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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 21

UNIDAD: GEOMETRÍA PERÍMETROS Y ÁREAS TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa.

EJEMPLOS

1. Con respecto a los triángulos de la figura 1, ¿cuánto mide CD ?

A) 9 cm B) 12 cm C) 13 cm D) 15 cm E) 17 cm

2. El ABC de la figura 2, es isósceles rectángulo en A. Si la altura AD = 2 cm, entonces AB mide

A) 2 1

2 cm B) 2 cm C) 2 2 cm D) 2 cm E) 4 cm

a b c

3 4 5

5 12 13 8 15 17

Ternas pitagóricas a

2

b2

c2

a2_{+ b}2_{= c}2

Triángulos Notables

60º a 30º

a 3 2

a 2

a a 2

a 45º

45º

17

4k 3k

8 fig. 1

A B

C D

C

D

B A

fig. 2

3. En el ABC rectángulo en C de la figura 3, D es punto medio de AB . Si BC = 4 cm, entonces AC mide

A) 2 cm B) 4 cm C) 6 cm D) 2 3 cm E) 4 3 cm

4. En la figura 4, ABCD es un rombo de diagonales 10 cm y 24 cm. Si FC=FD, entonces EF mide

A) 5 cm B) 6 cm C) 6,5 cm D) 8 cm E) 8,5 cm

5. En la figura 5, ABCD es un cuadrado de lado 2 cm y DCE es equilátero. Entonces, la suma de los segmentos que forman el cuadrilátero achurado es

A) (2 + 2 2 + 2 3) cm B) (2 + 2 + 3 + 5) cm C) (2 + 2 2 + 2 3 + 5) cm D) (3 + 2 2 + 3 + 5) cm E) (2 + 2 2 + 3 + 5) cm

6. En el trapecio ABCD de la figura 6, DC EB , CE AB y CE = 3 cm, entonces su perímetro es

A) 3( 2 + 3 + 5) cm B) 3(2 2 + 3 + 5) cm C) 3( 2 + 2 3 + 5) cm D) 3( 2 + 3 + 15) cm E) ninguna de las anteriores.

fig. 3

120º

A D B

C

A B

D C

E F

fig. 4

A B

E

D _F C

fig. 5

30º 45º

A B

D C

E

PERÍMETROS Y ÁREAS

Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados. El perímetro se denotará por p.

Área es la medida de la superficie del plano “ocupada” por el polígono. El área se denotará por A.

TRIÁNGULOS

EJEMPLOS

1. En el rectángulo SRTU de la figura 1, se tienen 3 triángulos con las dimensiones indicadas. Entonces, la serie de razones entre las medidas de los perímetros de los tres triángulos es

A) 2 : 3 : 4 B) 2 : 3 : 5 C) 1 : 2 : 3 D) 1 : 3 : 5 E) 3 : 4 : 5

Nombre Figura Perímetro Área

Triángulo a + b + c a ha =b hb =c hc

2 2 2



 

Triángulo

Equilátero 3a

2 a 3

4

Triángulo

Rectángulo a + b + c ab2 = c · h2 c

A B

C

a b

c ha hc

hb

a a

a

b c

a hc

fig. 1

S U

R T

12

25 16

2. En un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa b 2 , ¿cuál es su área y su perímetro?

Área Perímetro

A) b2

2 2b b 2

B) _b2 3

4 3b

C) _b2 _{2b 2}

D) b2 2

b

b 2

2 

E) b 3

4 2b b 2

3. Si el ABC de la figura 2 es rectángulo en B, BE es transversal de gravedad y CB = 3 cm, entonces ¿cuál es el perímetro delABE?

