Notas de
Notas de
Geometría
Geometría
diferencial
diferencial
clásica
clásica
Luis J. Garay
Notas de
Geometría diferencial
clásica
Luis J. Garay
con la colaboración de
Alejandro Manjavacas
y David Yllanes
Madrid,
6
de junio de
2006
Universidad Complutense de Madrid
FACULTAD DECIENCIASFÍSICAS
DEPARTAMENTO DEFÍSICATEÓRICAII
Avda. Complutense s/n, E-28040 Madrid, España
Luis J. Garay luisj.garay@ucm.es
Tel.:+34 913944552, Fax:+34 913944557
Estas notas no son otra cosa que mis apuntes personales, que he ido elaborando con el único objeto de que me sean útiles en la enseñanza de la asignatura de Geometría diferencial clásica. Aunque probablemente estas notas os sean útiles también a vosotros, no debéis olvidar que, en ningún caso, pueden sustituir a la bibliografía de la asignatura. Además, como podéis ver, son en buena parte un resumen de los contenidos del libro de Costa, Gamboa y Porto, con una notable pérdida de rigor y calidad.
En este sentido, es necesario hacer algunas advertencias:
Estas notas no son, ni pretenden ser, un libro ni un manual. Son, una vez más, mis apuntes personales.
No me hago responsable de los errores que puedan contener estas notas ni del uso que hagáis de las mismas. La bibliografía pertinente es, sin duda, el medio más adecuado para obtener los conocimientos necesarios.
Son una notas incompletas cuyo contenido no va más allá de los temas trata-dos en la asignatura de Geometría diferencial clásica.
Agradecería que me comunicaseis cualquier errata que pudieseis encontrar. Sin duda alguna, serán muchas. De hecho, quiero dar las gracias a los alumnos de los cursos 2003/04 y 2004/05 por haber contribuido notablemente a disminuir el
número de errores.
Quiero agradecer a Alejandro Manjavacas y a David Yllanes su colaboración en la redacción de estas notas. Ambos han contribuido a mejorar notablemente el contenido y la exposición de las mismas.
Recibid un saludo de mi parte,
—
luis
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[1] A.F. Costa, M. Gamboa, A.M. Porto,Notas de geometría diferencial de curvas y
superficies (Sanz y Torres, 1997)
[2] A.F. Costa, M. Gamboa, A.M. Porto,Ejercicios de geometría diferencial de curvas
y superficies (Sanz y Torres,1997)
[3] Dirk J. Struik, Geometría diferencial clásica, Aguilar, Madrid (1955) (También
en inglés en Dover)
[4] Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover (1991). Hay otra edición, más
completa: Introduction to Differential Geometry and Riemaniann Geometry, Toronto University Press (1968). En realidad cualquiera de las dos incluye lo
relevante para este curso.
[5] Sebastián Montiel y Antonio Ros, Curvas y superficies, Proyecto Sur, Granada
(1997)
[6] A. López de la Rica, A. de la Villa Cuenca, Curvas y superficies, Proyecto Sur,
Granada (1997)
[7] Martin M. Lipschutz, Teoría y problemas de geometría diferencial, Schaum,
Mcgraw Hill, Madrid (1990). Hay también una edición llamada Geometría
diferencial (serie Schaum, Mcgraw Hill,1970)
[8] Manfredo do Carmo, Geometría diferencial de curvas y superficies, Alianza
Uni-versidad, Madrid (1994)
[9] A. S. Fedenko, Problemas de geometría diferencial, Mir, Moscú y Rubiños,
Ma-drid (1991)
[10] David C. Kay Teoría y problemas de cálculo tensorial, McGraw-Hill, serie
Schaum, Madrid (1989)
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Como se ha advertido en el Prefacio, el uso de libros es muy necesario. A con-tinuación daremos algunas sugerencias, aunque siempre es conveniente que cada uno pruebe y elija los libros que más le convengan.
En el primer tema las notas siguen bastante la referencia [1], libro muy claro
y completo, pero que puede tener un tratamiento demasiado riguroso de algunos temas. La estructura es algo distinta, pues empieza por un capítulo dedicado ex-clusivamente a curvas planas, para luego continuar con las curvas en el espacio, donde cubre todos los contenidos tratados en esta asignatura. Para la teoría de este tema, también es recomendable al libro [4], más resumido que el anterior y que no
se detiene tanto en algunos detalles técnicos. La notación de [4] se acerca más a la
de estas notas que la de [1]. Otro libro de teoría adecuado para el Tema 1es [8]. En
general cualquiera de los tres se adapta a lo explicado en clase.
El tema de superficies está también tratado en el libro [1] aunque, de nuevo, el
enfoque puede resultar demasiado lento si no se tiene demasiado tiempo. Es bas-tante claro el libro [4], que introduce los conceptos relevantes con más rapidez. Para
la parte de geometría intrínseca (Tema3), la notación y estructura de clase resultan
muy distintos ya a la mayoría de los libros aquí recomendados, que no utilizan el formalismo tensorial. La referencia [4] se acerca más y puede resultar interesante
para quien tenga dificultades con estos conceptos. Incluye un tema dedicado a una introducción al cálculo tensorial. Otra referencia interesante para practicar con los tensores es [10].
Es muy importante completar los ejercicios de clase con libros. Uno de los más recomendables es [2], que incluye muchos problemas, todos resueltos, muy claros
y muy detallados. No todos los ejercicios de este libro se ajustan al nivel de la asignatura: hay bastantes muy largos y otros que, sin ser especialmente difíciles, se dedican a temas que no se tratan aquí. También es interesante el libro [6], con
problemas muy variados, en general más sencillos que los de [2], y con una
es-tructura muy clara y manejable. Hay también muchos ejercicios en la referencia [7].
Finalmente, el libro [9] incluye una cantidad enorme de problemas, de muy variada
dificultad, aunque no tan explicados como en los anteriores (muchas veces se limita a proporcionar el resultado). Es especialmente interesante para problemas de para-metrización de curvas (y también de superficies) puesto que es necesaria una cierta soltura con este aspecto para abordar algunos ejercicios. En general, cualquier libro citado en la teoría incluye problemas.
Finalmente, queremos recomendar la páginawebmathworld.wolfram.com, un
re-curso muy útil con muchísima información sobre todo tipo de temas matemáticos. Para esta asignatura, se pueden encontrar allí definiciones y teoremas, junto con
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páginas dedicadas a superficies concretas, de las que suele incluir la primera y segunda formas fundamentales, geodésicas, dibujos, etc.
Alejandro Manjavacas y David Yllanes, 2005
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Introducción 0–13
1. Curvas en el espacio 1–1
1.1. Curvas regulares . . . 1–3
1.1.1. Parametrizaciones . . . 1–3
1.1.2. Recta tangente y plano osculador . . . 1–5
1.1.3. Orientaciones . . . 1–7
1.1.4. Parametrización por la longitud de arco . . . 1–7
1.2. Curvatura y torsión . . . 1–9
1.2.1. Sistema de referencia móvil . . . 1–9
1.2.2. Curvatura y torsión . . . 1–10
1.2.3. Caracterización de curvas mediante las funciones curvatura y
torsión . . . 1–14
1.3. Contactos . . . 1–16
1.3.1. Ejemplos concretos . . . 1–16
1.3.2. Teoría general de contactos . . . 1–19
1.4. Curvas planas . . . 1–23
1.5. Ejercicios . . . 1–25
2. Superficies en el espacio 2–1
2.1. Cartas, atlas y superficies diferenciables . . . 2–3
2.2. Plano tangente . . . 2–8
2.2.1. Curvas en una superficie . . . 2–8
2.2.2. Plano tangente . . . 2–11
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2.3. Aplicaciones diferenciables . . . 2–15
2.3.1. De una superficie en R3 . . . 2–15
2.3.2. Entre superficies de R3 . . . 2–15
2.4. Orientabilidad . . . 2–17
2.5. La primera forma fundamental . . . 2–20
2.6. Geodésicas . . . 2–23
2.7. La segunda forma fundamental . . . 2–25
2.8. Curvatura . . . 2–27
2.8.1. Curvatura normal . . . 2–27
2.8.2. Líneas de curvatura . . . 2–30
2.8.3. Curvatura de una superficie . . . 2–32
2.8.4. Clasificación local de las superficies . . . 2–33
2.9. Líneas asintóticas . . . 2–35
2.10. Ejercicios . . . 2–37
3. Geometría intrínseca de superficies 3–1
3.1. Isometrías . . . 3–3
3.2. Ecuaciones de compatibilidad . . . 3–7
3.2.1. Fórmulas de Gauss-Codazzi y de Weingarten . . . 3–7
3.2.2. Símbolos de Christoffel . . . 3–7
3.2.3. Fórmula de Mainardi . . . 3–10
3.2.4. Fórmula y teorema egregio de Gauss . . . 3–10
3.2.5. Fórmula de Mainardi-Codazzi . . . 3–11
3.2.6. Condiciones de compatibilidad . . . 3–11
3.3. Transporte paralelo. Derivación covariante . . . 3–12
3.4. Geodésicas y curvatura geodésica . . . 3–15
3.5. Ejercicios . . . 3–19
A. Tensores A–1
A.1. Vectores y formas lineales . . . A–3
A.2. Cambios de base . . . A–3
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A.3. Tensor métrico . . . A–5
A.4. Tensor de Levi-Civita . . . A–6
A.5. Tensores cartesianos . . . A–9
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Ubi materia, ibi geometria
J. Kepler
La geometría como estudio de las curvas y superficies más sencillas es una dis-ciplina muy antigua, practicada por todas las civilizaciones clásicas. Como ejemplo cabe mencionar a los egipcios, cuya civilización se desarrolló, como es bien sabido, en torno al Nilo y dependía totalmente de la crecida y posterior retirada de este río, que dejaba a la tierra muy fértil. Era, por lo tanto, muy importante para ellos la medida de tierras con cierta precisión, para poder repartir las zonas inundadas de acuerdo con la propiedad de cada uno.
