TEMA I.7. Ondas en Tres Dimensiones. Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Departamento de Astronom´ıa Universidad de Guanajuato

DA-UG (M´exico) [email protected]

Divisi´on de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

Ondas en Tres Dimensiones

En la Figura I.7.1 se ven ondas circulares bidimensionales sobre la superficie del agua.

Estas ondas se generan mediante una fuente puntual que se mueve hacia arriba y hacia abajo con MAS. En este caso la longitud de onda es la distancia entre crestas de ondas sucesivas, que son conc´entricas, denominadas frentes de onda.

En el caso de un foco o fuente puntual de sonido, las ondas se miden en tres dimensiones. Se mueven alej´andose del foco en todas direcciones y los frentes de onda son ahora superficies esf´ericas conc´entricas. Para ondas circulares o esf´ericas, los rayos son l´ıneas radiales (ver Figura I.7.2).

A una distancia grande de un foco puntual, una parte peque˜na del frente de onda puede sustituirse aproximadamente por un plano y los rayos son aproximadamente l´ıneas paralelas; este tipo de onda se llamaonda plana.

Figura I.7.1:Frentes de onda circulares que divergen a partir de un foco puntual en una cubeta de ondas.

Ondas en fuentes puntuales

Figura I.7.2:El movimiento de los frentes de onda pueden representarse mediante rayos que se dibujan perpendiculares a los frentes de onda.

Un foco puntual emite ondas uniformemente en todas direcciones, la energ´ıa a una distancia r del mismo estar´a distribuida uniformemente sobre una corteza esf´erica de radio r y superficie 4πr². Si la potencia emitida por el foco es P, la potencia por unidad de ´area a una distancia r del foco ser´a P/(4πr²). La potencia media por unidad de ´area que esta incidiendo perpendicularmente a la direcci´on de propagaci´on se denominaIntensidad:

I = P_m

A Definici´on de Intensidad

Las unidades de la intensidad son vatios o watts por metro cuadrado. A una distancia r de un foco puntual, la intensidad vale:

I = P_m

4πr² Intensidad debida a un foco puntual

Ondas en fuentes puntuales

La intensidad var´ıa inversamente con el cuadrado de la distancia.

Existe una relaci´on entre la intensidad de una onda y la energ´ıa por unidad de volumen del medio por el que se propaga la onda. Consideremos la onda esf´erica que acaba de alcanzar el radio r1 (ver Figura I.7.3).

El volumen interior al radio r1 contiene energ´ıa debido a que las part´ıculas en esta regi´on est´an oscilando con MAS. La regi´on exterior a r1 no contiene energ´ıa porque las ondas todav´ıa no han alcanzado dicha regi´on.

Figura I.7.3:Volumen de la corteza = ∆V = A ∆r = A ν ∆t.

Ondas en fuentes puntuales

Despu´es de un intervalo de tiempo ∆t, la onda, en su movimiento, sobrepasa r1, en una distancia corta ∆r = ν∆t. La energ´ıa total en el medio se ve incrementada en la energ´ıa contenida en la corteza esf´erica de superficie A, de espesor ν∆t y volumen ∆V = A∆r = Aν∆t. La energ´ıa media de la corteza esf´erica es

(∆E )_m= η_m∆V = η_mAν∆t donde η_m es la densidad de energ´ıa media.

El incremento de energ´ıa por unidad de tiempo es la potencia que entra en la corteza. As´ı pues, la potencia media incidente es

P_m = (∆E )_m

∆t = η_mAν

Y la intensidad de las ondas es I = P_m

A = η_mν

Por lo tanto, la intensidad es igual al producto de la velocidad de la onda ν por la densidad de energ´ıa media η_m. Sustituyendo η_m = ¹₂ρω²s₀² en la expresi´on anterior resulta

I = η_mν = 1

2ρω²s₀²ν = 1 2

P₀² ρν

en donde se ha tenido en cuenta que s₀ = P₀/(ρων), o P₀ = ρωνs₀ m´axima amplitud de presi´on - m´axima amplitud de desplazamiento s₀. Este resultado es una propiedad general de las ondas arm´onicas.

Ondas Sonoras Arm´ onicas

Las ondas sonoras arm´onicas pueden generarse mediante un diapas´on o un altavoz que vibre con movimiento arm´onico simple. La fuente vibrante hace que las mol´eculas de aire pr´oximas oscilen con movimiento arm´onico simple alrededor de sus posiciones de equilibrio.

Estas mol´eculas chocan con otras mol´eculas primas haci´endolas oscilar y, por lo tanto, propagan la onda sonora. La ecuaci´on (y (x , t) =

A sen(κx − ωt)) describe una onda sonora arm´onica si la funci´on de onda y (x , t) se reemplaza por s(x , t), el desplazamiento de las mol´eculas respecto a su posici´on de equilibrio.

s(x , t) = s0sen(κx − ωt)

Estos desplazamientos se verifican a lo largo de la direcci´on del movimiento de la onda y dan lugar a variaciones de densidad y presi´on del aire.

Como la presi´on del gas es proporcional a su densidad, el cambio de presi´on es m´aximo cuando la variaci´on de densidad es m´axima. Cuando el desplazamiento es cero, los cambio de presi´on y densidad son m´aximos o m´ınimos. Cuando el desplazamiento es m´aximo o m´ınimo, los cambios de presi´on y densidad son nulos. Una onda de desplazamiento dada por la ecuaci´on anterior implica un onda de presi´on dada por

p = p₀sen

κx − ωt −π 2



donde p representa el cambio de presi´on respecto a la presi´on de equilibrio y p₀ es el valor m´aximo de este cambio.

