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Guía de Estudio: Matrices y Determinantes 1) ¿A qué se llama matriz de orden m x n sobre un cuerpo K? Defina. 2) ¿Qué notaciones conoce para nombrar una matriz? Explicite. 3) Explique qué significa K

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(1)

Guía de Estudio de Matrices y Determinantes – Página 1

Guía de Estudio: Matrices y Determinantes

1) ¿A qué se llama matriz de orden m x n sobre un cuerpo K? Defina.

2) ¿Qué notaciones conoce para nombrar una matriz? Explicite.

3) Explique qué significa K

mxn

. Ejemplifique escribiendo una matriz de R

2x3

4) Una matriz puede darse en forma “explícita” o en forma “implícita”. Explique en qué consiste cada una de estas formas. Ejemplifique.

5) ¿Una matriz puede tener una única fila, o bien una única columna? ¿Cómo se llama en cada caso? Ejemplifique.

6) ¿Cuándo se dice que dos matrices son iguales? Defina.

7) ¿A qué se llama “matriz nula”? Ejemplifique.

8) ¿Es cierto que dos matrices nulas son siempre iguales? Ejemplifique.

9) ¿Existen valores de x e y tales que la matriz a = 

 

− 3 4

4

1 sea igual a la matriz

u = 

 

− + 3 y

y

x ? Justifique.

10) ¿Existen valores de x e y tales que la matriz a = 

 

− 3 4

4

1 sea igual a la matriz

u = 

 

− 3 y

y

x ? Justifique.

11) Complete para obtener la definición de las siguientes matrices cuadradas especiales:

Una matriz cuadrada a = (a

ij

) se llama:

• Matriz diagonal , si . . .

• Matriz escalar, si . . .

• Matriz simétrica ,si . . .

• Matriz antisimétrica si . . .

• Matriz triangular superior, si . . .

• Matriz triangular inferior, si . . .

(2)

Guía de Estudio de Matrices y Determinantes – Página 2

12) Dé un ejemplo de cada una de las matrices definidas en 11) 13) Complete, para obtener la definición de suma de matrices:

14) ¿La suma de matrices tiene las mismas propiedades que la suma de números reales? Mencione las propiedades de la suma de matrices.

15) ¿Cómo se define la resta de matrices? Exprese la definición en forma simbólica.

16) Complete, para obtener la definición de producto de un escalar por una matriz:

17) Complete, para expresar en forma simbólica las propiedades del producto de un escalar por una matriz:

* Propiedad asociativa con respecto al producto por otro escalar: . . .

* Propiedad distributiva con respecto a la suma de matrices: . . .

* Propiedad distributiva con respecto a la suma de escalares: . . .

* Existencia de elemento neutro . . . Escriba las condiciones que cumplen los escalares y matrices usadas en la simbolización de cada propiedad.

18) Le informan que k . a = 0 (“ k” es un escalar y “a” es una matriz)

¿ 0 es un número o una matriz?

¿Qué conclusión se obtiene a partir de la igualdad dada?

19) Complete, para obtener la definición de producto entre matrices:

Dadas a = (a

ij

) ∈ . . . y b = (b

ij

) ∈ . . . se llama suma de las matrices “a” y “b”

a la matriz c = (c

ij

) ∈ . . . tal que c

ij

= . . . para i = . . . y j = . . .

Dados un escalar “k” y una matriz a = (a

ij

) ∈ . . . se define k. (a

ij

) = (c

ij

) ∈ . . . tal que c

ij

= . . . para i = . . . .. y j = . . .

Dadas a = (a

ij

) ∈ . . . y b = (b

ij

) ∈ . . . se llama producto de las matrices “a” y “b”

a la matriz c = (c

ij

) ∈ . . . tal que c

ij

= . . . para i = . . .

y j = . . .

(3)

Guía de Estudio de Matrices y Determinantes – Página 3

20) ¿La multiplicación de matrices tiene las mismas propiedades que la multiplicación de números reales? Explique.

21) Si a y b son dos matrices tales que a.b = c , considere las siguientes posibilidades de b.a:

¿es posible que b.a no exista?

¿es posible que b.a exista pero sea de distinto orden que a.b?

¿es posible que b.a exista y sea del mismo orden que a.b?

¿es posible que b.a = a.b?

