Ejemplo. La desigualdad: 3x-2 > 2x+4, es una inecuación; pues sólo se cumple para valores mayores de 6; que asuma su incógnita x.

4.2.1. Definición. Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o incógnitas.

Ejemplo.

La desigualdad: 3x-2 > 2x+4, es una inecuación; pues sólo se cumple para valores mayores de 6;

que asuma su incógnita x.

4.2.2. CONJUNTO SOLUCION DE UNA INECUACION.

Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado.

4.2.3. RESOLUCION DE UNA INECUACION.

El resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución; es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación.

4.2.4. NECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Son de la forma:

ax±b > 0 ax±b < 0 ax ±b≥0 ax ±b≤0

Para todo a≠0

La idea es despejar el valor de x, teniendo en cuenta las propiedades de los números reales.

Ejemplo.

1) Resolver: 5x+2 > x-6 Resolución.

La idea es tener la incógnita en un miembro y los números en el otro miembro.

5x + 2 > x - 6

Pasando a x al primer miembro 5x + 2 -x >- 6

4x+2>-6

Pasamos ahora 2 al segundo miembro.

4x>-6-2 4x>-8

Pasando 4 al segundo miembro; como está multiplicando ; pasa dividiendo.

> −

> −

∴ ∈ − +

4.2.5. INECUACION DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA Las inecuaciones de segundo grado con una incógnita son de la forma:

≠

Donde a, b, c∈R, siendo a≠0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las propiedades de los números reales o también por medio de la naturaleza de las raíces del trinomio ax²+bx+c=0

Pueden presentarse los siguientes casos:

I. CASO: RESOLUCIÓN POR DESCOMPOSICION DE FACTORES

Deberá tenerse en cuenta las propiedades de las desigualdades, tales como:

i). El producto de dos números reales es positivo, si sólo si ambos factores son positivos o negativos.

Ejemplos.

Resolver: x²-3x-4>0 Resolución.

x²-3x-4=(x-4)(x+1) entonces: (x-4)(x+1) >0

i) x 4 0 x 1 0

(x 4)(x 1) 0 ...(*)

ii) x 4 0 x 1 0

− > ∧ + >

− + >

− < ∧ + <

(*) Si : a.b>0 a>0 ∧ b>0 o

Luego en (*)

i) x>4 ∧ x>-1 x>4 ….(1)

ii) x<4 ∧ x<-1 x<-1 ….(2)

La solución será (1) ∪ (2): x∈ −∞ − ∪, 1 4,+∞

II CASO: COMPLETANDO CUADRADOS

Para resolver inecuaciones de segundo grado por este método se debe tener en cuenta las siguientes propiedades de números reales.

2 2

i) Si : a 0; x a a x a ii) Si : a 0; x a (x a ) ( x a)

> < ⇔ − < <

> > ⇔ < − ∨ >

El procedimiento usual es convertir un trinomio: ax²+bx c 0 (a 0) (b 0)+ > ≠ ≠ en un trinomio cuadrado perfecto, para lo cual se procederá de la siguiente forma:

a) Se observará que existan los coeficientes de los términos cuadráticos (x²) , y es lineal (x¹)

b) El coeficiente del término cuadrático deberá ser: 1….(siempre) c) Se suman ambos miembros el cuadrado de: ¹de^b

2 a. d) Se llevará a una forma conocida i) o ii).

Ejemplo.

Resolver la inecuación. x²+3x+3>0 Resolución.

x2 3x 3 0 ; donde : b 3, a 1

b 3 3

a 1

+ + > = =

= =

Luego deberemos agregar:

2 2

1.3 3 9

2 = 2 =4

2 2

2 2

2

9 9 9 9

x 3x 3 x 3x 3 0

4 4 4 4

3 12 9 3 3

x 0 x 0

2 4 2 4

3 3

x 2 4

+ + + > + + − + >

+ + − > + + >

+ > −

La solución será : x R∈

4.2.6. INECUACIONES POLINOMICAS DE GRADO ≥2(FACTORIZABLES) Si tenemos una inecuación polinómica en una variable, ordenada de la forma:

n

0 1 n

P(x) a= +a x ... a x+ +

0 1 n

Con a ,a ,...a cons tantes 0≠ ;la cual podemos escribir de la forma:

(

)(

)(

) (

)

A los números r ,r ,r ,r ,...,r_{1 2 3 4 n} se llaman puntos críticos

i) Estos puntos críticos se hallan igualando parcialmente cada factor a cero (no importando por ahora el sentido de la desigualdad)

ii). Los puntos críticos los ubicamos en forma ordenada en la recta numérica real formando intervalos.

iii).Una vez colocados estos intervalos, se les asignará signos positivos y negativos en forma alternada, de extremo derecho al izquierdo comenzando siempre por la derecha de la forma:

Para la solución final tomaremos en cuenta las siguientes recomendaciones.

a). Si la inecuación tiene el signo >, la solución estará dada por la unión de los intervalos

“positivos” (llevan el signo +) y si tiene el signo ≥, los intervalos serán cerrados.

b). Si la inecuación tiene el signo <, la solución estará dada por la unión de los intervalos

“negativos” (llevan el signo -) y si tiene el signo ≤, los intervalos serán cerrados.

c). Los intervalos -∞ y +∞ son considerados abiertos en la solución final.

d). Los términos en x (los coeficientes) deberán ser siempre positivos.

Ejemplo.

Resolver: 24x⁴+2x³−5x²− ≥x 0 Resolución.

Factorizando la expresión aplicando la regla de ruffini:

1 1 1

x x x x 0

2 3 4

− + + ≥

Hallando los puntos críticos:

1 1 1

x 0 ; x 0; x 0 ; x 0

2 3 4

1 1 1

x 0; x ; x ; x

2 3 4

= − = + = + =

= = = − = −

Ubicando los “puntos críticos” en la recta numérica:

Por tener signo ≥ 0; los intervalos (+) serán cerrados.

Rpta: x ,^{1 1},0 ¹,

3 4 2

∈ −∞ − +∞

4.2.7. INECUACIONES RACIONALES.

Se pueden presentar los siguientes casos:

a) ^P(x) 0 Q(x)>

b) ^P(x) 0 Q(x)≥ c) ^P(x) 0

Q(x)<

d) ^P(x) 0 Q(x)≤

Donde P(x) y Q(x) son polinomios ordenados en “x“ completos o no.

Para la solución al factorizar Q(x), los valores críticos en sus intervalos respectivos siempre serán “bola abierta”…..”o”

El método más práctico es el de los “puntos críticos”

Ejemplos.

1) Resolver: _x2^{x 2}_{+ −}⁻_{x 2}^≥0 Resolución.