Ondas Sonoras Arm´ onicas

Se puede demostrar que la m´axima amplitud de presi´on p0

est´a relacionada con la m´axima amplitud de desplazamiento s₀ por p0 = ρωνs0

en donde ν es la velocidad de propagaci´on y ρ la densidad de equilibrio del gas. As´ı, cuando una onda sonora se propaga con el tiempo, el

desplazamiento de las mol´eculas del aire, la presi´on y la densidad var´ıan todas ellas senosoidalmente con la frecuencia de la fuente vibrante.

Ejemplo: Un altavoz

El diafragma de un altavoz de 30 cm de di´ametro vibra con una frecuencia de 1 kHz y una amplitud de 0.020 mm. Suponiendo que las mol´eculas de aire pr´oximas al diafragma tienen esta misma amplitud de vibraci´on, determinar (a) la amplitud de la presi´on justo enfrente del diafragma, (b) la intensidad de sonora en esta posici´on, (c) la potencia ac´ustica irradiada, y (d) si el sonido se irradia uniformemente en la semiesfera anterior, determinar la intensidad a 5 m del altavoz.

(a) P₀ = ρωνs₀

=



1.29 kg m³



(2π[10³Hz]) 344m

s



(2 × 10⁻⁵m) = 55.1 N m²

Velocidad de una Onda Longitudinal

(b) I = ¹₂ρω²s₀²ν

= 1 2



1.29 kg m³



(2π[10³Hz])²(2 × 10⁻⁵m)²

 344m

s



= 3.46 W m² (c) P = IA

=

 3.45W

m²



π (0.15 m)² = 0.245 W (d) I = _2πr^Pm2

= Pm

2π(5 m)² = 1.56 × 10⁻³W m²

que var´ıa logar´ıtmicamente. Usaremos, por lo tanto, una escala logar´ıtmica para describir el nivel de intensidad de una onda sonora β, el cual se mide en decibelios (dB) y se define por

β = 10 log I I₀

Definici´on - Nivel de intensidad dB, en donde I es la intensidad f´ısica del sonido e I₀ es un nivel de referencia, que tomamos como umbral de audici´on:

I0 = 10⁻¹²W /m²

En esta escala, el umbral de audici´on es β = 10 log (_I^I

0) = 0 dB y el umbral de dolor (I = 1 W /m²) es β = 10 log (₁₀¹−12) = 10 log 10¹² = 120 dB. As´ı pues, el intervalo de intensidades f´ısicas de 10⁻¹² W /m² a 1 W /m² corresponden a un intervalo de niveles de sensaci´on sonora de 0 dB

Nivel de Intensidad

Ejemplo: Pruebas de Sonido

Un material absorbente del sonido aten´ua el nivel de sonoridad en 30 dB

¿En que factor disminuye la intensidad?

β = 10 log I I₀ 30 dB = 10 log (I

I₀) I = 10³I₀

Ejemplo: Ladrido de un perro

El ladrido de un perro tiene una potencia de 1 mW . (a) ¿Cu´al es le nivel de intensidad a una distancia de 5 m? (b) ¿Cu´al ser´a el nivel de intensidad de dos perros ladrando al mismo tiempo?

Soluci´on: (a) Sustituyendo en I = 10⁻³W

4π(5 m)² = 3.18 × 10⁻⁶W /m² obtenemos

β = 10 log I

I_o = 10 log3.18 × 10⁻⁶W /m²

10⁻¹²W /m² = 65 dB

Nivel de Intensidad

(b) N´otese que dos perros generaran 2I , sustituyendo β = 10 log I

I_o = 10 log2 I I_o β = 10 log(2) + 10 log I

I_o

β = 10 log(2) + 10 log3.18 × 10⁻⁶W /m² 10⁻¹²W /m² β = 10 log(2) + 65 dB = 3 dB + 65 dB = 68 dB

Ejercicio: Y s´ı ahora tenemos cuatro perros ladrando al mismo tiempo.

¿Qu´e parar´a?

Ejercicio: Una fuente puntual radia el sonido uniformemente en todas direcciones, y a una distancia de 10 m se tiene una intensidad de I = 10⁻⁴ W /m². ¿A qu´e distancia de la fuente la intensidad es de 10⁻⁶ W /m²?

¿Qu´e potencia est´a radiando dicha fuente?

Nivel de Intensidad

Fuente I /I0 dB Descripci´on

10⁰ 0 Umbral de audici´on Respiraci´on normal 10¹ 10 Escasamente audible

Rumor de hojas 10² 20

Conversaci´on en voz muy 10³ 30 Apenas ruidoso baja (a 5 m)

Biblioteca 10⁴ 40

Oficina tranquila 10⁵ 50 Poco ruidoso Conversaci´on normal (a 1 m) 10⁶ 60

Tr´afico denso 10⁷ 70

Oficina ruidosa con m´aquinas; 10⁸ 80 Fabrica de tipo medio

Cami´on pesado (a 15 m); 10⁹ 90 Exposici´on constante Cataratas del Ni´agra da˜na al o´ıdo Tren de metro antiguo 10¹⁰ 100

Ruido de construcci´on (a 3 m) 10¹¹ 110 Umbral del dolor Concierto de rock con 10¹² 120

amplificadores (a 2 m)

Remachadora neum´atica; 10¹³ 130 Ametralladora

Despegue de un reactor (cercano) 10¹⁵ 150 Motor de cohete grande (cercano) 10¹⁸ 180