[  OPERADORES QUE PRESERVAN  ORTOGONALIDAD Y 

[  OPERADORES QUE PRESERVAN  ORTOGONALIDAD Y 

HOMOMORFISMOS TERNARIOS ] 

PROGRAMA OFICIAL DE  DOCTORADO EN FÍSICA Y 

MATEMÁTICAS   

DEPARTAMENTO DE ANÁLISIS  MATEMÁTICO 

Tesis Doctoral 

Memoria presentada por el

Doctorando: D. Jorge José Garcés Pérez, para optar al Título de Doctor en Matemáticas.

Director: Dr. Antonio M. Peralta

D.L.: GR 369-2014 ISBN: 978-84-9028-790-3

[ ORTOGONALITY PRESERVING  OPERATORS AND TERNARY 

HOMOMORPHISMS ] 

PROGRAMA OFICIAL DE  DOCTORADO EN FÍSICA Y 

MATEMÁTICAS   

DEPARTAMENT OF MATHEMATICAL  ANALYSIS 

Ph. D. Dissertation 

A dissertation submitted by Jorge José Garcés Pérez, in partial satisfaction of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy in Mathematics.

Supervisor: Dr. Antonio M. Peralta

El doctorando D. Jorge Jos´e Garc´es P´erez y el director de la tesis D. Antonio Miguel Peralta Pereira, Garantizamos, al fir- mar esta tesis doctoral, que el trabajo ha sido realizado por el doctorando bajo la direcci´on de los directores de la tesis y hasta donde nuestro conocimiento alcanza, en la realizaci´on del traba- jo, se han respetado los derechos de otros autores a ser citados, cuando se han utilizado sus resultados o publicaciones.

Granada, 10 de Mayo de 2013

Director de la Tesis Doctorando

Fdo.: Antonio M. Peralta Pereira Fdo.:Jorge Jos´e Garc´es P´erez

— Caio Titus, Roman orator.

Pr´ologo V

1. Introducci´on 1

2. Introduction 45

2.1. Basic notions . . . 46

3. Orthogonality preservers 59

3.1. Historical overview . . . 59 3.2. New Progress . . . 75

4. Automatic continuity 87

4.2. Biorthogonality preservers on C^∗-algebras. . . 89 4.2.1. The case of dual C^∗-algebras . . . 89 4.2.2. The case of von Neumann algebras . . . . 93 4.3. Biorthogonality preservers on atomic JBW^∗-triples 96 5. Minimality of triple norm topology and a Kaplan-

sky Theorem 105

5.1.1. Kaplansky Theorem for JB*-triples . . . . 107 iii

6. Weakly compact OP 119

6.2. Weakly compact OP on C^∗-algebras . . . 122

7. Generalised triple homomorphisms 129 7.2. Triple modules and derivations. . . 141

7.3. Generalised triple derivations . . . 145

8. Orthogonality preservers on real C^∗-algebras 149 8.2. Orthogonal bilinear forms on abelian real C^∗-algebras . . . 152

8.3. Orthogonality preservers . . . 157

9. Local triple derivations 161 10.Conclusions and open problems 169 10.1. Orthogonality preserves on real C^∗-algebras . . . 170

10.2. Automatic continuity . . . 172

10.3. Stability . . . 176

10.4. Local triple homomorphisms . . . 181

10.5. M-norms . . . 182

Glossary 185

Bibliography 190

Papers / art´ıculos 213

De acuerdo con las normas reguladoras de las ense˜nanzas ofi- ciales de Doctorado y del T´ıtulo de Doctor por la Universidad de Granada, aprobadas por Consejo de Gobierno de la Universidad de Granada en su sesi´on del 2 de Mayo del 2012, la tesis doctoral

“puede consistir en el reagrupamiento en una memoria de tra- bajos de investigaci´on publicados por el doctorando en medios cient´ıficos relevantes en su ´ambito de conocimiento”.

Los art´ıculos elegidos para la memoria deben haber sido pu- blicados o aceptados para su publicaci´on en fecha posterior a la obtenci´on del t´ıtulo de grado y de master universitario. La pre- sente memoria ha sido realizada como compilaci´on de 9 art´ıculos.

Todas las publicaciones incluidas en esta memoria han aparecido en revistas de relevancia internacional en el ´ambito del An´alisis Matem´atico, referenciadas en la ´ultima relaci´on publicada por el Journal of Citations Reports e incluidas en las bases de datos MathSciNet (American Mathematical Society) y Zentralblatt f¨ur Mathematik (European Mathematical Society).

Esta memoria ha sido presentada por D. Jorge Jos´e Garc´es P´erez para optar al t´ıtulo de Doctor en Matem´aticas por la Universidad de Granada dentro del programa oficial de docto- rado en F´ısica y Matem´aticas (FisyMat). Para poder optar a la menci´on internacional en el t´ıtulo de doctor, la mayor parte de

v

esta memoria est´a escrita en ingl´es, idioma que actualmente es el mayoritario para la comunicaci´on cient´ıfica en el ´ambito de las matem´aticas. Al redactarse la tesis en una lengua no oficial, incluimos en el primer cap´ıtulo un amplio resumen en espa˜nol.

Los cap´ıtulos posteriores (escritos en ingl´es) incluyen (aunque no separadamente) una introducci´on, los objetivos propuestos, un resumen de los resultados y conclusiones obtenidas, as´ı como la bibliograf´ıa utilizada.

Dado el gran n´umero de conceptos y resultados previos que se han de introducir, en lugar de presentarlos todos en un ´unico cap´ıtulo, hemos decidido incluir cada uno de ellos justo en el momento en que sea necesario.

Los resultados presentados en esta memoria han sido obte- nidos a lo largo de los ´ultimos cinco a˜nos bajo la supervisi´on del Dr. Antonio M. Peralta Pereira en el Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada. En este tiempo el doctorado ha sido alumno del Master y del Programa Oficial de Doctorado en F´ısica y Matem´aticas (FisyMat); desde Septiem- bre de 2009 ha disfrutado de una beca de investigaci´on asociada al Proyecto de Excelencia “Aproximaci´on algebraico-anal´ıtica de los sistemas no-asociativos y sus aplicaciones FQM-3737”, finan- ciado por la Junta de Andaluc´ıa. Entre Septiembre y Diciembre de 2012 el doctorando realiz´o una estancia de investigaci´on en el Departamento de Matem´aticas de la Universidad de Reading (Reino Unido).

Agradecimientos

Me gustar´ıa aprovechar este espacio para expresar mi m´as sincera gratitud a Antonio Peralta, director de esta tesis, a quien admiro por su gran calidad humana y cient´ıfica. Gracias por todo lo que me has ense˜nado en los ´ultimos cinco a˜nos. Gracias por tu apoyo, orientaci´on y paciencia.

Tambi´en quisiera expresar mi agradecimiento a los profesores Mar´ıa Burgos, Francisco. J. Fern´andez Polo y Juan Mart´ınez, con quienes he colaborado en algunos de los art´ıculos que com- ponen esta memoria. Tambi´en por su ayuda durante el proceso de escritura de esta tesis.

Tambi´en a todos los miembros del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Granada, en especial a Antonio Moreno Galindo por animarme a pedir aquella beca de iniciaci´on a la investigaci´on con la que empez´o todo. Tambi´en a la gente del Departamento de Matem´aticas de la Universidad de Almer´ıa. A Antonio Jim´enez le debo unas cuantas “reserva”.

I would also like to express my gratitude to the members of the Department of Mathematics and Statistics of the University of Reading. Especially to professor Leslie J. Bunce. I would also like to thank Heather Bunce for her hospitality.

Tambi´en me gustar´ıa expresar mi gratitud a todas esas per- sonas que, a´un no teniendo nada que ver con esta tesis, han pasa- do por mi vida en este tiempo y tiene algo que ver con quien soy ahora.

A mis antiguos compa˜neros de despacho: Mar´ıa Burgos y Tommaso Leonori (tambi´en conocido como Tomasso) que siem- pre me escucharon y animaron (en el caso de Tom dir´ıa tambi´en que me aguant´o).Tambi´en a los actuales (Condor y Rafa).

A mis topos (Moya, ´Angel, Paco, Luis, Germ´an, Alberto, Juli´an, Castillo, Paloma, Alek) por todos los buenos momentos

que hemos compartido. Porque siempre est´ais ah´ı cuando se os necesita. Se os echa de menos.

