La singularidad teixeira en sistemas de control lineales por partes

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA ESCUELA DE POSGRADO UNIDAD DE POSGRADO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES. LA SINGULARIDAD TEIXEIRA EN SISTEMAS DE CONTROL LINEALES POR PARTES Tesis presentada por la bachiller: Veronica Silva Condori para optar el grado académico de Maestra en Ciencias: Matemáticas, con mención en Matemática Universitaria Superior.. Asesor: Dr. Jesus Enrique Achire Quispe. AREQUIPA-PERÚ 2019.

(2) LA SINGULARIDAD TEIXEIRA EN SISTEMAS DE CONTROL LINEALES POR PARTES. Tesis presentada por:. Bach. Veronica Silva Condori. Jurado:. Dr. Dugan Paul Nina Ortiz :. Mag. Jorge Chambi Mamani :. Dr. Jesus Enrique Achire Quispe :.

(3) Resumen Consideramos sistemas de control con retroalimentación lineal por partes y estudiamos la presencia de doble tangencia cuadrática en estos modelos. Mostramos que en el caso de sistemas con una entrada y una salida no se observa doble tangencia cuadrática, pero en el caso general de varias entradas y varias salidas la doble tangencia cuadrática se presenta genéricamente. En particular analizamos un sistema de control PID con límites de saturación. Para algunos valores de los parámetros se tiene la presencia de la singularidad Teixeira y sorprendentemente se presenta como un equilibrio, una situación estructuralmente inestable. Con ejemplos y simulaciones computacionales ilustramos los resultados. Palabras claves: Sistemas suaves por partes, singularidad Teixeira, Sistemas de control..

(4) Abstract We considered control systems with piecewise linear feedback and we studied the presence of two-fold singularity in these models. We show that in the case of systems with one input and one output, two-fold is not observed, but in the general case of several inputs and several outputs, the two-fold is presented generically. In particular, we analyzed a PID control system with saturation limits. For some values of the parameters we have the presence of the Teixeira singularity and surprisingly it presents itself as a equilibrium, a structurally unstable situation. With examples and computational simulations we illustrate the results. Key words: Piecewise-smooth systems, Teixeira singularity, Control systems..

(5) Índice general Dedicatoria. iii. Agradecimientos. iv. Introducción. v. 1. Campos de vectores suaves por partes. 1. 1.1. Convención de Filippov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.2. Campo deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.3. Estabilidad estructural de campos suaves por partes . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2. Doble tangencia cuadrática. 11. 2.1. Tangencias cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.2. Clasificación dinámica de la singularidad Teixeira . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 3. Sistemas de control 3.1. Sistemas de control lineales. 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 3.2. Control de retroalimentación lineal por partes . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 3.3. Caso SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 3.4. Caso MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 4. Controladores PID. 32. 4.1. Controladores PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 4.2. Un controlador PID con límites de saturación . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. i.

(6) Conclusiones. 40.

(7) Dedicado a mis amados hijos Bryan y Celeste.

(8) Agradecimientos Agradezco a Dios por estar conmigo en cada paso que doy, por fortalecer mi corazón e iluminar mi mente en aquellos momentos de dificultad y debilidad. A mis padres: Felisa y Vicente, por haberme forjado como la persona que soy y por su gran apoyo incondicional en todo lo que emprendo. A mi familia: Bryan y Celeste y a mi esposo Rubén que estuvieron a mi lado en este proceso. A mi asesor Dr. Jesus Enrique Achire Quispe por su apoyo, tiempo, dedicación y paciencia en la elaboración de esta tesis.. iv.

(9) Introducción Los sistemas dinámicos son usados para modelar procesos en el cual las variables dependen del tiempo. Generalmente los modelos consisten de ecuaciones de recurrencia (discreto) o ecuaciones diferenciales (continuo). La teoría general de los sistemas dinámicos considera la hipótesis de que el lado derecho de la ecuación diferencial es continuamente diferenciable. Bajo estas hipótesis se ha obtenido importantes resultados, y analizado relevantes aplicaciones. Recientemente, varios investigadores de España, Francia, Inglaterra, Italia, Brasil, etc. están considerando modelos discontinuos para sistemas donde las variables sufren interrupciones instantáneas. Por ejemplo, sistemas mecánicos con impacto, sistemas con fricción, sistemas eléctricos con interruptores, sistemas de control interrumpidos, etc. Varias aplicaciones pueden ser encontradas en los artículos: Bizarri, Storace y Colombo (2008),Brogliato (2000), Brogliato (1999), Dankowicz y Zhao (2005), De Jong, Gouzé, Hernandez, Page, Sari y Geiselmann (2004), Zhusubaliyev y Mosekilde (2003). En particular son estudiados los modelos con lado derecho suave por partes (piecewise smooth dynamic systems). Bajo la hipótesis de diferenciabilidad por partes, se define soluciones para estos modelos, mostrándose la existencia de soluciones aúnque se pierde la propiedad de unicidad. En estos sistemas, se admite la posibilidad de que dos órbitas se encuentren y sigan una misma trayectoria. Toda esta teoría es presentada en el magistral libro de Filippov (1988), y además un reciente desarrollo puede ser consultado en Di Bernardo, Budd, Champneys y Kowalczyk (2008). Un tema crucial en la teoría de los sistemas dinámicos suaves por partes es una intrigante. v.

(10) singularidad, llamada después singularidad Teixeira (Colombo, Di Bernardo, Fossas y Jeffrey M. R. (2010)). Se trata de un punto en el cual las órbitas del sistema tangencian a la superficie de discontinuidad por ambos lados de ella. Esta singularidad es genérica en dimensión mayor o igual a tres. Varios estudios se hicieron para entender la dinámica, la estabilidad asintótica y la estabilidad estructural de esta singularidad (Jeffrey y Colombo (2009)). A pesar del descubrimiento teórico de la singularidad Teixeira, esta no se ha observado anteriormente en aplicaciones a problemas reales. En 2010, en Colombo, Di Bernardo, Fossas y Jeffrey (2010) los autores verificaron la posibilidad de que la singularidad Teixeira esté presente en sistemas de control con retroalimentación interrumpidos, los autores de tal artículo consideran un sistema dinámico lineal, en el cual el control es función lineal por partes de la salida del sistema, entonces encuentran condiciones sobre los parámetros del sistema para la presencia o ausencia de la singularidad Teixeira. El objetivo de la tesis es revisar, sintetizar y presentar los resultados obtenidos hasta el momento sobre la singularidad Teixeira y verificar los resultados de Colombo et al (2010) sobre la presencia de la singularidad Teixeira en sistemas de control lineales por partes. Organizamos el trabajo de la siguiente manera: En el Capítulo 1, definimos campos suaves por partes y usamos la convección de Filippov para definir órbita solución de este tipo de campos. En el Capítulo 2, definimos tangencia cuadrática y doble tangencia cuadrática por medio de ecuaciones algebraicas. Luego, brevemente se resume la dinámica próximo de estas singularidades. En el Capítulo 3, consideramos sistemas de control lineales con retroalimentación lineal por partes. Establecemos las ecuaciones que determinan la presencia de una doble tangencia cuadrática. En el caso SISO (entrada escalar y salida escalar) mostramos que no hay doble tangencia cuadrática. En los otros casos de salida múltiple, con ejemplos mostramos que puede existir doble tangencia cuadrática. Finalmente, en el Capítulo 4 presentamos un interesante ejemplo de un sistema de control con retroalimentación y límites de saturación, para ese problema se estudia la existencia de la singularidad Teixeira. Mostrada la existencia de la singularidad para algunos valores de los parámetros, vemos su tipo topológico..

