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ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
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Módulo
Vivimos en un mundo de múltiples y diferentes condiciones que le dan sentido a la vida. Una de ellas está constituida por las formas, que fueron expresadas inicialmente por la rama de la matemática que llamamos geometría.
Todo esto nos ayuda a entender mejor la realidad física en la que vivimos. Bienvenido al mundo de Euclides, Pitágoras y otros pensadores que ayudaron a concebir las formas en el espacio.
INTRODUCCIÓN
ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
Módulo 9
La geometría se formalizó en el siglo III a.C., con Los elementos de Euclides. En este tratado Euclides nombra los elementos básicos de la geometría y los utiliza para construir proposiciones compuestas, conocidas como los cinco axiomas de Euclides. A partir de estos axiomas y de postulados, el matemático griego explica la geometría bidimensional y tridimensional, y desarrolla la conocida geometría euclidiana.
9.1 Elementos básicos
Punto: elemento sin dimensiones. Establece un lugar en el plano. Es un objeto matemático que regularmente se representa con una letra mayúscula del alfabeto: P, Q, M, etc.
A
Línea recta: conjunto infinito de puntos. Regularmente se identifica con una flecha en doble sentido sobre dos puntos que sirven de referencia.
Segmento de recta: se refiere a la parte de una recta que está limitada por dos puntos que constituyen sus extremos.
Rayo: es la parte de una recta en la cual se identifica el punto inicial. Tiene dirección y es infinita.
También se identifica con dos puntos referenciales, el inicial y cualquier otro de la recta.
ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
A
B
A
B
A
Plano: es un conjunto infinito de puntos. Contiene rectas y solo tiene dos dimensiones, largo y ancho.
Ángulo: son dos segmentos o rayos que comparten un punto al que llamaremos vértice del ángulo. Los rayos o segmentos que lo forman se llaman lados del ángulo.
Los ángulos se miden en grados. Un grado se divide en 60 minutos; un minuto, en 60 segundos.
Hay varias maneras de identificar los ángulos según sus características:
Ángulo agudo: ángulo que mide de 0 a 90 grados.
Ángulo recto: ángulo que mide exactamente 90 grados.
Ángulo obtuso: es un ángulo cuya medida es mayor de 90 grados y menor de 180 grados.
Ángulo llano: ángulo que mide exactamente 180 grados.
Ángulos adyacentes: son ángulos que estando en el mismo plano comparten uno de los lados y tienen el vértice en común.
Ancho
Largo
A
B
C
A B
C D
E F
Ángulos opuestos por el vértice: son los que se forman cuando dos rectas se intersecan en un punto. Son los ángulos no adyacentes.
Ángulos complementarios: son dos ángulos que al sumarse dan como resultado 90 grados.
Ángulos suplementarios: son ángulos que al sumarse dan como resultado 180 grados.
Rectas paralelas: dos rectas son paralelas si al cortarlas con una tercera recta, los ángulos internos alternos son congruentes. Esto implica que si se extienden indefinidamente, estas rectas no llegan a intersecarse.
Rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si al intersecarse se forma un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.
Mediatriz: la mediatriz de un segmento corta a este en su punto medio y además es perpendicular al segmento. En la gráfica, CD es mediatriz del segmento AB.
Y X
A
D
C B
Bisectriz: dado un ángulo, la bisectriz es la recta que divide en dos ángulos de igual magnitud al ángulo inicial. En la gráfica, BD es bisectriz del ángulo ABC .
9.2 Triángulos
Un triángulo es una figura geométrica cerrada de tres lados, tres ángulos y tres vértices.
Los vértices son A, B y C, los ángulos son y , y los lados son a, b y c.
Los triángulos reciben nombres dependiendo de algunas de las siguientes características.
Con respecto a la longitud de sus lados:
• Triángulo equilátero: tiene sus tres lados de la misma medida.
• Triángulo isósceles: triángulo que tiene al menos dos de sus lados de igual medida.