A los de la cuadrilla: Jorge (mi maestro, se te echa de menos en Granada), Gallas (¿cu´antas veces habremos arreglado el mun- do? ¿qu´e pas´o con ese libro que ´ıbamos a escribir?) y Kike (este a˜no me toca a mi subir).

A los tripotentes ortogonales por las horas de f´utbol de alto nivel en Cartuja que siempre vienen bien para despejarse. Tam- bi´en por no destituirme cuando cambi´e el f´utbol por la salsa o la tesis.

A los de comedores: Rodri, Wil, Ix, Juan Omiste, Alex-Peter, Luis, Kathe con los que he compartido innumerables almuerzos en comedores y caf´es “en lo de Javi”, siempre acompa˜nados de buenas conversaciones (algunas interesantes, otras curiosas) y risas. Por escucharme y apoyarme en los momentos dif´ıciles. A Juan Omiste por ser el m´as pringao de todos y hacernos a los dem´as un poco menos pringaos. Tambi´en a Alfonso por derogar las meriendas.

A los amigos de Reading.

A Charly por su amistad. Por acogerme en el hostal espigares y despertarme con jam´on reci´en cortado y caf´e. Por inventar los mi´ercoles gastron´omicos. Gracias tambi´en a Roberto (Perita) con el que formamos un temible tridente durante alg´un tiempo.

A mi antiguo compa˜nero de piso, Carlos, que me aguant´o un- os cuantos a˜nos y siempre me obliga a salir cuando pasa por Granada.

A Sebastiano con quien compart´ı piso unos meses, me ense˜n´o al- gunos de los secretos de la pasta al dente y me leg´o sus plantas.

A Pablo Sartori (no matter where we are, we are always touching by underground wires).

A Claudia, la ´unica persona capaz de apreciar mi arte ef´ımero (¿qu´e eh lo que eh?).

A Blanca que siempre crey´o en mi.

A Irene, tan buena amiga como para levantarse a las seis de la ma˜nana para ver el final de Lost conmigo (menuda decepci´on).

A Carmen por no aplicar intereses a las ca˜nas que le debo y cuidar tan bien de mi cactus y esa planta tan extra˜na que hered´e de Sebastiano (por cierto, ¡devuelveme mi piso!).

Dla Agaty, z kt´ora nauczyem sie niekt´orych rzeczy o salsie i tarasach widokowych. I za wszystkie dobre momenty.

A Paulina Ston y Marta Callej´on que siempre me escuchan (leen) y aconsejan. Incluso cuando me pongo pesado (y pasa mucho).

A todos mis amigos de facebook que cuando anuncie dentro de un rato que por fin he terminado la tesis dar´an a like y se alegrar´an.

Por ´ultimo a mi familia, sin cuyo apoyo no habr´ıa sido posible llegar hasta aqu´ı. En especial a mi madre, a mi padre y a Selena.

Jorge Jos´e Garc´es P´erez

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on

El Cap´ıtulo 2 de esta memoria est´a dedicado a introducir las estructuras algebraico-topol´ogicas en las que llevamos a cabo nuestro trabajo: las C^∗-´algebras, las JB^∗-´algebras y los JB^∗-triples.

En dicho Cap´ıtulo damos las nociones, resultados y referencias b´asicas de la teor´ıa de C^∗-´algebras, JB^∗-´algebras y JB^∗-triples.

En el Cap´ıtulo3hacemos un recorrido hist´orico por los resul- tados que han motivado nuestra investigaci´on, desde la d´ecada de 1930 hasta nuestros d´ıas. El objetivo no es otro que motivar el inter´es de los problemas que han sido objeto de estudio en esta tesis.

Uno de los ejes principales de esta memoria es el concepto de ortogonalidad, y m´as concretamente, el estudio de los oper- adores que preservan ortogonalidad. Cuatro de los cap´ıtulos de esta memoria y muchos de los problemas abiertos presentados en el ´ultimo cap´ıtulo est´an dedicados al estudio de problemas relacionados con las aplicaciones lineales que preservan ortogo- nalidad.

El libro “Th´eorie des op´erations lin´eaires” [17], de S. Ba- 1

nach, marca el inicio del An´alisis Funcional. En ´el se define por primera vez el concepto de espacio de Banach y se prueban al- gunos de los teoremas fundamentales del An´alisis Funcional. Por lo que a nuestro trabajo concierne, destacamos los resultados sobre isometr´ıas lineales sobreyectivas entre varios espacios de Banach cl´asicos, como son los espacios de funciones continuas (C(K)-espacios) y los espacios L^p([0, 1]).

Existe cierto consenso en situar en estos trabajos de Banach (m´as tarde generalizados por M. Stone en [176]) sobre isometr´ıas lineales sobreyectivas entre espacios de funciones continuas, el origen del estudio de los operadores que preservan ortogonali- dad. Si bien es cierto que la propiedad de preservar ortogonali- dad, no fue directamente considerada por Banach ni por Stone, la forma de las isometr´ıas lineales sobreyectivas (esto es, un op- erador de composici´on con peso) proporciona el primer ejemplo de operador que preserva ortogonalidad. La forma m´as gener- al del Teorema de Banach (que enunciamos a continuaci´on) es conocida en la actualidad como Teorema de Banach-Stone.

Teorema 1.1.1 [Banach-Stone] Sean K1, K2espacios compactos y de Hausdorff y sea T : C(K₁) → C(K₂) una isometr´ıa lin- eal sobreyectiva. Entonces existen una funci´on continua h en C(K2), con |h(s)| = 1, para todo s ∈ K2, y un homeomorfis- mo ϕ : K₂ → K₁ tales que

T (f )(s) = h(s)f (ϕ(s)),

para cualesquiera f ∈ C(K₁), s ∈ K₂. 2 Como ya hemos mencionado, Banach tambi´en considera las isometr´ıas sobreyectivas entre espacios L^p([0, 1]). Curiosamente, en este caso Banach s´ı observa que estas aplicaciones son sepa- radoras. Citando al propio Banach:

“Etant don´ee une rotation y = U (x) de (L^(p)), o´u 1 ≤ p 6= 2, autour de 0, si on a pour un couple x₁(t), x₂(t) des fonctions appartenat ´a (L^(p))

x₁(t)x₂(t) = 0, persque partout dans [0, 1],

alors pour le couple y₁(t), y₂(t), o´u y₁(t) = U (x₁) et y₂ = U (x₂), on a ´egalement

y1(t)y2(t) = 0, persque partout dans [0, 1].⁰⁰

Sean A, B dos C(K)-espacios (o espacios L^p([0, 1])) y sea T : A → B una aplicaci´on lineal. Diremos que T es separadora si satisface la propiedad

f g = 0 =⇒ T (f )T (g) = 0.

El citado p´arrafo de Banach afirma precisamente que una isometr´ıa sobreyectiva entre espacios L^p([0, 1]) es separadora.

Del mismo modo, el Teorema de Banach-Stone implica que toda isometr´ıa lineal sobreyectiva entre espacios C(K) es separadora.

Definici´on 1.1.2 Sean K₁, K₂ espacios compactos Hausdorff y sea T : C(K₁) → C(K₂) una aplicaci´on lineal. Diremos que T es un operador de composici´on con peso, si existe una funci´on continua h ∈ C(K₂) y ϕ : K₂ → K₁ continua en el conjunto {t : h(t) 6= 0} tales que

T (f )(s) = h(s)f (ϕ(s)),

para cualesquiera f ∈ C(K1), s ∈ K2. 2 Toda isometr´ıa lineal sobreyectiva entre espacios C(K) es un operador de composici´on con peso. Adem´as, es f´acil compro- bar que todo operador composici´on con peso es una aplicaci´on

separadora. Las isometr´ıas lineales sobreyectivas entre espacios L^p([0, 1]) (con 1 ≤ p 6= 2) tambi´en son operadores de com- posici´on con peso (con la salvedad de extender a los L^p([0, 1]) las definiciones dadas anteriormente). Cabe mencionar que este

´

ultimo resultado de Banach fue generalizado por J. Lamperti a espacios de medida con una medida σ-finita arbitraria y tambi´en para p < 1 en [126]. El hecho de que las isometr´ıas sobreyecti- vas son separadoras es importante en las pruebas de Banach y Lamperti. Tanto es as´ı que las aplicaciones separadoras han sido tambi´en denominadas por muchos autores como operadores de Lamperti.

