Sesión 4 (2018-1) (Presentación)

Señales y Sistemas 1: Modelamiento y sistemas LIT causales

2018-1

Jan Bacca Rodríguez Ana María Reyes

{jbaccar,amreyesp}@unal.edu.co

Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Marzo de 2018

1 Modelos y sistemas

¿Qué es un modelo?

2 Modelamiento de sistemas LIT en tiempo continuo

Representación de sistemas LIT en CT por medio de ecuaciones diferenciales Modelamiento de sistemas físicos

Ejemplo de modelamiento de sistemas físicos

3 Modelamiento de sistemas LIT en tiempo discreto

¿Qué es un modelo?

Para entender un sistema, debemos hacer una representación abstracta de él.

Modelo

Un modelo es una representación abstracta de un sistema [1].

Los modelos ayudan a comprender un sistema.

Existen distintos tipos de modelos:

I Modelos físicos: objetos físicos hechos a escala para funcionar como el objeto que representan.

I Modelos conceptuales: modelos desarrollados gracias a la composición de conceptos. Por ende, solo existen en el plano mental.

I Algunos ejemplos son: modelos mentales, modelos lingüísticos, modelos gráficos, modelos

matemáticos, modelos de software.

Para entender un sistema, debemos hacer una representación abstracta de él.

Modelo

Un modelo es una representación abstracta de un sistema [1].

Los modelos ayudan a comprender un sistema.

Existen distintos tipos de modelos:

I Modelos físicos: objetos físicos hechos a escala para funcionar como el objeto que representan.

I Modelos conceptuales: modelos desarrollados gracias a la composición de conceptos. Por ende, solo existen en el plano mental.

I Algunos ejemplos son: modelos mentales, modelos lingüísticos, modelos gráficos, modelos

¿Qué es un modelo?

Para entender un sistema, debemos hacer una representación abstracta de él.

Modelo

Un modelo es una representación abstracta de un sistema [1].

Los modelos ayudan a comprender un sistema.

Existen distintos tipos de modelos:

I Modelos físicos: objetos físicos hechos a escala para funcionar como el objeto que representan.

I Modelos conceptuales: modelos desarrollados gracias a la composición de conceptos. Por ende, solo existen en el plano mental.

I Algunos ejemplos son: modelos mentales, modelos lingüísticos, modelos gráficos, modelos

matemáticos, modelos de software.

Para entender un sistema, debemos hacer una representación abstracta de él.

Modelo

Un modelo es una representación abstracta de un sistema [1].

Los modelos ayudan a comprender un sistema.

Existen distintos tipos de modelos:

I Modelos físicos: objetos físicos hechos a escala para funcionar como el objeto que representan.

I Modelos conceptuales: modelos desarrollados gracias a la composición de conceptos. Por ende, solo existen en el plano mental.

I Algunos ejemplos son: modelos mentales, modelos lingüísticos, modelos gráficos, modelos

¿Qué es un modelo?

Para entender un sistema, debemos hacer una representación abstracta de él.

Modelo

Un modelo es una representación abstracta de un sistema [1].

Los modelos ayudan a comprender un sistema.

Existen distintos tipos de modelos:

I Modelos físicos: objetos físicos hechos a escala para funcionar como el objeto que representan.

I Modelos conceptuales: modelos desarrollados gracias a la composición de conceptos. Por ende, solo existen en el plano mental.

I Algunos ejemplos son: modelos mentales, modelos lingüísticos, modelos gráficos, modelos

matemáticos, modelos de software.

Para entender un sistema, debemos hacer una representación abstracta de él.

Modelo

Un modelo es una representación abstracta de un sistema [1].

Los modelos ayudan a comprender un sistema.

Existen distintos tipos de modelos:

I Modelos físicos: objetos físicos hechos a escala para funcionar como el objeto que representan.

I Modelos conceptuales: modelos desarrollados gracias a la composición de conceptos. Por ende, solo existen en el plano mental.

I Algunos ejemplos son: modelos mentales, modelos lingüísticos, modelos gráficos, modelos

¿Qué es un modelo?

Para entender un sistema, debemos hacer una representación abstracta de él.

Modelo

Un modelo es una representación abstracta de un sistema [1].

Los modelos ayudan a comprender un sistema.

Existen distintos tipos de modelos:

I Modelos físicos: objetos físicos hechos a escala para funcionar como el objeto que representan.

I Modelos conceptuales: modelos desarrollados gracias a la composición de conceptos. Por ende, solo existen en el plano mental.

I Algunos ejemplos son: modelos mentales, modelos lingüísticos, modelos gráficos, modelos

matemáticos, modelos de software.

Para entender un sistema, debemos hacer una representación abstracta de él.

Modelo

Un modelo es una representación abstracta de un sistema [1].

Los modelos ayudan a comprender un sistema.

Existen distintos tipos de modelos:

I Modelos físicos: objetos físicos hechos a escala para funcionar como el objeto que representan.

I Modelos conceptuales: modelos desarrollados gracias a la composición de conceptos. Por ende, solo existen en el plano mental.

I Algunos ejemplos son: modelos mentales, modelos lingüísticos, modelos gráficos, modelos

Modelos matemáticos

Modelo matemático

Un modelo matemáticoes la descripción de un sistema empleando conceptos y lenguaje matemáticos.

Un modelo matemático puede ayudar a:

I Explicar un sistema

I Estudiar el efecto de distintos componentes en el comportamiento del mismo

I Hacer predicciones acerca de su comportamiento

El mejor modelo es aquel que sea útil para nuestros propósitos particulares, y dentro

de todos los tipos útiles, preferiremos el más sencillo [1].

Modelo matemático

Un modelo matemáticoes la descripción de un sistema empleando conceptos y lenguaje matemáticos.

Un modelo matemático puede ayudar a:

I Explicar un sistema

I Estudiar el efecto de distintos componentes en el comportamiento del mismo

I Hacer predicciones acerca de su comportamiento

El mejor modelo es aquel que sea útil para nuestros propósitos particulares, y dentro

Modelos matemáticos

Modelo matemático

Un modelo matemáticoes la descripción de un sistema empleando conceptos y lenguaje matemáticos.

Un modelo matemático puede ayudar a:

I Explicar un sistema

I Estudiar el efecto de distintos componentes en el comportamiento del mismo

I Hacer predicciones acerca de su comportamiento

El mejor modelo es aquel que sea útil para nuestros propósitos particulares, y dentro

de todos los tipos útiles, preferiremos el más sencillo [1].

Modelo matemático

Un modelo matemáticoes la descripción de un sistema empleando conceptos y lenguaje matemáticos.

Un modelo matemático puede ayudar a:

I Explicar un sistema

I Estudiar el efecto de distintos componentes en el comportamiento del mismo

I Hacer predicciones acerca de su comportamiento

El mejor modelo es aquel que sea útil para nuestros propósitos particulares, y dentro

Modelos matemáticos

Modelo matemático

Un modelo matemáticoes la descripción de un sistema empleando conceptos y lenguaje matemáticos.

Un modelo matemático puede ayudar a:

I Explicar un sistema

I Estudiar el efecto de distintos componentes en el comportamiento del mismo

I Hacer predicciones acerca de su comportamiento

El mejor modelo es aquel que sea útil para nuestros propósitos particulares, y dentro

de todos los tipos útiles, preferiremos el más sencillo [1].

Modelo matemático

Un modelo matemáticoes la descripción de un sistema empleando conceptos y lenguaje matemáticos.

Un modelo matemático puede ayudar a:

I Explicar un sistema

I Estudiar el efecto de distintos componentes en el comportamiento del mismo

I Hacer predicciones acerca de su comportamiento

El mejor modelo es aquel que sea útil para nuestros propósitos particulares, y dentro

Modelos matemáticos

Modelo matemático

Un modelo matemáticoes la descripción de un sistema empleando conceptos y lenguaje matemáticos.

