de la Universidad Metropolitana
ANALES U
71
Recurso computacional en diferencias finitas para la enseñanza del fenómeno de transferencia de calor por conducción
JULIO SEGURA, LUIS ALBITES2 y ASER CONDE 2
1 Escuela de Ing. Mecánica Universidad Central de Venezuela
2 Escuela de Ing. Mecánica
Universidad Metropolitana
En este trabajo se presenta el desarrollo de una aplicación didáctica para un sistema de álgebra por computadora, con el propósito de ser utilizada en la enseñanza de la transferencia de calor por conducción a estudiantes de las carreras de ingeniería mecánica e ingeniería química. El modelo matemático utilizado está constituido por la ecuación de difusión transitoria en forma diferencial y en coordenadas cartesianas y cilíndricas, con sus respectivas condiciones de contorno e inicial de temperatura prescrita. El recurso computacional desarrollado en este trabajo permite, aplicar el mé-todo de diferencias finitas en tres dimensiones y en estado permanente o régimen transitorio, según sea el caso, para determinar valores numéricos de la distribución espacial y la evolución temporal de temperatura y del flujo de calor en los nodos de la malla y para los pasos de tiempo. Mediante la representación gráfica de los valores numéricos se logra la visualización del fenómeno, en piezas de material sólido con comportamiento isotrópico, que internamente generen calor o no, y de formas geométricas tales como barras largas y cortas de sección transversal rectangular y circular hueca. En el trabajo se reportan resultados de casos que se utilizaron en el proce-so de validación, en los que el error porcentual máximo es menor del 3.5 %. También se presenta una simulación con sus respectivas visualizaciones.
Introducción
En los últimos años, el método de diferencias finitas ha sido aplicado en la simulación del fenómeno de transferencia de calor por conducción, para el análisis de problemas bidimensionales que se presentan en áreas relaciona-das con la práctica de la ingeniería mecánica, tales como: motores de com-bustión interna (Reyes et al., 1994), procesos de manufactura (Cavero y Pérez, 1994; Pérez et al., 1997), y otras áreas propias de la ingeniería química, como es el caso de tecnología de alimentos (Moraga y Murillo, 1997), entre otras. También se ha aplicado en el análisis de problemas tridimensionales (Finol y Damia, 1994; Albites y Conde, 1997), aunque son más escasos los trabajos publicados. Por otra parte, se han utilizado modelos bidimensionales en dife-
L.J
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rri
de la Universidad Metropolitanarencias finitas para la enseñanza de la transferencia de calor por conducción, mediante un computador y códigos computacionales desarrollados con fines docentes (Vergara et al.,1993).
El presente trabajo tiene como propósito el desarrollo de una herramienta computacional que sirva de recurso para la enseñanza del fenómeno de con-ducción de calor, a estudiantes de los cursos de transferencia de calor de las carreras de ingeniería mecánica e ingeniería química, mediante la utilización del método de diferencias finitas, y que permita determinar la distribución es-pacial y la evolución temporal de temperatura y de flujo de calor en formas geométricas planas y cilíndricas de hasta tres dimensiones, usando un siste-ma de álgebra por computadora.
El generador de malla utilizado para discretizar los sólidos, bien sean pla-nos o cilíndricos, distribuye de manera uniforme los nodos, siendo posible especificar incrementos espaciales diferentes para cada una de las tres varia-bles geométricas. En este trabajo se asignan condiciones de borde de prime-ra clase o de tempeprime-ratuprime-ra prescrita uniforme en cada fronteprime-ra y, en régimen transitorio, se impone la condición inicial de temperatura prescrita uniforme.
Por otro lado, la tasa de generación interna de calor se considera uniforme-mente distribuida en el volumen. Los resultados de temperatura son visua-lizados mediante diagramas de superficie y de densidad, mientras que los resultados de flujo de calor se visualizan mediante diagramas de proyección ortogonal.
