Asignatura:
CÁLCULO I
Mayo 2019
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Contribuir al desarrollo del intelecto y de la capacidad analítica del estudiante, potenciando facultades cognitivas de orden superior y la
abstracción.
• Aplicar las propiedades que rigen a los límites
• Obtener puntos de discontinuidad para una función.
• Aplicar las propiedades básicas de diferenciación y calcula derivadas de orden superior.
• Resolver problemas de ingresos, costos y utilidad marginal, maximización, minimización, logística, transporte y elasticidad, punto de equilibrio y producción.
• Analizar función real de una variable, sus comportamientos y discrepancias mediante procedimientos analíticos y gráficos.
• Obtener nuevas funciones a partir de otras funciones dadas. Utiliza las funciones para resolver problemas de aplicación en diferentes contextos
• Utilizar distintos métodos para comunicarse de forma efectiva con la comunidad de ingenieros y con la sociedad en general
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La metodología que se aplicará, en la carrera, estará basada en el manejo de herramientas y materiales didácticos previos al reconocimiento de los diferentes tipos de datos abstractos.
En el despliegue metodológico se incorpora el manejo de métodos y técnicas, uso de equipos, herramientas, instrumentos y materiales relacionados a los objetivos, contenidos y secuencia de actividades. Además, hay que tomar muy en cuenta los espacios, tiempos, tipo de interrelaciones y vivencias entre estudiantes y con el profesor, participación, roles de otros actores y factores que van a permitir desplegar el proceso de desarrollo curricular de manera que favorezca el aprendizaje y la formación integral y holística.
Formas
Conferencias
Talleres
Clases prácticas
Medios
Bases de libros (biblioteca virtual)
Laboratorios de computación
Software de aplicación
Internet.
• El ingreso de los estudiantes al aula de clases será puntual.
• Al inicio de cada clase se hará un repaso de lo tratado en
la clase inmediatamente anterior, y al final de la misma
se procederá a realizar un resumen y definir los
objetivos del capítulo tratado.
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• Al final de la clase se proporcionará los datos de la lectura necesaria para profundizar lo tratado en clase, lo cual se revisará al inicio de la clase siguiente.
• Participación activa de los estudiantes mediante talleres de trabajo durante cada capítulo.
• El estudiante para aprobar el curso, deberá asistir a un mínimo del 80% de las horas programadas para el mismo.
• Queda terminantemente prohibido hacer uso de teléfonos
celulares dentro de clases o realizar cualquier otra
actividad fuera de ella, sin que ésta sea absolutamente
necesaria, previa autorización del profesor.
En este enfoque metodológico el docente actúa como un facilitador, que explora los conocimientos previos que tienen los estudiantes sobre el tema, y guía la construcción de los conocimientos de manera individual y en grupos, vinculando de manera sistemática la teoría con la práctica.
Se refuerza la relación de la teoría con la práctica y las
habilidades de los estudiantes de desarrollar proyectos en
relación a los contenidos específicos de cada materia.
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• La presentación de deberes y trabajos tiene carácter obligatorio, en caso de incumplimiento se impondrán sanciones en la nota de actividades.
Actividades
• Los trabajos de investigación se calificarán sobre un total de 30 puntos desglosado de la siguiente manera:
a. Talleres y Análisis de Casos 10 puntos b. Investigaciones y Deberes 10 puntos
c. Exposiciones/recursos utilizados 10 puntos
• La nota mínima para aprobar el curso es 70.
• Los exámenes se rendirán en la fecha previamente establecida por el Decanato de la Facultad, y no se aceptará a ningún estudiante postergación ni anticipación de dicha evaluación, sin una justificación de fuerza mayor previamente aprobada por la Comisión Académica de la Facultad. En éste caso únicamente se aprobará la toma del examen supletorio.
• Se regirá por el Reglamento de la Universidad
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CALIFICACIÓN
ACTIVIDADES 30
PRIMER EXAMEN 15
SEGUNDO EXAMEN 15
EXAMEN FINAL 40
NOTA FINAL 100
Se tendrá en cuenta en el proceso de evaluación:
la aplicación de la autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA II
REVISIÓN DE PRECÁLCULO
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA II
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ECUACIONES LINEALES
Es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la expresión general:
donde x es la variable,
y a, b y c constantes; a es
el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal, y c es el término independiente.