• Triángulo escaleno: triángulo cuyos tres lados miden distinto.
A C B D
A
C
B a
b c
x y
z
Con respecto a la medida de sus ángulos.
• Triángulo rectángulo: triángulo que tiene un ángulo recto.
• Triángulo acutángulo: triángulo que tiene sus tres ángulos agudos.
• Triángulo obtusángulo: triángulo que tiene un ángulo obtuso, es decir que tiene un ángulo que mide más de 90 grados y menos de 180 grados.
De acuerdo con los axiomas de Euclides, un hecho fundamental en la geometría de los triángulos es el siguiente:
Teorema
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados.
9.3 Polígonos
Un polígono es una figura plana cerrada formada por tres o más segmentos de recta. De acuerdo con el número de aristas que tenga, se puede distinguir el tipo de polígono, por ejemplo:
Triángulo: tiene 3 lados.
Cuadrilátero: tiene 4 lados.
Pentágono: tiene 5 lados.
Hexágono: tiene 6 lados.
A
B
Los polígonos pueden dividirse en regulares, convexos, no convexos.
Polígono regular: si la medida de sus ángulos y sus aristas es la misma. Por ejemplo, el cuadrado, el triángulo equilátero, el pentágono regular, etc.
Polígono convexo: si cualesquiera dos puntos internos pueden unirse con un segmento que está totalmente contenido dentro del polígono.
Polígono no convexo: si existen al menos dos puntos interiores, para los cuales, el segmento que une los dos puntos no está totalmente contenido dentro del polígono.
Teorema
En un polígono de
n
aristas, la suma de los ángulos internos es 180 (n
− 2)grados.
Teorema
La suma de los ángulos externos de cualquier polígono convexo es de 360 grados.
A
B
A
B
9.3.1 Perímetro de polígonos
El perímetro se refiere a la longitud total de las aristas que conforman el contorno del polígono, por ejemplo, en un cuadrado cuyas aristas miden 3 cm, el perímetro es Para todos los polígonos el perímetro se calcula sumando las longitudes de cada arista (o lados), mientras que para la circunferencia se tiene la ecuación:
2 C= πr
Donde r es el radio de la circunferencia y el número π es la constante matemática.
3.14159265
π ≈ …
9.3.2 Área de polígonos
El área de una figura se refiere a la cantidad de unidades cuadradas que ocupa el polígono.
Para algunos polígonos existen ecuaciones que calculan el área, por ejemplo:
Triángulo: en un triángulo cualquiera de base b y altura a, el área se calcula como 2
A = ab
Cuadrado: en un cuadrado de aristas l, el área se calcula como A l= 2
Rectángulo: en un rectángulo de base b y altura a, el área se calcula como A ab=
Círculo: en un círculo de radio r, el área se calcula como A=
π
r2Trapecio: es un trapecio de base mayor B, base menor b y altura a, el área se calcula como
(
B b+)
A=
A=
A=
A=
C=
B
Ejemplos
a) Calcular el área y perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 5 cm.
Se tiene que la medida de sus aristas es 5, por lo que el perímetro es
5 5 5 5 20 , P= cm+ cm+ cm+ cm= cm Mientras que el área es
(
5)
2 25 .2 A= cm = cmb) Calcular el área y perímetro de un rectángulo de base 7 y altura 4.
El perímetro es
7 7 4 4 22, P = + + + =
El área es
4 7 28 A = × =
c) Calcular el área y perímetro de un círculo de radio 17.
Usando la fórmula del perímetro y área
( )
2 17 34 106.81 P= π = π ≈
A=
P=
P=
P= cm cm cm cm cm
cm A= cm
Cada paso que damos nos lleva a adquirir más conocimiento y nos fortalece en la construcción de herramientas básicas que son necesarias para adquirir nuevos conocimientos y para ser más creativos. ¡A continuar con la aventura de aprender más sobre ciencia y matemática!
Conclusiones
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