Diagramas de tiempo y fecha focal

          Diagramas  de  tiempo  y  fecha  focal    

por Alma Ruth Cortés Cabrera  

Los diagramas de tiempo forman herramientas que sirven para plantear y resolver problemas financieros, pues son útiles para identificar los desplazamientos simbólicos del capital en el tiempo. Por medio de los

desplazamientos se pueden llevar las cantidades de dinero que forman parte de un problema, hasta una fecha en común, la cual se conoce como Fecha focal o Fecha de referencia.

Fecha focal es el punto donde convergen todos los pagos o flujos, tanto los positivos como negativos, con la particularidad de que al resolver la ecuación de valor en cualquier fecha focal, el resultado de la incógnita despejada siempre va a ser el mismo.

Empleando los valores de la fecha focal y separando los importes que corresponden a las deudas y los importes de los pagos (o sea, por un lado los cargos y por otro lado los abonos), se establece una igualdad a la que se llama Ecuación de valores equivalentes o Ecuación de valor.

Posteriormente, la ecuación será resuelta despejando las incógnitas que en ella aparezcan, a fin de lograr solucionar el problema.

La solución varía dependiendo de la localización de la fecha focal, cuando se trata de interés simple, pero en los casos de interés compuesto la solución es la misma para cualquier ubicación de la fecha focal.

Las cantidades de dinero pueden ubicarse de la siguiente manera: antes o después de la fecha Focal, como se ve en el diagrama que está en la figura 1.

Esto es, si la cantidad A está antes de la fecha mencionada (fecha focal), los intereses se sumarán para encontrar su valor futuro equivalente en la fecha focal.

Si la cantidad B está después, los intereses se restarán para obtener su valor presente equivalente, en la misma

fecha focal. Recuerda que trasladar un valor futuro al momento actual significa que se obtiene el valor presente

de él, un tiempo antes de su vencimiento.

CF0015_M2AA2L1_Diagramas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Ma. Magdalena Arredondo

Figura 1. Fecha focal.

Ejemplo 1

Liquidación de créditos con pagos diferidos

El día de hoy se cumple 5 meses de que un comerciante en abarrotes consiguió un crédito de $40,000 firmando un documento a 7 meses de plazo. Hace 3 meses le concedieron otro crédito y firmó un documento con valor nominal de $55,000, valor que incluye los intereses de los 6 meses del plazo. Hoy abona $50,000 a sus deudas y acuerda con su acreedor liquidar el resto en 4 meses, contados a partir de hoy. ¿Cuál será la cantidad del pago si tiene intereses de 11.55% nominal mensual?

Solución:

El siguiente diagrama muestra la situación antes descrita. Observa que cada subdivisión de la recta representa

un periodo mensual.

Figura 2. Ejemplo de diagrama de fecha focal.

Tal como se muestra en el diagrama, la figura traslada las tres cantidades a la fecha focal (hoy), la cual se ha fijado arbitrariamente.

Los primeros $40,000 se ubican 5 meses antes del día de hoy que es la fecha en que se hizo el préstamo. Para llevarlos a la fecha focal se deben sumar los intereses de los 5 meses y obtener el importe a esta fecha, dado que los $55,000 incluyen intereses, pues son el valor nominal del nuevo documento y se colocan a la fecha de vencimiento, 3 meses a partir del día de hoy.

En este caso, para trasladarlos a la fecha focal, se le restan los intereses de los mismos en meses. Ambos valores forman el debe y se anotan en la parte superior del diagrama. El haber se forma por los pagos, los primeros $50,000 que ya aparecen en la fecha focal y el pago x que se realiza 4 meses después (por lo que se le restan los intereses de 4 meses).

Como se observa en el diagrama, ambos totales las deudas D y los pagos P, son iguales pues están en la misma fecha. Entonces obtienes la ecuación de valor de P=D.

Para calcular el valor futuro, utilizarás la fórmula: 𝑺 = 𝑪(𝟏 + 𝒊  /𝒑) ^𝒏𝒑

CF0015_M2AA2L1_Diagramas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Ma. Magdalena Arredondo

S

= 40, 000 1+ 0.1155 12

!

"

# $

% &

5

ya que S = C(1+i)

S

= 40, 000 1.009625 ( )

S

= 40,000 1.0490603 ( ) ^ó S 1 = ^{41 , 962 . 41}

Para el valor presente de los $ 55,000, se restarán los intereses de 3 meses, también empleando la fórmula de interés compuesto: S = C(1+i)

Donde:

S = 55,000.

C = C

= Se ignora.

i = 11.55% entre 12 meses = 0.1155/ 12, porque es capitalizable mensualmente.

n = periodos de capitalización = 3 meses.

55,000= C

(1.009625)

55,000= C

(1.0291538) Despejando C1 de la fórmula:

0291538 .

1 / 000 ,

1 = 55

C ó C ₁ = 53 , 441 . 96

El equivalente redondeado a los dos préstamos en la fecha focal, queda:

1

1 C

S D = +

96 . 441 , 53 41 . 962 ,

41 +

D = ó D = 95 , 404 . 37

Como puedes darte cuenta, una interpretación real del resultado es que con este importe se liquidarían las

deudas (D) a la fecha de hoy. El diagrama se vería así:

Figura 3. Diagrama del ejemplo.

Enseguida deben calcularse los pagos, pues recuerda que para trabajar en fecha focal aplica la ecuación de valor P = D, y se conoce el primer pago de $50,000.

De esta forma necesitas quitar intereses de 4 meses al segundo abono x (no se conoce), con lo que quedaría C

, como sigue:

𝒙 = 𝑪 _𝟐 1.009625 ^!        ya  que  S  =  C(1+i/p)

,  donde  ya  se  conoce  el  interés  (0.1155/12) 𝑪 _𝟐 = 𝟏  /    𝟏. 𝟎𝟑𝟗𝟎𝟓𝟗

𝑪 _𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟔𝟐𝟒𝟎𝟑 𝟏 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆         𝒂

𝒃 = 𝒂( 𝟏 𝒃 )

Con este resultado y el pago que se realiza el día de hoy, se obtiene el equivalente a los 2 pagos en la fecha focal, dicho de otra forma:

000 2

,

50 C

P = +

P = 50,000 + 0.9624093 ( ) ^x

Puedes notar que el coeficiente de x, 0.96240 significa que adelantar 4 meses el pago reduce casi el 4%, o sea

que si se paga hoy, se sufragaría sólo el 96.24% aproximadamente.

CF0015_M2AA2L1_Diagramas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Ma. Magdalena Arredondo

9624093 .

0 / ) 000 , 50 37 . 404 , 95

( −

x =

82 . 177 ,

= 47

x o $47,177.82

Existe una solución más breve, cuando el número de capitales no es tan grande, encontrando el saldo al día de hoy, después de considerar el pago de $50,000 para llevarlo 4 meses después. El saldo es S ₁ + C ₁ − 50 , 000 , es decir, 41 , 962 . 41 + 53 , 441 . 96 − 50 , 000 = 45 , 404 . 37

S = 45, 404.37 1+ 0.1155 12

!

"

# $

% &

4

S = 45, 404.37 1.039059419 ( ) = 47,177.84 o $47,177.84

 Bibilografía  

Villalobos, J. (2007), Matemáticas financieras. México: Pearson Prentice Hall.

Rivera, J. (1994). Matemáticas financieras. México: Instituto Politécnico Nacional [IPN].

Disponible en la base de datos Bibliotechnia de la Biblioteca Digital UVEG.