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TEMA 1: LÍMITES Y CONTINUIDAD

1.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN:

Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace que estos dos elementos estén relacionados. En el caso de ambos conjuntos sean los números reales se llamará función real de variable real. Habitualmente lo expresamos y = f(x) y se lee: “ y es igual a f de x “ ó “ y es función de x”, asimismo la “x” se llama variable independiente y la “y” variable dependiente.

1.1.1. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

Función polinómica de grado 1 ó 0

Son todas aquellas del tipo f(x)=ax +b (grado 1) ó f(x)=b (grado 0)

Su representación gráfica coincide con una recta, oblicua en el primer caso y horizontal en el segundo.

El número a se llama pendiente de la recta y representa la inclinación, que como ya estudiamos en el curso pasado coincide con la tangente trigonométrica del ángulo que forma con el eje x , y el número b se llama ordenada del origen, y es el punto por donde corta al eje y.

Para representarlas basta hacer una pequeña tabla de valores o bien interpretar los conceptos de pendiente y de ordenada del origen.

Ejemplo 1: Representar la función y=2x−3

Si utilizamos la tabla de valores, bastara con dar dos valores de la variable x y obtener los correspondientes de y, luego se sitúan en unos ejes coordenados y se traza la recta.

x y

0 -3

2 1

Si utilizamos el concepto de pendiente, tendremos en cuenta que partimos del valor -3 en el eje y. Y luego la inclinación es de

1

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Función polinómica de grado 2

Son las del tipo f(x)=ax2 +bx +c , su representación gráfica se llama parábola.

El valor a representa si es cóncava o convexa y el valor c, es también la ordenada del origen.

Para representarla bastará con determinar el vértice (

ab

xv = −2 ) y los puntos de corte con el eje x (resolver la ecuación 0

2 +bx +c =

ax )

Ejemplo 2: Representar la función y=x2 +x2

En este caso a = 1; es decir la parábola es

cóncava.

Para determinar el punto vértice hacemos:

2 1 a 2

b

xv = − = − y sustituimos este valor

en la ecuación de la parábola, es decir:

4 5 2 2 1 2

1

yv ⎟2 + − =−

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

Y, por último, para los puntos de corte hacemos:

Con el eje X: Resolvemos la ecuación: x2 +x2=0, que tiene por soluciones x = 1, x = -2 Con el eje Y: Basta sustituir la variable por x = 0 y se obtiene que y = -2

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Funciones racionales

Son un conjunto muy amplio de funciones, aquí estudiaremos solamente las del tipo n x

k ) x (

f =

Si n es impar, su representación gráfica se llama hipérbola y estará en los cuadrantes primero y tercero o en el segundo y cuarto, según el valor de K que sea positivo o negativo. Para n par, no tiene nombre específico, pero siempre estará en los cuadrantes primero y

segundo o bien en el tercero y cuarto. Su representación gráfica puede hacerse a partir de una pequeña tabla de valores o bien “a ojo” porque ya sabemos que tiene que salir.

Funciones exponenciales

Solamente estudiaremos aquí las del tipo f(x)=k·ax.

Puesto que ax es un número positivo independientemente del valor de x, su gráfica estará o totalmente por encima del eje x (k > 0) o totalmente por debajo (k < 0). Se diferencia de las otras en el comportamiento para valores muy grandes o muy pequeños de x, que en general no es igual, mientras por un lado toma valores muy grandes, por el otro toma valores muy próximos a cero. Para

representarlas o hacemos una pequeña tabla de valores o la dibujaremos a ojo, porque ya sabemos qué forma va a tener.

Funciones logarítmicas

Son las del tipo: f(x)=loga(x)

Teniendo en cuenta que y x ay x

a ⇔ =

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Funciones trigonométricas

A partir de las tablas de la circunferencia goniométrica y de las razones de los ángulos conocidos del primer cuadrante, con una pequeña tabla de valores es muy sencillo la representación. Las tres funciones son cíclicas, es decir, se va repitiendo según una secuencia determinada.

Otras funciones importantes:

¾ Función valor absoluto.

<

=

=

0

x

x

0

x

x

x

)

x

(

f

Su gráfica es: f(x)=|x|

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En general:

<

=

0

)

x

(

f

)

x

(

f

0

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

f

.

