Programaci´ on Matem´ atica

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MC: Programaci´ on Matem´ atica Software

Melilla, Mayo 2014

V´ıctor Blanco Dpt. M´etodos Cuantitativos para la Econom´ıa y la Empresa UGR

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Contenidos

1 Programaci´on Matem´atica

2 PhPSimplex

3 SOLVER MS Excel

4 Maxima

5 XPRESS

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Programaci´ on Matem´ atica

m´ax (´o m´ın) f (x ) s.a.

x ∈ X

Programaci´on Lineal:

m´ax (´o m´ın) c1x1+· · · + cnxn

s.a.

a11x1+· · · + a1nxn ≤ (≥)b1

..

. ...

am1x1+· · · + amnxn ≤ (≥)bm

xi∈ R+

Programaci´on Entera OPT GEST EMPR 3 / 37

(4)

Programaci´ on Matem´ atica

x ∈ X

Programaci´on Lineal:

s.a.

a11x1+· · · + a1nxn ≤ (≥)b1

.. ..

(5)

Programaci´ on Matem´ atica

Programaci´on Lineal ENTERA

s.a.

a11x1+· · · + a1nxn ≤ (≥)b1

..

. ...

am1x1+· · · + amnxn ≤ (≥)bm

xi ENTEROS

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Programaci´ on Matem´ atica

Programaci´on Lineal ENTERA

s.a.

a11x1+· · · + a1nxn ≤ (≥)b1

..

. ...

am1x1+· · · + amnxn ≤ (≥)bm

xi ENTEROS

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Programaci´ on Matem´ atica

Programaci´on No Lineal:

g1(x ) ≤ (≥)0

..

. ...

gm(x ) ≤ (≥)0

(8)

Programaci´ on Matem´ atica

Programaci´on No Lineal:

g1(x ) ≤ (≥)0

..

. ...

gm(x ) ≤ (≥)0

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Software disponible

• COIN-OR SYMPHONY GPL.

• AIMMS

• CPLEX

• Gurobi

• MOSEK

• TOMLAB

• XPRESS.

• Software c´alculo simb´olico generales: Maple, Matlab, wxmaxima, ..

• Phpsimplex

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http://www.phpsimplex.com/

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SOLVER de Excel

Resolver problemaspeque˜nossin sofware espec´ıcifico:

INSTALACI ´ON:

• Disponible en MS Excel desde Excel 2003...

• Herramientas→ Solver.

• Si no est´a instalado: Herramientas→ Complementos e instalarlo.

• Tambi´en para Mac desde MS Excel 2011 y para OpenOffice.

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SOLVER de Excel

Resolver problemaspeque˜nossin sofware espec´ıcifico:

INSTALACI ´ON:

• Disponible en MS Excel desde Excel 2003...

• Herramientas→ Solver.

• Si no est´a instalado: Herramientas→ Complementos e instalarlo.

• Tambi´en para Mac desde MS Excel 2011 y para OpenOffice.

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SOLVER de Excel: Men´ u

• Celda objetivo: debe indicar la celda donde se encuentra la f´ormula que calcula la funci´on objetivo a maximizar o minimizar.

• Valor de la celda objetivo: debe especificarse si la función objetivo debe ser minimizada, o maximizada. Si la casilla Valores de se encuentra activada, la solución buscada intentará que la función objetivo sea igual al valor ah´ı indicado.

• Cambiando las celdas: contiene la ubicaci´on de las variables de decisi´on del problema.

• Sujeto a las siguientes restricciones→ Agregar.

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SOLVER de Excel: Restricciones

• Referencia de celda: Especifica la ubicación de la celda con la fórmula correspondiente a la restricción que se va a añadir.

• Tipo de restricci´on: Se pueden a˜nadir restricciones del tipo ≤, ≥, =, int, bin.

• Restricción: Para el caso de restricción tipo ≤, ≥, = debe especificarse aqu´ı un valor numérico o una referencia a una celda con un valor constante (no una función).

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SOLVER de Excel: Opciones

• Tiempo: N´umero de segundos antes de que Solver se detenga.

• Iteraciones.

• Precisión: Exactitud en los cálculos numéricos del algoritmo Solver.

• Tolerancia: Se especifica para programaci´on entera. Indica un porcentaje dentro del cual se garantiza la optimalidad de la soluci´on.

