Introducción a la Aritmética
Unidad 1
Las Matemáticas buscan propiciar en ti el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico.
Al desarrollar estas habilidades, puedes argumentar y estructurar tus ideas y razonamiento, construir e interpretar modelos matemáticos, formular y resolver problemas laborales aplicando diferentes enfoques, explicar e interpretar los resultados de un problema, analizar las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento, elegir entre diferentes enfoques para el estudio de un fenómeno, e interpretar tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
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Para facilitar la comprensión de esta asignatura, hemos preparado para ti una técnica que te indicará la forma más eficiente de organizarte y familiarizarte con los materiales de estudio; esta breve guía también te dará algunas recomendaciones para aprender esta materia y así desarrollar las competencias que te permitan mejorar tu desempeño en el trabajo, al tiempo que alcanzas el grado académico de bachillerato.
Las Matemáticas son una de esas asignaturas que, aunque difícil, si dedicas unas horas de estudio, puedes obtener una buena calificación. Existen algunas técnicas para aprender matemáticas que pueden hacer que, independientemente de tu nivel, le saques más partido a tu tiempo de estudio y aumentes tus probabilidades de éxito.
¿Cómo estudiar matemáticas?
1. Práctica, práctica y más práctica
Es imposible aprender matemáticas leyendo y escuchando.
Para aprender matemáticas hay que hacer ejercicios matemáticos. Cuanto más practiques, mejor. Cada ejercicio tiene sus particularidades y es importante haber realizado el máximo número de ejercicios posibles antes de enfrentarnos al examen.
Este punto es el más importante de todos y la base del resto de técnicas para estudiar Matemáticas de esta lista.
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2. Revisa los errores
Cuando estés practicando con ejercicios, es muy importante que compruebes los resultados y, más importante aún, que te detengas en la parte que has fallado y examines el proceso en detalle hasta asimilarlo. De nada sirve comparar resultados si no sabes en qué te has equivocado. Por eso es conveniente que tengas unos buenos apuntes con problemas resueltos.
De esta manera, evitarás cometer los mismos errores en el futuro. También es recomendable apuntar todos tus errores y repasarlos repetidamente antes del examen.
Técnicas
3. Domina los conceptos clave
¡No intentes aprenderte los problemas de memoria! Los problemas matemáticos pueden tener miles de variantes y particularidades, por lo que es inútil aprendernos los problemas de memoria sin entenderlos. En cambio, es mucho más efectivo dominar los conceptos importantes y el proceso de resolución de los problemas.
Recuerda que las Matemáticas son una asignatura secuencial, por lo que es importante asentar una base firme dominando los conceptos clave y teniendo claras las fórmulas matemáticas esenciales.
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4. Consulta tus dudas
Puede que en muchas ocasiones te sientas atascado en una parte de un problema o que simplemente no entiendas el proceso. Lo común en estos casos es simplemente pasar de ese problema al siguiente. Sin embargo, es recomendable despejar todas las dudas que tengas en la resolución de un problema.
Por tanto, puede ser buena idea estudiar junto con algún compañero con quien consultar dudas y trabajar juntos en problemas más complejos.
Técnicas
5. Crea un ambiente de estudio sin distracciones
Las Matemáticas son una asignatura que requiere más concentración que ninguna otra. Un ambiente de estudio adecuado y libre de distracciones puede ser el factor determinante para conseguir resolver ecuaciones o problemas de geometría, álgebra o trigonometría complejos.
Si te gusta estudiar con música, puede ser una buena idea escucharla de fondo para relajarte y favorecer un ambiente de máxima concentración. La música instrumental es lo más recomendable en estas ocasiones.
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6. Crea un diccionario matemático
La asignatura de Matemáticas tiene mucho vocabulario propio.
Te sugerimos que crees unos apuntes o fichas de estudio con todos los conceptos que vas aprendiendo y su significado, para que puedas consultarlos en cualquier momento y no te sientas perdido entre tanta palabrería.
Técnicas
7. Aplica problemas al mundo real
En la medida de lo posible, intenta aplicar los ejercicios al mundo real. Las Matemáticas pueden ser una materia muy abstracta en algunas ocasiones, por lo que mirar su aplicación práctica puede ayudarte a cambiar tu perspectiva sobre ella y asimilarla de manera diferente.
Si aplicas todos estos consejos sobre cómo estudiar Matemáticas, tendrás muchas probabilidades de mejorar tus calificaciones parciales y finales.
No olvides que es importante también tener confianza en uno mismo y afrontar el examen sabiendo que te has preparado adecuadamente.
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Objetivo general
El estudio de este curso te permitirá aprender el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números positivos, reales, uso de tasas, razones, proporciones y variación proporcional.
Conocerás con ejemplos aplicados a su contexto y vida cotidiana sucesiones y series (aritméticas y geométricas), también se estudiarán los sistemas de ecuaciones de 1x1, en estrecha conexión con la función lineal.
Todos estos temas son explicados con ejemplos prácticos con la finalidad de que puedas aplicar los conocimientos que vayas descubriendo en tu contexto real de una manera más sencilla.
Se promueve la resolución de problemas matemáticos que encuentren aplicación en su mundo real y que lleven al estudiante a trasladar las matemáticas a su vida cotidiana, a reconocer el objeto de estudio y el campo de acción de las mismas, así como la manera particular de esta ciencia para construir el conocimiento relacionado con los seres humanos.
A lo largo de este curso se propicia el desarrollo del pensamiento lógico y crítico de los estudiantes.
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El propósito de este curso es contribuir a promover en los estudiantes el razonamiento, la argumentación y la estructuración de ideas, entendiendo las matemáticas como un elemento presente en múltiples situaciones de la vida real y no como un campo aislado de conocimiento.
Introducción
M
Sin duda, este curso representará la posibilidad de acercar a los estudiantes de manera práctica y natural al fascinante mundo de las Matemáticas.
Los números en nuestra vida
Cotidianamente vemos números en todo lo que nos rodea; vemos números en los anuncios de la calle, en los precios de las tiendas, en los autobuses que tomamos, en los números de celular de nuestros amigos y familiares, entre otros.
Con estos números podemos realizar muchas operaciones, como sumarlos para crear números más grandes, restarlos para representar diferencias entre cantidades, dividirlos para hacer reparticiones, etcétera.
