TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA (Oposiciones de Enseñanza Secundaria) TEMA 7

TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA (Oposiciones de Enseñanza Secundaria)

--- TEMA 7

DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. MOMENTO LINEAL Y ANGULAR. PRINCIPIOS DE CONSERVACIÓN. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. RELACIÓN TRABAJO-ENERGÍA.

Esquema

1. Sistema de partículas materiales.

2. Dinámica de un sistema de partículas.

2.1. Fuerzas internas y externas.

2.1.1. Sistema de dos partículas. Masa reducida.

2.2. Centro de masa.

2.2.1. Componentes del Centro de Masa. (C.M.).

2.2.2. Cálculos de centros de masa.

2.2.2.1. Métodos geométricos.

2.2.2.2. Teoremas de Pappus-Guldin.

2.3. Movimiento del centro de masa.

3. Momento Lineal de un sistema de partículas.

3.1. Definición de Momento Lineal de un sistema de partículas.

3.2. Principio de conservación del Momento Lineal.

3.3. Sistema de referencia en el Centro de Masa.

4. Momento Angular de un sistema de partículas.

4.1. Definición de Momento Angular de un sistema de partículas.

4.2. Variación del Momento Angular.

4.3. Principio de conservación del Momento Angular.

4.4. Momento Angular referido al Centro de Masa.

4.5. Momento Angular de un sistema de dos partículas.

5. Energía de un sistema de partículas.

5.1. Energía Cinética. Teorema de König.

5.2. Trabajo efectuado sobre el sistema.

5.3. Energía Potencial.

5.4. Energía total. Principio de conservación de la energía.

6. Sistemas de partículas de interés especial.

6.1. Estudio del choque de dos partículas.

6.1.1. Choques elástico e inelástico 6.1.2. Coeficiente de restitución.

6.2. Estudio del choque frontal.

2/22

TEMA 7

DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. MOMENTO LINEAL Y ANGULAR. PRINCIPIOS DE CONSERVACIÓN. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. RELACIÓN TRABAJO-ENERGÍA.

1. SISTEMA DE PARTÍCULAS MATERIALES

La dinámica de la partícula estudia el movimiento de la partícula considerando a ésta como un ente separado del resto del universo, y éste, a su vez, queda representado o reducido a una fuerza o a una energía potencial que depende únicamente de las coorde- nadas de la partícula.

Sin embargo, los sistemas físicos reales son conjuntos de partículas materiales que interaccionan entre sí, con fuerzas internas de diversa naturaleza, y que además están sometidos a fuerzas externas producidas por el resto del universo o entorno.

La dinámica de los sistemas de partículas estudia el movimiento de las N partí- culas constituyentes, de masas m_i (m₁, m₂, m₃,…, m_n), que se suponen constantes y so- metidas a fuerzas internas tales que:

a) Si las partículas poseen una posición relativa fija, debido a unas fuerzas internas de ligadura fuertes, tendremos un sólido rígido. Consideraremos como sólido rígido un sólido cristalino, cuyas moléculas, átomos o iones se atraen fuertemente y mantie- nen una estructura rígida e indeformable.

b) Si las partículas pueden variar sus posiciones relativas, debido a unas fuerzas débi- les, tendremos un líquido o un gas. Las fuerzas son débiles para mantener una es- tructura rígida, pero fuertes para permitir la separación excesiva de las moléculas.

No líquidos no poseen forma pero sí poseen volumen.

c) Si no existen fuerzas internas apreciables entre las partículas tendremos un sistema de partículas libres. Los gases constituyen un ejemplo claro de partículas (casi) li- bres, porque aún mantienen entre sus moléculas una ciertas fuerzas de cohesión.

El sólido rígido y el sistema de partículas libres son dos situaciones extremas e ideales de la realidad física, y que corresponden a fuerzas internas infinitas o nulas.

Como sólidos rígidos consideraremos a cuerpos cuyas dimensiones son comparables a las trayectorias que describen sus puntos constituyentes, como por ejemplo, la Tierra en su movimiento de rotación alrededor de su eje, en caso contrario el sólido puede ser considerado como punto material, por ejemplo, la Tierra en su movimiento de traslación alrededor del Sol.

El movimiento de un sistema de partículas materiales puede ser muy complejo por el número de partículas que lo constituyen. En general decimos que hay movimiento si, al menos, una coordenada de alguna de sus partículas, varía con el tiempo. Según esto, los movimientos pueden clasificarse en: Traslación, Rotación y Deformación.

El objetivo del presente tema será generalizar los conceptos de momento lineal, momento angular y energía, para un sistema de partículas materiales, estableciendo las condiciones de las leyes de conservación.

2. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 2.1. Fuerzas Internas y Externas.

Supongamos un sistema de n partículas de masas m1, m2, m3,…, mn y vectores de posiciónrr₁

, rr₂ , rr₃

,…rr_n

. El sistema es cerrado, es decir, la masa permanece constante y se cumplen las leyes de la mecánica newtoniana para cada partícula individual.

