores que puede tomar la magnitud A se expresan mediante a1, a2, a3… y los de la magnitud B mediante b1, b2, b3

Las casillas con puntos suspensivos significan que la tabla tiene más valores intermedios que guardan la misma relación de proporcionalidad.

NOTACIÓN MATEMÁTICA

LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS

a → b

c → x Indica la proporción = .c x a b Magnitud A a1 a2 a3 … m Magnitud B b1 b2 b3 … n

RECURSOS PARA EL AULA

(5)

COMPETENCIA MATEMÁTICA

EN LA VIDA COTIDIANA... La razón áurea

En este proyecto pretendemos que aprendas a:

• Utilizar las razones de proporcionalidad en contextos reales para resolver problemas.

• Trabajar con escalas en fotografías, calculando distancias a partir de distancias reales, y viceversa.

Desde la antigüedad, el hombre ha utilizado las razo- nes y proporciones en multitud de contextos, sobre todo geométricos, y en algunos casos copiado directa- mente de la Naturaleza. Una razón muy especial que encontramos en la Naturaleza es la conocida como ra- zón áurea, o número de oro, que aparece en las di- mensiones del organismo de algunos animales, flores, etcétera.

Dos segmentos están en proporción áurea cuando la longitud de la suma de ambos es al mayor como el mayor es al menor, es decir:

Pues bien, para que se cumpla esa proporción, la razón vale exactamente: Φ = 1,618033989... (un número decimal con infinitas cifras). Este número Φ se llama número de oro.

Se suele definir un rectángulo áureo como aquel que cumple que la razón entre la longitud y la altura es el número de oro, es decir, que a = Φ ≅ 1,62.

b

AC AB

AB

= BC

La razón áurea en Geometría

1

Leonardo da Vinci dedicó parte de su Tratado de pin- tura a expresar las proporciones armónicas entre las partes del cuerpo humano. Para ello realizó el famoso dibujo anatómico de la fotografía.

HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) Mide las dimensiones del rectángulo de la figura.

b) Calcula la razón entre las dos longitudes. ¿Qué observas?

Otro contexto en el que aparece la razón áurea es la arquitectura, por ejemplo, en el Partenón.

REALIZA ESTAS ACTIVIDADES.

a) Mide las dimensiones del rectángulo de la fotografía y calcula la razón. ¿Qué razón es?

b) Si la altura real es de 18 metros, calcula la escala de la fotografía.

c) ¿Cuál será el ancho de la fachada?

La razón áurea en la escultura y arquitectura

2

A B C

b

a

(6)

La razón áurea aparece en multitud de lugares en la Na- turaleza como, por ejemplo, en la forma de los hue- vos: en general, la razón entre la altura y el ancho está comprendida entre los números y Φ ≅ 1,62.

Veamos de forma gráfica cómo el tamaño de algunos animales guarda también esta proporción, es decir, la longitud dividida entre la altura es, normalmente, un de- cimal aproximado a 1,6, o, en forma de fracción, 8/5.

OBSERVA LA VACA DE LA FOTOGRAFÍA Y REALIZA ESTAS ACTIVIDADES.

a) Mide las longitudes de la base y altura del rectán- gulo donde está inscrita la vaca. ¿Cuál es la razón entre las medidas?

b) La vaca de la fotografía mide 1,4 metros de altura.

¿Cuál es la escala con la que se ha representado?

c) ¿Y su longitud?

Φ ≅ 1 27,

La razón áurea en la Naturaleza

3

Observa los ejemplos que te damos a continuación, todos ellos son objetos de la vida diaria.

En la fotografía tienes una tarjeta de crédito.

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) Mide las dimensiones de la tarjeta.

b) Calcula la razón entre la longitud y el ancho.

c) Si puedes, obtén las dimensiones reales y, a partir de ellas, calcula la escala de la fotografía.

Toma ahora un documento nacional de identidad. Su tamaño está relacionado con la razón áurea.

a) Mide las dimensiones de tu DNI.

b) Calcula la razón entre la longitud y el ancho. ¿Qué observas?

c) Si tuvieras una fotografía de un DNI que midiese 3 cm de largo y 4,8 cm de ancho, ¿a qué escala estaría hecha?

Observa las fotografías de los billetes de 5 € y 500 €.

a) Mide las dimensiones de los billetes de las foto- grafías.

b) Calcula la razón entre su longitud y su ancho.

c) Averigua sus dimensiones reales y, a partir de ellas, calcula la escala de la fotografía.

d) Las dimensiones de los billetes, ¿están en propor- ción áurea?

e) Elige otros billetes de valores diferentes e investiga la relación entre sus dimensiones.