Modelo Matemático y Método de Solución
Ecuación Diferencial Parcial
Para un sólido isotrópico, la ecuación de difusión aplicada a la temperatura es la que se conoce como Ecuación de Conducción de Calor, cuya expresión en forma diferencial e intrínseca es:
V
2
T +k
a
dt
(1)
donde:
V
2
: operador diferencial y escalar laplaciano T: función escalar temperaturaq"": tasa de flujo de calor generado por unidad de volumen k. conductividad térmica del material
a:
difusividad térmica del material t variable tiempoANALES
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rri
La ec. 1 constituye parte del modelo matemático de cualquier problema de transferencia de calor por conducción, problema que para estar bien plantea-do requiere que el modelo matemático se complete con plantea-dos condiciones de borde para cada variable geométrica y una condición inicial.
La conocida Ley de Fourier es la ecuación que establece la relación entre el flujo de calor y el gradiente de temperatura, y su expresión en forma vectorial e intrínseca es:
q" = —k•VT
siendo: (2)
q":
función vectorial flujo de calor o tasa de flujo de calor conducido poruni-dad de área
V : operador diferencial y vectorial gradiente
Una vez identificado el problema a resolver como uno de transferencia de calor por conducción, lo que debe hacerse a continuación es seleccionar el sistema de coordenadas que mejor se ajuste a sus características geométricas, lo que determinará la forma de los operadores diferenciales laplaciano y gradiente.
Coordenadas Cartesianas:
En este sistema de coordenadas, la ec. 1 adquiere la apariencia:
(9 2 7' d'T a2
___
T
q" 1 a T
=
a x
2
a y 2
z 2
donde:
x, y, z variables geométricas
las condiciones de borde de temperatura prescrita son:
T (x = O, y, z, t)= Txo, T (x = Lx, y, z, t) Txl, T (x, y = O, z, t)= Tyo,
T (x, y = Ly, z, t) = Tyl, T (x, y, z =
O, =Tzo, T (x, y, z = Lz, t) = Tzl
y la condición inicial es:
T (x, y, z, t = O) = Ti
(3)
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rT1
de la Universidad MetropolitanaLas componentes del flujo de calor de la ec. 2, en dirección a x, y, y z, la forma:
, dT ,
, dT
, dT
q
x
"= —K • —,q
• —, —Kdx
dy,
dz
Coordenadas Cilíndricas:
La ec. 1, en este otro sistema de coordenadas, se expresa como:
d2T 1 dT 1
d 2 T
.9
2
1 q"'
1a
Tdz 2+ r dr + r2 dü 2 " dz 2+
k
a
d
tdonde:
r, O, z variables geométricas
las condiciones de borde de temperatura prescrita son:
T (r = Ri, O, z, t)= Tri, T (r = Ro, O, z, t)= Tro, T (r, O = O, z, t)= TO o,
T (r, 0 = it,z, TO rc, T (r, O, z = O, t) = Tzo, T (r, 0, z = Lz, t) =Tzl
y la condición inicial es:
T (r, O, z, t = O) = Ti
En las direcciones r, O y z, las componentes del flujo de calor de la ec. 2, quedan expresadas por:
dT
k aT
dT
- —
K • ,q
,
- -- •
, q" =
—K —dr
r
z
dz
Cualquiera que sea el sistema de coordenadas seleccionado, para la ma-yoría de los problemas tridimensionales de transferencia de calor por conduc-ción, resulta imposible encontrar la solución analítica, de las ec. 3 o 5, lo que imposibilita la aplicación de las ec. 4 o 6.
Método de Diferencias Finitas
Para encontrar la solución numérica del modelo matemático diferencial del problema a resolver, el primer paso es discretizar el dominio de las variables, tanto las geométricas como el tiempo. En el método de diferencias finitas (Razelos, 1973) debe seleccionarse el valor del incremento para cada una de dichas variables, con lo cual se genera una malla de diferencias finitas, que
(4)
(5)
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puede ser regular o no. La ecuación diferencial se transforma en un sistema de ecuaciones algebraicas, denominadas ecuaciones discretizadas, pudién-dose utilizar una notación en la que se reservan tres subíndices para las varia-bles geométricas y un superíndice para el tiempo. Discretizando con diferen-cias centradas en las variables geométricas y diferendiferen-cias hacia atrás en la variable tiempo, se obtiene un esquema implícito de solución.