Un modelo matemático puede ayudar a:

I Explicar un sistema

I Estudiar el efecto de distintos componentes en el comportamiento del mismo

I Hacer predicciones acerca de su comportamiento

El mejor modelo es aquel que sea útil para nuestros propósitos particulares, y dentro

de todos los tipos útiles, preferiremos el más sencillo [1].

Modelo matemático en ingeniería

Principios, leyes observación, experiencia, intuición

describen el

comportamiento de un sistema

por medio de

representaciones matemáticas confiables

que se simplifican mediante

Modelos matemáticos en ingeniería

Modelo matemático en ingeniería

Principios, leyes observación, experiencia, intuición

describen el

comportamiento de un sistema

por medio de

representaciones matemáticas confiables

que se simplifican mediante

condiciones y aproximaciones

Modelo matemático en ingeniería

Principios, leyes observación, experiencia, intuición

describen el

comportamiento de un sistema

por medio de

representaciones matemáticas confiables

que se simplifican mediante

Modelos matemáticos en ingeniería

Modelo matemático en ingeniería

Principios, leyes observación, experiencia, intuición

describen el

comportamiento de un sistema

por medio de

representaciones matemáticas confiables

que se simplifican mediante

condiciones y aproximaciones

Modelo matemático en ingeniería

Principios, leyes observación, experiencia, intuición

describen el

comportamiento de un sistema

por medio de

representaciones matemáticas confiables

que se simplifican mediante

Modelos matemáticos en ingeniería

Modelo matemático en ingeniería

Principios, leyes observación, experiencia, intuición

describen el

comportamiento de un sistema

por medio de

representaciones matemáticas confiables

que se simplifican mediante

condiciones y aproximaciones

Sistemas linealmente invariantes en el tiempo (LIT)

Un sistema que satisfaga la propiedad de superposición(aditividad y homogeneidad), y cuyaspropiedades sean constantes en el tiempo, se conoce como un sistema linealmente invariante en el tiempo (LIT).

Causalidad

Un sistema escausal si su salida actual solo depende de valores presentes o pasados de la entrada.

Todos los sistemas físicos son causales. Si sus propiedades pueden considerarse

Representación de sistemas LIT

Sistemas linealmente invariantes en el tiempo (LIT)

Un sistema que satisfaga la propiedad de superposición(aditividad y homogeneidad), y cuyaspropiedades sean constantes en el tiempo, se conoce como un sistema linealmente invariante en el tiempo (LIT).

Causalidad

Un sistema escausal si su salida actual solo depende de valores presentes o pasados de la entrada.

Todos los sistemas físicos son causales. Si sus propiedades pueden considerarse

constantes por un intervalo de tiempo considerable, serán modelados como sistemas causales LIT.

Sistemas linealmente invariantes en el tiempo (LIT)

Un sistema que satisfaga la propiedad de superposición(aditividad y homogeneidad), y cuyaspropiedades sean constantes en el tiempo, se conoce como un sistema linealmente invariante en el tiempo (LIT).

Causalidad

Un sistema escausal si su salida actual solo depende de valores presentes o pasados de la entrada.

Todos los sistemas físicos son causales. Si sus propiedades pueden considerarse

Representación de sistemas LIT

Sistemas linealmente invariantes en el tiempo (LIT)

Un sistema que satisfaga la propiedad de superposición(aditividad y homogeneidad), y cuyaspropiedades sean constantes en el tiempo, se conoce como un sistema linealmente invariante en el tiempo (LIT).

Causalidad

Un sistema escausal si su salida actual solo depende de valores presentes o pasados de la entrada.

Todos los sistemas físicos son causales. Si sus propiedades pueden considerarse

constantes por un intervalo de tiempo considerable, serán modelados como sistemas causales LIT.

Sistemas linealmente invariantes en el tiempo (LIT)

Un sistema que satisfaga la propiedad de superposición(aditividad y homogeneidad), y cuyaspropiedades sean constantes en el tiempo, se conoce como un sistema linealmente invariante en el tiempo (LIT).

Causalidad

Un sistema escausal si su salida actual solo depende de valores presentes o pasados de la entrada.

Todos los sistemas físicos son causales. Si sus propiedades pueden considerarse

Representación de sistemas LIT en tiempo continuo

Representación de sistemas CT LIT por medio de ecuaciones diferenciales

Sea y(t) la salida de un sistema en CT con entradax(t). El sistema es LIT si y solo si su relación entrada-salida se representa por medio de la ecuación diferencial lineal ordinaria de grado N con coeficientes constantes:

N

∑

k=0

ak dk

dtk [y(t)] = M

∑

j=0

bj dj dtj[x(t)]

Observaciones:

I Esta representación es válida para sistemas con o sin memoria.

I La linealidad se mira respecto a la entrada, la salida y sus respectivas derivadas.

Los sistemas LIT en tiempo continuo se representan por medio de ecuaciones

diferenciales ordinarias lineales de coeficientes constantes.

Representación de sistemas CT LIT por medio de ecuaciones diferenciales

Sea y(t) la salida de un sistema en CT con entradax(t). El sistema es LIT si y solo si su relación entrada-salida se representa por medio de la ecuación diferencial lineal ordinaria de grado N con coeficientes constantes:

N

∑

k=0

ak dk

dtk [y(t)] = M

∑

j=0

bj dj dtj[x(t)]

Observaciones:

I Esta representación es válida para sistemas con o sin memoria.

I La linealidad se mira respecto a la entrada, la salida y sus respectivas derivadas.

Los sistemas LIT en tiempo continuo se representan por medio de ecuaciones

Representación de sistemas LIT en tiempo continuo

Representación de sistemas CT LIT por medio de ecuaciones diferenciales

Sea y(t) la salida de un sistema en CT con entradax(t). El sistema es LIT si y solo si su relación entrada-salida se representa por medio de la ecuación diferencial lineal ordinaria de grado N con coeficientes constantes:

N

∑

k=0

ak

dk

dtk [y(t)] = M

∑

j=0

bj

dj dtj[x(t)]

Observaciones:

I Esta representación es válida para sistemas con o sin memoria.

I La linealidad se mira respecto a la entrada, la salida y sus respectivas derivadas.

Los sistemas LIT en tiempo continuo se representan por medio de ecuaciones

diferenciales ordinarias lineales de coeficientes constantes.

Representación de sistemas CT LIT por medio de ecuaciones diferenciales

Sea y(t) la salida de un sistema en CT con entradax(t). El sistema es LIT si y solo si su relación entrada-salida se representa por medio de la ecuación diferencial lineal ordinaria de grado N con coeficientes constantes:

N

∑

k=0

ak

dk

dtk [y(t)] = M

∑

j=0

bj

dj dtj[x(t)]

Observaciones:

I Esta representación es válida para sistemas con o sin memoria.

I La linealidad se mira respecto a la entrada, la salida y sus respectivas derivadas.

Los sistemas LIT en tiempo continuo se representan por medio de ecuaciones

Representación de sistemas LIT en tiempo continuo

Representación de sistemas CT LIT por medio de ecuaciones diferenciales

Sea y(t) la salida de un sistema en CT con entradax(t). El sistema es LIT si y solo si su relación entrada-salida se representa por medio de la ecuación diferencial lineal ordinaria de grado N con coeficientes constantes:

N

∑

k=0

ak

dk

dtk [y(t)] = M

∑

j=0

bj

dj dtj[x(t)]

Observaciones:

I Esta representación es válida para sistemas con o sin memoria.

I La linealidad se mira respecto a la entrada, la salida y sus respectivas derivadas.

Los sistemas LIT en tiempo continuo se representan por medio de ecuaciones

diferenciales ordinarias lineales de coeficientes constantes.

