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Magnetostática. Hernán Alejandro Muñoz Ossa. 12 de mayo de 2011

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(1)

Magnetost´ atica

Hern´ an Alejandro Mu˜ noz Ossa 12 de mayo de 2011

Campo Magn´ etico

Ley de Biot-Savart

As´ı como las cargas puntuales son las fuentes fundamentales de los campos electrost´aticos, como lo define la ley de Gauss ∇ · ~ E = ε ρ

0

, los campos magn´eticos tambi´en tienen fuentes fundamentales, estas fuentes de campo magn´etico son las corrientes, es decir cuando las cargas se mueven estas generan un campo magn´etico est´atico. Entonces se puede afirmar que una fuente puntual est´atica genera una campo el´ectrico ~ E est´atico, cuando esta carga se mueve con una velocidad ~v esta carga genera un campo magn´etico est´atico (un campo que no var´ıa en el tiempo). Cuando se tiene un grupo de cargas puntuales que se mueven a una velocidad neta estas cargas forman una corriente, y estas corrientes se son las fuentes fundamentales de campo magn´etico.

De la misma forma como la ley de Coulomb permite hallar el campo electrost´atico de cualquier distribuci´ on de carga, en magnetost´atica existe una ley con el mismo principio, la ley de Biot-Savart, esta establece que la intensidad de un campo magn´etico dH producida en un punto P , como muestra la figura 1, gerarada por un elemento diferencial de corriente Id~ℓ es proporcional al producto de la corriente y el seno del ´angulo entre el elemento y la linea que une el elemento de corriente con el punto P y es inversamente proporcional a la distancia | ~ R | 2 , as´ı

dH ∝ Idℓ sin(α) R 2

= k Idℓ sin(α) R 2

= Idℓ sin(α)

4πR 2 donde k = 1

Esta relaci´ on se puede escribir de forma m´as general recordando que el producto cruz entre dos vectores se puede expresar como

~a ×~b = |~a||~b| sin(α)ˆu n donde ˆ u n es un vector normal a ~a y ~b Entonces dH toma la forma

d ~ H = Id~ ℓ × ˆu n

4πR 2

(2)

P dl

I

a

R

dHentra

Figura 1: Ley de Biot-Savart

Figura 2: Fuentes de campo el´ectrico y fuentes de campo magn´etico

Recordando la notaci´ on habitual que se ha usado donde la distribuci´ on de corriente esta situada en cualquier punto del espacio (~r ) y el punto donde se mide el campo ~r, la distancia entre la fuente y el punto donde se mide el campo esta dada por ~ R = ~r − ~r . Con esto la ley de Biot-Savart toma la forma

d ~ H = Id~ ℓ × ˆu n

4πR 2 (1)

= Id~ ℓ × ~ R

4π| ~ R | 3 donde ˆ u n = R ~

| ~ R | (2)

= Id~ ℓ × (~r − ~r )

4π|~r − ~r | 3 reemplazando ~ R (3)

Para una carga puntual, una esfera de carga, un hilo cargado y dem´as se conocen como es la distribuci´ on del campo

electrost´atico, este campo siempre es normal a la distribuci´ on o a la fuente en cualquier punto, un ejemplo se observa

en la figura 2 (izquierda), asimismo el campo magn´etico tambi´en posee una simetr´ıa esta simetr´ıa es de revoluci´on

(3)

Figura 3: Direcci´on del campo magn´etico

electrost´atico, recordando de los cap´ıtulos anteriores se puede reconocer que la densidad de corriente se defin´ıa como

dI = J ~ · d~ S I = | ~ J ||~ S |

Entonces el campo magn´etico para una distribuci´ on volum´etrica de corriente es

H ~ = 1 4π

ˆ

I d~ ℓ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3 Ley de Biot-Savart (4)

= 1 4π

ˆ

| ~ J ||~ S | d~ ℓ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3 donde I = | ~ J ||d~ S | (5)

= 1 4π

ˆ

|d~ℓ||~ S | J ~ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3 ya que ~ J k d~ℓ (6)

= 1 4π

ˆ

dv J ~ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3 donde dv = Adℓ (7)