Entonces P(x)= x-2 , Q(x)= x²+x-2=(x+2)(x-1)

Tenemos: ^{x 2} 0

(x 2)(x 1)

− ≥

+ −

Los puntos críticos serán:

x-2=0 ; x+2=0 ; x-1=0

Deben ser "bola abierta "

para evitar la in det er minacion de dividir entre cero

x 2 ; x= = −2 ; x 1=

[

x 2,1 2,

∴ ∈ − +∞

2) Resolver:

( ) ( )( )

( )

7 8

x 4 x 5 x 3 3x 2 (2x 1)(x 4) 0

− + −

+ + + >

Resolución.

• Cuando un factor tiene exponente natural impar, sólo lo consideraremos una vez como factor.

• Cuando un factor tiene exponente natural par, se obvia en la solución (teniendo en cuenta si puede o no ser “cero”)

Tendríamos:

( ) ( )( )

( )( )

x 4 x 5 x 21

0; Con 3x 2 0

2x 1 x 4

x 2 3

− + −

> + ≠

− +

≠ −

Los puntos críticos serán:

x 4 0 ; x 5 0 ; x 3 0 ; 2x 1 0 ; x 4 0 x 4 ; x 5 ; x 3 ; x 1; x 4

2

− = + = − = − = + =

= = − = = = −

Rpta: x 5, 4 ¹,3 4, x ²

2 3

∈ − − +∞ − = −

4.2.8. INECUACIONES EXPONENCIALES

Se presentan únicamente las formas:

f ( x) g( x ) f ( x) g( x)

1). N N

2). N N

Tanto en f(x) como g(x); x R; ademas N R

>

<

∈ ∈

f( x) g( x)

Si : N >N f(x) g(x) ; siempre que N 1 (el sentido no cambia)> >

Ejemplo.

1. Resolver: 4^{x 2x+} <8^{x 2x 2−+} Resolución.

Colocamos 4 y 8 en base 2:

( )

( )

Efectuando “el exponente de exponentes”…. 2^{2.x 2x+} <2^{3.x 2x 2−+} Se observa que N=2 (2>1)……. 2^{.x 22x+} <2^{3( x 2)x 2+−} Entonces estamos en el primer caso:

f ( x) g( x)

Si : N >N f(x) g(x) ; siempre que N 1 (el sentido no cambia)> >

2x 3(x 2) 0

x 2 x 2

Resolviendo; la solucion sera

x , 2 6,

− − <

+ +

∈ −∞ − +∞

2. Resolver: ^{x 2−}

(

)

(

)

Resolución.

Transformando convenientemente

( ) ( )

( ) ( )

x 1 x 3

x 2 x 1

x 1 x 3

3 x 2 2 x 1

0.008 0.04 (0.2) (0.2)

− −

− −

− −

− −

≥

≥

Estamos en el caso 2 Se observa que N=0.2(<1) Entonces:

( ) ( )

[ ]

3 x 1 2 x 3

x 2 x 1

Resolviendo la inecuacion por puntoscriticos : x 1,2 3,5

− +

− ≤ −

∈

4.2.9. INECUACIONES LOGARITMICAS

Debemos recordar previamente que si: _b ^x

Notacion Notacion exp onencial Logaritmica

log N x= ⇔ =N b

Además de las siguientes propiedades del logaritmo:

b b b

b b b

n

b b

n

b b

b b

b a

b

I. log AxB log A log B II. log A log A log B

B

III. log A nlog A IV. log A 1.log A

n V. log 1 0 VI. log b 1

log N

VII. log N (cambio de base) log a

= +

= −

=

=

=

=

=

Tener en cuenta que:

1) Los logaritmos sólo se extraen a números reales.

2) La base de un logaritmo no puede ser menor que cero(tampoco cero)

Se presentan entonces dos casos:

I CASO: La base b es mayor que 1.

a) Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo.

b) Los números fraccionarios ( entre 0 y 1) tienen logaritmo negativo

b b

N b

N b

log x < log y

log x >N x>b log x <N x<b Por ello ;dados x,y R

Si : b 1 0 x y Luego :

Si : x 0; b 1 x 0; b 1

∈

> ∧ < <

> >

> >

II CASO: La base b es 0 <b <1

a) Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo.

b) Los números fraccionarios ( entre 0 y 1) tienen logaritmo positivo.

b b

N b

N b

log x < log y

log x >N 0<x<b log x <N x>b Por ello ;dados x,y R

Si : b 1 0 x y Luego :

Si : x 0; 0 b 1 x 0; 0 b 1

∈

> ∧ < <

> < <

> < <

Ejemplos.

1. Resolver: 2^x > 3

x x

2 2 2 2

2 2

2 3 log 2 log 3 xlog 2 log 3 x log 3

x log 3, Rpta.

> ⇔ > ⇔ >

⇔ >

∴ ∈ + ∞

Por estar la incógnita como exponente, la hemos bajado tomando logaritmo a ambos miembros.

Además hemos tomado log22; para aplicar la propiedad: log b 1b =

2. Resolver: 8 8

2log (x 2) log (x 3) 2

− − − >3 Resolución.

( )

( ) ( )

( )

( )

2

8 8 8

2 2 2

3 2

2

2 x 2 2

2log (x 2) log (x 3) log ...(*)

3 x 3 3

x 2 x 2

En (*) : 0 8

x 3 x 3

x 2;x 3 0 x 2 4

x 3

x 2; x 3 x 2 4 0

x 3

− − − > − >

−

− −

> ∧ >

− −

≠ − > ∧ − >

−

≠ > ∧ − − >

−

( )

( )

2

2

2

x 2 4(x 3) x 3 0 x 8x 16 0

x 3

x 4 0

x 3

x 3 0 ; x 4

x 2; x 3 x 3 ; x 4

x 2,3 4,

− − −

∧ >

−

− +

∧ >

−

∧ − >

−

∧ − > ≠

≠ > > ≠

∴ ∈ +∞

4.2.10. INECUACIONES CON RADICALES

1.- LEMA : Sean x , y números ℜ Entonces:

0 ≤ x ≤ y ⇔0 ≤x ≤y 2.- LEMA : Sean x , y números ℜ

0 ≤ x < y ⇔ ≤ <0 x y

3.- TEOREMA si n es un Z⁺ par entonces:

nx≤ny ⇔ ≤0 x ≤ y

nx < ⁿy ⇔ 0≤ x < y

4.- TEOREMA Si n es una Z⁺ impar entonces

n n

n n

n n

a) x y x y

b) x y x y

c) x 0 x 0

d) x 0 x 0

≤ ⇔ ≤

< ⇔ <

≥ ⇔ ≥

< ⇔ <

5.- TEOREMA Sean a y b números R, entonces :

a b< ⇔ ≥a 0 ∧ b 0> ∧ a< b2

6.- TEOREMA Sean a y b números R, entonces :

2 2

a b a 0 b 0 (b 0 a b )

a b a 0 b 0 (b 0 a b )

> ⇔ ≥ ∧ < ∨ ≥ ∧ >

≥ ⇔ ≥ ∧ < ∨ ≥ ∧ ≥

EJEMPLOS

Resolver las inecuaciones dadas y representar sus soluciones sobre una recta real.

