El concepto de “límite” describe el comportamiento de una
función cuando su argumento se
“acerca” a algún punto o se
vuelve extremadamente grande
Sea una función y un número real.
La expresión lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se quiera haciendo suficientemente cercano a .
Se dice "el límite de en , cuand
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
f x
o se aproxima a , es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
x c L
f x L
f x c
2
2 2
Nota 1.- El dominio
: 5 7
¿Cuál es e
de la función l límite de esta función c
son todos los números reales
Nota 2.- El contradominio de la función
uando tiende o se acerca a 2?
¿lim 5 7 ?
son tod
x
g R R g x x
x
x
os los números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo [ 7, ) R
2: 5 7
g R R g x x
2
2
¿lim 5 7 ?
x
x
2: 5 7
g R R g x x
2
2
¿lim 5 7 ?
x
x
2: 5 7
g R R g x x
13
2
2
¿lim 5 7 ?
x
x
2
2 2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerca a 2?
lim 5 7 13
x
g R R g x x
x
x
2
2 2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerca a 2?
lim 5 7 1
E
3
n este caso, lim
x
x c
g R R g x x
x
x
f x f c
1
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números reales positivos menos e
: (0, ) 1 1
1
¿Cuál es el límite de esta función
l 1 Nota 2.-
cuando tiende o se acerca a 1?
¿lim 1 ?
E 1
l
x
Q R Q x x
x x
x x
contradominio de la función son todos los números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo 1, R
1: (0, ) 1
1
Q R Q x x
x
1
¿lim 1 ?
1
x
x x
1
: (0, ) 1 1
1
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerca a 1?
De la gráfica es claro que
lim 1 2
1
x
Q R Q x x
x x
x x
1
: (0, ) 1 1
1
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerca a 1?
lim 1 2
1
Sin embargo, la función ni siquiera está definida en 1
x
Q R Q x x
x x
x x
x
2
5
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números reales
Nota 2.- El contradominio de
3 4 5
: 5
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerc
la fu a a 1?
¿li
nción
m ?
x
x x
a R R a x
x x
x
a x
son todos los números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales menos el intervalo (11,25]
3 2 4 5: 5
x x
a R R a x
x x
5
¿lim ?
x
a x
2
5
3 4 5
: 5
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerca a 5
Si nos acercamos por la izquierda No exi
tiende a 11 Si nos acercamos por la derecha tiende a 25
?
lim ste
x
x x
a R R a x
x x
x
a x
0
Nota 1.- El dominio de la : 0 1
¿Cuál es el lím
función son todos
ite de esta función cuando tiende o
los números reales menos el cero
Nota
se acerca a 0?
¿ 1
2.- El contradom l
i im ?
nio de la funci
x
E R R E x
x x
x
ón son todos los números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales
1: 0
E R R E x
x
0
¿lim ?1
x x
0 No existe Si
: 0 1
¿
nos Cuál es
acercamo
el límite de est
s por la izquier
a función cuando tiende o se ac
da tiende a Si nos acercamo
e
s rca a
por la derecha tiende a 1
+ 0?
limx
E R R E x
x x
x
1: 0
E R R E x
x
1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E x
x x
1
: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E x
x x
: 0 1
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
lim 0
x
E R R E x
x x
E x
Sea una función y un número real.
La expresión lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a por la izquierda.
Se dice "el límit
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
e de en , cuando se aproxima a por la izquierda, es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
f x x c
L
f x L
f x c
Sea una función y un número real.
La expresión lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se quiera haciendo suficientemente cercano a por la derecha.
