Trabajo Práctico Módulo 2 (1 o parte) - Introducción al Cálculo
1) La hipotenusa H de un triángulo rectángulo de base 3 depende de su altura x. Utilice el Teorema de Pitágoras para expresar H como función de x en forma coloquial, numérica, visual y algebraica. (ver pag. 6 del apunte Funciones 1 o parte)
2) ¿Qué número ó números reales le asigna al 3 cada una de las reglas dadas a continuación? ¿y al 10?
a) s 1 : "a cada número le asigna el siguiente de su doble"
b) s 2 : x ! x
2x 3
c) s 3 : x ! p x 2 + 7
d) s 4 : "a cada número le asigna sus múltiplos positivos menores que 20"..
e) s 5 : "a cada número le asigna el inverso multiplicativo de su anterior". 1 3) Determine si cada una de las leyes dadas en el ejercicio anterior de…ne una función de N ! Q (dominio N y conjunto de llegada Q). Si responde que no, indique si falla la existencia y/o la unicidad y justi…que su respuesta a través de ejemplos.
4) En los casos del ejercicio anterior en los que haya fallado sólo la existencia, rede…na el dominio ó el conjunto de llegada para obtener una función.
5) i) Identi…que el dominio de las siguientes funciones a partir de su ley:
a) f (x) = x
21 4x+5 b) g(x) = x x
22+1 3 c) h(x) = p
4x + 15 d) k(x) = p x x 4
ii) Determine analíticamente los ceros de las funciones (debe igualar la función a cero, por ejemplo, x
21 4x+5 = 0 y resolver dicha ecuación) ó indique si no los tienen.
6) Represente las siguientes funciones en un sistemas de coordenadas cartesianas y determine el CI de cada una de ellas:
a) f : A ! B=x ! x 2 donde A = fx 2 Z= jxj 4g y B = fx 2 Q= 3 < x < 3g : b) g : A ! B=x ! x 2 donde A = [ 4; 4] y B = R:
c) h : A ! B=x ! 5 donde A = fx 2 N=x < 7g y B = Z:
d) j : A ! B=x ! 5 donde A = fx 2 R=0 < x 6g y B = Z:
e) k : A ! B=x ! f 2 x si x es par
3 x si x es impar donde A = fx 2 N=x 10g y B = fx 2 Z= jxj 10g :
7) Gra…que funciones que cumplan las siguientes condiciones:
a) Dominio = [0; 4); CI = ( 2; 5]
b) Dominio = ( 2; 0] [ [1; 6] ; CI = [ 3; 0) [ (2; 5]:
1
El inverso multiplicativo de un número a es un número b tal que a:b = 1:
c) Dominio = [ 6; 1] ; CI = [ 5; 2) [ (2; 5]; f( 1) = 4; f(0) = 3:
d) Dominio = ( 2; 5) [ (6; 9]; CI = ( 1; 5] [ f10g ; ceros en x = 4 y x = 8:
8) Resuelva los problemas 65, 67, 69, 70, 81, 83 y 84 de las páginas 109-111 de Sullivan capítulo 2. Omita las consignas sobre gra…car.
9) Resuelva los ejercicios 1 al 8 de la página 122 Sullivan capítulo 2. (Ayuda:
antes lea la sección "funciones importantes", pag 116 a 120)
10) Represente en un sistema cartesiano e indique si el grá…co obtenido corre- sponde a una función, en caso a…rmativo determine el CI:
a) f (x) = f x + 2 si x 1
3x 1 si x 1 b) g(x) = f
3
2 si x = 2 Z x si x 2 Z
11) Encuentre una expresión analítica para las siguientes funciones (antes repasar cómo se obtienen las ecuaciones de las rectas). Determine su dominio y su CI:
11
1
12) Una salón de …estas con capacidad para 300 personas establece el precio de la entrada cada día en función del número x de asistentes que se prevé que habrá en dicho día:
t(x) = f
50 si x 2 (0; 100]
x
20 + 50 si x 2 (100; 200)
x
10 + 55 si x 2 [200; 300]
Se pide:
a) ¿Cuál es el precio de una entrada si se espera que asistan 50 personas?