En Grecia, la geometría entró con fuerza: al primero de los Siete Sabios, Tales de Mileto, ya se le atribuyen teoremas (como el que demuestra la igualdad de los ángulos que se forman al cortar dos paralelas con una línea común). En los siglos VI y V a.C., el protagonismo en esta área recayó sobre Pitágoras y sus seguido-res, entre los que destacan Filolao y Arquitas. Pero, aunque ya en esta época se conocían varios teoremas y propiedades de figuras, solamente se trataban aquéllas limitadas por rectas y circunferencias; hasta el siglo IV a.C. no se ampliaron estos horizontes. Fue entonces cuando Menecmo introdujo la idea de secciones cónicas, que fue desarrollada más tarde por Apolonio. Un poco antes, apareció el que es probablemente el primer libro de texto de Geometría, debido a Hipócrates de Quío. Mucho más importantes fueron losElementosde Euclides, escritos en el siglo III a.C. Este libro se convirtió en la referencia básica, casi en la única. En él, se basó todo el desarrollo de la geometría y, en gran parte al menos, de la ciencia durante muchos siglos, como veremos a continuación.
De la misma escuela alejandrina que Euclides, apareció Arquímedes, el más importante matemático de la antigüedad. A él, se deben las soluciones a muchos problemas, tanto físicos como geométricos. Entre los últimos, destacan su estudio de las espirales, de la relación entre la esfera y el cilindro, la cuadratura de la parábola, etc.
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A partir de aquí, la geometría guió toda la génesis de la física. Con simples razonamientos geométricos, Eratóstenes llegó a dar una estimación muy acertada de la circunferencia de la Tierra y la geometría fue también el lenguaje utilizado por Tolomeo en su Gran síntesis astronómica (más conocida por su nombre árabe,
Almagesto), donde expuso su modelo astronómico y donde introdujo el estudio de las cuerdas en circunferencias (equivalente, por supuesto, a un estudio de los senos).
No fue Tolomeo el último en exponer sus ideas de esta manera y, así, tenemos que, en la época de la Revolución Científica, Kepler escribió «La geometría es el arquetipo de la belleza del mundo».
Todo este desarrollo se llevó a cabo con la geometría como una rama totalmente desligada de los avances algebraicos. Fue necesario esperar al siglo XVI, cuando la Matemática universal de Descartes integró la síntesis (geometría) y el análisis (ál-gebra). Pero esta unión no llegó a los corazones de todos los científicos. El propio Newton escribió todos sus Principios Matemáticos de la Filosofía Natural con razo-namientos puramente geométricos; el álgebra era para él de segunda categoría. En otras palabras, en todo este tiempo, los métodos matemáticos utilizados por la geo-metría fueron bastante elementales y las figuras estudiadas se limitaban a las más sencillas. En estas condiciones, no estaba claro cuáles serían las propiedades gene-rales que habría que investigar al dar el salto hacia curvas y superficies arbitrarias. No obstante, tal investigación era completamente natural y necesaria. Esto se ve al considerar ejemplos naturales que se aproximan al concepto de curva o superficie matemática: la trayectoria de un barco, la forma de un muelle en espiral, las órbitas de los planetas, el perfil de un ala de avión, etc.
A la vista de esto, hay que buscar la razón de que este estudio general se haya retrasado tanto en la Historia, en contraste con el interés que, como hemos visto, despertó la geometría elemental desde el principio. Y la encontramos en el hecho de que, para poder hablar de una teoría de curvas y superficies, es totalmente im-prescindible la existencia del cálculo infinitesimal. De este modo, fue solo a partir del siglo XVIII cuando se pudo desarrollar este trabajo. Con el paso del tiempo, los problemas tratados rebasaron el marco de una simple aplicación del análisis a la geometría y condujeron a la formación de una teoría independiente. Algunos de los más importantes contribuidores en las primeras etapas fueron Clairaut, Euler o Monge. Por supuesto, todo este trabajo estaba motivado principalmente por ne-cesidades prácticas, de la tecnología e industria, para las que los resultados de la geometría elemental resultaban totalmente insuficientes. Un ejemplo importante de motivación es el problema de la confección de mapas, es decir, hallar una
represen-—
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tación lo más exacta posible de partes de la superficie de la Tierra sobre un plano. Como se verá en el tema 2, una representación completamente exacta es imposible,
pues las distancias entre puntos correspondientes están necesariamente distorsio-nadas. A éste y otros aspectos se dedicó Gauss, cuyo trabajo en teoría de superficies condujo a la creación de una rama independiente de las matemáticas. Es, de he-cho, a un resultado geométrico, que se estudiará en el tema 3, al que se reserva el
título de Teorema egregio, de entre los muchos obtenidos por este gran matemático. En sus propias palabras: «De este modo, la fórmula del artículo precedente lleva por sí misma al destacable teorema. Si una superficie curva es desarrollada en
otra cualquiera, la medida de la curvatura en puntos correspondientes permanece invariada». Veremos en el tema 3 la expresión moderna de esta afirmación, en la
que el desarrollo de Gauss se convertirá en unaaplicación isométrica.
En resumen, hacia la segunda mitad del siglo XIX, la teoría de curvas y super-ficies quedó ya establecida en sus rasgos básicos y es ésta la parte de la geometría diferencial que se va a tratar en esta asignatura. Fue en este siglo donde quedaron establecidas tanto las ecuaciones fundamentales de la teoría de curvas (ecuaciones de Frenet) como las de superficies (formas fundamentales y estudio intrínseco). También fue en esa época, abandonados ya los intentos de demostrar el indemos-trable quinto postulado de Euclides,1
cuando aparecieron geometrías no euclídeas a partir del trabajo de Gauss, Bolyai y Lobachevski. En concreto, se empezó por postular una geometría (que Klein llamaría hiperbólica) en la que por cada pun-to pasan infinitas paralelas a una recta dada. En este espacio, los ángulos de los triángulos suman menos de 180 grados y la circunferencia es mayor que π veces el diámetro. Sin embargo, los otros cuatro postulados siguen siendo válidos. Más tarde, los matemáticos Riemann y Schläfli desarrollaron otro tipo de geometría no euclídea, elíptica en la clasificación de Klein, en la que por un punto dado no se puede trazar ninguna paralela a una recta dada. En este caso, los triángulos tienen más de 180 grados y las circunferencias son menores que 2π veces su radio. Es-tas nuevas geometrías no fueron bien recibidas por todos al principio y, de hecho, el propio Gauss tardó en hacer públicas sus ideas sobre el tema, para no generar polémica entre sus colegas más conservadores. El paso del tiempo ha demostrado, sin embargo, que estas geometrías son tan consistentes como la clásica. Se puede modelar el plano hiperbólico con la pseudoesfera, resultado de rotar una tractriz2
1
Se puede enunciar este postulado de la siguiente manera: «Por un punto en el plano, no situado sobre una recta dada, solo se puede trazar una única paralela a dicha recta». A lo largo de la historia fueron muchos los intentos de demostrar este postulado (convertirlo en un teorema) a partir de los otros cuatro.