Desde su aparici´on, los trabajos de Banach y Stone han ins- pirado a muchos autores que dedicaron sus esfuerzos a obtener teoremas de tipo Banach-Stone en ambientes m´as generales, co- mo por ejemplo: los ret´ıculos de Banach, los espacios de funciones continuas vector-valuadas, las ´algebras de Banach, las ´algebras de Jordan-Banach o los JB^∗-triples (ver por ejemplo [112], [149], [187], [162], [96], [119], [65] y [66]).

En vista de las contribuciones de Banach, Stone y Lamperti, entre otras, los investigadores en varios ´ambitos del An´alisis Fun- cional notaron que la propiedad de “ser aplicaci´on separadora”

ten´ıa una gran importancia. A partir de la d´ecada de 1970 exper- tos en ret´ıculos de Banach empezaron un estudio sistem´atico de aquellas aplicaciones lineales que tienen dicha propiedad. Recor- damos que un ret´ıculo de Banach es un ret´ıculo vectorial real, (E, k.k),con una norma completa que tiene la siguiente propiedad adicional:

|x| ≤ |y| =⇒ kxk ≤ kyk,

donde |x| = m´ax{x, −x}. Dos elementos x, y en un ret´ıculo de Banach E son disjuntos (notado mediante el s´ımbolo x ⊥ y) si m´ın{x, y} = 0.

Un aplicaci´on lineal T : E → F entre ret´ıculos de Banach se dice separadora si T (x) ⊥ T (y) siempre que x ⊥ y en E. Los operadores de composici´on con peso (definidos apropiadamente dependiendo del ambiente en el que se trabaje) son el prototipo de aplicaciones lineales separadoras. As´ı, los investigadores se preguntaron si toda aplicaci´on lineal (y continua) entre ret´ıculos de Banach que es separadora se puede representar como un ope- rador de composici´on con peso. Y.A. Abramovich, A.I. Veksler y A.V. Koldunov prueban en [2] que este es el caso, entre otros, cuando la T es biyectiva, separadora y su inversa tambi´en lo es.

Otro importante problema es el estudio de la continuidad au- tom´atica, esto es, si bajo ciertas hip´otesis se puede probar que una aplicaci´on separadora es continua. Abramovich, Veksler y Koldunov ya probaron en [2] que si T es biyectiva, separadora y T⁻¹ es separadora, entonces T es continua. En vista de este resultado surge la pregunta de si se pueden relajar un poco las hip´otesis sobre T , por ejemplo, exigiendo solamente que ´esta sea biyectiva y preserve ortogonalidad para obtener su continuidad de forma autom´atica. Otra cuesti´on que surge de manera na- tural es si, en este caso, se puede demostrar que tambi´en T⁻¹ es separadora. Como veremos a lo largo de esta introducci´on, estas cuestiones han dado lugar a una vasta literatura, no s´olo en el ambiente de los ret´ıculos de Banach. Destacamos que Y.A.

Abramovich y A.K. Kitover dieron un ejemplo de aplicaci´on se- paradora biyectiva cuya inversa no es separadora (ver [1]).

De particular importancia para nuestros intereses son los tra- bajos de E. Beckenstein, L. Narici y A.R. Todd sobre aplicaciones separadoras entre espacios C(K) (ver [23]). En estos trabajos di- chos autores introducen una herramienta de gran utilidad para el estudio de estas aplicaciones lineales: la funci´on soporte aso- ciada a un aplicaci´on separadora. Usando esta funci´on soporte consiguen obtener varios resultados de continuidad autom´atica.

En [100], K. Jarosz explota estas ideas y consigue obtener una descripci´on general de las aplicaciones lineales separadoras entre espacios de funciones continuas. Como consecuencia, prueba que si una tal aplicaci´on es biyectiva, entonces es autom´aticamente continua y un operador de composici´on con peso.

Teorema 1.1.3 [K. Jarosz, Canadian J., 1990] Consideremos una aplicaci´on lineal y separadora T : C(K₁) → C(K₂). En- tonces, existen subconjuntos disjuntos dos a dos Z₁, Z₂ y Z₃ de K2 con K2 = Z1∪ Z2∪ Z3, Z2 abierto y Z3 cerrado, una funci´on acotada que no se anula y es continua h : Z₁ → C, y una funci´on continua ϕ : Z₁∪ Z₂ → K₁ tales que

T (f )(s) = h(s)f (ϕ(s)), para cualesquiera f ∈ C(K₁), s ∈ Z₁ y T (f )(s) = 0, para cualesquiera f ∈ C(K1), s ∈ Z3.

Adem´as ϕ(Z₂) es finito y todos los funcionales de la forma δsT, para alg´un s en Z2, son discontinuos. 2 Merece la pena destacar que si T : C(K1) → C(K2) es una biyecci´on lineal separadora, entonces T⁻¹tambi´en es separadora.

Los resultados de Jarosz fueron generalizados por J.S. Jeang y N.C. Wong en [103] al ambiente de los espacios C0(L) (funciones continuas en un espacio localmente compacto Hausdorff que se anulan en infinito).

Este tipo de problemas se puede plantear en un ambiente m´as general, como el de las funciones continuas vector-valuadas o las ´algebras de Banach. Nosotros nos centraremos en el segundo ambiente.

Recordamos que un ´algebra de Banach es un ´algebra asocia- tiva, A, dotada de una norma completa tal que kabk ≤ kakkbk, para cualesquiera a, b en A.

Definici´on 1.1.4 Sea T : A → B un aplicaci´on lineal entre

´

algebras de Banach. Diremos que T preserva productos cero si ab = 0 implica T (a)T (b) = 0.

Si A y B son espacios C(K) o C₀(L), entonces las aplica- ciones lineales entre A y B que preservan productos cero son precisamente las separadoras.

En toda ´algebra asociativa se puede definir otro producto (no asociativo, en general) llamado producto de Jordan, definido mediante a ◦ b = ¹₂(ab + ba). Una aplicaci´on lineal T : A → B entre ´algebras de Banach se dice que es un homomorfismo de Jordan si verifica T (a ◦ b) = T (a) ◦ T (b), para cualesquiera a, b en A.

En esta introducci´on usaremos con frecuencia la palabra ope- rador para designar a una aplicaci´on lineal y continua. Los ope- radores entre ´algebras de Banach que preservan productos cero han sido estudiados por muchos autores en los ´ultimos 20 a˜nos. El prototipo de operador que preserva productos cero es un m´ulti- plo de un homomorfismo de Jordan S : A → B por un elemento de B que verifica ciertas propiedades de conmutatividad con los elementos de la imagen de S (ver por ejemplo [42], [43], [67], [192], [185], [124] y [5]). Sin embargo, no es, en general, posible describir estos operadores. Para obtener una descripci´on de los mismos suelen necesitarse hip´otesis adicionales sobre las ´alge- bras de Banach en las que act´uan o sobre el propio operador (t´ıpicamente sobreyectividad).

Cuando la estructura de las ´algebras de Banach en las que act´uan los operadores es m´as rica se pueden obtener mejores descripciones de los mismos. ´Este es el caso de las C^∗-´algebras.

Recordemos que una C^∗-´algebra es un ´algebra de Banach comple- ja, (A, k.k), dotada de una involuci´on ^∗ : A → A que satisfacen

la condici´on (conocida como axioma de Gelfand-Naimark):

kaa^∗k = kak² (a ∈ A).

Dado en elemento a de una C^∗-´algebra, diremos que es au- toadjunto si a = a^∗. Denotaremos por A_sa al conjunto de los elemento autoadjuntos de A.

Sea A una C^∗-´algebra y sean a, b elementos de A. Diremos que a y b son ortogonales, y lo denotaremos con el s´ımbolo a ⊥ b, si ab^∗ = b^∗a = 0.

Definici´on 1.1.5 Una aplicaci´on lineal T : A → B entre C^∗- algebras preserva ortogonalidad cuando a ⊥ b implica que T (a) ⊥ T (b).

En virtud del Teorema de Gelfand conmutativo toda C^∗-´alge- bra abeliana es ^∗-isomorfa a un espacio C₀(L), para un cierto espacio topol´ogico localmente compacto Hausdorff L (compacto si ´esta es unital). Teniendo en cuenta esto ´ultimo y el hecho de que la ortogonalidad y el producto cero en una C^∗-´algebra abeliana coinciden, los resultados de Jarosz, y Jeang-Wong per- miten describir los operadores que preservan ortogonalidad entre C^∗-´algebras abelianas.

