Relatividad Especial

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Relatividad Especial

(Texto original del Dr. Bert Janssen en http://www.ugr.es/~bjanssen/text/repaso.pdf)

La relatividad el tiempo y el espacio

Los postulados de la relatividad especial

Toda la teoría de la relatividad especial está basada en dos postulados:

1. Todas las leyes de la física son válidas para todos los sistemas inerciales.

2. La velocidad de la luz en el vacío es igual para todos los observadores y tiene el valor de 299.792,458km/s, independientemente del estado de movimiento de la fuente.

El primer postulado es el Principio de la Relatividad y fue formulado ya por Galileo para la mecánica alrededor de 1600. Einstein lo amplió para todas las leyes físicas, especialmente para el electromagnetismo, ya que la teoría de Maxwell parecía comportarse de manera diferente a la mecánica newtoniana. El Principio de la Relatividad afirma que no existe ningún experimento físico que es capaz de distinguir si un observador esta en reposo o en movimiento uniforme rectilíneo.

El movimiento (uniforme rectilíneo) es por lo tanto relativo: podemos afirmar que un objeto se mueve con respecto a otro, pero nunca si se mueve en el sentido absoluto. Dos observadores que se mueven uno respecto al otro ven la misma física y por lo tanto las leyes de la física deben escribirse de modo que no cambien al pasar de un sistema de referencia a otro.

El segundo postulado es más sorprendente, pero hay motivos teóricos y experimentales para creerlo. Los motivos experimentales son los experimentos fracasados de Michelson y Morley (1881 y 1887), que querían medir la velocidad de la Tierra con respecto al éter: suponiendo que la velocidad de la luz con respecto al éter es c y la de la Tierra alrededor del Sol es v, la velocidad de la luz medida en la Tierra debería ser c − v o c + v, dependiendo de si se mide en la dirección de movimiento de la Tierra, o la dirección opuesta. Los resultados experimentales sin embargo siempre median la misma velocidad c. El motivo teórico es la teoría de Maxwell que afirma la existencia de ondas electromagnéticas (luz), cuya velocidad c es una constante predicha por la teoría. Si se asume que todas las leyes de la física son válidas para todos los observadores, hay que aceptar que c es una constante universal.

Llevar estos dos postulados hasta sus últimas consecuencias implica abandonar las ideas

intuitivas del espacio y el tiempo. Investigaremos las implicaciones con una serie de

experimentos ficticios.

2 La dilatación del tiempo

Figura 1: El reloj de luz en un tren en movimiento visto por un observador dentro del tren (arriba) y un observador en el andén (abajo).

Considera un tren que se mueve con velocidad v en movimiento uniforme rectilíneo (con respecto al andén dela estación). El pasajero en el tren dispone de un reloj de luz, que consiste en dos espejos colocados uno encima de otro a una altura d y un pulso de luz que viaja continuamente entre los dos espejos. El pasajero que viaja dentro del tren medirá que el tiempo que tarda la luz en subir y bajar entre los dos espejos es:

Ecuación 1

Un observador en el andén verá este mismo fenómeno de manera distinta: para él la luz saledel espejo de abajo, pero llega al espejo de arriba después de un tiempo t/2 cuando el tren se ha desplazado una distancia vt/2 y otra vez al espejo de abajo después de un tiempo t cuando el tren se la desplazado una distancia vt (véase Figura 1). Para el observador en el andén, la luz recorre una trayectoria más larga y, dado que la velocidad de la luz es la misma que para el pasajero, habrá pasado más tiempo entre que la luz sale y llega otra vez al espejo de abajo.

Concretamente, la distancia que recorre la luz al subir es, por el teorema de Pitágoras:

(

) (

) Ecuación 2

de lo que podemos despejar t como

√

√ Ecuación 3

donde en la última igualdad hemos utilizado la ecuación 1 para relacionar el intervalo con el medido por el pasajero. Vemos por lo tanto que el intervalo de tiempo efectivamente ha sido más largo para el observador en el andén que para el pasajero. Este efecto se llama la dilatación del tiempo y es completamente general: relojes en movimiento corren menos rápidos que relojes en reposo. El factor de corrección

√ Ecuación 4

ct/2

d

vt/2

3

es una función creciente de v, que siempre es mayor que 1. Observa sin embargo que para velocidades mucho más pequeñas que la velocidad de la luz, v<<c, γ ≈ 1 de modo que estos efectos relativistas son completamente despreciables en la vida cotidiana.

Fijaos que para obtener la ecuación 3, hemos tenido que asumir que v < c. La velocidad dela luz surge por lo tanto en la relatividad especial como un límite máximo, que ningún observador, ni ninguna señal puede superar.

Finalmente, es imprescindible darse cuenta de que la situación descrita arriba es completamente simétrica entre los dos observadores. El pasajero en el tren tiene pleno derecho de suponer que él está en reposo, mientras el observador en el andén se está moviendo. Repitiendo el mismo argumento, vemos que el pasajero verá el reloj de luz del observador en el andén avanzar menos rápido que el suyo, dado que para él su propio reloj está en reposo.