Representación de sistemas CT LIT por medio de ecuaciones diferenciales

Sea y(t) la salida de un sistema en CT con entradax(t). El sistema es LIT si y solo si su relación entrada-salida se representa por medio de la ecuación diferencial lineal ordinaria de grado N con coeficientes constantes:

N

∑

k=0

ak

dk

dtk [y(t)] = M

∑

j=0

bj

dj dtj[x(t)]

Observaciones:

I Esta representación es válida para sistemas con o sin memoria.

I La linealidad se mira respecto a la entrada, la salida y sus respectivas derivadas.

Los sistemas LIT en tiempo continuo se representan por medio de ecuaciones

Representación de sistemas LIT en tiempo continuo

Representación de sistemas CT LIT por medio de ecuaciones diferenciales

Sea y(t) la salida de un sistema en CT con entradax(t). El sistema es LIT si y solo si su relación entrada-salida se representa por medio de la ecuación diferencial lineal ordinaria de grado N con coeficientes constantes:

N

∑

k=0

ak

dk

dtk [y(t)] = M

∑

j=0

bj

dj dtj[x(t)]

Observaciones:

I Esta representación es válida para sistemas con o sin memoria.

I La linealidad se mira respecto a la entrada, la salida y sus respectivas derivadas.

Los sistemas LIT en tiempo continuo se representan por medio de ecuaciones

diferenciales ordinarias lineales de coeficientes constantes.

Para analizar sistemas de distinta naturaleza, se han identificado dos tipos de variables que permiten analizar estos fenómenos.

Variables de esfuerzo y variables de flujo

Las variables de esfuerzo (E)y flujo (F)describen un fenómeno de acuerdo a una relación causa-efecto.

I Lasvariables de esfuerzoson aquellas que causan un fenómeno.

Modelamiento de sistemas físicos

Para analizar sistemas de distinta naturaleza, se han identificado dos tipos de variables que permiten analizar estos fenómenos.

Variables de esfuerzo y variables de flujo

Las variables de esfuerzo (E)y flujo (F)describen un fenómeno de acuerdo a una relación causa-efecto.

I Lasvariables de esfuerzoson aquellas que causan un fenómeno.

I Lasvariables de flujo describen la manera en la cual este fenómeno se manifiesta.

Para analizar sistemas de distinta naturaleza, se han identificado dos tipos de variables que permiten analizar estos fenómenos.

Variables de esfuerzo y variables de flujo

Las variables de esfuerzo (E)y flujo (F)describen un fenómeno de acuerdo a una relación causa-efecto.

I Lasvariables de esfuerzoson aquellas que causan un fenómeno.

Modelamiento de sistemas físicos

Para analizar sistemas de distinta naturaleza, se han identificado dos tipos de variables que permiten analizar estos fenómenos.

Variables de esfuerzo y variables de flujo

Las variables de esfuerzo (E)y flujo (F)describen un fenómeno de acuerdo a una relación causa-efecto.

I Lasvariables de esfuerzoson aquellas que causan un fenómeno.

I Lasvariables de flujo describen la manera en la cual este fenómeno se manifiesta.

Para analizar sistemas de distinta naturaleza, se han identificado dos tipos de variables que permiten analizar estos fenómenos.

Variables de esfuerzo y variables de flujo

Las variables de esfuerzo (E)y flujo (F)describen un fenómeno de acuerdo a una relación causa-efecto.

I Lasvariables de esfuerzoson aquellas que causan un fenómeno.

Modelamiento de sistemas físicos

A continuación se presentan algunos fenómenos físicos cuyo modelo matemático contiene una variable que corresponde a los siguientes casos [1]:

I Resistencia: el esfuerzo es directamente proporcional al flujo

E =RF

I Inductancia: el esfuerzo es directamente proporcional a la variación del flujo

E =LdF

dt

I Capacitancia: el esfuerzo es directamente proporcional a la acumulación del flujo

E =C

Z Fdt

A continuación se presentan algunos fenómenos físicos cuyo modelo matemático contiene una variable que corresponde a los siguientes casos [1]:

I Resistencia: el esfuerzo es directamente proporcional al flujo

E =RF

I Inductancia: el esfuerzo es directamente proporcional a la variación del flujo

E =LdF

dt

I Capacitancia: el esfuerzo es directamente proporcional a la acumulación del flujo

E =C

Modelamiento de sistemas físicos

A continuación se presentan algunos fenómenos físicos cuyo modelo matemático contiene una variable que corresponde a los siguientes casos [1]:

I Resistencia: el esfuerzo es directamente proporcional al flujo

E =RF

I Inductancia: el esfuerzo es directamente proporcional a la variación del flujo

E =LdF

dt

I Capacitancia: el esfuerzo es directamente proporcional a la acumulación del flujo

E =C

Z Fdt

A continuación se presentan algunos fenómenos físicos cuyo modelo matemático contiene una variable que corresponde a los siguientes casos [1]:

I Resistencia: el esfuerzo es directamente proporcional al flujo

E =RF

I Inductancia: el esfuerzo es directamente proporcional a la variación del flujo

E =LdF

dt

I Capacitancia: el esfuerzo es directamente proporcional a la acumulación del flujo

E =C

Modelamiento de sistemas físicos

A continuación se presentan algunos fenómenos físicos cuyo modelo matemático contiene una variable que corresponde a los siguientes casos [1]:

I Resistencia: el esfuerzo es directamente proporcional al flujo

E =RF

I Inductancia: el esfuerzo es directamente proporcional a la variación del flujo

E =LdF

dt

I Capacitancia: el esfuerzo es directamente proporcional a la acumulación del flujo

E =C

Z

Fdt

Eléctrico A Eléctrico B Mecánico traslacional Mecánico rotacional Esfuerzo E Corriente i Tensión v Fuerza f Torque τ Flujo F Tensión v Corriente i Velocidad v Velocidad angular ω Resistencia

E=RF

Conductancia

i=Ge

Resistencia

v=Ri

Amortiguamiento viscoso

f=Bv

Amortiguamiento viscoso rotacional

τ=Bω

Inductancia

E=Ld_dtF

Capacitancia

i=Cdv dt

Inductancia

v=Ldi dt

Masa (inercia)

f =mdv dt

Momento de inercia τ=Jddtω

Capacitancia

E=CR

Fdt

Inductancia

i=1_LR

vdt

Capacitancia

v=_C1R

idt

Resorte

f =KR

vdt

Resorte torsional τ=KTRωdt

Modelamiento de sistemas físicos

Hidráulico (tanques) Térmico

Esfuerzo E Caudal q Diferencia de temperatura ∆θ Flujo F

Nivel de líquido

h

Calor

qc

Resistencia

E=RF

Resistencia hidráulica

q=RHh

Resistencia térmica ∆θ=RTqc

Inductancia

E=LdF_dt

Área de tanque

q=Adh_dt N/A

Capacitancia

E=CR

Fdt N/A

Capacitancia térmica ∆θ=CT

R

qcdt

Table:Variables y parámetros de sistemas físicos (parte 2) [1].

I Obtener la solución homogénea de la ecuación yh(t):

I _{Escribir el polinomio característico.}

I _{Obtener las raícesλi del polinomio característico.}

I _{Construir la solución}

I yh(t) =c1eλ1t+· · ·+c2eλnt para raíces distintas

I yh(t) = c1+c2t+c3t2+· · ·+cktk−1para raíces repetidas con multiplicidadk

I Obtener la solución particularyp(t)

I Obtener la respuesta completay(t) =yh(t) +yp(t).

Solución de ecuaciones diferenciales lineales

I Obtener la solución homogénea de la ecuación yh(t):

I _{Escribir el polinomio característico.}

I _{Obtener las raícesλi del polinomio característico.}

I _{Construir la solución}

I yh(t) =c1eλ1t+· · ·+c2eλnt para raíces distintas

I yh(t) = c1+c2t+c3t2+· · ·+cktk−1para raíces repetidas con multiplicidadk

I Obtener la solución particularyp(t)

I Obtener la respuesta completay(t) =yh(t) +yp(t).