Una partícula i ejerce una fuerza F_ij r

sobre otra par- tícula j del sistema y esta partícula j ejerce a su vez sobre i otra fuerza Fr_ji

, igual y opuesta a la anterior (principio de acción y reacción), tal que:

Frij

= Fr_ji

−

Considerando lo anterior, llamaremos Fr_I(i)

a la re- sultante de todas las fuerzas internas que actúan sobre la partícula i, correspondientes a las n-1 partículas restantes:

Pero el sistema no está aislado, de forma que cada partícula i está sometida a un conjunto de fuerzas externas, cuya resultante denominaremos Fr_{E( i)}

. Por tanto, para cada partícula i, la ecuación general del movimiento será:

i i i E i

I F m a

Fr r r

= + () )

( (1)

La ecuación generalizada a todo el sistema de partículas será:

∑ ∑ ∑

= = =

=

n +

i

n

i

n

i i i i

E i

I F ma

F

1 1 1

) ( )

(

r r

r (2)

2.1.1. Sistema de dos partículas. Masa reducida.

Consideremos el caso de dos partículas sometidas solamente a su interacción mutua, es decir, no actúa ninguna fuerza externa sobre ellas, tal como se muestra en la Fig.2. Tal es el caso de sistemas materiales binarios como protón-electrón de un átomo de hidrógeno, el sistema Tierra-Luna, el sistema Tierra-satélite o los sistemas de estre- llas binarias. Las fuerzas mutuas del sistema cumplen la Tercera Ley de Newton, de

forma que Fr₁₂ Fr₂₁

−

=

La ecuación del movimiento de cada partícula respecto a un observador inercial O será:

dt v m d F_{12 1} ¹

r r

= ,

dt v m d F_{21 2} ²

r r

= que podemos escribir de la forma siguiente:

dt v d m

F ₁

1 12

r r

= ,

dt v d m

F ₂

2 21

r r

=

y restando ambas expresiones entre sí, resulta: ^{FIG. 2} dt

v d dt

v d m F m

Fr₁₂ r₂₁ r₁ r₂

−

=

−

4/22

Como Fr₁₂ Fr₂₁

−

= , si llamamos Fr =

21

12 F

Fr r

−

= sustituyendo en la expresión ant e- rior, tendremos:

dt v d dt

v d m

F m

F _{1 2}

2 1

r r r

r

−

=

+ à

(

)

2 1

1

1 v v

dt d m

Fr m r r

−

=

 

 +

Si introducimos una magnitud llamada masa reducida del sistema de partículas, a la que designaremos con µ y la definimos como:

2 1

2 1 2 1

1 1 1

m m

m m m m

= + +

µ= à

2 1

2 1

m m

m m

= +

µ (3)

sustituyendo en la anterior nos queda:

(

)

1 v

dt v d dt v

Fr d r r r

=

−

=

⋅µ pero vr₁ vr₂

− es la velocidad de m₁ respecto de m₂, es decir vr₁₂

y por tanto, la derivada dvr₁₂

/dt es la aceleración de m1 respecto a m2, a la que llamaremos ar_r

. La expresión queda finalmente:

ar

Fr r

=

⋅µ

1 à Fr ar_r

µ.

= (4)

Este resultado expresa el hecho de que el movimiento relativo de dos partículas sujetas únicamente a una interacción mutua, es equivalente al movimiento de una sola partícula de masa igual a la masa reducida del sistema, bajo una fuerza igual a la fuer- za de interacción de ambas partículas.

Debemos tener en cuenta el caso particular de que las dos masas sean iguales:

m m

m1= 2 = entonces:

2 2

. ²

2 1

2

1 m

m m m m

m m m

m m

m = =

= +

= + µ

es decir, la masa reducida será la mitas de cada una (es el caso de dos protones interac- tuando entre sí).

En el caso particular de que una de las masas sea mucho menor que la otra, por ejemplo: m1«m2, dividiendo la masa reducida por la mayor m2, nos queda:

2 1 1

1 m

m m +

=

µ y si aproximamos por desarrollo en serie: ₁

2 1

1 1 m

m

m m ≈





−

= µ

por tanto podemos hacerla equivaler a la masa del cuerpo más ligero. Este sería el caso de un satélite artificial en su interacción alrededor de la Tierra.

Sea el caso de que las dos partículas interactuantes estén sometidas además a fuer- zas externas, que llamaremos Fr_E1

y Fr_E2

, aplicando la 2ª ley de Newton a cada una:

dt p F d

F_{E1 12} ¹ r r

r + = y

dt p F d

F_{E2 21} ² r r

r + =

y sumando:

dt p d dt

p F d F F

F_{E1 E2 12 21} ^{1 2}

r r r

r r

r + + + = +

y aplicando la tercera ley de Newton, (Fr₁₂ Fr₂₁

−

= ), nos quedará:

(

)

2

1 p p

dt F d

Fr_E r_E r r +

= +

Si llamamos Fr_E Fr_E1 Fr_E2 +

= y pr pr₁ pr₂ +

= tendremos que:

dt p F_E d

r r

= (5)

expresión idéntica a la obtenida en la Segunda Ley de Newton para una sola partícula.