(11) Capítulo 1 Campos de vectores suaves por partes Modelos que presentan discontinuidades están siendo usados en aplicaciones cada vez con mayor frecuencia. En particular los modelos que presentan discontinuidades de salto, lo que físicamente significa interrupciones en el sistema. Estos sistemas son llamados sistemas dinámicos suaves por partes, están asociados a campos de vectores suaves por partes. En este capítulo damos la definición precisa de este modelo matemático. Definición 1.0.1. Un campo suave por partes consiste de una partición Rn = S1 ∪S2 ∪...∪Sk y una aplicación Z : Rn → Rn de la forma:    Z1 (x)      Z (x) 2 Z(x) =        Z (x) k. ; si x ∈ S1 ; si x ∈ S2 .. . ; si x ∈ Sk. donde: 1. int(Si ) ∩ int(Sj ) = ∅ para i ̸= j, 2. Si ∩ Sj = ∅ o Si ∩ Sj es una variedad n − 1 dimensional. La intersección Σij = Si ∩ Sj es llamada superficie de discontinuidad o simplemente discontinuidad (ver figura 1.1), 3. los Zi : Rn → Rn son campos de clase C r . 1.

(12) Rn Z1. S1. Z2. S2. Z3. S3. Σ12. Σ23. Figura 1.1: Retrato de fase de un sistema con tres partes definido en Rn . Σ12 y Σ23 son las superficies de discontinuidad. Ejemplo 1.0.2. Considere una masa atada a un resorte deslizandose sobre una superficie que tiene una parte lisa y una parte rugosa. Supongamos que x = 0 indica la posición de equilibrio del resorte, x < 1 la región lisa y x > 1 la región rugosa (ver figura 1.2). Vemos que en x = 1 hay un cambio en el sistema, es decir una discontinuidad. Usando la ley de Newtón y la ley de Hooke tenemos:. x′′ =.  . −kx. ; x<1.  −kx − bx′ ; x > 1. donde k es la constante del resorte y b es el coeficiente de fricción en la parte rugosa. Haciendo y = x′ , tenemos:.  . x′ y. ′.  =.       0 1 x          −k 0 y  . ;x < 1.         x 0 1     ;x > 1     y −k −b. (1.0.1). Este sistema define un campo suave por partes. Observe que el plano de fase es dividido en dos regiones por la recta x = 1 (discontinuidad). En la región x < 1 es definido el campo 2.

(13) X(x, y) = (y, −kx). Y en la región x > 1 es definido el campo Y (x, y) = (y, −kx − by). Los sistemas en (1.0.1) son lineales y fácilmente integrables por separado. Pero es necesario comprender el comportamiento al juntar ambos, por un lado el centro en x < 1 y por otro lado la espiral para x > 1 (ver figura 1.3). Observe además que por todo punto pasa una trayectoria continua pero que estas pierden diferenciabilidad en la recta x = 1.. x=1. x=0. Figura 1.2: Un sistema masa-resorte deslizando sobre una superficie con parte lisa (x < 1) y parte rugosa (x > 1).. y. 0. p. x. x=1. Figura 1.3: Retrato de fase del sistema masa-resorte del ejemplo 1.0.2. Todas las órbitas en y2 kx2 2 y2 kx2 2 la región + > tienden al ciclo límite + = . El origen es un centro con 2 2 k 2 2 k órbitas elípticas alrededor. Ambos campos tienen tangencia con la discontinuidad x = 1 en el punto p = (1, 0).. 3.

(14) 1.1.. Convención de Filippov. Sea Z : Rn → Rn un campo suave por partes dado por Zi (x) si x ∈ Si , donde las Si son regiones abiertas de Rn . Para el campo Z le asociamos el siguiente campo multivaluado   Z (x) ; si x ∈ int(Si ) i Z(x) =  λZ (x) + (1 − λ)Z (x), λ ∈ [0, 1] ; si x ∈ Σ i j ij Es decir que, el campo Z coincide con Z donde se tiene continuidad, pero en la discontinuidad se tiene dos límites laterales Zi (x) y Zj (x) con los cuales se forma un cono convexo. (Ver figura 1.4). Definición 1.1.1. Una órbita solución del campo suave por partes Z es una curva suave por partes α : R → Rn tal que: α′ (t) ∈ Z(α(t)) para casi todo t.. (1.1.1). La condición (1.1.1) es llamada inclusión diferencial, y ella debe satisfacerse en todo punto donde α es diferenciable. Filippov mostró que siempre existen soluciones para la inclusión diferencial en (1.1.1), aunque no se tenga unicidad pues puede darse el caso de tener varias órbitas pasando por un mismo punto.. 1.2.. Campo deslizante. Para el estudio local, asumimos que el campo tiene solamente dos partes y que la discontinuidad ocurre en la hiperficie Σ = h−1 (0) donde h : Rn → R es una función de clase C ∞ que tiene 0 como valor regular. Dado un campo suave por partes   X(x) ; Z(x) =  Y (x) ; 4. si h(x) > 0 si h(x) < 0.

(15) que denotamos por Z = (X, Y ), deseamos estudiar el comportamiento de los campos X y Y próximos de la discontinuidad Σ = {x ∈ Rn /h(x) = 0}. Los campos X y Y podrían cortar transversalmente a Σ o tangenciarla apenas. Para distinguir el contacto podemos calcular los productos Xh(x) = ⟨X(x), ∇h(x)⟩, X 2 h(x) = ⟨X(x), ∇Xh(x)⟩, y X k h(x) = ⟨X(x), ∇X k−1 h(x)⟩. En Σ distinguimos dos conjuntos: O(Z) = {x ∈ Σ/Xh(x)Y h(x) ̸= 0} S(Z) = {x ∈ Σ/Xh(x)Y h(x) = 0} Aún podemos escribir O(Z) = SW R+ (Z) ∪ SW R− (Z) ∪ SLR(Z) ∪ ESCR(Z) donde: SW R+ (Z) = {x ∈ Σ / Xh(x) > 0, Y h(x) > 0} SW R− (Z) = {x ∈ Σ / Xh(x) < 0, Y h(x) < 0} SLR(Z) = {x ∈ Σ / Xh(x) < 0, Y h(x) > 0} ESCR(Z) = {x ∈ Σ / Xh(x) > 0, Y h(x) < 0} Notemos que, en las regiones de deslice SLR y de escape ESCR, los vectores X(x), Y (x) forman un cono que intercepta el plano tangente Tx Σ en un único vector que denotamos por F (x), y llamaremos vector deslizante (ver figura 1.4). De esta manera, en SLR ∪ ESCR es definido un campo vectorial el cual determina como se mueven las órbitas que eventualmente llegan a la región de deslice. El campo deslizante es tal que ⟨F (x), ∇f (x)⟩ = 0, y F (x) = λX(x) + (1 − λ)Y (x), λ ∈ [0, 1], de donde obtenemos una fórmula para el campo deslizante:. F (x) =. Y h(x)X(x) − Xh(x)Y (x) Y h(x) − Xh(x). Las órbitas del sistema son formadas concatenando las órbitas de X, las órbitas de Y , y las órbitas de F . De está manera, el retrato de fase del sistema es una folleación singular por curvas del espacio. Los puntos donde el campo deslizante es nulo son llamados pseudoequilibrios, en estos puntos los campos X y Y son antiparalelos, es decir, apuntan en direcciones opuestas pero 5.

(16) Y (x) Tx Σ F (x). x. Σ. X(x). Figura 1.4: Los vectores X(x) y Y (x) forman un cono que indica la dirección en la cual deben seguir las órbitas. En especial es escogido el vector F (x) que pertenece al cono y es tangente a la discontinuidad Σ. sobre la misma recta. El conjunto S(Z) está formado por puntos de tangencia. La configuración de las órbitas próximo de los puntos de tangencia es interesante. La más simple de las tangencias es la cuadrática que nosotros estudiaremos en el capítulo 2. Ejemplo 1.2.1. Consideremos el campo tridimensional   (x − y, y + z, x − 1) ; z > 0 Z(x, y, z) =  (−x, x − z, y + z) ; z<0 donde X(x, y, z) = (x − y, y + z, x − 1), Y (x, y, z) = (−x, x − z, y + z) y h(x, y, z) = z. La discontinuidad del campo ocurre sobre el plano Σ = {(x, y, z) ∈ R3 / z = 0} Hallaremos los puntos de tangencia S(Z) y las regiones O(Z): Tenemos. 6.