1. x 3

4 x 2

2 2 x

x ≥ −

+

−

−

−

Resolución

Por el teorema: ^a ≥ ^b ⇔ ^a ≥⁰ ∧^[b<⁰ ∨^(b≥⁰ ∧ ^a≥ ^b2)] Calculo del universo:

4 0 x 2

2 2 x

x ≥

+

−

−

−

B

) 0 4 x 2 0 2 2 x x ( A

) 0 4 x 2 0 2 2 x x

( − − ≥ ∧ − + > ∨ − − ≤ ∧ − + <

Calculo de A:

2 4 x 0 2 2 x x :

A − − ≥ ∧ + <

4 4 x 0 ) 1 x ( ) 2 x

( − + ≥ ∧ + <

4 4 x 0 ) ,

2 [ ] 1 , x

( ∈<−∞ − ∪ + ∞ > ∧ ≤ + <

0 x 4 ) , 2 [ ] 1 , x

( ∈<−∞ − ∪ + ∞ > ∧ − ≤ <

>

−

∈

∩

>

∞ +

∪

−

∞

−

<

∈ , 1] [2, ) x [ 4 ,0

x (

] 1 , 4 [ x

A = ∈ − −

∴

Calculo de B:

4 x 2 0 2 2 x x :

B − − ≤ ∧ < +

4 x 4 0

) 1 x ( ) 2 x

( − + = ∧ < +

4 x 4 0 0

) 1 x ( ) 2 x

( − + = ∧ ≤ < +

4 x 4 4

0 ) 0 1 x 0 2 x

( − = ∨ + = ∧ ≤ ∧ < +

x 0 )

1 x 2 x

( = ∨ =− ∧ ℜ ∧ <

0 x ) 1 x 2 x

( = ∨ =− ∩ >

} 2 { B =

∴

Sustituyendo A y B

} 2 { ] 1 , 4 [ x

U = ∈ − ∪

Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es negativo.

} 2 { ] 1 , 4 [ U x

C.S.= ∈ = − ∪

∴

2. ^{x 4}

2 1 x - 9

3 2 2 x

x > −

− +

− +

Resolución

Por el teorema: a > b ⇔ a ≥0 ∧[b<0 ∨(b ≥0 ∧ a >b2)]

Calculo del universo:

0 2 1

x 9

3 2 2 x

x ≥

−

− +

− +

B

) 0 2 1

x 9 0 3 2 2 x x ( A

) 0 2 1 x 9 0 3 2 2 x x

( + − + ≥ ∧ − − > ∨ + − + ≤ ∧ − − <

Calculo de A:

x2 9 1 3 2 2 x x :

A + − ≥ − ∧ < −

x2 9 1 0 0 ) 1 x ( ) 2 x

( + − ≥ ∧ ≤ < −

2 0 2 8 x 1 0 ) ,

1 [ ] 2 , x

( ∈<−∞ − ∪ + ∞ > ∧ ≤ ∧ − <

] 0 ) 2 2 x ( ) 2 2 x ( [ ) , 1 [ ] 2 , x

( ∈<−∞ − ∪ +∞ > ∧ ℜ ∧ − + <

] 2 2 , 2 2 x

[ ) , 1 [ ] 2 , x

( ∈<−∞ − ∪ + ∞> ∧ ℜ ∧ ∈ <− >

>

−

<

∈

∩

>

∞ +

∪

−

∞

−

<

∈ , 2] [1, ) x 2 2 , 2 2

x (

>

∪

−

−

<

∈

=

∴ A x 2 2 , 2] [1 ,2 2

Calculo de B:

2 1 x 9 0 3 2 2 x x :

B + − + ≤ ∧ − <

φ ∩ 9−x2 < 1 φ

=

∴ B

Sustituyendo A y B

>

∪

−

−

<

∈

= φ

∪

>

∪

−

−

<

∈

=(x 2 2, 2] [1,2 2 ) x 2 2, 2] [1,2 2 U

Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es negativo.

>

∪

−

−

<

=

∈

=

∴C.S. x U 2 2 , 2] [1 ,2 2

3. ^{x 8}

2 4 x 21

4 2 3x

x ≥ −

−

−

−

−

Resolución

Por el teorema: a ≥b ⇔ a≥0 ∧[b <0 ∨ (b ≥0 ∧ a≥ b2)] Calculo del universo:

8 x 2 4

x 21

4 x 2 3

x ≥ −

−

−

−

−

B

) 0 2 4 x 21 0

4 2 3x x ( A

) 0 2 4 x 21 0

4 2 3x x

( − − ≥ ∧ − − > ∨ − − ≤ ∧ − − <

Calculo de A:

21 2 4

x 0 4 x 2 3 x :

A − − ≥ ∧ − <

21 2 4

x 0 ) 1 x ( ) 4 x

( − + ≥ ∧ − <

21 2 4

x 0 ) ,

4 [ ] 1 , x

( ∈<−∞ − ∪ + ∞> ∧ ≤ − <

2 25 x 4 ) ,

4 [ ] 1 , x

( ∈<−∞ − ∪ +∞ > ∧ ≤ <

] 5 , 5 x ) ] 2 , x

, 2 [ x ( [ ) , 4 [ ] 1 , x

( ∈<−∞ − ∪ +∞> ∧ ∈ +∞>∪ ∈<−∞ − ∩ ∈<− >

) 5 , 2 [ ] 2 , 5 x

( ) ,

4 [ ] 1 , x

( ∈<−∞ − ∪ + ∞ > ∩ ∈<− − ∪ >

>

∪

−

−

<

∈

=

∴ A x 5 , 2] [4,5

Calculo de B:

2 4 x 21 0

4 x 2 3 x :

B − − ≤ ∧ < −

2 4 x 21 0

) 1 x ( ) 4 x

( − + = ∧ < −

2 4 x 21 0 0 ) 1 x ( ) 4 x

( − + = ∧ ≤ < −

2 4 x 21 21

0 ) 0 1 x 0 4 x

( − = ∨ + = ∧ ≤ ∧ < −

x2 25 )

1 x 4 x

( = ∨ = − ∧ ℜ ∧ <

) 5 x 5 x ( ) 1 x 4 x

( = ∨ = − ∩ > ∨ <−

φ

=

∴ B

Sustituyendo A y B

φ

∪

>

∪

−

−

<

∈

=(x 5 , 2] [4,5 ) U

Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es negativo.