2.2. Centro de Masa.

2.2.1. Componentes del Centro de Masa (C.M.).

Sabemos que un sistema de partículas obedece la ley de conservación de la masa, es decir: M=Σmi=cte, por lo que se puede simplificar el sistema de partículas reducié n- dolo a una sola partícula de masa M, localizada en un punto singular que llamaremos Centro de Masa (C.M.) del sistema de partículas.

Supongamos un sistema de N partículas, tal como se muestra en la Fig.3. Para cualquier partícula i se cumplirá la 2ª ley de Newton:

2 2

dt r m d a m

F_{i i i i} ⁱ r r

r = =

y para la totalidad de las partículas:

∑ ∑

∑

=

=

= ^N

i

N

i

i i i

i N

i

i dt

r m d a

m F

F

1 1

2 2

1

r r r

r

que la podemos expresar así:

∑

=

= ^N

i i ir dt m

F d

1 2

2 r

r

(6) Considerando la definición de Centro de Masa, y aplicando la 2ª ley de Newton:

(

)

CN M r

dt d dt

r M d

Fr r r

2 .

2 2

2

=

= (7)

e igualando (6) y (7) tendremos que:

CM N

i i

ir M r

m r r

.

1

∑

=

à

∑ ∑

∑

=

i i i i

i

CM m

r m M

r r m

r r r

(8) De acuerdo con esta definición, el Centro de Masa es independiente del sistema de referencia y sólo depende de las masas de las partículas y de sus posiciones respec- tivas.

Sus coordenadas cartesianas serán:

( )

∑ ∑

= +

+

=

i i i i i CM

CM CM

CM m

k z j y i x k m

X j Y i X r

r r r r

r r r

y desglosada:

∑ ∑

=

i i i

CM m

x

X m

∑ ∑

=

i i i

CM m

y Y m

∑ ∑

=

i i i

CM m

z

Z m (9)

Si consideramos un cuerpo compuesto por un gran número de partículas, muy compacto, podemos suponer que su estructura es continua (sólido). Si ρ es su densidad y tomamos un elemento de volumen dV, su masa será dm=ρdV, debemos sustituir en las expresiones anteriores de las coordenadas del Centro de Masa, los sumatorios por las integrales y las masas por los elementos de masa, o sea:

6/22

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

= dV

dV x dV

dV x dm

dm

X_CM x .

. . . .

ρ

ρ

∫ ∫

= dV dV Y_CM y.

∫ ∫

= dV dV Z_CM z.

(10) En cuerpos fundamentalmente planos donde una dimensión sea despreciable frente a las otras dos, las expresiones quedarán reducidas a:

∫ ∫

= dS

dS x X_CM .

∫ ∫

= dS

dS y Y_CM .

y en cuerpos de carácter lineal, donde sólo predomine una dimensión frente a las otras dos, el Centro de Masa vendrá dado por:

∫ ∫

= dL

dL x X_CM .

2.2.2. Cálculos de Centros de Masa.

2.2.2.1. Métodos Geométricos.

Cuando el cuerpo presenta alguna simetría, el cálculo se simplifica porque el Centro de Masa debe estar en el elemento de simetría sea centro, eje o plano de simetría.

Algunos ejemplos de esto lo podemos ver en el siguiente esquema:

Veamos algunos ejemplos de cálculos de Centros de masa:

Dos masas puntuales idénticas. El Centro de Masa del sistema se encuentra en el punto medio del segmento que une ambos puntos.

Dos masas puntuales distintas. Tomando como eje X el segmento que une ambos puntos materiales de ma- sas m1 y m2 y tomando la primera de ellas como origen de coordenadas resultará:

m L m

m m

m OA X_CM m

2 1

2 2

1 2.

= +

= +

y las otras coordenadas serían evidentemente: YCM =ZCM =0

Tres masas puntuales idénticas no situadas en línea recta. Sean las tres masas m1, m2 y m3 no situadas en la misma recta, como se indica en la Fig.6. Consideremos en primer lugar las masas m2 y m3 cuyo centro de masa se encontrará en el punto C, centro de la línea que las une, por lo que ambas masas puntuales se sustituyen por una masa puntual de masa (m2 y m3) situada en C. Esta masa, junto con la masa m1 constituye un nuevo sistema de dos masas diferentes (una doble de la otra) y el C.M. del sistema se encontrará en la línea que une el punto C con la masa m₁ y a una distancia de C que vendrá dada por:

(

)

d 3

1

1 3

3 2

1 = =

+

= +

o sea, el Centro de Masa se encuentra en la mediana del triángulo formado por las tres masas iguales, a distancia de dos tercios del vértice y a un tercio del lado opues- to. Este punto es el baricentro del triángulo.