(17) Xh(x, y, z) = ⟨(x − y, y + z, x − 1); (0, 0, 1)⟩ = x − 1 Y h(x, y, z) = ⟨(−x, x − z, y + z); (0, 0, 1)⟩ = y + z entonces. O(Z) = {(x, y, z) ∈ R3 /z = 0 ∧ (x − 1)(y + z) ̸= 0} S(Z) = {(x, y, z) ∈ R3 /z = 0 ∧ (x − 1)(y + z) = 0} O(Z) = {(x, y, 0) ∈ R3 /(x − 1)y = 0} S(Z) = {(x, y, 0) ∈ R3 /(x − 1)y = 0} SW R+ (Z) = {(x, y, z) ∈ R3 /(x − 1) > 0 ∧ y > 0} SW R− (Z) = {(x, y, z) ∈ R3 /(x − 1) < 0 ∧ y < 0} SLR(Z) = {(x, y, z) ∈ R3 /(x − 1) < 0 ∧ y > 0} ESCR(Z) = {(x, y, z) ∈ R3 /(x − 1) > 0 ∧ y < 0}. z. S(Z) SW R (Z). SLR(Z). Σ. ESCR(Z). −. x. 1. SW R+ (Z). y Figura 1.5: El conjunto S(Z) consiste en dos rectas transversales que dividen el plano de discontinuidad en cuatro regiones. Las regiones SLR y ESCR son opuestas, mientras que SW R− y SW R+ también lo son. en SLR(Z) ∪ ESCR(Z) es definido el campo deslizante por:. 7.

(18) F (x, y) =. Y h(x, y, 0)X(x, y, 0) − Xh(x, y, 0)Y (x, y, 0) Y h(x, y, 0) − Xh(x, y, 0). =. (y + 0)(x − y, y, x − 1) − (x − 1)(−x, x, y) (y + 0) − (x − 1). =. (yx − y 2 , y 2 , yx − y) − (−x2 + x, x2 − x, yx − y) y−x+1. (yx − y 2 + x2 − x, y 2 − x2 + x, 0) = y−x+1. =. 1 (yx − y 2 + x2 − x, y 2 − x2 + x) y−x+1. Para determinar la órbitas deslizantes es suficiente considerar el campo deslizante normalizado F̄ (x, y) = (yx − y 2 + x2 − x, y 2 − x2 + x) Por tanto, las órbitas son hallados a partir del siguiente sistema:   x′ = yx − y 2 + x2 − x  y ′ = y 2 − x2 + x. 1.3.. Estabilidad estructural de campos suaves por partes. La clasificación dinámica de los campos suaves por partes se basa en la siguiente definición de equivalencia topológica. Definición 1.3.1. Dos campos Z1 = (X1 , Y1 ) y Z2 = (X2 , Y2 ) son topológicamente equivalentes si existe un homeomorfismo h : R → R, tal que h(Σ1 ) = Σ2 , que lleva órbitas de Z1 en órbitas de Z2 preservando la orientación. 8.

(19) Una equivalencia topológica preserva la dinámica: preserva la discontinuidad, lleva órbitas de X1 en órbitas de X2 , órbitas de Y1 en órbitas de Y2 , órbitas deslizantes de Z1 en órbitas deslizantes de Z2 , singularidades de Z1 en singularidades de Z2 , etc. En los próximos capítulos hacemos estudios locales, para ello se fijará un punto, digamos p = (0, 0, 0) y consideramos el espacio de campos Z = (X, Y ) definidos en una vecindad de p y cuyo conjunto de discontinuidad es Σ, el cual denotamos por Xr (Rn , Σ, 0), donde Xy Y son de clase C r . Definición 1.3.2. Un campo Z = (X, Y ) ∈ Xr (Rn , Σ, 0) es localmente estructuralmente estable en el punto p = 0 si para pequeñas perturbaciones Z̃ = (X̃, Ỹ ) de Z, existen vecindades V (p) y V (p̃) tales que, Z|V (p) es topológicamente equivalente a Z̃|V (p) . Intuitivamente, un campo es estructuralmente estable si pequeñas perturbaciones en sus derivadas hasta orden r, no alteran su comportamiento dinámico. Campos que no son estructuralmete estables son sensibles a las perturbaciones, aún pequeñas perturbaciones provocan un cambio significativo o perturbación en su dinámica. Se dice que una propiedad es genérica si ella es válida en general exceptuando raros casos. Por ejemplo, transversalidad es una propiedad genérica ya que lo habitual es encontrar objetos en cruce transversal . Se asocia estabilidad estructural a generecidad pero es sabido que para dimensión mayor o igual a 3, estabilidad estructural no es una propiedad genérica. Ejemplo 1.3.3. Consideremos el campo vectorial bidimensional Z = (X, Y ) mostrado en la figura 1.6. Este campo es estructuralmente estable pues pequeñas perturbaciones no alteran esencialmente su dinámica. Ejemplo 1.3.4. Consideremos el campo vectorial bidimensional W = (W1 , W2 ) mostrado en la figura 1.7. Este campo no es estructuralmente estable, y en la misma figura observamos como se bifurca, al mover un poco el campo hacia la derecha, aparece un pseudoequilibrio dentro de una región de escape. Y cuando movemos el campo hacia la izquierda, aparece un pseudoequilibrio dentro de la región de deslice.. 9.

(20) X. h. Σ. X̃ Ỹ. Y. Figura 1.6: El campo Z = (X, Y ) y su perturbado Z̃ = (X̃, Ỹ ) son equivalentes.. Σ. W̃ = (W̃1, W̃2). W = (W1, W2). ˜ = (W̃ ˜ , W̃ ˜ ) W̃ 1 2. Figura 1.7: Bifurcación de un foco singular 2D.. 10. Σ.

(21) Capítulo 2 Doble tangencia cuadrática 2.1.. Tangencias cuadráticas. Consideremos campos de vectores en R3 de la forma:   X(x, y, z); h(x, y, z) > 0 Z(x, y, z) =  Y (x, y, z); h(x, y, z) < 0 donde X,Y son campos de clase C ∞ , h : R3 → R que tiene 0 como valor regular. El campo Z así definido, es suave excepto en la superficie h(x, y, z) = 0, donde presenta discontinuidades de salto (los límites laterales existen pero no coinciden). El interés principal es estudiar el comportamiento de las órbitas del campo próximas de la superficie de discontinuidad, que denotaremos por: Σ = {(x, y, z) ∈ R3 /h(x, y, z) = 0} Genéricamente, las ramas X y Y no poseen puntos de equilibrio en Σ. En efecto, si los campos X y Y no tienen equilibrios en Σ, entonces perturbaciones pequeñas X̃ y Ỹ tampoco poseen equilibrios en Σ. Recíprocamente, si X tiene equilibrios en Σ, una pequeña perturbación llevará los equilibrios fuera de Σ. Por tanto, genéricamente, por puntos p ∈ Σ, las órbitas de los campos X y Y son regulares. Estas órbitas podrían encontrar Σ de manera transversal o tangente. Por definición, el vector ∇h(p) es perpendicular a Tp Σ en el punto p. Por lo tanto:. 11.