Concluimos por lo tanto que cada uno ve el reloj del otro ir más lento que el suyo, puesto que cada uno ve el otro en movimiento. No hay manera de saber cuál de los dos “realmente” va más lento, ya que esto depende del punto de vista del observador. Por muy contraintuitiva que puede parecer, esta situación no lleva a contradicciones, si se toma en cuenta el hecho de que también las distancias son relativas.

La contracción de Lorentz

Asumimos que el andén tiene una longitud L medido por un observador situado en el andén.

Este puede escribir L = vt, donde t es el intervalo que necesita el tren para recorrer el andén. Por otro lado, el pasajero dentro del tren mide una longitud L’ = vt’, donde ahora t’ es el tiempo entre que el pasajero pasa por el principio y el final del andén, medido por él.

Dado que los dos observadores no coinciden en cuánto ha durado el intervalo de tiempo, tampoco se pondrán de acuerdo sobre la longitud del andén. Para el pasajero, el andén mide

√ √ Ecuación 5

es decir más corto que para el observador en el andén. Este efecto se conoce bajo el nombre de contracción de Lorentz: objetos en movimiento sufren una contracción longitudinal con un factor 1/γ. Otra vez la situación es simétrica: el observador en el andén verá el tren contraído con respecto a la medición del pasajero.

La contracción de Lorentz y la dilatación del tiempo conspiran para que el conjunto sea consistente. Esto se puede ver en el famoso experimento de los muones. Los muones son partículas elementales con una vida media de 2,2·10

s (en reposo), que se forman a unos 15 km de altura en las colisiones de rayos cósmicos con átomos de la atmósfera. Los muones producidos en estas colisiones se mueven típicamente con velocidades v ∼ 0, 99c.

Calculando ingenuamente las distancias que recorrerían los muones antes de desintegrarse, multiplicando su velocidad v por su tiempo de vida t, nos saldría que viajan en media unos 650 m.

En otras palabras, se desintegran mucho antes de llegar a la superficie de la Tierra. Sin embargo en la práctica medimos una gran cantidad de muones a nivel del mar. La explicación es que por su velocidad relativista, su “reloj interno” corre más lento debido a la dilatación del tiempo. Al 99 % de la velocidad de la luz, el factor de corrección vale γ ≈ 9, de modo que en realidad viven 9 veces más que un muon en reposo y una cantidad considerable de ellos sı llega a la superficie.

La historia es un poco diferente desde el punto de vista de los propios muones. Para ellos su reloj corre al ritmo normal (ya que están en reposo con respecto a sí mismos) y sólo tienen una vida media de 2,2·10

s. ¿Cómo podemos compaginar esto con el hecho de que gran parte de ellos llegan a la superficie? Para ellos, la Tierra (y por lo tanto la atmósfera) se mueve con una velocidad v ∼ 0, 99c hacia ellos. Debido a este movimiento, la atmósfera sufre una contracción de Lorentz y parece 9 veces más delgada, unos 1700 m.

Los efectos debidos a la dilatación del tiempo según un observador, son debidos a la contracción

de Lorentz según otro. Esto indica una conexión íntima entre el espacio y el tiempo, como

veremos en las siguientes secciones.

4 La simultaneidad de los sucesos

Figura 2: La simultaneidad de sucesos: una fuente de luz emite señales hacia dos detectores a y b, colocados en el principio y el final del tren. Para el pasajero las dos señales llegan simultáneamente a los detectores, mientras según el observador en el andén la señal llega primero al detector b y después al detector a.

Una fuente de luz, colocada en el medio del tren, emite dos señales hacia dos detectores a y b en el principio y el final del tren respectivamente (Véase Figura 2). Para el pasajero en el tren las señales llegaran al mismo momento a los detectores, puesto que cada una de las señales tarda un tiempo t’ = l/2c, donde l es la longitud del tren en reposo.

El observador en el andén, sin embargo, ve también moverse las señales con la velocidad c, pero además ve que el detector b se aproxima con una velocidad v a la señal, mientras el detector a se aleja con velocidad v. Para él las señales tardan un tiempo:

√

√

Ecuación 6

en llegar a los detectores a y b respectivamente. Para el observador en el andén la llegada de la señal al detector a no es simultánea a la llegada de la señal al detector b, sino ocurre después de un intervalo de tiempo:

√ Ecuación 7

Sucesos que son simultáneos para un observador no necesariamente lo son para otro. Incluso es posible encontrar observadores para los cuales primero llega la señal en a y después en b, es decir para los cuales el orden de los sucesos es invertido con respecto al observador en el andén: un observador que se mueve en la misma dirección que el tren pero con velocidad V> v con respecto al andén ve el tren moverse hacia atrás y por lo tanto el detector a acercarse a la señal, mientras b se aleja.

El hecho de que podamos encontrar distintos observadores que ven un suceso A antes, a la vez

o después de un suceso B, ¿puede causar problemas de causalidad? No, la relatividad es

estrictamente causal. Solo es posible invertir el orden de sucesos que no están en contacto

causal, es decir para los cuales no da tiempo mandar una señal de luz entre uno y otro.