Para representar gráficamente la función anterior, primero representamos f(x), y luego, por simetría, la gráfica que se encuentre en la parte negativa del eje Y, la colocamos en la parte positiva del eje Y. Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo :

(

)

⎨⎧− + <

≥ −

= ⎩

⎨ ⎧

< − −

≥ − −

=

=

4 x 4 x

4 x 4 x 0 4 x 4 x

0 4 x 4 x 4

x ) x (

f definición

Por

(

)

=

=

Dom

x

4

f

Dom

Veamos su gráfica:

1 2 3 1

2

−1

−2 −1 −3 −2

f(x)=E[x] ¾ Función parte entera. La parte entera de un número real x es el mayor número

entero menor o igual que el número x. Por lo que, por ejemplo:

E[3´48] = 3 E[0] = 0 E[−0´36] = −1 E[−2´3] = −3

Con esto, la función parte entera queda definida como sigue: 4

−4

f(x)=|x−4| 4

[ ]

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

< ≤

< ≤

< ≤

< ≤ − −

− < ≤ − −

= =

... ...

3 x 2 2

2 x 1 1

1 x 0 0

0 x 1 1

1 x 2 2

... ...

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1.1.2. ALGUNAS TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES:

Representación de y =f(x)±k a partir de y =f(x):

Es como la gráfica de y =f(x), desplazadas k unidades hacia arriba o hacia abajo (según sea sumar o restar)

Representación de y =−f(x)a partir de y =f(x)

Es la gráfica simétrica a y =f(x) respecto al eje x

Representación de y =f(x ±a)a partir de y =f(x)

Es como y =f(x)pero desplazada a unidades a la izquierda o hacia la derecha (según sea suma o resta)

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1.2 DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Dominio: es el conjunto formado por todos los valores de la variable independiente para los cuales existe la función, esto es, la función tiene sentido:

Ejemplos:

a) Funciones polinómicas: y =3x3 x2 +2

Para cualquier valor que se nos ocurra de ·x· podemos calcular el correspondiente de “y”; diremos que el dominio es, por lo tanto, todos los números reales y lo expresamos por : Domf = ℜ

Si f(x)=P(x): P(x) es un polinomio ⇒Domf =ℜ

b) Funciones racionales:

16 3 5

2 2

− − + =

x x x y

Para los valores de “x” que anulan el denominador, no se puede calcular el valor de “y” correspondiente, por eso decimos que el dominio es todos los números reales, excepto de -4 y el 4 y se expresa: Domf =ℜ−

{

−4,4

}

.

Si

) (

) ( ) (

x QP x x

f = , P(x) y Q(x) polinomios ⇒Domf=ℜ−

{

x∈ℜ/Q(x)≠0

}

c) Funciones irracionales:

En este caso debemos distinguir si el índice es par o impar ya que a los números negativos no se puede extraer una raíz si esta es par, pero se podría si fuera impar.

y =3x3 +4x

Para cualquier valor de la variable x, como el radicando es un polinomio, podemos obtener la “y”, con lo cual Domf =ℜ.

y = x2 9

Si al sustituir la x nos sale un número negativo, no podríamos calcular la raíz cuadrada por lo tanto, el dominio serán todos aquellos valores que hacen que sea positivo el polinomio del radicando, es decir, Domf =

{

x /x2 90

}

(8)

Luego

) , 3 [ ] 3 ,

(−∞− ∪ ∞ =

Domf

−∞ -3 3 ∞

9

2

x + - +

Si

{

}

⎩ ⎨ ⎧

≥ ℜ

∈ = ⇒

= ⇒

⇒ =

0 ) ( / )

( ) (

x g x

Domf par

es n Si

Domg Domf

impar es n Si x

g x

f n

d) Funciones exponenciales: 1 2

2 − = xx

y

No todos los valores de “x” sirven en este caso, pero no porque sea una función exponencial sino porque en el exponente tenemos una fracción, es decir, es estos casos el dominio siempre dependerá de la función que esté en el exponente. Así Domf =ℜ−

{ }

1

Si f(x)=ag(x) Domf =Domg

e) Funciones logarítmicas: y =log(x +1)

Los valores de x que no podemos utilizar serán aquéllos que den negativo o cero al sustituirlos en el polinomio, así en este caso Domf =(− ,1∞)

Si f(x)=log(g(x)) ⇒ Domf=

{

x∈ℜ/g(x)>0

}

f) Funciones definidas a trozos: Son aquellas que no están definidas por una única expresión matemática, sino por varias, dependiendo del intervalo en que nos encontremos.

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

> −

+

≤ +

=

3 7

2

3 5

x xx

x x

y

Tenemos entonces que hacer un estudio pormenorizado en cada uno de los intervalos. Así en el primer intervalo tenemos un polinomio, por lo tanto el dominio son todos los números posibles, en este caso (−∞,3], pero en el segundo intervalo, tenemos una fracción algebraica, hemos de eliminar entonces el valor x = 7 del intervalo de definición y queda (3,∞)−

{ }

7 . Unimos ahora los dos resultados y obtenemos que el

{ }

7 − ℜ = Domf

Si f(x) es una función definida a trozos, hacemos un estudio diferenciado en cada intervalo y luego unimos todos los intervalos.