(22) Tp Σ = {v ∈ R3 /⟨v, ∇h(p)⟩ = 0} La órbita de X que pasa por p ∈ Σ es transversal a Σ en p si Xh(p) = ⟨X(p), ∇h(p)⟩ ̸= 0, y es tangente a Σ en p si Xh(p) = 0. Tangencias pueden ser mal comportadas e inestables. Como mostró Vishik (1972), genéricamente, para campos tridimensionales existen dos tipos de tangencias bien comportadas, las cuales definimos a continuación: Definición 2.1.1. Decimos que p ∈ Σ es una tangencia cuadrática (fold) de X si satisface: a) h(p) = 0, Xh(p) = 0 b) X 2 h(p) ̸= 0 La condición a) en la definición anterior solamente dice que p es un punto de tangencia entre una órbita de X y la discontinuidad Σ. La condición b) asegura que el orden de la tangencia es cuadrática, en ese caso la órbita es localmente como una parábola que toca a Σ en p (ver figura 2.1 lado izquierdo). Definición 2.1.2. Decimos que p ∈ Σ es una tangencia cúbica (cúspide) de X si satisface: a) h(p) = 0, Xh(p) = 0, X 2 h(p) = 0 b) X 3 h(p) ̸= 0 c) {∇h(p), ∇Xh(p), ∇X 2 h(p)} es un conjunto linealmente independiente. La condición a) dice que p es una tangencia que no es cuadrática. La condición b) asegura que la tangencia es cúbica, es decir localmente la órbita es como una cúbica cuyo punto de inflexión es en p (ver figura 2.1 lado derecho). La condición c) significa que las superficies h(x, y, z) = 0, Xh(x, y, z) = 0 y X 2 h(x, y, z) = 0 se encuentran transversalmente en p, lo que implica que p es una tangencia cúbica aislada. Ejemplo 2.1.3. Consideremos el campo. 12.

(23) X. X. p p. Σ. Σ. Figura 2.1: En el lado izquierdo tenemos una línea de puntos de tangencia cuadrática visible. En el lado derecho un punto de tangencia cúbica p contenido en la línea de tangencia, observe que el punto p es una transición entre tangencias cuadráticas concavas hacia arriba y concavas hacia abajo.   (1, x, y); z > 0 Z(x, y, z) =  (0, 0, 1); z < 0 Por un lado, las órbitas del campo Y (x, y, z) = (0, 0, 1) son rectas verticales que encuentran ortogonalmente la discontinuidad z = 0. Por otro lado, el campo X(x, y, z) = (1, x, y) tiene tangencias. En este ejemplo, h(x, y, z) = z y ∇h(x, y, z) = (0, 0, 1). Las tangencias son encontradas resolviendo el sistema:   h(x, y, z) = z = 0  Xh(x, y, z) = y = 0 Por tanto, el conjunto de tangencias de X, denotado por SX , es el eje x. Ahora miramos la segunda derivada, X 2 h(x, y, z) = x, de donde concluimos que (0, 0, 0) es un punto de tangencia cúbica, las demás tangencias son cuadráticas. Debemos notar que en el eje x negativo las órbitas que tangencian Σ están por debajo de Σ. Mientras que las órbitas que tangencían Σ en el eje x positivo están por encima de Σ. Como vimos en el ejemplo anterior, las tangencias cuadráticas ocurren a lo largo de una curva, en efecto, la intersección de las superficies h(x, y, z) = 0 y Xh(x, y, z) = 0. La cúspide. 13.

(24) ocurre aisladamente y es una transición entre dos tipos de tangencia cuadrática que queremos distinguir (ver figura 2.1). El campo X definido arriba de Σ decimos que tiene una tangencia cuadrática visible en el punto p si X 2 h(p) > 0 (ver figura 2.1). En otro caso si X 2 h(p) < 0 decimos que p es una tangencia cuadrática invisible. Para el campo Y definido debajo de Σ, tenemos que en una tangencia cuadrática visible Y 2 h(p) < 0 y en una tangencia cuadrática invisible Y 2 h(p) > 0. Para el campo Z = (X, Y ) es posible que ambos campos X y Y sean tangentes a Σ en un punto, tal punto es llamado doble tangencia. Definición 2.1.4. Decimos que p ∈ Σ es una doble tangencia cuadrática (two fold) del campo Z = (X, Y ) si satisface: a) h(p) = Xh(p) = Y h(p) = 0 b) X 2 h(p) ̸= 0, Y 2 h(p) ̸= 0 c) {∇h(p), ∇Xh(p), ∇Y h(p)} es linealmente independiente. La condición a) dice que p es una tangencia tanto del campo X como del campo Y . La condición b) asegura que la tangencia es cuadrática, es decir localmente las órbitas de X y Y tangencían la discontinuidad Σ en p como parábolas a un plano. Dependiendo de los signos de X 2 h(p) y Y 2 h(p) tenemos cuatro tipos topológicos distintos. Doble tangencia cuadrática visible: Y 2 h(p) < 0 < X 2 h(p) Doble tangencia cuadrática visible - invisible: X 2 h(p).Y 2 h(p) > 0 Singularidad Teixeira: X 2 h(p) < 0 < Y 2 h(p) La condición c), en la definición 2.1.4, es una condición de generecidad que geométricamente significa que las líneas de tangencia SX = {x ∈ Σ / Xh(x) = 0} 14.

(25) ESCR. SLR V isible. SLR. SLR. ESCR V isible − Invisible. ESCR Singularidad T eixeira. Figura 2.2: Distintos tipos de doble tangencia cuadrática. La región sombreada es la región de deslice, y la no sombreada es de costura. SY = {x ∈ Σ / Y h(x) = 0} se encuentran transversalmente en p. En la ausencia de esta condición, la doble tangencia cuadrática se vería afectada por perturbaciones en los campos X y Y . En otras palabras, esta condición es necesaria para estabilidad estructural del campo Z en la singularidad p. Notemos que localmente en una doble tangencia cuadrática, la superficie de discontinuidad Σ es dividida en cuatro regiones. Una región de deslice opuesta a la región de escape. Además, una región de costura negativa opuesta a una región de costura positiva. En la región de deslice y de escape es definido un campo vectorial deslizante (según convección de Filippov) que determina el futuro de las órbitas que llegan a la región de deslice. Lo que se tiene es que, si q pertenece a la región de deslice, entonces X(q) y Y (q) apuntan hacia lados opuestos con respecto a la discontinuidad, luego, existe λ ∈ (0, 1) tal que la combinación convexa F (q) = λX(q) + (1 − λ)Y (q) es tangente a Σ. Haciendo los cálculos necesarios obtenemos que: F (q) =. Y h(q)X(q) − Xh(q)Y (q) Y h(q) − Xh(q). que es llamado el campo vectorial deslizante y es el que gobierna el movimiento en las regiones de deslice y escape. Para analizar el campo F es conveniente considerar F̄ (q) = Y h(q)X(q) − Xh(q)Y (q) ya que es más simplificado. Observe que F y F̄ son equivalentes en la región de deslice y que F y −F̄ son equivalentes en la región de escape. El comportamiento local en una doble tangencia cuadrática consiste en describir el 15.

(26) movimiento deslizante, y también el cómo las órbitas regulares costuran alrededor de la singularidad. Se debe describir como evolucionan las órbitas que nacen en la región de escape, si es que llegan a la región de deslice o costuran infinitas veces. Entre los tres tipos de doble tangencia cuadrática, aquella de comportamiento complicado es la singularidad Teixeira porque en este tipo de singularidad las órbitas pueden visitar las regiones de costura varias veces antes de llegar a la región de deslice y algunas veces nunca llegar a la región de deslice. Previamente, Teixeira (1982) y Mike Jefrey (2010) estudiaron la dinámica en está singularidad, los autores establecieron condiciones genéricas necesarias para estabilidad estructural de esta singularidad y clasificaron los distintos tipos topológicos que se presentan. En el Capítulo 3 estudiamos la presencia de la singularidad de Teixeira en sistemas de control con retroalimentación. La presencia se dará si las líneas SX y SY se encuentran transversalmente, en otro caso estas líneas son paralelas. Ejemplo 2.1.5. Considere el campo tridimensional   (−y, 1, −1) ; x > 0 Z(x, y, z) =  (z, 0, 1) ; x<0 Observemos que la discontinuidad Σ = h−1 (0), donde h(x, y, z) = x. El campo Z tiene dos ramas, X(x, y, z) = (−y, 1, −1) y Y (x, y, z) = (z, 0, 1). Los conjuntos de tangencia son rectas, SX es el eje z y SY es el eje y, por tanto el origen (0, 0, 0) es una doble tangencia cuadrática. Como X 2 h(p) = −1 < 0 y Y 2 h(p) = 1 > 0, entonces (0, 0, 0) es una singularidad Teixeira. Los ejes y y z dividen el plano yz en cuatro cuadrantes, el primer cuadrante y > 0, z > 0 es de deslice; el segundo cuadrante y < 0, z > 0 es de costura positiva; el tercer cuadrante y > 0, z < 0 es de escape; el cuarto cuadrante y > 0, z < 0 es de costura negativa.. 16.

