Bioestadística: Inferencia Estadística. Análisis de Dos Muestras

(1)

Bioestadística: Inferencia Estadística.

Análisis de Dos Muestras

M. González

Departamento de Matemáticas. Universidad de Extremadura

(2)

MUESTRAS INDEPENDIENTES:

TEST PARAMÉTRICO:

VARIANZAS POBLACIONALES IGUALES:Test de t-Student (RESUMEN VIII)

VARIANZAS POBLACIONALES DIFERENTES:Test de Welch (RESUMEN VIII)

Para contrastar si lasvarianzas poblacionalesson iguales utilizamos el test de F-Snedecor (RESUMEN VII).

TEST NO PARAMÉTRICO:Test de Mann-Whitney-Wilcoxon de suma de rangos (RESUMEN X)

MUESTRAS APAREADAS O RELACIONADAS:

TEST PARAMÉTRICO:Test de t-Student (RESUMEN XI) TEST NO PARAMÉTRICO:Test de Wilcoxon de rangos con signo (RESUMEN XII)

(3)

2. En un experimento sobre los efectos de la insulina en la disminución de la glucemia en conejos, se administró una dosis alta de insulina a 9 conejos, resultando una disminución media de glucemia de 16.4 con una desviación típica muestral de 4. A otro grupo de 9 conejos se les administró una dosis baja de insulina, resultando una disminución media de 9.3 con una desviación típica muestral de 3. Si suponemos que la distribución de la glucemia es Normal, contesta las siguientes preguntas:

(a)¿Es posible afirmar, con un nivel de significación del 5%, que existe diferencia significativa en la disminución de la glucemia según se aplique una dosis alta o baja de insulina?

X =disminución glucemia dosis alta insulina ∼ N(µ1, σ²₁) Y =disminución glucemia dosis baja insulina ∼ N(µ2, σ₂²)

MUESTRAS INDEPENDIENTES m = 9 ¯x = 16.4, s₁ = 4

n = 9 ¯y = 9.3, s2= 3 H₀: µ₁= µ₂vs. H₁: µ₁6= µ₂

(4)

MUESTRAS INDEPENDIENTES:

TEST PARAMÉTRICO:

VARIANZAS POBLACIONALES IGUALES:Test de t-Student (RESUMEN VIII)

VARIANZAS POBLACIONALES DIFERENTES:Test de Welch (RESUMEN VIII)

Para contrastar si lasvarianzas poblacionalesson iguales utilizamos el test de F-Snedecor (RESUMEN VII).

TEST NO PARAMÉTRICO:Test de Mann-Whitney-Wilcoxon de suma de rangos (RESUMEN X)

MUESTRAS APAREADAS O RELACIONADAS:

TEST PARAMÉTRICO:Test de t-Student (RESUMEN XI) TEST NO PARAMÉTRICO:Test de Wilcoxon de rangos con signo (RESUMEN XII)

(5)

2.(a)MUESTRAS INDEPENDIENTES

X =disminución glucemia dosis alta insulina ∼ N(µ1, σ²₁) Y =disminución glucemia dosis baja insulina ∼ N(µ₂, σ₂²)

m = 9 ¯x = 16.4, s1 = 4 n = 9 ¯y = 9.3, s2= 3 H0: σ²₁ = σ²₂vs. H1: σ²₁6= σ²₂ RESUMEN VII:Rechazamos H0al nivel α si s²₁

s²₂ > F_α/2(m − 1, n − 1) si s²₁≥ s²₂ ó s²₂

s²₁ > F_α/2(n − 1, m − 1) si s²₁≤ s²₂ Fexp=s²₁

s²₂ = 4 3

²

= 1.78 α ⇒ F_α/2(8, 8)

α = 0.05 ⇒ F0.025(8, 8) = 4.43 ⇒ Fexp < F0.025(8, 8) ⇒ H0

α = 0.1 ⇒ F_0.05(8, 8) = 3.44 ⇒ F_exp< F0.05(8, 8) ⇒ H₀ α = 0.2 ⇒ F_0.1(8, 8) = 2.59 ⇒ F_exp< F0.1(8, 8) ⇒ H₀

p > 0.2

(6)

2.(a)H0 : µ1= µ2vs. H1: µ1 6= µ2

RESUMEN VIII:σ²₁, σ₂²DESCONOCIDAS, σ²₁= σ²₂

m = 9 ¯x = 16.4, s₁= 4 n = 9 ¯y = 9.3, s₂= 3

s²= (m − 1)s²₁+ (n − 1)s²₂

m + n + 2 = 8 ∗ 4²+ 8 ∗ 3²

8 ∗ 2 = 12.5 ⇒ s = 3.54

texp= ^16.4−9.3

3.54√

1/9+1/9 = 4.25

α = 0.05 ⇒ t0.05(16) = 2.120 ⇒ |texp| > t0.05(16) ⇒ H1

α = 0.001 ⇒ t0.001(16) = 4.015 ⇒ |texp| > t0.001(16) ⇒ H1

p < 0.001

(7)