2
La tractriz es la curva descrita por un objeto, inicialmente en el eje vertical, cuando es arrastrado
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alrededor de su asíntota, como veremos en el tema 2. Análogamente, la geometría
elíptica se puede identificar con la superficie de una esfera. En ella, las geodésicas rectas de Euclides se convierten en círculos máximos y, por supuesto, no puede haber dos paralelos. Einstein adoptó más tarde una geometría no euclídea, en la que la curvatura de cada punto depende de la materia. Citando a J. A. Wheeler, «La materia dice al espacio cómo curvarse y éste devuelve el cumplido diciendo a la materia cómo moverse». Antes de esto, la mayoría de físicos y matemáticos, dirigidos por Poincaré, suponían que el espacio era euclídeo y que, si algún expe-rimento óptico pudiera sugerir lo contrario, sería mejor cuestionar el expeexpe-rimento o incluso aceptar que los rayos luminosos no siguen geodésicas antes que abando-nar el simple modelo euclídeo. Así lo expresan por ejemplo Whitehead y Russell en la undécima edición de la Encyclopædia Britannica. La llegada de la relatividad hizo cambiar de opinión a Russell; Whitehead, sin embargo, fue de los pocos que siguió adherido a las ideas anteriores y no dejó de decir que es mejor cambiar las leyes de la física y preservar un universo euclídeo. En resumen, podemos decir que se acepta universalmente que todos los sistemas geométricos pueden ser ciertos de manera abstracta, mientras que la estructura del espacio debe ser determinada empíricamente. El propio Gauss llegó a pensar en triangular tres picos de montaña para ver si efectivamente sus ángulos sumaban dos rectos.
En el siglo XX, la atención ya se desvió hacia temas más abstractos (cálculo en variedades) que permitieron expresar de forma geométrica conceptos avanzados del análisis, con las ventajas que ello conlleva. Pero este estudio se sale ya del ámbito de esta asignatura que, como su nombre indica, se dedica a la geometría diferencial clásica, es decir, de los siglos XVIII y XIX.
Interés para la Física
Una primera motivación para el estudio de la geometría surge inmediatamente: la conveniencia de formarse imágenes mentales de fenómenos físicos. Incluso mé-todos simples e intuitivos de la geometría euclídea elemental han sido el lenguaje en el que los padres de la Física han expresado sus ideas y razonamientos, como hemos visto anteriormente. Newton llegó a decir que «la descripción de las líneas rectas y círculos, en la que se basa la geometría, pertenece a la mecánica».
Pero otras aplicaciones ya no son tan intuitivas como los razonamientos que lle-varon a Newton a justificar las órbitas elípticas de los planetas y requieren métodos más potentes. Un ejemplo de ello se puede encontrar en la teoría de la relatividad,
por una cuerda de longitud fija cuyo inicio se mueve siguiendo el eje horizontal.
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según la cual el espacio y el tiempo absolutos clásicos son solo una aproximación a la realidad, como hemos comentado antes.
Además, dentro ya de temas más avanzados y que salen fuera del ámbito de asignatura de Geometría diferencial clásica, tenemos la idea de que la geometría y el análisis dependen el uno del otro: para el desarrollo de la primera se necesitan métodos analíticos pero, a la vez, proporciona nuevas herramientas y conceptos (derivada de Lie, cálculo exterior, fibrados, variedades. . . ) que tienen gran impor-tancia en el desarrollo moderno de este último. En este aspecto, destaca la figura de Cartan. Hasta tal punto se utiliza la geometría en la física matemática que llevó al biólogo Haldane a decir «Llegará, sin embargo, un tiempo [. . . ] cuando la fisiología invadirá y destruirá a la física matemática, como ésta ha destruido a la geometría».
Pero no es necesario buscar en temas tan avanzados para encontrar aplicaciones. Varios de los conceptos que se desarrollarán y justificarán rigurosamente este curso ya se han utilizado en asignaturas anteriores. El ejemplo más evidente es el estudio cinemático en función de los vectores tangencial y normal a la trayectoria, según el cual la aceleración de un móvil se puede descomponer como ~a = dvdttˆ+ vR2 nˆ, don-de el primer término es la aceleración tangencial, responsable don-de variar el módulo de la velocidad, y el segundo representa el cambio de dirección. En este segundo término, aparece un factor 1/R, que es el inverso del radio de curvatura de la trayec-toria en un punto. Por supuesto, en un movimiento circular el radio de curvatura se identifica con el radio de la circunferencia; veremos qué sentido tiene para una curva arbitraria.
Otro ejemplo, esta vez relacionado con el apartado de superficies, es la ley del cuadrado de la distancia para la intensidad de una onda. Sabemos que, en un me-dio homogéneo e isótropo, los frentes de onda producidos por una fuente puntual de luz son esféricos y, debido a la ley de conservación de la energía, se obtiene fá-cilmente que la intensidad cumple I∝R−2
. Pero en un medio arbitrario, con frentes de onda con formas más variadas, la intensidad dependerá de los radios principa-les de curvatura R1 y R2 del elemento de superficie considerado, I ∝ R
−1
1 R
−1 2 ≡ K, donde K es la llamada curvatura de Gauss. El significado de estas magnitudes se estudiará en el tema 2. Aparte de esto, veremos algún otro ejemplo de aplicación
en las secciones correspondientes.
Estudio local
Para terminar, conviene recalcar que la Geometría diferencial investiga, en prin-cipio, las propiedades de pequeños segmentos de curvas y superficies (propiedades
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locales) y, solo en una etapa más avanzada, procederá al estudio de sus propieda-des globales. Las propiedapropieda-des locales se definen en términos de las derivadas (en el punto dado) de las funciones que aparecen en las ecuaciones de la curva o su-perficie. Por esta razón, en esta asignatura, vamos a trabajar siempre con funciones suficientemente suaves, cuyas derivadas estén, por tanto, definidas en los puntos de estudio. A causa de esto, superficies o curvas con picos o esquinas (en los que no existe la derivada) escapan de este estudio. Un ejemplo de tales situaciones pue-de ser algo tan sencillo como la punta pue-de un cono o el punto pue-de corte pue-de un ocho plano. No se tratarán en esta asignatura tampoco aspectos como la clasificación de superficies en función de su topología global o la teoría de nudos.
Alejandro Manjavacas y David Yllanes, 2005
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Curvas en el espacio
1.1. Curvas regulares
1.1.1. Parametrizaciones
1.1.2. Recta tangente y plano osculador 1.1.3. Orientaciones
1.1.4. Parametrización por la longitud de arco
1.2. Curvatura y torsión
1.2.1. Sistema de referencia móvil 1.2.2. Curvatura y torsión
1.2.3. Caracterización de curvas mediante las funciones curvatura y torsión
1.3. Contactos
1.3.1. Ejemplos concretos 1.3.1.1. Recta tangente 1.3.1.2. Plano osculador
1.3.1.3. Circunferencia osculatriz 1.3.1.4. Esfera osculatriz
1.3.2. Teoría general de contactos
1.4. Curvas planas 1.5. Ejercicios
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Curvas regulares
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Parametrizaciones
Definición1.1.1
1. Una parametrización ~α en R3 es una función ~α : I → R3 de clase C∞,1 donde
I es un intervalo abierto de R. Así, una parametrización asigna a cada valor del parámetrot∈I un punto ~α(t)∈R3.2
2. Unarco de curva diferenciable C es cualquier imagen de una parametrización y
toda parametrización cuya imagen seaCse denomina parametrización de C.
3. Unaparametrización ~α es regularsi y solo si es un homeomorfismo3 y además
su derivada no se anula en ningún punto, es decir, ∂t~α(t),0, ∀t∈I.4
4. Unarco de curvaes regularsi y solo si admite una parametrización regular.
Proposición1.1.2
Sea C = {~x ∈ R3 | f
n(~x) =0, n = 1,2}, donde (f1, f2) :R3 →R2 es una función C∞. Entonces, C es una curva regular si ∇~ f
1(~x) y ∇~ f2(~x) son vectores independientes
∀~x ∈C.