I Reemplazar las condiciones iniciales y obtener los coeficientesc1,c2, . . . ,cn.

I Obtener la solución homogénea de la ecuación yh(t):

I _{Escribir el polinomio característico.}

I _{Obtener las raícesλi del polinomio característico.}

I _{Construir la solución}

I yh(t) =c1eλ1t+· · ·+c2eλnt para raíces distintas

I yh(t) = c1+c2t+c3t2+· · ·+cktk−1para raíces repetidas con multiplicidadk

I Obtener la solución particularyp(t)

I Obtener la respuesta completay(t) =yh(t) +yp(t).

Solución de ecuaciones diferenciales lineales

I Obtener la solución homogénea de la ecuación yh(t):

I _{Escribir el polinomio característico.}

I _{Obtener las raícesλi del polinomio característico.}

I _{Construir la solución}

I yh(t) =c1eλ1t+· · ·+c2eλnt para raíces distintas

I yh(t) = c1+c2t+c3t2+· · ·+cktk−1para raíces repetidas con multiplicidadk

I Obtener la solución particularyp(t)

I Obtener la respuesta completay(t) =yh(t) +yp(t).

I Reemplazar las condiciones iniciales y obtener los coeficientesc1,c2, . . . ,cn.

I Obtener la solución homogénea de la ecuación yh(t):

I _{Escribir el polinomio característico.}

I _{Obtener las raícesλi del polinomio característico.}

I _{Construir la solución}

I yh(t) =c1eλ1t+· · ·+c2eλnt para raíces distintas

I yh(t) = c1+c2t+c3t2+· · ·+cktk−1para raíces repetidas con multiplicidadk

I Obtener la solución particularyp(t)

I Obtener la respuesta completay(t) =yh(t) +yp(t).

Solución de ecuaciones diferenciales lineales

I Obtener la solución homogénea de la ecuación yh(t):

I _{Escribir el polinomio característico.}

I _{Obtener las raícesλi del polinomio característico.}

I _{Construir la solución}

I yh(t) =c1eλ1t+· · ·+c2eλnt para raíces distintas

I yh(t) = c1+c2t+c3t2+· · ·+cktk−1para raíces repetidas con multiplicidadk

I Obtener la solución particularyp(t)

I Obtener la respuesta completay(t) =yh(t) +yp(t).

I Reemplazar las condiciones iniciales y obtener los coeficientesc1,c2, . . . ,cn.

I Obtener la solución homogénea de la ecuación yh(t):

I _{Escribir el polinomio característico.}

I _{Obtener las raícesλi del polinomio característico.}

I _{Construir la solución}

I yh(t) =c1eλ1t+· · ·+c2eλnt para raíces distintas

I yh(t) = c1+c2t+c3t2+· · ·+cktk−1para raíces repetidas con multiplicidadk

I Obtener la solución particularyp(t)

I Obtener la respuesta completay(t) =yh(t) +yp(t).

Solución de ecuaciones diferenciales lineales

I Obtener la solución homogénea de la ecuación yh(t):

I _{Escribir el polinomio característico.}

I _{Obtener las raícesλi del polinomio característico.}

I _{Construir la solución}

I yh(t) =c1eλ1t+· · ·+c2eλnt para raíces distintas

I yh(t) = c1+c2t+c3t2+· · ·+cktk−1para raíces repetidas con multiplicidadk

I Obtener la solución particularyp(t)

I Obtener la respuesta completay(t) =yh(t) +yp(t).

I Reemplazar las condiciones iniciales y obtener los coeficientesc1,c2, . . . ,cn.

I Obtener la solución homogénea de la ecuación yh(t):

I _{Escribir el polinomio característico.}

I _{Obtener las raícesλi del polinomio característico.}

I _{Construir la solución}

I yh(t) =c1eλ1t+· · ·+c2eλnt para raíces distintas

I yh(t) = c1+c2t+c3t2+· · ·+cktk−1para raíces repetidas con multiplicidadk

I Obtener la solución particularyp(t)

I Obtener la respuesta completay(t) =yh(t) +yp(t).

Solución de ecuaciones diferenciales lineales

I Obtener la solución homogénea de la ecuación yh(t):

I _{Escribir el polinomio característico.}

I _{Obtener las raícesλi del polinomio característico.}

I _{Construir la solución}

I yh(t) =c1eλ1t+· · ·+c2eλnt para raíces distintas

I yh(t) = c1+c2t+c3t2+· · ·+cktk−1para raíces repetidas con multiplicidadk

I Obtener la solución particularyp(t)

I Obtener la respuesta completay(t) =yh(t) +yp(t).

I Reemplazar las condiciones iniciales y obtener los coeficientesc1,c2, . . . ,cn.

Ejemplo 4.1

Escriba las ecuaciones de movimiento para el sistema de amortiguamiento (quarter-car model) mostrado en la Figura 1. Suponga que el movimiento es vertical en una dimensión.

Los parámetros del sistema, obtenidos luego de procedimientos experimentales, son:

I Masa total del carro: mT=1580 kg.

I Masa de cada una de las llantas:

m1=20 kg.

I ks=130000 N/m;

I kw≈1000000 N/m;

I b=9800 N·s/m

Ejemplo de modelamiento de sistemas físicos

Ejemplo 4.1

Escriba las ecuaciones de movimiento para el sistema de amortiguamiento (quarter-car model) mostrado en la Figura 1. Suponga que el movimiento es vertical en una dimensión.

Los parámetros del sistema, obtenidos luego de procedimientos experimentales, son:

I Masa total del carro: mT=1580 kg.

I Masa de cada una de las llantas:

m1=20 kg.

I ks=130000 N/m;

I kw≈1000000 N/m;

I b=9800 N·s/m

Figure:Representación de un sistema de amortiguamiento [2].

Ejemplo 4.1

Escriba las ecuaciones de movimiento para el sistema de amortiguamiento (quarter-car model) mostrado en la Figura 1. Suponga que el movimiento es vertical en una dimensión.

Los parámetros del sistema, obtenidos luego de procedimientos experimentales, son:

I Masa total del carro: mT=1580 kg.

I Masa de cada una de las llantas:

m1=20 kg.

I ks=130000 N/m;

I kw≈1000000 N/m;

I b=9800 N·s/m

Ejemplo de modelamiento de sistemas físicos

Ejemplo 4.1

Como se está analizando el sistema de amortiguamiento solo desde una de las ruedas del carro, podemos distribuir la masa en 4 partes iguales y calcular:

m2= mT

4 =

1580 kg

4 =395 kg

Las coordenadas de cada una de las dos masasm1ym2se toman respecto a su

posición de equilibriox ey con las

direcciones de referencia como se muestran.

Ejemplo 4.1

Como se está analizando el sistema de amortiguamiento solo desde una de las ruedas del carro, podemos distribuir la masa en 4 partes iguales y calcular:

m2= mT

4 = 1580 kg

4 =395 kg

Las coordenadas de cada una de las dos masasm1ym2se toman respecto a su

posición de equilibriox ey con las

Ejemplo de modelamiento de sistemas físicos

Ejemplo 4.1

Como se está analizando el sistema de amortiguamiento solo desde una de las ruedas del carro, podemos distribuir la masa en 4 partes iguales y calcular:

m2= mT

4 = 1580 kg

4 =395 kg

Las coordenadas de cada una de las dos masasm1ym2se toman respecto a su

posición de equilibriox ey con las

direcciones de referencia como se muestran.