2.(b)¿En cuánto podemos estimar dicha diferencia?

m = 9 ¯x = 16.4, s1= 4 n = 9 ¯y = 9.3, s2= 3 s² =^(m−1)s_m+n+2²¹^+(n−1)s²² = ^8∗4²_8∗2^+8∗3² = 12.5 ⇒ s = 3.54

ESTIMACIÓN PUNTUAL:µ\1− µ2= ¯x − ¯y = 16.4 − 9.3 = 7.1

ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA:RESUMEN IX Nivel de confianza 1 − α

µ₁− µ₂∈ (¯x − ¯y) ± t_α(m + n − 2)sq

1 m+¹_n

1 − α = 0.95

µ1− µ2∈ 7.1 ± 2.120 ∗ 3.54 ∗q

1

9+¹₉ = 7.1 ± 3.54 = [3.56, 10.64]

CON UNA CONFIANZA DEL 95%

(8)

4. Se da a continuación la dosis de colesterol sérico en mg/l, de dos grupos de individuos hiperlipidémicos, bajo el efecto de un placebo y después de un tratamiento que reduce el colesterol:

Placebo 5.6 6.25 7.45 5.05 4.56 4.5 3.9 4.3 Tratamiento 3.35 3.6 3.75 4.15 3.6

(a)Probar si existe diferencia significativa entre las dosis medias de colesterol sérico en ambas poblaciones, suponiendo normalidad de ambas variables.

(b)¿Qué podemos hacer si no tenemos la hipótesis de normalidad?

MUESTRAS INDEPENDIENTES NO PARAMÉTRICO:

TEST DE SUMA DE RANGOS DE MANN-WHITNEY-WILCOXON RESUMEN X

(9)

(10)

Rexp= RX = 16 RESUMEN X:

Rechazamos H0al nivel de significación α si Rexp≤ VI(α) ó Rexp≥ VS(α) α = 0.05 VI(0.05) = 21, VS(0.05) = 49 Rexp < VI(α) H1

α = 0.01 VI(0.01) = 17, VS(0.01) = 53 Rexp < VI(α) H1

p < 0.01

(11)

7. Se ha estudiado el tiempo de reacción ante un estímulo auditivo bajo dos situaciones o condiciones radicalmente diferentes F y Q. Para ello se ha elegido una muestra aleatoria de 9 niños, los cuales han sido estimulados, en primer lugar, bajo la situación F y pasado un tiempo prudencial de reposo, son nuevamente estimulados bajo Q. Los tiempos de reacción, en centésimas de segundo, aparecen en la siguiente tabla:

niño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

sist. F 14 12 9 13 15 17 13 12 13

sist. Q 17 14 13 15 16 16 16 15 13 (a)Suponiendo que la diferencia de los tiempos de reacción se distribuye normalmente, ¿puede afirmarse que el tiempo de reacción medio difiere de la situación F a la Q, si admitimos un nivel de error del 1%?

X=TIEMPO DE REACCIÓN ANTE F µ1, σ²₁ Y=TIEMPO DE REACCIÓN ANTE Q µ2, σ²₂

(X1, Y1), . . . , (X9, Y9)

Di= Xi− Yi, i = 1, . . . , 9, m.a.s. N(µD, σ²_D), µD= µ1− µ2.

(12)

7.(a) PARAMÉTRICO.MUESTRAS APAREADAS. TEST T-STUDENT.

RESUMEN XI

H₀: µ₁= µ₂vs. H₁: µ₁6= µ₂ H0: µD= 0 vs. H1: µD6= 0

niño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

sist. F 14 12 9 13 15 17 13 12 13

sist. Q 17 14 13 15 16 16 16 15 13

d_i -3 -2 -4 -2 -1 1 -3 -3 0

d = −1.89¯ s²_D= 2.61 (sD= 1.616) texp= ¯d sd/√

n = −3.51 Rechazamos H0al nivel de significación α si |texp| > tα(n − 1)

α = 0.01 t_0.01(8) = 3.355 |t_exp| > t_0.01(8) H₁ α = 0.001 t_0.001(8) = 5.041 |t_exp| < t_0.001(8) H₀

0.001 < p < 0.01

(13)

7.(b)¿Cómo podemos establecer la comparación si no tenemos la hipótesis de normalidad? NO PARAMÉTRICO.MUESTRAS APAREADAS. TEST DE WILCOXON DE RANGOS CON SIGNO. RESUMEN XII.

niño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

di -3 -2 -4 -2 -1 1 -3 -3 0 n = 8

(1.5)

+ 1 R(+) = 1.5

− 1 2 2 3 3 3 4 R(−) = 34.5

(1.5) (3.5) (3.5) (6) (6) (6) (8)

Rechazamos H0al nivel de significación α si R(+) ≤ Tα(n) ó R(−) ≤ Tα(n) α = 0.05 T0.05(8) = 3 R(+) < T0.05(8) H1

α = 0.01 T0.01(8) = 0 R(+) , R(−) > T0.01(8) H0

0.01 < p < 0.05