Instituto Cristiano Nombre:
“Luis Gandarillas” Curso: 4° medio Profesora. Ivonne Piña Chacón. Fecha:
Guía N° 16. Matemática. Ecuación paramétrica de la recta. Rectas paralelas y perpendiculares.
Objetivo: Identificar y describir ecuaciones de rectas en el plano y espacio.
Recuerda enviar todas tus consultas al correo gandarillano.matematica.ivonne@gmail.com Ecuación paramétrica de la recta.
- La ecuación vectorial de la recta está dada por
〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝒑𝟏, 𝒑𝟐〉 + 𝒕 〈𝒅𝟏, 𝒅𝟐〉, donde 〈𝒑𝟏, 𝒑𝟐〉 es el vector posición, 𝒕 es el parámetro y 〈𝒅𝟏, 𝒅𝟐〉, el vector director.
- La ecuación paramétrica está dada por
〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝒑𝟏 + 𝒅𝟏𝒕, 𝒑𝟐 + 𝒅𝟐𝒕〉 , la que puede ser separada en tres ecuaciones, que definen la misma recta, y que llamamos
“ecuaciones paramétricas de la recta”:
𝒙 = 𝒑𝟏 + 𝒅𝟏𝒕 𝒚 = 𝒑𝟐 + 𝒅𝟐𝒕
De igual forma, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio
〈𝒙, 𝒚, 𝒛〉 = 〈𝒑𝟏, 𝒑𝟐,𝒑𝟑〉 + 𝒕 〈𝒅𝟏, 𝒅𝟐, 𝒅𝟑〉 𝒙 = 𝒑𝟏 + 𝒅𝟏𝒕
𝒚 = 𝒑𝟐 + 𝒅𝟐𝒕 𝒛 = 𝒑𝟑+ 𝒅𝟑𝒕
Ejemplos:
1. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (2,4).
Solución:
Vector posición: 〈𝟏, 𝟑〉 → 𝒑𝟏 = 𝟏 𝒑𝟐 = 𝟑
Vector director: 〈𝟐 − 𝟏, 𝟒 − 𝟑〉 = 〈𝟏, 𝟏〉 → 𝒅𝟏 = 𝟏 𝒅𝟐 = 𝟏
Así, las ecuaciones paramétricas son: 𝒙 = 𝟏 + 𝟏𝒕 𝒚 = 𝟑 + 𝟏𝒕
2. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos (1,2,3) y (2,0,4).
Solución:
Vector posición: 〈𝟐, 𝟎, 𝟒〉 → 𝒑𝟏 = 𝟐 𝒑𝟐 = 𝟎 𝒑𝟑 = 𝟒 Vector director: 〈𝟐 − 𝟏, 𝟎 − 𝟐, 𝟒 − 𝟑〉 = 〈𝟏, −𝟐, 𝟏〉 →
𝒅𝟏 = 𝟏 𝒅𝟐 = −𝟐 𝒅𝟑 = 𝟏
Así, las ecuaciones paramétricas son: 𝒙 = 𝟐 + 𝒕 𝒚 = 𝟎 − 𝟐𝒕 𝒛 = 𝟒 + 𝒕
3. Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta de ecuación
〈𝒙, 𝒚, 𝒛〉 = 〈𝟐, 𝟓, −𝟗〉 + 𝒕 〈−𝟑, 𝟒, −𝟓〉.