Ejemplo 4.1

El amortiguador con constantebactúa con una fuerza proporcional a la tasa de cambio del desplazamiento relativo de las dos masas, cuya magnitud está dada por

|fb|=b( ˙y−x˙)

La fuerza de la suspensión actúa en ambas masas de manera proporcional al

desplazamiento relativo entre ambas, con una constante de resorteks. La magnitud de esta fuerza sobre cada una de las masas es igual pero su dirección es opuesta:

fs,x=ks(y−x) (en la masam1) fs,y=ks(x−y) (en la masam2)

Ejemplo de modelamiento de sistemas físicos

Ejemplo 4.1

El amortiguador con constantebactúa con una fuerza proporcional a la tasa de cambio del desplazamiento relativo de las dos masas, cuya magnitud está dada por

|fb|=b( ˙y−x˙)

La fuerza de la suspensión actúa en ambas masas de manera proporcional al

desplazamiento relativo entre ambas, con una constante de resorteks. La magnitud de esta fuerza sobre cada una de las masas es igual pero su dirección es opuesta:

fs,x=ks(y−x) (en la masam1) fs,y=ks(x−y) (en la masam2)

=−ks(y−x)

Ejemplo 4.1

El amortiguador con constantebactúa con una fuerza proporcional a la tasa de cambio del desplazamiento relativo de las dos masas, cuya magnitud está dada por

|fb|=b( ˙y−x˙)

La fuerza de la suspensión actúa en ambas masas de manera proporcional al

desplazamiento relativo entre ambas, con una constante de resorteks. La magnitud de esta fuerza sobre cada una de las masas es igual pero su dirección es opuesta:

fs,x=ks(y−x) (en la masam1)

fs,y=ks(x−y) (en la masam2)

Ejemplo de modelamiento de sistemas físicos

Ejemplo 4.1

El resorte de la parte inferior representa la compresibilidad del neumático, al cual se le asigna una constante de resortekw.

La fuerza ejercida por este resorte es directamente proporcional a la longitud en la cual la llanta está comprimida, lo cual va a depender directamente de la forma del camino en el cual circule el automóvil, siendor la distancia que se mide respecto al punto de referencia que se ve afectada por la forma del terreno. Entonces tenemos:

fw=kw(r−x) =−kw(x−r)

Ejemplo 4.1

El resorte de la parte inferior representa la compresibilidad del neumático, al cual se le asigna una constante de resortekw.

La fuerza ejercida por este resorte es directamente proporcional a la longitud en la cual la llanta está comprimida, lo cual va a depender directamente de la forma del camino en el cual circule el automóvil, siendor la distancia que se mide respecto al punto de referencia que se ve afectada por la forma del terreno. Entonces tenemos:

Ejemplo de modelamiento de sistemas físicos

Ejemplo 4.1

El resorte de la parte inferior representa la compresibilidad del neumático, al cual se le asigna una constante de resortekw.

La fuerza ejercida por este resorte es directamente proporcional a la longitud en la cual la llanta está comprimida, lo cual va a depender directamente de la forma del camino en el cual circule el automóvil, siendor la distancia que se mide respecto al punto de referencia que se ve afectada por la forma del terreno. Entonces tenemos:

fw=kw(r−x) =−kw(x−r)

Ejemplo 4.1

Resumiendo, todas las fuerzas que actúan en el sistema son:

I Amortiguamiento (sobrem1ym2):

|fb|=b( ˙y−x˙)

I Suspensión (sobrem1 ym2):

|fs|=ks(y−x)

I Compresión del neumático (sobrem1):

|fw|=kw(x−r)

Para asignar los signos de cada una de las fuerzas, debemos visualizar un desplazamiento de las masas. La dirección de este

Ejemplo de modelamiento de sistemas físicos

Ejemplo 4.1

Resumiendo, todas las fuerzas que actúan en el sistema son:

I Amortiguamiento (sobrem1ym2):

|fb|=b( ˙y−x˙)

I Suspensión (sobrem1 ym2):

|fs|=ks(y−x)

I Compresión del neumático (sobrem1):

|fw|=kw(x−r)

Para asignar los signos de cada una de las fuerzas, debemos visualizar un desplazamiento de las masas. La dirección de este

desplazamiento corresponderá a la dirección de la fuerza que lo produce.

Ejemplo 4.1

Resumiendo, todas las fuerzas que actúan en el sistema son:

I Amortiguamiento (sobrem1ym2):

|fb|=b( ˙y−x˙)

I Suspensión (sobrem1 ym2):

|fs|=ks(y−x)

I Compresión del neumático (sobrem1):

|fw|=kw(x−r)

Para asignar los signos de cada una de las fuerzas, debemos visualizar un desplazamiento de las masas. La dirección de este

Ejemplo de modelamiento de sistemas físicos

Ejemplo 4.1

Resumiendo, todas las fuerzas que actúan en el sistema son:

I Amortiguamiento (sobrem1ym2):

|fb|=b( ˙y−x˙)

I Suspensión (sobrem1 ym2):

|fs|=ks(y−x)

I Compresión del neumático (sobrem1):

|fw|=kw(x−r)

Para asignar los signos de cada una de las fuerzas, debemos visualizar un desplazamiento de las masas. La dirección de este

desplazamiento corresponderá a la dirección de la fuerza que lo produce.

Ejemplo 4.1

La aplicación de la segunda ley de Newton en ambas masas (∑f =ma) nos lleva al

modelo del sistema

b( ˙y−x˙) +ks(y−x)−kw(x−r) =m1x¨

−ks(y−x)−b( ˙y−x˙) =m2y¨

Ejemplo de modelamiento de sistemas físicos

Ejemplo 4.1

La aplicación de la segunda ley de Newton en ambas masas (∑f =ma) nos lleva al modelo del sistema

b( ˙y−x˙) +ks(y−x)−kw(x−r) =m1¨x −ks(y−x)−b( ˙y−x˙) =m2¨y

La solución simultánea de este sistema de ecuaciones diferenciales da como resultado la información de la evolución temporal del desplazamiento de cada una de las masas.

Ejemplo 4.1

La aplicación de la segunda ley de Newton en ambas masas (∑f =ma) nos lleva al modelo del sistema

b( ˙y−x˙) +ks(y−x)−kw(x−r) =m1¨x −ks(y−x)−b( ˙y−x˙) =m2¨y

Ecuaciones en diferencias - forma atrasada

Representación de sistemas DT LIT por medio de ecuaciones en diferencia

Seay[n]la salida de un sistema en DT con entradax[n]. El sistema es LIT causal si y solo si su relación entrada salida se representa por medio de la ecuación en diferencias lineal de grado max(N,M)

con coeficientes constantes

N

∑

a_ky[n−k] = M

∑

bjx[n−j]

donde M,N∈Z+(son enteros positivos). Esta forma de ecuación en diferencias se conoce como

forma atrasada.

Una ecuación en diferencias en forma atrasada será causal si y solo sia06=0.

Representación de sistemas DT LIT por medio de ecuaciones en diferencia

Seay[n]la salida de un sistema en DT con entradax[n]. El sistema es LIT causal si y solo si su relación entrada salida se representa por medio de la ecuación en diferencias lineal de grado max(N,M)

con coeficientes constantes

N

∑

a_ky[n−k] = M

∑

bjx[n−j]

donde M,N∈Z+(son enteros positivos). Esta forma de ecuación en diferencias se conoce como

forma atrasada.

Ecuaciones en diferencias - forma atrasada

Representación de sistemas DT LIT por medio de ecuaciones en diferencia

Seay[n]la salida de un sistema en DT con entradax[n]. El sistema es LIT causal si y solo si su relación entrada salida se representa por medio de la ecuación en diferencias lineal de grado max(N,M)

con coeficientes constantes

N

∑

k=0

a_ky[n−k] =

M

∑

j=0

bjx[n−j]

donde M,N∈Z+(son enteros positivos). Esta forma de ecuación en diferencias se conoce como

forma atrasada.