>

∪

−

−

<

∈

=

∈

=

∴C.S. x U x 5 , 2] [4,5

4. x 6

2 x 2

2 4 2 5x

x ≥ −

−

−

− +

−

Resolución

Por el teorema: ^a ≥^b ⇔ ^a≥⁰ ∧^[b<⁰ ∨^(b ≥⁰ ∧ ^a≥ ^b2)] Calculo del universo:

2 0 x 2

2 4 x 2 5

x ≥

−

−

− +

−

B

) 0 2 x 2 0 2 4 x 2 5 x ( A

) 0 2 x 2 0 2 4 x 2 5 x

( − + − ≥ ∧ − − > ∨ − + − ≤ ∧ − − <

Calculo de A:

4 2 x 4

4 x 2 5 x :

A − + ≥ ∧ − <

4 2 x 0 4 2 5x x 4

0≤ ≤ − + ∧ ≤ − <

6 x 2 4 2 5x x 4 0

4≥ ∧ ≤ − + ∧ ≤ <

6 x 2 0 ) 5 x (

x − ≥ ∧ ≤ <

∧ ℜ

>

∈

∧

>

∞ +

∪

∞

−

<

∈ ,0] [5, ) x [2,6 x

(

>

∈

=

∴ A x [5,6

Calculo de B:

2 x 4 0

2 4 x 2 5 x :

B − + − ≤ ∧ < −

x2−5x+4 ≤ 4 ∧ 0≤4<x−2 2 x 4 4 0 4 4 2 5 x

0≤ − x+ ≤ ∧ ≤ ∧ < −

6 x )

4 4 2 5x x 0 4 2 5x x

( − + ≥ ∧ − + ≤ ∧ ℜ ∧ >

6 x ] 0 ) 5 x ( x 0 ) 1 x ( ) 4 x (

[ − − ≥ ∧ − ≤ ∧ >

>

∞ +

<

∈

∩

∈

∩

>

∞ +

∪

∞

−

<

∈ ,1] [4, ) x [0,5]] x 6, x

( [

>

∞ +

<

∈

∩

∪

∈[0 ,1] [4,5]) x 6, x

(

φ

=

∴ B Sustituyendo A y B

φ

∪

>

∈

=x [5,6 U

Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es negativo.

>

=

∈

=

∴ C.S. x U [5,6

5. Si ^{A ={x∈ℜ/2x+3 x−5≥0}} y B ={x∈ℜ/x−6 x−2+8>0}; hallar A∩B. Resolución

Determinar por extensión el conjunto A:

} 0 5 x 3 2x / x {

A = ∈ℜ + − ≥

3 2

5 x

x −

≥

Por el teorema: a ≥b ⇔ a≥0 ∧[b <0 ∨(b ≥0 ∧ a≥ b2)]

} 2] 3 )

2x (5 x 3 0

2x [5 3 0

2x {5 0

x ≥ ∧ − < ∨ − ≥ ∧ ≥ −

} ] 9 )

4x2 20x (25 x 2 5 [ 2 5 { 0

x − +

≥

∧

≤

∨

>

∧

≥ x x

} ] 0 25 2 29x

4x 2 5 x [ 2 5 x { 0

x ≥ ∧ > ∨ ≤ ∧ − + ≤

} ] 0 ) 1 (x ) 25 4x ( 2 5 x [ 2 5 x { 0

x ≥ ∧ > ∨ ≤ ∧ − − ≤

} ) ] 4 25 , 1 [ x 2 5 x ( 2 5 x { 0

x ≥ ∧ > ∨ ≤ ∧ ∈

} ] 2 5 , 1 [ x 2 5 x { 0

x ≥ ∧ > ∨ ∈

>

∞ +

∈

∧

≥0 x [1, x

>

∞ +

∈

= x [1, A

Determinar por extensión el conjunto B:

} 0 8 2 x 6 x / x {

B = ∈ℜ − − + >

6 8 2 x

x +

<

−

Por el teorema: ^{a <b ⇔ a≥0 ∧[b >0 ∧ a <b2]}

2] 6 )

8 (x 2 x 6 0

8 [x 0 2

x +

<

−

∧ + >

∧

≥

−

] 64 2 16x x ) 2 x ( 36 8 x [ 2

x ≥ ∧ >− ∧ − < + +

] 64 2 16x

x 72 36x 8

x [ 2

x ≥ ∧ >− ∧ − < + +

] 0 138 2 20x

x 8 x [ 2

x ≥ ∧ >− ∧ − + >

] 0 2 38 ) 10 x ( 8 x [ 2

x ≥ ∧ >− ∧ − + >

] 8

x [ 2

x ≥ ∧ > − ∧ ℜ 8

x 2

x ≥ ∧ >−

>

∞ +

∈

=x [2, B

Nos piden:

Hallar A∩B = x∈[1,+∞>∩ x∈[2,+∞>

>

∞ +

∈

=x [2, C.S.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Resolver : 0

) 3 27 x ( . ) 12 (x . ) 8 2 7x x ( 4 .

3 x

)7 1 x ( 5 .

6 x 4. ) 2 - x ( 3 .

10 2 9x x . x -

12 ≤

−

−

− + +

+ +

−

−

2. Si A ={x∈Z/ 3-3x− 4x+21-x2 ≤0} y B={x∈A/∃y∈Z/x =y2} ; hallar el complemento de A en B.

3. Resolver: 0 ) 48 2 4x 3 8x x ( 3 . ) 4 x (

) 12 3 13x

x ( 2. ) 1 - x ( 3 .

2 1

x ≥

− + + +

+

−

−

4. Determinar el valor de m para que la inecuación: 3 1 2 x x

1 2 mx 3 x

- <

+ +

+

< − , se cumpla

ℜ

∈

∀ x .

4.2.11. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO.

1). a 0 , a R 2). a a, a R 3). a a 4). ab a b

a a

5). , b 0

b b

6). a b a b (desigualdad triangular)

≥ ∀ ∈

≥ ∀ ∈

= −

=

= ≠

+ ≤ +

PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES

[ ]

[ ]

2 2 2 2

1. x y y 0 ( y x y)

2. x y y 0 (x y x y)

3. x y x y x y

4. x y x y

< ⇔ > ∧ − < <

> ⇔ ≥ ∧ > ∨ < −

< ⇔ < ⇔ =

+ ≥ +

EJEMPLOS.