Coordenadas Cartesianas:
La ec. 3, luego de ser discretizada, queda como sigue:
P
T m + 1,0,0 2T0,0,0+ T m -1,n, o , 1-
T in', n + 1, o — 2 T
n:, n, o + T ni, n - 1, o
8x2 8 y2
P P
P
P P — 1 + T ,i, , n, o + 1 — 2 T m, n, o + T M, n, o - 1
+ q
"
= 1 T n ,, n, o —T ,,,,„, o
3z 2
k a A tsiendo:
m, n, o: índice que define la ubicación en el espacio p: índice que define la ubicación en el tiempo 3x, y, z: incremento de las variables geométricas A t: incremento de la variable tiempo
y la ec. 4 discretizada queda como se muestra a continuación:
T P TP
q7_ k • m +1, n, o m - 1, n, o qlrr, = k m, n + 1, o — T m, n 1, o
28x 28y
T P
k m, n,° +1— T n, o - 1
2
6z
Coordenadas Cilíndricas: La ec. 5 discretizada es:
n, o-27. m'in,a+T —1,n,o T I,n —1,n,c, 4_
S1'2 2 • r 2
o— 2 T Tm,n _ m2 .8 r 2 .8 02
(9)
T ° —2T ° +T v-1
+ q 1 T „, o - T n, o
=
k a At
z 2
(7)
m
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donde:
8 r,e , z: incremento de las variables geométricas
y la ec. 6, después de ser discretizada, es la siguiente:
qr"= k. m +1, P T n, T m n, o
T m, n + 1, o— T m, n — 1, o ' qe". k
2 8 r 2 m•c5r•80
(10) 7, P 7, y
q'z'=
k
m, n, o + 1 — 1 m, n, o — 1El sistema de ecuaciones algebraicas se conforma al aplicar la ec. 7 o 9, según la geometría del sólido sea plana o cilíndrica, a cada uno de los nodos de la malla, sistema que puede manipularse con álgebra lineal, representán-dolo como el producto de una matriz de coeficientes por el vector de incógni-tas igual al vector de términos independientes.
El paso que sigue consiste en encontrar la solución al sistema anterior, que puede ser obtenida con el cálculo de la inversa de la matriz de coeficientes. Dicha solución es el campo de temperaturas buscado. Las componentes del flujo de calor se obtienen, luego de encontrado el campo de temperaturas, aplicando la ec. 8 cuando la geometría del sólidos sea plana o la ec. 10 cuan-do sea cilíndrica.
Para una malla con un número de nodos que permita encontrar una solu-ción con una precisión razonable, el volumen de cálculos involucrados es muy grande, por lo que se justifica el uso de un computador que ejecute códigos computacionales. Esta labor bien pudiera realizarse mediante un sistema de álgebra por computadora (Mathsoft,1997), que incorpore los diferentes algoritmos de solución en los referidos códigos computacionales (ver apéndi-ce), y que serían: de generación de la malla regular, de conformación del vector de términos independientes y de la matriz de coeficientes, de determi-nación de la distribución de temperatura en el sólido completo y en planos x, y o z, y de las componentes del flujo de calor en dichos planos.
Resultados y Discusión
Validación de los Algoritmos de Solución
Los algoritmos de solución incorporados en un código computacional con
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ü
de la Universidad Metropolitana Mun sistema de álgebra por computadora fueron validados cotejando las solu-ciones numéricas obtenidas contra solusolu-ciones disponibles para un reducido número de casos. Los casos considerados en el proceso de validación fueron varios: a) barra semi infinita de sección transversal rectangular, en estado permanente y sin generación interna de calor (Arpaci, 1966), encontrándose para este caso y con mallas regulares de diferente número de nodos (400 y 880 nodos), que la solución numérica siempre supera a la analítica, con un error porcentual máximo por exceso de 2.54 %; b) paralelepípedo recto, en régimen transitorio y sin generación interna de calor (Incropera y DeWitt, 1996), siendo la solución analítica la que supera en este otro caso a la numérica, con una malla regular de 175 nodos y con pasos de tiempo diferentes (5 s y 1 s), con un error porcentual máximo por defecto de 3.46 %; y c) barra corta de sección transversal anular (Corberán et al., 1993), en estado permanente y sin generación interna de calor, también utilizando una malla regular de 120 nodos, siendo los errores porcentuales máximos por exceso de 0.66 % y por defecto de 0.06 %.