• Convergencia.

• Adoptar modelo lineal: Algoritmos espec´ıficos para programaci´on lineal (y entera).

• Asumir no negativos: si todas las variables son ≥ 0 (evita tener que escribirlas).

• Usar escala autom´atica: En el caso de que varias variables y datos del problema tengan escalas muy diferentes, el marcar esta casilla realiza un ajuste en la misma.

• Mostrar resultado de iteraciones: Marcar esta casilla en el caso de que se desee que Excel muestre la evolución de las variables de decisión en cada una de las iteraciones del algoritmo, donde se va aproximando hacia el óptimo.

• Estimaci´on, Derivadas, Hallar por: Para programaci´on no lineal.

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SOLVER de Excel: Ejemplo

Un granjero especializado en la explotación de ganado, debe decidir qué piensos ha de comprar para la alimentación de sus animales.

El cat´alogo de piensos disponibles es corto, ya que ´unicamente puede seleccionar 4 tipos de piensos, A, B, C, D. Cada uno de los piensos que puede adquirir tiene dos nutrientes M y N.

Las conversaciones con el veterinario de la granja le indican que las necesidades de alimentaci´on, medidas en kg de nutrientes que deben ingerir la suma de sus animales al d´ıa, es de 5500 kg de nutriente M y 8700 kg de nutriente N.

Las necesidades de alimentación deben ser cubiertas a través de las compras diarias de piensos que deben realizarse. Para ello el granjero se basa en datos del catálogo de cada pienso:

kg de nutriente M (por Ton) kg de nutriente N (por Ton) Coste (por Ton)

A 200 300 90

B 150 270 81

C 100 140 40

D 45 90 24

Teniendo en cuenta que el granjero sólo puede comprar toneladas completas ¿Cuántas toneladas de cada pienso debe comprar el granjero al d´ıa de tal manera que se satisfagan las necesidades de alimentación, y el coste sea m´ınimo?

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SOLVER de Excel: Ejemplo

A 200 300 90

B 150 270 81

C 100 140 40

D 45 90 24

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SOLVER de Excel: Ejemplo

A 200 300 90

B 150 270 81

C 100 140 40

D 45 90 24

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SOLVER de Excel: Ejemplo

A 200 300 90

B 150 270 81

C 100 140 40

D 45 90 24

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SOLVER de Excel: Ejemplo

A 200 300 90

B 150 270 81

C 100 140 40

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SOLVER de Excel: Ejemplo

xA: Toneladas de pienso A.

xB: Toneladas de pienso B.

xC: Toneladas de pienso C.

xD: Toneladas de pienso D.

• Coste:90xA+81xB+40xC+24xD.(min)

• Nutrientes M:200xA+150xB+100xC+45xD≥ 5500.

• Nutrientes N:300xA+270xB+140xC+90xD≥ 8700.

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SOLVER de Excel: Ejemplo

DATOS:

VARIABLES:

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SOLVER de Excel: Ejemplo

F. OBJETIVO:SUMAPRODUCTO(CELDAS DE LAS VARIABLES, CELDAS DE LOS COEFICIENTES DE LA F.OBJETIVO)

RESTRICCIONES:SUMAPRODUCTO(CELDAS DE LAS VARIABLES, CELDAS DE LOS COEFICIENTES DE RESTRICCION)

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SOLVER de Excel: Ejemplo

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SOLVER de Excel: Ejemplo

PAR´AMETROS:

RESTRICCIONES:

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SOLVER de Excel: Ejemplo

SOLUCIONES:

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SOLVER de Excel: Ejemplo

VENTAJAS:

• Accesible pr´acticamente desde cualquier ordenador.

• Sencillo de escribir.

• Facilidad para cambiar datos.

DESVENTAJAS:

• Complicado para problemas grandes.

• Poco margen de maniobra con par´ametros.

• No es r´apido.

• Exportar soluciones...

• Algoritmos b´asicos.

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Maxima

• Software libre:http://maxima.sourceforge.net/

• Sistema de ´algebra computacional.

• Motor de c´alculo simb´olico escrito en lenguaje Lisp publicado bajo licencia GNU GPL.

• Manipula polinomios, matrices, funciones racionales, integrales, derivadas, gr´aficos, ...