Demostración. Esta proposición es consecuencia directa del teorema de la
fun-ción implícita.
Ejercicio1.1.3 Parametrizar la curva x2 + y2 = 1, x + y +z = 1 y comprobar la
proposición anterior.
Solución. Una parametrización de esta curva es
~α(t)=(cost, sent, 1−cost−sent),
como se puede ver mediante sustitución directa. Los gradientes en cada punto de la curva son
~
∇f1 =(2x,2y,0) ∇~ f2 =(1,1,1),
1
Una aplicación esC∞
si y solo si todas sus derivadas existen y son continuas.
2
Dada una base ortonormal {eˆi, i=1,2,3}del espacio vectorialR3 y un origeno, el puntop se
puede describir mediante el vectorop~ =~x =xieˆ
i. Utilizaremos el convenio de sumación de Einstein:
xiy
i≡Pixiyi.
3
Un homeomorfismo es una aplicación biyectiva tal que tanto ella como su inversa son continuas.
4
Utilizaremos el símbolo ∂t para denotar tanto la derivada parcial de una función f(t,· · ·) de
varias variables con respecto a la variable t como la derivada total (y también parcial) de una función f(t) que depende de una sola variablet. Solo cuando exista riesgo de confusión, se utilizará el símbolod/dtpara denotar la derivada total.
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que son claramente independientes. El único punto conflictivo podría ser el (0,0,0) pero no pertenece a la curva. N
Ejercicio1.1.4 Parametrizar estas tres curvas:
a) Una recta gira en torno al punto o con una velocidad angular constante ω barriendo un plano. El punto p se mueve por la recta con una velocidad proporcional a la distancia|op~ |. Encontrar la ecuación de la línea descrita por
el puntop(espiral logarítmica).
b) Una recta, no perpendicular al eje ˆz, gira uniformemente a su alrededor con velocidad angularω. El puntopse mueve por la recta con velocidad constante. La trayectoria que así describe se denominahélice cónica.
c) Ídem con velocidad proporcional a la distancia|op~ |(espiral cónica).
Solución. Para el apartado a), escribiendo las coordenadas de un punto
cualquie-ra de la curva en polares, llegamos a las ecuaciones θ = ωt, r˙ = kr, de manera que r=r0ekt. Pasando esta expresión a coordenadas cartesianas, la parametrización queda ~α(t)=r0cosωt ekt,r0senωt ekt,0
. N
A partir de ahora, solo consideraremos arcos regulares y parametrizaciones re-gulares. Además, nuestro estudio será local, es decir, en abiertos deR3.
Definición1.1.5
1. Llamaremosvector velocidadde la parametrización ~α(t) a su derivada con
res-pecto al parámetro t: ~v~α(t)=∂t~α(t).
2. Llamaremosvector aceleración a su segunda derivada:~a~α(t)=∂t~v~α(t)=∂2
t~α(t). Cuando no exista confusión, suprimiremos la etiqueta de la parametrización. Así, por ejemplo, escribiremos ~v en vez de~v~α.
Proposición1.1.6
Sean ~α(t ∈ I) y ~β(u ∈ J) dos parametrizaciones (regulares) de un arco C. Entonces,
existe un difeomorfismo5
θ: J→I tal que~α ◦θ= ~β. De hecho, este difeomorfismo
es único: θ=~α−1◦~β.
Demostración. Sin demostración.
5
Un difeomorfismo es una aplicación biyectivaC∞
cuya inversa es tambiénC∞
.
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El difeomorfismo θ : J → I asocia a cada valor del parámetro u un valor de
t mediante la regla t = θ(u), que abreviaremos por t(u). Con esta notación, esta proposición afirma que dados ~α(t) y ~β(u), existe un difeomorfismo t(u) tal que ~β(u) = ~α[t(u)] y que este difeomorfismo es único t(u) = ~α−1[~β(u)]. Por tanto, se puede pasar de una parametrización a otra mediante el cambio de parámetro t(u).
Proposición1.1.7
Sean ~α y ~β dos parametrizaciones de un arco C y sean t,u tales que ~α(t) = ~β(u). Entonces, ~v~α(t) y~a~α(t) son linealmente independientes si y solo si ~v~β(u) y~a~β(u) lo son.
Demostración. Puesto que ~β(u) = ~α[t(u)], podemos escribir velocidad y la
acele-ración de ~β como combinaciones lineales de las de~α:
~ v~β ~ a~β =
∂ut 0 ∂2
ut (∂ut)2
! ~ v~α ~ a~α ! .
Como ~α y ~β son parametrizaciones regulares, entonces se verifica que~v~α(t) , 0 y ~
v~β(u) , 0 ∀t,u. Además, ~v~β = (∂ut)~v~α y, por tanto, ∂ut , 0. El determinante de la matriz de los coeficientes de la combinación lineal es (∂ut)3,0 y queda así probada la proposición.
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1
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2
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Recta tangente y plano osculador
Definición1.1.8
1. Sea ~α(t) una parametrización (regular) de C. Se define la recta tangente a la
parametrización~α ent0∈ Ia la recta que pasa por~α(t0) y tiene como vector de dirección ~v(t0).
2. Se denomina recta tangentea Cen un punto ~x0 a la recta tangente a cualquier
parametrización ~α deCent0 tal que~α(t0)=~x0.
3. Sea ~α(t) una parametrización (regular) de C tal que su velocidad~v y su
ace-leración~a sean linealmente independientes ent0 ∈I. Se defineplano osculador
a la parametrización ~α en ~α(t0) como el plano que pasa por ~α(t0) y tiene por vectores directores~v(t0) y~a(t0).
4. Se denominaplano osculadoraCen un punto~x0al plano osculador a cualquier
parametrización ~α deCent0 tal que~α(t0)=~x0.
Proposición1.1.9
Demostración.
Recta tangente: hemos visto en la proposición 1.1.7que, para distintas
parametriza-ciones, los vectores tangentes son proporcionales luego generan la misma recta.
Plano osculador:El plano osculador está generado por~vy~a y, en la proposición1.1.7,
hemos visto que para distintas parametrizaciones, unos son combinaciones lineales de los otros.
Proposición1.1.10
La recta tangente aC= {~x ∈R3 | f
n(~x) =0, n=1,2}en~x0 es la intersección de los dos planos
(~x −~x0)·~∇fn(~x0)=0, n=1,2.
En coordenadas cartesianas, (xi−xi
0)∂ifn(x i 0)=0.
6
Ejercicio1.1.11 Demostrar esta proposición.
Definición1.1.12
~
x =~α(t) es unpunto de inflexión deCsi~v(t) y~a(t) son linealmente dependientes. Observaciones:
La recta tangente es la recta que une dos puntos de la curva en el límite en el que ambos puntos coinciden, como veremos en la sección1.3.
El plano osculador contiene tres puntos de la curva en el límite en el que los tres puntos coinciden, como veremos en la sección1.3.
Puesto que el plano osculador está generado por ~v y ~a, su ecuación es (~x −~x0)·(~v×~a)=0, es decir,
det
x1−x1
0 x2−x20 x2−x20
v1 v2 v3
a1 a2 a3
=0.
Si todo punto de una curva~α(t) es de inflexión, entonces~a =λ(t)~v conλ(t)∈
R. Por tanto, ∂2t~α = λ(t)∂t~α lo que implica que ~α(t) =~σ
Rt
dt0
e
Rt0
dt0λ(t0)+~ρ con ~σ, ~ρ ∈R3 constantes, es decir, α(t) es una recta.
6
Las componentes del gradiente en un sistema de coordenadas cartesianas son ˆxi·~∇ =∂i.
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1
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3
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Orientaciones
Hemos visto en la proposición 1.1.7 que, si ~α(t) y ~β(u) son parametrizaciones
regulares, entonces se verifica que ∂ut(u) , 0 y, por ser t(u) un difeomorfismo, el signo de∂ut(u) debe permanecer constante.
Definición1.1.13
1. Dos parametrizaciones regulares ~α y ~β definen la misma orientación si y solo
si el difeomorfismoθ=~α−1◦~β es estrictamente creciente, es decir, si y solo si
∂ut>0, ∀u∈ J.