Teorema 1.1.6 Sea T : A → B un operador que preserva or- togonalidad entre C^∗-´algebras abelianas. Entonces existen un ho- momorfismo de Jordan S : A → B y un elemento h en B tales

que T = hS. 2

El Cap´ıtulo 3de esta memoria est´a dedicado a la descripci´on de los operadores que preservan ortogonalidad entre C^∗-´algebras (no necesariamente abelianas).

En 1994, M. Wolff estudia aquellos operadores entre C^∗-´alge- bras (unitales) que preservan ortogonalidad y son sim´etricos, es- to es, verifican la identidad adicional T (a^∗) = T (a)^∗, para todo a en A. Llamaremos ^∗-homomorfismos de Jordan a aquellos ho- momorfismos de Jordan que adem´as son sim´etricos, en el sentido que acabamos de definir.

En [183], Wolff obtiene la siguiente descripci´on de estos ope- radores:

Teorema 1.1.7 [M. Wolff, Arch. Math., 1994] Sean A, B C^∗-

´

algebras unitales, T : A → B un operador sim´etrico que preserva ortogonalidad y sea h = T (1). Entonces h conmuta con todos los elementos de T (A) y existe un ^∗-homomorfismo de Jordan

S : A → B^∗∗ tal que T = hS. 2

Conviene se˜nalar que hemos reformulado el resultado de Wolff para no tener que entrar en demasiado detalle.

Los resultados de Wolff fueron generalizados por M.A. Cheb- otar, W.F. Ke, P.H. Lee y N.C. Wong en [42, Theorem 4.6].

Destacamos que un operador linear y sim´etrico que preserva pro- ductos cero preserva tambi´en ortogonalidad. Sin embargo, si el operador no es sim´etrico ´esto deja de ser cierto (en general). As´ı, para generalizar los resultados de Wolff existen dos opciones:

bien considerar operadores que preservan productos cero, o bi- en considerar operadores que preservan ortogonalidad. En [42]

Chebotar, Ke, Lee y Wong optan por la primera opci´on. En este trabajo consideran operadores (no necesariamente sim´etri- cos) entre C^∗-´algebras que preservan productos cero. En dicho art´ıculo, consiguen dar una descripci´on similar a la de Wolff bajo ciertas hip´otesis adicionales (como sobreyectividad). Sin embar- go, como ellos mismos observan, “una descripci´on de estos ope- rador como m´ultiplos de un homomorfismo de Jordan no es, en general, posible” (ver [42, Ejemplo 4.8]).

En una C^∗-´algebra A podemos definir un producto triple {., ., .} : A × A × A → A mediante la expresi´on {a, b, c} = ¹₂(ab^∗c + cb^∗a).

La ortogonalidad en una C^∗-´algebra se puede caracterizar en t´erminos de este producto triple. Efectivamente, dos elementos a, b en A son ortogonales si, y s´olo si, {a, b, c} = 0, para todo c en A (cf. [34, Lemma 1]).

Sea T : A → B un operador entre C^∗-´algebras. Diremos que T es un triple homomorfismo, si T preserva el producto triple, esto es, si T ({a, b, c}) = {T (a), T (b), T (c)} para cualesquiera a, b, c en A.

A un elemento u de una C^∗-´algebra que verifique {u, u, u} = u se le denomina isometr´ıa parcial. En base a lo antes mencionado, es claro que todo triple homomorfismo preserva ortogonalidad.

Adem´as, se puede comprobar que el elemento h = T^∗∗(1) verifica {h, h, h} = h (esto es, h es una isometr´ıa parcial).

El rec´ıproco de este enunciado se debe a N.C. Wong (ver [184]).

Teorema 1.1.8 [N.C. Wong, Southeast J. Asian Bull. Math., 2005] Un operador T : A → B entre C^∗-algebras es un triple homomorfismo si, y s´olo si, preserva ortogonalidad y T^∗∗(1) es

una isometr´ıa parcial. 2

El problema de dar una descripci´on general de los operadores que preservan ortogonalidad entre C^∗-algebras permaneci´o abier- to hasta 2008. En este a˜no, y en colaboraci´on con los profesores M. Burgos, F.J. Fern´andez-Polo, J. Mart´ınez y A. M. Peralta conseguimos en [34] determinar los operadores que preservan ortogonalidad entre C^∗-´algebras, sin m´as hip´otesis que la con- tinuidad. Para ello resultan de gran utilidad herramientas como las formas sesquilineales ortogonales o los polinomios ortogonal- mente aditivos.

Recordemos que una forma sesquilineal Φ : A × A → C sobre una C^∗-´algebra es llamada ortogonal si Φ(a, b) = 0 para todo a, b en A con a ⊥ b. Una descripci´on general de estas formas fue obtenida por S. Goldstein en [83].

Teorema 1.1.9 [S. Goldstein, J. Funct. An., 1993] Sea A una C^∗-´algebra y sea Φ : A×A → C una forma sesquilinear ortogonal y continua. Entonces existen ψ₁, ψ₂ en A^∗ tales que

Φ(a, b) = ψ1(ab^∗) + ψ2(b^∗a),

para cualesquiera a, b en A. 2

Sean A una C^∗-´algebra y X un espacio de Banach. Por un polinomio n-homog´eneo X-valuado entenderemos una aplicaci´on X-valuada y continua P : A → X tal que existe un operador n-lineal T : A × . . . × A → X que satisface P (x) = T (x, . . . , x), para todo x en A. Diremos que un polinomio n-homog´eneo es ortogonalmente aditivo (respectivamente, ortogonalmente aditi- vo en Asa) si P (a + b) = P (a) + P (b) siempre que a ⊥ b en A (respectivamente, en A_sa).

Los polinomios n-homog´eneos ortogonalmente aditivos fueron en primer lugar estudiados en el ambiente de los ret´ıculos de Ba- nach por Y. Benyamini, S. Lassalle y J.G. Llavona y en el de las C^∗-´algebras abelianas (i.e. C(K) espacios) por D. P´erez e I.

Villanueva (ver [25] y [155], respectivamente).

La descripci´on de P´erez y Villanueva fue generalizada para C^∗-´algebras no necesariamente abelianas por C. Palazuelos, A.M.

Peralta e I. Villanueva en [148].

Teorema 1.1.10 [C. Palazuelos, A.M. Peralta, I. Villanueva, Quart. J. Math. Oxford, 2008] Sean A una C^∗-´algebra, X un espacio de Banach y P : A → X un polinomio n-homog´eneo

ortogonalmente aditivo. Entonces existe un operador F : A → X tal que

P (a) = F (aⁿ),

para todo a en A. 2

Otra de las herramientas fundamentales que nos permite obte- ner una descripci´on completa de los operadores que preservan ortogonalidad entre C^∗-´algebras es la estructura de JB^∗-triple asociada, de forma natural, a toda C^∗-´algebra.

Recordemos que un ´algebra de Jordan es un ´algebra (no nece- sariamente asociativa), (J, ◦), cuyo producto es conmutativo y verifica la propiedad

a ◦ (a²◦ b) = a²(a ◦ b),

para cualesquiera a, b en J . Una JB^∗-´algebra es un ´algebra de Jordan J dotada de una involuci´on y una norma completa que satisfacen los axiomas:

ka ◦ bk ≤ kakkbk y kU_a(a^∗)k = kak³,

para cualesquiera a, b en J (donde U_a(b) = 2a(a ◦ b) − b ◦ a²).

Las C^∗-´algebras y las JB^∗-´algebras (complejas) pertenecen a una clase m´as general de espacios de Banach, conocidos como JB^∗-triples.

Recordemos que sistema triple de Jordan normado (o simple- mente triple normado) es un espacio vectorial (real o complejo) normado, E, dotado de un producto triple {., ., .} : E × E × E → E, que es lineal y sim´etrico en las variables exteriores y conju- gado lineal en la variable interior (trilineal si E es un espacio vectorial real) que es norma-continuo y adem´as satisface la lla- mada identidad de Jordan:

L(a, b)L(x, y) = L(x, y)L(a, b) + L(L(a, b)x, y) − L(x, L(b, a)y),

donde L(a, b) es el operador en E que viene dado por L(a, b)x = {a, b, x} . Si adem´as E es completo entonces se dice que E es un sistema triple de Jordan-Banach.

Un tripotente en un triple de Jordan E es un elemento e de E verificando tal que {e, e, e} = e. Todo tripotente da lugar a una descomposici´on de E, conocida como descomposici´on de Peirce de E asociada a e, esto es,

E = E₂(e) ⊕ E₁(e) ⊕ E₀(e),

donde para cada i = 0, 1, 2, E_i(e) es el espacio propio asociado al valor propio ₂ⁱ del operador L(e, e). Los espacios Ei(e), i = 0, 1, 2 son conocidos como subespacios de Peirce asociados al tripotente e.