Del mismo modo se aplica a una superficie, donde la corriente total es

dI = K ~ · d~l I = | ~ K ||~l|

donde el campo es

(4)

Figura 4: Campo que entra y campo que sale

H ~ = 1 4π

ˆ

I d~ ℓ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3 Ley de Biot-Savart (8)

= 1 4π

ˆ

| ~ K ||~l| d~ ℓ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3 donde I = | ~ K ||d~ S | (9)

= 1 4π

ˆ

|d~ℓ||~l| K ~ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3 ya que ~ K k d~ℓ (10)

= 1 4π

ˆ

ds K ~ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3 donde dS = ldℓ (11)

En resumidas cuentas los campos para cada distribuci´ on son

H ~ = 1 4π

ˆ

I d~ ℓ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3 corriente lineal (12)

H ~ = 1 4π

ˆ

ds K ~ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3 corriente superficial (13)

H ~ = 1 4π

ˆ

dv J ~ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3 corriente volum´etrica (14)

Es muy com´un que los campos entren o salgan de un plano, es importante la notaci´ on, la figura 4, se observan los dos tipos de campos en (A) el campo entra al plano de la hoja y en (B) el campo sale del plano de la hoja.

ejemplo: HILO ACOTADO

(5)

Figura 5: Hilo acotado

d~ ℓ = dz u ˆ z

~r = aˆ u r

~r = z u ˆ z

~

r − ~r = aˆ u r − z u ˆ z

|~r − ~r | = p a 2 + z ′2 Reemplazando se tiene

H ~ = 1 4π

ˆ

I d~ ℓ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3

= 1 4π

ˆ

I dz u ˆ z × (rˆu r − z u ˆ z ) (r 2 + z ′2 )

32

= I 4π

ˆ dz u ˆ z × rˆu r − dz u ˆ z × z ˆ u z

(r 2 + z ′2 )

32

u ˆ z × z u ˆ z = 0

= I 4π

ˆ dz u ˆ z × rˆu r

(r 2 + z ′2 )

32

= rI 4π

d

ˆ

− c

dz u ˆ θ

(r 2 + z ′2 )

32

= rI 4π

z r 2

r 2 + z ′2

d

− c

ˆ

u θ Integrando

= rI 4π

 d

r 2

r 2 + d 2 − −c r √

r 2 + c 2

 ˆ u θ

= I 4πr

"r d 2 r 2 + d 2 +

r c 2 r 2 + c 2

# ˆ

u θ (15)

La ecuaci´ on 15 es la expresi´ on general para el campo magn´ etico de un hilo de corriente acotado, para un

hilo semiinfinito en la direcci´ on positiva de z se tiene que d → ∞ y c → 0, con lo que el campo es

(6)

r

|H|

Figura 6: Magnitud vs distancia para un hilo infinito de corriente I

H ~ = I 4πr u ˆ θ

Tomando de nuevo la ecuaci´ on 15, el campo de un hilo infinito en las dos direcciones es

H ~ = I

4πr [1 + 1] ˆ u θ

= I

2πr u ˆ θ

Al igual que el campo el´ ectrico, la magnitud del campo var´ıa con la distancia como muestra la figura 6, es decir mientras m´ as alejado del hilo su intensidad es mucho menor

ejemplo: Hilo inclinado

Ahora se trabajar´ an con dos secciones de hilo por las que circula una corriente I, como muestra la figura 7

Se trata de un hilo infinito que esta inclinado y cuya ecuaci´ on de la recta y = x + 1

(7)

Figura 7: Secciones de hilos

d~ ℓ = dx ˆi + dy ˆj Como muestra la figura 7 (16)

= dx ˆi + dx ˆj ya que y = x + 1, as´ı que dy = dx (17)

~

r = x ˆi + y ˆj an´ alogo al vector d~ℓ (18)

= x ˆi + (x + 1)ˆj reemplazando y = x + 1 (19)

~

r = 0 (20)

~r − ~r = −x ˆi − (x + 1)ˆj (21)

|~r − ~r | = p

x ′2 + (x + 1) 2 (22)