Se dice "el límite
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
de en , cuando se aproxima a por la derecha, es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
f x x c
L
f x L
f x c
0
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números reales menos el cero
Nota 2.- El contrad : 0 sin
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerca
ominio a 0?
si
d
¿li n
e
m ?
x
f R R y f x x
x x
x x
la función son todos los números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo -1,1 R
sin: 0 x
f R R y f x
x
0
¿lim sin ?
x
x x
sin: 0 x
f R R y f x
x
0
Si 0, sin y
lim sin 1
x
x f x x
x x x
0
Si 0, sin y
lim sin 1
x
x f x x
x x
x
sin: 0 x
f R R y f x
x
El límite por la izquierda es 1
El límite por la derecha es +1
0 0
sin sin
Dado que lim lim , el límite no existe
x x
x x
x x
2: 5 7
g R R g x x
En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
1: (0, ) 1
1
Q R Q x x
x
En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
3 2 4 5: 5
x x
a R R a x
x x
En todo el dominio, excepto en 5, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales.
En 5 son 25 y 11 respectivamente
1: 0
E R R E x
x
En todo el dominio, excepto en 0, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales.
En 0 son +∞ y -∞
respectivamente
Sean : y :
Supongamos que existen los límites lim y lim
i).- lim lim + lim
x x
x x x
f D R R g C R R
f x g x
af x bg x a f x b g x
Sean : y :
Supongamos que existen los límites lim y lim
ii).- lim lim lim
x x
x x x
f D R R g C R R
f x g x
f x g x f x g x
Sean : y :
Supongamos que existen los límites lim y lim
lim
iii).- lim / si lim 0
lim
x x
x
x x
x
f D R R g C R R
f x g x
f x
f x g x g x
g x
De manera intuitiva podemos decir que una función es continua cuando pequeños
cambios en la variable independiente
generan pequeños cambios en la variable dependiente.
De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se “dibujan sin separar el lápiz del papel”
Una función es continua en el punto de su dominio si:
a) está definida, es decir, está en el
Si una función es continua en todos los
dominio
puntos de su dominio se le denom
de
)
i lim
x c
f x c
f c c f
b f x f c
na continua
Si una función no es continua entonces es discontinua
sin : R R y sin x
Esta función es continua
3 2: 5 2
x x
h R R y h x
x
•Es discontinua en x=-2
•Es continua en todos los otros puntos del dominio
Si y son continuas en el punto de su dominio y , son números reales arbitrarios, entonces:
i).- es continua en ii).- es continua en
iii).- es continua en , siempre y cua
f x g x c
a b
af x bg x c
f x g x c
f x c
g x
ndo 0
g c
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
•La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo
•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos ultracomplejos?
Las funciones “describen” la evolución de las variables
dinámicas de los sistemas
3 2 20y f x x x
x f(x)
0 20
1 24
-1 22
2 34
-2 30
3 50
-3 44
3 2 20y f x x x
3 2 20y f x x x
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)
•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)
3 2 20y f x x x
¿Cómo cambia la función entre y ?x x
f f x f x
3 2 20y f x x x
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 2 crece en 14
•Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece)
3 2 20y f x x x
¿Cómo cambia la función entre y ?x x´
f x f x
f x x
3 2 20 f x f x
y f x x x f
x x
x x
f x f x x x
f x f x
x x
tan f x f x
x x
La recta azul es la secante a la curva
La recta azul es la tangente a la curva
La recta azul es la tangente a la
curva
•La pendiente de la tangente nos dice
•La rapidez con que la función está
•cambiando en ese punto
lim
lim
x x
x x
f x f x
m x x
f x f x df x
dx x x
La recta azul es la tangente a la curva
tanm df x
dx
0
0 0
0
0 xlimx
f x
x f x f x
df x
dx x x
Dada una función
se define su derivada en el punto como
:
f R R
x
y f x
x
y f x
x x h
secante tan f x h f x
m h
h
f x h f x
x
y f x
x
tangente
tan
lim
0 hf x h f x df x
m h dx
:
f D R R
0
0 0
0 xlimx
f x f x df x x
dx x x
x0
f x
x
0 tan
df x x
dx
:
v R R v x a
a
v a
donde es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, es una función constante igual a .
