IES “Salvador Serrano” – Departamento de Matemáticas.
MATEMÁTICAS APLICADAS - CUARTO DE ESO C 2019 / 20 1
TEMA 5: EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
4.- División de polinomios: Método general y Regla de Ruffini.
En esta pregunta veremos algoritmos para dividir polinomios, uno general y otro que sólo se puede aplicar en algunas divisiones.
La división de polinomios es una extensión de la división entera. Si dividimos un polinomio DIVIDENDO entre otro polinomio DIVISOR, hemos de calcular un polinomio COCIENTE y otro polinomio RESTO, de manera que:
( * ) = · +
MÉTODO GENERAL:
EJEMPLO:
Dividimos = 2 − 7 − 11 + 13 entre = 2 + 3
2 − 7 − 11 + 13 2 + 3
−2 − 3 − 5 + 2
−10 − 11 + 13 10 + 15 4 + 13 −4 − 6 7 Se trata de completar el polinomio cociente como sigue:
i) Elegimos para que al multiplicarlo por el divisor, 2 + 3, y cambiarlo de signo, nos dé un polinomio, −2 − 3 , que al sumarlo con el dividendo, 2 − 7 − 11 + 13, anule el el término principal (el de mayor exponente),
−10 − 11 + 13.
ii) En la segunda etapa, elegimos −5 , para que tenga el mismo efecto con lo que ha quedado del dividendo, −10 − 11 + 13.
iii) En la última etapa, elegimos +2, para que actúe del mimo modo sobre lo que resta del dividendo, 4 + 13.
iv) El proceso termina cuando lo que queda del dividendo, 7, es de menor grado que el divisor.
La división está terminada con los resultados que siguen:
COCIENTE: = − 5 + 2 RESTO: = 7
Se puede comprobar la expresión del inicio, (*): 2 − 7 − 11 + 13 = 2 + 3 − 5 + 2 + 7 La relación entre los grados de los polinomios que intervienen en una división es la que sigue:
! " # $%&'% = ! " ($)$(%&(# − ! " ($)$*#
! " %*'# < ! " ($)$*#
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REGLA DE RUFFINI:
Hay que saber que este algoritmo sólo se puede aplicar en los casos de divisiones con el divisor del tipo:
, − - ó , + -
Se trata de un procedimiento que abrevia o simplifica el método general de la división de polinomios. Realiza las mismas operaciones sin arrastrar las partes literales, sólo se opera con los coeficientes.
EJEMPLO:
Dividimos = 2
.− 7 + 11 − 2 entre = − 3
Se colocan los coeficientes del dividendo, 2, −7, 0, 11, −2, en la fila superior ordenados según el exponente de y el opuesto del término independiente, −3, en el ángulo de la izquierda:
2 -7 0 11 -2 3
Empezamos bajando el primer coeficiente, 2, a la fila inferior:
2 -7 0 11 -2 3
2
A continuación se multiplica el 3, por el coeficiente que hemos bajado y se coloca el resultado en la 2ª fila:
2 -7 0 11 -2
3 6
2
Después, sumamos la columna que se ha formado, −7 + 6 = 1, y el resultado se coloca en la última fila:
2 -7 0 11 -2
3 6
2 -1
Se procede a repetir el procedimiento hasta la última columna y separamos la última suma, 4:
2 -7 0 11 -2 3 6 -3 -9 6 2 -1 -3 2 4 Ya se finalizado la división, sólo queda identificar los polinomios cociente y resto.
El cociente se forma de manera ordenada con los coeficientes de la última fila menos el último, 2, −1, −3, 2, teniendo en cuenta que su grado es una unidad menos que el grado del dividendo, en nuestro caso, de grado 3.
: = 2 − − 3 + 2
El resto siempre ha de ser de grado 0, un número que coincidirá con el que hemos separado en la última fila, 4.
: = 4
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5.- Valor Numérico de un Polinomio. Teorema del Resto.
DEFINICIÓN (VALOR NUMÉRICO):
Se define el VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO, , PARA UN NÚMERO, 1; como el resultado de sustituir el número, 1, por la indeterminada, , del polinomio .
Se nota como 1 EJEMPLO:
Sea el polinomio = 2
.− 7 + 11 − 2 y el número real, 3.
Valor numérico de para 3:
3 = 2 · 3
.− 7 · 3 + 11 · 3 − 2 = 162 − 189 + 33 − 2 = 4
DEFINICIÓN (RAIZ DE UN POLINOMIO):
Se dice que un número 1 es una RAÍZ DE UN POLINOMIO si su valor numérico es cero.