Una ecuación en diferencias en forma atrasada será causal si y solo sia06=0.

Representación de sistemas DT LIT por medio de ecuaciones en diferencia

Seay[n]la salida de un sistema en DT con entradax[n]. El sistema es LIT causal si y solo si su relación entrada salida se representa por medio de la ecuación en diferencias lineal de grado max(N,M)

con coeficientes constantes

N

∑

k=0

a_ky[n−k] =

M

∑

j=0

bjx[n−j]

donde M,N∈Z+(son enteros positivos). Esta forma de ecuación en diferencias se conoce como forma atrasada.

Ecuaciones en diferencias - forma atrasada

Representación de sistemas DT LIT por medio de ecuaciones en diferencia

Seay[n]la salida de un sistema en DT con entradax[n]. El sistema es LIT causal si y solo si su relación entrada salida se representa por medio de la ecuación en diferencias lineal de grado max(N,M)

con coeficientes constantes

N

∑

k=0

a_ky[n−k] =

M

∑

j=0

bjx[n−j]

donde M,N∈Z+(son enteros positivos). Esta forma de ecuación en diferencias se conoce como forma atrasada.

Una ecuación en diferencias en forma atrasada será causal si y solo sia06=0.

Ejemplo 4.2

Considere la ecuación en diferencias en forma atrasada que representa un sistema LIT:

a0y[n] +3y[n−1] =u[n]−u[n−1]

Sia06=0, el sistema será causal ya que:

y[n]

|{z}

Salida presente

=− 3

a0 y[n−1]

| {z }

Salida pasada

+ 1

a0

u[n]− 1

a0 u[n−1]

| {z }

Entrada pasada y presente

Ahora, sia0=0, la ecuación se convierte en:

3y[n−1] =u[n]−u[n−1]

Con el cambio de variablem=n−1 obtenemos una representación de un sistema no causal:

y[m]

| {z }

= 1

3u[m+1]

| {z }

− 1

3u[m]

Ecuaciones en diferencias - forma atrasada

Ejemplo 4.2

Considere la ecuación en diferencias en forma atrasada que representa un sistema LIT:

a0y[n] +3y[n−1] =u[n]−u[n−1]

Sia06=0, el sistema será causal ya que:

y[n] |{z} Salida presente

=− 3

a0 y[n−1]

| {z }

Salida pasada + 1

a0

u[n]− 1

a0 u[n−1]

| {z }

Entrada pasada y presente

Ahora, sia0=0, la ecuación se convierte en:

3y[n−1] =u[n]−u[n−1]

Con el cambio de variablem=n−1 obtenemos una representación de un sistema no causal:

y[m]

| {z }

Salida presente

= 1

3u[m+1]

| {z }

Entrada futura

− 1

3u[m]

| {z }

Entrada presente

Ejemplo 4.2

Considere la ecuación en diferencias en forma atrasada que representa un sistema LIT:

a0y[n] +3y[n−1] =u[n]−u[n−1]

Sia06=0, el sistema será causal ya que:

y[n] |{z} Salida presente

=− 3

a0 y[n−1]

| {z }

Salida pasada + 1

a0

u[n]− 1

a0 u[n−1]

| {z }

Entrada pasada y presente

Ahora, sia0=0, la ecuación se convierte en:

3y[n−1] =u[n]−u[n−1]

Con el cambio de variablem=n−1 obtenemos una representación de un sistema no causal:

y[m]

| {z }

= 1

3u[m+1]

| {z }

− 1

3u[m]

Ecuaciones en diferencias - forma atrasada

Ejemplo 4.2

Considere la ecuación en diferencias en forma atrasada que representa un sistema LIT:

a0y[n] +3y[n−1] =u[n]−u[n−1]

Sia06=0, el sistema será causal ya que:

y[n] |{z} Salida presente

=− 3

a0 y[n−1]

| {z }

Salida pasada + 1

a0

u[n]− 1

a0 u[n−1]

| {z }

Entrada pasada y presente

Ahora, sia0=0, la ecuación se convierte en:

3y[n−1] =u[n]−u[n−1]

Con el cambio de variablem=n−1 obtenemos una representación de un sistema no causal:

y[m] | {z } Salida presente

= 1

3u[m+1]

| {z }

Entrada futura

− 1

3u[m]

| {z } Entrada presente

Representación de sistemas DT LIT por medio de ecuaciones en diferencia

Seay[n]la salida de un sistema en DT con entradax[n]. El sistema es LIT si se representa por medio de la ecuación en diferencias lineal de grado max(N,M)con coeficientes constantes

N

∑

aky[n+k] = M

∑

bjx[n+k]

donde M,N∈Z+(son enteros positivos). Esta forma de ecuación en diferencias se conoce como

forma adelantada.

Una ecuación en diferencias en forma adelantada representará un sistema LIT causal si y solo si N≥M (i.e., el grado de la ecuación es N), con aN6=0 ybM6=0, y a06=0 o

Ecuaciones en diferencias - forma adelantada

Representación de sistemas DT LIT por medio de ecuaciones en diferencia

Seay[n]la salida de un sistema en DT con entradax[n]. El sistema es LIT si se representa por medio de la ecuación en diferencias lineal de grado max(N,M)con coeficientes constantes

N

∑

aky[n+k] = M

∑

bjx[n+k]

donde M,N∈Z+(son enteros positivos). Esta forma de ecuación en diferencias se conoce como

forma adelantada.

Una ecuación en diferencias en forma adelantada representará un sistema LIT causal si y solo si N≥M (i.e., el grado de la ecuación es N), con aN6=0 ybM6=0, y a06=0 o

b06=0 .

Representación de sistemas DT LIT por medio de ecuaciones en diferencia

Seay[n]la salida de un sistema en DT con entradax[n]. El sistema es LIT si se representa por medio de la ecuación en diferencias lineal de grado max(N,M)con coeficientes constantes

N

∑

k=0

aky[n+k] = M

∑

j=0

bjx[n+k]

donde M,N∈Z+(son enteros positivos). Esta forma de ecuación en diferencias se conoce como

forma adelantada.

Una ecuación en diferencias en forma adelantada representará un sistema LIT causal si y solo si N≥M (i.e., el grado de la ecuación es N), con aN6=0 ybM6=0, y a06=0 o

Ecuaciones en diferencias - forma adelantada

Representación de sistemas DT LIT por medio de ecuaciones en diferencia

Seay[n]la salida de un sistema en DT con entradax[n]. El sistema es LIT si se representa por medio de la ecuación en diferencias lineal de grado max(N,M)con coeficientes constantes

N

∑

k=0

aky[n+k] = M

∑

j=0

bjx[n+k]

donde M,N∈Z+(son enteros positivos). Esta forma de ecuación en diferencias se conoce como forma adelantada.

Una ecuación en diferencias en forma adelantada representará un sistema LIT causal si y solo si N≥M (i.e., el grado de la ecuación es N), con aN6=0 ybM6=0, y a06=0 o

b06=0 .

Representación de sistemas DT LIT por medio de ecuaciones en diferencia

Seay[n]la salida de un sistema en DT con entradax[n]. El sistema es LIT si se representa por medio de la ecuación en diferencias lineal de grado max(N,M)con coeficientes constantes

N

∑

k=0

aky[n+k] = M

∑

j=0

bjx[n+k]

donde M,N∈Z+(son enteros positivos). Esta forma de ecuación en diferencias se conoce como forma adelantada.

Una ecuación en diferencias en forma adelantada representará un sistema LIT causal si y solo si N≥M (i.e., el grado de la ecuación es N), con aN6=0 ybM6=0, y a06=0 o

Ecuaciones en diferencias - forma adelantada

Ejemplo 4.3

Analice la condición de causalidad para una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes en forma adelantada.