Sistema continuo en forma de barra cilíndrica o prismática de longitud L. Situa- mos la barra en el eje X del sistema coordenado y la dividimos en elementos de masa dm por cortes perpendiculares al eje X.

Consideremos el elemento dm situado a la distancia x del origen (extremo de la barra) y de espesor dx. El elemento de masa es: dm=ρ.dV =ρ.S.dx

siendo S la sección constante del elemento (sección de la barra):

0 2 2 1 2

. 1 . 1

. 1 1

0

2

0 2 0

L L

L x

dx L L x

dx S SL x dm M x

X ^L

L L

CM =



 



 −

 =



 



= 

=

=

=

∫

∫

∫

es decir, el Centro de Masa se encuentra en el punto medio de la barra.

Sistema continuo en forma de triángulo rectán- gulo isósceles. Situamos en triángulo sobre el sistema coordenado, con sus catetos sobre los ejes X-Y. Elegi- mos un elemento de masa dm, de longitud x, paralelo al eje X, de espesor dy y situado a distancia y del origen, por lo que podemos escribir

dy x dS= .

y sustituyendo en la expresión del centro de masa, para la coordenada y, (por razones de simetría, la coordena- da X se calcula de igual modo), tendremos:

8/22

^{CM =}

_∫

_∫

_∫ (

)

_∫

(

)

dy S y y S A

dy S yx S ydS

Y

0

2 ...

. 1 . 1

1 1

3 6 2 6

2 2 3

3 2 2 3

2 2 ... 1

3 3

2 0 3 2 2

A A A

A A A y

Ay A

A

=

=

 

=  −



 



 −

 =



 



 −

=

Análogamente para la coordenada Xcm se seguirá un procedimiento semejante y resultará: X_CM =A3 y ZCM =0

2.2.2.2. Teoremas de Pappus-Guldin.

Estos teoremas son aplicables exclusivamente a la determinación del Centro de Masa de distribuciones continuas y homogéneas de masa. En estos casos, el Centro de Masa se llama Centroide y su posición depende de la geometría del cuerpo.

El primer teorema de Pappus-Guldin, se enuncia: “El área S de la superficie que engendra una curva plana al girar alrededor de un eje situado en su plano y que no la corta, es igual al producto de la longitud s de la curva, por la longitud L de la circunfe- rencia descrita por su centro de masa (centroide)”.

La curva plana de la Fig.9, al girar alrededor del eje x engendra una superficie S para cuya determinación se considera el elemento longitud de la curva ds, que al girar genera un cilindro elemental de superficie dS

ds y

dS =2π. . à ^{S =2π}

∫

∫

y la longitud L de la circunferencia descrita por el centroi-

de o Centro de Masa, viene dada por: L=2πYCM FIG. 9

y de acuerdo con la definición de Centro de Masa:

S ds y ds

ds y

Y_CM

∫

∫ ∫

= . .

y sustituyendo

s Y_CM S

π

= 2 à S=2π.Y_CM.s=L.s El Segundo Teorema de Pappus-Guldin, se enuncia: “El volumen V engendrado por una superficie plana al girar alrededor de un eje que le es coplanario y no la corta, es igual al producto de su área S por la longitud L de la circunferencia de su Centro de Masa (centroide)”.

La superficie plana representada en la Fig.10, al girar alrededor del eje X, que le es coplanario, engendra un volumen que se puede determinar considerando el elemento de área d²S=dx.dy, a distancia y del eje X y cuyo volumen será: dV=2π·y.dS

y el volumen total engendrado será:

∫

= S yds

V 2π . à

∫

y como la longitud de la circunferencia descrita por el centroide es:

L=2π.YCM

de acuerdo con la definición de centro de masa (centroide) tendremos:

S ds y ds

ds

Y_CM y

∫

∫ ∫

= . .

y sustituyendo

S Y_CM V

π

= 2 à V =2πY_CM.S=L.S

2.3. Movimiento del Centro de Masa.

Las fuerzas totales (internas y externas) que actúan sobre un sistema de partículas, según vimos anteriormente, viene dada por:

∑

∑

∑

∑

= F_i F_Ei F_{I i} m_ia_i

Fr r r r r

) ( )

(

Como sabemos que la resultante de las fuerzas internas en el total del sistema de partículas, al aplicar la Tercera Ley de Newton, es nula, ya que Fr_ij Fr_ji

−

= , no intervie- nen en el movimiento del sistema como conjunto, luego:

∑

∑

∑

= F_i F_{E i} m_ia_i

Fr r r r

) (

y desarrollando esta expresión tendremos:

∑

∑

= _i ⁱ _{i i CM} ^CM M a_CM

dt r M d r

dt M r d dt m

d dt

r m d

F r r

r r r

s

. .

. ₂

2 2

2 2

2 2 2

(11) luego el sistema se comporta como una sola partícula de masa total M, (suma de las masas de las partículas) y sometida a la resultante de las fuerzas externas al sistema.