2. Dos parametrizaciones regulares~α y~β definenorientaciones contrariassi y solo
si el difeomorfismoθ=~α−1◦~β es estrictamente decreciente, es decir, si y solo
si∂ut<0, ∀u∈ J.
3. Un arco orientado es un arco de curva regular y todas sus parametrizaciones
que tienen la misma orientación.
Proposición1.1.14
Sean ~α y ~β dos parametrizaciones de un arco C y sean t,u tales que ~α(t) = ~β(u). Supongamos que ~v~α(t) y ~a~α(t) son linealmente independientes (y, por tanto, tam-bién ~v~β(u) y~a~β(u) lo son). En tal caso, la orientación del plano osculador definida por (~v~α, ~a~α) coincide con la definida por (~v~β, ~a~β) si y solo si~α y ~β definen la misma orientación del arco C.
Demostración. De la proposición 1.1.7, vemos que ~v~β ×~a~β = (∂ut)3~v~α ×~a~α. Por
tanto, las orientaciones de los planos osculadores serán iguales si y solo si∂ut>0.
1
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1
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4
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Parametrización por la longitud de arco
Definición1.1.15
Sean~x0 =~α(t0) y~x =~α(t) dos puntos de un arco Cparametrizado por~α y sea
st0(t)= Z t
t0
v(t0)dt0.
Definimos lalongitud del arcoentre ~x0 y~x como el número |st0(t)|.
El parámetro longitud de arco st0(t), que denotaremos simplemente por s,
ob-viamente satisface la relación ds2 =v2dt2.
Definición1.1.16
Llamaremosparametrización natural, normal o por longitud de arcoa aquella que tenga velocidad unitaria.
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Ejemplo1.1.17
Línea recta: ~α(t)=~vt+x~0. Su velocidad es∂t~α =~v y, por tanto, su longitud de arco es s= Rtt
0vdt= v(t
−t0). Una parametrización natural está dada por ~β(s)= ~α[t(s)]=
ˆ
vs+~vt0+~x0.
Proposición1.1.18
1. La longitud de arco es independiente de la parametrización escogida.
2. La aplicaciónst
0 :I →st0(I) definida arriba es un difeomorfismo y J= st0(I) es
un intervalo abierto.
3. ~α ◦s−1
t0 : J
→ R3, es decir, ~α[t(s)], es una parametrización natural deC.
4. Sean ~α y ~β dos parametrizaciones naturales de C y sea ε = ±1 según su
orientación relativa. Entonces, existe un número realσtal que~α(t)= ~β(εt+σ).
Demostración.
1. ejercicio.
2. Puesto que ∂ts>0, s(t) esC∞ en un abierto y su imagen es un abierto. 3. ~β(s)=~α[t(s)] y, por tanto,~v~β =~v~α∂st=~v~α/v~α.
4. Como~α(t) y~β(u) son naturales, entoncesv~α =v~β|∂tu|yv~α =v~β =1. Por tanto,
∂tu=ε, de forma que u=εt+σ y~v~α =ε~v~β.
Ejercicio1.1.19 Demostrar el primer apartado de esta proposición.
Ejercicio1.1.20 Hallar la longitud de arco de la primera vuelta de la espiral de
Arquímedes (figura 1.1) definida en polares por la ecuaciónr=aθ.
Solución. Una posible parametrización es~α(t) = (atcost,atsent,0). El vector
ve-locidad es, por lo tanto,~v =(acost−atsent,asent+atcost,0). La longitud de arco
resulta
s=
Z 2π
0
v(t) dt=
Z 2π
0
a
√
1+t2 dt= a 2
2π√1+4π2+arcsenh 2π'21,27a. N
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Figura 1.1: Espiral de Arquímedes.
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Curvatura y torsión
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Sistema de referencia móvil
Definición1.2.1
Sea ~α una parametrización regular deC.
1. El vector ˆt(t) = ~v(t)/v(t) se denomina vector unitario tangente de la
parametri-zación ~α deCen el punto ~α(t).
2. Supongamos que ~α(t) no es un punto de inflexión. Se define el vector unitario
normalnˆ(t) de la parametrización~α deCen el punto~α(t) como el único vector unitario ortogonal a ˆt(t) tal que{tˆ(t),nˆ(t)}es una base del plano osculador con
la misma orientación que {~v(t), ~a(t)}.
3. Supongamos que ~α(t) no es un punto de inflexión. El vector binormal bˆ(t) en
~α(t) es el único vector unitario y ortogonal al plano osculador tal que la base
{tˆ(t),nˆ(t),bˆ(t)}está orientada positivamente7
. Por tanto, ˆb=tˆ×nˆ.
4. Se denomina sistema de referencia móvilpara~α en ~α(t) al sistema de referencia
ortonormal del espacio euclídeo centrado en ~α(t) y cuyos vectores de la base son{tˆ(t),nˆ(t),bˆ(t)}.
7
Por convenio, una base tiene orientación positiva si y solo si la matriz de cambio de base para llevarla a la base canónica{eˆi}tiene determinante positivo.
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Puesto que{tˆ,nˆ} tiene la misma orientación que{~v, ~a}, obtenemos las siguientes
fórmulas explícitas para el cálculo del sistema de referencia móvil:
ˆ
t= ~v
v, bˆ =
ˆ
v×aˆ
kvˆ×aˆk, nˆ =bˆ×tˆ.
Proposición1.2.2
El sistema de referencia móvil es independiente de la parametrización.
Demostración. Sean ~α(t) y ~β(u) dos parametrizaciones y ε = ∂tu/|∂tu|. Entonces
es fácil ver que{tˆ,nˆ,bˆ}~α ={εtˆ,nˆ, εbˆ}~β.
Definición1.2.3
1. Se definen losplanos osculador, normal y rectificantecomo aquellos
perpendicu-lares a ˆb, ˆty ˆn respectivamente.
2. Se definen las rectas tangente, normal y binormalcomo las generadas por ˆt, ˆny
ˆ
b respectivamente.
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Curvatura y torsión
Proposición1.2.4
∂ttˆes proporcional a ˆn.
Demostración. tˆ·tˆ=1 y, por tanto, ˆt·∂ttˆ=0. Por otro lado,∂ttˆes una combinación
lineal de~v y~a y, por tanto, ˆb·∂ttˆ=0. En resumen,∂ttˆes perpendicular a ˆty a ˆb.
Definición1.2.5
1. Se define la curvatura de una parametrización ~α de C como la función κ(t) tal
que
∂ttˆ(t)=v(t)κ(t) ˆn(t). Ésta es la llamadaprimera fórmula de Frenet.
2. Se define la curvatura κ(~x) de un arco orientado C en un punto ~x como la
cur-vatura κ(t) de cualquier parametrizaciónα(t) tal que~x = ~α(t) y que define la orientación de ese arco.
Proposición1.2.6
Fórmula para el cálculo de la curvatura de una parametrización ~α:
κ = k~v ×~ak
v3
Ejercicio1.2.7 Demostrar esta proposición.
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Notas:
1. Si ~α(t) y ~β(u) son dos parametrizaciones regulares, ambas curvaturas están
relacionadas porκ~β =κ~α ◦θdondeθ=~α
−1
◦~β, es decir, κ~β(u)=κ~α[t(u)]. Por
tanto, la curvaturaκ(~x) de un arco orientado es independiente de la parame-trización elegida para calcularla.
2. Es fácil demostrar que la curvatura de una parametrización natural orientada
es independiente de ésta. En efecto, si ~α(t) y ~β(u) son dos parametrizaciones naturales con la misma orientación, entonces u = t+σ y κ~α(t) = κ~β(t+σ).
Por tanto, salvo por una redefinición trivial del origen del parámetro, ambas curvaturas son iguales.
3. Si~α es una parametrización natural, entoncesκ=k~ak.
Proposición1.2.8
∂tbˆ es proporcional a ˆn.
Demostración. Puesto que ˆn·nˆ = 1, ∂tnˆ es ortogonal a ˆn y, por tanto, será una
combinación lineal de ˆt y ˆb. Por otro lado, ∂tbˆ = tˆ×∂tnˆ, que es proporcional a ˆ
t×bˆ =−nˆ.