La forma general de este tipo de ecuación es

N ∑ k=0

aky[n+k] = M ∑ j=0

bjx[n+k]

I Condición(N≥M)

(Contradicción) Supongamos que el sistema es causal. SiM,N∈Z+yM>N, entonces

n+N<n+M

Por tanto, en el instanten+N:

y[n+N]

| {z }

Salida presente

depende de

→ u[n+M]

| {z }

Entrada futura

con lo queN≥Mpara que el sistema deba ser causal.

Ejemplo 4.3

Analice la condición de causalidad para una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes en forma adelantada.

La forma general de este tipo de ecuación es N ∑ k=0

aky[n+k] = M ∑ j=0

bjx[n+k]

I Condición(N≥M)

(Contradicción) Supongamos que el sistema es causal. SiM,N∈Z+yM>N, entonces

n+N<n+M

Por tanto, en el instanten+N:

y[n+N]

| {z }

Salida presente

depende de

→ u[n+M]

| {z }

Entrada futura

Ecuaciones en diferencias - forma adelantada

Ejemplo 4.3

Analice la condición de causalidad para una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes en forma adelantada.

La forma general de este tipo de ecuación es N ∑ k=0

aky[n+k] = M ∑ j=0

bjx[n+k]

I Condición(N≥M)

(Contradicción) Supongamos que el sistema es causal. SiM,N∈Z+yM>N, entonces

n+N<n+M

Por tanto, en el instanten+N:

y[n+N]

| {z }

Salida presente

depende de

→ u[n+M]

| {z }

Entrada futura

con lo queN≥Mpara que el sistema deba ser causal.

Ejemplo 4.3

Analice la condición de causalidad para una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes en forma adelantada.

La forma general de este tipo de ecuación es N ∑ k=0

aky[n+k] = M ∑ j=0

bjx[n+k]

I Condición(N≥M)

(Contradicción) Supongamos que el sistema es causal. SiM,N∈Z+yM>N, entonces

n+N<n+M

Por tanto, en el instanten+N:

y[n+N]

| {z }

Salida presente

depende de

→ u[n+M]

| {z }

Entrada futura

Ecuaciones en diferencias - forma adelantada

Ejemplo 4.3

Analice la condición de causalidad para una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes en forma adelantada.

La forma general de este tipo de ecuación es N ∑ k=0

aky[n+k] = M ∑ j=0

bjx[n+k]

I Condición(N≥M)

(Contradicción) Supongamos que el sistema es causal. SiM,N∈Z+yM>N, entonces

n+N<n+M

Por tanto, en el instanten+N:

y[n+N]

| {z }

Salida presente

depende de

→ u[n+M]

| {z }

Entrada futura

con lo queN≥Mpara que el sistema deba ser causal.

Ejemplo 4.3

Analice la condición de causalidad para una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes en forma adelantada.

La forma general de este tipo de ecuación es N ∑ k=0

aky[n+k] = M ∑ j=0

bjx[n+k]

I Condición(N≥M)

(Contradicción) Supongamos que el sistema es causal. SiM,N∈Z+yM>N, entonces

n+N<n+M

Por tanto, en el instanten+N:

y[n+N]

| {z }

Salida presente

depende de

→ u[n+M]

| {z }

Entrada futura

Ecuaciones en diferencias - recursivas y no recursivas

Ecuaciones no recursivas en diferencias

Una ecuación en diferencias será no recursivasi la salida actual depende solo de valores de la entrada y es independiente de valores de la salida:

y[n] = b0

a0

u[n] +b1

a0

u[n−1] +· · ·+bM

a0

u[n−M]

Toda ecuación no recursiva en diferencias describe un sistema con respuesta finita al

impulso (FIR).

Un ejemplo de una ecuación no recursiva en diferencias es:

3y[n+1] =2u[n+2] +5u[n] (Forma adelantada) m

3y[n−1] =2u[n] +5u[n−2] (Forma atrasada)

Ecuaciones no recursivas en diferencias

Una ecuación en diferencias será no recursivasi la salida actual depende solo de valores de la entrada y es independiente de valores de la salida:

y[n] = b0

a0

u[n] +b1

a0

u[n−1] +· · ·+bM

a0

u[n−M]

Toda ecuación no recursiva en diferencias describe un sistema con respuesta finita al

impulso (FIR).

Un ejemplo de una ecuación no recursiva en diferencias es:

3y[n+1] =2u[n+2] +5u[n] (Forma adelantada) m

Ecuaciones en diferencias - recursivas y no recursivas

Ecuaciones no recursivas en diferencias

Una ecuación en diferencias será no recursivasi la salida actual depende solo de valores de la entrada y es independiente de valores de la salida:

y[n] = b0

a0

u[n] +b1

a0

u[n−1] +· · ·+bM

a0

u[n−M]

Toda ecuación no recursiva en diferencias describe un sistema con respuesta finita al

impulso (FIR).

Un ejemplo de una ecuación no recursiva en diferencias es:

3y[n+1] =2u[n+2] +5u[n] (Forma adelantada) m

3y[n−1] =2u[n] +5u[n−2] (Forma atrasada)

Ecuaciones no recursivas en diferencias

Una ecuación en diferencias será no recursivasi la salida actual depende solo de valores de la entrada y es independiente de valores de la salida:

y[n] = b0

a0

u[n] +b1

a0

u[n−1] +· · ·+bM

a0

u[n−M]

Toda ecuación no recursiva en diferencias describe un sistema con respuesta finita al

impulso (FIR).

Un ejemplo de una ecuación no recursiva en diferencias es:

3y[n+1] =2u[n+2] +5u[n] (Forma adelantada) m

Ecuaciones en diferencias - recursivas y no recursivas

Ecuaciones no recursivas en diferencias

Una ecuación en diferencias será no recursivasi la salida actual depende solo de valores de la entrada y es independiente de valores de la salida:

y[n] = b0

a0

u[n] +b1

a0

u[n−1] +· · ·+bM

a0

u[n−M]

Toda ecuación no recursiva en diferencias describe un sistema con respuesta finita al

impulso (FIR).

Un ejemplo de una ecuación no recursiva en diferencias es:

3y[n+1] =2u[n+2] +5u[n] (Forma adelantada) m

3y[n−1] =2u[n] +5u[n−2] (Forma atrasada)

Ecuaciones recursivas en diferencias

Una ecuación en diferencias será recursivasi su salida actual depende de valores de la entrada y también de valores de la salida.

Las ecuaciones recursivas en diferencias describen sistemas con respuesta infinita al

impulso (IIR).

Un ejemplo de una ecuación recursiva en diferencias es:

y[n+2] +2y[n+1] +3y[n] =u[n+1] +2u[n] (Forma adelantada) m

Ecuaciones en diferencias - recursivas y no recursivas

Ecuaciones recursivas en diferencias

Una ecuación en diferencias será recursivasi su salida actual depende de valores de la entrada y también de valores de la salida.

Las ecuaciones recursivas en diferencias describen sistemas con respuesta infinita al

impulso (IIR).

Un ejemplo de una ecuación recursiva en diferencias es:

y[n+2] +2y[n+1] +3y[n] =u[n+1] +2u[n] (Forma adelantada) m

y[n] +2y[n−1] +3y[n−2] =u[n−1] +2u[n−2] (Forma atrasada)

Ecuaciones recursivas en diferencias

Una ecuación en diferencias será recursivasi su salida actual depende de valores de la entrada y también de valores de la salida.

Las ecuaciones recursivas en diferencias describen sistemas con respuesta infinita al

impulso (IIR).

Un ejemplo de una ecuación recursiva en diferencias es:

y[n+2] +2y[n+1] +3y[n] =u[n+1] +2u[n] (Forma adelantada) m

Ecuaciones en diferencias - recursivas y no recursivas

Ecuaciones recursivas en diferencias

Una ecuación en diferencias será recursivasi su salida actual depende de valores de la entrada y también de valores de la salida.