A) 6 cm B) 9 cm C) 3 + 3 cm D) (3 + 3 3 ) cm E) (6 + 3 3 ) cm

4. En un triángulo, si su base disminuye a su tercera parte y su altura se duplica, entonces su área

A) Se reduce a su tercera parte. B) Se reduce en su tercera parte. C) Aumenta en su tercera parte. D) Aumenta en un 331

3% E) Se reduce en un 662

3%

5. En el triángulo isósceles de base AB de la figura 3. Si CA = 5

AB 6 y AB = 18 cm, entonces el perímetro y área delABC son respectivamente

A) 39 cm y 108 cm2

B) 48 cm y 72 cm2

C) 48 cm y 108 cm2

D) 48 cm y 216 cm2

E) 54 cm y 108 cm2

A B

C

E

30º

fig. 2

fig. 3

B A

CUADRILATEROS

EJEMPLOS

1. Si el perímetro de un cuadrado es 4 10 cm, ¿cuál es el área de dicho cuadrado?

A) 10 cm2

B) 20 cm2

C) 40 cm2

D) 100 cm2

E) 160 cm2

2. Si el área del rectángulo ABCD de la figura 1, es 25a2 _{– 16b}2 _{y su ancho mide 5a – 4b,}

entonces la expresión que representa el perímetro del rectángulo es

A) 20a

B) 20a + 12b C) 20a – 12b D) 20a + 16b

E) 20a – 16b _{A B}

D C

fig. 1

Nombre Figura Perímetro Área

Cuadrado 4a

a2

2 d

2

Rectángulo 2a + 2b a b

Rombo 4a

h · a

1 2

d d 2



Romboide 2a + 2b a · h1= b · h2

Trapecio a + b + c + d

a + c h 2

 _{ }

 

  = m · h

Donde m = a + c 2 a

a

b b

a

b b

a h1 h2

a a

a

a d

a a ah d1

d2 a

h

a

d b

c

3. Un rombo tiene diagonales que miden 12 cm y 16 cm, ¿cuál es su perímetro?

A) 40 cm B) 80 cm C) 96 cm D) 112 cm E) 192 cm

4. En el trapecio de la figura 2, CB = 12 cm, sus bases AB y CD miden 30 cm y 8 cm respectivamente, entonces su área es

A) 114 3 cm2

B) 114 cm2

C) 84 3 cm2

D) 57 3 cm2

E) 57 cm2

5. El área del polígono de la figura 3, mide

A) (a + b) (c + d) B) ab + cd

C) cd + a (b + d) D) ab + d (c – a) E) ad + bc

6. Una diagonal de un rombo mide 4 cm y forma ángulos de 60° con los lados adyacentes. Entonces, el área del rombo puede ser

A) 2 3 cm2

B) 4 3 cm2

C) 6 3 cm2

D) 8 3 cm2

E) 16 3 cm2

A B

C D

30o

fig. 2

fig. 3 a

b

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

EJEMPLOS

1. Las circunferencias de la figura 1, son concéntricas de radios 6 cm y 8 cm. ¿Cuál es el perímetro de la región achurada?

A) (2 + 7) cm B) (4 + 7) cm C) (2 + 14) cm D) (4 + 14) cm E) 7cm

2. En el cuadrado ABCD de perímetro 32 de la figura 2, el área de la región achurada es

A) (64 – 16) cm2

B) (64 – 8) cm2

C) (32 – 8) cm2

D) (16 + 8) cm2

E) 32 cm2

3. Si el radio r de un circulo disminuye en n unidades, entonces el área del nuevo circulo se expresa, en unidades cuadradas, como

A)  r2 _{– n}

B)  r2 _{– n}2

C)  (r2_{– n}2₎

D)  (r2_{– n)}

E) ( r – n)2

fig. 2

A B

C D

fig. 1 O

Nombre Figura Perímetro Área

Circunferencia y Círculo

D= 2r

D Diámetro Del círculor

2

Sector circular

 AB + 2r 

AB = 2 r 360º

  r2

360º

  O

r

O

A B

4. En la figura 3, donde AB es diámetro y r es radio de la circunferencia de centro O, el perímetro de la región achurada corresponde a

A) 5 r 12 

B) 5 r2 12



C) 7 r2 12



D) 5 r + 2r 6



E) 7 r + 2r 12



5. En la figura 4, las tres circunferencias son concéntricas y el radio de la menor es 5 cm. Si el área de cada una de ellas es la mitad del área de la anterior, entonces el radio de la más grande es

A) 10 cm B) 12,5 cm C) 15 cm D) 20 cm E) 25 cm

6. En la figura 5, ABCD es un cuadrado, E, F, G y H son puntos de tangencia entre el cuadrado y la circunferencia de centro O. Entonces, de las siguientes afirmaciones, es (son)FALSA(S):

I) El perímetro de la región sombreada es igual a la suma de los perímetros del cuadrado y de la circunferencia.