Los principios de la Dinámica del punto, se aplican pues, tanto a puntos materia- les como a sistemas de puntos y a sólidos extensos, considerando en éstos, su Centro de Masa. Si el movimiento de estos sistemas es de traslación, el procedimiento es correcto ya que los sistemas no puntuales son considerados puntuales cuando su masa se consi- dera concentrada en el centro de masa sometida a la fuerza externa resultante. El con- cepto de Centro de Masa simplifica los problemas de la dinámica de los sistemas de partículas, a un problema de dinámica del punto, mucho más sencillo de resolver.

3. MOMENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 3.1. Definición de momento Lineal de un sistema de partículas.

El Momento Lineal (o Cantidad de Movimiento) de un sistema de partículas es la suma vectorial de los momentos lineales de cada una de las partículas que constituyen el sistema:

siendo: pr_i m_ivr_i

= resultará ^pr=

∑

∑

y si consideramos que vr_i drr_i/dt

= sustituyendo y desarrollando:

∑

∑

= CM

CM CM

i i

i Mv

dt r M d r

dtM r d dt m

d dt

r m d

p r r

r r r

r ¹ . . . (12)

lo que se expresa diciendo que: El Momento Lineal de un sistema de partículas es igual al producto de la masa total del sistema por la velocidad de su centro de masa, lo que llamaremos Momento Lineal del Centro de Masa.

Si derivamos la expresión anterior para una masa constante, resultará:

( )

CM

CM Ma F

dt v M d v

dt M d dt

p

d r r r

r r

=

=

=

= . . . (13)

10/ 22

es decir, el momento lineal de un sistema de partículas sólo se modifica por la acción de las fuerzas externas actuantes.

3.2. Principio de conservación del Momento Lineal.

En el caso de que las fuerzas externas sean nulas o den resultante nula:

=0 FrE

à =0 dt

p dr

à pr=cte

(14) lo que constituye el Principio de Conservación del Momento Lineal, que se pude enunciar diciendo que en todo sistema aislado (no sometido a fuerzas externas), el Mo- mento Lineal se conserva.

Como ejemplo de aplicación del Principio de Conservación, consideremos el sis- tema formado por dos partículas de masas m1 y m2, con velocidades iniciales vr₁

y vr₂ respectivamente, que interaccionan entre sí, tras lo cual adquieren unas velocidades fi- nales vr'₁

y vr'₂

. Como la interacción mutua entre ellas es exclusivamente debida a fue r- zas internas, el sistema es aislado, luego Fr_E =0

y por tanto pr_i pr_f

= luego '

' _{2 2}

1 1 2 2 1

1v m v m v m v

m r r r r

+

= +

ejemplo de esta situación dinámica es el choque de dos partículas, debido al cual cam- bian sus velocidades y sus direcciones y por tanto sus momentos lineales individuales sin que varíe el momento lineal total. De la ecuación anterior:

(

)

(

)

1 v ' v m v ' v

m r r r r

−

−

=

− à m₁. vr₁ m₂. vr₂

∆

−

=

∆ si una partícula experimenta una variación de su velocidad vr₁

∆ la otra partícula experi- mentará una variación ∆v₂ de sentido opuesto, inversamente proporcional a las masas de las respectivas partículas, tal que se cumple la expresión

1 2 2 1

m m v v =

∆

− ∆r

Si las partículas están inicialmente en reposo vr₁ =vr₂ =0

se deduce:

' '

0 m₁vr₁ m₂vr₂ +

= o sea ' ₂'

1 2

1 v

m

vs m r

⋅

−

=

y como ejemplo de esta situación podemos poner el retroceso de un arma de fuego al disparar, donde el arma y el proyectil se mueven con velocidades opuestas según expre- sa la última ecuación.

3.3. Sistema de Referencia en el Centro de Masa.

Los momentos lineales estudiados en el sistema de partículas, están referidos a un sistema de referencia inercial ligado a Tierra (sistema laboratorio), aunque no hemos hecho mención expresa de ello. Desde otros sistemas inerciales, las velocidades y los momentos lineales serían distintos aunque se seguirían cumpliendo el Teorema del Momento lineal y su Principio de Conservación.

Si tomamos como referencia un sistema coordenado con origen en el Centro de Masa, el sistema de partículas permanecerá en reposo ya que la velocidad del centro de Masa será nula respecto de él mimo lo que significa que su momento Lineal es cero.