En la Fig. 1 se muestran las temperaturas calculadas con las soluciones numérica y analítica en una de las comparaciones del caso b (paralelepípedo recto, en régimen transitorio y sin generación interna de calor), para un cubo de magnesio (Mg), de 0.10 m de lado, con temperatura inicial de 100 K y temperatura de sus seis caras de 700 K. La malla utilizada es de 175 nodos y los nueve nodos mostrados tienen una coordenada z = 0.05 m, mientras que sus otras dos coordenadas (x, y), también en m, son: N° 1: (0.025, 0.025), N° 2: (0.050, 0.025), N° 3: (0.075, 0.025), N° 4: (0.025, 0.050), N° 5: (0.050, 0.050), N° 6: (0.075, 0.050), N° 7: (0.025, 0.075), N° 8: (0.050, 0.075) y N° 9: (0.075, 0.075). En esta comparación el error porcentual máximo corresponde al nodo N° 5, es por defecto y de 0.53%.
Temperatura (K) 699 698 697— 696— 695 694 — 693 692 — 691— 690 o • I o • I o • o • o
o o
•
•
•
• Sol. Numérica O Sol. Analítica
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nodo
(N°)
1]
rT-1
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M de la Universidad Metropolitana
Visualizaciones de una Simulación Típica
A continuación se muestran datos y resultados en las figuras de la 2 a la 8 de una simulación típica:
Datos:
forma geométrica: material (sólido): longitudes de los lados:
incrementos de las variables geométricas:
estado o régimen:
tasa de flujo de calor generado
por unidad de volumen:
temperaturas de las caras:
Resultados:
0.12 -
0.075
z
0.060.03
0.06 0.06
0.09 0.09
0.12 0.12 Y
paralelepípedo recto (cubo) acero al manganeso (Mn: 1%)
Lx = Ly = Lz = 0.12 m
8 x=8 .3)=8z= 0.015 m permanente
= 100 W m3
Txo = Txl = Tzo = 1300 K Tyo = Tyl = Tzl = 300 K
0.12
4001
b
01$
19
0
1141
0.11 0.09
101140
.001bael
OOMIOP111111~11
z
0.075
0.06
000011W111%
pp.
0.045
0000014110111
0.03
00011111011
0.015 000
040"5:1
"1011
04 0.06 .03 0.12 0.09 Y 0.045 0.03 0.015 0.06 . 0 09 0.12
Fig. 2. Perspectiva del sólido: dominio continuo (izquierda) y dominio discretizado con una malla regular de 729 nodos (derecha), lx, y, z] = m
1300 1100
T 900 700 500 300
Y
z
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Fig. 3. Diagrama de superficie de la distribución de temperatura T (y, z), en el plano
x= 0.06 m, [T] = K
ANALES
Y
7 ->
z z
Tmedia (K)
EfflEz
613 863 988ama
az az
Fig. 4. Diagramas de proyección ortogonal de la distribución de temperatura T (y, z) (izquierda) y del flujo de calor q" (y, z) (derecha), en el plano x= 0.06 m
1300 1100
T 900 700 500 300
Tmedia (K)
E311127111211101
988 12381111111111EM
863
nn
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Fig. 5. Diagrama de superficie de la distribución de temperatura T(x, z), en el plano
y= 0.06 m, [7]= K
a
- s, R F —>
z z
x x
Fig. 6. Diagramas de proyección ortogonal de la distribución de temperatura T (x, z) (izquierda) y del flujo de calor q" (x, z) (derecha), en el plano y = 0.06 m
ANALES ü
de la Universidad Metropolitana rT11300 1100
T 900
700 500 300
x
Y
,... , ,
, ,
• o - - - ..
. , R , , ...