Reemplazando en la ley de Biot-Savart, se tiene

H ~ = 1 4π

ˆ

I d~ ℓ × (~r − ~r)

|~r − ~r| 3 Ley de Biot-Savart (23)

= 1 4π

ˆ

I (dx ˆi + dx ˆj) × (−x ˆi − (x + 1)ˆj)

[x ′2 + (x + 1) 2 ]

32

(24)

= 1 4π

ˆ

I −x dx (−ˆk) − (x + 1)dx ˆ k

[x ′2 + (x + 1) 2 ]

32

ya que ˆi × ˆi = 0 (25)

= I 4π

ˆ

−∞

dx

[x ′2 + (x + 1) 2 ]

32

(−ˆk) (26)

= I 4π

1 + 2x [x ′2 + (x + 1) 2 ]

32

−∞

(−ˆk) Integrando (27)

= I 4π (2 √

2)(−ˆk) (28)

= − I √ 2

2π ˆ k (29)

(8)

Ley de Ampere

Esta ley es el an´ alogo de la ley de Gauss de le electrost´ atica que afirma que el flujo del campo el´ ectrico es proporcional a la carga encerrada por una superficie gaussiana, la ley de Ampere por otro lado establece que la circulaci´ on del campo magn´ etico es proporcional a la corriente encerrada por una linea amperiana (cerrada), matem´ aticamente se expresa

˛

H ~ · d~ℓ = I enc

Y al igual que la ley de Gauss la ley de Ampere exige que la distribuci´ on de corriente y por lo tanto la distribuci´ on de campo sea sim´ etrica en el espacio.

La ley de Ampere tambi´ en revela una caracter´ıstica de los campos magn´ eticos

˛

H ~ · d~ℓ = I enc ley de Ampere (30)

¨

∇ × ~ H · d~ S = I enc teorema de stokes (31)

¨

∇ × ~ H · d~ S =

¨

J ~ · d~ S pero la corriente tambi´ en es igual al flujo del vector ~ J (32)

∇ × ~ H = ~ J Integrado sobre la misma superficie las cantidades son iguales (33)

As´ı como ∇ × ~ E ≡ 0 revelando as´ı que el campo es conservativo, y se puede definir una funci´on potencial asociada al campo que no depende de la posici´ on solo de los puntos inicial y final, pero en el caso del campo magn´ etico ∇ × ~ H = ~ J es decir el campo magn´ etico y la fuerza magn´ etica no son conservativas, dependen de la posici´ on (claro debido a la velocidad) y que la circulaci´ on (rotaci´ on) del campo es proporcional al flujo de corriente. En la figura 8 se muestran posibles campos conservativos y no conservativos, obs´ ervese que cuando los campos tienen simetr´ıa de rotaci´ on los campos dejan de ser conservativos.

ejemplo: Hilo infinito de corriente

Halle por medio de la ley de Ampere el campo hecho por un hilo de corriente infinito ubicado en

Entonces como se observa en la figura 9, el campo circula alrededor del hilo, la amperiana se pondr´ a encima

de esta distribuci´ on de campo, la magnitud del campo a la distancia r es constante y su direcci´ on siempre

es en ˆ u θ .

(9)

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3

-2 -1 0 1 2 3

(a) campo radial ∇ × ~ G = 0, el campo no rota

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

None

(b) campo uniforme ∇ × ~ G = 0, el cam- po no rota

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

(c) campo circulante ∇ × ~ G 6= 0, el cam- po rota

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

All

(d) campo magn´ etico circulante ∇ × G 6= 0, el campo rota ~

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

(e) campo radial m´ as campo circulante

∇ × ~ G 6= 0, el campo rota parcialmente

Figura 8: campos conservativos y no conservativos

˛

H ~ · d~ℓ = I enc ley de Ampere

˛

H u ˆ θ · (drˆu r + rdθˆ u θ + dz ˆ u z ) = I la I enc = I

2 π

ˆ

0

Hrdθ = I del producto punto solo sobrevive la componente ˆ u θ

H

2 π

ˆ

0

rdθ = I H es constante es toda la trayectoria

H2πr = I integrando H = I

2πr H ~ = I

2πr u ˆ θ el campo siempre esta en direcci´ on angular

(34)

(10)

Figura 9: Hilo infinito

Lo que concuerda con el campo hallado por medio de la ley de Biot-Savart.