El porcentaje juega un papel muy importante en el manejo de cantidades, esta es una de las expresiones matemáticas más utilizadas. En los medios de comunicación hay una diversidad de formas de expresar porcentajes y constantemente los
encontraremos en gráficas y tablas. 15
Lectura
Es muy común escuchar en la radio o ver en la televisión que 75%
de la población prefiere un refresco de cola, que en alguna tienda hay rebajas de 20%, que cada 1000 habitantes que utilizan jabón prefieren el líquido y no en barra, 74.2% son mujeres y 25.8% son hombres, por decir algo. Ejemplos como estos existen muchos, es necesario entender el uso de los porcentajes e interpretarlos y, sobre todo, saber calcularlos, debido a que en cualquier momento podemos necesitar de ellos.
Cuando decimos que una persona invierte 10% de su dinero en comprar ropa, estamos expresando que se gasta $10 de cada
$100 que gana. Se puede expresar el tanto por ciento como una fracción que tiene denominador 100, en este caso sería 10/100, que significa 10 de cada 100 y, como sabemos, cualquier fracción se puede expresar en forma decimal realizando la operación de
Para que puedas iniciar el estudio de este núcleo temático deberás conocer o recordar algunas de las propiedades de campo de los números reales, por lo que estudiar cualquier rama del conocimiento requiere manejar el lenguaje técnico que le es propio, o por lo menos los elementos básicos.
Para la introducción formal al estudio de los números reales, se parte del conocimiento que tengas de las operaciones binarias de adición y multiplicación, por las cuales a cada pareja de números reales se les asocia un algoritmo llamado suma (+) y producto (x) respectivamente; y además estar familiarizado con el uso del símbolo igual (=).
Estos conceptos que se aceptan sin definir, del lenguaje de la lógica y las palabras de nuestro idioma usadas comúnmente, constituyen el lenguaje básico de los
números reales (R). 17
Propiedades de la adición
Las siguientes propiedades, que te presentamos a continuación, son las que más utilizarás para desarrollar la problemática.
Asociatividad. Para tres números diferentes a, b y c que pertenecen a los reales (a + b) + c = a + (b + c). Esto quiere decir que no importa cómo se asocien tres números reales para realizar la suma, el resultado es el mismo.
Ejemplo
3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5
Sumando primero los términos que están agrupados en paréntesis queda:
Propiedades de campo de los números reales
Conmutatividad. Para todo número a, b y c que pertenecen a los números reales a + b = b + a. Esto significa que el orden de los sumandos no altera la suma.
Ejemplo
3 + 2 = 2 + 3 5 = 5
Propiedades de la multiplicación
Asociatividad. Para todo número a, b y c que pertenecen a los números reales, (ab)c = a(bc). Esto significa que si asociamos de diferente manera para multiplicar tres o más números, el resultado es el mismo.
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Ejemplo
((3)(5)) (7) = (3) ((5)(7)) efectuando la operación
(15) (7) = (3)(35) 105 = 105
Conmutatividad. Para todo número a y b que pertenecen a los números reales, ab = ba. Esto significa que el orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo
(3)(4) = (4)(3)
Propiedades de campo de los números reales
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.
Para todo número a, b y c que pertenecen a los números reales:
a (b+c) = ab + ac Y también,
(b+c) a = ba + ca Ejemplos
3(2+5) = (3)(2) + (3)(5) = 6 + 15 = 21
(2+5)3 = (2)(3) + (5)(3) = 6 + 15 = 21
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En la Prehistoria, la aritmética se limitó al uso de números enteros inscritos en objetos que indicaban una clara concepción de la suma y resta; el más conocido es el hueso Ishango de África Central, que data entre 1800 y 2000 a.
C.
Operaciones con números reales
La aritmética es la más antigua y elemental rama de la matemática, se utiliza en casi todo el mundo, en tareas cotidianas que involucran el proceso de contar y en los más avanzados cálculos científicos, su objetivo principal son las operaciones con los números y sus propiedades elementales.
La palabra aritmética proviene de “ἀριθµηtικός”, término de origen griego; arithmos aριθµός que quieren decir número y techne habilidad.
Para realizar operaciones con números enteros necesitas conocer las reglas de los signos, técnicas para efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Suma
Te presentamos las reglas de los signos para sumar y restar enteros:
1. Cuando se suman dos números (o más) positivos, el resultado es otro número positivo.
Ejemplos 3+7 = 10 7+3 = 10
Recuerda que la suma cumple con la propiedad conmutativa 3 + 7 = 7 + 3.
Esta propiedad nos dice: El orden de los sumandos no altera la suma.
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2. Cuando se suman dos números (o más) negativos el resultado es otro número negativo.
Ejemplo -3 - 7 = -10
3. Cuando se suman dos números con signos contrarios, se restan sus valores absolutos, y el resultado lleva el signo del número mayor.
Ejemplos
-3 + 7 = 4 (porque a 7 le restamos 3 y el número mayor es positivo, por lo tanto el resultado es positivo).
Operaciones con números reales
¿Qué es un valor absoluto?
• El valor absoluto de cualquier número real, siempre es positivo.
• Se representa con unas barras verticales.
Ejemplos 4 = 4
−4 = 4 0 = 0
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Multiplicación
Para realizar operaciones de multiplicación con números enteros debemos tener presentes las leyes de los signos para multiplicar, éstas se presentan en la siguiente tabla:
Operaciones con números reales
Esto quiere decir que signos iguales cuando se multiplican son positivos y signos diferentes serán negativos.
sumar 3 veces el 8, 8+8+8=24
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Ejercicio de práctica
Si realizas las siguientes compras para una reunión con tus amigos, ¿cuál es el total?:
• 5 pizzas de $130.00 c/u.
• 12 refrescos de $15.00 c/u.
• 3 paquetes de vasos de $ 8.00 c/u.
• 4 paquetes de platos de $ 12.00 c/u.
• $159.00 en diversos artículos.
Operaciones con números reales
Se multiplica el número de artículos que compraste por el
(5)(130) = 650 (12)(15) = 180 (3)(8) = 24 (4)(12) = 48
159
Ya que tengas la cantidad de cada producto, debes realizar una
Solución
Procedimiento
Paso 1 Paso 2
$1,061
Resta
Una resta es lo que llamamos sustracción.
La sustracción de números enteros, es decir la diferencia de dos enteros es un caso particular de la adición, restar un número es sumar el inverso aditivo del otro número. En otras palabras, la sustracción (resta) es la operación inversa de la adición (suma).
Ejemplo
13 - 4 = 9, esto también se puede representar como: 13 + (-4) = 9.
Partes que
componen una resta
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Para todo número real “a” existe otro número tal que a+(-a)=0 y (-a)+a=0.