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1.3.2. Significado gráfico: 1.3 CONCEPTO DE LIMITE:

1.3.1. Límite de una función en un punto:

El símbolo x →a ( y se lee “x tiende hacia a”) y significa que elegimos valores x muy próximos al valor a, (tan próximos como queramos). Es decir, valores de x, a la derecha o a la izquierda de “a” que se acercan arbitrariamente al punto a.

Consideremos ahora una función y = f(x), si al hacer x →a, los correspondientes valores de f(x) resultan que se van posicionando cada vez más cerca de un número real , que representaremos por la letra L, entonces decimos que la función tiene límite ( = L) cuando x →a. Y se expresa simbólicamente como:

L x f a

xlim→ ( )=

Ahora bien, elegir valores próximos podemos hacerlo de dos maneras diferentes, desde la derecha o desde la izquierda, surgen dos nuevos conceptos, “los límites laterales”, ya que a un punto nos podemos acercar por dos lados, el derecho y el izquierdo.

De esta forma denotaremos por:

* , al límite lateral derecho, es decir, nos vamos acercando a “x = a” tomando

valores mayores que “a”. )

x ( f lim

a x +

) x ( f lim

a x

L ) x ( f lim L

) lim ) x ( f lim

a x x

a x

En tal caso diremos que la función tiene limite si tanto el derecho como el izquierdo condicen:

Con todos estos resultados y definiciones, la función y = f(x) puede comportarse como sigue,

cuando , y .

* , al límite lateral izquierdo, es decir, nos vamos acercando a “x = a” tomando

valores menores que “a”.

x ( f

a = ⇔ =

=

→ →

→ +

) x ( f lim )

x ( f lim ) x ( f lim

a x a

x a

x→ → →

En la práctica se utilizará el siguiente enunciado equivalente:

a

x

x a+ x a

Si + ⇒∃/

(10)

10/25

En los casos 3, 4 5 6 y 7 diremos que la recta x = a es una asíntota vertical

a

b x

lim

a+

f

(

x

)

=

=

f

(

x

)

lim

a x

=

f

(

x

)

lim

a x

1

a b

c x

lim

→a+

f

(

x

)

=

=

f

(

x

)

lim

a x

=

f

(

x

)

lim

a x

b a

=

+

f

(

x

)

lim

a x

=

f

(

x

)

lim

a x

=

f

(

x

)

lim

a x

2

3

=

+

f

(

x

)

lim

a x

=

f

(

x

)

lim

a x

=

f

(

x

)

lim

a x

a 4

=

+

f

(

x

)

lim

a x

=

f

(

x

)

lim

a x

=

f

(

x

)

lim

a x

a 5

=

+

f

(

x

)

lim

a x

=

f

(

x

)

lim

a x

=

f

(

x

)

lim

a x

a

=

+

f

(

x

)

lim

a x

6

=

f

(

x

)

lim

a x

=

f

(

x

)

lim

a x

(11)

1.3.3. Límites en el infinito

OBSERVACIÓN: Se indica por x →∞cuando queremos decir que tomamos valores de x tan grandes como queramos, es decir, puntos de la recta real que se alejan hacia la derecha sin tope. Cuando la situación es hacia la izquierda del eje real se escribe mediante x →−∞.

Si al hacer x →∞, los valores de f(x) de una función tienden al número real L, se dice que la función tiene límite L, para x →∞; y lo escribimos mediante símbolos en la forma: f x L

xlim→∞ ( )= .

1.3.4. Significado grafico

+∞

=

+∞ →

f

(

x

)

lim

x

3 4

−∞

=

+∞ →

f

(

x

)

lim

x

)

x

(

f

lim

x→+∞ no existe

1 2

L

L

)

x

(

f

lim

x→+∞

=

En este caso se dice que la recta y = L es una asíntota horizontal de la función y = f(x).

L

(12)

Cuando

x

−∞

, la función puede comportarse así:

1.4. CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES CONOCIDA SU EXPRESIÓN ALGEBRAICA

1.4.1 Si x→a

Como normal general, se sustituye el valor de x por el de a en la expresión algebraica correspondiente. Por ejemplo, para determinar el limite cuando x tiende a 2 de la función

. Se procede de la siguiente manera: 5

x y = 3

; y por tanto, el valor del limite es 3. 3

5 8 5 2 5 x

lim 3 3

2

x→ − = − = − =

+∞

=

−∞ →

f

(

x

)

lim

x

3 4

−∞

=

−∞ →

f

(

x

)

lim

x

)

x

(

f

lim

x→−∞ no existe

5

L

)

x

(

f

lim

x→−∞

=

1 2

En este caso diremos que la recta y = L es una asíntota horizontal de la función y = f(x).