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LEY DE EXPONENCIALES
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
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LEY DE SENOS Y COSENOS
Teorema del seno:
Teorema del coseno:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA II
U.A. 1.0 LÍMITES Y CONTINUIDAD
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El concepto de límite, después del de función, es el fundamento matemático más importante que ha cimentado los estudios y solución de problemas que se presentan, a través de la utilización de la ciencia matemática como herramienta del ingenio humano.
Este concepto, junto con el de continuidad, conforman una pareja indisoluble, tal que para que ésta exista, debe existir aquél.
1.1 INTERVALOS Y ENTORNOS
La recta de los números reales los divide en tres clases: los números reales negativos, son las coordenadas de puntos que se encuentran a la izquierda del origen O; el número real cero, es la coordenada del origen O; los números reales positivos, son las coordenadas de los puntos ubicados a la derecha del origen O.
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Sean a y b dos números reales. Si la diferencia a - b es positiva, entonces decimos que a es mayor que b y escribimos a > b.
De manera alterna, si a - b es positivo, también podemos decir que b es menor que a y escribimos b < a.
Por tanto, a > b y b < a son proposiciones equivalentes.
1.1 INTERVALOS Y ENTORNOS
Sobre la recta de los números reales, si a > b, el punto con coordenada a está a la derecha del punto con coordenada b. Por ejemplo, 0 > -1.
a > 0 es equivalente a que a sea positiva a < 0 es equivalente a que a sea negativa
Si la diferencia a - b de dos números reales es positiva o cero, esto es, si a> b o a = b, entonces decimos que a es mayor que o igual a b y escribimos a ≥ b.
Proposiciones de la forma a < b o b > a son denominadas desigualdades estrictas;
De manera alterna, si a ≥ b, también podemos decir que b es menor que o igual a a y escribimos b ≤ a.
1.1 INTERVALOS Y ENTORNOS
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Si x es un número real y x ≥ 0, entonces x es positivo o bien es cero, o simplemente x es no negativo.
Las desigualdades son útiles para representar ciertos subconjuntos de números reales.
Para hacerla pueden utilizarse otras variaciones de la notación de desigualdades.
Ejemplos:
a) En la desigualdad x > 4, x es cualquier número mayor que 4.
b) En la desigualdad 4 < x ≤ 6, x es cualquier número entre 4 y 6, incluso 6, pero excluyendo a 4.
1.1 INTERVALOS Y ENTORNOS
INTERVALOS:
Sean a y b dos números reales con a < b: un intervalo cerrado denotado por [a, b], consta de todos los números reales x para los cuales a ≤ x ≤ b.
Un intervalo abierto, denotado por (a, b), consta de todos los números reales x para los cuales a < x < b.
Los intervalos semiabiertos o semicerrados son (a, b ], constituidos por todos los números reales x para los cuales a < x ≤ b, ó [a, b), integrados por todos los números reales x para los cuales a ≤ x < b.
En cada una de estas, definiciones a es el extremo izquierdo y b el extremo 1.1 INTERVALOS Y ENTORNOS
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INTERVALOS:
Sean a y b dos números reales con a < b: un intervalo cerrado denotado por [a, b], consta de todos los números reales x para los cuales a ≤ x ≤ b.
1.1 INTERVALOS Y ENTORNOS
INTERVALOS:
El símbolo ∞ (se lee "infinito") no es un número real, sino una notación utilizada para indicar que no hay un límite en la dirección positiva.
El símbolo - ∞ (se lee "menos infinito") tampoco es un número real, sino la notación utilizada para indicar que no hay un límite en la dirección negativa.
Por medio de los símbolos ∞ y - ∞ podemos definir otras cinco clases de intervalos:
• [a, ∞) consiste de todos los números reales x para los cuales a ≤ x < ∞ (x ≥ a)
• (a, ∞) consiste de todos los números reales x para los cuales a < x < ∞ (x > a)
• (-∞, a] consiste de todos los números reales x para los cuales -∞ < x ≤ a (x ≤ a)
• (-∞, a) consiste de todos los números reales x para los cuales -∞ < x < a (x < a) 1.1 INTERVALOS Y ENTORNOS
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INTERVALOS:
1.1 INTERVALOS Y ENTORNOS
VALOR ABSOLUTO:
El valor absoluto de un número a es la distancia desde el punto cuya coordenada es a al origen.
Por ejemplo, el punto cuya coordenada es -4 está a 4 unidades del origen.
El punto cuya coordenada es 3 está a 3 unidades del origen.
Por tanto, el valor absoluto de -4 es 4, y el valor absoluto de 3 es 3.
