FUNCIONES EXPONENCIALES y LOGARITMICAS FUNCIONES EXPONENCIALES

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Análisis Matemático I

Ingeniería en Sistemas de Información 2013

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FUNCIONES EXPONENCIALES

La función exponencial

La función exponencial es de la forma , siendo a un número real positivo.

En la Fig. 1 se ve el trazado de la gráfica .

Se grafica a continuación (ver Fig. 2 y 3) el comportamiento de la función al variar el valor de “a”. Se observa que la gráficas y de ( ) son simétricas respecto al eje y.

 El dominio son todos los reales y la imagen son los reales positivos  Es continua

 Si a >1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente  Corta al eje y en (0,1)

 El eje x es asíntota  La función es inyectiva

FUNCIONES EXPONENCIALES y LOGARITMICAS

(0 ,1) 𝒇 𝒙 𝟐𝒙 Asíntota 𝒚 𝟎 (-2 ; 0,25) (-1 ; 0,5) (1,2) (2 ;4) (3 ;8) x y Fig. 1

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En la Fig. 4 se puede ver como al multiplicar por una constante en el eje y es (0,k).

En la Fig. 5 se observa que al sumar (o restar) una constante b, la gráfica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades y la asíntota horizontal pasa a ser

4 2 2 4 2 2 4 6 8 4 2 2 4 2 2 4 6 8 x y Asíntota 𝒚 𝟎 𝑦 3 𝑥 𝑦 0, 𝑥 (0,1) Asíntota 𝒚 𝟎 Asíntota 𝒚 𝟎 (0,1) 𝑦 3𝑥 𝑦 1, 𝑥 𝑦 0, 𝑥 𝑦 3 𝑥 x x y y 𝑦 1 3 𝑥 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

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Crecimiento exponencial

La función exponencial se presenta en una gran variedad de fenómenos de crecimiento animal, vegetal, económico, etc. En todos ellos la variable independiente es el tiempo. En el crecimiento exponencial cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a.

Donde k es el valor inicial (para 0), t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempo.

Si 1 se trata de un decrecimiento exponencial.

En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano, si su peso se multiplica por 2 cada día, ¿cuál es su crecimiento si el peso inicial es 3 gr.?

2 4 6 8 2 4 6 8 10 12 14 Peso inicial: 3 gr. Crecimiento: por 2 t (días) f(t) 0 3.1 = 3 1 3.2 = 6 2 3.4 = 12 3 3.8 = 24 4 3.16 = 48 y t (0 ,3) (1, 6) (2,12) x y Asíntota 𝒚 𝟐 𝑦 𝑥 Fig. 5

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4 Aplicaciones

La función exponencial describe cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo. Por ejemplo:

Crecimiento de poblaciones

El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos y defunciones.

Si inicialmente partimos de una población , que tiene un índice de crecimiento i (considerando en tanto por 1), al cabo de t años se habrá convertido en

Desintegración radioactiva

Las sustancias se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de una cierta sustancia residual a lo largo del tiempo viene dada por:

donde es la masa inicial, 1es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos

La rapidez de desintegración de las sustancias radiactivas se mide por el “periodo de desintegración” que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad.

Funciones logarítmicas La función de la exponencial

Dada una función inyectiva, , se llama función inversa de f a otra función, g, tal que g(y)=x. En la figura adjunta se puede ver la inversa de la función exponencial.

00 1,03 0

Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece anualmente un 3%, al cabo de 8 años se tendrán:

0 0, _{0 0,}

0 0, _,3

Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 años, si en el año 2000 teníamos 20 gr. y se toma como origen de tiempo dicho año

 La función es:

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FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Dada una función inyectiva, , se llama función inversa de f a otra función, g, tal que . En la Fig. 6 se puede ver la función exponencial y su inversa la función logaritmo.

Para cada x se obtiene . Al valor obtenido lo llamamos y o f(x). La función inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x.