1. Demostrar la validez de cada uno de las siguientes proposiciones:

a) Si 1

x 4 3 1

x <

→ −

<

c) x∈[−5,4> → 3x−5 ≤20

b) Si ∈< >

→ +

< ) 0,1

5 x ( 1 4 1 - x

d) 6 3 2x

5x 1 1

x <

−

→ −

<

e) Si a, b, c ∈ℜ a+b+c ≤ a + b + c Resolución

a) Si 1

x 4 3 1

x <

→ −

<

3 x 3 3

x < ↔ − < < Multiplicando por -1:

↔ −3<−x <3 Sumando + 4:

↔ 1<4−x <7

1

x 4

1 7

1 <

< −

↔ Pero como 1

7 1 >−

1

x 4 1 1 <

< −

−

↔

1

x 4

1 <

−

∴ La afirmación es verdadera.

b) Si ^{< →} ₊ ^)∈<0,1>

5 x ( 1 4 1 - x

4 1 x 4 4

1 -

x < ↔ − < − <

↔ −4<x−1<4 Sumando + 6:

↔2<x−5<8 Invirtiendo:

2 1 5 x

1 8

1 <

< −

↔

∈ < >

− 2

,1 8 1 5 x

1

∴ La afirmación es falsa.

c) x∈[−5,4> → 3x−5 ≤20 20 5 3x 20 20

5

3x− ≤ ↔ − ≤ − ≤

↔ −20≤3x−5≤20 Sumando + 5:

↔ −15≤3x≤25 Dividiendo entre 3:

3 25 3 3x 3

15 ≤ ≤

−

↔

3 x 25 5≤ ≤

−

↔

3] ,25 5 [ x∈ −

∴ La afirmación es falsa.

d) 6

3 2x

1 1 5x

x <

−

→ −

<

i ) x <1 ↔ −1<x<1

↔ −1<x<1 Multiplicando por 5:

↔ −5<5x<5 Restando – 1:

↔ −6<5x−1<4

ii ) x <1 ↔ −1<x<1

↔ −1<x<1 Multiplicando por 2:

↔ −2<2x<2 Restando – 3:

↔ −5<2x−3<−1 Invirtiendo:

5 1 3 2x 1 1 <−

< −

−

↔

Multiplicando en aspa i) y ii)

− <

< −

− 5

6 3 2x

1 4 5x

5 6 3 2x

1 5x 5

6 <

−

< −

−

5 6 3 2x

1 5x <

−

−

∴ La afirmación es falsa.

1. En las siguientes implicaciones, el antecedente es verdadero, demostrar que el consecuente también es verdadero.

a) Si

3 2 3 x 1 2x

, 0

x <

→ +

>

<

∈

c) Si 3

1 x

5 1 x

x <

+

→ +

<

b) Si a, b ∈ℜ a−b ≤ a + b d) x−1 <1 → x + x−2 =2

Resolución a) Si

3 2 3 x 1 2x

, 0

x <

→ +

>

<

∈

3 2 3 x

2x 3 2 3

2 3 x

2x <

< +

−

↔ + <

3 2 3 x 2 6 3

2 <

− +

<

−

↔ Multiplicando por - 1:

3 2 2 3 x

6 3

2 − <

< +

−

↔ Sumando + 2:

3 8 3 x

6 3

4 <

< +

↔ Invirtiendo:

8 3 6

3 x 4

3 + <

<

↔ Multiplicando por 6:

8 3 18 4 x

18< + <

↔ Restando – 3:

2 x 3 4 3< <

−

↔

>

−

<

∈ 2

,3 4

x 3 ∴ La afirmación es falsa.

b) Si a, b ∈ℜ a−b ≤ a + b

)2 b a 2 ( b ab 2 2 a

b2 2 2ab 2 a b) a 2 ( b a

−

= +

−

≤

≤ +

−

=

−

=

−

)2 b a 2 ( b

a− ≤ −

b a b

a− ≤ − l.q.q.d.

c) Si 3 1 x

5 1 x

x <

+

→ +

<

3

1 x

5 3 x 1 3

x 5

x <

+

< +

−

↔ + <

+

1 3 x 1 4

3 <

+ +

<

−

↔ Restando - 1:

1 2 x 4 4 <

< +

−

↔ Invirtiendo2:

2 1 1 x 4 1

4 ^<

< +

−

↔ Multiplicando por 4:

2 1 x 1< + <

−

↔ Restando – 3:

1 x 2< <

−

↔ Pero -1 > -2

1 x 1< <

−

↔

^x <¹

∴ La afirmación es verdadera.

2. Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

a) Si y x 0 x 12

7 1 1 2 x

x − < > → >

+

b) Si x∈[−3,2] → x3−2x2+3x−4 <28 c) Si a−b ≤c → a < b +c,conc>0

Resolución

a) Si y x 0 x 12

7 1 1 2 x

x − < > → >

+

− < ∧ > →

+ x 0

7 1 1 2 x

x x 0

7 1 2 x

2 x

x < ∧ >

+

−

−

x 0

7 1 2 x

2 < ∧ >

+

0 x 14 2

x+ > ∧ >

0 x ) 14 2 x 14 2 x

( + > ∨ + <− ∧ >

0 x ) 16 x 12 x

( > ∨ <− ∧ >

12 x >

∴ La afirmación es verdadera.

b) Si x∈[−3,2] → x3−2x2+3x−4 <28

Ya que si x∈[−3,2], podemos elegir x=−3

En este caso: x3−2x2+3x−4 =(−3)3−2(−3)2+3(−3)+2

58

2 9 18 27

−

=

+

−

−

−

=

Luego:

∴ La afirmación es falsa.

c) Si a−b ≤c → a < b +c,conc>0

Por ejemplo si a=−1000, b=c=1,setieneque: 0

c c, b a pero , c ] b a

[ − < < + >

1 1 1000 pero , 1 ] 1 1000

[− − < < +

∴ La afirmación es falsa.

3. Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones para números reales.

a) Si x<0 →(x−1)(3x−x2−2) >0 c) x2−7x+10<0 → 2x−7 <3

b) x 5 2

2 3 3 x

2

x < → − <

+

+

d) ∈<− − >

→ −

< ) 14, 110

7 x ( 1 3 x

Resolución

a) Si x<0 →(x−1)(3x−x2−2)>0

28 58

4 2 3x 3 2x

x <

−

− +

−

28 58<

0 ] ) 2 2 3x x ( [ ) 1 x

( − − − + >

0 ) 2 2 3x x ( ) 1 x

( − − + <

0 ) 2 x ( ) 1 x ( ) 1 x

( − − − <

0 ) 2 x 2( ) 1 x

( − − <

0 ) 2 x 2( ) 1 x

( − − <

1 x 2 x < ∧ ≠

} 1 { 2 , x∈<−∞ > −

∴ La afirmación es verdadera.

b) x 5 2

2 3 3 x

2

x < → − <

+ +

2 5 x 2 2

5

x− < ↔ − < − < Sumando + 8:

10 3 x 6< + <

↔ Invirtiendo:

6 1 3 x

1 10

1 <

< +

↔ Multiplicando por - 1:

10 1 3 x

1 6

1 <−

− +

<

−

↔ Sumando + 1:

10 9 3 x 1 1 6

5 <

− +

<

↔

10 9 3 x

2 x 6

5 <

+

< +

↔

10 9 3 x

2 x 10

9 <

+

< +

−

↔

10 9 3 x

2 x <

+ +

∴ La afirmación es falsa.

c) x2−7x+10<0 → 2x−7 <3 0 10 2 7x

x − + <

0 4 2 9 ) 2 7 x

( − − <

4 2 9 ) 2 7 x

( − <

2 3 2 7 x 2

3 < − <

−

3 7 x 2 3< − <

−

3 7 x 2 − <

∴ La afirmación es verdadera.

d) ∈<− − >

→ −

< ) 14, 110

7 x ( 1 3 x

3 x 3 3

x < ↔ − < <

↔ −10 < x−7 < −4

10

1 7 x

1 4

1 < −

< −

−

↔

∈< − − >

↔ −

10 , 1 4 1 7

x 1

∴ La afirmación es verdadera.

4. Demostrar que ∀ a,b∈ℜ: a − b ≤ a+b Demostración

Aplicaremos la desigualdad triangular para la resta:

ℜ

∈

∀ +

≤

−y x y , x,y

x Luego:

i) (a+b)−a ≤ a+b + a a b a

b ≤ + +

b a b

a − ≥− +

ii) (a+b)−b ≤ a+b + b b b a

a ≤ + +

b a b

a − ≤ +

Por i) y ii), se tiene:

b a b a b

a+ ≤ − ≤ +

−

Por el Teorema: x ≤b ↔ b≥0∧ −b≤x≤ b b

a b

a − ≤ + l.q.q.d.

5. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

a) 3

2 3 x

2 2 x

5 -

x <

+

→ +

<

c) 1

2 x

1 3 1 1 x

0 <

< +

→

<

<

b) 3

1 x

5 1 x

x <

+

→ +

<

d) ∈< >

→ −

>

−

<

∈ ) 110,14

x 8 ( 1 5 , 2 x Resolución

a) 3

2 3 x

2 2 x

5 -

x <

+

→ +

<

2 5 x 2 2

5

x− < ↔ − < − < Sumando + 8:

10 3 x 6< + <

↔ Invirtiendo:

6 1 3 x

1 10

1 <

< +

↔ Multiplicando por - 1:

10 1 3 x

1 6

1 <−

− +

<

−

↔ Sumando + 1:

10 9 3 x 1 1 6

5 <

− +

<

↔

10 9 3 x

2 x 6

5 <

+

< +

↔

10 9 3 x

2 x 10

9 <

+

< +

−

↔

10 9 3 x

2 x <

+ +

∴La afirmación es verdadera.

b) Si 3

1 x

5 1 x

x <

+

→ +

<

1 3 x

5 3 x 1 3

x 5

x <

+

< +

−

↔ + <

+

3 1 x 1 4

3 <

+ +

<

−

↔ Restando - 1:

2

1 x 4 4 <

< +

−

↔ Invirtiendo2:

2 1 1 x 4 1

4 ^<

< +

−

↔ Multiplicando por 4:

↔ −1< x+1 <2 Restando – 3:

↔ −2< x <1 Pero -1 > -2 ↔ −1< x <1

x <1

∴ La afirmación es verdadera.

c) 1

2 x

1 3 1 1 x

0 <

< +

→

<

<

2 1 x

1 3

1 <

< +

↔ Invirtiendo:

3 2 x 1< + <

↔ Restando – 2:

1 x 1< <

−

↔

1 x <

∴ La afirmación es falsa.

d) ∈< >

→ −

>

−

<

∈ ) 110,14

x 8 ( 1 5 , 2 x

4 1 x 8

1 10

1 <

< −

↔ Invirtiendo:

10 x 8 4 < − <

↔ Multiplicando por – 1:

4 8 x

10 < − <−

−

↔

4 x 2 < <

−

↔

>

−

<

∈ 2,4 x

∴ La afirmación es falsa.

6. Demostrar que si 0≤b ≤a → a − b ≤ (a+b)(a−b) Demostración

Como: 0≤b≤a,entonces: a =a , b =b, a-b =a−b y a+b =a+b

Sabemos que: -b ≤ b /+a 0 b) a ( / b a b

a− ≤ + − ≥

/ b) (a b) 2 (a

b)

(a− ≤ + −

b) (a b) (a b

a− ≤ + −

) b a ( ) b (a b

a − ≤ + −

7. Demostrar que ∀a,b,c,d∈ℜ: a−d ≤ a−b + b−c + c−d Demostración

Desde la desigualdad triangular: u+v ≤ u + v , ∀u,v∈ℜ

Es posible demostrar la siguiente desigualdad:

z ) y x ( z y x z y)

(x+ + ≤ + + ≤ + + , Pero: x+y ≤ x + y

ℜ

∈

∀ + +

≤ +

+y z x y z , x,y,z x

−

=

−

=

−

=

d c z

c b y

b a x :

haciendo , se tiene:

d c c b b a ) d (c c) (b b)

(a− + − + − ≤ − + − + −

d c c b b a d

a− ≤ − + − + −

8. Demostrar que ∀a,b,c,d∈ℜ:; se cumple:

abc 8 ) c b ( ) c a ( ) b a

( + + + ≥

Demostración

....(*)

2 0 ) b a ( . c

2 0 ) c a ( . b

2 0 ) c b ( . a : que Esclaro

≥

−

≥

−

≥

−

También: 8 abc ≥ 8 abc (8- 8) abc ≥0....(**)

Luego, de (*) y (**), se tiene:

0 abc ) 8 8 2 ( ) b a ( 2 c ) c a ( 2 b ) c b (

a − + − + − + − ≥

abc 8 ) c b ( bc ) c b ( ab ) c b ( ac ) c b 2(

a + + + + + + + ≥

abc 8 ) c b ( . ) bc ab 2 ac

a

( + + + + ≥

abc 8 ) c b ( ] ) c a ( b ) c a ( a

[ + + + . + ≥

abc 8 ) c b ( ) c a ( ) b a

( + + + ≥

9. Sean los números reales a, b, c tales que a y c son signos diferentes demostrar que si c

a b c b

a< < → ≤ + .