L L

(13)

Ahora bien, eso no siempre es lo mas indicado ya que nos podemos presentar con alguna de estas situaciones:

* Caso 1: la función es “a trozos” y el punto a es de la frontera. En este caso debemos

siempre calcular los limites laterales para averiguar si “los trozos de la función pegan bien” Ejemplo: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + ≤ + − − = 0 x 1 x 2 3 0 x 1 x 2 x ) x ( f 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + − − = + − − = + − → → → 1 1 0 · 2 3 1 x 2 3 lim 1 1 0 · 2 0 1 x 2 x lim ) x ( f lim 0 x 2 2 0 x 0

x Tanto a la derecha como a la izquierda

del cero, el límite vale lo mismo, por lo que la función tiene límite y vale 1, Es decir: limf(x) 1

0

x→ =

En el caso de que hubieran dado diferente, la función no tendría limite en el punto analizado

* Caso 2: Después de sustituir nos da una expresión indeterminada:

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋅ ∞ −

∞ 0 1

0 0 0

0

k 0 0

Alguna de ellas ya se estudiaron en el curso pasado, vamos a recordar las diferentes técnicas:

1.4.1.1. INDETERMINACIÓN DEL TIPO 0 0 K ≠ K

Si al calcular el límite de una función obtenemos una indeterminación de este tipo, tendremos que calcular los límites laterales. Siempre nos saldrá o bien ∞ o bien −∞, es por lo que solamente nos interesa el signo del resultado. Para ello tomaremos valores suficientemente próximos al de tendencia de la x , lo sustituimos en la función y nos fijaremos sólo en el signo. Así sabremos si el resultado del límite es ∞ó −∞.

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Ahora tomamos un valor próximo a ½ por la derecha, por ejemplo 0.51 y sustituimos en la función 495 . 13 02 . 0 2699 . 0 1 51 . 0 · 2 1 51 . 0 · 3 ) 51 . 0 ( 2 − = − = − + −

. Es decir por la derecha el límite

tiende hacia −∞. =−∞

− + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

→ 2 1

1 3 lim 2 2 1 x x x X

Repetimos el proceso pero ahora con un valor próximos por la izquierda

(

)

495 . 11 02 . 0 2299 . 0 1 49 . 0 · 2 1 49 . 0 · 3 49 . 0 2 = − − = − + −

. Es decir por la izquierda el límite

tiende hacia ∞. =∞

− + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

→ 2 1

1 3 lim 2 2 1 x x x X .

En resumen, los límites laterales son diferentes y en consecuencia, no existe el límite de la función para x tendiendo al valor ½.

b)

0 4 4

lim 2

0 ⎯⎯→

→ x x

En casos sencillos como este no es necesario sustituir ningún valor concreto, sólo darnos cuenta de que el numerador siempre es positivo, independientemente de que nos acerquemos al 0 por la derecha o por la izquierda y lo mismo sucede con el denominador, siempre es positivo. Es decir, los límites laterales son +∞ en ambos casos, y consecuentemente,

∞ = →0 2

4 lim

x

x .

1.4.1.2. INDETERMINACIÓN DEL TIPO 0 0

Si al calcular el límite de una función f(x) obtenemos una indeterminación de este tipo, para resolverla tendremos que distinguir dos casos:

a) Si la función f(x) es una función racional (fracción algebraica), entonces la tendencia del límite es una raíz común a ambos polinomios, con lo cual se va a poder simplificar:

1 x

1 x lim 23

1

x −

− →

Al calcular el límite, es decir, al sustituir por el valor de tendencia:

0 0 1 1 1 1 1 1 lim 23

1 − ⎯⎯→

− = − − → x x x .

Entonces tanto el numerador como el denominador son divisibles entre (x-1) y podremos simplificar. Utilizaremos la regla de Ruffini o cualquier otro método para factorizar los polinomios. Aquí por ejemplo, el numerador lo haremos mediante la regla de Ruffini y para el denominador, nos damos cuenta de que es una igualdad notable:

(15)

Entonces . El límite quedará pues de la siguiente forma: ) 1 )·( 1 ( 1 2

3 = x x +x +

x 2 3 1 1 lim ) 1 )·( 1 ( ) 1 )·( 1 ( lim 1 1 lim 2 1 2 1 2 3

1 + =

+ + = − + + + − = − − → → → x x x x x x x x x x x x x 1 0 0 -1

1 1 1 1 1 1 1 0

b) Si se trata de una función con raíces cuadradas en el numerador o en el denominador:

1 x 1 x 3 lim 0

x→

Al sustituir la x por el valor 0 tendremos:

0 0 1 1 0 1 x 1 x 3 lim 0

x→ = − ⎯⎯→ .

