T5 El Optimo del consumidor

TEMA 5

Racionalidad Económica

 El principal postulado acerca del comportamiento del consumidor dice que escoje la mejor

alternativa del conjunto de alternativas factibles.  Las alternativas disponibles constituyen el

conjunto factible.

x₂

x₂

Utilidad

Utilidad _x

2

x

x₂

Utilidad

Utilidad

x₂

Utilidad

x₂

Utilidad

x₂

Utilidad

x

Factible, pero no es la mejor de las alternativas factibles.

La mejor de las cestas factibles

Utilidad

x x₂

Utilidad

x₂

Utilidad

x x₂

x₂

x₂

Cestas factibles

x₂

Cestas

Curvas de indiferencia en relación a su

x₂

Cestas que son más preferidas

Cestas factibles

x x₂

Cestas factibles

x₁ x₂

x x₂

x₂*

 La mejor de las cestas factibles es conocida como la DEMANDA ORDINARIA a los precios y el ingreso dados.

 Cuando x₁* > 0 y x₂* > 0 la cesta demandada es

INTERIOR.

x₁ x₂

x₁* x₂*

(x₁*,x₂*) es interior.

x x₂

x₂*

(x₁*,x₂*) es interior .

(b) la pendiente de la curva de indiferencia en (x₁*,x₂*) es igual a

 (x₁*,x₂*) satisface dos condiciones:

 (a) el ingreso se agota: p₁x₁* + p₂x₂* = m

Estimando la Demanda Ordinaria

 ¿Cómo podemos emplear esta información

para poder encontrar la cesta (x₁*,x₂*) para los precios p₁, p₂ y el ingreso m?

 Supongamos que las preferencias del consumidor

son del tipo Cobb-Douglas.

 En consecuencia las Utilidades Marginales seran: b a

_x

ax

x

UT

UMg

1 1 













_bx

_x

x

UT

UMg

 Y la Relación Marginal de Sustitucion: ( la RMS )

.

/

/

bx

ax

x

bx

x

ax

x

T

U

x

UT

dx

dx

RMS

 En (x₁*,x₂*), se debe cumplir que RMS = -p₁/p₂ , en consecuencia

(A)

 Y sabemos que (x

1*,x2*) agota el

presupuesto del consumidor:

(B)

.

_x

ap

bp

x

p

p

bx

ax











.

1

x

p

x

m

 En consecuencia, sabemos que: (A) (B) Sustituyendo * 1 2 1 * 2 x ap bp x 

p x_{1 1}*  p x_{2 2}*  m.

* 1 2 1 * 2 x ap bp x 

Tenemos:

y simplificando llegamos a:

. * 1 2 1 2 * 1

1 x m

ap bp p

x

p  

Sustituyendo el valor de x₁* en:

Obtenemos el valor de

p x_{1 1}*  p x_{2 2}*  m

Así hemos descubierto que la mejor cesta factible para el consumidor con preferencias

_Cobb-Douglas

( , )

( ) , ( ) .

* *

(

)

x x am

a b p

bm a b p

1 2

1 2



x₁ x₂ 1 * 1 ) (a b p

m a x   2 * 2 ) (a b p

m b x   b a

_x

x

x

x

Restricciones para el óptimo del consumidor

 Cuando x₁* > 0 y x₂* > 0

y (x₁*,x₂*) agota el ingreso,

y la curva de indiferencia tiene una forma regular, no especial , la demanda ordinaria se obtiene mediante:

 (a) p₁x₁* + p₂x₂* = m

 (b) la pendiente de la restricción presupuestaria,

 Pero ¿que pasa si: x₁* = 0 y x₂* = 0?

 Si: x₁* = 0 y x₂* = 0 entonces la demanda ordinaria (x₁*,x₂*) es una solución de esquina.  Cuando surge una solución de esquina la RMS

del consumidor no es necesariamente igual a la relacion de precios.

 En estos casos la condición necesaria para maximizar la satisfacción viene dada por la desigualdad:

ó

p

p

RMS



Ejemplo de soluciones de esquina –

el caso de sustitutos perfectos

x₁ x₂

x x₂

pendiente = -p₁/p₂ con p₁ > p₂.

x₁ x₂

RMS = -1

pendiente = -p₁/p₂ con p₁ > p₂.

Cesta óptima

2 *

2

p m x 

x x₂

pendiente = -p₁/p₂ con p₁ < p₂.

RMS = -1

Cesta óptima

* m

En consecuencia, si la función de utilidad es = x₁ + x₂, la cesta óptima es (x₁*,x₂*) donde:

y

si p₁ < p₂

si p₁ > p₂.

     

 ,0 ) , ( 1 * 2 * 1 p m x x















1

,

)

0

,

(

p

m

x

x x₂

RMS = -1

pendiente = -p₁/p₂ con p₁ = p₂.

m

2

x₁ x₂

Todas las cestas en la

restricción presupuestaria son cestas óptimas si

p₁ = p₂.

2

p m

1

Ejemplo de soluciones de esquina el caso de las preferencias

no convexas

x

x_{2 m}

x x₂

x₁ x₂

x

x₂ Observe que la solución de_{tangencia no es la cesta óptima.}

Ejemplos de soluciones en “punta” – el caso de complementarios perfectos

x₁

x₂ U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x₂ = ax₁

RMS = 0 RMS = -

¥

x

x₂ U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x₂ = ax₁

x₁

x₂ U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x₂ = ax₁

x

x₂ U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x₂ = ax₁

x₁* x₂*

(a) p₁x₁* + p₂x₂* = m

(a) p₁x₁* + p₂x₂* = m;

(a) p₁x₁* + p₂x₂* = m; (b) x₂* = ax₁*.

Sustituyendo, tenemos:

p₁x₁* + p₂ax₁* = m Luego Simplificando nos da:

2 1

* 1

ap

p

m

x

Igual que el anterior operamos para obtener x₂*:

.

* 2

ap

p

am

x

x x₂ U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x₂ = ax₁

Graficamente el óptimo de los