Es importante relacionar el movimiento del sistema de partículas respecto de un referencial inercial ligado a la Tierra (sistema laboratorio) con el movimiento del mismo sistema respecto a un referencial centrado en el centro de masa (sistema C.M.), para lo cual, consideraremos el caso sencillo formado por dos masas m1 y m2, de velocidades v₁ y vr₂

que constituyen un sistema de dos partículas de masa total M=m1+m2 y cuyo cen- tro de masa tiene una velocidad vr_cm

tal que:

(

)

v m v

m r r r

2 1 2 2 1

1 + = +

de donde:

2 1

2 2 1 1

m m

v m v v_CM m

+

= +

r r r

Para el sistema referido al Centro de Masa (sistema C.M.), las velocidades serán. vr₁'

y vr₂' . Por tanto se cumplirán:

vCM

v vr r r

−

= ₁

1' y vr vr vr_CM

−

= ₂

2'

y los momentos serán: pr pr mvr_CM

1 1

1'= − y pr pr m vr_CM

2 2

2'= −

y sumando miembro a miembro:

CM

CM m v

v m p p p

pr r r r r r

2 1

2 1 2

1'+ '= + − − à pr pr pr pr m m vr_CM ) (

'

' _{2 1 2 1 2}

1+ = + − −

como: pr₁ pr₂ m₁vr₁ m₂vr₂ +

=

+ sustituyendo resultará:

vCM

m m v m v m p

pr r r r r

) (

'

' _{2 1 1 2 2 1 2}

1 + = + − −

y sustituyendo vr_cm

por su valor, nos queda finalmente: pr₁'+pr₂'=0

luego podemos decir que “el momento lineal de un sistema de partículas respecto al sistema Centro de Masa, es siempre nulo”.

4. MOMENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 4.1. Definición del Momento Angular de un Sistema de Partículas.

El Momento Angular (o Momento Cinético) para una partícula se define como el Momento de su Momento Lineal, o sea:

v m r p r

Lr r r r r

∧

=

∧

=

Para un sistema de partículas, el Momento Angular será la suma vectorial de los momentos angulares de sus partículas componentes:

∑

∑

∑

= L_i r_i p_i r_i m_iv_i

Lr r r r r r

(15) 4.2. Variación del Momento Angular.

Este concepto tiene una importancia fundamental cuando el sistema posee movi- miento de rotación por la actuación de Momentos de Fuerza sobre las partículas del sis- tema. La acción de momentos de fuerzas externas produce variación de los momentos angulares de las partículas, lo que se manifiesta como una variación del momento an- gular total del sistema.

La variación del Momento Angular del sistema se obtiene derivando la expresión anterior:

( _∑ ) _{∑ ∑} ^{( )}



 

 ∧

+



 



 ∧

=

∧

= ...

dt v m r d

v dt m

r v d

m dt r

d dt

L

d _{i i}

i i

i i i

i i

r r r r

r r r

12/ 22

[ ] _∑ ( ) _∑ ( ) _∑

∑

∑

= r m a r F M M

dt v m d r v

m

v_{i i i i i} ⁱ _{i i i i i i}

r r r r

r r r

r r

r 0

...

Resultando finalmente que: M

dt L dr r

= (16)

El primer término de la derivada es cero porque se trata de dos vectores paralelos, con producto vectorial nulo. El segundo término es la suma de los momentos que actúan sobre cada partícula, es decir, el Momento de Fuerza resultante.

En este Momento de Fuerza, se incluyen las fuerzas internas y externas, es decir:

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

∑

∑

∑

∑

∑

= Mi ri Fi ri FEi FIi ri FEi ri FIi

Mr r r r r r r r r r r

pero el término correspondiente a las fuerzas internas es nulo, como podemos demostrar tomando sólo dos partículas i y j del sistema y considerando las fuerzas internas que

actúan entre ellas: F_ij F_ji F

r r

r =− =

y los vectores de posición de ambas partículas cumplirán: rr rr_i rr_j

−

= siendo rr

el vector de posición de una partícula respecto de la otra. La suma de los mo- mentos de las dos fuerzas internas será:

(

)

=

∧

−

∧

=

∧ +

∧F r F r F r F r r F r F

rr_i r_ij r_j r_ji r_i r_ij r_j r_ij r_i r_j r r r Por tanto nos queda para la ecuación anterior del Momento:

( )

∑

∑

= dt

L M d

F r

M _{i Ei Ei}

r r r r

r

: (17)

de forma que podemos decir que son las fuerzas externas las únicas que producen va- riación del Momento Angular del sistema.

4.3. Principio de Conservación del Momento Angular.

Si el sistema de partículas no está sometido a ninguna fuerza externa, o las fuerzas externas actuantes producen un momento nulo, la variación del Momento Angular será nula, luego el Momento Angular se mantendrá constante

=0 Mr

y =0 dt

L dr

resulta Lr=cte

(18) lo que constituye el Principio de Conservación del Momento Angular, que se puede enunciar diciendo que si un sistema de partículas no se encuentra sometido a momento externo alguno, el Momento Angular se conserva. Esto significa que si una partícula experimenta una variación del momento angular, el resto del sistema debe sufrir una variación igual y opuesta de su momento angular.

4.4. Momento Angular referido al Centro de Masa.

Al igual que hicimos con el momento lineal podemos referir el Momento Angular del sistema de partículas res- pecto de un sistema de referencia centrado en el Centro de Masa. Consideremos una partícula i, de vector de posición

rri

, como se indica en la Fig.12. Se deduce:

CM i

i r r

rr =r'+r donde rr_i'

es el vector de posición de la misma partícula i referido al sistema Centro de Masa.