Entonces multiplicaremos tanto el numerador como el denominador por el conjugado, en este caso del denominador

1 x 1 x 3 lim 0

x→ =

(

)

(

) (

)

= + − − − + −

→ 1 x 1 · 1 x 1

1 x 1 · x 3 lim 0 x

(

)

1 x 1 1 x 1 · x 3 lim 0

x − −

+ −

→ Puesto que en el

denominador tenemos una igualdad notable. Para continuar el ejercicio hay que simplificar, fijémonos en el denominador, hay un 1 que suma y otro que resta y después de hacerlo tendremos una x en el numerador que se podrá simplificar con la del denominador y lo que queda es:

(

)

6

1 2 · 3 1 1 x 1 · 3 lim 0

x − = − =−

+ − →

1.4.1.3. INDETERMINACIÓN DEL TIPO ∞−∞

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − −

→ x 1

1 1 x x 2 lim 2 1

x Si cambiamos x por 1 se tiene lo siguiente

0 1 0 2 1 1 1 1 1 2 1 x 1 1 x x 2 lim 2 1

x ⎥⎦= − − − = −

⎤ ⎢⎣ ⎡ − − −

→ . En realidad para comprobar que es

exactamente del tipo ∞−∞, tendríamos que hacer un análisis por la derecha y por la izquierda del valor x = 1. En la práctica no se hace nunca para poder ir más rápido y se asume que es de este tipo.

Sumamos las fracciones algebraicas y quedaría en la forma:

1 x 1 x lim 1 x ) 1 x ( x 2 lim 1 x 1 1 x x 2 lim 2 1 x 2 x 2 1 x − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − →∞ → →

Al sustituir ahora por x = 1, tenemos una indeterminación del tipo 0

0 , que resolveremos descomponiendo en factores y simplificando los resultados.

2 1 1 x 1 lim ) 1 x )·( 1 x ( 1 x lim 1 x 1 x lim 1 x 1 x 2 1

x + − = + =

(16)

1.4.1.4. INDETERMINACION DEL TIPO 0·∞

Como norma general, esta indeterminación se transforma en 0

0 sin mas que realizar las operaciones

(

)

1 x 3 · 1 x lim 2 1

x→ − . Si sustituimos el valor de x por 1, se obtiene:

(

)

1 −1 =0·∞

3 · 1

1 2

Pero si efectuamos la multiplicación nos queda

1 x ) 1 x ( 3 lim 2 1 x − −

→ y ahora es del tipo 00 , que

resolveremos descomponiendo el denominador

(

)

(

) (

)

4

3 1 x 3 lim 1 x · 1 x 1 x · 3 lim 1 x ) 1 x ( 3 lim 1 x 1 x 2 1

x − + = + =

− = − − → → →

1.4.1.5. INDETERMINACIONES DEL TIPO 00 0 1

En general, se usan los logaritmos y las derivadas para resolver este tipo de indeterminaciones es por lo que se verán con mas detalle en el tema siguiente.

1.4.2. Si x→∞

Resulta evidente que no puede sustituirse el valor x=∞en la expresión algebraica puesto que ∞no es un número en concreto, es por lo que tenemos que recurrir a diferentes técnicas relacionadas con el tipo de función a estudiar:

Potencias x : Dependerá de si n es par o impar, además si es a infinito positivo o infinito n

negativo ∞ = ∞ → n

xlim x

⎧ ∞ − ∞ + = −∞

→ sinesimpar

par es n si x lim n x

Polinomios: Para valores muy grandes (hacia el infinito) o muy pequeños (hacia en menos infinito) la potencia mayor domina a todos los demás sumandos. Así pues, para esos valores, el polinomio es casi igual que n(el de mayor grado)

nx a Ejemplos: ∞ = ∞ = = + + − ∞ → ∞

→ 2x 4x 5x 12 lim 2x 2·

lim 3 x 2 3 x −∞ = −∞ = = + + − −∞ → −∞

→ 2x 4x 5x 12 lim 2x 2·( )

lim 3 x 2 3 x −∞ = ∞ − = − = − + − ∞ → ∞

→ 3·

(17)

1.4.2.1. INDETERMINACIÓN DEL TIPO ∞ ∞

Funciones racionales: aplicamos un argumento análogo al del apartado anterior ya que en ambos miembros tenemos polinomios:

Ejemplos: 0 x 5 lim x 5 x 25 lim 1 x 4 x 5 7 x 6 x 25 lim x 3 2 x 3 2

x ⎟⎟= = =

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − + ∞ → ∞ → ∞

→ , porque para valores muy grandes de x, el

resultado de la división será cada vez más pequeño.