Ejemplifique

22) Hágase las mismas preguntas si a.b = c , pero a, b ∈ K

nxn

23) Escriba dos matrices cuadradas a y b ∈ R

2x2

tales que:

* a.b ≠ b.a * a.b = b.a

* a.b = b.a siendo a y b matrices no nulas

¿cómo se llaman dos matrices que, como estas dos últimas, cumplen que a.b = b.a ? 24) Suponga que a.b = c , a, b ∈ K

nxn

y se multiplica ambos miembros de la igualdad por una matriz d ∈ K

nxn

Analice si las siguientes igualdades son correctas y justifique:

* a.b.d = c.d *a.b.d = d.c *d.a.b = d.c *d.a.b = c.d

25) ¿Existe en K

nxn

una matriz que es elemento neutro para la multiplicación? ¿Cómo se llama?

26) Complete, para obtener la definición de “matriz unidad” o “matriz identidad” en K

nxn

En K

nxn

, se llama “matriz unidad” o “matriz identidad” a la matriz id= (a

ij

) definida por:

a

ij

= . . . y tal que a . id = id . a = . . . para todo a ∈ K

nxn

(4)

Guía de Estudio de Matrices y Determinantes – Página 4

27) Otra particularidad de la multiplicación de matrices, que la diferencia de otras multiplicaciones, es la existencia de “divisores de cero”. Explique qué significa esto.

28) ¿Está definida la división de matrices en K

nxn

? Justifique.

29) Complete, para obtener la definición de “matriz inversible” K

nxn

30) Use esta propiedad para demostrar que, si a, b ∈ K

nxn

son matrices inversibles, entonces (a.b)

-1

= b

-1

.a

-1

31) Considere el conjunto, (K

nxn

, +, . ) con las operaciones suma y multiplicación.

Evalúe si la siguiente afirmación es correcta y justifique:

EL CONJUNTO (K

nxn

, +, . ) ES UN ANILLO NO CONMUTATIVO CON DIVISORES DE CERO

32) Sean a, b, c ∈ K

nxn

inversibles; despeje x ∈ K

nxn

en las siguientes igualdades:

a.x = b a.x.b = c

33) Uno de los métodos más usados para el cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada es el “Método de Gauss-Jordan”. Para aplicarlo se deben definir las llamadas “operaciones elementales sobre las filas de una matriz”

Complete, para obtener dichas definiciones:

I. Intercambiar . . . . . . II. Reemplazar una fila por . . . . . . III. Reemplazar una fila por . . . . . . . . . . . . 34) ¿A qué se llama “matriz elemental”?

Escriba, en particular, las matrices elementales e

3,2

, e

2

( 5 )

y e

1,3

( 5 )

de orden tres.

Una matriz a ∈ K

nxn

, se dice “inversible” , si existe una matriz b ∈ K

. . .

tal que a.b = . . . .= . . . . ;

b se dice “inversa de a” y se escribe b = . . . .

Análogamente a = . . . .

(5)

Guía de Estudio de Matrices y Determinantes – Página 5

35) Suponga que le dan la matriz a =

2 4 1

7 3 2

0 1 1





Escriba, sin efectuar la cuenta, el resultado de las siguientes multiplicaciones:?

e

3,2

.

2 4 1

7 3 2

0 1 1





e

2(5)

.

2 4 1

7 3 2

0 1 1



 =

e

1,3(5)

.

2 4 1

7 3 2

0 1 1



 =

36) Complete el enunciado:

“Efectuar una operación elemental sobre las filas de una matriz equivale a premultiplicarla por

. . . 37) Suponga que a una matriz cualquiera se le aplican en forma sucesiva un número finito de operaciones elementales sobre sus filas ¿Cómo se dicen entre sí todas las matrices obtenidas?

38) Suponga que al aplicar a una matriz cuadrada, un número finito de operaciones elementales sobre sus filas, se llega a la “matriz unidad” ¿Qué puede asegurarse de la matriz inicial? Ejemplifique con una matriz de 2x2.

39) Suponga que al aplicar a una matriz cuadrada, un número finito de operaciones elementales sobre sus filas. ¿Qué puede decirse si no es posible llegar a la matriz unidad? Ejemplifique con una matriz de 2x2

40) Suponga que al aplicar a una matriz cuadrada a ∈ K

nxn

un número finito “t” de operaciones elementales sobre sus filas, se llega a la “matriz unidad” Escriba este proceso usando la multiplicación y la igualdad de matrices.