Ejemplo: El inverso aditivo de -3 es 3 porque (-3)+3=0
División de número enteros
Teniendo los números enteros a y b (b≠0), la división de a entre b se denota por 𝑎
𝑏.
La división es la operación inversa de la multiplicación.
Conociendo el dividendo y el divisor, se busca encontrar el
“cociente”. El producto del cociente por el divisor más el residuo es, por tanto, igual al dividendo.
Partes que componen una división
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Fracciones
Un número racional es todo aquel que se representa como la relación por cociente entre dos números enteros denominada comúnmente fracción.
El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora o de la mitad de un pastel.
Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada “raya fraccionaria”.
La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador.
Operaciones con números reales
Los valores de a y b deben ser enteros, y “b” que es el denominador debe ser siempre diferente de cero.
El “numerador”, indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero. El “denominador”, indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero.
Tres cuartos de hora no son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes de un pastel, pero se “calculan” de la misma manera: dividiendo la totalidad (una hora o el pastel) en cuatro partes iguales y tomando luego tres de esas partes. Por esta razón, en ambos casos, se habla de dividir dicha unidad (una hora, un pastel, etc.) en 4 partes iguales y tomar luego 3 de dichas partes.
Partes de una fracción
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Ejemplos
Operaciones con números reales (fracciones)
Hay 8 partes de las cuales se han pintado 5, por lo tanto, la fracción iluminada que representa matemáticamente este dibujo es 5/8 (se lee cinco octavos).
Las operaciones con números racionales te permiten obtener los resultados de una gran cantidad de cuestiones prácticas como son: el peso de una o varias personas, cortar una lámina en partes iguales, llenar cierto número de botellas con una cantidad de líquido, y muchas más que se presentan en la vida cotidiana, es decir, utilizamos fracciones para identificar, relacionar y comparar cantidades, en nuestro día a día, por ejemplo:
• El peso en la compra de productos alimenticios; al comprar ½ kg de pollo.
• El tiempo que nos lleva realizar una actividad; deje secar por ¾ de hora.
No podemos prescindir de estas operaciones, ya que generalmente las cuestiones prácticas se presentan con números racionales.
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Operaciones con fracciones
Suma y resta con igual denominador
Para realizar este tipo de sumas pasamos el mismo denominador al resultado y sumamos o restamos los numeradores.
Operaciones con números reales (fracciones)
Suma y resta con diferente denominador
Para realizar estas operaciones necesitamos un denominador común, para obtenerlo multiplicamos los dos denominadores y realizamos un producto cruzado para obtener el numerador.
1 2
4 5
3
Esta fracción puede simplificarse si el numerador (24) y el denominador (27) pueden ser divisibles por un mismo número.
En este caso, observamos que ese número es el 3, ya que 24 y 27 pueden dividirse exactamente en tres partes. El resultado se
indica en el paso 5. 37
Multiplicación de fracciones
Se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador, para obtener el numerador y el denominador respectivamente.
Operaciones con números reales (fracciones)
División de fracciones
En el caso de la división de dos fracciones, realizamos un producto cruzado:
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Por ejemplo: “cuarenta y cinco por ciento”
se representa 45% y significa “cuarenta y cinco de cada cien”. Los porcentajes también los podemos representar mediante fracciones, de esta manera, el ejemplo anterior quedaría representado como 45/100.
Porcentajes
Un porcentaje es una forma de expresar una cantidad como una fracción de 100 (de ahí el nombre por ciento, que significa “de cada 100”).
Para denotarlo utilizamos el símbolo porcentaje “%”, y se escribe inmediatamente después del número al que se hace referencia sin dejar espacio de separación.
Cuando queremos calcular determinado porcentaje de un número, multiplicamos el porcentaje que necesitamos por el número, y luego lo dividimos por cien.
Por ejemplo, el 25% de 70, sería 70 x 25 = 1750, y a ese resultado lo dividimos por 100, lo que nos da 17.50
Si realizamos esta operación en la calculadora, pondríamos 70 x 0.25
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Porcentajes
Ejemplos de porcentajes en la vida cotidiana – Se utilizan porcentajes para:
• Otorgar comisiones a empleados sobre sus ventas
• Calcular cuentas con intereses
• Determinar cuánto han subido o bajado los precios
• Saber el incremento de las ganancias
• Realizar rebajas o descuentos, etc.
– Por ejemplo, cuando hacemos una rebaja, descontaremos del total el porcentaje, y cuando damos un premio, un estímulo o un recargo, lo sumaremos.
– Así que, si un artículo cuesta $1000, y ofrecemos una rebaja del 15%, lo venderemos a $850, pero si un empleado cobra $1000 de
Si se desea convertir fracciones a porcentajes, primero debemos dividir el numerador por el denominador, y luego a ese resultado se lo multiplica por 100.
La forma de obtener un tanto por ciento de una cantidad es simple, solo se plantea una regla de tres.
Si se quiere convertir un porcentaje en fracción, se coloca el número porcentual como numerador y al número 100 como denominador. Como vemos toda fracción o número decimal puede expresarse en porcentajes, y viceversa.
Fracción Decimal Porcentaje 1
4
= 0.25 = 25%
1 2
= 0.5 = 50%
3 4
= 0.75 = 75%
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Calcular el porcentaje de una cantidad
Para calcular el porcentaje de una cantidad, se multiplica dicha cantidad por el porcentaje y se divide por 100.
El 20% de 50 = (50 x 20) / 100 = 10
Cálculo de porcentajes
Calcular el 15% de 200:
(200 x 15) / 100 = 30
Calcular el 25% de 8:
(8 x 25) / 100 = 2 Veamos otros ejemplos:
Calcular el 60% de 120:
Aumentar una cantidad en un porcentaje
Para aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje, se calcula cuánto representa dicho porcentaje de esa cantidad y se le suma o resta a la cantidad inicial.
Ejemplo.
Aumentar el 20% a 60 pesos.
1. Calculamos cuánto representa el 20% de 60 pesos:
2. Se lo sumamos al importe inicial:
60𝑥20
100 = 12
60 + 12 = 72
45
Disminuir una cantidad en un porcentaje
Ejemplo.
Disminuir el 10% a 50 pesos.
1. Calculamos cuanto representa el 10% de 50 pesos:
2. Se lo restamos al importe inicial:
Cálculo de porcentajes
50𝑥10
100 = 5
50-5=45
Ejemplo práctico de porcentajes.
Si consideramos que el Banco del Ahorro cobra un interés anual de 45.70%, ¿qué cantidad de intereses debe pagar en un año un cliente que adeuda $45,000?
