(1)TEOREMA DE LOS C´IRCULOS DE GERSHGORIN FERNANDO REVILLA Resumen

TEOREMA DE LOS C´IRCULOS DE GERSHGORIN

FERNANDO REVILLA

Resumen. Demostramos el teorema de los c´ırculos de Gershgorin y da- mos ejemplos de aplicaci´on.

Definici´on. Sea A = [aij] ∈ C^n×n. Para cada i = 1, 2, . . . , n consideremos los c´ırculos cerrados del plano complejo

D_i = D(a_ii, r_i) = {z ∈ C : |z − aii| ≤ r_i} con r_i =X

j6=i

|a_ij| .

A tales c´ırculos se les llama c´ırculos de Gershgorin. Cada c´ırculo Di tiene su centro en el elemento a_ii de la diagonal principal y su radio es la suma de los m´odulos de los restantes elementos de la fila i.

Teorema (De los c´ırculos de Gershgorin). Cada valor propio de A pertenece a alg´un c´ırculo de Gershgorin.

Demostraci´on. Sea λ un valor propio de A y sea 0 6= x = (x_j) un vector propio asociado a λ. Llamemos xi a la coordenada de x de mayor m´odulo.

Claramente |x_i| > 0 pues en otro caso ser´ıa x = 0. Se verifica Ax = λx, es decir











a11 a12 . . . a1n

a₂₁ a₂₂ . . . a_2n

... ...

an1 an2 . . . ann



















 x1

x₂ ... xn











= λ









 x1

x₂ ... xn









 o bien,

n

X

j=1

aijxj = λxi ∀i = 1, . . . , n.

De forma equivalenteP

j6=iaijxj = λxi−a_iixiy dividiendo ambos miembros entre xi y tomando m´odulos

|λ − a_ii| =    

P

j6=iaijxj

xi

≤X

j6=i

a_ijx_j xi

≤X

j6=i

|a_ij| = r_i.

Es decir, λ ∈ D(a_ii, r_i). 

Key words and phrases. teorema, c´ırculos, Gershgorin . 1

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Ejemplo 1. Consideremos la matriz A = 1 2 1 −1



y hallemos sus valores propios:

χ(λ) = λ²− 3 = 0, λ = ±√ 3.

Los c´ırculos de Gershgorin son

D1 = D(1, 2), D2= D(−1, 1).

Con un sencillo gr´afico podemos verificar que −√

3 ∈ D₂ y que √

3 ∈ D₁. En ´este caso, ocurre adem´as que −√

3 /∈ D₁ y√

3 /∈ D₂. Ejemplo 2. Consideremos la matriz A = 1 −1

2 −1



y hallemos sus valores propios:

χ(λ) = λ²+ 1 = 0, λ = ±i.

Los c´ırculos de Gershgorin son

D₁ = D(1, 1), D₂= D(−1, 2).

Con un sencillo gr´afico podemos verificar que −i ∈ D₂, i ∈ D₂. Sin embar- go, D1 no contiene a ning´un valor propio de A. N´otese que el teorema de Gershgorin asegura que todo valor propio pertenece a alg´un c´ırculo, pero puede que alg´un c´ırculo no contenga valores propios.

Ejemplo 3. Para toda matriz diagonal A = diag (λ1, λ2, . . . , λn) ∈ C^n×n sus valores propios son λ₁, λ₂, . . . , λ_n y sus c´ırculos de Gershgorin

D₁(λ₁, 0) = {λ₁}, D₂(λ₂, 0) = {λ₂}, . . . , D_n(λ_n, 0) = {λ₂} con lo cual, λi∈ D_i(λi, 0) para todo i = 1, 2, . . . , n.

Ejemplo 4. Dado que toda matriz A y su traspuesta A^T tienen los mismos valores propios, el teorema de Greshgorin sigue siendo v´alido si consideramos los discos

D_i⁰ = D(a_ii, r_i⁰) = {z ∈ C : |z − aii| ≤ r_i⁰} con r_i⁰ =X

j6=i

|a_ji| .

Es decir, cada c´ırculo D⁰_i tiene su centro en el elemento a_ii de la diagonal principal y su radio es la suma de los m´odulos de los restantes elementos de la columna i.

Department of Mathematics, UAX University, Villanueva de la Ca˜nada, Madrid and Head of the Department of Mathematics, IES Santa Teresa de Jes´us, Ministry of Education, Spain.

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