Plano Infinito

Para un plano infinito de corriente con densidad superficial de corriente ~ K, se aplica la ley de Ampere ya que el campo tiene simetr´ıa en todo el espacio, se hace un amperiana que atraviese a la corriente y este camino se pone en la misma direcci´ on del campo

Como se observa en la figura 10 parte derecha el campo neto se encuentra solo en direcci´ on x, paralelo al

mismo plano, aplicando la ley de ampere se tiene

(11)

1

2

3 4

Figura 10: Plano infinito de corriente

˛

H ~ · d~ℓ = I enc ley de Ampere

 0

2

ˆ

1

H ~ · d~ℓ +

3

ˆ

2

H ~ · d~ℓ +

 0

4

ˆ

3

H ~ · d~ℓ +

1

ˆ

4

H ~ · d~ℓ = I enc para los cuatro caminos

3

ˆ

2

H (−ˆi) · dx(−ˆi) +

1

ˆ

4

Hˆi · dxˆi = I obedeciendo las direcciones del campo y de los diferenciales Hb + Hb = I

2Hb = ˆ

K ~ · d~ℓ hallando el valor de la corriente

= ˆ

Kˆ j · (dxˆi + dyˆj + dzˆk) las direcciones de K

= Kb H = Kb 2b H = K

2 H ~ =

( K

2 ˆi z > 0

K 2 ˆi z < 0 La direcci´ on del campo (35)

Densidad de flujo magn´ etico

Asi como en el campo el´ ectrico se ten´ıan dos propiedades del campo su intensidad ~ E y su desplazamiento

o densidad de flujo ~ D, el campo magn´ etico tambien posee dos propiedades una es su intensidad ~ H y la

otra es su densidad de flujo magn´ etico ~ B, se relacionan mediante la siguiente relaci´ on

(12)

B ~ = µ ~ H donde µ es la permeabilidad del material, µ 0 para el vac´ıo (36)

Las unidades de ~ H son  A

m , las unidades de µ es  H m , donde H es Henrys o Henrios y las unidades de ~ B es  W b

m

2

 o los Teslas (que son m´as comunes) donde W b son los Weber.

La permeabilidad es la capacidad de una sustancia o medio para atraer y hacer pasar a trav´ es de s´ı los campos magn´ eticos, la cual est´ a dada por la relaci´ on entre la intensidad de campo magn´ etico existente y la inducci´ on magn´ etica que aparece en el interior de dicho material. Para comparar entre s´ı los materiales, se entiende la permeabilidad magn´ etica absoluta (µ) como el producto entre la permeabilidad magn´ etica relativa (µ r ) y la permeabilidad magn´ etica de vac´ıo (µ 0 ):

µ = µ r µ 0 (37)

Los materiales se pueden clasificar seg´ un su permeabilidad magn´ etica relativa en:

ferromagn´ eticos , cuyo valor de permeabilidad magn´ etica relativa es muy superior a 1. Los materiales ferromagn´ eticos atraen el campo magn´ etico hacia su interior. Son los materiales que ”se pegan a los imanes”. Esa propiedad recibe el nombre de ferromagnetismo. Ejemplos de ellos son el hierro y el n´ıquel.

paramagn´ eticos o no magn´ eticos, cuya permeabilidad relativa es aproximadamente 1 (se comportan como el vac´ıo). Los materiales paramagn´ eticos son la mayor´ıa de los que encontramos en la naturaleza. No presentan ferromagnetismo, y su reacci´ on frente a los campos magn´ eticos es muy poco apreciable.

diamagn´ eticos , de permeabilidad magn´ etica relativa inferior a 1. Los materiales diamagn´ eticos repelen el campo magn´ etico, haciendo que ´ este pase por el exterior del material. En general, esta acci´ on diamagn´ etica es muy d´ ebil, y no es comparable al efecto que produce el campo magn´ etico sobre los materiales ferromagn´ eticos. Un ejemplo de material diamagn´ etico es el cobre.