La razón áurea en otros contextos

4

COMPETENCIA MATEMÁTICARECURSOS PARA EL AULA

(7)

APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS

Planteamiento y resolución

En el siguiente esquema se resume el enunciado del problema, y se señala con flechas azules el proceso que se seguiría para obtener el dato del final (96 céntimos de euro). En este problema debemos ignorar los datos que sobran, que son los referidos al tiempo.

Según la parte final del enunciado, si se rebajó el precio un 20 %, el precio final (96 céntimos de euro) es el 80 % del precio anterior, P'.

El número 96 se obtiene multiplicando 0,80 por el precio P': 0,80⋅ P' = 96; por ello, este precio P' se calcula dividiendo 96 entre 0,80; es decir, P' = 96 : 0,80 = 120.

Conociendo este precio (P' = 120), el precio inicial P se obtiene dividiendo 120 entre 2. Así, el precio inicial P es 60 céntimos de euro.

Para favorecer la venta de un tipo de bocadillo, una cafetería estableció un precio muy económico.

Al cabo de dos meses duplicó su precio. Cuando el dueño vio que el número de bocadillos servidos disminuía, bajó el precio un 20 %. El precio final del bocadillo quedó en 96 céntimos de euro (0,96 €). ¿Cuál era el precio inicial del bocadillo?

Estrategia

Para resolver un problema, generalmente se empiezan a utilizar los datos que aparecen en primer lugar. Pero hay otros problemas que se resuelven más fácilmente empezando por los datos del final y remontando el problema hacia atrás, usando finalmente los datos del principio. Si en algunos de los problemas hay datos que sobran, se prescinde de ellos.

En una tienda hay tres tipos de televisores. El precio que tiene el mayor es 1.250 € y el precio del menor es el 20 % del valor de los otros dos.

¿Cuál es el precio del televisor mediano?

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Empezar por el final

PROBLEMA RESUELTO

PROBLEMAS PROPUESTOS

60 ← 120 ← 96: 2 : 0,80 Precio

inicial (P)

Segundo

precio (P' ) 0,96 €

⋅ 2 ⋅ 0,80

: 2 : 0,80

1.250 € 420 €

(8)

NUEVAS TECNOLOGÍAS

EJERCICIOS

APLICA: Resuelve los ejercicios 87 a 93 de la página 166. Ten en cuenta, en cada caso, el tipo de ejercicio para introducir correctamente los datos y, si hace falta, ampliar las columnas.

FINAL

Guarda el libro con → .

1 Contenido

Contenido

PRÁCTICA EXCEL

PRÁCTICA 1

(ejemplos 13, 15 y 16, págs. 158 y 159)

Abre el libro NÚMEROS_1 e inserta la hoja Unidad08_1a para resolver de manera automática los problemas de porcentajes. Trabajaremos con los valores del Porcentaje – Total – Parte, teniendo en cuenta que cuando co- nocemos dos de estos valores podemos encontrar el valor que falta me- diante la relación:

1. Escribe las etiquetas de la hoja tal como se ve en el margen.

2. Introduce las siguientes fórmulas.

a) En la celda D3: .

b) En la celda D6: .

c) En la celda D9: .

3. Ahora introduce las datos de los ejemplos 13, 15 y 16 de las páginas 158 y 159.

En la celda B3 → 85 y en la celda C3 → 300 En la celda B6 → 1200 y en la celda C6 → 876 En la celda B9 → 540 y en la celda C9 → 20

4. Constata que los resultados obtenidos coinciden con los del libro.

PRÁCTICA 2

(ejercicios 26 a 33, págs. 158 y 159)

1. Crea la hoja Unidad08_2a y prepárala con los rótulos de los ejemplos anteriores. Deja para cada ejercicio cinco filas y añade una nueva co- lumna para indicar el número de ejercicio (obsérvalo al margen).

2. Resuelve el ejercicio 30. Se ha de calcular un porcentaje y, por tanto, es del tipo (2). Introduce las datos: en la celda B11 → 500 y en la celda C10 → 370. Aparecerá el resultado en la celda D10 → 74 (obsérvalo al margen).

3. Copia las fórmulas de las celdas D3, D10 y D17, respectivamente, en las filas inferiores de la misma columna.

4. Haz el resto de ejercicios.

Porcentaje

Total Parte

100 ⋅ =

MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR

RECURSOS PARA EL AULA

Referencias

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