Definición1.2.9
1. Se define latorsión de una parametrización ~α deCcomo la funciónτ(t) tal que
∂tbˆ(t)=−v(t)τ(t) ˆn(t). Ésta es la llamadatercera fórmula de Frenet.
2. Se define la torsión τ(~x) de un arco orientado C en un punto ~x como la torsión
τ(t) de cualquier parametrización de cualquier parametrización α(t) tal que ~
x =~α(t) y que define la orientación de ese arco.
Proposición1.2.10
Fórmula para el cálculo de la torsión de una parametrización ~α:
τ = (~v ×~a)·∂t~a
k~v ×~ak2
Ejercicio1.2.11 Demostrar esta proposición.
Notas:
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1. Si ~α(t) y ~β(u) son dos parametrizaciones regulares, ambas torsiones están
relacionadas porτ~β =τ~α ◦θ dondeθ= ~α
−1
◦~β, es decir, τ~β(u)=τ~α[t(u)]. Por
tatno, la torsión τ(~x) de un arco orientado no depende de la parametrización orientada elegida.
2. Es fácil demostrar que la torsión de un arco orientado es independiente de la
parametrización natural escogida.
Teorema1.2.12(Ecuaciones de Frenet)
∂ttˆ=vκnˆ,
∂tnˆ =−vκtˆ+vτbˆ, ∂tbˆ =−vτnˆ.
Ejercicio1.2.13 Demostrar este teorema.
Proposición1.2.14(Curvas planas)
Un arco regular está contenido en un plano si y solo si su torsión es idénticamente nula.
Ejercicio1.2.15 Demostrar esta proposición.
Proposición1.2.16
~
v =vtˆ, ~a =(∂tv)ˆt+v2κnˆ.
El primer término de la aceleración corresponde en la dinámica newtoniana a la aceleración lineal y el segundo a la centrípeta.
Ejercicio1.2.17 Demostrar esta proposición.
Ejercicio1.2.18 Sea ~α una parametrización natural cuyas funciones curvatura y
torsión no se anulan en ningún punto deI. Suponemos que existen un número real positivo r y un punto ~x en R3 tales que todos los planos osculadores a la curva distan rde~x. Demostrar que
a) Todos los planos rectificantes de la curva~α pasan por~x. b) La función f : s7→τ(s)/κ(s) es un polinomio de grado 1.
Solución. Sea ~y(s) la proyección de~x−~α(s) sobre el plano osculador en ~α(s).
Te-nemos entonces que~x =~y(s)+rbˆ(s). Además, como~y pertenece al plano osculador, existirán funciones A(s) yB(s) tales que
~
x =~y(s)+rbˆ =~α(s)+A(s)ˆt(s)+B(s) ˆn(s)+rbˆ(s)
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Como ~x es un punto constante, derivamos aplicando las ecuaciones de Frenet e igualamos a cero:
0=tˆ+∂sAtˆ+Aκnˆ +∂sBnˆ +B(−κtˆ+τbˆ)−rτnˆ.
Tenemos una combinación lineal de vectores independientes igualada a cero, por lo que todos los coeficientes deben anularse:
1+∂sA−Bκ = 0,
Aκ+∂sB−rτ = 0,
Bτ = 0.
Por hipótesis, τ , 0, así que la función B debe ser idénticamente nula. Con esto, queda resuelto el apartado a), pues la ecuación de ~x resulta ser
~x =~α(s)+A(s)ˆt(s)+rbˆ(s)
y, por tanto, ~x es un punto del plano rectificante. Para el segundo apartado, despe-jamos en la segunda ecuación
τ κ =
A r
y de la primera sabemos que 1 + ∂sA = 0, lo que quiere decir que A(s) es un polinomio de grado uno. N
En la siguiente proposición y también posteriormente, se hace uso del símbolo
O(·), “del orden de. . . ”. Esta definición formaliza su significado:
Definición1.2.19
Sean f(x) y 1(x) dos funciones definidas en un cierto entorno del origen. Decimos
que f(x) = O[1(x)] si y solo si el cociente f(x)/1(x) está acotado en dicho entorno
del origen, es decir, si y solo si existen dos constantes positivas , Mtales que
|f(x)| ≤M|1(x)| ∀ |x|< .
Proposición1.2.20
Sea ~α(s) una parametrización natural. Entonces, ~α(s+h)= ~α(s)+[h−κ2h3/6]ˆt+ 1
2[κh 2+(∂
sκ)h3/3] ˆn+ 1 6κτh
3bˆ+O(h4).
Demostración. Expandimos~α(s+h) hasta ordenO(h4) y sustituimos las derivadas
de~α por sus valores:
∂s~α =tˆ, ∂2s~α =∂stˆ=κnˆ, ∂3s~α =∂s(κnˆ)=(∂sκ) ˆn−κ2tˆ+κτbˆ.
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Signos de la curvatura y torsión
De las definiciones de la curvaturaκy de la torsiónτ sabemos queκ >0 peroτ puede ser positiva o negativa. Vamos a ver ahora, utilizando la proposición 1.2.20,
qué significado geométrico tiene esta afirmación.
Si nos fijamos en el coeficiente de ˆn, vemos que parahsuficientemente pequeño, siempre es positivo, pues el término dominante va comoh2 yκes positiva. Es decir, la curva se dobla siempre en el sentido de ˆn (veremos en el apartado de contactos que este vector apunta hacia el centro de la circunferencia osculatriz).
Para el coeficiente que acompaña a ˆbla situación es diferente. Vamos a conside-rar h > 0 y ver qué efecto tiene el hecho de que la torsión tenga signo. Si τ > 0, la curva abandona el plano osculador por su cara positiva (definida por el sentido del vector binormal). Si, por el contrario, τ < 0, entonces la curva abandona el plano osculador por el lado opuesto. En el primer caso, la curva localmente se parece a una hélice con helicidad positiva (dextrógira), mientras que en el segundo se pare-cería a una hélice levógira. Debe notarse que este razonamiento es independiente de la orientación elegida.
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3
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Caracterización de curvas mediante las funciones curvatura
y torsión
Definición1.2.21
Un movimiento ζ es una transformación afín que preserva las distancias. Si o es el origen de coordenadas y pes un punto del espacio, entonces
ζ(p)=ζ(o)+ζ(¯ op~ ),
donde ¯ζes una transformación lineal que preserva el producto escalar, es decir es una transformación ortogonal: ¯ζtζ¯ =
11. Si det ¯ζ = +1 diremos que ζ es un movi-mientodirecto. Dicho de otro modo, un movimiento directo consta de una traslación (dada por ζ(o)) y una rotación definida por ¯ζ, mientras que un movimiento inverso añade una reflexión.
Proposición1.2.22
SeanC1yC2dos arcos orientados. Sea~α1una parametrización regular deC1yζun movimiento tal que, si existe, tiene las siguientes propiedades: ζ(C1) = C2 y envía la orientación de C1 a C2. Entonces ~α2 = ζ◦~α1 es una parametrización regular de
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C2 tal que
v~α1 =v~α2, κ~α1 =κ~α2, τ~α1 =(det ¯ζ)τ~α2, ¯
ζ(ˆt~α1)=tˆ~α2, ζ( ˆ¯ n~α1)=nˆ~α2, ζ(ˆ¯ b~α1)=(det ¯ζ) ˆb~α2.
Ejercicio1.2.23 Demostrar esta proposición.
Proposición1.2.24
Sean C1y C2 dos arcos orientados. Si existen parametrizaciones~αndeCn tales que
v~α1 =v~α2, κ~α1 =κ~α2, τ~α1 =ετ~α2,
donde ε = ±1, entonces existe un movimiento ζ tal que ζ(C1) = C2, ζ preserva la
orientación y det ¯ζ=ε.
Ejercicio1.2.25 Demostrar esta proposición.
Proposición1.2.26
Seanv(t),κ(t) yτ(t) tres funciones de claseC∞
tales quev(t) yκ(t) son estrictamente positivas. Entonces existe una parametrización regular tal que v = v~α, κ = κ~α y τ =τ~α.