Solución:
Vector posición: 〈𝟐, 𝟓, −𝟗〉 → 𝒑𝟏 = 𝟐 𝒑𝟐 = 𝟓 𝒑𝟑 = −𝟗 Vector director: 〈−𝟑, 𝟒, −𝟓〉 → 𝒅𝟏 = −𝟑 𝒅𝟐 = 𝟒 𝒅𝟑 = −𝟓
Así, las ecuaciones paramétricas son: 𝒙 = 𝟐 − 𝟑𝒕 𝒚 = 𝟓 + 𝟒𝒕 𝒛 = −𝟗 − 𝟓𝒕
4. Escribe la ecuación vectorial de la recta que tiene por ecuaciones paramétricas: 𝒙 = −𝟑 + 𝟐𝒕
𝒚 = −𝟓 − 𝟒𝒕 𝒛 = 𝟓 + 𝟗𝒕
Solución:
Vector posición: 𝒑𝟏 = −𝟑 𝒑𝟐 = −𝟓 𝒑𝟑 = 𝟓 → 〈−𝟑, −𝟓, 𝟓〉
Vector director: 𝒅𝟏 = 𝟐 𝒅𝟐 = −𝟒 𝒅𝟑 = 𝟗 → 〈𝟐, −𝟒, 𝟗〉
Así, la ecuación vectorial está dada por:
〈𝒙, 𝒚, 𝒛〉 = 〈−𝟑, −𝟓, 𝟓〉 + 𝒕 〈𝟐, −𝟒, 𝟗〉
5. Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta con vector director 〈𝟓, 𝟐, 𝟎〉 y vector posición 〈𝟔, 𝟎, 𝟐〉
Solución:
𝒙 = 𝟔 + 𝟓𝒕 𝒚 = 𝟐𝒕 𝒛 = 𝟐
Rectas paralelas y perpendiculares.
En las actividades anteriores, identificamos cuando dos vectores son paralelos y cuando son perpendiculares. Dichas condiciones entres dos vectores serán aplicados para verificar si dos rectas dadas son paralelas, perpendiculares o ninguna de ambas.
Ejemplos:
1. Consideremos las rectas 𝑳𝟏 𝒚 𝑳𝟐 de ecuaciones:
𝑳𝟏: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟑, −𝟏〉 + 𝒕 〈𝟒, −𝟐〉
𝑳𝟐: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟏, 𝟎〉 + 𝒕 〈𝟐, −𝟏〉
Determinar si 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 son paralelas.
Sabemos que el vector director está contenido en la recta, por lo tanto:
Si en 𝑳𝟏 el vector director es 𝒅⃗⃗⃗⃗ = 〈𝟒, −𝟐〉 y 𝟏 en 𝑳𝟐 el vector director es 𝒅⃗⃗⃗⃗ = 〈𝟐, −𝟏〉 , 𝟐
para que 𝑳𝟏 𝒚 𝑳𝟐 sean paralelas, debe existir un valor 𝒒, que cumpla con la siguiente igualdad (se consideran los vectores dirección)
〈𝟒, −𝟐〉 = 𝒒 ∙ 〈𝟐, −𝟏〉
El valor es 𝒒 = 𝟐, por lo tanto, las rectas son paralelas.
2. Consideremos las rectas 𝑳𝟏 𝒚 𝑳𝟐 de ecuaciones:
𝑳𝟏: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟒, 𝟏〉 + 𝒕 〈𝟒,−𝟖
𝟑〉 𝑳𝟐: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟒, −𝟏〉 + 𝒕 〈𝟐, 𝟑〉
Determinar si 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 son perpendiculares.
Sabemos que el vector director está contenido en la recta, por lo tanto:
Si en 𝑳𝟏 el vector director es 𝒅⃗⃗⃗⃗ = 〈𝟒,𝟏 −𝟖
𝟑 〉 y en 𝑳𝟐 el vector director es 𝒅⃗⃗⃗⃗ = 〈𝟐, 𝟑〉 , 𝟐
para que 𝑳𝟏 𝒚 𝑳𝟐 sean perpendiculares, el producto punto entre los vectores dirección debe ser igual a 0.
〈𝟒,−𝟖
𝟑 〉 ∙ 〈𝟐, 𝟑〉 = 𝟒 ∙ 𝟐 −𝟖
𝟑∙ 𝟑 = 𝟖 − 𝟖 = 𝟎
El producto punto es cero, por lo tanto, las rectas son perpendiculares.