1.1 INTERVALOS Y ENTORNOS
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VALOR ABSOLUTO:
El valor absoluto de un número real a, denotado por el símbolo lal; está definido por las reglas:
lal= a si a ≥ 0 y lal= -a si a < 0
Por ejemplo, ya que -4 < 0, entonces debe ser utilizado el criterio para obtener |-4| = -(-4) = 4.
1.1 INTERVALOS Y ENTORNOS
ENTORNOS O VECINDADES:
Definición.
Sea un punto 𝑋0 en el eje 𝑋. Una vecindad o entorno de 𝑋0 es el conjunto de puntos del eje 𝑋 que satisfacen la desigualdad:
𝑋0 − 𝜹 < 𝑋 < 𝑋0 + 𝜹
donde a "𝜹 " se le conoce como la semiamplitud o radio de la vecindad.
A esta vecindad se le acostumbra denotar como: v(𝑋0, 𝛿).
1.1 INTERVALOS Y ENTORNOS
1.1 INTERVALOS Y ENTORNOS
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Se puede escribir en términos de valor absoluto como:
Gráficamente, esto puede expresarse como sigue:
Si a la desigualdad anterior se le añade la condición adicional de que el valor absoluto sea estrictamente mayor que cero, se tiene:
Se excluye a 𝑋0 de su propio entorno o vecindad, llamándole entonces a éste o ésta,
“entorno reducido” o “vecindad agujerada”.
El límite de una función en un valor determinado de 𝑥 es igual a un número al que tiende la función cuando la variable tiende a dicho valor (pero nunca llega a serlo).
Si el límite de una función f en un valor a es igual a b, se escribe de esta manera:
𝑥→𝑎lim 𝑓(𝑥) = 𝑏 DEFINICIÓN:
El límite de una función está íntimamente unido a su representación gráfica y a la interpretación de la misma debido a que lo que nos indica es el comportamiento o
1.2 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Examinemos lo que sucede con la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3 cuando 𝑥 → 1.
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Permitiremos de que 𝑥 tome la sucesión de valores 0.8, 0.9, 0.99, 0.999 y 0.9999, que sin duda se acercan cada vez más a 1.
Los valores de 𝑓 𝑥 están dados en:.
𝑥 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999 𝑓 𝑥 4.6 4.8 4.98 4.998 4.9998
A partir de esta tabla es claro que a medida que 𝑥 se acerca a 1, 𝑓 𝑥 está cada vez más cerca de 5.
. Por lo tanto se escribe: 𝑓 𝑥 → 5 cuando 𝑥 → 1
Los valores de 𝑥 considerados en la tabla son menores que 1.
1.2 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
𝑥 1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001 𝑓 𝑥 6 5.2 5.02 5.002 5.0002
Otra vez, es claro que 𝑓 𝑥 está cada vez más cerca de 5 cuando 𝑥 se aproxima a 1 por arriba.
En tal caso, decimos que 𝑥 se aproxima a 1 por abajo.
Por otro lado, se puede considerar también el caso en que 𝑥 se aproxima a 1 por arriba; es decir, 𝑥 toma una sucesión de valores que están cada vez más cerca de 1 pero siempre son mayores que 1.
Por ejemplo, si 𝑥 tomara la sucesión de valores: 1.5, 1.1, 1.01, 1.001 y 1.0001, de acuerdo a la siguiente tabla:
En consecuencia, cuando 𝑥 se aproxima a 1 por abajo o por arriba, 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3 se acerca a 5.
1.2 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
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Estudiemos la idea del límite desde el punto de vista de la gráfica de la función considerada.
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3
La gráfica de esta función es una línea recta con pendiente 2 y ordenada al origen 3. Cuando x=1 , y=5.
𝑥→1lim (2𝑥 + 3) = 5 1.2 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
1.2 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Se establecerán los siguientes teoremas:
1.2 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
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1.3 LÍMITES Y MANIPULACIÓN ALGEBRAICA
1.4 LÍMITES CON INDETERMINACIÓN
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1.5 LÍMITES AL INFINITO
Examinamos la función
cuando x se vuelve infinito, primero en sentido positivo y después en sentido Negativo.
De la tabla podemos ver que cuando x aumenta sin cota tomando valores positivos, los valores de f(x) se aproximan a 0.
De la misma manera, cuando x
1.5 LÍMITES AL INFINITO
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En forma simbólica, escribimos:
Ejemplos:
1.5 LÍMITES AL INFINITO
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