Demostración. Dadas v, κ, τ, las ecuaciones
∂ttˆ=vκnˆ, ∂tnˆ =−vκtˆ+vτbˆ, ∂tbˆ =−vτnˆ,
forman un sistema lineal y homogéneo de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientesC∞. Los teoremas de existencia de soluciones de ecua-ciones diferenciales ordinarias garantizan la existencia (y unicidad) de soluecua-ciones de estas ecuaciones fijada un configuración inicial para ˆt,nˆ,bˆ.
Además, es fácil ver que los productos escalares se preservan y, por tanto, el siste-ma de referencia que se obtiene como solución es siempre ortonorsiste-mal.
Por último, también se mantiene la orientación puesto que ∂t[(ˆt×nˆ)·bˆ]=0.
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, ~α(t)= R dtv(t)ˆt(t) es la parametrización buscada.
Proposición1.2.27
Sean C1 y C2 dos arcos orientados. Entonces las siguientes afirmaciones son equi-valentes:
Existe un movimiento directo ζtal queC2=ζ(C1). Existe una biyecciónσ: C1 →C2 que
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• preserva la orientación;
• preserva la longitud de arco: la longitud de arco entre p,q ∈ C1 es la
misma que la longitud de arco entreσ(p) y σ(q);
• κ1 =κ2◦σ;
• τ
1 =τ2◦σ.
Demostración. Sin demostración.
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Contactos
El siguiente teorema nos será de gran utilidad en lo que sigue:
Teorema1.3.1(Rolle)
Sea f(s) una función real de claseC∞
tal que f(a)= f(b). Entonces, existe un número realc ∈(a,b) tal que ∂sf(c)=0.
Demostración. Si ∂sf(s) , 0 en (a,b), entonces ∂sf preserva el signo en todo el
intervalo por continuidad de la derivada, en contradicción con la hipótesis de que
f(a)= f(b).
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Ejemplos concretos
En esta sección, supondremos que ~α(s) es una parametrización natural de la curva que estamos estudiando y que el punto ~α(s0) no es de inflexión.
1.3.1.1. Recta tangente
Es la recta que corta a la curva en dos puntos en el límite de coincidencia. Demostrémoslo.
La ecuación general de una recta es
(~x−~x0)·ξˆ=0, (~x −~x0)·ζˆ=0, ξˆ×ζˆ,0.
Calcularemos los vectores ~ξ y ~ζ que definen la recta, bajo la hipótesis de que ~α(s0) y~α(s1) pertenecen a la misma en el límite de coincidencia. Definamos las funciones
f y1cuyos valores y derivadas son:
f(s)=[~α(s)−~x0]·ξ,ˆ 1(s)=[~α(s)−~x0]·ζ,ˆ
∂sf(s)=tˆ(s)·ξ,ˆ ∂sf(s)=tˆ(s)·ζ.ˆ
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Puesto que los puntos ~α(s0) y ~α(s1) pertenecen, por hipótesis, a la recta, se ve-rifica f(s0)= f(s1)=0. El teorema de Rolle nos garantiza que existe t1 ∈ (s0,s1) tal que ∂sf(t1)=0. En el límite de coincidencia,s1,t1→s0 y obtenemos las condiciones
f(s0)=[~α(s0)−~x0]·ξˆ=0, ∂sf(s0)=tˆ·ξˆ=0.
La función1 se halla en una situación enteramente análoga y, por tanto,
1(s0)=[~α(s0)−~x0]·ζˆ=0, ∂s1(s0)=tˆ·ζˆ=0.
En consecuencia, la recta es paralela a ˆty pasa por~α(s0), luego es la recta tangente.
1.3.1.2. Plano osculador
Es el plano que corta a la curva en tres puntos ~α(s0), ~α(s1), ~α(s2) en el límite de coincidencia. Para demostrarlo, procederemos de la misma forma que en el caso anterior.
La ecuación general de un plano es
(~x−~x0)·ζˆ=0.
Definamos la función f, cuyo valor y derivadas son:
f(s)=[~α(s)−~x0]·ζ,ˆ
∂sf(s)=tˆ(s)·ζ,ˆ ∂2
sf(s)=∂stˆ(s)·ζˆ=κ(s) ˆn(s)·ζ.ˆ
Por hipótesis, los tres puntos ~α(s0), ~α(s1), ~α(s2) pertenecen al plano en el límite de coincidencia. Por tanto, f(s0) = f(s1) = f(s2) = 0. El teorema de Rolle aplicado al intervalo (s0,s1) nos garantiza la existencia de t1 ∈ (s0,s1) tal que ∂sf(t1) = 0. Asimismo, existe t2 ∈ (s1,s2) tal que ∂sf(t2) = 0. La aplicación una vez más del teorema de Rolle a la función ∂sf en el intervalo (t1,t2), nos garantiza la existencia de u2 ∈ (t1,t2) tal que ∂2sf(u2) = 0. En el límite de coincidencia, todos los valores intermedios si, ti,ui → s0 y obtenemos las siguientes condiciones:
f(s0)=[~α(s0)−~x0]·ζˆ=0, ∂sf(s0)=tˆ·ζˆ=0,
∂2
sf(s0)=κnˆ ·ζˆ=0.
Por tanto, si~α(s0) no es un punto de inflexión (es decirκ,0), ˆζ=bˆ y el plano pasa por ~α(s0), luego es el plano osculador.
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1.3.1.3. Circunferencia osculatriz
Es la circunferencia que corta a la curva en tres puntos en el límite de coinci-dencia. Obtengamos su ecuación.
Sean s0,s1,s2 los parámetros naturales correspondientes a los tres puntos de corte. La ecuación general de una circunferencia es de la forma
(~x −~x0)·ζˆ=0, (~x −~z)2−R2 =0, (~z −~x0)·ζˆ=0
donde~z es el centro de la circunferencia, R su radio y ~x0 un punto del plano que la contiene. Sean f y1las siguientes funciones:
f(s)=[~α(s)−~x0]·ζ,ˆ 1(s)=[~α(s)−~z]2−R2,
∂sf(s)=tˆ(s)·ζ,ˆ ∂s1(s)=2ˆt(s)·[~α(s)−~z], ∂2
sf(s)=κ(s) ˆn(s)·ζ,ˆ ∂2s1(s)=2κ(s) ˆn(s)·[~α(s)−~z]+2.
Como en los casos anteriores, el uso reiterado del teorema de Rolle nos propor-ciona las siguientes condiciones en el límite coincidencia:
f(s0)=[~α(s0)−~x0]·ζˆ=0, 1(s0)=[~α(s0)−~z]2−R2 =0, ∂sf(s0)=tˆ·ζˆ=0, ∂s1(s0)=2ˆt·[~α(s0)−~z]=0, ∂2
sf(s0)=κnˆ ·ζˆ=0, ∂2s1(s0)=2κnˆ ·[~α(s0)−~z]+2=0.
Por tanto, ˆζ = bˆ, es decir, el plano que contiene a la circunferencia osculatriz es el plano osculador. El vector de posición del centro con respecto al punto de corte ~α(s0), es decir, el vector~z−~α(s0) no tiene componente tangencial ni binormal y, de hecho,~z =~α(s0)+κ−1nˆ. Por último, el radio de la circunferencia esR=κ−1 y recibe el nombre de radio de curvatura.
Así, la ecuación de la circunferencia osculatriz a una curva en ~α(s0) es [~x −~α(s0)]·bˆ =0, [~x−~α(s0)−Rnˆ]2−R2 =0, R=1/κ.
1.3.1.4. Esfera osculatriz
Es la esfera que corta a la curva en cuatro puntos en el límite de coincidencia. Obtengamos su ecuación.
Seans0,s1,s2,s3los parámetros naturales correspondientes a los puntos de corte. La ecuación general de una esfera es de la forma
(~x −~z)2−r2 =0,
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donde~z es el centro de la esfera y rsu radio. Sea1la siguiente función:
1(s)=[~α(s)−~z]2−r2,
∂s1(s)=2ˆt(s)·[~α(s)−~z], ∂2
s1(s)=2κ(s) ˆn(s)·[~α(s)−~z]+2, ∂3
s1(s)=2 ˆn(s)·[~α(s)−~z]∂sκ(s)+2κ(s)[−κ(s)ˆt(s)+τ(s)ˆb(s)]·[~α(s)−~z].