Ejercicios
I. Determina, en cada caso, si las rectas dadas son paralelas, perpendiculares, o ninguna de ambas:
𝟏) 𝑳𝟏: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈−𝟑, 𝟓〉 + 𝒕 〈𝟔, −𝟗〉
𝑳𝟐: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟓, −𝟏〉 + 𝒕 〈−𝟐, 𝟑〉
2) 𝑳𝟏: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟕, 𝟎〉 + 𝒕 〈𝟑, 𝟒〉
𝑳𝟐: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟖, 𝟏𝟐〉 + 𝒕 〈𝟒, 𝟑〉
𝟑) 𝑳𝟏: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟏𝟐, −𝟐〉 + 𝒕 〈𝟓, 𝟔〉
𝑳𝟐: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈−𝟗, 𝟏〉 + 𝒕 〈𝟓
𝟑, 𝟐〉
𝟒) 𝑳𝟏: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈−𝟓, 𝟗〉 + 𝒕 〈𝟏𝟐, 𝟐𝟒〉
𝑳𝟐: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟏, 𝟏〉 + 𝒕 〈𝟏𝟎, −𝟓〉
II. Selección múltiple. Resuelve cada ejercicio y marca la alternativa correcta.
1. Dada la ecuación vectorial 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟐 + 𝟑𝒕, 𝟒 − 𝟐𝒕〉,
¿cuál(es) de los siguientes puntos pertenecen a la recta?
I. (4,8) II. (11,-2) III. (5,2)
a) Solo I b) solo II c) solo III d) solo I y II e) solo II y III.
2. El vector posición de la recta cuya ecuación vectorial es
〈𝒙, 𝒚〉 = 〈−𝟗 + 𝒕, 𝟓 + 𝟑𝒕〉, es:
a) (-9,5) b) (9,5) c) (9,-5) d) (1,3) e) (5,-9)
3. La recta cuya ecuación vectorial es 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟒 + 𝟑𝒕, 𝟔 + 𝟐𝒕〉
tiene por ecuaciones paramétricas:
a) 𝑥 = 6 + 2𝑡 , 𝑦 = 4 + 3𝑡 b) 𝑥 = 4 + 6𝑡 , 𝑦 = 3 + 2𝑡 c) 𝑥 = 4 + 3𝑡 , 𝑦 = 6 + 2𝑡 d) 𝑥 = 4 − 3𝑡 , 𝑦 = 6 − 2𝑡 e) 𝑥 = 3 + 4𝑡 , 𝑦 = 2 + 6𝑡
4. ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela con
〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟓 + 𝟔𝒕, −𝒕〉?
a) 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟐𝟓 − 𝟏𝟕𝒕, 𝟖 + 𝟕𝒕〉
b) 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟏𝟓 − 𝟑𝒕, 𝟖 + 𝟐𝒕〉
c) 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝒕 − 𝟓, 𝟏𝟏 +𝟏
𝟔𝒕〉
d) 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟓 − 𝒕, 𝟏 − 𝟕𝒕〉
e) 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟓 + 𝒕,−𝟏
𝟔 𝒕〉
5. ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a
〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟑 + 𝟔𝒕, 𝟏 − 𝒕〉?
a) 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟑 + 𝒕, 𝟏 + 𝟔𝒕〉
b) 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟑 + 𝒕, 𝟏 − 𝟔𝒕〉
c) 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟏𝟑 + 𝒕, 𝟏 + 𝟕𝒕〉
d) 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟒 + 𝒕, 𝟓 − 𝒕〉
e) 𝑵𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔
6. Si 𝑳𝟏: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟏 + 𝒕, 𝟓 − 𝟑𝒕〉 y 𝑳𝟐: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟔 + 𝟐𝒕, 𝟑 − 𝒌𝒕〉
¿Cuál es el valor de 𝒌 para que 𝑳𝟏 sea perpendicular a 𝑳𝟐? a) 3 b) −2
3 c) 2
3 d) 2 e) 5
7. Si 𝑳 ∶ 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟑 + 𝟓𝒕, −𝟐 − 𝟒𝒕〉, entonces ¿cuál(es) de las siguientes rectas es (son) paralelas a L?
I. 𝑳𝟏: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟔 + 𝟏𝟎𝒕, 𝟏 − 𝟐𝒕〉
II. 𝑳𝟐: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈−𝟐 − 𝟏𝟓𝒕, 𝟏 + 𝟏𝟐𝒕〉
III. 𝑳𝟑: 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝟏 + 𝒕, 𝟓 −𝟒
𝟓𝒕〉
a) Solo II b) solo I y II c) solo I y III d) solo II y III e) I, II y III