• Proviene de Macsyma desarrollado por MIT en los a˜nos 70.

• Interfaz gr´afica: wxMaxima.

• Librer´ıas para resolver problemas de optimizaci´on.

• Similar en uso a Maple, Mathematica o Matlab.

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Uso b´ asico de wxmaxima

Maxima como calculadora ( %i1) 2+2;

( %i2) 2*5;

( %i3) log(10);

( %i4) float( %o3);

( %i5) factor(292);

Definiciones:

( %i1) a:3$

b:4$

a+b;

( %i2) z:x^2 + y^2 - 2*x;

( %i3) f(x):=cos(exp(x));

( %i4) f(2);

( %i5) A: matrix([1,1,1,1], [0,1,0,1]);

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Programaci´ on Lineal en maxima

( %i1)load("simplex")$

( %i2)minimize lp(x+y, [3*x+2*y>2, x+4*y>3]);

( %i3) A: matrix([1,1,-1,0], [2,-3,0,-1], [4,-5,0,0])$

( %i4) b: [1,1,6]$

( %i5) c: [1,-2,0,0]$

( %i6) linear program(A, b, c);

( %i7) minimize lp(x+y, [3*x+y=0, x+2*y>2]);

( %i8) minimize lp(x+y, [3*x+y>0, x+2*y>2]), nonegative lp=true;

( %i9) minimize lp(x+y, [3*x+y=0, x+2*y>2]), nonegative lp=true;

( %i10) minimize lp(x+y, [3*x+y>0]);

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Programaci´ on No Lineal en maxima

m´ın x²+y²−7x

( %i1) f: x^2 + y^2 - 7*x;

( %i4) solve([diff(f,x), diff(f,y)]);

m´ın xy , s.a. x²+y²<=1.

( %i1) load(fmin cobyla)$

( %i2) fmin cobyla(x*y, [x, y], [1,1], constraints = [x^2+y^2<=1], iprint=1);

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Xpress-IVE Mosel

¿Qu´e es XPRESS-Mosel?

• Interfaz para modelar problemas de forma sencilla.

• Que permite resolver de forma eficiente problemas de optimizaci´on (LP, MIP, MIQP, QCQP, NLP, MINLP) de forma eficiente.

• Lenguaje amigable de alto nivel que permite no solo modelar-resolver si no tambi´en dise˜nar algoritmos.

• Uso de datos externos.

• Usado tanto a nivel acad´emico como profesional.

• Permite uso gratuito para estudiantes y profesores.

• Dibuja soluciones y/o imprime y/o exporta en el formato deseado.

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Xpress-IVE Mosel

Instalaci´on de XPRESS-Mosel

• Descargar XPRESS-Mosel versi´on gratuita estudiantes:

http://optimization.fico.com/student-version-of-fico-xpress.html (Guardar student.exe).

• Seguir instrucciones para instalar.

• Abrir XPRESS-IVE.

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Xpress-IVE Mosel

Aspecto de XPRESS

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Xpress-IVE Mosel

Partes de un modelo en XPRESS-Mosel PRE´AMBULO:

1 Comentarios:!Esto es un comentario

2 modelnombre del modelo

3 optionsOpciones extra (no obligatorio): nonimplicit, explterm, ...

4 useslibrer´ıas/paquetes extra de XPRESS para distintas funcionalidades: mmxprs, mmive

5 declarations:

• Variables: mpvar (x: mpvar)

• Par´ametros: array, integer real, ... (a: array(1..10, 1..5) of integer; b:

real)

• Restricciones/Objetivo: linctr (W: linctr) end-declarations

6 Matrices:

a:[1 2 3 4 5 6]

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Xpress-IVE Mosel

Formulaci´on:

• Funci´on Objetivo:Objetivo:= 2*x + 3*y+z, Coste:= 2.15*x - 3.7*y, ...

• Restricciones:x+y <= 6, R1: 23*x + 12* y >= 123, x+y+z=1

• Tipo de Variable:x is integer, x is binary, x is free, x is semint 5 (x es o 0 o un entero mayor o igual que 5), x is partint 7 (x es entero hasta el 7 y continuo si > 7). (por defecto x es no-negativa).

• Maximizar/Minimizar:maximize(Objetivo), minimize(Coste).