Esta función se llama función logarítmica y, como se puede observar, es simétrica de la función exponencial respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

La función logarítmica

Es la función inversa de la función exponencial y se denota de la siguiente manera:

, con a > 0 y 1

 El dominio son los reales positivos y la imagen son todos los reales  Es continua

 Si a >1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente  Intersección eje x en (1,0)  El eje y es asíntota  La función es inyectiva 𝒇 𝒙 𝟐𝒙 𝒈 𝒙 𝒍𝒐𝒈_𝟐𝒙 x y (0,1) (1,0) 𝑓 ⟶ ⟵ 𝑔 4 Fig. 6

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6 En la Fig. 7 se representa la gráfica de de forma similar a como se hizo la función exponencial.

Fig. 7

En las Fig. 8 y 9 se puede ver cómo cambia la gráfica al variar a.

En las Fig. 10 y 11 se puede ver cómo al multiplicar por una constante cambia la rapidez con que la función crece (k>0) o decrece (k<0).

Al sumar (o restar) una constante b la gráfica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades, cambiando el punto de corte con el eje de las abcisas.

2 2 4 6 8 4 2 2 4 2 2 4 6 8 4 2 2 4 x y 𝒙 𝟎 asíntota (0,25;-2) (0,5;-1) (1;0) (2;1) (4;2) (8;3) 𝒇 𝒙 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙 𝒚 𝒍𝒐𝒈𝟏,𝟓𝒙 𝒚 𝒍𝒐𝒈𝟑𝒙 𝒚 𝒍𝒐𝒈𝟒𝒙 𝒚 𝒍𝒐𝒈_,𝟐 𝟑𝒙 𝒚 𝒍𝒐𝒈_,𝟏 𝟑𝒙 𝒚 𝒍𝒐𝒈_,𝟏 𝟐𝒙 x x y y _asíntota asíntota Fig. 7 Fig. 8 Fig. 9

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7 Los logaritmos

Dados dos números reales positivos, a y b ( ), llamamos logaritmo en base a de b al número al que hay que elevar a para obtener b.

La definición anterior indica que:

equivale a

Propiedades de los logaritmos

 Logaritmo del producto:  Logaritmo del cociente: ( )  Logaritmo de una potencia:  En cualquier base: ya que 1

ya que 2 2 4 6 8 4 2 2 4 2 2 4 6 8 2 2 4 Sean:  ₌   asíntota asíntota x y asíntota x y , Fig. 10 Fig. 11

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8 Las bases más utilizadas son:

10, es el logaritmo decimal , es el logaritmo natural Cambio de base

Cuando se quieren calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la fórmula del cambio de base:

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9 Ejercicios resueltos

1. Representa y estudia las funciones a) 4

b) 3 1

2. Indica si el gráfico corresponde a una función con crecimiento exponencial o con decrecimiento. Escribe la función

Dominio=R Imagen= 0, ∞] Asíntota: y=0 Intersección eje y: (0,4) f es Creciente Asíntota y=0 (0 ,4) x y Dominio=R Imagen = 1, ∞] Asíntota: y=1 Intersección eje y: (0,3) f es decreciente Asíntota y=1 (0 ,3) x y

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10 3. Representa y estudia las funciones

a) b) 1 0 3 1 3 1 1, 3 Observa la gráfica La función es: 3 f es creciente (0 ,3) x y (0 ,1) x y a) b) 0 1 1 3 3 Observa la gráfica La función es: ( ) 3 f es decreciente

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11 a)

b)

4. Calcula x en cada caso aplicando la definición de logaritmo: ( ) 1 b) 4 c) 1 3 1 d) 1 0 ( ) 1 Dominio= 0, ∞ Imagen =R Asíntota: x=0 Intersección eje x: (1,0) f es creciente y x Dominio= 0, ∞ Imagen =R Asíntota: x=0 Intersección eje x: ( , 0) f es creciente y x

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12 5. Resuelve las ecuaciones exponenciales:

a) 3 1 b) c) 4 d) 1 e) 1 6. Calcula el valor de x: a) b) c) ,13 4,

Cuando la x está en el exponente

 Resuelve la ecuación: 1

y 1 , entonces Igualando los exponentes 3 3  Calcula x en 3 14 Tomando logaritmos: 3 14 3 14 luego ,40 1 4 4 100 400 400 400 0

Ecuaciones con logaritmos

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13 7. Aplicando las propiedades de los logaritmos resuelve las ecuaciones:

a) 3 4 0 b) 1 c)