Magnetost´ atica
Hern´ an Alejandro Mu˜ noz Ossa 12 de mayo de 2011
Campo Magn´ etico
Ley de Biot-Savart
As´ı como las cargas puntuales son las fuentes fundamentales de los campos electrost´aticos, como lo define la ley de Gauss ∇ · ~ E = ε ρ
0, los campos magn´eticos tambi´en tienen fuentes fundamentales, estas fuentes de campo magn´etico son las corrientes, es decir cuando las cargas se mueven estas generan un campo magn´etico est´atico. Entonces se puede afirmar que una fuente puntual est´atica genera una campo el´ectrico ~ E est´atico, cuando esta carga se mueve con una velocidad ~v esta carga genera un campo magn´etico est´atico (un campo que no var´ıa en el tiempo). Cuando se tiene un grupo de cargas puntuales que se mueven a una velocidad neta estas cargas forman una corriente, y estas corrientes se son las fuentes fundamentales de campo magn´etico.
De la misma forma como la ley de Coulomb permite hallar el campo electrost´atico de cualquier distribuci´ on de carga, en magnetost´atica existe una ley con el mismo principio, la ley de Biot-Savart, esta establece que la intensidad de un campo magn´etico dH producida en un punto P , como muestra la figura 1, gerarada por un elemento diferencial de corriente Id~ℓ es proporcional al producto de la corriente y el seno del ´angulo entre el elemento y la linea que une el elemento de corriente con el punto P y es inversamente proporcional a la distancia | ~ R | 2 , as´ı
dH ∝ Idℓ sin(α) R 2
= k Idℓ sin(α) R 2
= Idℓ sin(α)
4πR 2 donde k = 1
4π
Esta relaci´ on se puede escribir de forma m´as general recordando que el producto cruz entre dos vectores se puede expresar como
~a ×~b = |~a||~b| sin(α)ˆu n donde ˆ u n es un vector normal a ~a y ~b Entonces dH toma la forma
d ~ H = Id~ ℓ × ˆu n
4πR 2
P dl
I
a
R
dHentra
Figura 1: Ley de Biot-Savart
Figura 2: Fuentes de campo el´ectrico y fuentes de campo magn´etico
Recordando la notaci´ on habitual que se ha usado donde la distribuci´ on de corriente esta situada en cualquier punto del espacio (~r ′ ) y el punto donde se mide el campo ~r, la distancia entre la fuente y el punto donde se mide el campo esta dada por ~ R = ~r − ~r ′ . Con esto la ley de Biot-Savart toma la forma
d ~ H = Id~ ℓ × ˆu n
4πR 2 (1)
= Id~ ℓ × ~ R
4π| ~ R | 3 donde ˆ u n = R ~
| ~ R | (2)
= Id~ ℓ × (~r − ~r ′ )
4π|~r − ~r ′ | 3 reemplazando ~ R (3)
Para una carga puntual, una esfera de carga, un hilo cargado y dem´as se conocen como es la distribuci´ on del campo
electrost´atico, este campo siempre es normal a la distribuci´ on o a la fuente en cualquier punto, un ejemplo se observa
en la figura 2 (izquierda), asimismo el campo magn´etico tambi´en posee una simetr´ıa esta simetr´ıa es de revoluci´on
Figura 3: Direcci´on del campo magn´etico
electrost´atico, recordando de los cap´ıtulos anteriores se puede reconocer que la densidad de corriente se defin´ıa como
dI = J ~ · d~ S I = | ~ J ||~ S |
Entonces el campo magn´etico para una distribuci´ on volum´etrica de corriente es
H ~ = 1 4π
ˆ
I d~ ℓ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3 Ley de Biot-Savart (4)