El espacio de Peirce E₂(e) puede ser dotado de estructura de algebra de Jordan con el producto x •ey := {x, e, y}. Adem´as la aplicaci´on x^]e := {e, x, e} es una involuci´on en E₂(e).

Un JB^∗-triple es un sistema triple de Jordan-Banach complejo E, que satisface los axiomas adicionales:

(a) L(a, a) es herm´ıtico con espectro no negativo, (b) kL(a, a)k = kak²,

para todo a en A.

Dado un elemento a de un JB^∗-triple E, existe un

Si E es un JB^∗-triple y e un tripotente de E, entonces E2(e) es una JB^∗-´algebra con el producto e involuci´on definidos ante- riormente (cf. [29]).

Algunos ejemplos particulares de JB^∗-triples fueron inicial- mente estudiados en trabajos precursores de O. Loos y K. Mc- Crimmon (ver [136]) y L.A. Harris en [90]. Sin embargo, la defini- ci´on general de JB^∗-triple fue introducida por W. Kaup en [119].

En dicho trabajo, Kaup prueba que la categor´ıa de los JB^∗-triples es equivalente a la de los dominios sim´etricos acotados en espa- cios de Banach complejos.

Aunque la motivaci´on inicial para introducir los JB^∗-triples fue el estudio de la holomorf´ıa en dimensi´on infinita. Estas es- tructuras algebraico-topol´ogicas r´apidamente cobraron relevan- cia por s´ı mismas y empezaron a ser estudiadas desde el punto de vista del An´alisis Funcional y el ´algebra.

Toda C^∗-´algebra (respectivamente, toda JB^∗-´algebra) es un JB^∗-triple para el producto

{a, b, c} := 1

2(ab^∗c + cb^∗a)

(respectivamente, {a, b, c} = (a ◦ b^∗) ◦ c + (c ◦ b^∗) ◦ a − (a ◦ c) ◦ b^∗).

Una de las ventajas de utilizar la estructura de JB^∗-triple en una C^∗-´algebra es la teor´ıa local de JB^∗-triples. Recordemos que si A es una C^∗-´algebra y a un elemento normal de A, entonces la C^∗-sub´algebra de A generada por a es^∗-isomorfa a un espacio C₀(L), para un cierto espacio topol´ogico localmente compacto Hausdorff L. Este hecho es utilizado por M. Wolff para probar su descripci´on de los operadores sim´etricos que preservan ortogo- nalidad (entre C^∗-´algebras unitales). El hecho de que, en general, la C^∗-sub´algebra generada por un elemento no necesariamente sim´etrico de una C^∗-´algebra no pueda ser descrita como un es- pacio C₀(L) dificulta el estudio de los operadores que preservan ortogonalidad cuando T (1) no es sim´etrico. La teor´ıa local es m´as satisfactoria cuando consideramos JB^∗-subtriples en lugar de C^∗-sub´algebras.

Sea E un JB^∗-triple e I un subespacio de I. Diremos que I es un subtriple de E si {I, I, I} ⊆ I. Dado un elemento x en E, el subtriple generado por x, E_x, es el menor subtriple norma-cerrado de E que contiene a x. El subtriple generado por

un elemento de un JB^∗-triple siempre se puede identificar con un espacio C₀(L), para un cierto espacio topol´ogico localmente compacto Hausdorff L ⊆ [0, kxk], tal que L ∪ {0} es compacto (ver [118, 4.8], [119, 1.15] y [70]).

Este hecho permite definir un c´alculo funcional triple en todo elemento de un JB^∗-triples. As´ı, dado un elemento x de un JB^∗-triple E, existe un ´unico elemento y ∈ E_x que satis- face {y, y, y} = x. El elemento y, que denotaremos x^[13], es de- nominado ra´ız c´ubica de x. Definimos inductivamente, x^{[3n1 ]} =



x^{[3n−11 ]}[¹₃]

, n ∈ N. La sucesi´on (x^{[3n1 ]}) converge en la topolog´ıa d´ebil^∗ de E^∗∗ a un tripotente que denotaremos por r(x) y lla- maremos el tripotente rango de x. El tripotente rango r(x) es el menor tripotente e ∈ E^∗∗ tal que x es positivo en la JBW^∗-´alge- bra E₂^∗∗(e) (ver [56, Lemma 3.3]).

Dos elementos a y b de un JB^∗-triple son llamados ortogonales si L(a, b) = 0. Como ya hemos mencionado con anterioridad, si A es una C^∗-´algebra entonces ab^∗ = b^∗a = 0 si, y s´olo si, L(a, b) = 0.

Es decir, el concepto de ortogonalidad en una C^∗-´algebra coincide con el que ´esta hereda de su estructura de JB^∗-triple.

Sea J un ´algebra de Jordan y a en J . Definimos el operador de multiplicaci´on M_a : J → J mediante M_a(b) = a ◦ b. Diremos que dos elementos a, b de J conmutan como operadores si M_aM_b = MbMa.

Resultados sobre formas sesquilineales ortogonales y poli- nomios ortogonalmente aditivos, as´ı como la teor´ıa de JB^∗-triples fueron herramientas cruciales gracias a las que fuimos capaces de describir los operadores que preservan ortogonalidad en C^∗-´alge- bras en [34]. La caracterizaci´on que a continuaci´on presentamos generaliza los resultados de Wolff y Wong mencionados anteri- ormente.

Teorema 1.1.11 [M. Burgos, F.J. Fern´andez-Polo, J. Garc´es, J. Mart´ınez-Moreno, A.M. Peralta, J. Math. Ann. Applic., 2008]

Sea T : A → B un operador que preserva ortogonalidad entre dos C^∗-´algebras y sea h = T^∗∗(1). Entonces

a) h^∗T (z) = T (z^∗)^∗h, hT (z^∗)^∗ = T (z)h^∗,

b) r(h)^∗T (z) = T (z^∗)^∗r(h), y r(h)T (z^∗)^∗ = T (z)r(h)^∗.

Adem´as, existe un triple homomorfismo S : A → B^∗∗ tal que T (z) = L(h, r(h))S(z) = 1

2(hr(h)^∗S(z) + S(z)r(h)^∗h)

para todo a ∈ A. 2

Sea T : E → F una aplicaci´on lineal entre JB^∗-triples. Di- remos que T preserva triples productos cero si para x, y, z ∈ E, {x, y, z} = 0 implica {T (x), T (y), T (z)} = 0. Es claro que todo operador que preserva productos triples cero preserva tambi´en ortogonalidad. Rec´ıprocamente, si el operador act´ua entre C^∗-

´

algebras el Teorema 1.1.11 garantiza que T preserva tambi´en productos triples cero.

Corolario 1.1.12 [M. Burgos, F.J. Fern´andez-Polo, J. Garc´es, J. Mart´ınez-Moreno, A.M. Peralta, J. Math. Ann. Applic., 2008]

Sea T : A → B un operador entre dos C^∗-´algebras. Entonces T preserva ortogonalidad si, y s´olo si, T preserva productos triples

cero. 2

Es f´acil comprobar que para que un operador entre ´algebras de Banach sea un homomorfismo de Jordan, es suficiente que ´este preserve cuadrados (cuadrados de elementos sim´etricos si se trata de C^∗-´algebras o JB^∗-´algebras). El lector podr´ıa preguntarse si un resultado similar es cierto para triples homomorfismos entre

C^∗-´algebras. En la prueba del Teorema 1.1.8 N.C. Wong afirma que esto es cierto, aunque no da una referencia de este hecho. En [34] demostramos esta afirmaci´on. Conviene destacar que para probar este resultado, el mero uso de identidades algebraicas parece no ser suficiente (contrariamente a lo que ocurre con los homomorfismos de Jordan).

Corolario 1.1.13 [M. Burgos, F.J. Fern´andez-Polo, J. Garc´es, J. Mart´ınez-Moreno, A.M. Peralta, J. Math. Ann. Applic., 2008]

Sean A una C^∗-algebra, E un JB^∗-triple y T : A → E un ope- rador. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. T es un triple homomorfismo.