Otro efecto de los campos magn´ eticos sobre los materiales es el antiferromagnetismo, que resulta en una polarizaci´ on nula del material, pero produce una ordenaci´ on interna de ´ este.

La densidad de flujo magn´ etico ~ B es m´ as fundamental en electromagnetismo que el campo ~ H, ya que es el responsable de las fuerzas en las cargas en movimiento. Cabe destacar que, a diferencia del campo el´ ectrico, en el campo magn´ etico no se ha comprobado la existencia de monopolos magn´ eticos, s´ olo dipolos magn´ eticos, lo que significa que las l´ıneas de campo magn´ etico son cerradas, esto es, el n´ umero neto de l´ıneas de campo que entran en una superficie es igual al n´ umero de l´ıneas de campo que salen de la misma superficie. Un claro ejemplo de esta propiedad viene representado por las l´ıneas de campo de un im´ an, donde se puede ver que el mismo n´ umero de l´ıneas de campo que salen del polo norte vuelve a entrar por el polo sur, desde donde vuelven por el interior del im´ an hasta el norte.

Este vector permite definir el flujo magn´ etico sobre una superficie

¨

(13)

2,000 2,000

10,00

Figura 11: dos cables

Es decir una fuente aislada de campo magn´ etico no existe, por lo tanto aplicando el teorema de la divergencia de Gauss se tiene

B ~ · d~ S =

˚

∇ · ~ Bdv

Por lo que si ¸ B ~ · d~ S ≡ 0 se puede concluir que ∇ · ~ B = 0 y esta es la ley de Gauss diferencial para el campo magn´ etico y reafirma lo que se ha dicho, no existen monopolos magn´ eticos

∇ · ~ E = ρ

ε 0 Ley de Gauss el´ ectrica, las cargas puntuales generan campo ~ E

∇ · ~ B = 0 Ley de Gauss magn´ etica, no hay cargas puntuales que generan campo ~ B

ejercicios

1. Considere una l´ınea de transmisi´ on formada por dos hilos cuya secci´ on transversal se ilustra en la figura 11. Cada alambre es de 2 cm de radio y los cables est´ an separados 10 cm. El alambre con centro en (0, 0) lleva una corriente I = 5A saliendo de la hoja y el otro lleva la misma corriente pero entrando a la hoja. Halle el campo en medio de los cables a la izquierda y a la derecha de estos.

Fuerza Magn´ etica

Asi como en el caso gravitacional (y aunque suene trivial) los cuerpos con masa sienten el campo gravi-

tacional (que es generado por masas) ~ F = m~g, en el caso el´ ectrico solo las particulas o cuerpos cargados

sienten el campo el´ ectrico (que es generado por cargas) ~ F = q ~ E, es necesaria una condici´ on de la mis-

ma naturaleza para el campo magn´ etico, como se dijo anteriormente las corrientes (part´ıculas cargadas

en movimiento) son las fuentes de campo magn´ etico, por lo tanto al hacer el paralelo se concluye que

las part´ıculas cargadas en movimiento (corrientes) son las que sienten el campo magn´ etico, entonces la

(14)

condici´ on vital es que la part´ıcula se mueva, matem´ aticamente esto se expresa ~ F = q~v × ~ B , si la velocidad

~v = 0, ~ F = 0.

Una part´ıcula cargada que est´ e en presencia de un campo el´ ectrico y un campo magn´ etico y lleva una velocidad ~v = 0

F ~ = F ~ e + ~ F m ambas fuerzas

= q ~ E + q~v × ~ B (40)

La expresi´ on 40, es la llamada fuerza de Lorentz, la fuerza de una part´ıcula cargada en un campo electro- magn´ etico. M´ as general a´ un si se estan analizando corrientes en vez de una simple part´ıcula en movimiento, se tiene que

F ~ = q~v × ~ B fuerza Magn´ etica

= q ~ ℓ

t × ~ B relaci´ on de la velocidad ℓ t

= I~ℓ × ~ B carga por unidad de tiempo es corriente

= ˆ

Id~ ℓ × ~ B m´ as general aun

Y como ya se sabe de la relaci´ on de Biot-Savart ´ Id~ℓ = ~ KdS = ~ J dv, la relaci´ on puede ser acomodada para diferentes distribuciones