Derivando respecto del tiempo:

dt r d dt

r d dt

r

dr_i r_i r_CM +

= '

o sea vr_i vr_i vr_CM +

= ' (20)

donde vr_i y vr_CM

son las velocidades de la partícula y del centro de masa, referidas al sistema laboratorio y vr_i'

es la velocidad de la partícula referida al sistema de referencia del centro de masa.

Sustituyendo estas expresiones de rr_i y vr_i

en la ecuación (15) de definición del Momento Angular del sistema de partículas, tendremos:

( ) ( )

(

)

=

∑

Lr r r r r

( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( )

∑

= rr_i m_ivr_i rr_CM m_ivr_CM rr_i m_ivr_CM rr_CM m_ivr_i '

' '

... (21)

El primer término es el momento angular del sistema de partículas respecto al sistema de referencia en el Centro de Masa.

El segundo término:

(

)

(

)

.

. = ∧

∧

=

∑

∑

es el momento angular de la masa total del sistema localizado en el Centro de Masa con respecto al sistema laboratorio.

El tercer término:

∑ (

)

∑ (

)

que define el centro de masa referido al sistema del centro de masa, que es nulo por definición.

El cuarto término:

( ) _∑ ( _∑ )

∑

es nulo por la misma razón que el tercer término.

Por lo tanto, la expresión (21) quedará al final así:

(

)

Lr r r r r

. '

'∧ + ∧

=

∑

de forma que el Momento Angular total del sistema de partículas respecto al sistema laboratorio es igual al momento angular respecto del sistema centro de masa más el momento angular de la masa total del sistema localizada en el centro de masa, respecto del sistema laboratorio.

Una consecuencia que se deduce de la expresión anterior es que si el Centro de Masa del sistema tiene velocidad cero vr_CM =0

respecto del sistema laboratorio (sistema de partículas en reposo), el momento angular respecto de este sistema es nulo y el Mo- mento Angular Total del sistema de partículas es sólo el momento angular respecto del centro de masa, o sea, es independiente de cualquier sistema referencial externo.

4.5. Momento Angular de un sistema de dos partículas.

Supongamos un sistema formado por dos partículas de especial interés en la Natu- raleza, como Sol-Planeta, Núcleo-Electrón, estrellas binarias, etc. El sistema de dos par- tículas gira, generalmente alrededor de su centro de masa, con velocidad angular ω.

14/ 22

Las fuerzas centrípetas a que están sometidas ambas partículas son las siguientes:

Masa grande: Fr_c =M.ω².x Masa pequeña: ^Frc =^m.ω².

(

)

y como deben ser iguales por la tercera ley de

Newton: ^{FIG. 13}

(

)

m x

M.ω². = .ω² − x

m r m x

M. = . − . à M.x+m.x=m.r à r m M x m

= + El momento angular para cada partícula será:

Masa grande: Lr_g xr M vr_g

∧ .

= Lr_g =x.M.v_g =x.M.ω.x=M.ω.x² Masa pequeña: Lrp

(

)

∧ .

−

= ^Lrp =

(

)

(

)

y el momento angular total será: ^{L=M.ω.x2 +m.ω.}

(

)

y sustituyendo el valor de x calculado anteriormente e introduciendo el término de masa reducida tendremos:

( )









 



 





− + + +

= ω

2 2

2 2

mr M r m m r m M M m

L …

...=

( )









 



 





− + + + +

+ ω

2 2

2 2 2

m M

m m

M m mr M

r m M

M m …

…=

( ) ( )

( )

( )

2 2 2

2 2

. .

. r r

m M

m M M

m r m M

m M m

M r m M m M

r

M m =

= + + +

 =



 





+ + +

es decir, el sistema de dos partículas queda reducido a un punto de masa µ (masa redu- cida del sistema) y situada a la distancia r del punto alrededor del cual gira con velo- cidad angular ω.

5. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS.

5.1. Energía Cinética. Teorema de König.

La energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas que constituyen el sistema, referida a un sistema inercial (sistema laboratorio).

∑

∑

∑

= ^{2 2}

2 1 2

1

i i i

i

i mv m v

EC EC

En el sistema de referencia del Centro de Masa, el Momento Lineal es nulo y constituye un sistema ade- cuado para el estudio del movimiento de las partículas con respecto del cual se mueven con gran simetría. Va- mos a referir la Energía Cinética total, al sistema de refe- rencia del C.M., para ello, consideremos el sistema de partículas de la Fig.14 donde:

CM i

i r r

rr r r +

= ' y vr_i vr_i vr_CM +

= ' y sustituyendo en la expresión anterior:

El primer término, es la Energía Cinética de las partículas en el sistema de refe- rencia del C.M.

El segundo término es la Energía Cinética del conjunto de partículas, concentrado y localizado en el Centro de Masa y a la velocidad de éste, con respecto al sistema labo- ratorio (X,Y,Z).

El tercer término es nulo pues contiene el término Σm_ivr_i'

que corresponde al momento lineal del sistema de partículas referido al centro de masa que ya hemos de- mostrado que es nulo.