2. T ({a, a, a}) = {T (a), T (a), T (a)}, para todo a en A_sa. 3. T preserva ortogonalidad en A_sa y T^∗∗(1) es una isometr´ıa

parcial. 2

En [34] tambi´en estudiamos los operadores que preservan or- togonalidad entre una JB^∗-´algebra y un JB^∗-triple y conseguimos describirlos asumiendo algunas hip´otesis adicionales sobre el el- emento T^∗∗(1). Sin embargo, una descripci´on general quedar´ıa como problema abierto.

Un poco m´as tarde, en colaboraci´on con M. Burgos, F.J.

Fern´andez-Polo y A.M. Peralta, resolvimos el problema gen- eral en [35]. En este trabajo demostramos adem´as que el uso del ´algebra de multiplicadores permite asumir, en el estudio de polinomios n-homog´eneos ortogonalmente aditivos u operadores que preservan ortogonalidad, que el ´algebra de partida es unital.

Gracias a esto damos una prueba simplificada de los resultado de Palazuelos, Peralta y Villanueva sobre polinomios ortogonal- mente aditivos.

En cuanto a los operadores que preservan ortogonalidad, con- seguimos generalizar la descripci´on al ambiente de las JB^∗-´alge- bras con el siguiente resultado:

Teorema 1.1.14 [M. Burgos, F.J. Fern´andez-Polo, J. Garc´es, J. Mart´ınez-Moreno, A.M. Peralta, J. Math. Ann. Applic., 2008]

Sea T : J → E un operador de una JB^∗-´algebra J y un JB^∗-triple E y sea h = T^∗∗(1). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) T preserva ortogonalidad.

b) Existe un ^∗-homomorfismo de Jordan unital S : M (J ) → E₂^∗∗(r(h)) tal que S(x) y h conmutan como operadores y

T (x) = {h, r(h), S(x)} = h •_r(h)S(x),

para todo x ∈ J. 2

Es claro que como consecuencia del teorema anterior todo operador que preserva ortogonalidad preserva productos triples cero.

Corolario 1.1.15 [M. Burgos, F.J. Fern´andez-Polo, J. Garc´es, J. Mart´ınez-Moreno, A.M. Peralta, J. Math. Ann. Applic., 2008]

Sea T : J → E un operador de una JB^∗-´algebra J en un JB^∗- triple E. Entonces T preserva ortogonalidad si, y s´olo si, preser-

va productos triples cero. 2

Una vez descritos los operadores que preserva ortogonali- dad nos interesamos en problemas de continuidad autom´atica.

El Cap´ıtulo 4 de esta memoria est´a dedicado a exponer varios resultados de continuidad autom´atica para aplicaciones lineales que preservan ortogonalidad obtenidos en colaboraci´on con M.

Burgos y A.M. Peralta en [38] y [39].

Como ya hemos mencionado, es conocido que en algunos ambientes toda biyecci´on que preserva ortogonalidad o es se- paradora y cuya inversa tiene la misma propiedad (llamadas aplicaciones que preservan ortogonalidad en ambos sentidos o biseparadoras, respectivamente), es autom´aticamente continua.

En algunos casos, como los espacios C(K), es suficiente que la aplicaci´on lineal preserve ortogonalidad y sea biyectiva, como demostr´o K. Jarosz en [100]. Estos resultados han dado lugar a la conjetura que afirma que toda aplicaci´on que preserva or- togonalidad en ambos sentidos o es biseparadora (considerando el concepto de ortogonalidad adecuado al ambiente en que se trabaje) debe ser autom´aticamente continua. Esta conjetura ha sido estudiada y confirmada en muchos casos particulares.

En [12], J. Araujo y K. Jarosz demuestran que toda apli- caci´on biseparadora entre ´algebras est´andar de operadores (es- to es, sub´algebras de L(X) que contienen a los operadores de rango finito y la identidad, siendo X un espacio de Banach) es autom´aticamente continua. En dicho art´ıculo Araujo y Jarosz conjeturan que toda aplicaci´on biseparadora entre C^∗-´algebras es autom´aticamente continua.

Sea T : A → B una aplicaci´on lineal entre C^∗-´algebras. Dire- mos que T preserva ortogonalidad en ambas direcciones si tiene la propiedad

a ⊥ b ⇐⇒ T (a) ⊥ T (b).

La pregunta es, claro est´a, si toda biyecci´on lineal que preser- va ortogonalidad en ambas direcciones (ya sea entre C^∗-´algebras, JB^∗-´algebra o JB^∗-triples) es autom´aticamente continua. Es f´acil comprobar que toda aplicaci´on lineal que preserva ortogonalidad en ambas direcciones es inyectiva, as´ı que esta hip´otesis es de he- cho superflua.

En [38] estudiamos aquellas aplicaciones entre C^∗-´algebras

que preservan ortogonalidad en ambos sentidos.

Sean A un ´algebra de Banach y a un elemento de A. Decimos que a es compacto si el operador x 7→ axa es un operador com- pacto. Un ´algebra de Banach es compacta si todos sus elementos son compactos. Las C^∗-´algebras compactas fueron descritas por J.C. Alexander en [7] en la forma que exponemos a continuaci´on.

Dado un espacio de Hilbert complejo, denotamos por K(H) al espacio de los operadores compactos en H. Si A es una C^∗-´alge- bra compacta, entonces existe una familia de espacios de Hilbert complejos (H_λ) tal que A ∼=Lc0

λ K(H_λ).

En [38] probamos que toda aplicaci´on lineal entre C^∗-´algebras compactas que preserva ortogonalidad en ambas direcciones y es sobreyectiva es autom´aticamente continua.

Teorema 1.1.16 [M. Burgos, J. Garc´es, A.M. Peralta, J. Math.

Ann. Appl., 2010] Toda aplicaci´on lineal y sobreyectiva entre C^∗-

´

algebras compactas que preserva ortogonalidad en ambas direc-

ciones es continua. 2

Ejemplos de C^∗-´algebras en las que todo elemento puede es- cribirse como una combinaci´on lineal finita proyecciones ha sido descritos en [82], [138], [139] y[150]. Sorprendentemente, toda aplicaci´on lineal que preserva ortogonalidad desde una de es- tas C^∗-´algebras (siempre que ´esta sea unital) en otra C^∗-´algebra cualquiera es autom´aticamente continua.

Teorema 1.1.17 [M. Burgos, J. Garc´es, A.M. Peralta, J. Math.

Ann. Appl., 2010] Sea A una C^∗-´algebra unital en la que todo elemento puede expresarse como una combinaci´on lineal finita de proyecciones. Entonces toda aplicaci´on lineal desde A en otra C^∗-´algebra que preserva ortogonalidad es continua. 2

Recordemos que un ´algebra de von Neumann es una C^∗-´alge- bra que es un espacio de Banach dual. Es bien conocido que toda

´

algebra de von Neumann es unital.

Dos proyecciones p, q en un ´algebra de von Neumann A son Murray-von Neumann equivalentes si existe una isometr´ıa par- cial u ∈ A tal que u^∗u = p and uu^∗ = q. Denotaremos este hecho por p ∼ q. Si en cambio p es equivalente a una proyecci´on q₁ ≤ q, entonces escribiremos p . q.

Diremos que una proyecci´on q es finita si p ∼ q ≤ p implica p = q. Un ´algebra de von Neumann es finita si su unidad lo es.

Proposition 1.1.1 [M. Burgos, J.J. Garces and A.M. Peralta, J. Math. Ann. Applic., 2010] Toda aplicaci´on lineal y sobreyectiva entre ´algebras de von Neumann, una de las cuales es finita, que preserva ortogonalidad en ambas direcciones es continua. 2 Usando el Teorema 1.1.17, la Proposici´on 1.1.1, la descom- posici´on de Murray-von Neumann de un ´algebra de von Neu- mann, as´ı como la descripci´on de operadores que preservan or- togonalidad entre C^∗-´algebras conseguimos el siguiente resultado de continuidad autom´atica en el ambiente de las ´algebras de von Neumann:

Teorema 1.1.18 [M. Burgos, J. Garc´es, A.M. Peralta, J. Math.

Ann. Appl., 2010] Todo aplicaci´on lineal y sobreyectiva entre

´

algebras de von Neumann que preserva ortogonalidad en ambas direcciones es autom´aticamente continua. 2 Posteriormente estudiamos continuidad autom´atica en algunos casos particulares de JB^∗-triples (ver [39]).