(27) z Deslice. y. Escape Figura 2.3: Órbitas parábolicas para el campo vertical del ejemplo 2.1.5. 2.2.. Clasificación dinámica de la singularidad Teixeira. Dado un campo que tiene una singularidad Teixeira, la dinámica en torno de está singularidad depende del campo deslizante asociado y del retorno de las órbitas a la discontinuidad. Desde Filippov, luego Teixeira y finalmente Mike Jefrey hicieron estudios para entender la compleja dinámica que presentaba está singularidad, ahora llamada singularidad Teixeira. Mike Jefrey mostró que localmente en la singularidad podemos escoger un sistema de coordenadas de tal manera que la singularidad es colocada en el origen y la expresión del campo es:   X(x, y, z) = (−y, 1, v) + (o(2), o(1), o(1)); x > 0 Z(x, y, z) =  Y (x, y, z) = (z, w, 1) + (o(2), o(1), o(1)); x < 0 donde v, w son parámetros y o(2) y o(1) son términos de orden dos y uno respectivamente. Según Mike Jefrey la dinámica en la singularidad depende solamente de los parámetros v y w, y los términos de orden mayor no afectan está clasificación en el caso genérico. Por lo tanto consideramos la siguiente forma normal:   X(x, y, z) = (−y, 1, v); x > 0 Z(x, y, z) =  Y (x, y, z) = (z, w, 1); x < 0. 17. (2.2.1).

(28) Vamos a describir el diagrama de bifurcación para el campo en (2.2.1). Primeramente observemos que la discontinuidad Σ es el plano yz; la línea de tangencia de X es el eje z; la línea de tangencia de Y es el eje y, y la singularidad es el origen de coordenadas. El plano Σ es dividido en cuatro cuadrantes, el primer cuadrante es la región de deslice, el segundo cuadrante es la región de costura positiva, el tercer cuadrante es la región de escape, el cuarto cuadrante la región de costura negativa. En las regiones de deslice y de escape se define el campo deslizante normalizado, que toma la forma:.  F̄ (y, z) = .  w 1 1 v. .  y. . z. Tenemos traza=(v + w) y det=(vw − 1). Estos valores determinan el tipo topológico del campo deslizante. Notemos que una bifurcación se presenta cuando vw = 1. En la singularidad, los vectores X(0, 0, 0) = (0, 1, v) y Y (0, 0, 0) = (0, w, 1) determinan la dirección que siguen las órbitas de X y de Y . Cuando vw = 1, estos vectores son linealmente dependientes, en el caso particular v < 0, w < 0 la singularidad es un pseudoequilibrio. Obviamente está situación es de bifurcación (ver figura 2.5). Cuando vw > 1, v < 0, w < 0 el cono que forman los vectores X(0, 0, 0) y Y (0, 0, 0) apuntan hacia la región de escape, así que las órbitas costuran infinitas veces alrededor de la singularidad. Además las órbitas del campo deslizante llegan a la singularidad en tiempo finito. (ver figura 2.4). En los otros casos el cono que forman X(0, 0, 0) y Y (0, 0, 0) intersecta la región de deslice. En este caso, las órbitas que empiezan en la región de escape, costuran un número finito de veces antes de llegar a la región de deslice, y las órbitas deslizantes son repelidas por la singularidad. (ver figura 2.6). 18.

(29) Figura 2.4: Dinámica en la singularidad de Teixeira cuando vw > 1, v < 0, w < 0.. Figura 2.5: Dinámica en la singularidad de Teixeira vw = 1.. Figura 2.6: Dinámica en la singularidad de Teixeira vw < 1.. 19.

(30) Capítulo 3 Sistemas de control 3.1.. Sistemas de control lineales. Considere el siguiente sistema de control lineal tridimensional x′ = Ax + Bu. (3.1.1). y = Cx. (3.1.2). donde: x(t) ∈ R3 es la variable de estado. A ∈ M (3 × 3), B ∈ M (3 × m), C ∈ M (p × 3) son matrices dadas. y(t) ∈ Rp es la salida del sistema que en general depende de la variable de estado x(t). u(t) ∈ Rm es la función de control. En teoría de control se propone encontrar una función de control u(t) de tal manera que el sistema (3.1.1) alcance un estado deseado (controlabilidad) o se mantenga próximo de un estado ideal (estabilización). En principio es posible distinguir entre dos tipos de control:. 20.

(31) Control de malla abierta: es cuando u es escogida a priori y llevada a cabo sin considerar la salida del sistema (ver figura 3.1). Control de malla cerrada: es cuando u depende de la salida del sistema u(t) = −ϕ(y) (ver figura 3.2). Sistemas con este tipo de control serán llamados sistemas de control retroalimentados.. u. y. Planta 0. x = Ax + Bu. Figura 3.1: Diagrama de bloques de un sistema de control de malla abierta.. + −. Planta x = Ax + Bu. y. 0. φ. Figura 3.2: Diagrama de bloque de un sistema de control retroalimentado.. Ejemplo 3.1.1. Un ejemplo de control de lazo abierto es una lavadora de ropa doméstica; el ciclo de remojo, lavado y enjuague en la lavadora operan con una base de tiempo (input). La máquina no mide la señal de salida que es el grado de limpieza de la ropa (output). Ejemplo 3.1.2. El sistema de control de temperatura de una habitación compara la temperatura real que hay en la habitación con la temperatura deseada; el termostato activa o desactiva el equipo de calefacción para asegurar la temperatura de la habitación conservandose así sin considerar las condiciones externas. En este sistema de control de lazo cerrado tenemos que: La entrada es la temperatura deseada de la habitación. 21.

(32) El control es el termostato, el cual mide la temperatura de la habitación para que pueda ser comparada con la entrada de referencia. La planta es la habitación. La salida es la temperatuta real de la habitación.. 3.2.. Control de retroalimentación lineal por partes. Según Cortes J. (2008), muchos sistemas de control no pueden ser estabilizados por controles de retroalimentación que dependen continuamente de la variable de estado. Como consecuencia, es necesario considerar controles de retroalimentación dependiendo del tiempo o discontinuos. En está sección consideramos un control con retroalimentación lineal por partes de la forma:   H +y + E + u = −ϕ(y) =  H −y + E −. si. Sy > 0;. si. Sy < 0.. (3.2.1). donde H ± ∈ M (m × p), E ± ∈ Rm , S ∈ M (1 × p). Reemplazando la ecuación (3.1.2) en (3.2.1) obtenemos el control en función de la variable de estado.   H + Cx + E + u = −ϕ(Cx) =  H − Cx + E −. si. SCx > 0;. si. SCx < 0.. (3.2.2). Finalmente, reemplazando (3.2.2) en (3.1.1) obtenemos un sistema suave por partes:   (A − BH + C)x − BE + ) x′ =  (A − BH − C)x − BE − ). si. SCx > 0;. si. SCx < 0.. (3.2.3). En lo que sigue estudiamos la presencia de la singularidad Teixeira en el sistema (3.2.3).. 22.