Para resolver el problema debemos expresar 45.70% como equivalente decimal, es decir, 0.457. Posteriormente, se multiplica este valor por la cantidad adeudada para determinar cuánto deberá pagar el cliente al año.
45,000 x 0.457= $20,565
Por lo tanto, un cliente del Banco del Ahorro que mantiene una deuda de $45,000 durante un año, debe pagar $20,565 por intereses y la deuda original se mantiene.
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Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas utilizando fracciones y porcentajes.
1.- María ahorra cada semana 3/5 de su paga. Si consigue ahorrar
$425 al año, ¿cuál es la paga semanal de María?
2.- Tenemos dos jarras de 750 ml cada una y contienen jugo de naranja. Una contiene la tercera parte y la otra los dos quintos.
Añadimos agua a cada una hasta llenarlas completamente y, posteriormente, las vaciamos en una jarra grande. ¿Qué fracción del líquido de la jarra grande es jugo de naranja?
3.- Pedro utiliza parte del dinero que lleva para comprar varios discos compactos, todos al mismo precio. Si con un sexto del dinero que tenía pagó un tercio del total de los discos que compró,
¿qué fracción del dinero que llevaba le quedará después de pagar
Actividad de autoaprendizaje
4.- En una clase de 24 alumnos solo aprobó 66% de ellos, y en otra, en la que había el doble, aprobó nada más 57%, ¿cuál es el porcentaje de aprobados entre las dos clases?
5.- En una fiesta, ¼ de los chicos está bailando con 2/5 de las chicas. ¿Qué fracción de personas no está bailando?
Nota: Estas actividades son para autoestudio, no se entregan a tu profesor.
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En esta unidad aprendiste a:
Conclusión
En la antigüedad el hombre tuvo la necesidad de contar, de medir y ahora en la actualidad el ser humano tiene la capacidad de resolver problemas más complejos que se le presentan en su vida cotidiana y en el trabajo.
Algunas personas trabajan como encargados de tiendas de auto servicio, y al efectuar el cierre de caja se deben aplicar algunas operaciones con números racionales para comprobar que el importe corresponde al total vendido en un día.
Las operaciones con números racionales son las que más utilidades tienen, porque el entorno que nos rodea, científico, tecnológico y en nuestra vida cotidiana, siempre se presentan casos de medición y repartición que requieren el uso de los números.
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Problemas Aritméticos y Algebraicos.
Unidad 2
Como ya sabes, hay diversas operaciones aritméticas que podemos utilizar para generar modelos matemáticos que nos guíen en la solución de problemas matemáticos y cotidianos.
Algunas de las más utilizadas son la suma, la diferencia, la multiplicación, la división y el tanto por ciento, entre otras. A continuación trabajaremos con algunas de ellas.
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Jerarquización de operaciones
Es necesario saber que en las operaciones hay un orden al proceder con ellas, que existen leyes o teoremas que las rigen.
Cuando aparecen distintas operaciones, primero debemos efectuar aquellas que indiquen potenciación, es decir, potencias y raíces.
La jerarquía de operaciones es la siguiente:
• Primero: efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
• Segundo: calcular las potencias y raíces.
• Tercero: efectuar los productos y cocientes.
• Cuarto: efectuar las sumas y restas.
Ejemplo 1
5 + 42 × 2 + 16 = 5 + 16 × 2 + 4
= 5 + 32 + 4
= 41
1. Realizamos operaciones de potenciación (exponentes y/o radicales)
5 + 16 × 2 + 4 =
2. Realizamos multiplicaciones y/o divisiones 5 + 32 + 4 =
3. Por último realizamos sumas y/o restas 5 + 32 + 4 = 41
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Ejemplo 2
9 ÷ 3 + 52 × 4 + 16 ÷ 2 − 4 = 1. Realizamos operaciones de potenciación
𝟗 ÷ 𝟑 + 𝟐𝟓 × 𝟒 + 𝟒 ÷ 𝟐 − 𝟒 =
2. Realizamos multiplicaciones y divisiones 𝟑 + 𝟏𝟎𝟎 + 𝟐 − 𝟒 =
3. Por último realizamos sumas y restas 3 + 100 + 2 − 4 = 101
Jerarquización de operaciones
Ejemplo 3
3 × 3 + 4 ÷ 2 + 15 ÷ 3 − 4 = 1. Realizamos operaciones de potenciación
(En este caso no tenemos operaciones de potenciación) 2. Realizamos multiplicaciones y divisiones
𝟑 × 𝟑 + 𝟒 ÷ 𝟐 + 𝟏𝟓 ÷ 𝟑 − 𝟒 = 9+2+5-4 3. Por último realizamos sumas y restas
𝟗 + 𝟐 + 𝟓 − 𝟒 = 12
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Potencia
¿Qué es una potencia?
En el centro de la ciudad, los alumnos de 4º de una primaria realizaron una colecta para conseguir dinero y enviarlo a un albergue de niños sin hogar. Para ello vendieron cajas de chocolates. Los 6 grupos de 4º vendieron 6 paquetes. Cada uno de estos paquetes contenía 6 cajas con 6 chocolates cada una,
¿cuántos chocolates vendieron en total?
Para resolver esta pregunta debemos plantear el problema de la siguiente manera:
Número de grupos: 6
Número de paquetes vendidos: 6 x 6 Número de cajas vendidas: 6 x 6 x 6
A estos productos de factores iguales los llamamos potencias. Una potencia nos indica el número total de chocolates vendidos en el ejemplo y se escribe de la siguiente manera: 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁴ = 1296.
En esta expresión 6⁴, identificamos dos términos: el 6 al cual llamamos base y es el número que vamos a multiplicar por sí mismo, y el 4 que llamamos exponente y que nos indica cuántas veces vamos a multiplicar por sí mismo la base.
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Divisibilidad y múltiplos
El ser humano desde sus orígenes se ha visto en la necesidad de repartir cosas u objetos de manera equitativa entre varias personas. Con la práctica, el hombre se dio cuenta que este problema no todas las veces tenía solución.
Y como es bien conocida la naturaleza curiosa del ser humano, éste comenzó a estudiar qué relación se encontraba entre las cantidades en las que este problema sí tenía solución y las cantidades que no se podían repartir equitativamente. Por esta razón, el ser
Una cantidad a se puede dividir entre otra cantidad b (es decir, a es divisible entre b), cuando con el número de unidades que contenga la cantidad a se puedan hacer tantos grupos de números como indique la cantidad b, teniendo todos estos grupos el mismo número de unidades.
