Matemáticas Discretas TC1003

(1)

Matemáticas Discretas TC1003

Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias

Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

(2)

Idea

Sucesi´on Finita Sucesi´on Infinita Ejemplo 1

Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus

ancestros.

(3)

Idea

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus

ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, dieciseis bisabuelos, y así

sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada:

2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , . . .

El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una abreviatura para “y así sucesivamente".

Para expresar el patrón de los números, suponga

que cada uno etiqutado por un entero indicando su

posición en el renglón:

(4)

Idea

Sucesión: definición

Definici´on

Una sucesión es una lista ordenada de elementos:

a

_m

, a

_m+1

, a

_m+2

, . . . , a

_n

Cada elemento a

_k

(léase “a sub k”) se llama

término. La letra k en a

_k

se conoce como subíndice

o índice. m es el subíndice del término inicial. n es

el súbíndice del término final.

(5)

Idea

Sucesión infinita: definición

Definici´on

Una sucesión infinita es un conjunto ordenados de elementos que se pueden describir mediante una lista:

a

_m

, a

_m+1

, a

_m+2

, . . .

Una fórmula explícita o fórmula general para una sucesión es una fórmula en función de k que

evaluada en k da el término a

_k

.

(6)

Idea

Ejemplo

Determine los 5 primeros términos de la sucesión definida por la fórmula:

a

_n

= 3 ⌊ n

3 ⌋, para n ≥ 4 Soluci´on

■

Para n = 4: a

₄

= 3 ⌊

⁴₃

⌋ = 3 ⌊1 . 33⌋ = 3 · 1 = 3 = a

⁴

.

■

Para n = 5 : a

₅

= 3 ⌊

⁵₃

⌋ = 3 ⌊1 . 66⌋ = 3 · 1 = 3 = a

⁵

.

■

Para n = 6 : a

₆

= 3 ⌊

⁶₃

⌋ = 3 ⌊2⌋ = 3 · 2 = 6 = a

⁶

.

■

Para n = 7 : a

₇

= 3 ⌊

⁷₃

⌋ = 3 ⌊2 . 33⌋ = 3 · 2 = 6 = a

⁷

.

■

Para n = 7 : a

₈

= 3 ⌊

⁸₃

⌋ = 3 ⌊2 . 66⌋ = 3 · 2 = 6 = a

⁸

.

(7)

Idea

Ejemplo

Determine los 5 primeros términos de la sucesión definida por la fórmula:

a

_n

= ⌊log

2

(n)⌋ , para n ≥ 3

Soluci´on

■

Para n = 3: a

₃

= ⌊log

2

(3)⌋ = ⌊1 . 58 . . . ⌋ = 1

■

Para n = 4 : a

₄

= ⌊log

2

(4)⌋ = ⌊2 . 0⌋ = 2

■

Para n = 6 : a

₅

= ⌊log

₂

(5)⌋ = ⌊2 . 32 . . . ⌋ = 2

■

Para n = 7 : a

₆

= ⌊log

2

(6)⌋ = ⌊2 . 58 . . . ⌋ = 2

■

Para n = 7 : a

₇

= ⌊log

₂

(7)⌋ = ⌊2 . 80 . . . ⌋ = 2

(8)

Idea

Ejemplo

Determine en orden la fórmula general de la sucesión a

₁

, a

₂

, a

₃

, . . . dados los términos iniciales:

a)

¹₂

, −

²

3

,

3

4

, −

⁴

5

,

5

6

, −

⁶

7

, . . . b)

¹₃

,

2 9

,

3 27

,

4 81

,

5 243

,

6

729

, . . . c) − 6 , 6 , − 6 , 6 , − 6 , 6 , . . . Ubicándola en la lista 1. a

_n

=

₃ⁿⁿ

2. a

_n

= 6 × (−1)

ⁿ

a

₁

= −6 ,a

₂

= +6 ,a

₃

= −6 3. a

_n

= 3 (−1)

ⁿ

(−1 + n)

4. a

_n

= (−1)

^{(1+n) n}_1+n

(9)

Idea

Notación de Suma

La notación:

n

X

k=m

a

_k

representa la suma desarrollada

a

_m

+ a

_m+1

+ a

_m+2

+ · · · + a

ⁿ

Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L. Lagrange. En la notación de

sumatoria, k se llama índice, m se llama el índice

inferior de la suma, n se llama el índice superior

de la suma.

(10)

Idea

Notación del Producto

La notación:

n

Y

k=m

a

_k

representa la producto desarrollada a

_m

· a

_m+1

· a

_m+2

· · · a

_n

En la notación de producto, k se llama índice, m

se llama el índice inferior del producto, n se llama

el índice superior del producto.