(33) El sistema (3.2.3) define un campo de vectores suave por partes Z = (X, Y ) cuyas ramas son X(x) = (A − BH + C)x − BE + y Y (x) = (A − BH − C)x − BE − La discontinuidad es el plano Σ = {x ∈ R3 /SCx = 0} Denotaremos por h : R3 → R, h(x) = SCx, la función que define la discontinuidad. Como ya habíamos planteado, queremos estudiar el contacto entre el campo Z = (X, Y ) y la discontinuidad Σ. Específicamente, queremos encontrar condiciones sobre las cuales el campo Z tiene una singularidad Teixeira. Puntos de doble tangencia son soluciones del sistema h(x) = 0; Xh(x) = 0; Y h(x) = 0, lo que lleva a:     . SCx = 0;. SC(A − BH + C)x − SCBE + ) = 0     SC(A − BH − C)x − SCBE − ) = 0. lo podemos escribir en la forma T x = b, donde:    SC 0       T =  SC(A − BH + C)  ; b =  SCBE +    SC(A − BH − C) SCBE −. (3.2.4).     . La existencia de solución para (3.2.4) depende directamente de la matriz T . Cuando det(T ) ̸= 0, entonces el sistema tiene una única solución y por tanto, existe una doble tangencia cuadrática. En otro caso, cuando det(T ) = 0, el sistema no tiene solución o hay infinitas soluciones, lo que significa la ausencia de la singularidad Teixeira. A seguir nosotros presentamos varios casos especiales. Comenzamos considerando sistemas SISO (una entrada y una salida), y verificamos que en este caso no puede ocurrir doble 23.

(34) tangencia cuadrática. Luego consideramos sistemas MIMO (varias entradas y varias salidas) y hallamos las condiciones para la existencia de doble tangencia cuadrática.. 3.3.. Caso SISO. En este caso, la entrada u y la salida y son escalares. Entonces las matrices C ∈ M (1 × 3); B ∈ M (3 × 1); y así S, H, CB son escalares. Mostraremos que en estas condiciones no hay puntos de doble tangencia haciendo directamente el cálculo del determinante de la matriz T : det(T ) = det[SCSCA + SCBH + CSCA + SCBH − C] = SC.[(SCA + SCBH + C) × (SCA + SCBH − C] = SC.[SCA × (SCBH − C)SCA − SCBH + C] = S 3 CB.(H − − H + )C.(CA × C) = S 3 CB.(H − − H + )CA.(C × C) = 0 Geométricamente, esto significa que los planos Xh(x) = 0 y Y h(x) = 0 son paralelos, por tanto no hay intersección. Según Colombo et al (2010), esto explica por qué la singularidad Teixeira nunca fue observada en la literatura clásica de sistemas de control interrumpidos, donde los modelos típicos son del tipo SISO. Ejemplo 3.3.1. Considere el sistema SISO descrito por las siguientes matrices: . −1 1 0.   A =  −1 0 1  −1 0 0.    ; . .  1.     B =  0 ;   0. ( C=. ) 1 0 0. H + = −1; H − = 1; E + = 1; E − = −2; S = 1 Reemplazamos las matrices anteriores en la ecuación (3.2.3), obteniendo lo siguiente:. 24.

(35) . ′.                 . x  1     x2  =        x3           . . . . . . 0 1 0 x 1   1        −1 0 1   x2  −  0     −1 0 0 x3 0 . −2 1 0.    −1 0 1  −1 0 0. . . . x1.    . −2. ; x1 > 0. .           x2  −  0  ; x 1 < 0     0 x3. Luego,. . ′.                 . x  1     x2  =        x3           . . x2 − 1    −x1 + x3  −x1     .     . −2x1 + x2 + 2 −x1 + x3 −x1. ; x1 > 0.     ; x1 < 0 . Tenemos     ⟨ x2 − 1 1 ⟩         Xh(x1 , x2 , x3 ) =  −x1 + x3  ;  0  = x2 − 1     −x1 0     ⟨ −2x1 + x2 + 2 1 ⟩         Y h(x1 , x2 , x3 ) =   ;  0  = −2x1 + x2 + 2 −x1 + x3     −x1 0 de donde     . x1 = 0. x2 = 1     −2x + x = −2 1 2 25.

(36) Pero el sistema no tiene solución, por lo tanto no hay singularidad de Teixeira.. 3.4.. Caso MIMO. En este caso más general asumimos que hay varias entradas y varias salidas. Suponiendo que el sistema tiene m entradas y p salidas, la matriz C es de tamaño p × 3 y S es de tamaño 1 × p. La matriz T , que es de tamaño 3 × 3, . SC(A − BH + C).   T =  SC(A − BH − C)  SC.     . depende de las matrices A, B, C, S, H ± . En este caso, casi siempre se tiene que T es no singular, en otras palabras, el hecho que T es no singular es una propiedad genérica, por tanto, la singularidad Teixeira ocurre genéricamente en sistemas MIMO. Ejemplo 3.4.1. Considere el sistema MIMO con matrices: . . −1 1 0     A =  −1 0 1  ;   −1 0 0  H = +. 0 −1 0.  ;.  H = −. 0. . 1 0     B =  0 1 ;   b 0 . 0 1. . ;.  E = +. 0 0.  C=. 2. ;. 1 0 0. . 0 0 1.  1. .  E = −. −2 −4.  ;. ( S=. ) 1 0. Observe que la matriz B depende de un parámetro b. Deseamos estudiar el sistema para los distintos valores de b. Reemplazando las matrices dadas anteriormente en la ecuación (3.2.3) tenemos:. 26.

(37) . ′.                 . x  1     x2  =        x3           .          . −x1 + x2 + x3 − 1 −x1 + x3 − 2 −x1 + bx3 − b −x1 + x2 − x3 + 2 −x1 + x3 + 4 −x1 − bx3 + 2b.     ; x1 > 0      ; x1 < 0 . con lo cual obtenemos el campo suave por partes   X(x1 , x2 , x3 ) = (−x1 + x2 + x3 − 1; −x1 + x3 − 2; −x1 + bx3 − b) ; x1 > 0 Z(x1 , x2 , x3 ) =  Y (x , x , x ) = (−x + x − x + 2; −x + x + 4; −x − bx + 2b) ; x < 0 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 1 siendo la superficie de discontinuidad dada por: h(x1 ; x2 , x3 ) = x1 Ahora, hallamos los puntos de doble tangencia tanto del campo X como del campo Y , para ello calculamos Xh(x1 , x2 , x3 ) y Y h(x1 , x2 , x3 ).. Xh(x1 , x2 , x3 ) = ⟨X(x1 , x2 , x3 ); ∇h(x1 , x2 , x3 )⟩ Xh(x1 , x2 , x3 ) = ⟨(−x1 + x2 + x3 − 1; −x1 + x3 − 2; −x1 + bx3 − b); (1; 0; 0)⟩ Xh(x1 , x2 , x3 ) = −x1 + x2 + x3 − 1 realizando el mismo procedimiento con el campo Y tenemos. Y h(x1 , x2 , x3 ) = −x1 + x2 − x3 + 2 Luego, hallamos los puntos de tangencia resolviendo el siguiente sistema x1 = 0 −x1 + x2 + x3 − 1 = 0 −x1 + x2 − x3 + 2 = 0 obteniéndose el punto de doble tangencia. 27.