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Propiedades de los múltiplos
Las propiedades de los múltiplos son las siguientes:
1. Todo número distinto de 0 es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
– Ejemplo: 9 es múltiplo de 9 y de 1.
2. La suma de dos o más múltiplos de un número da como resultado otro múltiplo de dicho número.
– Ejemplo: 9 y 15 son múltiplos de 3; si sumamos 9+15 obtenemos 24, y 24÷3=8, esto quiere decir que 24 es múltiplo de 3.
3. La diferencia de dos múltiplos de un número da como resultado un nuevo múltiplo de dicho número, por ejemplo, 36
Divisibilidad y múltiplos
4. Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero, por ejemplo, 48 es múltiplo de 6, y 6 es múltiplo de 3, por consiguiente, 48 es múltiplo de 3.
5. Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo, por ejemplo, 52 es múltiplo de 4, los números 104, 156 y 208 son múltiplos de 52, por lo que podemos decir que también son múltiplos de 4.
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Divisibilidad y múltiplos
Descomposición de un número en factores primos
Los números enteros compuestos pueden expresarse como el producto de potencias de números primos.
Recordemos que los números primos son aquellos que solo son divisibles entre sí mismos y la unidad; a este proceso le llamamos descomposición de un número en factores primos.
La descomposición de un número es muy útil, pues ayuda a calcular el máximo común divisor o mínimo común múltiplo de varios números, y también nos ayuda a simplificar algunas operaciones como divisiones muy largas.
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Por ejemplo, si queremos descomponer el número 80 en factores primos lo que debemos hacer es lo siguiente:
1. Calculamos su mitad, que es 40.
2. Calculamos la mitad de 40, que es 20.
3. La mitad de 20 es 10.
4. La mitad de 10 es 5.
5. Cinco no tiene mitad, buscamos si tiene tercera parte, pero tampoco tiene tercera parte, así que buscamos si tiene quinta parte, la cual sí tiene y el 1.
6. La descomposición de 80 en factores primos es: 80 = 2⁴ x 5
Divisibilidad y múltiplos
Máximo Común Divisor (MCD) y Mínimo Común Múltiplo (MCM).
Una de las principales aplicaciones de la divisibilidad es la que corresponde a la obtención del Máximo Común Divisor (MCD) y a Mínimo Común Múltiplo (MCM).
El Máximo Común Divisor (MCD) de dos números, es el mayor de los divisores que tienen en común dichos números. Ejemplo:
Divisores de 24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}
Divisores de 36 = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
Divisores comunes son: {1,2,3,4,6,12}, por lo que el MCD (24,36)=12
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El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos números, es el menor de los múltiplos que tengan en común dichos números. Ejemplo:
Múltiplos de 24 = {24,48,72,96,120…}
Múltiplos de 36 = {36,72,108,144,180,…}
Múltiplos comunes son: {72}, por lo que el MCM (24,36) = 72
Para calcular el MCM de dos o más números, descomponemos los números en factores primos y el MCM será el resultado de multiplicar los factores comunes elevados al mayor exponente y los no comunes.
Si los números son primos entre sí el MCM es el producto entre ellos.
Divisibilidad y múltiplos
Ejemplo práctico de Mínimo Común Múltiplo (MCM)
Un automóvil necesita que le cambien el aceite cada 12 000 km, el filtro del aire cada 18 000 km y las bujías cada 27 000 km, ¿a qué cantidad de kilómetros recorridos habrá que hacerle los tres cambios a la vez?
Solución
El coche realizará los siguientes cambios:
De aceite: {12 000 km, 24 000 km, 36 000 km,…}
De filtro: {18 000 km, 36 000 km, 54 000 km,…}
De bujías: {27 000 km, 54 000 km, 81 000 km,…}
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Ejemplo práctico de MCM (continuación)
Observamos que los cambios se efectúan en múltiplos de 12 000, 18 000 y 27 000; como estamos buscando cuándo se realizarán los tres cambios a la vez, estamos tratando de hallar un múltiplo común. Ya que también nos piden que el kilometraje recorrido sea lo más pequeño posible, debemos hallar el MCM (12 000, 18 000 y 27 000). Para calcularlo, hacemos la descomposición en factores de las tres cantidades:
Resolución de problemas utilizando divisibilidad
12000 6000 3000 1500 750 375 125 25
18000 9000 4500 2250 1125 375 125 25
27000 13500 6750 3375 1125 375 125 25
12 000 = 25 x 3 x 53 18 000 = 24 x 32 x 53 27 000 = 23 x 33 x 53
2 2 2 2 2 3 5 5
2 2 2 2 3 3 5 5
2 2 2 3 3 3 5 5
La descomposición de los tres números en factores primos queda de la siguiente manera:
Ejemplo práctico de MCM (continuación)
Considerando la descomposición en factores primos de las tres cantidades realizada en la diapositiva anterior, se toman en cuenta ahora los números primos con la mayor potencia presentada en las tres cantidades, es decir, el mayor exponente de 2, 3 y 5.
MCM (12000, 18000, 27000) = 25 x 33 x 53= 108 000
De acuerdo con el resultado anterior, podemos asegurar que se realizarán tres cambios simultáneamente por primera vez a los 108 000 km.
71
Leyes de los exponentes
1. Ley de la multiplicación. Al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes, para tener el exponente del producto.
Potencias y raíces
𝑎
𝑚𝑎
𝑛= 𝑎
𝑚+𝑛2. Ley de la división. Al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente.
Estas son dos consecuencias importantes de la ley de la división:
• Propiedad de los exponentes negativos: toda cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso multiplicativo de un número entero.
𝑎
𝑚𝑎
𝑛= 𝑎
𝑚−𝑛𝑎
−𝑛= 1 𝑎
𝑛73
Propiedad del exponente 0: al dividir dos cantidades exactamente iguales que tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también será equivalente a la unidad.
Potencias y raíces
𝑎
0= 1
3. Ley de la involución, o elevar a una potencia. Al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los exponentes
4. Ley de la evolución, o de la extracción de raíces. Al extraer la raíz de una potencia, se copia la base de la cantidad subradical, y al exponente de este subradical se le divide el índice de la raíz.
𝑎
𝑛 𝑚= 𝑎
𝑛∙𝑚𝑛
𝑎
𝑚= 𝑎
𝑚𝑛75
Esta es una consecuencia natural de la ley de extracción de raíces: una expresión radical cualquiera puede transformarse en una expresión en notación exponencial.
Potencias y raíces
𝑛
𝑎 = 𝑎
𝑛177
Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas utilizando potencias y raíces. Utiliza una calculadora científica para obtener los resultados.
