FUNCIÓN LINEAL. Ejemplos. 1. Encuentre el criterio de la función lineal cuya gráfica pasa por los puntos 8. Solución. Se conocen dos de sus puntos.

FUNCIÓN LINEAL

Ejemplos

1. Encuentre el criterio de la función lineal cuya gráfica pasa por los puntos

8 2, 3  _      y 1 5_, 3 6      . Solución

A Se conocen dos de sus puntos.

_

_

1 1 8 x , y 2, 3     _{ }  



2 2



1 5 x , y , 3 6       

B Se calcula la pendiente usando la fórmula respectiva: 2 1 2 1 y y m x x    5 8 7 3 6 3 2 m 1 ₂ 7 2 3 3       

C Se utiliza uno de los dos puntos para encontrar el valor de la intersección, en este caso 2, 8

3  _      y mx b 8 3 2 b 3 2 8 3 b 3 8 _{3 b} 3 1 _b 3                    D Se encuentra el criterio de la función lineal. 3 1 y x 2 3  

2. Las gráficas de las funciones g x

 

y f x

 

son perpendiculares. Si se sabe

 

f x que pasa por el punto 3,1 2 _      y además

 

6 x g x 2   , encuentre el criterio de f x

 

.

Solución

A Se busca la pendiente de la función

 

g x .

 

g 6 x 6 x x g x 3 2 2 2 2 1 m 2          B Se calcula la pendiente de la función f x

 

usando el hecho de que ambas funciones son perpendiculares, de modo que el producto de sus pendientes debe ser igual a 1. f f f 1 _{m 1} 2 1 m 1 2 m 2  _{  }      

C Se utiliza el punto para encontrar el valor de la intersección. y mx b 1 _{2 3 b} 2 1 6 b 2 1 _{6 b} 2 13 b 2                 D Se encuentra el criterio de la función lineal.

 

13 f x 2x 2  

3. Calcule el valor de la constante k para que las gráficas de las funciones lineales dadas por 2x 1 y 3   , y 3



1 k x 2y 5



  sean paralelas.

Solución

A Se despeja la primera función para encontrar su pendiente. 1 2x 1 y 3 2x 1 3 y 2x 4 y m 2            

B Se despeja la segunda función

para encontrar su pendiente.

_



_



















2 3 1 k x 2y 5 3 1 k x 5 2y 1 k x 2 2y 1 k x 2 _y 2 2 1 k x 1 y 2 1 k m 2                            

C Como las gráficas de ambas rectas deben ser paralelas entonces sus pendientes deben ser iguales, lo cual permite encontrar el valor de la constante k.





1 2 m m 1 k 2 2 2 2 1 k k k 1 5 4               

4. En la columna de la derecha aparecen dos funciones lineales. Escriba la letra correspondiente dentro del paréntesis según se trate de dos funciones cuyas gráficas son paralelas o perpendiculares.

A Paralelas ( ) _{f x}

_{ }

5 2x _{g x}

_{ }

3_{x 1} 3 2     ( ) h x

 

 4



2 3x



f x

 

 5 3x ( )

 

4 3x

 

2



1 3x



f x h x 2 2       B Perpendiculares ( ) _{f x}

_{ }

5_{x 1 g x}

_{ }

₄ 7_x 7 5     ( )

 

2 6x

 

4 2 3x 1





s x g x 7 7      ( ) _{k x}

_{ }

₂

_

_{4 3x}

_

_{f x}

_{ }

5 6x 2      Solución A Paralelas ( B )

_{ }

_{ }

f g 5 x f x g x x 1 m 3 2 3 2 2 3 m 2 3        ( A )

 





 

 

f h h x 4 2 3x f x 5 x h x 2 x m 3 3 m 3 3            ( A )

 

 





 

 

f h 2 1 3x 4 3x f x h x 2 2 4 x 1 x f 3 2 x h x m 2 2 3 m 3 2 3              

B Perpendiculares ( B )

_{ }

_{ }

f g 7 f x 5x 1 g x 4 x 7 5 7 m m 5 7 5        ( A )

 

 





 

s g 4 2 3x 1 2 x s x g x 7 2 x m 6 7 6 7 6 m 6 7 g x 7            ( A )

_{ }

_

_

_{ }

 

f k 5 x k x 2 4 3x f x k x 2 x m 2 3 3 m 6 3            

5. En la columna de la derecha aparece una función lineal. Escriba la letra correspondiente dentro del paréntesis según se trate de una función cuya gráfica es creciente, decreciente o constante.