Como en los casos anteriores, el uso reiterado del teorema de Rolle nos propor-ciona las siguientes condiciones en el límite coincidencia:
1(s0)=[~α(s0)−~z]2−r2 =0,
∂s1(s0)=2ˆt·[~α(s0)−~z]=0, ∂2
s1(s0)=2κnˆ ·[~α(s0)−~z]+2=0, ∂3
s1(s0)=2 ˆn·[~α(s0)−~z]∂sκ+2κ(−κtˆ+τbˆ)·[~α(s0)−~z]=0. Por tanto,
ˆ
t·[~α(s0)−~z]=0, nˆ ·[~z−~α(s0)]= 1
κ, bˆ ·[~z −~α(s0)]=−κ∂s2κτ.
Si introducimos el radio de curvatura R= 1/κy el radio de torsión T= 1/τ, podemos
escribir
~z =~α(s0)+Rnˆ +T(∂sR)ˆb, r=
p
R2+T2(∂ sR)2, que son el centro y el radio de la esfera osculatriz.
1
.
3
.
2
.
Teoría general de contactos
Definición1.3.2
Decimos que existe un contacto de orden nentre una curva C y una superficieΣ en el puntoo (ver figura1.2) si y solo si
l´ım p→o
|pq~ | |op~ |r =
(
0, r=1. . .n,
finito ,0, r=n+1.
Definición1.3.3
Dos curvasCyC0
tienen un contacto de ordennenosi y solo siCtiene un contacto en ocon ambas superficies Σ1 yΣ2 cuya intersección define la curva C0 y el menor de ambos contactos es de orden n.
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p
ˆ
n q o
C
Σ
~α(s)− ~α(s0)
Figura1.2:Contacto entre una curva y una superficie.
Hemos visto que solo hay una circunferencia que, en el límite de coincidencia, pase por tres puntos de la curva, que solo hay una esfera que pase por cuatro, etc. Por otro lado, sabemos que solo existe un polinomio de grado n−1 que pase por
n puntos y, de forma más general, sabemos que solo hay un polinomio de grado
n cuyas nprimeras derivadas en un punto coincidan con las de una función dada (polinomio de Taylor). Esto nos lleva a la idea de determinar cuánto se parecen dos funciones en un entorno de un punto según el número de derivadas iguales que tengan en ese punto. El contacto entre curvas y superficies se puede estudiar de un modo análogo: a partir del número de derivadas que se anulen de la composición de la función que define implícitamente a la superficie con la parametrización de la curva. Por ejemplo, en el caso de una curva que corte perpendicularmente a la su-perficie, ninguna de estas derivadas se anulará (orden de contacto nulo), mientras que, para una curva contenida en la superficie (cuyos puntos satisfacen siempre la ecuación de ésta), todas estas derivadas serán nulas y tendremos un contacto de orden infinito, como el de una curva plana y su plano osculador.
Teorema1.3.4
C yΣtienen un contacto de ordenn en~α(0) si y solo si ∂r
sf(0)=
(
0, r=0,1. . .n,
finito,0, r=n+1.
donde f(s)=F[~α(s)] yF(~x)=0 es la ecuación implícita que define la superficieΣ.
Demostración. Definamos ∆~α(s) ≡ ~α(s)−~α(0) (ver figura 1.2). Entonces, vemos
que |op~ |=|∆~α(s)|=|stˆ+O(s2)|=s[1+O(s)]. Por tanto, 1
|op~ |r = 1
sr[1+O(s)].
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Por otro lado, si ˆνes el vector normal a la superficie Σ,
|pq~ |=|∆~α(s)·νˆ|=
|∆~α(s)·∇~F(oq~ )| |∇~F(oq~ )| .
Calculemos∆~α(s)·∇~F(oq~ ) en términos de f(s).
f(s)=F(op~ )=F(oq~ )+(op~ −oq~ )·∇~F(oq~ )+O(|op~ −oq~ |2)
= ∆~α(s)·~∇F(oq~ )+O(|pq~ |2),
donde hemos usado que oq~ es perpendicular a ~∇F(oq~ ). Por tanto, |pq~ |= f(s)
|∇~F(oq~ )| +O(
|pq~ |2)= f(s)
|∇~F(oq~ )| +O[f(s)
2].
Entonces, podemos escribir
|pq~ | |op~ |r =
1
|~∇F|
f(s)
sr
1+O[f(s)] [1+O(s)] = 1
|~∇F|
f(s)
sr
1+O(s)+O[f(s)] .
Puesto que f(s)=∂sf(0)s[1+O(s)], concluimos queO[f(s)]=O(s) y, por tanto, l´ım
p→o
|pq~ | |op~ |r =
1
|~∇F|l´ıms→0
f(s)
sr . Si∂sf(0)=· · ·=∂nsf(0)=0 y∂ns+1f(0),0, entonces
l´ım s→0
f(s)
sr ∝∂ n+1
s f(0) l´ım s→0
sn+1+O(sn+2)
sr =
(
0, r=0,1. . .n,
finito ,0, r=n+1 y, por tanto, CyΣtienen un contacto de orden n.
Por otro lado, si C y Σ tienen un contacto de orden n, entonces f(s) = O(sn+1) para que el límite no se anule y, por tanto, todas las derivadas∂r
sf(0) se anulan para
r=1. . .nmientras que∂n+1
s f(0),0.
Ejercicio1.3.5 Calcular el orden de los contactos de la sección anterior.
Ejercicio1.3.6 Demostrar que, si el orden de contactonentre una curvaC
parame-trizada por ~α(s) y una superficieΣ es par en un punto~α(s0), la curva atraviesa a la superficie en ese punto, mientras que sines impar la curva está a un lado de Σen un entorno de~α(s0).
Solución. SeaF(~x)=0 es la ecuación implícita de la superficieΣ. Queremos saber si la proyecciónξdel vector ~α(s)−~α(s0) sobre el vector normal a la superficie ens0,
que es proporcional a ∇~F[~α(s0)], cambia de signo o no. Para ello, notemos que, de
acuerdo con lo visto en la demostración del teorema 1.3.4,
ξ≡[~α(s)−~α(s0)]·∇~F[~α(s0)]= f(s0+h)+O[f(s0+h)2],
donde f(s) = F[~α(s)]. Desarrollamos en serie de Taylor la función f(s) en torno a
s0. Puesto que el contacto es de orden n, del teorema 1.3.4, vemos que todas las derivadas de f hasta orden n se anulan en s0. La primera derivada no nula es ∂n+1
s f(s0). Queda, entonces,
ξ= hn+1 (n+1)!∂
n+1
s f(s0)+O(hn+2). La derivada ∂n+1
s f(s0) es no nula y tiene un signo definido. Por otro lado, si n es par,n+1 es impar y por lo tantohn+1cambia de signo enh=0, que se corresponde con el punto de contacto. En otras palabras, si nes par,ξ cambia de signo con hy la curva atraviesa a Σ. Paranimpar sucede lo contrario,hn+1 no cambia de signo,ξ tampoco lo hace y la curva está siempre al mismo lado de la superficie. N
Ejercicio1.3.7 Demostrar que siCyC? son curvas planas (contenidas en el mismo
plano) con un contacto de orden nen un punto~x ynes par, las curvas se cortan en ese punto.
Ejercicio1.3.8 Hallar la parábola situada en el plano z = 0 cuyo eje es paralelo al
eje ˆyy que es osculatriz a la curva y=x3/a2, z=0, en el punto (a,a,0), siendoa>0
Solución. Según la definición de contacto entre dos curvas, el orden se
corres-ponde con el menor de los órdenes de contacto entre una de las curvas y cada una de las superficies que define a la otra. Como se nos dice que la parábola está en el plano z =0, su contacto con esa superficie será de orden infinito y, por lo tanto, el mínimo vendrá dado por el contacto con la superficie F(x,y,z)= y−x3/a2 =0.
Comenzamos por escribir la ecuación de la parábola más general que cumpla las hipótesis de partida (eje paralelo a ˆyy contenida enz=0),
y=C1(x−x0)2+C2.
Esta curva admite la parametrización ~α(t) = (t, C1(t−x0)2 +C2, 0). Sea la función
f(t)=F[~α(t)] y calculemos sus derivadas:
f(t)=C1(t−x0)2+C2−
t3
a2, ∂tf(t)=2C1(t−x0)−3
t2
a2, ∂2
tf(t)=2C1−6
t
a2, ∂
3
t f(t)=− 6
a2.
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