= 1 4π
ˆ
| ~ J ||~ S | d~ ℓ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3 donde I = | ~ J ||d~ S | (5)
= 1 4π
ˆ
|d~ℓ||~ S | J ~ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3 ya que ~ J k d~ℓ (6)
= 1 4π
ˆ
dv J ~ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3 donde dv = Adℓ (7)
Del mismo modo se aplica a una superficie, donde la corriente total es
dI = K ~ · d~l I = | ~ K ||~l|
donde el campo es
Figura 4: Campo que entra y campo que sale
H ~ = 1 4π
ˆ
I d~ ℓ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3 Ley de Biot-Savart (8)
= 1 4π
ˆ
| ~ K ||~l| d~ ℓ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3 donde I = | ~ K ||d~ S | (9)
= 1 4π
ˆ
|d~ℓ||~l| K ~ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3 ya que ~ K k d~ℓ (10)
= 1 4π
ˆ
ds K ~ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3 donde dS = ldℓ (11)
En resumidas cuentas los campos para cada distribuci´ on son
H ~ = 1 4π
ˆ
I d~ ℓ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3 corriente lineal (12)
H ~ = 1 4π
ˆ
ds K ~ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3 corriente superficial (13)
H ~ = 1 4π
ˆ
dv J ~ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3 corriente volum´etrica (14)
Es muy com´un que los campos entren o salgan de un plano, es importante la notaci´ on, la figura 4, se observan los dos tipos de campos en (A) el campo entra al plano de la hoja y en (B) el campo sale del plano de la hoja.
ejemplo: HILO ACOTADO
Figura 5: Hilo acotado
d~ ℓ = dz ′ u ˆ z
~r = aˆ u r
~r ′ = z ′ u ˆ z
~
r − ~r ′ = aˆ u r − z ′ u ˆ z
|~r − ~r ′ | = p a 2 + z ′2 Reemplazando se tiene
H ~ = 1 4π
ˆ
I d~ ℓ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3
= 1 4π
ˆ
I dz ′ u ˆ z × (rˆu r − z ′ u ˆ z ) (r 2 + z ′2 )
32= I 4π
ˆ dz ′ u ˆ z × rˆu r − dz ′ u ˆ z × z ′ ˆ u z
(r 2 + z ′2 )
32u ˆ z × z ′ u ˆ z = 0
= I 4π
ˆ dz ′ u ˆ z × rˆu r
(r 2 + z ′2 )
32= rI 4π
d
ˆ
− c
dz ′ u ˆ θ
(r 2 + z ′2 )
32= rI 4π
z ′ r 2 √
r 2 + z ′2
d
− c
ˆ
u θ Integrando
= rI 4π
d
r 2 √
r 2 + d 2 − −c r √
r 2 + c 2
ˆ u θ
= I 4πr
"r d 2 r 2 + d 2 +
r c 2 r 2 + c 2
# ˆ
u θ (15)
La ecuaci´ on 15 es la expresi´ on general para el campo magn´ etico de un hilo de corriente acotado, para un
hilo semiinfinito en la direcci´ on positiva de z se tiene que d → ∞ y c → 0, con lo que el campo es
r
|H|
Figura 6: Magnitud vs distancia para un hilo infinito de corriente I
H ~ = I 4πr u ˆ θ
Tomando de nuevo la ecuaci´ on 15, el campo de un hilo infinito en las dos direcciones es
H ~ = I
4πr [1 + 1] ˆ u θ
= I
2πr u ˆ θ
Al igual que el campo el´ ectrico, la magnitud del campo var´ıa con la distancia como muestra la figura 6, es decir mientras m´ as alejado del hilo su intensidad es mucho menor
ejemplo: Hilo inclinado
Ahora se trabajar´ an con dos secciones de hilo por las que circula una corriente I, como muestra la figura 7
Se trata de un hilo infinito que esta inclinado y cuya ecuaci´ on de la recta y = x + 1
Figura 7: Secciones de hilos
d~ ℓ ′ = dx ′ ˆi + dy ′ ˆj Como muestra la figura 7 (16)
= dx ′ ˆi + dx ′ ˆj ya que y ′ = x ′ + 1, as´ı que dy ′ = dx ′ (17)
~