A Creciente ( ) _{f x}

_{ }

2 5   ( ) _{g x}

_{ }

3 4x 2    B Decreciente ( ) h x

 

 7



3 6x



( ) _{k x}

_{ }

4 10x 15   C _Constante ( ) _{s x}

_{ }

2x 1 4   ( ) _{f x}

_{ }

2_x 1 3 5    Solución A Creciente ( C )

_{ }

f 2 f x 5 0 m    ( A )

_{ }

g 3 4x 2 g x m 2     B Decreciente ( A )

 





h h x 7 3 6x 4 6x m 6       ( B )

_{ }

k 10 1 4 x k x m 5 2 3    

C _Constante ( A )

_{ }

s x 1 s x m 2 4 1 2    ( B )

_{ }

f 1 f x x 5 2 3 2 3 m     

6. La gráfica adjunta corresponde a la función f x

 

, encuentre su criterio.

Solución

A Se conocen dos de sus puntos.



x ,y_{1 1}

 

 2,2





x ,y2 2

 

 1, 3



B Se calcula la pendiente usando la

fórmula respectiva: 2 1 2 1 y y m x x    3 2 5 m 1 2 3       

C Se utiliza uno de los dos puntos para encontrar el valor de la intersección, en este caso



2,2



y mx b 5 2 2 b 3 10 2 b 3 10 2 b 3 4 b 3                  D Se encuentra el criterio de la función lineal. 5 4 y x 3 3   

Ejercicios

1. Asocie cada par de puntosde la columna de la izquierda con el respectivo valor de la pendiente de la función lineal a la que pertenecen en la columna de la derecha, escribiendo dentro del paréntesis la letra correspondiente.

A _{1 1} ,3 1, 2 2              ( ) 2 5  B

 

1_{, 1 2,1} 4  _      ( ) 3 C _{3 2 2 3} , , 2 3 3 2              ( ) 5 3  D _{1 1 1} 3, , 2 2 2              ( ) 5 13  E

 

3 1_{, 1,1} 4 4       ( ) 8 7

2. Para la función lineal f x

 

 3x 6 encuentre las intersecciones con los ejes y trace su gráfica.

3. Considere las funciones lineales 3y 4 2 x 1 







y





2 y x 10 x 2  .

a. Verifique que son perpendiculares.

b. Encuentre las respectivas intersecciones con los ejes de sus gráficas. c. Encuentre el punto de intersección de ambas rectas.

4. Asocie cada punto de la columna de la izquierda con la respectiva función lineal a cuya gráfica pertenece en la columna de la derecha, escribiendo dentro del paréntesis la letra correspondiente.

A ₁ 2, 3        ( )

 

2x 3 f x 4   B ₁ 2, 3  _      ( )

 

5 3x g x 3   C ₁ 1, 4        ( )

 

1 1 h x x 2 4   D ₁ ,0 2        ( )

 

2 k x x 1 3    E _{1 1} , 3 2         ( )

 

3 1 s x x 4 4  

5. En la columna de la derecha aparece una función lineal. Escriba la letra correspondiente dentro del paréntesis según se trate de una función cuya gráfica es creciente, decreciente o constante.