F ~ = ˆ

Id~ ℓ × ~ B para una l´ınea

F ~ = ˆ

KdS ~ × ~ B para un superficie

F ~ = ˆ

J dv ~ × ~ B para un volumen

ejemplo: fuerza sobre espira triangular

Suponga una espira triangular como la de la figura 12 de corriente I 2 como se muestra en la figura, al lado de esta se encuentra un hilo infinito de corriente I 1 , halle la fuerza que la espira le hace al hilo infinito.

Para hallar dicha fuerza se halla el campo de la espira y luego se halla la fuerza que la espira le hace al

hilo, pero el campo de la espira es un poco engorroso de hallar, por medio de la tercera ley de Newton, se

puede hallar el campo del hilo luego la fuerza que la espira experimenta por la presencia del hilo, ya que

el campo del hilo es m´ as f´ acil de hallar, as´ı

(15)

Figura 12: Fuerza sobre espira triangular

˛

H ~ · d~ℓ = I enc Ley Ampere

˛

H u ˆ θ · (drˆu r + rdθˆ u θ + dz ˆ u z ) = I 1 reemplazando

H

2 π

ˆ

0

2πrθ = I 1 integrando

H ~ = I 1

2πr u ˆ θ

Este es el campo en direcci´ on ˆ u θ , es decir est´ a en coordenadas cil´ındricas ~ H = 2 I πr

1

u ˆ θ y el para el segmento 3 es d~ℓ = dyˆj que est´ a en coordenadas cartesianas, luego es obvio que no se pueden operar cantidades que est´ en expresadas en sistemas coordenados distintos, un forma sencilla de arreglar este problema es analizando el campo magn´ etico; la direcci´ on del campo magn´ etico es angular, pero cuando esa direcci´ on angular entra en el plano Y Z esa direcci´ on es la misma que la direcci´ on (−i), por lo tanto el campo que nosotros analizamos siempre entra perpendicular el plano Y Z, asi que se puede afirmar que ˆ u θ = −ˆi en el plano Y Z, entonces la fuerza 3 es entonces

F ~ 3 = ˆ

I 2 dℓ × ~ B fuerza sobre una linea de corriente debido a un campo

= ˆ

I 2 dyˆ j × I 1

2πr (−ˆi) reemplazando

= − I 1 I 2

ˆ dy (−ˆk) r

Ahora el r del campo en ese plano simplemente se vuelve una variaci´ on en y, asi que en este caso

(16)

simplemente es r = y

F ~ 3 = − I 1 I 2

ˆ dy (−ˆk)

y reemplazando r = y

= I 1 I 2

ˆ dy y k ˆ

= I 1 I 2

b

ˆ

3 b

dy y k ˆ

= I 1 I 2

2π ln y| b 3 b ˆ k

= I 1 I 2

2π ln b 3b ˆ k

= I 1 I 2

2π ln 1 3 ˆ k

Ahora se procede a hallar la fuerza sobre el segmento 1 de la espira, la ecuaci´ on de la recta es z = y − b, entonces el d~ℓ = dyˆj + dzˆ k, pero el diferencial en una direcci´ on es controlado por el de la otra direcci´ on, por medio de la recta se sabe que, si

z = y − b ecuaci´ on del segmento 1

dz = dy derivando

d~ ℓ = dyˆj + dyˆ k

Cabe mencionar que el campo est´ a en coordenadas cil´ındricas ~ H = 2 I πr

1

u ˆ θ y el d~ℓ = dyˆj + dyˆ k est´ a en coordenadas cartesianas, luego es obvio que no se pueden operar cantidades que est´ en expresadas en sistemas coordenados distintos, un forma sencilla de arreglar este problema analizando el campo magn´ etico, la direcci´ on del campo magn´ etico es angular, pero cuando esa direcci´ on angular entra en el plano Y Z esa direcci´ on es la misma que la direcci´ on (−i), por lo tanto el campo que nosotros analizamos siempre entra perpendicular el plano Y Z, por tanto se puede afirmar que ˆ u θ = −ˆi en el plano Y Z, entonces la fuerza es