(38) x1 = 0 x2 = −1/2. (3.4.1). x3 = 3/2 Ahora estudiaremos el tipo topológico de este punto de doble tangencia. Calculamos la segunda derivada. X 2 h(x1 ; x2 ; x3 ) = ⟨X(x1 ; x2 ; x3 ); ∇Xh((x1 ; x2 ; x3 )⟩ = ⟨(−x1 + x2 + x3 − 1; −x1 + x3 − 2; −x1 + bx3 − b); (−1; 1; 1)⟩ = x1 − x2 − x3 + 1 − x1 + x3 − 2 − x1 + bx3 − b = −x1 − x2 − 1 + bx3 − b = −x1 − x2 − 1 + b(x3 − 1). evaluando en el punto (0; -1/2; 3/2), tenemos. X 2 h(0; −1/2; 3/2) =. b−1 <0 2. De igual manera para Y tenemos. Y 2 h(x1 ; x2 ; x3 ) = ⟨Y (x1 ; x2 ; x3 ); ∇Y h(x1 ; x2 ; x3 )⟩ = ⟨(−x1 + x2 − x3 + 2; −x1 + x3 + 4; −x1 − bx3 + 2b); (−1; 1; −1)⟩ = x1 − x2 + (b + 2)x3 − 2(b − 1). de donde. Y 2 h(0; −1/2; 3/2) =. 11 − b >0 2. Vemos que el punto dado en (3.4.1) es una doble tangencia cuadrática de tipo singularidad Teixeira cuando b < 1. Para ver el tipo tipológico de la singularidad, calculamos:. 28.

(39) XY h(x1 ; x2 ; x3 ) = ⟨X(x1 ; x2 ; x3 ); ∇Y h(x1 ; x2 ; x3 )⟩ = ⟨(−x1 + x2 + x3 − 1; −x1 + x3 − 2; −x1 + bx3 − b); (−1; 1; −1)⟩ = x1 − x2 − 1 − bx3 + b. y evaluando. XY h(0; −1/2; 3/2) = −. 1+b 2. Además hallamos. Y Xh(x1 ; x2 ; x3 ) = ⟨Y (x1 ; x2 ; x3 ); ∇Xh(x1 ; x2 ; x3 )⟩ = ⟨(−x1 + x2 − x3 + 2; −x1 + x3 + 4; −x1 − bx3 + 2b); (−1; 1; 1)⟩ = −x1 − x2 + 2x3 + 2 − bx3 + 2b. de donde. Y Xh(0; −1/2; 3/2) =. 11 + b 2. Si b = 0 tenemos:. vw =. −Y Xh.XY h =1 |X 2 h||Y 2 h|. (3.4.2). y la singularidad es un seudoequilibrio para el campo deslizante. Si 0 < b < 1. vw =. −Y Xh.XY h <1 |X 2 h||Y 2 h|. 29. (3.4.3).

(40) 1.5. 150. 1. 100. 0.5. 50. 2. 1.5. 1. 0.5 0. 0. −0.5. −50. −1. −100. 0. 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. −0.5. 0. 5. (a). 10. 15. 20. 25. 30. (b). −1. 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. (c). Figura 3.3: Órbitas del ejemplo 3.4.1. a) Para b = −0,01 se tiene que las órbitas se estabilizan en la singularidad Teixeira. b) Para b = 0,05, las orbitas costuran infinitas veces alejandose de la singularidad. c) Para b = 0,2, las órbitas convergen a un ciclo límite próximo de la singularidad. en este caso las órbitas inician en la región de escape y costuran un número finito de veces antes de llegar a la región de deslice y las órbitas en la región deslizante cerca de la singularidad es repelida por ella. Si b < 0. vw =. −Y Xh.XY h >1 |X 2 h||Y 2 h|. (3.4.4). entonces las órbitas costuran infinitas veces alrededor de la singularidad (ver figura 3.3a).. 30.

(41) 1.9 1.8 1.7. x3. 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 0.5 0 −0.5 −1. −0.1. x2. 0.1. 0. 0.2. 0.3. x1. Figura 3.4: Orbitas de cruce para b = 0,2. Las órbitas que nacen cerca de la singularidad convergen hacia un ciclo límite.. 31.

(42) Capítulo 4 Controladores PID Los controladores PID son un tipo de control retroalimentados muy usados en la actualidad en el diseño de aparatos mecánicos eléctricos. Se trata de controladores que tiene tres componentes: el proporcional, el derivativo y el integral, cada una con una función específica. Como todos los controladores, su finalidad es la de estabilizar el sistema sobre una entrada de referencia. En la práctica, las entradas y las salidas tienen limitaciones, lo cual es de consideración en el sistema. Cuando el control llega a su límite decimos que el sistema es saturado y necesitamos ajustar el control modificando el sistema de manera discontinua. En este capítulo nosotros consideramos un sistema con controlador PID y límites de saturación. Para tal sistema estudiamos la presencia de la singularidad Teixeira.. 4.1.. Controladores PID. El algoritmo del control PID consiste de tres parámetros distintos: el proporcional, el integral y el derivativo. El valor proporcional depende del error actual, el integral depende de los errores pasados y el derivativo es una predicción de los errores futuros.. Control Proporcional Esta acción de control es proporcional al error de control actual, así tenemos: 32.

(43) u(t) = kp e(t) = kp (x1d (t) − x1 (t)). (4.1.1). donde u es el control, kp es la ganancia proporcional, e(t) es la señal de error; x1d es la señal de entrada y x1 es la señal de salida. El control proporcional implementa la operación típica de aumentar la variable de control cuando el error de control es grande.. Control Integral La acción integral es proporcional a la integral del error del sistema, es decir tenemos: ∫. ∞. u(t) = ki. e(τ )d(τ ). (4.1.2). 0. donde ki es la ganancia integral. Esta acción de control es proporcional a la integral de la señal de error, por lo que en este tipo de control la acción varía en función de la desviación de la salida y del tiempo en el que se mantiene esta desviación. El control integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en estado estacionario, provocado por perturbaciones exteriores y que no pueden ser corregidos por el control proporcional.. Control Derivativo La función de la acción derivativa es mantener el error al mínimo corrigiéndolo proporcionalmente con la misma velocidad que se produce; evitando así que el error se incremente. La acción derivativa se manifiesta cuando hay un cambio en el valor absoluto del error. La ley del control derivativo es: u(t) = kd e′ (t). (4.1.3). donde kd es la ganancia derivativa. El tiempo óptimo de acción derivativa es el que retorna la variable al punto de referencia con las mínimas oscilaciones. Cuando el tiempo de acción derivativa es grande, hay inestabilidad en el proceso. Cuando el tiempo 33.

(44) de acción derivada es pequeño la variable oscila demasiado con relación al punto de referencia.. Controladores PID Un controlador PID es un mecanismo de control por retroalimentación usado en sistemas de control; este calcula la desviación o error entre el valor medido y el valor de referencia. La aplicación de un controlador PID consiste en aplicar correctamente la suma de los tres tipos de acciones de control: un control proporcional, un control integral y un control derivativo. La ecuación de un controlador PID es: ∫. ∞. u(t) = kp e(t) + ki. e(τ )d(τ ) + kd e′ (t). (4.1.4). 0. Ejemplo 4.1.1. Considere el sistema x′′ − 2x′ + 3x = 0 observe que el sistema tiene un equilibrio x = 0 que no es estable. Con el propósito de estabilizar el sistema, introduciremos un control proporcional u(x) = kp x, y el sistema se convierte en: x′′ − 2x′ + 3x = kp x Los autovalores del sistema de control (4.1.5) son λ1,2 = 1 ± Si kp > 2, entonces x(t) = c1 e. (1+. √. kp −2)t. + c2 e. (1−. √. (4.1.5) √ kp − 2.. kp −2)t. Si kp = 2, entonces x(t) = c1 tet + c2 et Si kp < 2, entonces x(t) = et [c1 cos(. √ √ 2 − kp t) + c2 sen( 2 − kp t)]. En cualquier caso, se tiene un autovalor con parte real positiva. Por tanto, no existe control proporcional que estabilice el sistema. Ahora intentaremos encontrar un control derivativo que estabilice el sistema. Se propone u = kd x′ y se tiene: 34.