A Creciente ( ) 3y 2x x 4   ( ) 4 x 2







2 1 y







B Decreciente ( ) 5x 4 4 y 2 







5x ( ) 5y 2 x 1 3 2     C _Constante ( ) 2 x 4







 y 2 ( ) 4y 3 ₇

_

_{2 x}

_

5    

Soluciones 1. A _{1 1} ,3 1, 2 2              1 ₃ 5 2 2 m 1 3 1 2 2 5 3         ( D ) 2 5  B

 

1 , 1 2,1 4 1 1 2 m 1 7 4 7 2 4 8  _            ( E ) 3 C _{3 2 2 3} , , 2 3 3 2 3 2 5 2 3 6 m 2 3 13 3 2 1 6 5 3                     _ ( A ) 5 3  D 1 1 1 3, , 2 2 2 1 1 1 2 2 m 1 ₃ 5 2 2 2 5                      ( C ) 5 13  E 3 1

_{ }

, 1,1 4 4 1 3 1 4 4 m 3 1 1 4 4 3            ( B ) 8 7

2.

A El valor de b indica la intersección

con el eje y.

 

_{ }

f x 3x 0, 6 6    B Se calcula la intersección con el eje

x.





3x 6 0 3x 6 6 x 3 x 2 2,0              C Se traza la gráfica. 3.

A Se despejan ambas funciones para encontrar las respectivas pendientes y comprobar que son perpendiculares pues el producto de sus pendientes es igual a 1.

Se despeja la primera función:





1 3y 4 2 x 1 3y 4 2x 2 3 2 3 2 3 y 2x 2 4 3y 2x 6 y x 2 m                   





1 2 y x 10 x 2 2y 2x x 2 10 2y x 2 3 2 3 2 x 12 2y 3x 12 y x 6 m                       _    

Se verifica que ambas rectas sean perpendiculares: 1 2 2 3 m m 1 3 2      

B Las intersecciones con el eje y

vienen dadas por los respectivos valores de b, mientras que para encontrar las intersecciones con el eje x se buscan las respectivas preimágenes de 0.

Se buscan los puntos de intersección con los ejes de la primera gráfica:

 





2 y x 3 Además : 2_{x 2 0} 3 x 3 2 0,2 3,0          

Se buscan los puntos de intersección con los ejes de la segunda gráfica:

 





3 y x 2 Además : 3_{x 6 0} 2 6 0,6 4, x 0 4      _{ }    C Se busca el punto de intersección

de las gráficas de ambas funciones.

Para encontrar la coordenada x se igualan ambas funciones:

2 3 x 2 x 6 3 2 2 3 x x 6 2 3 2 13 x 4 6 24 x 13            

Para encontrar la coordenada y se busca la imagen de x con cualquiera de los dos criterios:

2 y x 2 3 2 24 y 2 3 13 42 y 13         Se encuentra el punto de intersección: 24 42_, 13 13      

D Se trazan la gráficas de ambas funciones. 4. A ₁ 2, 3        ( C )

 

2 1 3 1 1 f 1 1, 4 4 4         _{  }   B ₁ 2, 3  _      ( B )

 

5 3 2 1 1 g 2 2, 3 3 3            _{ }   C ₁ 1, 4        ( D ) _{1 1 1 1 1} h 0 ,0 2 2 2 4 2      _{    }           D ₁ ,0 2        ( A )

 

2 1 1 k 2 2 1 2, 3 3 3          _{  }   E _{1 1} , 3 2         ( E ) _{1 3 1 1 1 1 1} s , 3 4 3 4 2 3 2        _{    }          5. A Creciente ( A ) 3y 2x x 4 3y 3x 4 4 y x 3 m 1 0 creciente            

( B ) 4 x 2





2 1 y





4x 8 2 2y 2y 4x 10 y 2x 5 m 2 0 decreciente                    B Decreciente ( C ) 5x 4 4 y 2





5x 5x 4 4y 8 5x 4y 4 y 1 m 0 cons tan te                  ( B )









5y 2 x 1 3 2 2 5y 2 3 x 1 10y 4 3x 3 10y 3x 1 3 1 y x 10 10 3 m 0 decreciente 10   _                        C _Constante ( B ) 2 x 4





y 2 2x 8 y 2 y 2x 10 y 2x 10 m 2 0 decreciente                      ( A )

_

_





4y 3 7 2 x 5 4y 3 5 7 2 x 4y 25 5x 3 5 y x 7 4 5 m 0 creciente 4                   