F ~ 1 = ˆ

I 2 dℓ × ~ B fuerza sobre una linea de corriente debido a un campo

= ˆ

I 2 (dyˆj + dyˆ k ) × I 1

2πr (−ˆi) reemplazando

= − I 1 I 2

ˆ dy (−ˆk) + dy(ˆj)

r

(17)

F ~ 1 = − I 1 I 2

ˆ dy (−ˆk) + dy(ˆj)

y luego el diferencial es

= − I 1 I 2

2 b

ˆ

b

dy

y (−ˆk + ˆj) reemplazando r = y

= − I 1 I 2

2π ln |y|| 2 b b (−ˆk + ˆj)

= − I 1 I 2

2π ln

2b b

(−ˆk + ˆj)

= − I 1 I 2

2π ln |2| (−ˆk + ˆj)

Del mismo modo se procede a hallar la fuerza sobre el segmento 2 de la espira, la ecuaci´ on de la recta es z = −y + 3b, entonces el d~ℓ = dyˆj + dzˆk, pero el diferencial en una direcci´on es controlado por el de la otra direcci´ on, por medio de la recta se sabe que, si

z = −y + 3b ecuaci´ on del segmento 1

dz = −dy derivando

d~ ℓ = dyˆj − dyˆk

F ~ 2 = ˆ

I 2 dℓ × ~ B fuerza sobre una linea de corriente debido a un campo

= ˆ

I 2 (dyˆj − dyˆk) × I 1

2πr (−ˆi) reemplazando

= − I 1 I 2

ˆ dy (−ˆk) − dy(ˆj) r

Ahora el r del campo, la fuerza sobre este segmento es igual a la variaci´ on en z, es decir r = y, as´ı que

F ~ 2 = − I 1 I 2

ˆ dy (−ˆk) − dy(ˆj)

y luego el diferencial es

= I 1 I 2

3 b

ˆ

2 b

dy

y (ˆ k + ˆj) reemplazando r = y

= I 1 I 2

2π ln |y|| 3 2 b b (ˆ k + ˆj)

= I 1 I 2

2π ln

3b 2b

(ˆ k + ˆj)

= I 1 I 2

2π ln 3 2

(ˆ k + ˆj)

(18)

La fuerza total es entonces

F ~ t = F ~ 1 + ~ F 2 + ~ F 3 (43)

= − I 1 I 2

2π ln |2| (−ˆk + ˆj) + I 1 I 2 2π ln

3 2

(ˆ k + ˆj) + I 1 I 2 2π ln 1

3 k ˆ (44)

ejercicios

Mediante la inyecci´ on de un haz de electrones normalmente hasta el borde plano de un campo uniforme B 0 u ˆ z , los electrones pueden estar dispersos en funci´ on de su velocidad como en la figura 8.31. (A) Demostrar que los electrones ser´ıan expulsados del campo en trayectorias paralelas a la entrada haz como se muestra.

(B) Derive una expresi´ on para la distancia de la salida d por encima de punto de entrada.

Una espira conductora triangular que transporta una corriente de 2A se encuentra cerca de una longitud infinita, conductor recto con una corriente de 5A, como se muestra en la Figura 8.34. Calcular (a) la fuerza sobre la cara 1 del circuito triangular y (b) la fuerza total sobre la espira.

Ley de Faraday

La inducci´ on electromagn´ etica es el fen´ omeno que origina la producci´ on de una fuerza electromotriz (f.e.m.

o voltaje inducido) en un medio o cuerpo expuesto a un campo magn´ etico variable, o bien en un medio m´ ovil respecto a un campo magn´ etico est´ atico. Es as´ı que, cuando dicho cuerpo es un conductor, se produce una corriente inducida. Este fen´ omeno fue descubierto por Michael Faraday qui´ en lo expres´ o indicando que la magnitud del voltaje inducido es proporcional a la variaci´ on del flujo magn´ etico (Ley de Faraday).