3 1 12 4 x 12 x 4 lim 31 x 3 x 12 x 5 x x 4

lim 33

x 2

3 2 3

x ⎟⎟= = =

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + − −∞ → −∞ → −∞ = ∞ − = − = − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − − ∞ → ∞ → ∞

→ x lim 2x 2·

x 2 lim 1 x 4 x x x 2 lim 3 x 2 5 x 2 3 5 x

Funciones irracionales: aunque no se puede hablar propiamente de grado, el procedimiento es bastante similar al de los polinomios. Así, por ejemplo para la función f(x)= x6 x3 +1, el término de mayor orden (llamamos orden a lo que en los polinomios de llama grado) será x , 6

que simplificado da x3.

0 x 3 lim x x 3 lim x x 3 lim 1 x 1 x x 3 lim x 3 2 x 6 2 x 6 2

x + = = = =

+ − ∞ → ∞ → ∞ → ∞ →

1.4.2.2. INDETERMINACIÓN DEL TIPO ∞−∞

Funciones racionales: Siempre se podrá efectuar la resta de las fracciones y así la indeterminación se cambiará a otra de otro tipo

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − ∞

→ x 1

x 1 x

x

lim 2 2

x En primer lugar, vamos a comprobar que este límite es del tipo

señalado. (En la práctica se hace directamente, aunque ahora vamos a hacerlo aquí todo por separado para que se entienda mejor). Calcularemos por separado los límites de cada sumando:

∞ = = = − →∞ →∞ ∞

→ x lim x

x lim 1 x x lim x 2 x 2 x ∞ = = = + →∞ →∞ ∞

→ x lim x

x lim 1 x x lim x 2 x 2 x

(18)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − ∞

→ x 1

x 1 x

x

lim 2 2

x x 2

x 2 lim 1 x x 2 lim ) 1 x )·( 1 x ( ) 1 x ( x ) 1 x ( x

lim 22

x 2 2 x 2 2

x ⎥ = − = =

⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − + = ∞ → ∞ → ∞ →

Funciones irracionales: Si se trata de diferencia de funciones con raíces cuadradas multiplicaremos y dividiremos por la expresión conjugada de la función

(

x 1 x 1

)

lim

x→∞ + − − ⎯⎯→∞−∞.

Ya que el primer sumando va al infinito y el segundo también.

(

x 1 x 1

)

lim

x→∞ + − − + + =

− − + = − + + − + + − − + = ∞ → ∞

→ x 1 x 1

) 1 x ( ) 1 x ( lim 1 x 1 x ) 1 x 1 x )·( 1 x 1 x ( lim x x 0 2 x 1 x 2 lim

x→∞ + + = ∞ =

1.4.2.3. TÉCNICA DE LA “COMPARACIÓN DE INFINITOS”.

Esta técnica es muy útil cuando existan diferencias y cocientes de expresiones en las que queden las indeterminaciones

∞ ∞ ∞ −

∞ y .

Propiedad: Si =±∞ =±∞

+∞ → +∞

→ f(x) y lim g(x)

lim

x

x , cuando f(x) sea un infinito de orden superior a

g(x) se verifica que:

±∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +∞ → g(x)

) x ( f lim x . 0 ) x ( f ) x ( g lim

x ⎟⎟ =

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +∞ → .

(

±

)

=

(

±

)

(

±∞

)

+∞ → +∞

→ f(x) g(x) lim f(x)

lim

x x

Comparación entre los órdenes de los infinitos de diversas funciones:

* Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Ejemplo : 0

x 5 x lim x 5 x

lim 423

x 2 3 4

x→+∞ = →+∞ =

Ejemplo : . x lim 1 x 2 2 x 7 x 3 x 5 x

lim 32

x x

2

mayor Ordenx x

3 x 2 3 3 +∞ = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − − +∞ → ↓ = ↓ +∞ →

* Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de

orden superior.

(19)

Ejemplo : = −∞ ∞ −

∞ + = ⋅ − +∞

→ x

x

x 1000 1´5

3

lim .

* Cualquier función de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia

de base x.

Ejemplo:

(

− −

)

=

( )

− = − =−∞

= ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− −

− +∞

+∞ → +∞

− ↓ +∞

→ 5x x 2 lim x 2 lim 2 2

x x 3

lim x

x x 2 x

x

x 3 2

5 x

2

* Tanto las funciones exponenciales de base mayor que 1 como las potencias de x, son

infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.

Ejemplo : =+∞

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− + −

= ↓ +∞

→ x 2x 3 lnx

lim

2 3 3 x x 3 x

En resumen:

1.- Las funciones de mayor orden son la exponenciales, luego las polinómicas y por ultimo las logarítmicas.