41) Use la expresión anterior para demostrar que:

(6)

Guía de Estudio de Matrices y Determinantes – Página 6

“las mismas operaciones elementales sobre las filas que, aplicadas sobre la matriz K

nxn

a ∈ , dan por resultado la matriz unidad Id ∈ K

nxn

, aplicadas en el mismo orden sobre la matriz unidad Id ∈ K

nxn

, dan por resultado su inversa a

-1

∈ K

nxn

(Sugerencia: postmultiplicar por la matriz a

-1

en ambos miembros de la igualdad escrita en el ejercicio 40)

42) Analice si las matrices dadas son inversibles.

Si alguna lo es, encuentre la inversa, de lo contrario justifique.

a = b =

43) Complete, para obtener la definición de “matriz traspuesta”

44) Revise las propiedades de la trasposición y complete escribiendo obre las líneas punteadas:

a) (a

t

)

t

= . . . ., si a ∈ K

. . .

b) (k.a

t

) = . . . ., si k ∈ . . . y a ∈ K

. . . .

c) (a.b)

t

= . . . ., si a ∈ K

. . . .

y b ∈ K

. . .

45) El concepto de “matriz traspuesta” permite formular otra definición de “matriz simétrica” y de “matriz antisimétrica”. Complete, para obtener los enunciados de las mismas:

46) Utilice las definiciones del ejercicio anterior para demostrar:

i) Si a ∈ K

nxn

es inversible, entonces

t1

1t

) ( a ) ( a

=

ii) Si a ∈ K

nxn

, entonces

• a . a

t

y a

t

. a son matrices simétricas

• a + a

t

simétrica

Se llama matriz traspuesta de a = (a

ij

) ∈ K

nxn

, a la matriz b = (b

ij

) ∈ K

nxn

tal que b

ij

= . . . . , para todo i = . . . ., y j = . . .

Una matriz a ∈ K

nxn

, se dice

“simétrica” si y sólo si . . .

Una matriz a ∈ K

nxn

, se dice

“antisimétrica” si y sólo si . . .

(7)

Guía de Estudio de Matrices y Determinantes – Página 7

• a - a

t

es antisimétrica

iii) Si a b ∈ K

nxn

son simétricas, entonces

• a + b es simétrica

• a . b es simétrica si y sólo si a . b =b . a

47) ¿Cuándo se dice que en una permutación hay una inversión?

Tome los enteros 1, 2 , 3, 4 y diga cuántas inversiones hay en las permutaciones 1432 1324 y 4321

48) Complete, para obtener la definición de determinante de una matriz cuadrada

K

nxn

a ∈

49) Diga cuántos términos tiene el desarrollo de un determinante de orden 2, 3, 4, n.

50) Le piden que calcule el determinante de una matriz de orden 2, otra de orden 3 y otra de orden 4. ¿Puede usar la Regla de Sarrus en todos los casos? Explique.

51) ¿Cuánto vale el determinante de una matriz unidad Id? ¿depende este valor del orden?

52) ¿Cuánto vale el determinante de una matriz cuadrada nula? ¿depende este valor del orden?

53) Complete, para obtener las propiedades de los determinantes y ejemplifique:

a) El determinante de una matriz y el determinante de su traspuesta son . . . b) Si se intercambian entre sí dos filas (o dos columnas) de una matriz , su

determinante . . .

c) Si una matriz tiene una fila /columna nula, su determinante es . . . d) Si una matriz tiene dos filas/columnas iguales, su determinante es . . . e) Si una matriz tiene dos filas/columnas proporcionales, su determinante es . . .

Asociado a cada matriz a ∈ K

nxn

existe un escalar, que llamaremos

“determinante de a” definido por det a = a =(-1)

s

a

1j1

a

2j2

L a

njn

, donde “s”

es el número de inversiones de la permutación . . . de los

segundos subíndices , y entendiendo que la suma se extiende a las . . .

permutaciones de estos.

(8)

Guía de Estudio de Matrices y Determinantes – Página 8

f) Si una fila (o columna) de una matriz se multiplica por un escalar “k”, su

determinante . . .