Un elemento x de un JB^∗-triple E se dice d´ebilmente com- pacto si el operador Q(x) : E → E, dado por Q(x)y = {x, y, x}

es d´ebilmente compacto. Un JB^∗-triple es d´ebilmente compacto

si todos sus elementos son d´ebilmente compactos. Los JB^∗-triples d´ebilmente compactos fueron descritos por L. Bunce y C.H. Chu en [31]. ´Estos son c0-sumas de un tipo especial de JB^∗-triples llamados JB^∗-triples elementales. Un JB^∗-triple elemental es el espacio de los elementos d´ebilmente compactos de alg´un “factor de Cartan” (ver Cap´ıtulo4para una descripci´on detallada de los mismos).

Conviene se˜nalar que todo espacio de Hilbert complejo es un factor de Cartan (y un JB^∗-triple elemental). Adem´as, su rango (el cardinal del mayor subconjunto de H en el que sus elementos son mutuamente ortogonales) es uno, as´ı que toda aplicaci´on li- neal en H preserva ortogonalidad. Es claro que si H tiene dimen- si´on infinita podemos encontrar una biyecci´on lineal discontinua en H, por tanto en este caso no es cierto que toda aplicaci´on lineal desde H en un JB^∗-triple que preserve ortogonalidad en ambas direcciones sea continua.

Teorema 1.1.19 [M. Burgos, J. Garc´es, A.M. Peralta, Studia Math., 2011] Toda aplicaci´on lineal entre JB^∗-triples d´ebilmente compactos (que no contengan sumandos de rango 1) que preserva ortogonalidad en ambas direcciones es continua. 2 Un JBW^∗-triple, esto es, un JB^∗-triple que es un espacio de Banach dual, es un factor si no contiene ideales (triples) propios d´ebil^∗-cerrados. Los factores de Cartan se pueden clasificar (salvo isomorfismos) en 6 tipos diferentes (ver [122],[72] o el Cap´ıtulo 4, donde ´estos se describen detalladamente).

En este trabajo tambi´en consideramos operadores que preser- van ortogonalidad entre JBW^∗-triples at´omicos. Recordemos que todo JBW^∗-triple at´omico es una l∞-suma de factores de Cartan (ver [72]).

Es bien sabido que el predual de L(H) (donde H es un espacio de Hilbert complejo) coincide con los llamados operadores clase- traza. Un resultado de independiente inter´es obtenido en este trabajo es la descripci´on del predual de los factores de Cartan de tipo 1, 2 y 3 (ver [39, Proposition 5.1]). Un tripotente e en un JB^∗-triple E es llamado minimal si E2(e) ∼= Ce.

Proposici´on 1.1.20 [M. Burgos, J. Garc´es, A.M. Peralta, Stu- dia Math., 2011] Sea C un factor de Cartan de dimensi´on in- finita y de tipo 1, 2 ´o 3. Para cada ϕ ∈ C∗, existen una sucesi´on (λ_n) ∈ l₁ y una sucesi´on (u_n) de tripotentes minimales mutua- mente ortogonales en C tales que

kϕk =

∞

X

n=1

|λn| and ϕ(x) = X

n

λnϕn(x) (x ∈ C)

donde para cada n ∈ N, ϕn(x)u_n = P₂(u_n)(x) (x ∈ C), donde P₂(u_n) es la proyecci´on de E en E₂(u_n). 2 Los resultados de continuidad para aplicaciones lineales entre JB^∗-triples d´ebilmente compactos que preservan ortogonalidad en ambas direcciones, as´ı como la anteriormente mencionada de- scripci´on de los preduales de los factores de Cartan de tipo 1,2 y 3 son algunas de las herramientas que nos permiten probar el siguiente resultado:

Teorema 1.1.21 [M. Burgos, J. Garc´es, A.M. Peralta, Studia Math., 2011] Toda aplicaci´on lineal y sobreyectiva entre JBW^∗- triples at´omicos (que no tengan sumandos de rango 1) que preser- va ortogonalidad en ambas direcciones es continua. 2 El Cap´ıtulo 5 de esta memoria est´a dedicado al Teorema de Kaplasnsky en JB^∗-triples. Merece la pena destacar que este re- sultado adem´as de ser importante por s´ı mismo, permitir´a (co- mo se expone en el Cap´ıtulo 6) obtener caracterizaciones de los

triples homomorfismos d´ebilmente compactos, claves para la de- scripci´on de los operadores que preservan ortogonalidad y son d´ebilmente compactos.

Los antecedentes del Teorema de Kaplansky se remontan a 1940, cuando M. Eidelheit demostr´o que L(X) (siendo X un espacio de Banach) tiene una ´unica norma completa que lo con- vierte en un ´algebra de Banach (ver [59]). Es en 1949 cuando I.

Kaplansky obtiene el famoso resultado que lleva su nombre.

Teorema 1.1.22 [I. Kalplansky, Duke Math., 1949 ] Sea k.k un norma en C(K) con la propiedad kf gk ≤ kf kkgk, para cua- lesquiera f, g ∈ C(K). Entonces k.k∞≤ k.k, donde k.k∞ denota

a la norma del supremo en C(K). 2

Como consecuencia del Teorema de Kaplansky, toda norma multiplicativa que sea k.k∞-continua, es equivalente a k.k∞.

Posteriormente W.G. Bade y P.C. Curtis o C.E. Rickart dan varios ejemplos de ´algebras de Banach con esta propiedad (ver [16] y [159]). Uno de los resultados m´as importantes es el obtenido por B.E. Johnson en [105], donde prueba que toda ´algebra de Ba- nach semisimple tiene una ´unica norma de ´algebra de Banach.

Es f´acil comprobar que el Teorema de Kaplansky es equiva- lente al siguiente enunciado: Todo monomorfismo en C(K) est´a acotado inferiormente.

Un ´algebra de Banach A, con norma k.k tiene la propiedad de minimalidad de la topolog´ıa de norma (MOANT), si para cualquier otra norma multiplicativa k.k2 en A tal que k.k2 ≤ k.k se tiene que M k.k ≤ k.k₂, para alg´un M > 0. Si adem´as k.k₂ = k.k, diremos que A tiene la propiedad de minimalidad de la norma.

Como consecuencia del Teorema de Kaplansky, C(K) tiene la propiedad de minimalidad de la topolog´ıa de la norma.

Una generalizaci´on del Teorema de Kaplansky para C^∗-´alge- bras (no necesariamente abelianas) fue obtenida por S. Cleven- land en [46]. La correspondiente versi´on en el ´ambito de las JB^∗-

´

algebras se debe a A. Bensebah [24]. Este autor adem´as deja abierto el problema de si las JB^∗-´algebras tienen la propiedad de minimalidad de la norma.

Un respuesta afirmativa para esta pregunta fue dada por J.

P´erez, L. Rico y A. Rodr´ıguez-Palacios en [154] (de hecho, este resultado es probado en el ambiente m´as general de las JB^∗-´alge- bras no conmutativas). S. Hejazian y A. Nikman dieron tambi´en una demostraci´on alternativa del Teorema de Kaplansky para JB^∗-´algebras en [92].

Sea E un sistema triple de Jordan normado con norma k.k.

Diremos que E tiene la propiedad de minimalidad de la topolog´ıa de la norma triple (MTNT), si para toda norma triple k.k₁ en E (esto es, para toda norma que verifique k{x, y, z}k₁ ≤ kxk₁kyk₁kzk₁) tal que k.k₁ ≤ k.k se tiene que ´esta es equivalente a la norma de E. Equivalentemente, E tiene la propiedad MT- NT si todo triple monomorfismo continuo T de E en otro triple normado est´a acotado inferiormente (esto es, existe M > 0 tal que M kxk ≤ kT (x)k, ∀x ∈ E).

K. Bouhya y A. Fern´andez demostraron que todo JB^∗-triple (complejo) tiene la propiedad de minimalidad de la topolog´ıa de la norma triple (ver [28]). En [62] damos una versi´on m´as general del Teorema de Kaplansky para JB^∗-triples eliminando algunas de las hip´otesis que impon´ıan Bouhya y Fern´andez y extendiendo su resultado al caso de los JB^∗-triples reales.

Recordemos un JB^∗-triple real es un subtriple real (es decir, un subespacio real que es adem´as un subtriple) de un JB^∗-triple complejo (ver [95]).

Un J*B-triple es un sistema triple de Jordan Banach real

cuya norma satisface la propiedad k{a, a, a}k = kak³ y los ax- iomas adicionales:

(J^∗B1) k{x, y, z}k ≤ kxkkykkzk;

(J^∗B2) σ^C_L(E)(L(x, x)) ⊂ [0, +∞) para todo x ∈ E;

(J^∗B3) σ^C_L(E)(L(x, y) − L(y, x)) ⊂ iR para cualesquiera x, y ∈ E.