2.- Entre dos funciones exponenciales de base mayor que 1 tiene mayor orden la que tenga mayor base

3.- Entre dos funciones polinómicas tiene mayor orden la que tenga mayor exponente

4.- Entre dos funciones logarítmicas de base mayor que 1, tiene mayor orden la que tenga menor base

1.5 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Definición

Se dice que f(x) es continua en x = a si se verifican estas condiciones: ⇒ ∃f(a)

⇒ lim f(x), y = =

a x +

∃ lim f(x)

a x

∃ lim f(x)

a

x + xlima−f(x) limxaf(x)

⇒ f(a) = limf(x).

a x→

NOTA: Cuando en las condiciones anteriores aparece el símbolo ∃, quiere decir que el valor sea finito.

(20)

Ejemplo : Analiza la continuidad de

<

=

1

x

1

x

2

1

x

x

1

)

x

(

f

en x = 1.

1. f(1) = 2·1 − 1 = 1.

2.

(

)

1 ) x ( f lim 1

x 1 lim ) x ( f lim

1 1 x 2 lim ) x ( f lim

1 x 1

x 1

x

1 x 1

x

= ⇒

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = =

= − =

→ →

→ →

− −

+ +

3. Como = ⇒ f(x) es continua en x = 1.

→ f(x) lim ) 1 ( f

1 x

1.5.1 Clasificación de la discontinuidad (no continuidad)

¿Cuáles son las causas para que una función sea discontinua en un punto, es decir no sea continua en un punto? Que falle una de las dos condiciones antes citadas: no existe límite de la función en a o existe pero no coincide con f(a)

Discontinuidad Evitable

a b

c

) x ( f lim ) x ( f lim

a x a

x + ≠

Discontinuidad de salto finito

a b

) a ( f

∃/

) x ( f lim

a x→

a b c

∃f(a)

) x ( f lim

a x→

f(a) ≠ limf(x)

a x→

Caso 1 Caso 2

(21)

Discontinuidad de salto infinito

Existe este tipo de discontinuidad cuando alguno de los límites laterales es infinito. Veamos diferentes gráficos en los que están contemplados esta discontinuidad.

Discontinuidad de 2ª especie ó esencial

Cuando la función no está definida por algún lado de un punto.

a a

a a

a b

(22)

Al igual que existen los limites laterales, se puede hablar de continuidad lateral, es decir, por la derecha y por la izquierda. Así, en el dibujo anterior podemos decir que la función es continua por la derecha en x = a, discontinua de salto infinito por la izquierda en x = b y para todos los valores comprendidos entre b y a la función es discontinua esencial

Ejemplo: Estudia la continuidad de en x = 1. ⎩

⎨ ⎧

≥ < =

1 x x ln

1 x e ) x (

f x

* f(1) = ln 1 = 0.

*

( )

) x ( f lim e

e lim ) x ( f lim

0 x ln lim ) x ( f lim

1 x x

1 x 1

x

1 x 1

x

→ →

∃/

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = =

= =

− −

+ +

* Como f(x) es no es continua en x = 1. Existe una discontinuidad de

salto.

⇒ ∃/

→ f(x)

lim

1 x

Aunque, según los resultados anteriores podemos decir que f(x) es continua por la derecha de x = 1, ya que f(1) limf(x) y por la izquierda es discontinua de salto.

1 x +

=

Análisis de la continuidad de una función a trozos

Para analizar la continuidad de una función a trozos debemos tener en cuenta lo requerido en el enunciado, así que:

9 Si nos piden estudiar la continuidad en un punto, sólo nos limitaremos a estudiar la continuidad en ese punto como hicimos en los ejemplos anteriores.

9 Si nos piden analizar la continuidad, sin decirnos donde, debemos analizarla en su dominio.

9 Si nos piden estudiar la continuidad en un intervalo, primero la estudiaremos en su dominio y luego comprobaremos si el intervalo está incluido o no en el dominio.

Ejemplo : Estudia la continuidad de

⎪⎩

>

+

+

=

0

x

1

x

0

x

1

e

e

)

x

(

f

2 x

x

.

Hemos de hacer un estudio en todo el dominio de la función, en primer lugar entonces determinaremos cual es precisamente dicho dominio. Para ello tendremos en cuenta que la función esta compuesta por dos trozos:

En el primero es una función racional que seria no continua en aquellos puntos que anulen el denominador, es decir aquellos valore de x tales que son solución de la ecuación . Ahora bien, para resolverla si pasamos el termino independiente al otro miembro nos queda que , que es una ecuación sin solución, con lo cual el dominio el todo el intervalo del primer trozo, es decir

0 1 ex + =

1 ex =

[

0,∞

)

(23)

En el segundo, es un polinomio cuyo dominio será entonces todo el intervalo de definición es decir

(

0,∞

)

En resumen, la función tiene por dominio todos los números reales

Para analizar la continuidad de una función a trozos, hemos dicho que hay que tener en cuenta dos tipos de puntos, en primer lugar, los que no pertenecen al dominio (en este caso no hay ninguno con esta característica) y por otro lado los puntos frontera, en este caso x = 0.