Consecuencia

Si los elementos de una fila (o columna) de una matriz tienen un factor común, éste puede . . . .del determinante

g) Si una matriz tiene una fila (o columna) que es combinación lineal de las demás, su determinante es . . .

h) Si en una matriz se sustituye una fila (o columna) por su suma con otra

previamente multiplicada por un escalar, su determinante . . . i) Si a , b ∈ K

nxn

, entonces det (a.b) = . . . 54) Sea a ∈ K

3x3

tal que det a = 5; ¿cuánto vale det(2. a)?

Y si a ∈ K

nxn

¿cuánto vale det (2. a)?

55) Sea a ∈ K

3x3

tal que det a = 5; ¿cuánto vale det( )?

56) Si a , b ∈ K

nxn

, det a = 8 y det b = -10 ¿Cuánto vale det(a.b)?

57) Si a , b ∈ K

nxn

, det (a.b) = 15 y det a = -3 ¿cuánto vale det b?

58) ¿Cómo se llama una matriz cuyo determinante es 0?

59) Complete, para obtener proposiciones verdaderas a) Si a

-1

= a

t

entonces det a = . . . b) Si a . a

t

= a

-1

entonces det a = . . . c) Si a ∈ R

3x3

y 3a . (2.a) = entonces det a = . . . d) Si a ∈ R

3x3

y a . (-a

t

) = 4. Id entonces det a = . . . e) Si a ∈ C

3x3

y a . (-a

t

) = 4. Id entonces det a = . . . f) Si a ∈ C

3x3

y 2a . (-2.a). a

t

= Id entonces det a = . . .

(9)

Guía de Estudio de Matrices y Determinantes – Página 9

60) Complete para obtener la definición de “menor complementario” o “cofactor” de un elemento de una matriz cuadrada .

61) Complete para obtener la definición de “adjunto” de un elemento de una matriz cuadrada .

62) Dada la matriz a =

1 0 1 1 1 1 0 1 2



 , calcule M

22

, α

22

, M

13

y α

13

63) La Regla de Laplace se usa para calcular el valor del determinante de una matriz cuadrada de orden “n”. Complete el siguiente enunciado escribiendo los “contadores”

de la sumatoria, de modo que resulte la expresión simbólica de la regla.

64) Calcule el determinante de la matriz a =



 



 

1 1 0 3

2 0 1 0

1 1 0 2

1 0 1 1

por la fila y por la

columna que considere más conveniente.

Se llama “menor complementario” o “cofactor” de un elemento a

ij

de una matriz

K

nxn

a ∈

al determinante M

ij

de la matriz de orden . . . . . . . . . . . . . . .

Se llama “adjunto” de un elemento a

ij

de una matriz a ∈ K

nxn

al escalar

α

ij

= . . .

Si a = ( a

ij

) ∈ K

nxn

, entonces

det a =

L L

ij

a

ij

α (desarrollo por la fila “i”) det a =

L L

ij

a

ij

α (desarrollo por la columna “j”)

(10)

Guía de Estudio de Matrices y Determinantes – Página 10

65) Combine la Regla de Laplace y el uso de propiedades para reducir el cálculo del valor del determinante de la matriz “a” del ejercicio 18 , a un determinante de orden 2.

(este procedimiento se conoce como “método de reducción del orden”)

66) Complete para obtener la definición de “matriz adjunta” de una matriz cuadrada , en forma implícita.

67) Calcule la matriz adjunta de la matriz “a” del ejercicio 61 68) Demuestre que si a ∈ K

nxn

es inversible, entonces det a 69) Demuestre que si a ∈ K

nxn

es tal que det a ≠ 0, entonces “a” es inversible Sugerencia : calcular a . adj a y adj a . a

70) Escriba la equivalencia lógica que se sigue de los ejercicios 67 y 68.

71) Escriba la fórmula para calcular la matriz inversa de una matriz no singular obtenida como consecuencia de la demostración realizada en el ejercicio 23.

72) Averigüe si la matriz “a” del ejercicio 62 es inversible. Si lo es, obtenga su inversa por el método canónico. Si no lo es, explique porqué.

Se llama “matriz adjunta” de una matriz cuadrada a = ( a

ij

) ∈ K

nxn

a la matriz adj a = ( b

ij

) ∈ K

nxn

tal que b

ij

= . . . ,

para i = . . . y j = . . .

Referencias

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