Demostración.

Sabemos que a< b<c y a, c tiene signos diferentes:

Como a < c, entonces: c es positivo y a negativo.

c 0 a< <

∴

Caso 1: b<0 en este caso: ∴ a<b<0 /.(−1) 0

b a>− >

− b a >

∴ b < a

(*) ...

c a b < +

Caso 2: b≥0 en este caso: ∴ 0≤ b<c b < c ....(**)

a c b < + De (*)y(**) c a b < +

10. Demostrar que:

>

<

= <

− +

2 x si , x 4

2 x 0 si , 2 x

x - 2 x 2

a ₀ c

b b

Si: 0<x<2

x 2 2x x

x 2 x 2 x

) x 2 ( ) x 2

( + − + = =

− =

− +

Si: x >2

x 4 x

x 2 x 2 x

) x 2 ( ) x 2

( + + − =

− = + +

11. En los ejercicios siguientes, hallar el valor de la expresión E en el intervalo indicado.

a) + − − ∈< >

= ,six 0,1

x 1 x 1

E 4x

b) + − + ∈< >

= ,six 0,3

x 2 x 3 2 x

E 7

c) − − + ∈<− − >

= ,six 5, 4

2x 24 x 5 8 x 3 E 3

d) + − − ∈<− − >

= , six 3, 2

5x x 8 4 32 x E 6

Resolución

a) + − − ∈< >

= ,six 0,1

x 1 x 1

E 4x

Eliminamos las barras del valor absoluto, partiendo de la condición dada, esto es:

Si x∈<0,1> → 0<x<1 → 0<4x<4 → 1<4x+1<5 Dado que: 4x+1>0 → ∀x∈<0,1> → 4x+1 =4x+1 Si x∈<0,1> → 0<x <1 → −1<x−1<0

Aquí se observa que: x−1<0 x−1 =−(x−1)

Por lo tanto: 5

x 5x x

1 x 1

E 4x+ + − = =

=

b) + − + ∈< >

= ,six 0,3

x 2 x 3 2 x E 7

Elimínanos las barras del valor absoluto, partiendo de la condición dada, esto es:

Si x∈<0,3> → 0<x<3 → 0<7x <21 → 2<7x+2<23 Dado que: 7x+2>0 → ∀x∈<0,3>→ 7x+2 =7x+2

Si x∈<0,3> → 0<3x<3 → 2<3x+2<5

Dado que: 3x+2>0 → ∀x∈<0,3>→ 3x+2 =3x+2

Por lo tanto: 4

x 4x x

2 x 3 2

E 7x+ − − = =

=

c) − − + ∈<− − >

= , six 5, 4

2x 24 x 5 8 x 3 E 3

Elimínanos las barras del valor absoluto, partiendo de la condición dada, esto es:

Si x∈<−5,−4> →−5<x<−4→−15<3x<−12→−23<3x−8<−20 Aquí se observa que: 3x−8<0 3x−8 =−(3x−8)

Si x∈<−5,−4> →−5<x<−4→−25<5x<−20→ −1<5x+24<4 Dado que: 5x+24>0 → ∀x∈<−5,−4>→ 5x+24 =5x+24

Por lo tanto: 7

2x x 14 2x

24) (5x ) 8 (3x

E 3 − =−

+ =

−

−

= −

d) + − − ∈<− − >

= ,six 3, 2

5x x 8 4 32 x E 6

Elimínanos las barras del valor absoluto, partiendo de la condición dada, esto es:

Si x∈<−3,−2>→−3<x<−2→−18<6x<−12→14<6x+32<20 Dado que:

32 x 6 32 x 6 2 , 3 x 0

32 x

6 + > → ∀ ∈< − − >→ + = +

Si x∈<−3,−2> → −3<x <−2 → 2<−x<3→ 10<8−x<11 Dado que: 8−x >0 → ∀x∈<−3,−2>→ 8−x =8−x

Por lo tanto: 2

5x x 10 5x

x) (8 4 32 x

E 6 + − − = =

=

12. Si x∈[1,3], hallar el menor numero M, tal que M 1 2x

5

x ≤

+

−

Resolución

i) Si x∈[1,3] ↔ 1 ≤x ≤3 Restando – 5:

2 5 x 4 ≤ − ≤−

−

↔

ii) Si x∈[1,3] ↔ 1 ≤x ≤3 Multiplicando por 2:

6 x 2

2 ≤ ≤

↔ Sumando + 1:

3 1 1 x 2

1 7

1 ≤

≤ +

↔

Multiplicando en aspa i) y ii)

3 2 1 2x

5 x 7

4 ≤−

+

≤ −

−

7 4 1 2x

5 x 7

4 ≤

+

≤ −

−

7 4 1 2x

5

x ≤

+

−

∴ 7

M= 4

13. Si 2x∈[15,6], hallar el menor numero M, tal que M 6 x

3

x ≤

+ +

Resolución

i) Si 2x∈[15,6] ↔ 15 ≤2x ≤6 Invirtiendo:

2 5 x 6 1 ≤ ≤

↔ Multiplicando por 2:

10 x 3

1 ≤ ≤

↔ Sumando + 3:

13 3 x 3

10 ≤ + ≤

↔

ii) Si 2x∈[15,6] ↔ 15 ≤2 x≤6 Invirtiendo:

2 5 x 6 1 ≤ ≤

↔ Multiplicando por 2:

10 x 3

1 ≤ ≤

↔ Sumando + 6:

16 6 3 x

19 ≤ + ≤

↔ Invirtiendo:

19 3 6 x

1 16

1 ≤

≤ +

↔

Multiplicando en aspa i) y ii)

19 3 6 x

3 16

15 ≤

+

≤ x+

7 4 1 2x

5 x 7

4 ≤

+

≤ −

−

7 4 1 2x

5

x ≤

+

−

∴ 7

M= 4

14. Si 1 x∈(<−∞,1>∪<2,+∞>)', hallar el menor numero M, tal que M 5 x

7

x ≤

+

−

Resolución

] 2 , 1 [ x 1 )' ,

2 1 , ( x

1 ∈ <−∞ >∪< +∞> = ∈ 2

x 1

1≤ ≤

↔ Invirtiendo:

1 x 2

1 ≤ ≤

↔ Sumando + 5:

6 5 x 2

11 ≤ + ≤

↔ Invirtiendo:

11 5 2

x 6 1

1 ≤

≤ +

↔ Multiplicando por – 12:

6 5 12

x 11 12

24 ≤ −

− +

≤

−

↔ Sumando + 1:

5 1 x 1 12 11

13 ≤−

− +

≤

−

↔ Pero como: 1

11 13 > −

11 5 13

x 7 11 x

13 ≤

+

≤ −

−

↔

11 5 13

x 7

x ≤

+

−

∴ 11

M= 13

15. Si 2x-5 ≤3, hallar el menor numero M, tal que M 1 - 2x

2 x+ ≤

Resolución

i) 2x−5 ≤3 ↔ −3≤2x−5≤3 Restando + 4:

7 1 x 2

1 ≤ − ≤

↔ Invirtiendo:

1 1 x 2

1 7

1 ≤

≤ −

↔

ii) 2x−5 ≤3 ↔ −3≤2x−5≤3 Restando + 5:

7 x 2

2 ≤ ≤

↔ Dividiendo entre 2:

2 x 7 1 ≤ ≤

↔ Sumando + 2:

2 2 11 x 3 ≤ + ≤

↔

Multiplicando en aspa i) y ii) 1 3

2x 2 x 14

11 ≤

−

≤ + Pero como: 3

14 11 > −

1 3 2x

2

3 x ≤

−

≤ +

−

1 3 2x

2

x ≤

+ +

∴ M=3

16. Si x∈[1,3], hallar el menor numero M, tal que M 8 2 2x x

3 2x

x ≤

+

− +

Resolución

M x M 2 7

) 1 (x

2 2 x x M

8 2 2x x

3 2x

x ≤ → ≤

+

− +

→ + ≤

− +

3 x 1 ] 3 , 1 [

x∈ → ≤ ≤ Pero como: 1>−3

3 x 3

- ≤ ≤

3 x ≤

∴ M=3

17. Si 2x∈[16,12], hallar el menor numero M, tal que M 1 x

2x

3 ≤

−

−

1 M x

3 M 2x

1 x

2x

3 ≤

−

→ −

− ≤

−

Resolución.

i) 2x∈[16,12]

2 1 x 2 6

1 ≤ ≤

↔ Invirtiendo:

2 6 2≤ x ≤

↔ Multiplicando por 4:

24 x 2

8≤ ≤

↔ Restando – 3:

21 3 - x 2

5≤ ≤

↔

ii) 2x∈[16,12]

2 1 x 2 6

1 ≤ ≤

↔ Invirtiendo:

2 6 2≤ x ≤

↔ Multiplicando por 2:

12 x

4≤ ≤

↔ Restando – 1:

11 x

3≤ ≤

↔ Invirtiendo:

3 1 1 x 11 1

1 ≤

≤ −

↔

Multiplicando en aspa i) y ii)

11 21 1 x

3 2x 3

5 ≤

−

≤ − Pero como:

11 21 3

5 > −

11 21 1 x

3 2x 11

21 ≤

−

≤ −

−

11 21 1 x

3

2x ≤

−

−

∴ 11

M= 21

18. hallar el menor numero m tal que ∀x∈ℜ: x2−4x+2−6≥ m Resolución

0 6 ) 2 x ( 2 4

x − + − ≥

0 6 8 2 4 ) 2 x

( − − − − ≥

0 8 2 1 ) 2 x

( − − ≥

8 2 1 ) 2 x

( − ≥

∴ M=18

I. En los ejercicios del 21 al 36, hallar los números reales que satisfagan la desigualdad dada; dar el intervalo solución:

21. Resolver: 3−2x <3x−8 Resolución

Por el teorema: a <b b≥0 ∧ [−b<a<b]

3x−8≥0 ∧ [ −(3x−8)< 3−2x <3x−8] x≥83 ∧ [−3x+8<3−2x ∧ 3−2x<3x−8] x≥83 ∧ [x>5 ∧ 5x>11]

x≥ 8 3 ∧ x>5 ∧ x >115

>

∞ +

<

∈

∩

>

∞ +

<

∈

∩

>

∞ +

∈[83, x 5, x 115,

x

>

∞ +

<

∈

=

∴ C.S. x 5,

∞

− +∞

3 5 8 5 11

22. Resolver: 5x−4 >3x−2 Resolución

Por el teorema: ^{a >b ⇔ a> b ∨ a< −b}

) 2 3x ( 4 5x 2

3x 4

5x− > − ∨ − <− − 2 4 3x 5x 2

2x> ∨ + < +

>

−∞

<

∈

∪

>

∞ +

<

∈

<

∨

>

<

∨

>

4 3 , x

, 1 x

4 3 x 1 x

6 8x 1

x

>

∞ +

<

∪

>

−∞

<

∈

=

∴C.S. x ,34 1 ,

23. Resolver: 2x2 −x ≥5x Resolución

Por el teorema: a ≥b ⇔ a≥b ∨ a≤−b

0 ) 3 x ( ) 1 2x ( 0

) 3 x ( ) 1 2x (

0 3 2 5x 2x 0

3 2 5x 2x

5x 2 3

2x 5x

2 3 2x

≤ +

−

∨

≥

− +

≤

− +

∨

≥

−

−

−

≤

−

∨

≥

−

Calculando los puntos críticos:

4 1 3

∞

− +∞

+ − _{+ ∞}

∞

−

2 3 1

−

+ 2 3

−1

− + +

∞

− + ∞

3 x 0

3 x

; 3

x 0

3 x

2 1 x 0 1 2x

; 2 1 x 0

1 2x

−

=

= +

=

=

−

=

=

−

−

=

= +

x∈<−∞ ,−1 2] ∪[3 ,+∞ > x∈[−3,12]

>

∞ +

∪

∞ +

<

∈

=

∴ C.S. x ,1 2] [3,

24. Resolver: x2−2x−5 ≥ x2+4x+1 Resolución

Por el teorema: ^{a ≥ b ⇔ a2≥b2 ⇔ (a+b)(a−b)≥0}

0 ] ) 1 2 4x x ( ) 5 2 2x x ( [ ] ) 1 2 4x x ( ) 5 2 2x x (

[ − − + + + − − − + + ≥

0 ) 2 x ( ) 1 x ( ) 1 x (

0 ) 1 x ( ) 2 2 x x ( 12

0 ) 1 x ( ) 2 2 x x ( ) 12 (

0 ] ) 1 x ( 6 [ ) 2 2 x x ( 2

0 ) 6 6x ( ) 4 2 2x 2x (

≤ +

− +

≤ +

− +

≥ +

− +

−

≥ +

−

− +

≥

−

−

− +

Calculando los puntos críticos:

1 x 0 1 x

1 x 0

1 x

2 x 0

2 x

=

=

−

−

=

= +

−

=

= +

∴ C.S. = x∈ <−∞, −2] ∪[−1,1] 3

∞ +

−3

∞

−

2 1 2

−1

1

− +

− +

∞

− + ∞

1 2 -

-