r ′ = x ′ ˆi + y ′ ˆj an´ alogo al vector d~ℓ ′ (18)
= x ′ ˆi + (x ′ + 1)ˆj reemplazando y ′ = x ′ + 1 (19)
~
r = 0 (20)
~r − ~r ′ = −x ′ ˆi − (x ′ + 1)ˆj (21)
|~r − ~r ′ | = p
x ′2 + (x ′ + 1) 2 (22)
Reemplazando en la ley de Biot-Savart, se tiene
H ~ = 1 4π
ˆ
I d~ ℓ × (~r ′ − ~r)
|~r ′ − ~r| 3 Ley de Biot-Savart (23)
= 1 4π
ˆ
I (dx ′ ˆi + dx ′ ˆj) × (−x ′ ˆi − (x ′ + 1)ˆj)
[x ′2 + (x ′ + 1) 2 ]
32(24)
= 1 4π
ˆ
I −x ′ dx ′ (−ˆk) − (x ′ + 1)dx ′ ˆ k
[x ′2 + (x ′ + 1) 2 ]
32ya que ˆi × ˆi = 0 (25)
= I 4π
∞
ˆ
−∞
dx ′
[x ′2 + (x ′ + 1) 2 ]
32(−ˆk) (26)
= I 4π
1 + 2x ′ [x ′2 + (x ′ + 1) 2 ]
32∞
−∞
(−ˆk) Integrando (27)
= I 4π (2 √
2)(−ˆk) (28)
= − I √ 2
2π ˆ k (29)
Ley de Ampere
Esta ley es el an´ alogo de la ley de Gauss de le electrost´ atica que afirma que el flujo del campo el´ ectrico es proporcional a la carga encerrada por una superficie gaussiana, la ley de Ampere por otro lado establece que la circulaci´ on del campo magn´ etico es proporcional a la corriente encerrada por una linea amperiana (cerrada), matem´ aticamente se expresa
˛
H ~ · d~ℓ = I enc
Y al igual que la ley de Gauss la ley de Ampere exige que la distribuci´ on de corriente y por lo tanto la distribuci´ on de campo sea sim´ etrica en el espacio.
La ley de Ampere tambi´ en revela una caracter´ıstica de los campos magn´ eticos
˛
H ~ · d~ℓ = I enc ley de Ampere (30)
¨
∇ × ~ H · d~ S = I enc teorema de stokes (31)
¨
∇ × ~ H · d~ S =
¨
J ~ · d~ S pero la corriente tambi´ en es igual al flujo del vector ~ J (32)
∇ × ~ H = ~ J Integrado sobre la misma superficie las cantidades son iguales (33)
As´ı como ∇ × ~ E ≡ 0 revelando as´ı que el campo es conservativo, y se puede definir una funci´on potencial asociada al campo que no depende de la posici´ on solo de los puntos inicial y final, pero en el caso del campo magn´ etico ∇ × ~ H = ~ J es decir el campo magn´ etico y la fuerza magn´ etica no son conservativas, dependen de la posici´ on (claro debido a la velocidad) y que la circulaci´ on (rotaci´ on) del campo es proporcional al flujo de corriente. En la figura 8 se muestran posibles campos conservativos y no conservativos, obs´ ervese que cuando los campos tienen simetr´ıa de rotaci´ on los campos dejan de ser conservativos.
ejemplo: Hilo infinito de corriente
Halle por medio de la ley de Ampere el campo hecho por un hilo de corriente infinito ubicado en
Entonces como se observa en la figura 9, el campo circula alrededor del hilo, la amperiana se pondr´ a encima
de esta distribuci´ on de campo, la magnitud del campo a la distancia r es constante y su direcci´ on siempre
es en ˆ u θ .
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3
-2 -1 0 1 2 3
(a) campo radial ∇ × ~ G = 0, el campo no rota
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
None
(b) campo uniforme ∇ × ~ G = 0, el cam- po no rota
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
(c) campo circulante ∇ × ~ G 6= 0, el cam- po rota
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
All
(d) campo magn´ etico circulante ∇ × G 6= 0, el campo rota ~
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3