0
0
0
0
0
0
0
:
0 0
lim
0
x x 0 da x d
v R R v x a
v x v x a a v x v x
x x
v x v x x x x
Esto es válido para todos los puntos del dominio
:
v R R v x a
a
v a
donde es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, es una función constante igual a .
La derivada es cero,
La función “no cambia”
0: R R v x
v a dvx
d
:
l R R l x mx b
m b
l x mx b m
donde y son números reales.
Esta es la función lineal más general, es decir, engloba todas las rectas posibles.
El real es la pendiente de la recta, es decir,
la tangente del án X
b
Y
gulo que hace con el eje El real es la ordenda al origen, es decir, el punto en el cual la recta corta al eje
:
l R R l x mx b
b
tan m
0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
:
lim lim
x x x x
l R R l x mx b
l x l x mx b mx b m x x l x l x m x x
x x x x m
l
d mx x l x
x x m m dl b
x x m
dx dx
x
para todo en el dominio
:
l R R l x mx b
0
Es lógico, la tangente a la recta es ella misma.
El cambio está dado por la inclinación de la recta
dl x m dx
: l x mx b d
l R R dl m
x
2
:
f R R f x ax
Una parábola
0
2
2 2 2 2
0
2
:
lim lim
lim lim 2
2
x x x x
x x x x
f R R f x ax
f x f x ax ax a x x a x x x x f x f x a x x x x
a x x
x x x x
f x f x
a x x x x
a x x a x x a x x ax
df d ax
x ax
dx dx
2
: f x ax df 2
d ax
f R R x
0
0
lim
lim
lim
x x
h
x
f x f x df x
dx x x
f x h f x df x
dx h
f x x f x df x
dx x
: sin
f R R f x x
0 0
0
: sin
sin sin
sin cos cos sin sin sin cos 1 cos sin sin cos 1 cos sin
cos 1 sin
lim 0 lim 1
lim co
c s
s
sin o
h h
h
f R R f x x
f x h f x x h x
x h x h x x h x h
f x f x x h x h
h h
h h
h h
f x h
d x
x
f x
d
h x x
sin sin co
i s
s n : x d x
R R y f x
dx x
exp : R R exp x ex
0 0
0
exp : exp
exp exp 1
exp exp 1
1 1
lim lim
exp exp
l
exp p
i
x m
e
x
x h x x h x x h
x h
x h h
x x
x
h h
h
R R x e
x h x e e e e e e e
x h x e e
h h
e e e
e e
h h
x h
d x
x x
x e
d
h
ln : (0, ) R ln x
0 0
0
ln : ln
ln ln ln
ln ln 1
ln
ln ln 1
lim lim
exp exp 1
l
ln 1
im
x h x
h h
h
R R x
x h x x h
x
x h x x h
h h x
x h x e
e e
h h
x h x
h
d x
dx x
x
ln 1
ln : (0, ) ln d x
R x
dx x
1
ln 1
n n
x x
dx nx dx
de e dx
d x
dx x
2
sin cos
cos sin
tan sec
d x
dx x
d x
dx x
d x
dx x
http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives
df x dx
df x dx Df
f x
y f x
y
En todo lo estudiado hasta ahora hemos supuesto una representación explícita de la función, es decir, hemos supuesto que
que la variable dependiente, , está escrita en términos explicitos de la varia
3 2
* sin
* 2 8 3
* x sin y x x
y x x x
y xe x
x
ble independiente .
2 2
* 1
* sin cos
, ,
x y x y
y x
x y
x y xy
Sin embargo, no siempre es posible tener la representación explicita de una función y se
tiene una representación implícita de la forma que determina a como función de .
* xy ln
xy xye x
, ,
, ,
x y x y
d x y d x y
dx dx
Si tenemos una representación implícita de la forma lo que se hace para derivarla es:
1).- Diferenciar ambos lados de la ecuación para obtener una nueva ecuación
2).- Resolver la dy
dx
y x
ecuación anterior para . La respuesta usualmente involucra a y a .