Las ecuaciones recursivas en diferencias describen sistemas con respuesta infinita al

impulso (IIR).

Un ejemplo de una ecuación recursiva en diferencias es:

y[n+2] +2y[n+1] +3y[n] =u[n+1] +2u[n] (Forma adelantada) m

y[n] +2y[n−1] +3y[n−2] =u[n−1] +2u[n−2] (Forma atrasada)

A diferencia de las ecuaciones diferenciales, es posible encontrar los valores para todo tiempo de una ecuación en diferencias sin solucionarla de manera simbólica.

Para ello, la ecuación debe escribirse de manera recursiva.

Solución recursiva de ecuaciones en diferencia

A diferencia de las ecuaciones diferenciales, es posible encontrar los valores para todo tiempo de una ecuación en diferencias sin solucionarla de manera simbólica.

Para ello, la ecuación debe escribirse de manera recursiva.

Este procedimiento numérico de solucionar las ecuaciones en diferencia corresponde al método en el cual se implementan los sistemas en tiempo discreto.

A diferencia de las ecuaciones diferenciales, es posible encontrar los valores para todo tiempo de una ecuación en diferencias sin solucionarla de manera simbólica.

Para ello, la ecuación debe escribirse de manera recursiva.

Solución recursiva de ecuaciones en diferencia

A diferencia de las ecuaciones diferenciales, es posible encontrar los valores para todo tiempo de una ecuación en diferencias sin solucionarla de manera simbólica.

Para ello, la ecuación debe escribirse de manera recursiva.

Este procedimiento numérico de solucionar las ecuaciones en diferencia corresponde al método en el cual se implementan los sistemas en tiempo discreto.

Consideremos una ecuación de diferencias de ordenN, cona0=1 en forma retardada:

y[n] +a1y[n−1] +· · ·+aNy[n−N] =b0x[n] +b1x[n−1] +· · ·+bMx[n−M]

y[n] +

N

∑

k=1

aky[n−k] = M

∑

j=0

bjx[n−j]

Despejandoy[n], obtenemos una forma recursiva de esta ecuación:

y[n] = −

N

∑

k=1

aky[n−k]

| {z }

Valores pasados de la salida (algunos ya conocidos)

+

M

∑

j=0

bjx[n−j]

| {z }

Valores pasados y presentes de la entrada (ya conocidos)

Forma recursiva de ecuaciones atrasadas

Consideremos una ecuación de diferencias de ordenN, cona0=1 en forma retardada:

y[n] +a1y[n−1] +· · ·+aNy[n−N] =b0x[n] +b1x[n−1] +· · ·+bMx[n−M]

y[n] + N ∑ k=1

aky[n−k] = M ∑ j=0

bjx[n−j]

Despejandoy[n], obtenemos una forma recursiva de esta ecuación:

y[n] = −

N

∑

k=1

aky[n−k]

| {z }

Valores pasados de la salida (algunos ya conocidos)

+

M

∑

j=0

bjx[n−j]

| {z }

Valores pasados y presentes de la entrada (ya conocidos)

El clave de la forma recursiva es expresar la salida actualy[n]en término de las salidas pasadasy[n−k].

Consideremos una ecuación de diferencias de ordenN, cona0=1 en forma retardada:

y[n] +a1y[n−1] +· · ·+aNy[n−N] =b0x[n] +b1x[n−1] +· · ·+bMx[n−M]

y[n] + N ∑ k=1

aky[n−k] = M ∑ j=0

bjx[n−j]

Despejandoy[n], obtenemos una forma recursiva de esta ecuación:

y[n] = −

N ∑ k=1

aky[n−k]

| {z }

Valores pasados de la salida (algunos ya conocidos)

+

M ∑ j=0

bjx[n−j]

| {z }

Valores pasados y presentes de la entrada (ya conocidos)

Forma recursiva de ecuaciones atrasadas

Consideremos una ecuación de diferencias de ordenN, cona0=1 en forma retardada:

y[n] +a1y[n−1] +· · ·+aNy[n−N] =b0x[n] +b1x[n−1] +· · ·+bMx[n−M]

y[n] + N ∑ k=1

aky[n−k] = M ∑ j=0

bjx[n−j]

Despejandoy[n], obtenemos una forma recursiva de esta ecuación:

y[n] = −

N ∑ k=1

aky[n−k]

| {z }

Valores pasados de la salida (algunos ya conocidos)

+

M ∑ j=0

bjx[n−j]

| {z }

Valores pasados y presentes de la entrada (ya conocidos)

El clave de la forma recursiva es expresar la salida actualy[n]en término de las salidas pasadasy[n−k].

Si tenemos una ecuación en diferencias en forma adelantada, debemos despejar la muestra «más

adelantada» y aplicar retardos para llevar la ecuación a un equivalente en forma retardada y recursiva.

De esta manera, puede concluirse que una ecuación en diferencias en forma adelantada y su equivalente en forma atrasada describen la misma dinámica.

Ejemplo 4.4

Exprese la siguiente ecuación en diferencias en forma recursiva (retardada)

y[n+2]−1.5y[n+1] +y[n] =2x[n]

Si aplicamos dos retardos en cada una de las señales, obtenemos:

y[n]−1.5y[n−1] +y[n−2] =2x[n−2]

Este resultado lo expresamos en forma recursiva como:

Forma recursiva de ecuaciones adelantadas

Si tenemos una ecuación en diferencias en forma adelantada, debemos despejar la muestra «más

adelantada» y aplicar retardos para llevar la ecuación a un equivalente en forma retardada y recursiva.

De esta manera, puede concluirse que una ecuación en diferencias en forma adelantada y su equivalente en forma atrasada describen la misma dinámica.

Ejemplo 4.4

Exprese la siguiente ecuación en diferencias en forma recursiva (retardada)

y[n+2]−1.5y[n+1] +y[n] =2x[n]

Si aplicamos dos retardos en cada una de las señales, obtenemos:

y[n]−1.5y[n−1] +y[n−2] =2x[n−2]

Este resultado lo expresamos en forma recursiva como:

y[n] =1.5y[n−1]−y[n−2] +2x[n−2]

Si tenemos una ecuación en diferencias en forma adelantada, debemos despejar la muestra «más

adelantada» y aplicar retardos para llevar la ecuación a un equivalente en forma retardada y recursiva.

De esta manera, puede concluirse que una ecuación en diferencias en forma adelantada y su equivalente en forma atrasada describen la misma dinámica.

Ejemplo 4.4

Exprese la siguiente ecuación en diferencias en forma recursiva (retardada)

y[n+2]−1.5y[n+1] +y[n] =2x[n]

Si aplicamos dos retardos en cada una de las señales, obtenemos:

y[n]−1.5y[n−1] +y[n−2] =2x[n−2]

Este resultado lo expresamos en forma recursiva como:

Forma recursiva de ecuaciones adelantadas

Si tenemos una ecuación en diferencias en forma adelantada, debemos despejar la muestra «más

adelantada» y aplicar retardos para llevar la ecuación a un equivalente en forma retardada y recursiva.

De esta manera, puede concluirse que una ecuación en diferencias en forma adelantada y su equivalente en forma atrasada describen la misma dinámica.

Ejemplo 4.4

Exprese la siguiente ecuación en diferencias en forma recursiva (retardada)

y[n+2]−1.5y[n+1] +y[n] =2x[n]

Si aplicamos dos retardos en cada una de las señales, obtenemos:

y[n]−1.5y[n−1] +y[n−2] =2x[n−2]

Este resultado lo expresamos en forma recursiva como:

y[n] =1.5y[n−1]−y[n−2] +2x[n−2]