(45) x′′ − 2x′ + 3x = kd x′. (4.1.6). Los autovalores del sistema (4.1.6) son. λ1,2 =. (2 + kd ) ±. √. (2 + kd )2 − 12 2. Observemos que, cuando 2 + kd < 0, los autovalores tienen parte real negativa y por tanto el sistema (4.1.5) es estable.. 4.2.. Un controlador PID con límites de saturación. Consideramos una planta de segundo orden Gp(s) controlada por medio de un controlador PID, un actuador que satura el control de entrada superiormente y un ciclo de retroalimentación anti-rebote. kd s. x1d. + +. kp. u. x1. sat. Gp (s). −. −. 1 s. +. ki. ρ. Figura 4.1: Diagrama del sistema con control PID y con saturación. El sistema puede ser representado por una ecuación de la forma:. 35.

(46)   X(x) x′ =  Y (x). si. h(x) > 0;. si. h(x) < 0.. (4.2.1). donde x = (x1 , x2 , x3 ) y X(x1 , x2 , x3 ) =(x2 , −a1 x1 − a2 x2 + u(t), x1d − x1 ) Y (x1 , x2 , x3 ) =(x2 , −a1 x1 − a2 x2 + usat , ρ(usat − u(t)) h(x1 , x2 , x3 ) =usat − u(t) u(t) =kp (x1d − x1 ) − kd x2 + ki x3 La discontinuidad se presenta cuando el control de entrada u(t) alcanza el valor límite usat . Cuando u(t) < usat , el saturador no altera el control. Pero cuando u(t) > usat , el saturador devuelve usat , entonces el lazo de retroalimentación anti-rebote es activado y en lugar de integrar el error se integra ρh(x). Vamos a estudiar la existencia de la singularidad Teixeira en este tipo de sistemas de control retroalimentados. 1. Primero verificaremos la existencia de un punto de doble tangencia, es decir, buscamos un punto p tal que h(p) = Xh(p) = Y h(p) = 0. Tenemos h(x) = Usat − kp (x1d − x1 ) + kd x2 − ki x3. (4.2.2). y Xh(x1 , x2 , x3 ) = ⟨X(x1 , x2 , x3 ); ∇h(x1 , x2 , x3 )⟩ = ⟨(x2 ; −a1 x1 − a2 x2 + usat − hx ; x1d − x1 ); (kp ; kd ; −ki )⟩ = kp x2 − kd a1 x1 − kd a2 x2 + kd usat − kd h(x) − ki x1d + ki x1 = kp x2 − kd (a1 x1 + a2 x2 − usat ) − ki (x1d − x1 ). 36. (4.2.3).

(47) además Y h(x1 , x2 , x3 ) = ⟨Y (x1 , x2 , x3 ); ∇h(x1 , x2 , x3 )⟩ = ⟨(x2 ; −a1 x1 − a2 x2 + Usat ; ρh(x); (kp ; kd ; −ki )⟩. (4.2.4). = kp x2 − kd a1 x1 − kd a2 x2 + kd Usat − ki ρh(x) = kp x2 − kd (a1 x1 + a2 x2 − Usat ) − ki ρh(x). Igualando a cero estas ecuaciones tenemos usat − kp (x1d − x1 ) + kd x2 − ki x3 = 0 kp x2 − kd (a1 x1 + a2 x2 − usat ) − ki (x1d − x1 ) = 0 kp x2 − kd (a1 x1 + a2 x2 − usat ) − ki ρh(x) = 0 de donde se obtiene la siguiente solución. (4.2.5). x1 = x1 d usat − a1 x1d x2 = k d a2 kd − kp usat kd2 usat − a1 x1d x3 = + ki ki (a2 kd − kp ). 2. Ahora verificaremos que el punto de doble tangencia dado en (4.2.5) es una singularidad Teixeira. En el punto de doble tangencia tenemos. kp x2 − kd (a1 x1 + a2 x2 − usat ) − ki (x1d − x1 ) = 0 (−a1 x1 − a2 x2 + usat ) = − además. 37. k p x2 kd. (4.2.6).

(48) X 2 h(x1 , x2 , x3 ) = ⟨X(x1 , x2 , x3 ); ∇Xh(x1 , x2 , x3 )⟩ = ⟨(x2 ; −a1 x1 − a2 x2 + usat − hx ; x1d − x1 ); (−kd a1 + ki ; kp − kd a2 ; 0)⟩ = (−kd a1 + ki )(x2 ) + (kp − kd a2 )(−a1 x1 − a2 x2 + usat ). (4.2.7) Ahora, reemplazando la ecuación (4.2.6) en la ecuación (4.2.7) tenemos:. X 2 h(x1 , x2 , x3 ) = (. −a1 x1 − usat 2 )(kd a1 + kp2 − a2 kp kd − ki kd ) a2 kd − kp. (4.2.8). De manera similar. Y 2 h(x1 , x2 , x3 ) = ⟨Y (x1 , x2 , x3 ); ∇Y h(x1 , x2 , x3 )⟩ = ⟨(x2 ; −a1 x1 − a2 x2 + usat ; ρh(x)); (−kd a1 ; kp − kd a2 ; 0)⟩. (4.2.9). = (−kd a1 )(x2 ) + (kp − kd a2 )(−a1 x1 − a2 x2 + usat ). Reemplazando la ecuación (4.2.6) en la ecuación (4.2.9) tenemos. Y 2 h(x1 , x2 , x3 ) = (. a1 x1d − usat 2 )(kd a1 + kp2 − a2 kp kd ). a2 kd − kp. (4.2.10). Para que el punto de doble tangencia en la ecuación (4.2.5) sea una singularidad Teixeira se debe tener −a1 x1 − usat 2 )(kd a1 + kp2 − a2 kp kd − ki kd ) < 0 a2 kd − kp a1 x1d − usat 2 Y 2 h(x1 , x2 , x3 ) = ( )(kd a1 + kp2 − a2 kp kd ) > 0 a2 kd − kp. X 2 h(x1 , x2 , x3 ) = (. (4.2.11). Según A. Colombo (2010), las condiciones en la ecuación (4.2.11) son satisfechas para los siguientes valores de los parámetros 38.

(49) kp = −11,5 + 3k, kd = −3,25 + k, ki = −3,25 + 2k, k ∈ [4,1; 10], ρ ∈ [0,1; 0,5]. usat ∈ [0; 10). (a1 ; a2 ) = (10; 6),. x1d = 1. 3. Finalmente clasificamos la singularidad Teixeira según su tipo topológico. Se tiene. a1 x1d − usat 2 )(kd a1 + kp2 − a2 kp kd ) a2 kd − kp. (4.2.12). −a1 x1 − usat 2 )(kd a1 + kp2 − a2 kp kd − ki kd ) a2 kd − kp. (4.2.13). XY h(x1 , x2 , x3 ) = (. Y Xh(x1 , x2 , x3 ) = ( Por tanto. vw =. −Y Xh.XY h =1 |X 2 h||Y 2 h|. (4.2.14). Esto indica que la singularidad es un pseudoequilibrio para el campo deslizante, una situación altamente inestable.. 39.

(50) Conclusiones Primeramente hemos estudiado la singularidad doble tangencia cuadrática que sucede genéricamente en sistemas tridimensionales. Para la forma normal de Mike Jefrey, vemos que existen varios tipos topológicos de dinámicas, ahora comprendidas con bastante detalle. Aunque no hemos verificado como influyen los términos de orden mayor en la dinámica de la singularidad, posiblemente muestre escenarios de bifurcación. La singularidad doble tangencia cuadrática no sucede en sistemas de tipo SISO, por lo que no había sido observado anteriormente en sistemas de control con relé. Sin embargo, en el caso general, de sistemas del tipo MIMO, la singularidad está presente genéricamente por lo que es natural observarla. Este podría ser una situación peligrosa en la práctica. Se ha analizado un sistema de control con saturación, donde se ha visto la presencia de la singularidad Teixeira para algunos valores de los parámetros. Es interesante resaltar que en ese sistema, la singularidad Teixeira se presenta como un pseudoequilibrio, lo cual es una situación inestable.. 40.

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