Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (SEDO) es un conjunto de n ecuaciones diferenciales todas ellas de 1er orden:

         = = = ) ,... , , ( ... ... ... ... ) ,... , , ( ) ,... , , ( 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy

donde las funciones dependen sólo de una única variable x. yk(x), (k = 1,2, · · · , n)

La solución de este problema consiste en calcular el conjunto de las funciones , que verifican las condiciones de contorno dadas:

y_k(x)

⇔ y1(xk) = y_k0, k = 1, 2· · · , n

y1(x0) = y₀0, y2(x0) = y₂0, · · · yn(x0) = y_n0

Nos vamos a restringir a sistemas de la forma [1].

[1]


2
 El sistema [1] no es la forma más general de SEDO. El caso general sería

G1(y1!, y2!,· · · , yn! , y1, y2,· · · , yn, x) = 0

G2(y1!, y2!,· · · , yn! , y1, y2,· · · , yn, x) = 0

Teorema de existencia y unicidad

El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (SEDO)

         = = = ) ,... , , ( ... ... ... ... ) ,... , , ( ) ,... , , ( 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy [1]


con las condiciones de contorno dadas, , tiene una única solución si las funciones verifican en un entorno del punto las siguientes dos condiciones

y1(x0) = y00, y2(x0) = y20, · · · yn(x0) = y0n

fk(x, y1, y2,· · · , yn), (k = 1, 2,· · · , n)

1.- Son continuas en un entorno del punto . x0, y10, y10,· · · , yn0

2.- Todas las derivadas parciales

∂fk

∂yj

, k, j, = 1, 2,_{· · · , n}

existen y están acotadas en un entorno . x0, y01, y10,· · · , yn0

La segunda es una condición más restrictiva de la condicion de que las funciones verifique la llamada condición de Lipschitz.

3


Integración
por
reducción
a
ecuaciones
desacopladas
de
orden
superior.



7
 d3y dx3 = 27y d3z dx3 = 27z d3w dx3 = 27w [2] [1] dy dx = 3z dz dx = w dw dx = 9y

Hemos
conver<do
el
sistema
[1]
de
ED
de
1er_{orden
en
un
conjunto
de
tres
ecuaciones
de
3}er_orden

pero
ambos
sistemas
no
son
estrictamente
equivalentes.



La
 solución
 del
 sistema
 [1]
 depende
 de
 tres
 constantes
 arbitarias,
 mientras
 que
 la
 del
 conjunto
 [2]
 de
 ecuaciones
<ene
9
constantes
indeterminadas.



Buscamos
la
solución
general
de
una
ecuación
de
[2];
por
ejemplo
de
la
primera
y!3 _{− 27y = 0}

Probamos
la
solución
y(x) = epx,
la
ecuación
caracterís<ca
se
reduce
a
p3 _{− 27 = 0}

10
 La
solución



del
sistema
de
 ecuaciones
[2]


si
 buscamos
 soluciones
 del
 sistema
 reales,
 elegimos
 las
 constantes
 de
 integración
 de
 forma
 que
 los
 términos
complejos
asociados
a
las
raíces
complejas







y







den
un
valor
real.
p2 p3 
 donde
 





y

p1 = 3 p2,3 = −3 ± i3 √ 3 2 Par<mos
por

 ejemplo
de
[4ª]

 yG(x) = Ae p1x _{+ Be}p2x _{+ Ce}p3x _{= Ae}3x _{+ Be}−3+3i √ 3 2 x + Ce−3−3i √ 3 2 x = Ae3x + e−32x[Be i3√3 2 x + Ce− i3√3 2 x] = Ae3x + e−32x[cos(3 √ 3 2 x)(B + C) + i sin( 3√3 2 x)](B − C)] = Ae3x + e−32x{B[cos(3 √ 3 2 x) + i sin( 3√3 2 x)] + C[cos( 3√3 2 x)− i sin( 3√3 2 x)]}

= αe3x + βe−32xcos(3

√ 3 2 x) + γe −3 2xsin(3 √ 3 2 x) donde
α = A β = B + C γ = i(B _{− C)} B = 1 2(β − iγ) C = 1 2(β + iγ) yG(x) = Aep1x + Bep2x + Cep3x zG(x) = p1 3 Ae p1x ₊ p2 3 Be p2x ₊ p3 3 Ce p3x wG(x) = p2₁ 3 Ae p1x ₊ p 2 2 3 Be p2x ₊ p 2 3 3 Ce p3x [4a] [4b] [4c] es
equivalente
a
[4ª],
y
si
las
constantes





y





son
reales,
también
lo
es
la
función
[5ª]
.

α, β γ

12
 Hemos
visto
que
con
el
cambio
 donde





y





son
reales,
las
soluciones
 y





son
funciones
reales,
para
los
valores
 calculados
de

 α, β γ A = α, B = 1 2(β − iγ), C = 1 2(β + iγ) p1 = 3, p2,3 = −3 ± i3 √ 3 2 yG(x) wG(x) yG(x) = Aep1x + Bep2x + Cep3x zG(x) = p1 3 Ae p1x ₊ p2 3 Be p2x ₊ p3 3 Ce p3x [4a] [4b] [4c] wG(x) = p1₁ 3 Ae p1x ₊ p 2 2 3 Be p2x ₊ p 2 3 3 Ce p3x Escribimos
la
ec.
[4c]
con
las
constantes






y
α, β γ wG(x) = p1₁ 3 Ae p1x ₊ p 2 2 3 Be p2x ₊ p 2 3 3 Ce p3x = 3αe3x + p 2 2 3 β _{− iγ} 2 e p2x ₊ p 2 3 3 β + iγ 2 e p3x

Teniendo
en
cuenta
que





y
p3 = [p2]∗ [z1z2]∗ = z1∗z2∗ ⇒ p23(β + iγ)ep3x = [p22(β − iγ)ep2x]∗