N } 71 77 -, -1 T t t
x x
Tmedia (K)
Eri
613El"
863 988morzi
11111111111111•1
363
Fig. 7. Diagrama de superficie de la distribución de temperatura T (x, y), en el plano
z= 0.06 m, [T] = K
Y Y
Fig. 8. Diagramas de proyección ortogonal de la distribución de temperatura T (x, y) (izquierda) y del flujo de calor q" (x, y) (derecha), en el plano z = 0.06 m
rTI
LJ
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M de la Universidad Metropolitana
Conclusiones
De los resultados del presente trabajo puede concluirse:
El nivel de precisión alcanzado en los resultados arrojados por las solucio-nes numéricas (error máximo < 3.5 %), permiten afirmar que el método de diferencias finitas, implantado con códigos computacionales basados en los algoritmos de solución desarrollados, es válido para la simulación del fenóme-no de transferencia de calor por conducción, aun para discretizaciones de reducido número de nodos y de pasos de tiempo (malla de 175 nodos y 4 pasos de tiempo para el caso en el que se encontró el error máximo). Como era de esperarse, quedó comprobado que dicha precisión mejora con la dis-minución de los incrementos de las variables geométricas y de la variable tiempo, hasta el punto en el que se consigue el número óptimo de nodos o de pasos de tiempo que arroja la precisión requerida.
Dadas las capacidades de cálculo simbólico y numérico y de graficación de los sistemas de álgebra por computadora, puede afirmarse que la utiliza-ción de estos en la docencia de transferencia de calor por conducutiliza-ción a estu-diantes de las carreras de ingeniería mecánica y química, resulta más prove-chosa que la utilización de otros paquetes computacionales. La afirmación anterior se basa en que se simplifica la formulación e interpretación del mode-lo matemático, en forma diferencial o como un sistema de ecuaciones discretizadas, además de que la visualización de la distribución de temperatu-ra y del flujo de calor en diagtemperatu-ramas de superficie y/o de proyección ortogonal, facilita la comprensión del aspecto termofísico del fenómeno.
Reconocimientos
Los autores este trabajo quieren hacer público su agradecimiento a la Di-rección de Investigación y Desarrollo del Decanato de Investigaciones y Postgrado de la Universidad Metropolitana, por el financiamiento otorgado al Proyecto N° A-007-95, y a la Escuela de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de dicha Universidad, por el apoyo brindado.
de la Universidad Metropolitana M
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Referencias Bibliográficas
ALBITES, L. B. y Conde, A. J. (1997). Modelo numérico en diferencias finitas para la simulación del fenómeno de transferencia de calor por conducción,
Tesis Ing. Mecánico, Tutor: Segura, J., Universidad Metropolitana, Caracas, 132 pp.
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CAVERO, A. y Pérez, A. (1994). "Distribución de temperatura en palanquillas de acero Fabricas por colada continua", memorias V Congreso Latinoamericano
de Transferencia de Calor y Materia, Caracas, 24-27 Octubre, pp. IID24.1-
11D24.11.
CORBERÁN, J. M., Royo, R. y Vergara, M. (1993). "Programa para asistir la
docencia de la transmisión de calor mediante clases prácticas por ordena-dor", Servicio de Publicaciones, Universidad Politécnica de Valencia, Valencia.
FINOL, C. A. y Damia, J. A. (1994). "Extensión del programa "CONDUCT" para resolver problemas tridimensionales de transferencia de calor por conducción", en Cerrolaza, M. y Alejo, G., Eds., Solución de Problemas en Ingeniería con
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Transfer, John Wiley and Sons, 4th Ed., New York.
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MORAGA, N. y Murillo, H. (1997) "Transferencia de calor en congelación de ali-mentos cárneos con métodos de eleali-mentos y diferencias finitas", memorias III
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PÉREZ, V., Goyos, L. y Martínez, L. (1997) "Simulación de tratamiento térmico por diferencias finitas", Ingeniería Mecánica, N° 1, pp. 19-24.
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REYES, M., Benajes, J. y Payri, F. (1994) "Análisis del campo de flujo y transfe- rencia de calor en pipas y colectores de escape de MCIA mediante el M.D.F.", en
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m
de la Universidad MetropolitanaCerrolaza, M. y Alejo, G., Eds., Solución de Problemas en Ingeniería con Mé-todos Numéricos, SVMNI, Caracas, pp. TC1-TC10.