1.- Si desarrollamos el número 45 x 55, ¿cuántas cifras tendrá?
2.- Una nave espacial sale de la Tierra hacia un planeta situado a 520 km. Después de hacer un cuarto del trayecto, la nave pierde contacto por radio con la Tierra, recuperándolo cuando está a 517 km de ella. ¿Cuántos km recorrió la nave sin contacto por radio?
Actividad de autoaprendizaje
En esta unidad se presentaron los conceptos y destrezas básicas que te permitirán:
• Resolver operaciones aritméticas respetando la jerarquía de operaciones.
• Aplicar el concepto de Máximo Común Múltiplo (MCM) y Mínimo Común Divisor (MCD).
• Entender cada una de las leyes de los exponentes.
79
Transformaciones Algebraicas I
Unidad 3
El Álgebra en todas partes
Observa a tu alrededor y notarás que hay un gran número de elementos que son de mucha utilidad, pero sólo cuando están organizados por sus características y son cuantificados pueden dar buenos resultados.
Seguramente en diversas ocasiones has utilizado algún medio de transporte público; ahora imagina que las unidades no estuvieran organizadas por rutas y horarios, ¿qué piensas que pasaría?
En esta situación planteada son importantes el nombre de la ruta, la cantidad de unidades con que cuenta, el costo del servicio, el gasto de combustibles, la inversión en el mantenimiento de las unidades, el salario de los conductores, la cantidad de kilómetros recorridos, el control de la velocidad para evitar accidentes viales, el tiempo que transcurre un recorrido entre ciudades, etcétera.
81
Todos esos aspectos importantes se deben cuantificar, porque de lo contrario, al dueño de la línea de autobuses no le sería rentable el negocio y su falta de orden le acarrearía muchos problemas. Es aquí donde la utilidad del Álgebra quedaría demostrada, ya que para representar cada uno de los aspectos citados hay que asignar un nombre a la variable de estudio y una cantidad que la represente.
Otro ejemplo es el siguiente: en Coppel hay una gran cantidad de mercancías con diversas características en sus diferentes tiendas, pero no podrían ser vendidas si no estuvieran clasificadas o si les faltara su código de precio. Sólo al estar organizadas podrían ofrecerse al cliente.
En este caso, las variables son distintas a las del primer ejemplo;
Lectura previa
Asimismo, en el hogar hacemos uso del Álgebra aunque no estemos conscientes de ello. Por ejemplo, tus padres deben saber cuál es la cantidad de dinero con el que cuentan para distribuirlo durante un periodo; de igual forma, deben conocer la cantidad de cosas que son necesarias para el hogar, así como cuantificar la cantidad y el tipo de herramientas, y la cantidad y el tipo de utensilios y recipientes con que cuenta la cocina.
Que tal si ahora damos un vistazo en tu casa u oficina, con certeza encontrarás artículos muy variados, algunos con características semejantes por su forma o por su utilidad, que debemos cuantificar, organizar y dar un uso correcto. Aquí, igualmente hallamos una aplicación del Álgebra, ya que a cada artículo le puedes asignar un símbolo para representarlo.
83
En esta unidad estudiarás el álgebra comprendiéndola como la rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas.
Introducción al álgebra
En las Matemáticas se pueden distinguir distintas áreas de estudio, entre las que está la aritmética (estudia los números), el álgebra (se dedica al estudio de las estructuras matemáticas), la geometría (estudia las líneas, curvas y las formas geométricas), la estadística (estudia los datos recolectados) y el cálculo (determina áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución).
Si comparamos el álgebra con un ser vivo, el término algebraico sería como la “célula”; ya que las Matemáticas se construyen articulando términos algebraicos. Así que, por muy rara que pueda
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. Por otra parte, el álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas, por eso se le ha llegado a considerar como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan.
De acuerdo con lo anterior, una definición práctica de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las Matemáticas.
85
El término algebraico
El álgebra funciona trabajando cantidades desconocidas como si se conocieran, teniendo como objetivo llegar a conocerlas.
En el enunciado: “Cada una de estas cinco personas va a aportar la misma cantidad de despensas”, se desconoce cuántas despensas van a aportar cada una de las 5 personas, como no sabemos, representamos esa cantidad desconocida con la letra x.
En otras palabras, cada una de las 5 personas aportará la misma cantidad “x” de despensas. Por lo tanto, este enunciado se puede traducir algebraicamente como “5x”, y como la acción es que van a aportar, podemos representar esta acción con el signo “+” (si la acción fuera quitar o retirar se representaría con el signo “-”). La expresión algebraica finalmente sería “+5x”.
La expresión algebraica +5x queda ahora a la espera de cuántas despensas van a aportar, y que ahora es desconocida. Esta aportación desconocida de despensas y que representamos con x, puede variar desde 1 hasta el número que acuerden las cinco personas. Por eso, se le llama variable a la x.
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Las partes pertenecen a diferentes conjuntos, como son: el conjunto de los números reales, el conjunto de las letras
El término algebraico
Un elemento fundamental del álgebra es el Término Algebraico compuesto por las siguientes partes: signo, coeficiente, literales y exponentes.
Función del coeficiente
El coeficiente indica la cantidad de veces que la parte literal se suma a sí misma. Así, 6x es la manera más simple de representar lo que en forma desarrollada sería:
x + x + x + x + x + x = 6x
Función del exponente
El exponente indica la cantidad de veces que la literal se multiplica a sí misma. La expresión x6 es también la manera más simple de representar lo que en forma desarrollada sería:
(x) (x) (x) (x) (x) (x) = x6
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Instrucciones: Completa la siguiente tabla
Actividad de autoaprendizaje
Expresión algebraica
Coeficiente Parte literal Grado
3𝑥𝑦2 2
3𝑎2𝑏𝑐3 𝑥𝑦 2𝑥2𝑦3
3
Las partes de un término algebraico aparecen explícitamente expuestas (se ven) o implícitamente expuestas (no se ven, pero se
“sabe” que ahí están).
Conviene observar que cuando el primer término de una expresión es positivo se permite omitir su escritura; por ejemplo:
– En la expresión +2x-8, el signo + está explícitamente expuesto, pero también se puede escribir como 2x-8, donde el signo + está implícitamente expuesto.
A su vez, cuando el coeficiente o exponente valen 1, también se puede omitir su escritura; por ejemplo:
– En la expresión +1x1, el signo +, el coeficiente 1 y el exponente 1, están explícitamente expuestos, pero también se puede escribir simplemente como x donde el signo, coeficiente y literal están implícitamente expuestos.