II) El área de la región sombreada es igual a la diferencia entre el área del cuadrado y el área del círculo.

III) El área de la región achurada representa el 50% del área cuadrado. A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

A 30° B fig. 3

O

O fig. 4

fig. 5 H

D G C

FIGURAS EQUIVALENTES

Son aquellas que tienen igual área.

En todo triángulo:

 Cada transversal de gravedad

lo divide en dos triángulos equivalentes.

 Las tres transversales lo dividen

en seis triángulos equivalentes.

 Todos los triángulos que tienen igual

base y altura son equivalentes. (L1// L2 )

 Al trazar las medianas se

generan cuatro triángulos congruentes.

OBSERVACIÓN: Figura congruentesFiguras equivalentes.

D, E, F puntos medios A1= A2= A3= A4= A5= A6

A D

C E

B

F _G

A1 A2

A3

A4

A5

A6 A1

A2

A B

C D

D es el punto medio de BC A1= A2

I, II, III, y IV Triángulos Congruentes II

III IV

I

A1= A2= A3

A1 A2 _A3

b

h A1 A2 A3

b b b

L2

EJEMPLOS

1. En el ABC de la figura 1, D y E son puntos medios, el área del cuadrilátero ADFE es 12 cm2_{. Entonces, el área delABC es}

A) 24 cm2

B) 28 cm2

C) 32 cm2

D) 36 cm2

E) 38 cm2

2. El ABC de la figura 2 es isósceles de base AB = 8 cm, D es punto medio de BC y FE = 4 cm. ¿Cuál es el área delADC?

A) 18 cm2

B) 24 cm2

C) 36 cm2

D) 48 cm2

E) 96 cm2

3. En el triángulo ABC de la figura 3, MN es mediana. Entonces, ¿qué porcentaje es el área delMNC del área del trapecio ABNM?

A) 20% B) 25% C) 30% D) 16 2

3% E) 33 1

3%

A E B

C

F D

fig. 2

A D B

C

E

F

fig. 1

A

C

M N

fig. 3

Cuadriláteros

En todo paralelogramo:

 Al trazar las diagonales se

forman cuatro triángulos equivalentes.

 Todo triángulo que tiene un

lado común con un paralelogramo y su tercer vértice se encuentra en el lado opuesto a dicho lado común, tendrá la mitad del

área de este

paralelogramo.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, el lado de cada cuadrado es 2 cm. Entonces el área de la región achurada es

A) 2 cm2

B) 4 cm2

C) 8 cm2

D) 2 2 cm2

E) indeterminable con los datos dados.

2. En la figura 2, L1 // L2. Entonces, la razón entre el área del paralelogramo ABCD y la

suma de las áreas de los triángulos ABF y ABG es

A) 1:1 B) 2:1 C) 3:1 D) 3:2

E) no se puede determinar.

A1= A2= A3= A4

A(ABE) = 1

2A(#ABCD)

fig. 2

A B L2

D _C F

G _L

1

fig. 1 I

II III

IV

A B

D E C

I

II III

A B

D C

A3

A2

A1

3. En la figura 3, ABCD es un paralelogramo donde P, Q y R son puntos medios de los lados respectivos. ¿Qué fracción es la región achurada de lano achurada?

A) 1 3 B) 1 4 C) 1 5 D) 2 7 E) 2 9

4. En la figura 4, ABCD es un rectángulo y el área achurada es t2_{. Si AB = 6t, entonces el}

trazo BC mide

A) t B) 4t

3 C) t 3 D) t 6 E) 2t 3

RESPUESTAS

DMCAMA21 Ejemplos

Págs. 1 2 3 4 5 6

1 y 2 A D E C E A

3 y 4 E A E B C

5 y 6 A A A B D D

7 y 8 B E E D A E

10 D B E

11 y 12 B A A E

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P fig. 3

A B

D C

R

Q

D

B A

C