¿Y si son 110? ¿Y si son 200? ¿Y si se espera que se agoten las entradas?
b) ¿Cuáles serían los ingresos totales del salón si se espera que asistan 150 personas? ¿Y si sólo son 90?
c) ¿Cuántas personas deberían asistir para que el precio de la entrada no supere los $30?
d) Representar la función t : (0; 300] ! R grá…camente. Determinar el CI:
2
13) t horas depués del inicio de la jornada laboral, a las 6:00 a:m:, el índice de contaminación atmosférica c en cierta ciudad varía de la siguiente manera:
c(t) = f
t 2 + 1 si 0 t 2 3 + t si 2 < t 7 10 si 7 < t 15
x + 25 si 15 < t 24
a) Represente grá…camente la función dada
b) Determine el índice de contaminación en los siguientes horarios: 8.00, 9.30, 18.30 y 23.00 hs.
14) Antonio ha escrito un libro sobre la historia del fútbol y quiere imprimirlo para regalarlo a sus familiares y a sus amigos. Una empresa editorial le ha dado un presupuesto que dice lo siguiente: El costo inicial para iniciar la impresión del libro es de 15 pesos y el precio de impresión de cada libro asciende a 5 pesos si se imprimen hasta 30 unidades y a 3 pesos si se imprimen más.
Se pide:
a) Hallar la función f(x) del coste total en función del número x de libros impresos.y representarla grá…camente.
b) Si Antonio invierte 180 pesos en total, ¿cuántos libros se imprimen?
c) ¿Es más barato imprimir 25 libros o imprimir 40? Proponga una modi…-
cación a los precios dados por la imprenta para solucionar dicha inconsistencia.
Algunas soluciones - Módulo 2
1) Coloquial: "La hipotenusa de un triángulo rectángulo de base 3 es función de su altura y se obtiene tomando raíz cuadrada a la suma de 9 con el cuadrado de dicha altura"
Visual: (la altura x sólo puede tomar valores no negativos) 1
2
2) a) s 1 (3) = 7; s 1 (10) = 21 b)s 2 (3) = 1 2 ; s 2 (10) = 10 97 c) s 3 (3) = 4; s 3 (10) = p 107 d) s 4 (3) = 3; 6; 9; 12; 15; 18 ; s 4 (10) = 10 e) s 5 (3) = 1 2 ; s 5 (10) = 1 9 :
3) a) Es función;
b) Es función (si bien esta regla no está de…nida para p
3 y a p
3 porque no se puede dividir por cero, dichos valores no pertenecen al dominio N dado en el enunciado) 2
c) Falla la existencia, por ejemplo el 1 no tiene imágen en el conjunto de llegada Q (pues p
8 es irracional)
d) Falla la existencia (por ejemplo 21 no tiene imagen) y también falla la unicidad (or ejemplo el 9 tiene dos imagenes: 9 y 18);
e) Falla la existencia, el 1 no tiene imagen porque su anterior, 0, no tiene inverso multiplicativo.
4) c) La misma ley con un conjunto de llegada diferente puede ser función.
Por ejemplo, s 3 : N ! R=s 3 (x) = p
x 2 + 7 es función porque el conjunto de llegada R incluye también a los resultados irracionales.
e) s 5 : fx 2 N= x 6= 1g ! Q es función.
5 a) Dom(f ) = ( 1; 5) [ ( 5; 1) [ (1; 1) ; Ceros(f) = ? (no tiene) b) Dom(g) = R; Ceros(g) = p
3; p 3 c) Dom(h) = [ 15; 1); Ceros(h) = f 15g d) Dom(k) = (4; 1) ; Ceros(k) = ? (no tiene) 6)
2
La misma ley con un dominio diferente puede dejar de ser función. Por ejemplo, f : R ! R=f (x) =
x2x3no es función porque los elementos del dominio p
3 y p
3 no tienen imagen.
Falla la existencia
4
6
3
8) Consultar respuestas del Sullivan (subido en "Apuntes 2020") 9) Consultar respuestas del Sullivan.
10) 10
4
11) a)¨
8 <
:
1
3 x + 7 6 x 3
x + 2 3 < x 2
2x + 8 2 < x
Dom = [ 6; 1) ; CI = ( 1; 41] [ [5; 6]
b) 8 <
:
2x 11 x 2 ( 1; 7)
2 x 2 [ 5; 4) [ [5; 6]
2 x 2 f 4g
Dom = ( 1; 7)[[ 5; 1] ; CI = f 2g [ f2g [ (3; 1)
12 c) Más de 250 pesonas.
d) 12
5