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Monomios y polinomios
Un monomio o término es una expresión que se encuentra formada por números y literales que indican una multiplicación; en un monomio no aparece la suma ni la resta.
Ejemplo: 5𝑥3 𝑦2 = 5∙𝑥∙𝑥 ∙𝑥 ∙𝑦∙𝑦
Nombre Número de términos Ejemplo
Monomio Formado por un término 6x Binomio Formado por dos términos 2x-8 Trinomio Formado por tres términos 4
En un monomio es importante que los exponentes de las literales sean naturales. Un polinomio se encuentra formado por dos o más monomios; definimos el polinomio de una variable como:
𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎(𝑛−1) 𝑥(𝑛−1) + 𝑎(𝑛−2) 𝑥(𝑛−2) +
⋯ + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎0
Un polinomio recibe su nombre a partir del número de términos que tiene. Observa la siguiente tabla:
93
Monomios y polinomios
Clasificación de los polinomios de acuerdo con número de términos:
Para empezar con las operaciones con polinomios es necesario primero definir los términos semejantes, que son aquellos que tienen las mismas letras y los mismos exponentes en cada literal.
Ejemplo de términos semejantes (mismas letras, mismos exponentes):
4x2 y3 y −8x2 y3
Ejemplo de términos que no son semejantes (mismas letras, pero letras con diferentes exponentes):
4x2 y3 y −8x3 y2
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Después se suman o restan los coeficientes de acuerdo con el signo que tienen:
6x3 + 8x3 = 14 x3 5x2 – 7x2 = -2 x2
14 x3 - 2 x2 - 4 x - 15
Por lo tanto, la suma de los dos polinomios es:
Suma de polinomios (suma y resta)
Ejemplo
Sumar el polinomio: 6x3−9x+5x2−10 con el siguiente:
8x3−7x2−5+5x.
Primero se identifican los términos semejantes:
6x3 y 8x3 5x2 y -7x2 -9x y 5x -10 y -5
Para multiplicar dos monomios es necesario que utilicemos las leyes de los exponentes. Si se tienen dos potencias de la misma base los exponentes se suman:
am∙an= a(m+n) Ejercicio 1
Al multiplicar x4 por x6 es necesario considerar que el exponente nos indica las veces que se requiere multiplicar la literal “x”:
x4= x.x.x.x x6= x.x.x.x.x.x
Es posible expresar la multiplicación haciendo uso de la ley de multiplicación de potencias de la misma base como sigue:
x4 ∙ x6 = x(4+6) = x10
Observa que en total son 10 letras “x”, que se representan por 𝑥10
97
Ejercicio 2
Multiplicar 5𝑥4 𝑝𝑜𝑟 6𝑥8
La operación consiste en multiplicar los coeficientes y sumar los exponentes.
Por lo tanto, al multiplicar los monomios el resultado es 5𝑥4 ∙ 6𝑥8 = 𝟑𝟎𝒙𝟏𝟐
Ejercicios resueltos
Multiplicación de monomios
Ejemplos
Cuando deseamos multiplicar un monomio por un polinomio, utilizamos la propiedad distributiva, es decir, a cada elemento del polinomio lo multiplicamos por el monomio.
99
Ejercicio
Multiplicar 5𝑥2 𝑝𝑜𝑟 (6𝑥3 − 4𝑥2 − 8𝑥 + 10) Se debe multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio:
5𝑥2 (6𝑥3 − 4𝑥2 − 8𝑥 + 10)=
= 5𝑥2 ∙ 6𝑥3 − 5𝑥2 ∙ 4𝑥2 − 5𝑥2 ∙ 8𝑥 + 5𝑥2 ∙ 10
= 𝟑𝟎𝒙𝟓 − 𝟐𝟎𝒙𝟒 − 𝟒𝟎𝒙𝟑 + 𝟓𝟎𝒙𝟐
Ejercicios resueltos
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Ejemplo 1 Ejemplo 2
Es necesario que cada uno de los términos de uno de los polinomios se multiplique por los términos del otro. Lo anterior es posible debido a la propiedad distributiva; por último si existieran términos semejantes, habrá que reducirlos, es decir, sumarlos o restarlos según sea el caso.
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Multiplicación de polinomios
EjercicioMultiplicar (5𝑥2−7𝑥 + 8) 𝑝𝑜𝑟 (6𝑥 − 5) (5𝑥2 − 7𝑥 + 8) (6𝑥 − 5)=
= 5𝑥2 ∙ 6𝑥 − 7𝑥 ∙ 6𝑥 + 8 ∙ 6𝑥 +5𝑥2 −5 − 7x −5 + 8 −5
= 30𝑥3 − 42𝑥2 + 48𝑥 − 25𝑥2 + 35𝑥 − 40
= 𝟑𝟎𝒙𝟑−𝟔𝟕𝒙𝟐 + 𝟖𝟑𝒙 − 𝟒𝟎
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios de operaciones de monomios y polinomios.
I. Resuelve las siguientes sumas de polinomios:
1. 5b + 2c + 6d + 3c + b + d=
2. 4x3 + 3y2 – 4z + 6y2 – 3x3 + z = 3. (5x2+4y-2z3)+(z+6y2-3x3+z)=
II. Resuelve los siguientes productos entre monomios y polinomios:
1. 2b(5b)=
2. 7x2(-2x3)=
3. 3x4(3x3-4x2-x+1)=
4. (3x+2)(5x2+2x-4)=
Nota: Estas actividades son para autoestudio, no se entregan a tu profesor. 103
En esta unidad estudiamos las principales reglas para resolver correctamente las distintas operaciones algebraicas.
Conclusión
o Para sumar o restar dos monomios, se requiere que los términos sean semejantes: deben tener las mismas bases elevadas a la misma potencia o exponente.
o Para sumar dos o más polinomios se requiere también que los términos sean semejantes. Los términos que se encuentren solos, es decir sin otro término semejante, solo se deja indicado.
o Si en lugar de sumar dos polinomios se trata de restarlos, bastaría con cambiar el signo a todos los términos del segundo miembro y sumar los resultados. Los términos que se encuentren solos se dejan indicados.
SUMA-RESTA
Ecuaciones de primer grado con una variable.
105
En los negocios, todo mundo quiere ganar; sin embargo, debe haber un equilibrio entre la oferta y la demanda.
Incluso, hasta en tu casa, si necesitas un permiso, debes aportar algo a cambio
Introducción
La importancia de la igualdad
En todas partes escuchamos que se exige igualdad y las mismas oportunidades para todos, pero, ¿es la igualdad un concepto social o un concepto matemático?