• Mostrar Soluciones:write("texto que se quiera", valor, "mas texto", ...) y writeln():

• Valor Objetivo: getobjval.

• Soluciones ´Optimas: getsol(x)

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Xpress-IVE Mosel

Ejemplo:

model "Primer Ejemplo"

uses "mmxprs"

declarations x: mpvar y: mpvar Obj: linctr R: linctr end-declarations Obj:= x+y

R:= x+5*y >=24

x is integer y is partint 3 minimize(Obj)

writeln(.^Obj: ", getobjval)

write("x=", getsol(x), ", y=", getsol(y)) end-model

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Xpress-IVE Mosel

Resultados:

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Xpress-IVE Mosel

Resultados:

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XPRESS-IVE Mosel

Operadores para simplificar:

• Arrays:R: array(1..10) of linctr, a: array(1..3) of integer o definiendo N: 1..15, x: array(N) of mpvar

• Sumatorias:sum(i in 1..10) x(i), R:= sum(i in N) x(i) <=12

• Productos:prod(i in 1..10) i

• M´ax/M´ın de lista:max(i in 1..10) a(i), max(i in 1..10) a(i)

• Bucle For:forall(i in 1..10) x(i)<= a(i) forall(i in N) writeln("x(", i, ")=", getsol(x(i)))

• Condiciones :forall(i in N| a(i)!=0) x(i)>=21, forall(i in 1..10|getsol(x(i))>0) writeln("x(", i, ")=", getsol(x(i)))

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XPRESS-IVE Mosel

Ejemplo:

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XPRESS-IVE Mosel

Datos Externos:

initializations from ’datos.dat’ COSTES MATRIZA end-initializations donde datos.dat es:

COSTES: [1.5 2.6 3.7 4.8 5.9] MATRIZA: [4 8 15 16 23 42]

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XPRESS-IVE Mosel

Par´ametros Optimizaci´on:

• MIPTOL: Tolerancia sobre la integralidad de las soluciones (por defecto 5 × 10⁻⁶).

• PRESOLVE: Si se aplican t´ecnicas de prerresoluci´on del problema para reducir variables, restricciones, ... (0: NO, 1: SI, 2: PARCIAL).

• BIGMMETHOD: Si utiliza para resolver s´ımplex el m´etodo de la M grande (1) o el de las dos fases (0).

• CUTDEPTH: M´axima profundidad del ´arbol Branch-and-bound.

• CUTSTRATEGY: Estrategia para a˜nadir cortes (-1:Autom´atica, 0: Sin cortes, 1:

conservadora, 2: moderada, 3: agresiva).

• VARSELECTION: Forma de escoger las variables para el branch-and-bound (-1:

autom´atica, 1...6: pesudo-costes m´ınimos (arriba y abajo) setparam("XPRS ?????", valor)

parameters MAXTIME=300 USE LOG=false end-parameters

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XPRESS-IVE Mosel

Gr´aficos:

declarations graph : integer end-declarations graph:=IVEaddplot("Y(X)",IVE RGB(96,77,0))

• Punto: IVEdrawpoint(graph,10,3.14)

• L´ınea entre dos puntos: IVEdrawline(graph,5,5,10,8)

• Flecha: IVEdrawarrow(graph,5,5,10,8)

• Texto: IVEdrawlabel(graph,10,8,"Texto")

• Rect´angulo: IVEdrawrectangle(graph,5,5,10,8)

• Elipse: IVEdrawellipse(graph,5,5,10,8)

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Modelos Cargados

Wizards→ Complete Models:

• Assignment.

• Bin packing.

• Bipartite Matching.

• Capital budgeting.

• Contract allocation.

• Covering.

• Cutting Stock.

• Facility Location.

• Flow-shop scheduling.

• Job shop sheduling.

• Knapsack.

• Line balancing.

• Lot sizing.

• Maximum flow.

• Minimim cost flow.

• Minimum weight spanning tree.

• Multicommodity network flow.

• Partitioning.

• Personnel planning.

• Portfolio optimization (QP).

• Production planning.

• Project planning.

• Purchasing with price breaks.

• Sequncing jobs in a machine.

• TSP.

• Timetabling.

• Transport.

• Vehicle routing.

M´as enProgramaci´http://examples.xpress.fico.com/example.plon Entera OPT GEST EMPR 37 / 37