Matemática II Cuadriláteros
Departamento de Matemática
Preuniversitario Futuro 2021
Aprendizaje
Esperado
CUADRILÁTEROS
1) Definición:
Son polígonos de cuatro lados que se dividen en convexas y cóncavas.
a) Convexos: Son aquellos polígonos que poseen todos sus ángulos interiores menores a 180°.
b) Cóncavos: Son aquellos polígonos que poseen al menos un ángulo interior mide más de 180°.
𝛼’ 𝛽’
𝛿’ 𝛿 𝛾
𝛼 𝛽
𝛾’
𝛼 𝛼 > 180°
CUADRILÁTEROS
2) Teoremas
2.1) En todo cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es 360°.
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛿 = 360°
2.2) En todo cuadrilátero la suma de los ángulos exteriores es 360°.
𝛼’ + 𝛽’ + 𝛾’ + 𝛿’ = 360°
𝛿 𝛾’ 𝛽
𝛽’
𝛼 𝛾
𝛼’
𝛿’
CUADRILÁTEROS
Ejemplos:
Cada figura representa a un cuadrilátero, encontrar en cada caso el valor de x.
60°
75° x
55°
x-20°
130°
150°
x
35° x 20°
85° 70°
55°
170°
x
CUADRILÁTEROS
2.3) En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.
2.4) En todo cuadrilátero circunscrito en una circunferencia, la suma de las medidas de los lados opuestos es la misma.
a + c = b + d a
c b
d 𝛿
𝛾 𝛽
𝛼
C
D B
A
𝛼 + 𝛾 = 180°
𝛽 + 𝛿 = 180°
CUADRILÁTEROS
EJEMPLOS
1) Los cuadriláteros están inscritos en la circunferencia. ¿Cuánto mide 𝛼 y 𝛽?
𝛽
70°
120° 𝛼
𝛼
85°
105°
𝛽
CUADRILÁTEROS
2) Los cuadriláteros están circunscritos a las circunferencias.
¿Cuántos miden x e y?
2 cm (x – 3) cm
6 cm 18 cm
x
3x
x + 8
2
CUADRILÁTEROS
3) Clasificación de los cuadriláteros Los cuadriláteros se clasifican en:
Cuadriláteros
Paralelogramos: Cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos.
Trapecios: Cuadriláteros que tienen sólo un par de lados opuestos paralelos.
Trapezoides: Cuadriláteros cuyos lados no son
paralelos.
CUADRILÁTEROS
i. Lados opuestos paralelos ii. Lados opuestos congruentes iii. Ángulos opuestos congruentes iv. Ángulos consecutivos
suplementarios
v. Las diagonales se dimidian vi. Las diagonales de un
paralelogramo dividen a éste en dos triángulos congruentes
E D
A B
C
𝛼 𝛽
𝛿 𝛾
AB // CD y AD // BC AB ≅ CD y AD ≅ BC
𝛼 ≅ 𝛾 ; 𝛽 ≅ 𝛿
𝛼 + 𝛽= 180°; 𝛽 + 𝛾 = 180°
𝛾 + 𝛿 = 180°; 𝛿 + 𝛼 = 180°
AE ≅ EC; BE ≅ DE 4) Paralelogramos:
Sus características muestran que tienen:
CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMO
a) Cuatros ángulos rectos b) Cuatro lados congruentes
AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA
c) Diagonales perpendiculares AC ⊥ BD d) Diagonales congruentes AC ≅ BD e) Diagonales se dimidian
AE ≅ EC ≅ BE≅ DE
f) Diagonales bisectan los ángulos interiores
g)Diagonales son bisectrices, alturas, simetrales y Transversales del ∆ABD, ∆ABC, ∆BCD y
∆CDA
h) E punto medio donde se intersectan las diagonales.
i) En un cuadrilátero regular
A B
C D
E 4.1) Cuadrado
CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS
a) Ángulos opuestos congruentes 𝛼 ≅ 𝛾; 𝛽 ≅ 𝛿 b) Cuatro lados congruentes
AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA
c) Diagonales perpendiculares AC ⊥ BD
d) Diagonales se dimidian AE ≅ EC; BE ≅ DE e) Diagonales bisectan los ángulos interiores f) Las Diagonales son bisectrices, alturas,
simetrales y Transversales del ∆ABD,
∆ABC, ∆BCD y ∆CDA
g) E punto medio donde se intersectan las diagonales.
h) Diagonales no son congruentes AC ≠ BD i) Ángulos consecutivos suplementarios
𝛼 + 𝛽 = 180°; 𝛾 + 𝛿 = 180°
𝛽 + 𝛾 = 180°; 𝛿 + 𝛼 = 180°
E
𝛼 𝛿 𝛾
𝛽
𝛼 ≠ 𝛽, 𝛾 ≠ 𝛿
4.2) Rombo
CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS
a) Lados opuestos paralelos congruentes AB ≅ DC; AD ≅ BC
b) Diagonales se dimidian
AE ≅ EC ≅ BE ≅ DE
c) Diagonales son congruentes AC ≅ BD d) Cuatro ángulos rectos
e) Diagonales no bisectan los ángulos interiores f) E punto medio donde se intersectan las
diagonales.