En esta unidad se abordará el concepto de la igualdad de una manera numérica, pero relacionando fenómenos que acontecen a nuestro alrededor.
En el trabajo, el salario va de acuerdo con el trabajo realizado.
En la escuela, tu calificación debe ser justa según tu esfuerzo.
Por otra parte, es importante que todo esté en equilibrio para poder tener una sana convivencia en la sociedad.
En el medio ambiente, el hábitat debe estar en equilibrio para que los seres vivos garanticen su existencia, además hay niveles de contaminación que no se deben rebasar para tener una mejor condición de vida.
107
𝑥 − 8 = 2
Primer miembro
Segundo miembro Cantidades conocidas Cantidad desconocida
Observa que en el primer miembro la operación que relaciona la cantidad desconocida con la cantidad conocida, es
Se encuentra formada por dos partes fundamentales: la parte izquierda del signo igual recibe el nombre de primer miembro y la parte derecha se le conoce como segundo miembro.
Los miembros de una ecuación se encuentran a su vez compuestos por diferentes partes como se muestra a continuación:
La ecuación y sus propiedades
Una ecuación es una igualdad en la que participan cantidades conocidas y desconocidas, así como operaciones que las relacionan.
Variable
Constantes Coeficientes
Ejemplo de igualdad ilustrada mediante el uso de una báscula.
Observa que si se agrega un peso a un lado de la báscula, debe agregarse el mismo peso al otro lado para mantener el equilibrio o la igualdad.
Esta es una de las propiedades de la igualdad o ecuación. En la siguiente diapositiva se presentan las diferentes propiedades que debes tener en cuenta al momento de resolver una ecuación.
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Nombre Representación
algebraica Significado Ejemplo
Propiedad de la suma
Si a = b, entonces a+c = b+c
Podemos sumar el mismo número a los miembros de una igualdad y ésta no se altera.
Si 5 +1 = 4 + 2, entonces 5 + 1+ 3 = 4 +2 + 3
9=9 Propiedad de la
resta
Si a = b, entonces a – c = b - c
Podemos restar el mismo número a los miembros de una igualdad y ésta no se altera.
Si 5 + 1 = 4 + 2, entonces 5 +1 -2 = 4 + 2 -2
4=4 Propiedad
de la multiplicación
Si a = b, entonces ac = bc
Podemos multiplicar el mismo número a los miembros de una igualdad y ésta no se altera.
Si 5 + 1 = 4 + 2, entonces (5+1)3 = (4+2) 3
18 = 18
Propiedad de la división
Si a = b, entonces Podemos dividir los miembros de una igualdad entre el mismo número y ésta no se altera.
Si 5 + 1 = 4 + 2, entonces
La ecuación y sus propiedades
Método algebraico
Con este Método es posible encontrar el valor de la variable
“x” con menos pasos de los que tiene el Método Formal.
Primero, se determina qué operación realiza cada uno de los números que participan en la ecuación, luego se observa en qué miembro se encuentran y posteriormente, se define lo que pasará con ellos si utilizamos las propiedades de la igualdad.
Ejemplo
Determinar el valor literal en la ecuación:
𝟒𝒙 − 𝟗 = 𝟕 4𝑥 = 7 + 9
4𝑥 = 16 𝑥 = 16
4 𝒙 = 𝟒
Comprobación 4𝑥 − 9 = 7 4 4 − 9 = 7
16 − 9 = 7 7 = 7
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Para resolver un problema, lo primero que debe quedarnos claro es lo que se busca encontrar de éste y determinar cuáles son los datos que nos proporciona para, a partir de ello, establecer algún tipo de estrategia que nos permita encontrar lo que buscamos.
Situaciones que generan ecuaciones de primer grado con una variable
Hay una innumerable cantidad de situaciones que se pueden modelar a través de las ecuaciones de primer grado, todas provenientes de distintas áreas del pensamiento humano;
podemos contar la matemática misma, la química, la física, situaciones geográficas y muchas otras, todas ellas expresadas como problemas que requieren una solución en la que aparecen cantidades conocidas y desconocidas.
Para resolver este problema se debe seguir una metodología que nos lleve a un modelo matemático que represente la expresión y que posteriormente nos dé una solución al problema.
Una balanza está en equilibrio si se pone una pastilla de jabón en uno de sus platillos y en el otro se ponen ¾ de una pastilla igual y una pesa de ¾ de kilo. ¿Cuánto pesa la pastilla de jabón entera?
Ya que la introducción de este tema trató sobre el equilibrio, se presenta el siguiente ejercicio referente a este tema.
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Metodología
Paso 1. Leer cuidadosamente el enunciado del problema para determinar las variables que están incluidas.
Paso 2. Establecer una relación entre variables, de tal forma que se pueda proponer una expresión matemática de una sola variable.
Paso 3. Identificar las operaciones matemáticas que relacionen a las variables y establecer cuáles pueden tener una relación de igualdad.
Paso 4. Proponer una igualdad, también llamada ecuación.
Paso 5. Resolver y comprobar los resultados obtenidos aplicando la metodología anterior a nuestro problema.
Situaciones que generan ecuaciones de primer
grado con una variable
x 3
4 x 3
4𝑘𝑔
Paso 1. El problema menciona una balanza en equilibrio con las siguientes variables:
Una barra de jabón representada por la variable x
3
4 de una barra igual a la entera representada por 3
4 x
Una pesa de 3
4 kg.
Paso 2. La relación de igualdad se establece colocando la barra en el platillo izquierdo de la balanza y los 3/4 de barra junto con la pesa de 3/4 kg en el platillo derecho.
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Paso 5. En este paso se resuelve y comprueba la ecuación del paso 4. Recuerda que la ecuación es como una balanza en equilibrio, por lo tanto, si realizas una operación en un lado, debes realizar lo mismo o su equivalente
Situaciones que generan ecuaciones de primer grado con una variable
Paso 3. Del lado izquierdo sólo se coloca la variable x, ya que es la barra completa, y en el lado derecho se coloca 3
4 x + 3
4 ya que juntas equilibran a la balanza.
Paso 4. Ahora, se procede a establecer la relación matemática, también llamada ecuación, quedando de la siguiente manera:
x= 3
4 x + 3
4
La expresión anterior es una igualdad o ecuación de primer grado, ya que el exponente máximo de la variable es de grado 1.
Ejemplo
Determinar el valor de dos números naturales consecutivos que sumen 71.
La primera tarea es entender el problema, las partes que los forman, la información que nos proporciona y cómo se relacionan las cantidades conocidas y desconocidas.
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