(11)

Idea

Ejemplo

Determine en orden la evaluación de cada fórmula:

1. Q

3

n=1

n

²

2. P

4

n=1

n (1 + n) 3. P

0

n=−1

2

ⁿ

(3 + n) Soluci´on

■

1. = (1

²

)

_n=1

· (2

²

)

_n=2

· (3

²

)

_n=3

= 1 · 4 · 9 = 36

■

2. = 1 · (1 + 0)

_n=1

+ 2 · (1 + 2)

_n=2

+ 3 · (1 + 3)

_n=3

+ 4 · (1 + 4)

_n=4

= 1 + 6 + 12 + 20 = 39

■

3. = (2

⁻¹

(3 + −1)) + (2

⁰

(3 + 0)) = 1 + 6 = 7

(12)

Idea

Ejemplo

Indique en orden la versión compacta de cada desarrollo:

a) 1 − r + r

²

− r

³

+ r

⁴

b) 1

³

+ 2

³

+ 3

³

+ . . . + k

³

c) 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ . . . + k

²

dentro de la lista:

1. P

4

i=0

(−1)

ⁱ

r

ⁱ

2. P

k

n=1

n

³

3. P

n

i=3

i 4. P

n

i=1

i

²

5. P

k

n=1

n

²

(13)

Idea

Ejemplo

Indique en orden la versión desarrollada de cada forma compacta:

a) Q

4

n=1

(n

³

− 1) b) Q

4

n=2

(n

²

− 1) c) Q

4

n=1

(1 − t

⁴

)

dentro de la lista:

1. (2

²

− 1) · (3

²

− 1) · (4

²

− 1) 2. 1 + 2 + 3 + . . . + n

3. (1 − t) · (1 − t

²

) · (1 − t

³

) · (1 − t

⁴

)

4. (1 − t

²

) · (1 − t

³

) · (1 − t

⁴

)

(14)

Idea

Propiedades de las Sumatorias

Si a

_m

, a

_m+1

,. . . y b

_m

, b

_m+1

, b

_m+2

,. . . son sucesiones de números reales y c es un número real

cualquiera entonces para enteros n ≥ m se cumple:

n

X

k=m

a

_k

+

n

X

k=m

b

_k

=

n

X

k=m

(a

_k

+ b

^k

)

c

n

X

k=m

a

_k

=

n

X

k=m

c a

_k



 

n

Y a



  ·



 

n

Y b



 

n

Y (a · b )

(15)

Idea

Ejemplo de corrimiento de índice

Ejemplo

Indique a cuáles sumatorias es equivalente la siquiente:

12

X

n=1

(2 + 5 n)

dentro de la lista:

1. P

22

j=11

(−48 + 5 j) 2. P

7

i=−4

(27 + 5 i) 3. P

17

n=6

(−23 + 5 n) 4. P

2

k=−9

(52 + 5 k)

(16)

Idea

Queremos que

12

X

n=1

(2 + 5 n) =

···

X

j=11

· · ·

Por tanto n − 1 = 0 = j − 11. Si despejamos n de esto, se tiene que el cambio de variable está dado por n = j − 10 . Por otro lado, el límite superior se obtiene para n = 12 , así el límite superior de la

segunda sumatoria se obtiene para 12 = j − 10 , es decir para j = 22 :

12

X (2 + 5 n ) =

22

X (2 + 5( j − 10 )) =

22

X (−48 + 5 j)

(17)

Idea

Ejemplo

Determine en orden los valores de A, B y C para que

A

X

k=0

(C + B k) se igual a la suma :

− 2

12

X

j=3

(3 − 5 j) +

6

X

j=−3

(4 + j)

(18)

Idea

Queremos que la primera sumatoria inicie en 0:

12

X

j=3

(3 − 5 j) =

...

X

k=0

· · ·

Por tanto, j − 3 = 0 = k − 0 da: j = k + 3 y límite superior j = 12 = k + 3 → k = 9 :

12

X

j=3

(3 − 5 j) =

9

X

k=0

(3 − 5(k + 3)) =

9

X

k=0

(−12 − 5k)

(19)

Idea

Queremos que la segunda sumatoria inicie en 0:

6

X

j=−3

(4 + j) =

...

X

k=0

· · ·

Por tanto, j − (−3) = 0 = k − 0 da: j = k − 3 y límite superior j = 6 = k − 3 → k = 9 :

6

X

j=−3

(4 + j) =

9

X

k=0

(4 + (k − 3)) =

9

X

k=0

(1 + k)

(20)

− 2 · P

12

j=3

(3 − 5 j) + P

6

j=−3

(4 + j) = − 2 · P

9

k=0

(−12 − 5k) + P

9

k=0

(1 + k)

= P

9

k=0

(−2(−12) + (−2)(−5) k) + P

9

k=0

(1 + k)

= P

9

k=0

(24 + 10 k) + P

9

k=0

(1 + k)

= P

9

k=0

(24 + 10 k + 1 + k)

= P

9

k=0

(25 + 11 k)

Por tanto,la respuesta tiene la forma

A

X

k=0

(C + B k)

para A = 9 , B = 11 y C = 25 .