1 es una RAÍZ de si 1 = 0 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES:
i) El número máximo de raíces que puede tener un polinomio es su grado.
Por ejemplo un polinomio de cuarto grado, tiene como máximo cuatro raíces.
ii) Las raíces enteras de un polinomio tienen que ser divisores de su término independiente.
Por ejemplo, las posibles raíces enteras del polinomio = 3 − 5 + 6 son: ±1, ±2, ±3, ±6 (divisores de 6 .
TEOREMA DEL RESTO:
Dado un polinomio, , y un número real, 1. El resto de la división : − 1 es el valor numérico del polinomio para el número 1.
56789:; , : , − - < = ; - EJEMPLO :
Tomamos el polinomio = 2
.− 7 + 11 − 2 y el número real 3.
Si dividimos entre − 3. Este teorema nos permite calcular el resto de la división : − 3 sin necesidad de aplicar el algoritmo de la división. %*'# = 3 = 4.
El Teorema se puede aplicar como CRITERIO DE DIVISIBILIDAD para divisiones con divisores del tipo ± 1 para concluir si una división es exacta de un modo rápido y sencillo.
También se puede aplicar para calcular valores numéricos, efectuando cierta división por Ruffini.
EJEMPLO 1: Cálculo del resto con el valor numérico (sin dividir) Sea la división entre = + 3 − 6 − 8 y − 2
%*'#: : − 2 < = 2 = 2 + 3 · 2 − 6 · 2 − 8 = 0
EJEMPLO 2: Cálculo del valor numérico dividiendo por Ruffini (sin sustituir) Sea el polinomio, = + 3 − 6 − 8 y el número, 2.
Dividimos por Ruffini entre − 2 y nos quedamos con el resto:
1 3 -6 -8
2 2 10 8
1 5 4 0
1=# &>?é $ # (% 1 1 2 = 0
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6.- Factorización de polinomios.
En esta pregunta veremos algunas situaciones en las que FACTORIZAREMOS POLINOMIOS, que consiste en expresarlos como producto de polinomios de menor grado.
Cuando un polinomio no se pueda factorizar diremos que es un POLINOMIO IRREDUCUBLE (Polinomio primo).
RECURSOS PARA FACTORIZAR:
I. SACAR FACTOR COMÚN.
Se trata de aplicar la propiedad distributiva: 1 · A + 1 · = 1 · A + EJEMPLOS:
1) 6
.− 9 + 12 − 3 = 3 2 − 3 + 4 − 1 (factor común: 3 ) 2) 45
.+ 120 + 80 = 5 9 + 24 + 16 (factor común: 5 )
II. IDENTIFICAR IDENTIDADES NOTABLES:
Cuadrado de una suma: 1 + A = 1 + 21A + A Cuadrado de una diferencia: 1 − A = 1 − 21A + A Suma por diferencia: 1 + A 1 − A = 1 − A EJEMPLOS:
1) 4 + 4 + 1 = 2 + 1 2) 9 − 12 + 4 = 3 − 2 3) 4 − 25 = 2 − 5 2 + 5
III. BUSCAR DIVISIONES EXACTAS CON LA REGLA DE RUFFINI:
Se trata de aplicar la Regla de Ruffini, probando con los divisores enteros del término independiente como posibles raíces.
NOTA:
− 1 es un divisor de un polinomio si 1 es una raíz del mismo.
EJEMPLO:
Sea el polinomio: =
.− 2 − 2 − 2 − 3
Aplicamos la Regla de Ruffini probando con los divisores de 3: −3, −1, 1, 3; hasta encontrar una división exacta.
1 -2 -2 -2 -3 -1 -1 3 -1 3
1 -3 1 -3 0
3 3 0 3
1 0 1 0
Primero hemos probado con la raíz, −1, por tanto hemos dividido por + 1. Como la división es exacta hemos seguido con la raíz 3, es decir hemos hecho una segunda división entre − 3. Lo hemos seguido intentando con el resto de las posibles raíces, −3, 1, pero las divisiones no son exactas.
Por tanto hemos llegado a la factorización del polinomio dividendo,
.− 2 − 2 − 2 − 3 como producto de los dos divisores, + 1, − 3 por el último cociente, + 1.
La factorización es la que sigue:
.