La energía cinética queda así: EC=EC'+ECCM es decir: La energía cinética del sistema de partículas respecto al sistema inercial de laboratorio es igual a la energía cinética del sistema respecto al centro de masa (energía cinética interna) mas la ener- gía cinética del Centro de Masa respecto al sistema inercial de laboratorio (Teorema de König).

Es importante esta separación de la EC de un sistema en los dos términos expre- sados, pues nos permite estudiar el sistema de partículas referido al Centro de Masa cualquiera que sea el movimiento de éste. Así, un sólido lanzado al aire tendrá movi- mientos de traslación y rotación y la EC del cuerpo se determina calculando la que tiene respecto del Centro de Masa EC’ (rotación pura) más la que tiene el propio Centro de Masa ECCM ( traslación pura).

5.2. Trabajo efectuado sobre el sistema.

Para determinar la energía cinética del sistema de partículas o la variación que experi- menta, podemos considerar el trabajo que realizan las fuerzas que actúan sobre las partí- culas, ya que este trabajo incrementa la energía cinética que posee el sistema. Para sim- plificar la situación consideremos un sistema de dos partículas m1 y m2, sometidas a las fuerzas externas Fr₁

y Fr₂

y a las fuerzas internas Fr₁₂ y Fr₂₁

, tales que:

Fr12

= Fr₂₁

− o sea Fr₁₂

+Fr₂₁

=0 Por la acción de estas fuerzas, las partícu- las experimentan desplazamientos diferenciales

r1

dr y drr₂

, por lo que realizan unos trabajos:

(

)

1 F F dr

dW r r r

• +

=

(

)

2 F F dr

dW r r r

• +

= y el trabajo total será:

2 ...

21 1 12 2 2 1

1 • + • + • + • =

=F dr F dr F dr F dr

dW r r r r r r r r

…=Fr1 ^•drr1 ⁺Fr2 ^•drr2 ⁺ Fr12

(

)

… …=Fr₁ drr₁ Fr₂ drr₂ Fr₁₂ drr₁₂

• +

• +

•

El primero y segundo términos representan los trabajos realizados por las fuerzas exteriores y el tercer término es el trabajo correspondiente a las fuerzas internas. Como el trabajo total es igual al incremento de la energía cinética del sistema, tendremos:

16/ 22

dEC=dWE + dWI e integrando ECB-ECA= WE+ WI

En este trabajo se incluyen las fuerzas interiores, pues aunque éstas se contrarres- tan dos a dos, pueden realizar trabajo positivo si desplazan las posiciones relativas de las partículas. Para que el trabajo de las fuerzas internas sea nulo, no deben variar las posiciones relativas de las partículas del sistema, condición que sólo se cumple en el sólido rígido.

5.3. Energía Potencial.

Si las fuerzas externas e internas son fuerzas conservativas, como consecuencia de la existencia de campos conservativos, cada partícula poseerá una energía potencial característica y la suma de las energías potenciales de todas las partículas constituye la energía potencial total del sistema:

∑

= E( i)

E EP

EP y ^{EPI =}

∑

Si tenemos en cuenta la definición de Energía Potencial en un campo conservativo dada por dEP Fr drr

•

−

= y aplicándola a las fuerzas externas e internas, tendremos:

∑

∑

∑

−

=

∆

− EP_E EP_Ei Fr_Ei drr_i W_Ei

∑

∑

∑

−

=

∆

− EP_I EP_Ii Fr_Ii drr_i W_Ii que en términos diferenciales podemos escribir:

I I

E E

dW dEP

dW dEP

=

−

=

− e integrando

( )

( )

E E

W EP

EP

W EP

EP

=

−

=

−

2 1

2 1

Estas ecuaciones nos expresan que el trabajo de las fuerzas conservativas externas e internas a que están sometidas las partículas del sistema, producen variación de la energía potencial total externa e interna. Si el trabajo es positivo, es decir, producido por las fuerzas de los campos conservativos, se produce una disminución de la energía po- tencial y si el trabajo es negativo, es decir, que se realiza contra las fuerzas de los cam- pos, se origina un aumento de la energía potencial.

5.4. Energía total. Principio de Conservación de la Energía.

La energía total del sistema de partículas sometido a fuerzas conservativas exter- nas e internas, vendrá dado por la ecuación diferencial:

I

E dEP

dEP dEC

dE = + +

y sustituyendo dEC y dEP por sus valores anteriores:

(

)

= dWE dWI dWE dWI

dE

resultando dE=O luego E=cte que expresa el Principio de Conservación de la Energía Mecánica de un sistema de partículas sometido sólo a fuerzas conservativas, es decir:

"La energía cinética y potencial del sistema se mantiene constante":

cte EP EP

EC+ _E + _I =

Si englobamos los términos EC+EP_I =U , llamando Energía Interna al término señalado U, resultará: U +EP_E =cte

lo que significa que toda variación de la energía potencial externa del sistema supone una variación opuesta de la energía interna.