VERGARA, M., Corberán, J. M. y Royo, R. (1993) "Programa informático, desa-rrollado con fines docentes, para el cálculo de la transmisión de calor en piezas planas o de simetría axial", memorias I Congreso Iberoamericano de Ingenie-ría Mecánica, Madrid, 21-24 Septiembre, pp. 427-431.
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U
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Apéndice
A continuación se listan los códigos computacionales elaborados para co-ordenadas cartesianas y en lenguaje de programación Mathcad (Mathsoft, 1997), en los que se implementan los algoritmos de solución.
Generación de la malla regular
xyz =
for k e O zn
Lt.
Zk
—.k
zn
for j e O yn
y--
y
—
n
i
for i
E 0..xn
H
x.<
xn
XYZ.f.,
0
<--XYZ, y.
J1
j
XYZfa <– zk
- f 1
m
L.J
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Conformación del vector de términos independientes
a.-o
for i E o.. Cicloz -- 1
if " 3-0
Va c-- 8 y2.8 z2.(Mit 1,3 t Mi _ 1 , o t ) 3 x2.8 z2 *(41i
I- CiCIOX ,3 t Mi - CiClOk ,3 )
[ + 8 x2 .8 y2 .(M i , cidoy , 3'41i-ciclo
W—at1
i-2-(5 y2 •5 z2 8 x2 .8 z2 ÷3 x2 •8 y2).Mi3+ xs 2•8 1•6 ?•q"'
k
Conformación de la matriz de coeficientes
- O
for i E O Cicloz -- 1
if Mi3 =0
E
a,a ---2.(8
y2 .8 z2 3 x2 .8 z2 8 x2.8 y2 )
(E
8 y
2 . z2) Mi 1,3 if a
(Ea,at1~8 Y 2
8 Z2) if Mit 1,3=0
2 2
E
a,a (xn- 1) x .8 zE
a,a (xn- 1),s x 2 .s z 2
E
a,a - ((xn 1).(yn -[E
a,a ((xn- 1)-(yn - 0) <-8 x2.8 y2a a t 1 c :=
A
))
‹---8
x2 .8 y2if Mi - Cidox,3 =°
if Mi t Cidox,3 =0
ifM Cicloy,3= O
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ü
de la Universidad Metropolitana M
Determinación de la distribución de temperatura en el sólido completo
Temp lsolve(A ,C)
DistTemp for j e O.. 3
for i e 0.. Cicloz - 1 T. 1,j 1,) .
a
for k E 0 Cicloz 1
if Alk3`1 T
k 3 < Tempa
a<- a -h 1
T
Determinación de la distribución de temperatura en un plano x
Corte_x a< redondea cx
\6 x
for j E 0.. zn for i E 0.. yn
X DistTemp
1,1 a, 3
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7.1
de la Universidad MetropolitanaDeterminación de la componente z del flujo de calor en un plano x
for f e o rows(Corte_x) - 1
for c
E Ocols(Corte_x) - 1
q"xz
:=flujoz
f,c-
8 z- k
- • Corte_xfx f _ 1 - Corte x
—
f,c,if c=0
- k
flujozf
c
8 z
—
•(Corte
— x
f c- Corte_xL , 1 ) if c= cols(Corte_x)
1,
- k
flujoz <-- --- • Corte_x
f,c t- 1
- Corte_x
f, c — 1otherwise
f,c2.8 Z
flujoz
Determinación de la componente y del flujo de calor en un plano x
for c e
Ocols(Corte_x) 1
for f e O.. rows(Corte_x) - 1
flujoy
f,c- k
-( Corte ‘x
f_i_ 1,c
—Corte_xf,c ) if f=0
8
y
-
flujoyLc (—
8
k
y
•(Corte_xf,c - Corte x
f— 1,c)
![Diseño de herramienta computacional para el cáculo de índices de confort térmico en edificaciones [recurso electrónico]](https://data02.123doks.com/thumbv2/123dok_es/000/384/384579/cover.webp)