El voltaje inducido (mal llamado fuerza electromotriz: FEM ) (Representado V ε ) es toda causa capaz de mantener una diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito abierto o de producir una corriente el´ ectrica en un circuito cerrado. Es una caracter´ıstica de cada generador el´ ectrico. Con car´ acter general puede explicarse por la existencia de un campo electromotor V ε .

Por otra parte, Heinrich Lenz comprob´ o que la corriente debida a la f.e.m. inducida se opone al cambio de flujo magn´ etico, de forma tal que la corriente tiende a mantener el flujo. Esto es v´ alido tanto para el caso en que la intensidad del flujo var´ıe, o que el cuerpo conductor se mueva respecto de ´ el. Luego esta fuerza electromotriz o voltaje inducido se expresa

V ε = − dΨ

dt (45)

= − d dt

¨

B ~ · d~ S (46)

Se define como el trabajo que el generador realiza para pasar por su interior la unidad de carga positiva

(19)

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/fem/fem.htm

La ley de faraday entonces habla de una diferencia de potencial generada por el cambio en el flujo de un campo magn´ etico, como se trata de un potencial, este se puede escribir de la siguiente manera

V ε = − d dt

¨

B ~ · d~ S (47)

˛

E ~ · d~ℓ = − d dt

¨

B ~ · d~ S debe ser cerrada para generar la corriente (48)

Pero si se piensa cuidadosamente hay varias formas de hacer variar el flujo del campo magn´ etico, aunque originalmente declar´ o la ley de Faraday para un circuito estacionario, con el flujo a trav´ es de ella cambiando debido a las fuentes variables. Sin embargo, el flujo a trav´ es de un bucle Tambi´ en puede cambiar debido al movimiento de la espira. Esto puede ser a trav´ es de la rotaci´ on o la distorsi´ on de la espira, o por la traslaci´ on de la espira por un campo magn´ etico no uniforme.

Campo variable y area constante El voltaje inducido es entonces V ε

˛

E ~ · d~ℓ = −

¨ ∂ ~ B

∂t · d~ S solo el campo var´ıa Usando el teorema de Stokes se tiene que

˛

E ~ · d~ℓ = −

¨ ∂ ~ B

∂t · d~ S

¨

∇ × ~ E · d~ S = −

¨ ∂ ~ B

∂t · d~ S

∇ × ~ E = − ∂ ~ B

∂t el area de integraci´ on es la misma Esta ultima expresi´ on es la Ecuaci´ on de Faraday en modo diferencial

campo constante y area variable Suponga que tiene una espira que se mueve con una velocidad uniforme

~v, este movimiento genera una corriente en la espira, y esta corriente es equivalente a una espira que esta conectada a una fuente de voltaje, que se puede asociar con un campo el´ ectrico ~ E m , como los dos procesos son equivalentes f´ısicamente se puede afirmar una igualdad entre ese campo ~ E m y la fuerza magn´ etica que experimenta la espira en movimiento. En el marco en reposo del cable en movimiento, esta fuerza magn´ etica sobre una carga ~ F = q~v × ~ B es la misma que si hubiera un campo el´ ectrico dado por

E ~ m = F ~

q definici´ on de campo

= q~v × ~ B

q pero la fuerza conocida es una fuerza magn´ etica V ε =

˛

E ~ m · d~ℓ el voltaje inducido

=

˛

(~v × ~ B ) · d~ℓ reemplazando

(20)

Este tipo de fem se llama fem de con´ etica o flujo de fem en general porque esta dada por el movimiento. Es el tipo de fem en m´ aquinas el´ ectricas tales como motores, generadores y alternadores.

campo variable y area variable Este caso es la superposici´ on de los casos anteriores donde se tiene que el voltaje inducido es

V ε = −

¨ ∂ ~ B

∂t · d~ S +

˛

(~v × ~ B ) · d~ℓ

NOTA: CUANDO SE DICE QUE EL AREA ES VARIABLE SE REFIERE A QUE LA ESPIRA LLEVA UN

MOVIMIENTO (UNA VELOCIDAD), AUNQUE NO DEJA DE TENER SENTIDO DE QUE EL AREA

CRECE O DISMINUYE

Referencias

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