Para este punto, tendremos que comprobar si coincide el limite con la función en dicho punto. Precisamente al ser un punto frontera, tenemos que calcular los limites laterales

2 1 1 e

e 1 e

e

lim xx 00

0

x − + = + = lim x 1 0 1 1 f(0) = ½

2 0

x + + = + =

Diremos entonces que la función es discontinua en x = 0 de tipo salto finito, y podemos concretar mas diciendo que es continua por la izquierda pero discontinua de salto finito por la derecha.

Ejemplo : Calcula a y b para que sea continua la siguiente función:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≥ +

< < −

− ≤ +

=

3 x 4 x 2

3 x 1 b

1 x ax x ) x ( f

2

En primer lugar debemos localizar cual es el dominio exactamente, como quiera que cada uno de los trozos es un polinomio, y además los puntos frontera también están incluidos en la definición, podemos concluir que el dominio es todo el conjunto de números reales ℜ.

Entonces, donde único pudiera ser discontinua la función será precisamente en dichos puntos frontera.

Si analizamos en primer lugar, por ejemplo, la situación para x = -1, se tiene que:

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪

⎬ ⎫

− = −

=

− = − + − = +

+ −

− →

− →

a 1 ) 1 ( f

b b lim

a 1 ) 1 ( a ) 1 ( ax x lim

1 x

2 2

1 x

(24)

Del mismo modo, si analizamos para x = 3, se tiene que:

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪

⎬ ⎫

=

= + = + =

+ −

− →

− →

10 ) 3 ( f

10 4 6 4 x 2 lim

b b lim

3 x

3 x

Para que sea continua, tiene que ser b = 10.

De lo cual se deduce que 1 – a = 10 luego a = -9. Y la función quedaría:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≥ +

< < −

− ≤ −

=

3 x 4 x 2

3 x 1 10

1 x x 9 x ) x ( f

2

1.5.2 Propiedades de las funciones continuas

Teorema de Bolzano

Si f(x) es continua en un intervalo cerrado y en sus extremos toma valores de distinto signo, entonces, con seguridad, corta al eje x en ese intervalo. Es decir:

“Si f(x) es continua en [a,b] y signo de f(a) ≠signo de f(b); entonces existe c∈

( )

a,b tal que f (c) = 0”

Ejemplo: Probar que la ecuación tiene alguna raíz real, Aproximar su valor hasta las décimas. x 3x 40 0

3 + =

Consideremos la función que al ser polinómica es continua en toda la recta real.

40 x 3 x ) x (

f = 3 +

Tanteando vemos que f (-4) = -12 f(-3) = 22, es decir que la función definida toma valores de signo diferente en los extremos del intervalo [-4,-3]

Por tanto podemos aplicar el teorema de Bolzano a esta función en el intervalo [-4,-3] y existe un numero c, -4 < c < -3, tal que f (c) = 0. Es decir es solución de la ecuación.

Tanteando con valores decimales f(-3’8) = -3’472 f(-3’7) = 0’447. Por tanto, podemos decir que el numero -3’7 se aproxima en menos de una décima a una raíz de la ecuación dada

(25)

Consecuencias:

1.- Teorema de Darboux o de los valores intermedios:

Si f es continua en [a,b], entonces toma todos los valores intermedios entre f(a) y f (b). Es decir que cualquier que sea el numero k, comprendido entre f(a) y f(b), existe un numero s comprendido entre a y b, a < s < b, tal que f (s ) = k.

) (

2.- Si f y g son funciones continuas en [a,b] y f()a < g a) y f (b) > g (b), entonces existe un numero s, a < s < b, tal que f (s) = g (s).

Ejemplo: Probar que las graficas de las funciones lnx y e−x, se cortan en algún punto

Vamos tanteando hasta que podamos afirmar que se cumple la segunda consecuencia del teorema de Bolzano:

f (1) = ln1 = 0 g (1) = e−1 ≈0’37 f (1) < g (1)

f(2) = ln2 0’931 ≈ g(2) = e−2 ≈0’14 f (2) > g(2)

Como ambas funciones son continuas en el intervalo [1,2], podemos asegurar que se cortan en algún punto comprendido entre 1 y 2.

Teorema de Weierstrass

Si f es continua en [a,b] , entonces tiene un máximo y un mínimo absolutos en ese intervalo, es decir, existen sendos números c y d, del intervalo [a,b] para los cuales se cumple que:

cualquiera que sea x del intervalo [a,b] )

c ( f ) x ( f ) d (

Figure

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