A B
C D
E 4.3) Rectángulo
E
𝛼 𝛿
𝛽
𝛾
CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS
a) Lados opuestos paralelos y congruentes AB ≅ CD ∧ AB // CD;
AD ≅ BC ∧ AD // BC b) Ángulos opuestos congruentes
𝛼 ≅ 𝛾; 𝛽 ≅ 𝛿
c) Ángulos consecutivos suplementarios 𝛼 + 𝛽 = 180°; 𝛾 + 𝛽 = 180°;
𝛾 + 𝛿 = 180°; 𝛼 + 𝛿 = 180°
d) Diagonales se dimidian
AE ≅ EC; BE ≅ ED
e) Diagonales no bisectan los ángulos interiores f) E punto medio donde se intersectan las
diagonales AC y BD.
g) Diagonales no son congruentes AC ≠ BD 4.4) Romboide
PARALELOGRAMOS
Paralelogramos Equiláteros: Son los paralelogramos Cuadrado y Rombo:
1) Las diagonales son bisectrices de los ángulos interiores.
2) Las diagonales son perpendiculares.
3) Se les puede inscribir una circunferencia.
Paralelogramos Rectángulos: Son los paralelogramos Cuadrado y Rectángulo:
1) Las diagonales son congruentes.
2) Se les puede circunscribir una circunferencia.
TRAPECIOS
5.1) Definición: Son cuadriláteros que tienen un par de lados opuestos paralelos y que tienen propiedades como:
A B
C D
𝛼 𝛽
𝛿 𝛾
a) Un par de lados paralelos AB // CD
b) Dos pares de ángulos suplementarios
𝛼 + 𝛿 = 180°; 𝛽 + 𝛾 = 180°
TRAPECIOS
5.2) Tipos de Trapecios:
Existen distintos tipos de trapecios, como son:
a) Trapecio isósceles: Son aquellos en que sus lados no paralelos son congruentes
a) AD ≅ BC
b) 𝛼 ≅ 𝛽 ; 𝛾 ≅ 𝛿 ; 𝛼 ≠ 𝛿; 𝛽 ≠ 𝛾 c) AB // DC
d) Diagonales congruentes AC ≅ DB e) Dos pares de ángulos suplementarios
𝛼 + 𝛿= 180°; 𝛽 + 𝛾 = 180°
f) DE = EC ; AE = BE g) E no es punto medio
A B
C D
𝛼 𝛽
𝛿 𝛾
E
TRAPECIOS
5.2) Tipos de Trapecios:
b) Trapecio Escaleno: Es aquel en que todos sus lados y ángulos son de distinta medida.
a) AB ≠ DC ≠ AD ≠ BC b) 𝛼 ≠ 𝛽 ≠ 𝛾 ≠ 𝛿
c) AB // DC
d) Diagonales no son congruentes AC ≠ DB
e) Dos pares de ángulos suplementarios
𝛼 + 𝛿 = 180°; 𝛽 + 𝛾 = 180°
f) E no es punto medio A B
D C
𝛼 𝛽
𝛿 𝛾
E
TRAPECIOS
5.2) Tipos de Trapecios:
c) Trapecio Trisolátero: Es aquel que tiene sus tres lados congruentes.
a) BC ≅ CD ≅ AD
b) 𝛼 ≅ 𝛽 ; 𝛾 ≅ 𝛿 ; 𝛼 ≠ 𝛿; 𝛽 ≠ 𝛾 c) AB // DC
d) Diagonales congruentes AC ≅ DB e) Dos pares de ángulos suplementarios
𝛼 + 𝛿 = 180°; 𝛽 + 𝛾 = 180°
f) DE ≅ EC ; AE ≅ BE g) E no es punto medio
A B
C D
𝛼 𝛽
𝛿 𝛾
E
TRAPECIOS
5.2) Tipos de Trapecios:
d) Trapecio Rectángulo: Es aquel que tiene dos ángulos rectos
A B
D C
𝛽 𝛾
E
a) 𝛽 ≠ 𝛾 b) AB // DC
c) Diagonales no son congruentes AC ≠ DB
e) 𝛽 + 𝛾 = 180°
TRAPEZOIDES
1) Definición: Cuadriláteros no poseen lados paralelos y se clasifican en dos grupos: simétricos y no simétricos.
a) Trapezoide asimétrico: No tiene lados paralelos.
.
B
C D
A
TRAPEZOIDES
b) Trapezoides Simétricos: Se denominan DELTOIDES.
D
C
A E B
a) DC ≅ AD b) CB ≅ AB c) DB ⏊ AC
d) ∡ADE ≅ ∡EDC; DB bisectriz e) ∡EBA ≅ ∡CBE
f) ∡BAD ≅ ∡DCB g) ∡DCE ≅ ∡EAD h) ∡ECB ≅ ∡BAE
i) E punto medio de CA;
AE ≅ EC