La clase de los J^∗B-triples incluye a la de los JB^∗-triples reales y complejos.

En uno de los resultados principales de [62] demostramos que todo J^∗B-triple tiene la propiedad MTNT. Sin embargo, recorde- mos que el Teorema de Kaplansky aseguraba que la norma de C(K) tiene una propiedad m´as fuerte, y es que toda norma mul- tiplicativa k.k en C(K) (no necesariamente k.k∞-continua) veri- fica que M k.k∞≤ k.k, para alg´un real positivo M . Equivalente- mente, todo triple monomorfismo (no necesariamente continuo) de C(K) en un triple normado est´a acotado inferiormente.

En [62] demostramos que los J^∗B-triples tambi´en tienen esta propiedad. Para ello usamos una estrategia cl´asica: los espacios separantes.

Teorema 1.1.23 [F.J. Fern´andez-Polo, J.J. Garc´es, A.M. Per- alta, Proc. AMS, 2012] Sea T : E → F un triple monomorfismo de un JB^∗-triple complejo o un J^∗B-triple real en un triple nor- mado. Entonces T est´a acotado inferiormente. 2

En el Cap´ıtulo 6 de esta memoria volvemos al estudio de los operadores que preservan ortogonalidad. En este caso nos pro- ponemos describir los operadores que preservan ortogonalidad y tienen la propiedad adicional de ser d´ebilmente compactos.

Para estudiar los operadores d´ebilmente compactos que preser- van ortogonalidad necesitamos en primer lugar estudiar los triples homomorfismos. Es bien sabido que un homomorfismo desde una C^∗-´algebra es d´ebilmente compacto si, y s´olo si, su imagen tiene dimensi´on finita (ver [78] y [140]).

En [63] generalizamos los resultados sobre homomorfismos d´ebilmente compactos desde una C^∗-´algebra al ´ambito de los triples homomorfismos desde un JB^∗-triple. Una de las herramien- tas que nos permiten caracterizar los triples homomorfismos d´ebil- mente compactos desde un JB^∗-triple es precisamente el Teorema de Kaplansky para JB^∗-triples (o J^∗B-triples reales).

Teorema 1.1.24 [F.J. Fern´andez-Polo, J.J. Garc´es, A.M. Per- alta, Math. Z., 2012] Sea T un triple homomorfismo de un JB^∗- triple real o complejo en un triple normado. Entonces la imagen

de T es un triple normado reflexivo. 2

Como consecuencia (aunque no inmediata), conseguimos de- mostrar que la imagen de un triple homomorfismo d´ebilmente compacto desde una C^∗-´algebra es tambi´en finito dimensional.

Sin embargo, existen JB^∗-´algebras y JB^∗-triples reflexivos de di- mensi´on infinita, por tanto la imagen de un triple homomorfismo desde una JB^∗-´algebra o un JB^∗-triple no es, en general, finito dimensional.

Sea T : A → B un operador que preserva ortogonalidad entre C^∗-´algebras. Puesto que T es, esencialmente, un m´ultiplo de un triple homomorfismo, podr´ıamos pensar que si T es d´ebilmente compacto, entonces deber´ıa tener imagen finito dimensional. En [63] mostramos con un ejemplo que esto no es, en general, cierto.

Parece que el primero en consider los operadores d´ebilmente compactos que preservan ortogonalidad entre C^∗-´algebras fue M.

Wolff (cf. [183]). Aunque no consigue una descripci´on de ´estos

s´ı comenta al final de [183] art´ıculo que su caracterizaci´on (ver Teorema 1.1.7) podr´ıa, en principio, usarse para determinar la forma de un operador sim´etrico que preserva ortogonalidad, para a continuaci´on afirmar que esto podr´ıa ser “algo engorroso”.

En el caso abeliano los operadores d´ebilmente compactos que preservan ortogonalidad fueron descritos satisfactoriamente por Y.F. Lin y Ng.-Ch. Wong en [133].

Teorema 1.1.25 [Y.F. Lin, N.C. Wong, Math. Nachr., 2009]

Sea T : C0(L1) → C0(L2) un operador que preserva ortogonali- dad. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. T es completamente continuo.

2. T es d´ebilmente compacto.

3. T es compacto.

4. Existe una sucesi´on (a lo sumo numerable) {x_n} de puntos de L₂ y una sucesi´on {h_n} en C₀(L₁) de funciones dos a dos ortogonales tales que

T f =X

n

f (x_n)h_n, para toda f ∈ C₀(L₁).

En caso de haber un n´umero infinito de puntos {xn} y funciones {h_n}, entonces kh_nk → 0. 2 Es interesante mencionar que el resultado de Lin y Wong es una generalizaci´on al caso no unital de un precedente establecido por H. Kamowitz en [115].

En [63] conseguimos generalizar esta descripci´on al ´ambito de las C^∗-´algebras y las JB^∗-´algebras. Para obtener la caracter- izaci´on que a continuaci´on presentamos, las herramientas fun- damentales son los anteriormente mencionados resultados sobre

triples homomorfismo d´ebilmente compactos, el Teorema de Ka- plansky para JB^∗-triples y la caracterizaci´on de los operadores que preservan ortogonalidad entre C^∗-´algebras obtenida en [34].

Teorema 1.1.26 [F.J. Fern´andez-Polo, J.J. Garc´es, A.M. Per- alta, Math. Z., 2012] Sean A una C^∗-´algebra, E un JB^∗-triple, T : A → E un operador d´ebilmente compacto que preserva or- togonalidad. Sea r = r(h) el tripotente rango de h = T^∗∗(1) ∈ E.

Entonces existe una familia a lo sumo numerable, {In}, de ide- ales C^∗ mutuamente ortogonales en A^∗∗, una familia {S_n : A^∗∗→ E₂^∗∗(r)} de ^∗-homomorfismos de Jordan y una sucesi´on {x_n} de elementos de E mutuamente ortogonales tales que:

(a) Cada In es un factor von Neumann de tipo I finito;

(b) kxnk → 0 y h =P

nxn;

(c) Sn|In es un ^∗-monomorfismo, Sn|_In^⊥ = 0, Sn y Sm tienen im´agenes ortogonales siempre que n 6= m;

(d) Para cada x en A^∗∗, x_n y S_m(x) conmutan como operadores, para cualesquiera n y m;

y

T (x) =

∞

X

n=1

L(x_n, r)S_n(x) =

∞

X

n=1

x_n•_rS_n(x), (1.1)

para todo x ∈ A. 2

Puesto que todo factor de von Neumann de tipo I irreducible en C₀(L)^∗∗ es isomorfo a C, es claro que la descripci´on dada por el Teorema anterior generaliza la establecida por Lin y Wong en [134]. En este trabajo Lin y Won prueban tambi´en que estos operadores factorizan a trav´es de c₀.

Conviene destacar que, como consecuencia de nuestro resul- tado se puede ver que, en general, un operador d´ebilmente com- pacto que preserva ortogonalidad entre C^∗-´algebras no necesari- amente factoriza a trav´es de c₀.

Teorema 1.1.27 [F.J. Fern´andez-Polo, J.J. Garc´es, A.M. Per- alta, Math. Z., 2012] Sea T un operador que preserva ortogo- nalidad desde una C^∗-´algebra en un JB^∗-triple. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. T es compacto.

2. T es d´ebilmente compacto.

3. T admite una factorizaci´on a trav´es de una c₀-suma de la forma

c0

M

n

M_mn(C),

donde (m_n) es una sucesi´on de n´umeros naturales. 2 En [63] tambi´en caracterizamos los operadores d´ebilmente compactos que preservan ortogonalidad entre una JB^∗-´algebra y un JB^∗-triple. Una prueba similar a la del caso de las C^∗-´algebras, y el uso de la caracterizaci´on de los operadores que preservan or- togonalidad desde una JB^∗-´algebra, as´ı como los resultados antes expuestos sobre triples homomorfismos y tambi´en el Teorema de Kaplansky para JB^∗-triples permiten establecer:

Teorema 1.1.28 [F.J. Fern´andez-Polo, J.J. Garc´es, A.M. Per- alta, Math. Z., 2012] Sean A una JB^∗-´algebra, E un JB^∗-triple, T : A → E un operador d´ebilmente compacto que preserva or- togonalidad y r = r(h) el tripotente rango de h = T^∗∗(1) ∈ E.